Equazioni idrodinamiche
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- Francesca Franceschini
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1 Eqazon drodnache L eqazone d Boltzann f t f F f 0 perette la descrzone della dnaca della fnzone d dstrbzone d n sstea d partcelle che nteragscono tra d loro attraerso collson bnare. Utlzzando l concetto probablstco della fnzone d dstrbzone è possble stablre l eqazone d eolzone d qanttà fsche acroscopche ncldendo gl narant collsonal coe denstà d assa n (o nero d partcelle n, oento ed energa cnetca ( per n sstea d partcelle pntfor (ossa aent coe grad d lberta spazal le tre coordnate, aent ttte la stessa assa, tlzzando l eqazone d conserazone per gl narant collsonal (10.48 (10.48 che, ntrodcendo la nozone d alor ed nello spazo delle eloctà abbao rscrtto coe (10.5
2 Coe gà dscsso, qeste qanttà engono spesso chaate oent della fnzone d dstrbzone. Sono assocate a paraetr fsc dello spazo geoetrco e del tepo (,t e possono essere assocate a paraetr srabl er χ nell eqazone d conserazone e assendo che le forze consderate sano solo fnzon della poszone (F(,y,z s ottene l oento d ordne zero della dstrbzone nello spazo delle eloctà. Dato che è costante e χ dpende solo da,,, e sono sono nll e pertanto l eqazone d rdce a aendo posto e (11. (11. 3 Rtroao pertanto l eqazone d contntà per la qanttàn che asse q l alore d denstà del fldo (assa delle partcelle d fldo per ntà d ole.
3 onendo nece nella (10.5 s ottene: (11.4 dato che : n ( n ( n ( 0 n F nf n F 0 perché le coordnate e sono arabl ndpendent perché perche s è assnto che le forze esterne (coe la forza gratazonale sano solo dpendente dalle coordnate spazal. k δ Nel caso d n fldo condttore erso n n capo agnetco o d n plasa agnetzzato è presente ed portante anche la forza d Lorentz:, k dato che e k sono ndpendent
4 F L q B Doe q e la carca della partcella, B(,y,z,t e l capo agnetco applcato e (t la eloctà (lagrangana della partcella. Anche n qesto caso, tttaa, l terne F L q c q c k ( B 0 perché le coponent della eloctà che copaono nel prodotto ettorale sono derse da qella rspetto a c s prende la derata. L eqazone (11.4 è pertanto anche applcable al caso d n plasa agnetzzato. La (11.4 espre la conserazone della qanttà d oto n per n sstea d olt corp. 1,3 ( B (11.5 (11.6 ( Il pro terne rappresenta la arazone d qanttà d oto per ntà d ole e d tepo. - Il secondo terne la arazone d qanttà d oto per ntà d ole dota a grazone d partcelle attraerso la sperfce che racchde l ole (dergenza del flsso d qanttà d oto. - Il terzo terne rappresenta la forza per ntà d ole. A dfferenza d qanto aene per la denstà d partcelle, la denstà d qanttà d oto pò arare per de case: - grazone d partcelle che oendos trasportano la loro qanttà d oto - effetto delle forze che agscono slle partcelle, che arano la qanttà d oto locale
5 Il secondo terne della (10.4 n < > 3 1,3 ( n < e la dergenza del tensore d pressone ([n ] [M L -3 L T - (M L T - L - ] forza / sperfce n < d c l eleento y e espresso esplctaente n (11.9 tlzzando no sal delle coordnate spazal. (11.9 (, y, z, t f (, y, z,,, d d d y Nell'ntegrando: la qanttàf y d rappresenta la qantta d oto d coponente che nell'ntà d tepo ene scabata (trasportata nella drezone y dalle partcelle contente n d. Coe s e sto la qanttà d oto trasferta per ntà d tepo e per ntà d ole n na certa drezone rappresenta na forza per ntà d area, che abbao chaato sforzo (shear. Nel caso della coponente y, lo sforzo (dretto nella drezone ha na drezone d taglo rspetto a na sperfce norale alla drezone del trasporto (secondo y. Nel caso d ndc gal, per esepo, lo sforzo dce 'norale e denta la pressone applcata al fldo > > y z y y z (11.8
6 Il tensore d pressone s s pò screre n n odo pù sgnfcato assendo che l fldo s oa con na eloctà d flsso La qanttà rappresenta la eloctà d na partcella rspetto alla eloctà d flsso, che ndca n oto dsordnato rspetto al oto. edo Defnao l tensore d pressone : (11.10 Slppando prodott:: e qnd (11.11 Introdcendo la densta d assa (,t n(,t l eqazone del oento al pr ordne pò essere rscrtta nella fora: (11.1 Doe è la dade che rappresenta l tensore d pressone.
7 Espandendo l pro ebro con fora alternata: ( ( ( s ottene la e, tlzzando la scrttra ettorale per le tre coponent: (11.13 ( S nota che tlzzando qesta notazone, l terne asse l sgnfcato d na forza per ntà d ole che s oppone alle coponent del oto del fldo (forza d attrto. Il tensore degl sforz è setrco per l III prncpo della eccanca e qnd d 9 coponent solo 6 sono ndpendent. Nella fsca de fld s è solt screre l tensore degl sforz coe soa d de tensor, n c l pro ha solo gl eleent slla dagonale prncpale e l altro nece ha tracca nlla (ossa la soa degl eleent slla dagonale prncpale e nlla: (11.14 (11.15 doe kk e σ ( 1/3 kk δ. :
8 Il pro terne a secondo ebro s dentfca con la pressone p 1 3 < > (11.16 (Il secondo tesore σ, detto deatorco (a tracca nlla, rappresenta degl sforz d taglo o scos. L eqazone d conserazone della qanttà d oto pò dnqe essere rscrtta nel segente odo: (11.17 e, tlzzando le propretà della fnzone δ s ottene: (11.18 Rscrao l eqazone n odo derso applcando le regole della derata d n prodotto: (11.19 Moltplchao abo ebr dell eqazone d contntà per, s ottene: ( t 0 (11.0
9 Utlzzando la (11.16 La (11.15 s rdce a Sforz d pressone Sforz d taglo (11.1 Ossa n fora ettorale: 1 σ F t 3 Il tensore degl sforz defnto coe eda d enseble del prodotto delle flttazon è noto solo se e nota la fnzone d dstrbzone ertanto l eqazone d conserazone della qanttà d oto (e anche qella dell energa non e n sstea chso d eqazon perché l tensore degl sforz `e na ncognta del problea. er conoscerlo é necessaro calcolare l ntegrale: (11. doe f è solzone dell eqazone d Boltzann. Dnqe é necessaro rsolere pra l eqazone d Boltzann per poter aere nforazon acroscopche.
10 Se l gas è onoatoco e le collson sono bnare ed elastche, s pò screre, con operazon algebrche analoghe a qelle ora ste, e con χ(,t l eqazone d conserazone per l oento del second ordne che è l energa nterna per ntà d assa: (11.3 Doe é l energa cnetca per ntà d assa e è l energa nterna (o calore nterno per ntà d assa. (11.4 (11.5 (11.6 e la dade del tensore degl sforz K K eˆ eˆ (11.7 (11.8
11 Infatt l eqazone d conserazone con denta: S ha anche: e Rcordando le defnzon e la (11.9 s po screre: a dato che Sosttendo s ottene fnalente Ossa q ε 3 ( ( ( ( ( q t ε ε K : q t K 3 3 ε K : ( 3 ( q ε t t (11.31 (11.33 (11.30 (11.3 (11.9 (11.34 (11.36 (11.35 χ(,t
12 Eqazon drodnache Un sstea e defnto drodnaco qando le dstanze d collsone sono olto pccole rspetto alle denson dell nsee e pertanto dsnfortà (d denstà, d energa eentalente create al so nterno sono rapdaente elnate dalle collson. Il fldo s troa pertanto n odo qas stazonaro n eqlbro locale. Consderao n sstea d partcelle n c le collson antengano effcenteente n eqlbro awellano, eentalente con dfferent propretà n ders pnt del sstea, e dostrao che è possble trattare la sa dnaca n odo consstente edante le eqazon de oent. La dstrbzone awellana n ogn pnto del sstea sarà data da: (11-37 ossao ora calcolare oent delle are grandezze con qesta fora della fnzone d dstrbzone. Il tensore d pressone denta: (11-38 U U ( U U U ep kbt k dudu du k
13 doe U è la deazone delle eloctà rspetto alla eloctà eda U. (11.39 Data la setra della Mawellana, l ntegrando è dspar per, e qnd s annlla se esteso da a, entre è par per ed è gale per ttte le coponent; Integrando la (11.38 s rcaa che (11.40 Dalla (11-6 s ottene noltre che l flsso d energa coporta n ntegrando dspar, per c: q 0. Infne l energa (11-5 denta: e l terne : (11.41 (11.4
14 Con qeste espresson le eqazon d oento nel caso collsonale awellano dentano dnqe: (11.43 (11.44 (11.45 Qesto sstea d 5 eqazon scalar contene 5 arabl ndpendent,,n, T (p, e possono essere espresse n fnzone delle sole n,t, oaente tenendo conto che la forza F esterna è data. Qnd l sstea è chso e tlzzable per rcaare la dnaca n tern d grandezze acroscopche. I fld per qal le approssazon ora tlzzate sono alde sono dett, fld eleran. perchè soddsfano all eqazone d Elero. La teora cnetca ostra coe l eqazone d Elero descra la dnaca d na classe rstretta d fld la c fnzone d dstrbzone locale e d tpo awellano Qesta propretà porta a elnare l flsso d energa (q 0 e ad n tensore d pressone dagonale, qnd senza forz longtdnal agl strat e senza scostà, coè senza possbltà d trasporto d oento da no strato ad n altro del fldo.
15 In stazon real sono nece possbl anche fort gradent nelle grandezze fsche che non consentono qnd la stessa dstrbzone awellana n ogn pnto: qando fenoen d trasporto sono portant l fldo non ha na dstrbzone d eqlbro perché ess possono essere pù rapd del tepo scala d raggngento della dstrbzone d eqlbro. Occorre qnd approfondre qesto pnto e ntrodrre qalche terne corretto.
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