Ø Se una forza interviene a cambiare lo stato di un corpo il valore numerico dell energia che lo rappresenta si modifica.

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1 Energa e Lavoro. Che cos è l energa. Energa Cnetca 3. Lavoro d una orza costante 4. Lavoro d un orza varable 5. Il teorea dell energa cnetca 6. Esepo: l lavoro coputo dalla orza peso 7. Esepo: l lavoro coputo per sollevare ed abbassare un peso 8. Esepo: lavoro coputo dalla orza elastca 9. Esepo: l lavoro coputo dalla orza d attrto

2 Ø Denzone d Sstea: Ø Un sstea è un odello seplcato d una pccola porzone d Unverso che vene presa n consderazone. Ø Un sstea può essere coposto da: una sola partcella, un nsee d partcelle, una regone d spazo.. Ø Un sstea può cabare d ora e densone ( pallna d goa..) Che cos è l energa- denzone d sstea Il terne energa è un parola couneente usata nel nostro colloquare quotdano. Conoscao olt tp d energa e gl nnuerevol cap n cu essa può essere utlzzata, sappao che qualsas ovento rchede energa, che l controllo d alcune ont d energa è stato ed è tuttora una delle cause d guerre tra stat MA. Cosa sgnca n realtà energa? Ø Dal punto d vsta sco: L energa è una grandezza sca scalare assocata allo stato d un corpo o d un sstea d corp. Ø Se una orza ntervene a cabare lo stato d un corpo l valore nuerco dell energa che lo rappresenta s odca. Ø La propretà pù portante del nostro Unverso è che n esso l energa s conserva, s può trasorare, passare da un corpo ad un altro, a l energa totale s deve conservare. Ø Medante lo studo dell energa è possble rsolvere de proble d dnaca anche senza l utlzzo delle legg d newton e questo approcco è olto convenente soprattutto quando s ha a che are con orze varabl, coè quando l accelerazone non è costante e le equazon del oto possono rsulta olto coplcate.

3 Energa Cnetca Energa cnetca d un corpo : energa assocata allo stato d oto del corpo Se ad un certo stante un corpo s uove con una veloctà v, sucenteente nerore alla veloctà della luce, l energa cnetca del corpo n quell stante é K v Energa Cnetca Ø L energa cnetca auenta quadratcaente all auentare del odulo della veloctà e se un corpo è ero la sua energa cnetca è nulla Ø L energa cnetca dpende lnearente dalla assa del corpo Ø L untà d sura dell energa è l Joule e s ha che: J Kg s Ø Vedreo che la varazone d energa cnetca s collega strettaente ad un nuovo concetto sco detto Lavoro ( n sca la parola Lavoro ha un sgncato dverso da quello couneente usato).

4 Lavoro svolto da una orza costante Consderao una orza costante F che agsca su un punto aterale e supponao per seplctà che l oto avvenga nella drezone della orza. Sa Δr lo spostaento. Denao Lavoro della orza l prodotto: Pù n generale se l oto avvene n una drezone dversa rspetto alla orza l lavoro è dento coe l prodotto scalare della orza per lo spostaento : L F Δr Dove θ è l angolo tra la drezone della orza e quella dello spostaento. Sccoe L è uno scalare esso può essere postvo, negatvo o nullo: Ø Se θ<π/ ( coè cos θ >0)la orza ha una coponente postva nella drezone del F oto L>0 ed l lavoro e detto lavoro otore Ø Se π/<θ<π ( coè cos θ <0) la orza ha una coponente negatva nella drezone del oto allora L<0 ed e detto lavoro resstente. F Ø Se θπ/ ( coè cos θ 0)la orza non ha una coponente nella drezone del oto L0 Ø Se θ0 ( coè cos θ )la orza e lo spostaento sono parallel nella drezone del oto LF Δr L FΔr cosθ F Δr Lavoro ( grandezza scalare) θ F F θ 90 Δr Δr Δr Δr

5 Alcune consderazon sul lavoro d una orza L F Δr FΔr cosθ Poché Fcosθ può essere vsta coe la proezone della orza sulla drezone dello spostaento Δr, quando orza e spostaento hanno drezon dverse, l lavoro è coputo solo dalla coponente d F nella drezone d Δr. Se qund la Forza agente su un corpo è perpendcolare allo spostaento la sua coponente lungo Δr è nulla e qund non cope lavoro. F

6 Ø Se la orza agente non è costante a la traettora è lneare (partcella che s uove lungo l asse a con orza che vara n unzone della poszone) allora possao scoporre la traettora stessa n ntervall d sucenteente pccol da poter consderare n ess che la orza sa costante Ø Possao esprere l lavoro eettuato dalla orza lungo la traettora coe la soa de lavor esegut ne sngol segent d traettora: L F Δ F Δ F 3 Δ. F N Δ Coè: L Lavoro svolto da una orza varable() N n L n n Δ Se le denson degl ntervall tendono a zero l nuero degl ntervall cresce no ad nnto e la soa tende all ntegrale: L Δ 0 N n N F l F Δ n n F d Il lavoro è par all ntegrale dento d F() calcolato tra ed, coè è par all area sottesa dalla curva F () nell ntervallo Δ - NB: Se la orza osse costante, F potrebbe essere estratto dall ntegrale e s otterrebbe d nuovo LF Δ

7 Lavoro svolto da una orza varable() Se n un sstea costtuto da una partcella su cu agscono pù orze, l lavoro totale coputo sul sstea è dato dalla soa de lavor eettuat dalle sngole orze: L tot L ( F ) Consderao ora un caso pù generale, d una partcella che s uove lungo una traettora trdensonale entre è soggetta ad una orza rsultante F. Il lavoro, che è una grandezza scalare sarà dato dall ntegrale del prodotto scalare tra F ed l percorso nnteso d r : L d NB la soa d ntegral d unzon è uguale all ntegrale della soa delle unzon dr F Fd ( F ) L ntegrale è calcolato lungo l percorso della traettora ( ntegrale d lnea) B: In ogn caso l lavoro è una grandezza scalare e le sue denson sche sono: [M][L] [T] - unta d sura del lavoro è la stessa dell energa : l Joule J N Kg s d

8 Anals trdensonale L dl F dr Esplctao: Consderao una partcella sulla quale agsca una orza : F dove F, F y, F z, dpendono da, y, z rspettvaente (seplcazone) Supponao che la partcella copa uno spostaento nnteso dr Il lavoro nnteso dl, svolto dalla orza F entre la partcella s sposta d sarà: dl F dr Il lavoro L svolto da F durante lo spostaento dalla poszone nzale alla poszone nale sarà qund: L y F ˆ F ˆj F kˆ ( d) ˆ ( dy) ˆj ( dz)kˆ (, y z ) r, F d Fydy z F dz dl ( F ) d Fydy Fzdz Fd Fydy z y y d r r, z z z (, y z ) F dz

9 Teorea dell energa cnetca Se s può calcolare l lavoro coputo dalla orza rsultante agente su una partcella per eettuare un dato spostaento, sarà possble calcolare n anera olto seplce anche la sua varazone d veloctà. Consderao una partcella che s uove lungo una traettora e scoponao la sua accelerazone nelle coponent tangente a t e radale a r rspetto alla traettora stessa. Denao orza tangenzale F t la coponente della orza nella drezone della traettora. Forza tangenzale Il lavoro della orza s può scrvere n tern d tale coponente: Rcordao che: a t dv dt F t a t E sosttuendo nell espressone del lavoro: L Ft dr dv dt dr dr dv vdv dt dr v v dt v Ft at v Dove v e v sono le veloctà della partcella nel punto nzale e nale dello spostaento v v dv dt L L F t dr v v

10 Se L0 ΔK0 l energa cnetca non vara Rcordao che per denzone l energa cnetca d una partcella che possede una veloctà v è par a: Avreo qund che Teorea dell energa cnetca K v Quando è svolto lavoro sul sstea e la sola varazone nel sstea è la varazone del odulo della veloctà, l lavoro coputo dalla orza rsultante che agsce sul sstea è par alla varazone dell energa cnetca della partcella che avvene nello spostaento. Varazone dell energa v v ΔK cnetca della partcella Possao qund enuncare l TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA: L ΔK v v Se L>0 ΔK>0 l energa cnetca auenta andando dal punto nzale al punto nale Se L<0 ΔK<0 l energa cnetca dnusce nello spostaento da ad

11 Lavoro coputo dalla orza gravtazonale Ø Consderao una pallna d assa che vene gettata n ara vertcalente con una veloctà nzale v 0 K v Ø La pallna è soggetta alla orza gravtazone F g g Ø A causa della presenza d tale orza la veloctà della pallna, dnusce e qund anche l energa cnetca 0 Energa cnetca nzale Ø Il lavoro che la orza gravtazonale a sulla pallna durante lo spostaento Δy è: v 0 v v 0 F g F g F g y K v K K 0 v 0 L FgΔy cosθ gδy gδy Mentre la pallna sale ( θ80 perche la orza e lo spostaento hanno vers oppost) Mentre la pallna scende ( θ0 perche la orza e lo spostaento sono equvers) Il segno postvo sta ad ndcare che la orza gravtazonale trasersce energa gδy alla partcella sotto ora d energa cnetca

12 Esepo d applcazone del teorea dell energa cnetca() B v Consderao due punt A e B post uno sopra all altro a dstanza h ed un corpo d assa che s uove da A a B con veloctà nzale v B. A Tale corpo è soggetto alla sola orza peso F g g. F g g Deternare la dstanza h se B è la poszone d assa altezza che l h corpo può raggungere Possao rsolverlo da un punto d vsta puraente energetco (nvece che da un punto d vsta dnaco) y A v A L unca orza che agsce è la orza peso Il lavoro sarà scuraente negatvo n quanto lo spostaento da A a B ha verso opposto alla orza peso : L F g Δr gδy L gh ΔT L gh Per l teorea dell energa cnetca s ha: ( B A) B gh v A h va g T T v Rsultato gà vsto nello studo della caduta del grave 0 v A

13 Lavoro coputo per sollevare ed abbassare un peso Supponao d sollevare una cassa d assa dal pavento ad un altezza h e po poggarlo a terra d nuovo Ø Durante l sollevaento agscono due orze F Forza applcata alla cassa per sollevarla (stesso verso dello spostaento) L a F g Forza gravtazonale (verso opposto a quello dello spostaento) L g -gh ΔK sollevaento K K L a L g L a gh Ø Mentre la cassa vene posata d nuovo a terra ( spostaento verso l basso) ancora agscono due orze F F g Forza applcata alla cassa per non lascarla cadere ( verso opposto allo spostaento) L a -Fh Forza gravtazonale (stesso verso verso dello spostaento) L g gh ΔKabbassaen to K K La Lg La gh

14 Lavoro coputo per sollevare ed abbassare un peso ΔK sollevaento K K L a L g L a gh La orza applcata trasersce energa alla cassa (L a >0) La orza gravtazonale sottrae energa alla cassa (L g <0) ΔK K K L L L gh abbassaen to a g a La orza applcata sottrae energa alla cassa (L a <0) La orza gravtazonale trasersce energa alla cassa (L g >0) NB: Nel caso n cu la cassa parta da era (K 0) e arrv alla ne dello spostaento era (K 0), o nel caso pù generale n cu K e K sano ugual le due relazon s rducono a: L L 0 L L gh(cosθ ) a g a g Il lavoro coputo dalla orza applcata è uguale ed opposto al lavoro coputo dalla orza gravtazonale Per copletezza NB: Il lavoro per spostare un qualsas corpo dal pavento ad un altezza h ( con veloctà nzal e nal nulle) e rabbassarlo sul pavento ( sepre con veloctà nzal e nal nulle) è NULLO ( non conondete l lavoro con la atca )

15 Lavoro svolto da una olla() Consderao una orza elastca agente n una densone: F k Il segno negatvo sgnca che la orza è sepre rvolta n senso contraro a quello dello spostaento dalla poszone d equlbro 0. La orza tende qund sepre a rportare la olla alla poszone d equlbro e per questo vene chaata Forza d Rchao Se >0 la orza è negatva, Se <0 la orza è postva, Quando 0 la olla non è deorata e la orza è nulla. Qund se aggancao un corpo poggato su un pano orzzontale ad una olla e lo spostao d una dstanza a esso concerà ad oscllare tra a e a passando per 0 Il lavoro coputo da una olla sarà qund dato dall ntegrale ( poché F vara n unzone d ): L ( ) d k d k k k F L k k

16 Lavoro svolto da una olla() L L k k k d F spostaento Forza e spostaento sono entrab rvolt verso l centro d equlbro, sono qund equvers F L Forza e spostaento sono n verso opposto a 0 Se - a ed 0 0 a k d k a > Se 0 ed a 0 spostaento L 0 a a 0 k d a < k 0 Il lavoro coputo dalla olla per andare da a a a è qund nullo a L k d ka ka 0 a

17 Lavoro svolto da una olla(3) Graco d F-k n unzone d L area n gallno è l lavoro della orza d rchao F della olla durante lo spostaento da a a a. È evdente che le due aree trangolar ( quella corrspondente al lavoro da a a 0 e quella da 0 a a ) s annullano a vcenda, essendo state ottenute oltplcando la base par a a una volta per k ed un altra per k Poché l lavoro è propro la soa d queste due aree (tenendo conto de segn ) l lavoro è nullo Il lavoro svolto dalla orza d rchao della olla è nullo quando lo spostaento nzale rspetto all equlbro e quello nale concdano L k d k k Se L k k 0

18 Lavoro svolto da una orza applcata alla olla Supponao d spostare l blocco collegato alla olla lungo l asse della olla applcando una orza F. a Ø Durante lo spostaento : F a cope un lavoro L a, entre la orza d rchao della olla F cope l lavoro L Ø La varazone d energa cnetca del blocco sarà data dalla soa de due lavor: ΔK K K L a L Ø Se l blocco attaccato alla olla è ero pra e dopo lo spostaento la varazone d energa cnetca è nulla e qund è nullo anche l lavoro svolto. L a L Questo s può spegare tenendo conto del atto che la orza applcata e la orza d rchao hanno segno oppost e qund anche lavor eettuat dalle due orze.

19 Lavoro della orza d attrto Ø Consderao l caso dell azone della orza d attrto dnaca su un corpo n oto lungo una certa traettora C che eettua uno spostaento d lungo tale traettora. Ø La orza d attrto è sepre opposta allo spostaento ed l lavoro svolto da tale orza sarà qund sepre negatvo Traettora C Ø Il lavoro è dato da: L d dr Ndr att d µ d Ø Se la coponenete Norale alla superce è costane ( non dpende dalla poszone) S potrà scrvere: Latt µ d N dr dr d Latt µ d Nd dove d è lo spostaento eettuato dalla poszone nzale alla poszone nale lungo la traettora ( attenzone NON è la derenze tra la poszone nzale e la poszone nale poché questo ntegrale è un ntegrale d lnea e dpende dal percorso eettuato NB: Il lavoro è sepre lavoro resstente e dpende dalla traettora eettva del punto aterale. A partà d µ d ed N l lavoro dpende dal percorso e non è esprble coe derenza de valor d una unzone ne due punt d partenza ed arrvo.

20 Potenza Se v chedessero cosa derenza l otore d una Ferrar da quello d una 500 cosa v verrebbe spontaneo rspondere? Scuraente ( SPERO ) una delle rsposte sarebbe cavall otore o la Potenza Ma che cos è la potenza? Ø La Potenza è la RAPIDITÀ con cu vene svluppata una certa quanttà d lavoro: P L Δ t Potenza eda P dl dt Potenza Istantanea Ø La potenza s sura n watt (W) dove WJ/s ( spesso s trova espressa n tern d cavallo-vapore (CV) dove CV735,5W NB: Nel caso partcolare n cu una partcella s sposta lungo una drezone rettlnea sotto l azone d una orza costante F che ora un angolo θ con la drezone dello spostaento s potrà scrvere la potenza n tern della orza e della veloctà v della partcella stessa: P dl dt dl F cosθd d P F cosθ Fv cosθ P F v dt dt dt Se θ<π/ P>0 Se π/ <θ< π P<0 la orza esegue un lavoro resstente

21 Energa Potenzale Ø Un altro tpo generco d energa è l ENERGIA POTENZIALE che rappresenta l energa assocata allo stato d un sstea d corp che nteragscono recprocaente per ezzo d un capo d orze. ES: sstea pallna-terra che nteragscono edante la orza gravtazonale. Ø L energa Potenzale è energa agazznata, pronta ad essere trasorata n una qualche altra ora d energa coe ad esepo energa cnetca Esep: La olla copressa (Energa potenzale elastca), un oggetto sospeso nel vuoto ad una certa dstanza dal suolo (Energa potenzale gravtazonale) Ø Il lavoro può essere espresso oltre che edante la varazone d energa cnetca anche edante la varazone d energa potenzale Consderao l sstea pallna-terra che nteragsce attraverso la orza gravtazonale, se applchao una orza esterna al sstea per sollevare lentaente la pallna dalla quota y a alla quota y b ( spostaento Δy y b y a ) copao sul sstea un certo lavoro che, se la pallna rsulta a rposo pra e dopo lo spostaento, non può trasorars n energa cnetca ( che rane nulla). Non c è neanche varazone d energa nterna, n quanto non c è otvo che l energa della pallna auent > L energa ornta dall esterno vene agazznata pronta ad essere trasorata n energa cnetca non appena la pallna vene lascata cadere. Questa energa è propro Energa Potenzale

22 Energa potenzale () Consderao ora d lancare n ara la pallna, sappao che la orza gravtazonale svolge un lavoro L g negatvo sulla pallna che sta salendo, questo perché la orza gravtazonale sottrae energa all energa cnetca della pallna Questa energa sottratta vene agazznata sotto ora d energa potenzale gravtazonale del sstea pallna-terra La pallna rallenta no a erars e po conca a rcadere, a causa della orza d gravtà Mentre la pallna cade la orza gravtazonale questa volta svolge un lavoro postvo sulla pallna, l energa agazznata ( energa gravtazonale del sstea pallnaterra) vene ora convertta n energa cnetca della pallna. S può scheatzza re questo processo dcendo che la varazone d energa potenzale gravtazonale è par all opposto del lavoro svolto sulla pallna dalla orza gravtazonale: ΔU L g Stesso ragonaento può essere atto sul sstea blocco-olla vsto pocanz. ΔU L

23 Forze conservatve Anché s possa parlare d energa potenzale d un sstea, l sstea e le orze che agscono su d esso devono avere deternate propretà. Ø Il sstea deve consstere d due o pù oggett ed l corpo ed l resto del sstea devono nteragre edante una orza Ø Quando la congurazone del sstea caba (es: cabaent d poszone o cabaento d stato d una olla ) la orza cope lavoro (L ) sul corpo con traserento dell energa cnetca n un altra ora d energa Ø Quando s caba l senso della varazone della congurazone la orza nverte l traserento d energa svolgendo lavoro (L ) Ø Se e solo se L -L, coè se solo se l traserento d energa può essere nvertto, s può parlare d energa potenzale Ø Forze che presentano tal propretà vengono dette FORZE CONSERVATIVE Ø La orza gravtazonale e la orza elastca sono orze conservatve Ø Le orze d attrto non sono orze conservatve ( l energa cnetca vene trasorata n energa terca ed l processo non è nvertble) e l energa terca non è un energa potenzale

24 Forze Conservatve Coe accao a capre se una orza è conservatva? Ø Il lavoro coputo da una orza conservatva su una partcella che s uove tra due punt qualsas non dpende dal percorso eseguto a solo dalle poszon nzale e nale Ø Per calcolare del lavoro eseguto è qund possble utlzzare qualsas percorso collegh l punto nzale a con quello nale b. Ø Il lavoro è esprble coe derenza de valor d una unzone ne punt nale ed nzale della traettora. L Lab Lab Lab Ø Nel caso n cu s nvertano l punto nzale e nale, ovvero s nverte la drezone d percorrenza della traettora, caba solo l segno del lavoro eseguto. L L ab L ba Ø Un qualunque percorso chuso può essere pensato coe la soa d un percorso d andata tra due punt qualunque della traettora ed un percorso d rtorno tra gl stess punt. S ha qund che l lavoro d una orza conservatva che agsce su una partcella che s uove lungo un percorso chuso è nullo L L ab Lba 0

25 Deternazone dell energa potenzale () Consderao un corpo che a parte d un sstea sul quale agsca una orza conservatva F. Quando la Forza cope lavoro la varazone dell energa potenzale è par all opposto del lavoro svolto. ΔU (U U ) L Nel caso generale n cu la orza conservatva vara durante lo spostaento: ΔU L F( ) d ΔU L Ø Non esste una ora generale per l energa potenzale, a dpende dalla orza conservatva a cu s rersce. Ø L energa potenzale d una orza conservatva perette d calcolare rapdaente l lavoro eseguto su qualunque traettora. Ø Da una orza conservatva non s può rcavare lavoro se l percorso è chuso, ovvero, coe s dce, se l processo è cclco. Fdr

26 Energa potenzale e Lavoro Abbao vsto che la varazone d energa potenzale è par all opposto del lavoro svolto dalla orza conservatva agente sulla partcella acente parte del sstea n studo ΔU L A partre dalla denzone s può osservare che: Ø Se l energa potenzale auenta, l lavoro eseguto è negatvo ( l lavoro vene atto dall esterno sul sstea) ΔU Cò sgnca che non s può estrarre lavoro dalla orza durante un processo n cu l energa potenzale auenta, a sarà necessaro ornre lavoro dall esterno perché l processo sa possble. Ø Se l energa potenzale dnusce, l lavoro eseguto e postvo e s può utlzzare durante l processo. ΔU L energa potenzale ndca la capactà della orza d ornre lavoro. Ø L energa potenzale è denta a eno d una costante, natt: se aggungao (o sottraao) una costante c all energa potenzale: U ' U la nuova espressone per l energa potenzale soddsa ancora la relazone: ΔU ' U'( B) U'( A) > 0 L < 0 < 0 L > 0 c U( B) c U( A) c ΔU ΔU L L

27 Energa potenzale gravtazonale Consderao una partcella d assa che s uove vertcalente lungo l asse y da un punto y ad un punto y. Tale partcella subsce l lavoro svolto dalla orza gravtazonale. La varazone d energa potenzale sarà data da: y y y ΔU L F y) dy y g ( ( ) g dy g y gδy ΔU y gδy In sca sono portant solo le varazon ΔU d energa potenzal ( l energa potenzale è sepre denta a eno d una costante) A volte però per seplcare calcol convene assocare un partcolare valore d U ad una certo stato del sstea n cu la partcella s trova n una deternata poszone y. Se qund assocao un valore U 0 all energa potenzale del sstea nella congurazone nzale ( o d rerento) y 0, possao scrvere: Δy y y y U gy Energa potenzale gravtazonale L energa potenzale gravtazonale assocata ad un sstea partcella-terra dpende dalla poszone vertcale y della partcella rspetto alla poszone d rerento y0 y Δy y y

28 Energa Meccanca e conservazone dell Energa Meccanca Consderao un corpo che s uove dal punto A al punto B sotto l azone della sola orza gravtazonale, l lavoro coputo sul corpo è qund par sa alla varazone dell energa potenzale gravtazonale cabata d segno, sa alla varazone d energa cnetca del corpo : L AB gh ΔU U A U B gy A gy B L AB ΔT T B T A v B v A gy A gy B v B v A B y B U B gy B v gy A A v gy B B hy B -y A y K B v B U A gy A T A U A T B U B A y A K A v A v gy T U costante

29 Energa Meccanca e conservazone dell Energa Meccanca L energa eccanca E d un sstea è l energa totale data dalla soa dell energa cnetca e dell energa potenzale relatva a corp che copongono l sstea stesso. E UT Per l lavoro delle orze conservatve valgono allora due relazon: ) Teorea dell energa cnetca ( questo teorea vale per tutte le orze, conservatve e non): L v v T T ΔT ) Denzone d energa potenzale ( questa vale solo per le orze conservatve): L U U ΔU L T T ΔT ΔU U U U T U T PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA: Quando n un sstea solato agscono solo orze conservatve l energa potenzale e quella cnetca posso varare sngolarente, a la loro soa, l energa eccanca E del sstea, deve ranere costante E U T cost conservazone dell energa eccanca

30 Prncpo d conservazone dell Energa Meccanca- Applcazone E U T cost ΔE ΔU ΔT 0 Il prncpo d conservazone dell energa eccanca c perette d rsolvere n anera olto seplce proble che dal punto d vsta dnaco sarebbero olto copless

31 Energa totale e orza peso Abbao vsto che l energa potenzale gravtazonale può essere espressa coe: Ugy Sappao che, nel caso della caduta d un grave, s conserva l energa totale data da: E TU ½ v gy costante Consderao qund un corpo che scvola su un pano nclnato prvo d attrto. La reazone vncolare è sepre perpendcolare alla traettora e non cope lavoro. Se l corpo parte da ero da un altezza h, arrverà alla ne del pano con veloctà tale che: E U T gh 0 U T 0 ½ v Da cu: v gh La veloctà è qund ndpendente dalla assa del corpo (coe gà sapevao) e dall nclnazone del pano. Nel oto l energa potenzale s e trasorata n energa cnetca.

32 Esepo Consderao un caon che scendendo da una dscesa ncontra po una salta che ha una pendenza d 5. Quando arrva alla salta ha una veloctà d 30 k/h. Calcolare la dstanza na L dall nzo della salta che l caon deve percorre pra d erars ( non c è attrto ed l plota togle la arca). E cost T U T U h Stato nzale ( caon che aronta la salta): T v U 0 Stato nale ( caon che s era): T 0 U gh glsn( 5 ) h Lsn( 5 ) Conservazone dell energa eccanca: E v glsn( 5 ) L v g sn 5 ( ) v g sn( 5 ) ( 36. s)

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34 Energa potenzale elastca Consderao un sstea blocco-olla con l blocco attaccato ad una delle estretà della olla d costante elastca k. Durante lo spostaento del blocco dalla poszone alla poszone la orza d rchao F-k cope del lavoro sul blocco. La varazone d energa potenzale sarà data da: ΔU L F ()d ( k)d k k Δ y ΔU k y ( ) Analogaente a quanto atto per l energa potenzale gravtazonale, assocao un valore d U ad una poszone d rerento. Ponao U0 quando 0 (coè quando l blocco passa per la poszone d equlbro della olla) U k Energa potenzale elastca

35 Energa totale e orza elastca Nel caso d una orza elastca s conserva l energa eccanca data dalla soa: Ø Quando la olla vene copressa oppure dlatata auenta lo spostaento e qund l energa potenzale. Ø Anché l energa eccanca del sstea s conserv, l energa cnetca (e la veloctà del corpo) deve dnure, no al lte d assa copressone o dlatazone n cu s ha : a E cost T U v k T 0 ed U U a E Ø Durante l processo d allungaento o copressone della olla, la olla cope lavoro resstente Ø Quando la olla torna verso la sua poszone d rposo l energa potenzale s trasora n energa cnetca: U dnusce e T auenta nché nella poszone 0 s ha: 0 U 0 e T T a E Ø Durante l processo d scarcaento della olla la olla cope lavoro otore Quando la olla passa per l punto d equlbro la veloctà raggunge l valore asso (n odulo). NB: Il lavoro totale coputo durante una oscllazone copleta è NULLO.

36 Esepo: l pendolo Pendolo: Un corpo d assa è ssato ad un punto trate un lo nestensble d lunghezza L (oppure ad un astcella d assa trascurable) sottoposto alla orza peso. Il corpo è, ogn stante, sottoposto sa alla orza peso P, sa alla tensone del lo T, che lo antene a dstanza costante L dal punto sso, ed è dretto coe l lo. L o s p o s t a e n t o è s e p r e perpendcolare alla tensone del lo, lungo una traettora crcolare

37 Esepo: l Pendolo () Dato un pendolo costtuto da un lo nestensble d lunghezza L e da una assa attaccato ad esso, deternare la veloctà del pendolo nel punto pù basso d oscllazone se l angolo asso d oscllazone è θ a Le orze che agscono sul pendolo sono la tensone del lo T e la orza peso P. Lo spostaento è sepre lungo la tangente alla traettora crcolare che cope la assa durante la sua oscllazone La tensone del lo qund non cope lavoro n quanto stante per stante è perpendcolare allo spostaento. Il lavoro è svolto solo dalla orza peso. La varazone d energa potenzale sarà qund : Sceglao coe rerento per le quote la quota na. Durante l oscllazone s conserva l energa totale data da: E TU½ v gy costante L P ΔU gy gy Nella poszone d assa altezza avreo: E U gy a gl ( - cosθ a ) (K0) Nella poszone d na quota avreo nvece: E K / v (U0) ( ) / v gl( - cosθ a ) v gl cosθ a y a

38 L cosθ a θ a L L-L cosθ a L(- cosθ a )

39 Lavoro svolto su un sstea da una orza esterna Consderao una orza esterna che agsce su un sstea. Il lavoro è l energa traserta a o da l sstea per ezzo della orza esterna che agsce su d esso Sstea Sstea L>0 Energa traserta al sstea L<0 Energa sottratta al sstea Ø Se l sstea è costtuto da un unca partcella puntore l traserento d energa avvene solo attraverso la varazone d energa cnetca Ø Se l sstea è pù coplesso la varazone d energa può avvenre anche attraverso altre ore (es: energa potenzale)

40 Lavoro delle orze non conservatve Ø Nel caso n cu agscano orze non conservatve, qual la orza d attrto, non s può denre una energa potenzale. Ø Il lavoro dpende dalla traettora Ø È sepre valdo l teorea dell energa cnetca: Ø Se agscono conteporaneaente orze conservatve e orze non conservatve l lavoro coputo sul sstea sarà dato dalla soa del lavoro coputo dalle orze conservatve e da quello coputo dalle orze non conservatve: L L c L nc Fc dr t #" non dp. dal percorso Fnc dr t #" dp. dal percorso L F t dr ΔU c L nc v v v L nc ΔU c L Ma è vero anche che: L v v s può qund scrvere: L nc ΔU c U c U c v v ( U c T ) ( U T ) E E ΔE c Il lavoro delle orze non conservatve è par alla varazone d energa eccanca L nc ΔE

41 Sste d punt ateral -Forze nterne ed esterne F j P F j F j P j F j Ø Consderao un sstea d n punt ateral, nteragent tra loro e con l resto dell unverso. Ø In generale sul punto j agranno orze eserctate dagl altr n- punt ateral I dette orze nterne F e le orze eserctate da agent estern al sstea, dette orze E esterne F. Ø La orza agente sul sngolo punto j e data dalla rsultante d tutte le orze agent: Ø Per le orze nterne vale l prncpo d azone e reazone: per ogn orza nterna F esste un altra orza nterna F tale che F j - F j. j F j I F n nj j k F E k

42 Sste d punt ateral -Forze nterne ed esterne F nj Ø Consderao la rsultante d tutte le orze agent su tutt punt d un sstea: R Ø Le orze nterne s annullano a coppe qund: F j Fj Fnj j j n k Rsultante delle orze agent sul j-so puntodel sstea n S ha che: La rsultante delle orze agent su un sstea è par alla rsultante delle sole orze esterne R Soa d tutte le orze ESTERNE agent sul j-so punto del sstea j k k F E k F E k Soa d tutte le orze ESTERNE agent sul j-so punto del sstea R I R E I R F nj Fnj 0 j n jn F E R k Soa d tutte le orze INTERNE agent sul sstea E Soa d tutte le orze INTERNE agent sul sstea

43 Quanttà d oto() Nuova grandezza : la quanttà d oto p Ø La quanttà d oto d un corpo d assa è un vettore par al prodotto della vettore veloctà oltplcato per la assa del corpo stesso p v Ø La quanttà d oto ha stessa drezone e verso del vettore veloctà Ø Questa grandezza racchude n sé sa le propretà d oto del corpo che d resstenza alla odca d tale oto. Ø La quanttà d oto ha un sgncato pù generale della assa o della veloctà prese sngolarente, e dstngue tra corp d asse dverse che s uovono con stessa veloctà. Ø Le denson della quanttà d oto sono [M][L][T] - e l untà d sura è kg /s Ø La quanttà d oto d un corpo spesso è chaata oento del corpo Ø Se l corpo s uove n una drezone qualsas dello spazo, p s può descrvere edante le sue tre coponent lungo,y e z: p p î p y ĵ p z ˆk dove: p v # " p y v y # $ # p z v z

44 Quanttà d oto() La quanttà d oto perette d denre la seconda legge d Newton n una ora generalzzata. La ora che abbao vsto : vale natt solo nel caso n cu ranga costante. Rorulando questa legge edante la quanttà d oto, s ncludono anche cas un cu vara. Legge d Newton generalzzata: La rapdtà d varazone della quanttà d oto ( la sua dervata ) d un corpo è proporzonale alla rsultante delle orze che agsce sul corpo ed ha la stessa drezone F d p dt F a Fora generalzzata della legge d Newton Naturalente se è costante le due orule concdono: F d p dt d ( v) dt d v d v dt dt d v dt a 0 La quanttà d oto d una partcella vara se su d essa è applcata una orza rsultante non nulla

45 Sste d punt ateral -Forze nterne ed esterne F j P F j F j P j F j Ø Consderao un sstea d n punt ateral, nteragent tra loro e con l resto dell unverso. Ø In generale sul punto j agranno orze eserctate dagl altr n- punt ateral I dette orze nterne F e le orze eserctate da agent estern al sstea, dette orze E esterne F. Ø La orza agente sul sngolo punto j e data dalla rsultante d tutte le orze agent: Ø Per le orze nterne vale l prncpo d azone e reazone: per ogn orza nterna F esste un altra orza nterna F tale che F j - F j. j F j I F n nj j k F E k

46 Sste d punt ateral -Forze nterne ed esterne F nj Ø Consderao la rsultante d tutte le orze agent su tutt punt d un sstea: R Ø Le orze nterne s annullano a coppe qund: F j Fj Fnj j j n k Rsultante delle orze agent sul j-so puntodel sstea n Soa d tutte le orze ESTERNE agent sul j-so punto del sstea S ha che: La rsultante delle orze agent su un sstea è par alla rsultante delle sole orze esterne R j " $ # k k F E k F E k Soa d tutte le orze ESTERNE agent sul j-so punto del sstea R I R E I R F nj Fnj 0 j n jn F k E Soa d tutte le orze INTERNE agent sul sstea % ' R E & Soa d tutte le orze INTERNE agent sul sstea Un sstea per l quale rsulta che la rsultante delle orze esterne agent su d esso è nulla s dce ISOLATO Un sstea che non scaba assa con l esterno s dce CHIUSO

47 Quanttà d oto d un sstea solato Se consderao un sstea solato (R E 0), costtuto da due o pù partcelle la quanttà d oto totale P d tale sstea, dato dalla soa delle quanttà d oto delle partcelle che lo copongono ( P p ), s conserva Per seplctà consderao un sstea costtuto da due partcelle d assa ed che nteragscono tra d loro. L nterazone tra le due pallne per l terzo prncpo della dnaca avvene edante una coppa d orze F e F tal che: F F F F 0 Per l secondo prncpo della dnaca questa relazone s può rscrvere: d v a a 0 dt d v dt 0 Se la assa delle due partcelle rane costante nel tepo s può trasorare la soa d dervate n una dervata della soa: d( v d v v ) ( ) d ( v ) 0 0 dt dt dt Ma: d( v v ) la quanttà d oto totale del d ( p p ) d P sstea solato dt dt dt 0 P S trova qund che: d P n un sstea solato la varazone 0 P costante della quanttà d oto totale del dt sstea è nulla e rane costante P

48 Esepo dell arcere Un arcere d assa A 60kg è ero su un blocco d ghacco ( assenza d attrto) e tra una recca d assa F 0.50 kg orzzontalente a 50/s. L arcere concerà a uovers edataente dopo l lanco? Se sì, con quale veloctà? Questo eserczo non può essere svolto solo utlzzando la conservazone della quanttà d oto del sstea ARCIERE-FRECCIA Il sstea n realtà non è solato n quanto sa sulla recca che sull arcere agsce la orza gravtazonale e la norale. Queste orze però sono perpendcolar al oto del sstea. Non esstono qund orze esterne che agscono lungo l asse orzzontale e possao consderare l sstea solato lungo tale drezone. La quanttà d oto totale del sstea lungo la drezone orzzontale s deve conservare: A v A F v F A v A F v F A v A F v F costante Poché pra del lanco la quanttà d oto del sstea era nulla anche dopo l lanco essa dovrà rsultare nulla, qund poché la recca s uove anche l arcere s dovrà uovere n odo da copensare con la sua quanttà d oto la quanttà d oto della recca: A v A F v F 0 A v A F v F 0 v A F A v F 0.4 s

49 Ipulso e quanttà d oto Abbao vsto che la quanttà d oto d una partcella vara se su d essa agsce una orza rsultante non nulla: F d p Rscrvao questa relazone esplctando dp e qund ntegrao per ottenere la varazone della quanttà d oto nell ntervallo d tepo Δtt -t : d p Fdt dt d p p p Δ p t t Fdt Questo ntegrale della orza rspetto al tepo è dento IMPULSO DELLA FORZA I t t Fdt L pulso è un vettore che ha stessa drezone della varazone della quanttà d oto e le denson della quanttà d oto Quando la orza applcata è costante (nel tepo) l pulso è dato seplceente dal prodotto della orza per l ntervallo d tepo n cu essa è applcata I FΔt Δ p Δp I

50 Ipulso per un sstea d corp Nel caso d un sstea d partcelle sul quale agsce una orza rsultante esterna che produce qund una varazone della quanttà d oto totale del sstea s ha: I t t Rdt ΔP dove R Fest L pulso passato ad un sstea è par alla varazone della quanttà d oto totale del sstea nell ntervallo d tepo Δt Qund, quando vene dato ad un sstea un pulso, sgnca che una certa quanttà d oto vene ornta al sstea dall esterno NB: per coe è dento l pulso, gracaente esso è uguale all area sottesa alla curva F(t) n unzone d t, nell ntervallo d tepo copreso tra t e t. Introducendo l concetto eda teporale della orza rsultante eda rsultante R Δ Rdt eda t s può esprere l teorea dell pulso trate la relazone equvalente: ΔP Nel caso partcolare che la orza rsultante sa costante nel tepo l pulso può essere rscrtto nella ora: t I R Δt I ΔP I t t Fdt RΔt R R F eda costante

51 Forze pulsve ed urt Approssazone dell Ipulso: Ø In olte stuazon s può assuere che una delle orze agent su una partcella agsca per un breve ntervallo d tepo, a che n tale ntervallo sa olto pù ntensa delle altre. Ø In questa approssazone s può trascurare l contrbuto all pulso da parte delle altre orze agent e la varazone d quanttà d oto della partcella sarà deternata dall pulso della sola orza donante. Ø Negl urt tra partcelle s assue che la utua nterazone tra le partcelle nell urto sa olto pù ntensa d tutte le orze esterne. Ø L urto può essere dovuto ad un contatto sco tra due corp (valdo solo a lvello acroscopco) o ad un nterazone olto ntensa che non prevede l contatto sco ( urto a lvello croscopco) Ø Quando due partcelle d assa ed s urtano e consderao queste due partcelle coe un sstea solato, la loro quanttà d oto totale s conserva natt: Δp Fdt Δp Δp Δp Fdt 0 p dove F F Δp Δp p p p P P 0 cost % % p $ #" % % p p $#" p % % P P

52 Urt Abbao appena vsto che negl urt s conserva la quanttà d oto del sstea, n generale però NON s conserva l energa cnetca. Propro n unzone del coportaento dell energa cnetca gl urt vengono derenzat n tre categore: Ø Urt elastc ne qual s conserva anche l energa cnetca del sstea ΔK0 Ø Urt anelastc ne qual NON s conserva l energa cnetca del sstea ΔK 0 Ø Urt perettaente anelastc ne qual NON s conserva l energa cnetca del sstea (ΔK 0) ed corp dopo l urto rsultano unt l uno all altro e s coportano coe un sngolo corpo d assa Mentre la quanttà d oto s conserva n tutt tp d urt, l energa cnetca s conserva solo negl urt elastc

53 Urt elastc (non c è dsspazone d energa cnetca) Consderao due partcelle d assa ed, che s uovono lungo una retta con veloctà nzal v e v Nell urto elastco valgono le relazon: v v v v Conservazone della quanttà d oto Conservazone dell energa cnetca v v v v # " v v v v # $ da cu (nel caso d oto n una densone) s può rcavare che: " v % " $ # ' v % & $ # ' v $ v & # " & v $ % # " & v % (dostrazone alla lavagna) NB: le veloctà possono essere postve negatve o nulle

54 Urt elastc- qualche caso partcolare " v % " $ # ' v % $ & # ' v $ v # & " & v # % " $ & v % Ø Se Ø Se la partcella è nzalente n quete ( ) Ø Se >> e Ø Se >> e v v v 0 v 0 v v v v v v v 0 v v Coè n un urto rontale tra due partcelle ugual queste s scabano la veloctà v 0 " v % $ # ' v & $ v # " & v % Coè se una assa olto pesante urta una assa leggera nzalente era, la pallna olto pù pesante prosegue ndsturbata l suo oto entre la assa pù pccola rbalza con veloctà doppa rspetto a quella nzale della partcella pesante Coè se una assa olto leggera urta una assa olto pesante nzalente era, la pallna leggera nverte la sua drezone antenendo costante la sua veloctà entre quella pesante rane era

55 Urto perettaente anelastco Consderao due partcelle d assa ed, che s uovono lungo una retta con veloctà nzal v e v Dopo un urto perettaente anelastco tra le due partcelle esse rsultano use nsee e s uovono con una stessa veloctà nale v La quanttà totale del sstea s conserva: ( ) v v v v v v Conoscendo qund le veloctà nzal delle due partcelle è possble calcolare la veloctà nale coune

56 Sstea d punt In generale, per deternare copletaente l oto d un sstea costtuto da n punt ateral, s deve rsolvere un sstea d 3n equazon. Abbao natt che: Il oto del sstea verrà descrtto da n equazon vettoral (una per cascun punto): j a j F j con j,n Ed ognuna d queste equazon vettoral può essere rscrtta coe tre equazon lungo,y,z: j a j F j j a jy F jy j a jz F jz j,n Denao allora per cascun punto -so le seguent grandezze: Poszone: Accelerazone: Moento Angolare: r a F L r v veloctà quanttà d oto energa cnetca v p v T v Per l sstea coplessvo d punt denao noltre: Quanttà d oto totale del sstea Moento angolare totale del sstea Energa cnetca totale del sstea P L v r v p L T v T

57 Centro d assa d un sstea Descrvere l oto d un corpo esteso o d un sstea d punt può rsultare olto coplcato dato che ogn punto del corpo s uove n anera derente dagl altr seguendo traettore derent Consderao per esepo una azza da baseball che vene lancata roteando n ara. Benché l oto sa coplcato e derente per cascuna parte della azza, esste un punto della azza che s uove coe se n esso osse contenuta tutta la assa della azza e coe se tutte le orze esterne agssero su d lu > oto parabolco Centro d Massa: d un corpo o d un sstea d corp è l punto che s uove coe se tutta la assa osse contenuta n esso e coe se tutte le orze esterne agssero su d esso Perette qund d descrvere l oto coplessvo del sstea Dal punto d vsta ateatco, s densce centro d assa d un sstea d punt ateral l punto geoetrco la cu poszone è ndvduata dal raggo vettore: r Poszone eda, r r 3r3 4r4 R c n n r n pesata n unzone delle asse

58 Centro d Massa n n n... r... r r r r r c R Esepo: Centro d assa d due partcelle d assa ed Poste entrabe sull asse c Se >, c s troverà pù vcno alla poszone k z j y r ˆ ˆ ˆ dove k z j y R c c c c ˆ ˆ ˆ c R

59 Centro d assa Esepo: Centro d assa d tre partcelle d assa ed ed 3 coe ostrate n gura r r r r c R b d b d b d b d d c ) ( 4 ) ( h y h y y y c y d r 0 y b d r 0 h y b d r bj b d j y R c c c ˆ 7 4 ˆ 7 5 ˆ ˆ

60 Moto d un sstea d partcelle Consderao un sstea costtuto da n punt ateral. Assuendo che la assa totale del sstea ranga costante possao deternare la veloctà del centro d assa ntegrando l vettore poszone del CM: v c dr dr dt dt M Rcordando la denzone d quanttà d oto totale del sstea: Possao scrvere: M v c v c P M Veloctà del centro d assa Quanttà d P Mv c oto totale del sstea P p v La quanttà d oto totale del sstea è par al prodotto della assa totale del sstea per la veloctà del suo centro d assa> coè è uguale alla quanttà d oto d una partcella d assa M che s uove con veloctà v c

61 Moto d un sstea d partcelle () Analogaente a quanto atto per la veloctà s può rcavare l accelerazone del centro d assa: a c dv dv dt dt M a c Se l sstea d rerento è nerzale: a nt Fj j j et j nt Rcordando che la rsultante delle orze nterne è nulla: a c M a M F F est R M F F et R est Ma c Teorea del centro d assa: Ø l centro d assa s uove coe un punto aterale n cu sa concentrata tutta la assa del sstea ed a cu sa applcata la rsultante delle orze esterne, oppure, Ø la rsultante delle orze esterne agent sul sstea d partcelle è uguale alla assa totale del sstea oltplcata per l accelerazone del centro d assa