Sistemi di forze applicati ad un corpo rigido

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1 Sste orze applcat a un corpo rgo C ltereo a conserare un corpo rgo che s uova oto pano, coè tale per cu tutt vettor spostaento che nvuano punt che lo costtuscono s antengano sepre parallel a uno stesso pano. Supponao che tale oto sa l rsultato ell applcazone un sstea orze: F r 1, F r 2,.. F r N anche esse parallele allo stesso pano. Sappao gà che n tale caso l oto pù generco possble è quello una rototraslazone parallela al pano: lo scopo quanto segue è quello etterc n grao are alcune prevson su qual saranno le caratterstche el oto a partre alla conoscenze el sstea orze n questone. La straa che segureo sarà quella rconurre l sstea orze ato a un altro pù seplce, che reo equvalente. Charaente suo eett al punto vsta el oto el corpo ovranno essere entc a quell el sstea partenza. F r 1 F r 2 F r 2 F r 1 F r 3 F r 4 DUE SISTEMI DI FORZE SI DICONO EQUIVLENTI SE I LORO EFFETTI SUL MOTO DI UN CORPO RIIDO SONO LI STESSI Per un generco sstea orze è possble enre l rsultante r R ottenble trate una soa vettorale. Nel caso un punto aterale questa granezza esaursce tutte le norazon che occorrono per enrne l oto. Il otvo è seplce: per un punto non è possble stnguere un oto rotazone a un oto traslazone, entrab s svluppano lungo una traettora a una sola ensone e è sucente conoscere ntenstà, rezone e verso el rsultante per rcavare le legg orare. La lbertà ulterore ovento cu goe un corpo rgo, coè la sua possbltà ruotare, coporta però la necesstà avere norazon agguntve. E necessaro assocare a cascuno e vettor che nvuano le orze F r 1, F r 2,.. F r N che costtuscono l sstea un punto applcazone. Non è natt nerente, al punto vsta egl eett sul oto un corpo rgo, ar agre una orza n poszon verse pur anteneno la sua rezone parallela a una retta ssata. Cò che caba è la capactà tale orze ar ruotare l corpo attorno a un generco asse, che nel caso oto pano potrà essere solo perpencolare al pano. Scegleno un asse a nostro pacento, perpencolare al pano, l norazone sulla capactà ar ruotare attorno a esso el sstea orze n azone, sarà ornta alla soa e oent tutte le orze rspetto a tale asse. Dsegnano la proezone el corpo su un oglo, conveneno conserare postv oent τ ovut a orze che proucono rotazon antorare rspetto all asse, chaereo oento rsultante el sstea rspetto a tale asse, la granezza: r r r τ τ ± F b1 ± F2 b2 ± F3 b3 1 ± ove b sono bracc elle orze, vale a re le stanze elle rette azone cascuna elle F r al punto n cu l asse buca l pano. In gura l punto P nca l ntersezone ell asse scelto con la rotazone e le lnee tratteggate rappresentano bracc elle orze. Charaente l valore el oento rsultante penerà a qual è l asse che s scegle. Sottolneao anche che tanto la retta azone quanto l punto applcazone el rsultante el sstea non sono... r F 1 F r 1 F r 3 F r 4 P R r F r F r 3 2 F r 4

2 eternabl attraverso la soa e vettor eettuata con l etoo puntacoa o el parallelograa. Tale tecnca, che consente soare vettor, coè class equvalenza segent equpollent, ornsce soltanto l ntenstà el rsultante e una rezone, quella ella agonale el parallelograa, alla quale rsulta essere parallelo 1. Un sstea olto seplce orze è quello qu a anco llustrato, enonato coppa. Esso è costtuto a ue orze par ntenstà, parallele a rette n vers oppost: l suo rsultante è charaente nullo. S rcava aclente la seguente propretà: qualunque sa l asse che s scegle, l oento cascuna orza rspetto a tale asse eventeente varerà, a l oento rsultante ella una coppa sarà sepre ato al prootto ell ntenstà coune, F, per la stanza ra le rette azone, b, etto anche bracco ella coppa: τ Fb. Il oento una coppa nca la sua capactà ar ruotare un qualunque segento solale con l corpo e parallelo a quello che rappresenta b n gura. E possble noltre ostrare la valtà el seguente teorea: F r b F r L ZIONE DI UN ENERICO SISTEM DI FORZE SU DI UN CORPO RIIDO CHE SI MUOV DI MOTO PINO, È EQUIVLENTE QUELL DEL DEL SISTEM, PPLICTO IN UN PUNTO P SCELTO RISULTNTE R r RITRRIMENTE, INSIEME QUELL DI UN COPPI DI FORZE CHE I, RISPETTO D UN SSE PERPENDICOLRE L PINO E PSSNTE PER P, LO STESSO MOMENTO RISULTNTE τ DEL SISTEM. Una elle pre conseguenze questo portante rsultato è la possbltà spostare una orza F r qualunque lungo la sua retta azone. In questo oo natt non s altera né la rsultante el sstea orze né la sua capactà ar ruotare attorno all asse passante per P, e qun non ne vene ocato neeno l valore el oento totale τ rspetto all asse. Esste anche la possbltà spostare una orza F r, nzalente applcata n un punto, n oo che s antenga parallela alla sua retta azone a sa applcata n un punto verso,. Dato che la rsultante non ne rsulta alterata, per are cò basterà copensare l cabaento che questa operazone coporta sul oento rsultante. tale scopo s ovrà applcare al corpo una coppa trasporto, nteneno con cò una qualsas coppa orze che abba rspetto a un asse passante per l punto lo stesso oento che aveva pra F r quano era applcata n. Inatt, ato che la rsultante una coppa orze è counque nulla, per l teorea su esposto tutte le coppe uguale oento sono equvalent. llora basterà usare coe coppa trasporto una qualunque copp equvalente alla F r ' e F r '' n gura, cascuna orza avente ntenstà par a quella F r. Questa ulta rlessone sull equvalenza tutte le coppe uguale oento, è portante quano s è trovato l sstea equvalente a un sstea orze ato che abba rsultante R r e oento rsultante τ rspetto a un asse passante per P. S applcherà R r n P, e po una coppa qualunque oento τ n un punto a pacere el corpo rgo: sappao natt che la sua capactà ar ruotare attorno all asse per P non pene al punto ove la coppa è applcata. F r ' F r '' F r 1 Per soare vettor applcat occorre operare la costruzone el cosetto polgono uncolare, l quale consente conoscere la retta azone el rsultante, e, se reterato su un sstea orze ruotato rspetto all orgnale, anche l punto applcazone. 2

3 Il barcentro un corpo rgo Se l corpo rgo è soggetto all azone un sstea orze, per conoscerne gl eett sul oto, ovreo esegure l calcolo el oento rsultante τ, per va retta, seplceente soano oent tutte le orze convolte, e el rsultante R r, applcano l etoo punta coa n sequenza. Una grane seplcazone è tuttava possble nel caso n cu l sstea sa costtuto a orze tutte parallele, coe accae nel caso elle orze ovute alla gravtà, che agscono n rezone vertcale su cascuno e punt ateral che copongono un corpo rgo. In questo caso natt esste punto, etto centro el sstea orze, che ha la notevole propretà per cu, a n egl eett oto coplessvo, possao agnare che l ntero sstea orze s ruca solaente a applcare n tale punto l rsultante R r. Nella nostra trattazone seplcata n ue enson, l centro un sstea orze coe quello segnato a lato, nvuerà un asse perpencolare al pano el oglo, rspetto al quale la soa e oent tutte le orze el sstea sa zero. Inatt, coe abbao vsto, applcare un sstea orze a un corpo rgo è equvalente a applcare l suo rsultante n un punto qualunque nsee a una coppa che abba per oento l oento rsultante el sstea rspetto all asse che passa per tale punto. Pertanto se voglao che l rsultante equvalga, a solo, all ntero sstea ovreo applcarlo n un punto tale che la soa oent rspetto all asse perpencolare al oglo e passante per esso sa nulla. In questo oo sarà nullo anche l oento ella coppa che avreo ovuto aancare al rsultante, che è propro quello che s sta cercano ottenere. Inzao con l caso seplce un sstea ue sole orze parallele e conserao l loro oento rsultante rspetto a un asse, qu ncato con che s trov ra le loro rette azone e sa perpencolare al pano el oglo. Per eettuare l calcolo prenao un asse che ntercetta la congungente e punt applcazone elle ue orze F v e F v, a è acle veere che l rsultato non caba se s trasla l asse parallelaente alle rette azone elle ue orze. Cerchao qun qual è la stanza a tale che sa zero la soa e oent: F b F b 0 ove l segno eno tene conto el atto che F v tene a ar ruotare n verso oraro attorno a. In un rerento cartesano avreo b e b a cu: F r b R r b F r v v F ( ) F ( ) 0 ( F + F ) F + F F + F r R r ove, esseno le orze parallele s è sruttato l atto che: R F + F. Se qun ponao l asse lungo una qualunque retta vertcale avente per ascssa l valore trovato, l oento rsultante el sstea orze rspetto a esso 3

4 sarà nullo. Per trovare anche l ornata el punto tornao alla relazone F b F b 0, che rscrvao coe: v F v F b b ove l ulta uguaglanza segue a seplc otv sltune e trangol convolt. Se ora ruotao entrabe le orze un angolo qualunque attorno al loro punto applcazone, le lunghezze e segent e non utano, l che sgnca che la conzone cu eve sosare l barcentro non caba. Il rsultante, che s può pensare applcato n, ruoterà anch esso ello stesso angolo attorno al suo punto applcazone. Per quanto etto, se la rotazone che eettuao è 90 possao aclente rcavare la coornata el centro el sstea rpeteno l ragonaento: F r F r R r F + F r R Se ne conclue che s trova sul segento congungente punt applcazone elle ue orze, a una stanza a e a nversaente proporzonale alle ntenstà elle orze stesse. Tutto questo ragonaento è aclente estenble a un sstea N orze parallele coe quelle gravtà che agscono su cascuno e punt che costtuscono un corpo rgo, per cu rsulta ento per ogn corpo rgo un punto, etto n questo caso barcentro, coornate: ; g g M Tot g g M Tot rspetto al quale la soa e oent elle orze gravtà rsulta zero. Le orze gravtà che agscono su cascuna elle partcelle che copongono l corpo non hanno pertanto la capactà arlo ruotare attorno al suo barcentro, e pertanto è l punto n cu può pensars applcato l rsultante elle orze. Sebbene le coornate sano n ogn caso nterne a un rettangolo nvuato alla assa e na ascssa, e alla assa e na ornata e punt el corpo, può anche rsultare esterno a esso. Nel caso n cu sa nterno al corpo potreo eettvaente sostture all ntero sstea orze l suo rsultante applcato n. Nel caso n cu sa esterno, potreo counque utlzzarlo coe punto agnaro applcazone elle orze gravtà al ne seplcare alcun calcol, coe a esepo l oento ella gravtà rspetto a un qualunque altro asse, oppure l calcolo el lavoro ella orza gravtà. 4

5 Deternazone el barcentro Le orule rette per l calcolo elle coornate el barcentro un corpo sono eata applcazone nel caso esso sa costtuto a un sstea punt. 2 Veao alcun esep a) Una coppa asse puntor ugual. 1g + 2g g + 2g ; g + g 2 g + g 2 coe s vee l barcentro s trova a età straa ra le ue asse, posto sul segento che le congunge b) Una coppa asse puntor erent nzché are l calcolo retto esuereo norazon poneno l asse lungo la congungente e l asse n. vreo 0 e 0, però se con e s ncano le stanze alle asse rsulta: coè l barcentro è pù vcno alla assa pù pesante ra le ue. Se a esepo s hanno ue punt cu uno pesa tre volte l altro rsulterà: o anche:, coè la stanza a è tre volte quella a. 3 Nel caso sste contnu non è possble avvalers ella orula per punt, tuttava vale la propretà seguente: PROPRIETÀ DISTRIUTIV DEL RICENTRO: IL RICENTRO DI UN CORPO SI PUÒ OTTENERE SUDDIVIDENDOLO IN ELEMENTI ED IMMINNDO L MSS DI CISCUNO CONCENTRT NEL PROPRIO RICENTRO. c) Una sbarretta oogenea pplcano la propretà strbutva la possao veere coe una sere coppe asse puntor ugual. veno cascuna coppa l barcentro nel punto eo, quella sarà anche la poszone ella sbarretta ) Un corpo otato un asse setra Se una gura pana ha un asse setra possao agnare suverla n tante sbarrette con centro setra su quell asse. Con questo approcco estenao aclente l rsultato preceente per cu l barcentro s troverà scuraente sull asse setra. 2 Detto anche sstea screto 5

6 Se gl ass setra sono pù uno, allora rpeteno l ragonaento trovao che gacerà sul loro punto ncontro. E l caso un quarato, un cercho, un anello, l cu barcentro sarà nel loro centro geoetrco. Se l corpo ha tre enson l ragonaento s può rpetere per cu rsulta che corp sol regolar coe sere, clnr o paralleleppe rett hanno l barcentro nel punto ncontro e loro ass setra. e) Un trangolo peno Una lana pana a ora trangolo s presta a un calcolo el barcentro trate suvsone n barrette parallele a uno e lat. Ognuna esse avrà l suo barcentro nel punto eo, pertanto anche l barcentro el trangolo gacerà sul segento coune a tutt punt e e coè la eana el lato a cu le barrette sono parallele. Rpeteno l ragonaento per un altro lato s ostra così che l barcentro s trova nel punto ncontro elle eane. Osservao che un rsultato analogo vale per un trangolo costtuto a tre asse ugual poste ne suo vertc. In questo caso possao applcare la propretà strbutva sosttueno alle asse e una assa par alla loro soa a posta nel loro barcentro, coè nel punto eo el lato. Sappao ora che l barcentro el sstea e ue punt C e + gace sulla loro congungente, che n questo caso è la eana el alto. Rpeteno l ragonaento per un altra coppa è ostrato che l barcentro s trova sul punto ncontro elle eane. C 2 1 ) arcentro un generco quarlatero peno asterà vere l quarlatero n ue trangol uneno con un segento ue suo vertc non consecutv. Sosttueno po cascuno e ue trangol con una assa puntore posta nel suo barcentro, ovvero nel punto ncontro elle eane, ne rcavao che l barcentro el quarlatero eve gacere sul segento 1 2 che unsce ue punt coe n gura. Rpeteno l ragonaento per una suvsone n trangol versa el quarlatero, s avrà che ora ovrà stare sul segento 3 4. Ne consegue che s troverà all ncontro e ue segent 1 2 e