e quindi per gli altri punti iterando la serie di operazioni effettuate su x

Transcript

1 Moellzzazone alcun proble sca con l PC : ntegrazone nuerca ell equazone el oto L esperenza n atera utlzzo elle tecnologe noratche al serzo ell nsegnaento ella sca nsegna che l coputer può essere un alo struento nelle an egl stuent perché aclta l apprenento e rene pù nteressant gl argoent nagne, consentenone l aplaento e la rlessone In questo percorso s ocalzza l attenzone su un problea sco e c s propone rappresentarlo e controllarlo attraerso l elaboratore Anche se non s possono sconoscere a queste atttà acquszon specche nell utlzzo el coputer, n partcolare el oglo elettronco Ecel, lo scopo praro è quello usare l ezzo noratco per l potenzaento nella escrzone e nterpretazone alcun enoen sc Inatt, oltre a consolare capactà lettura e nterpretazone at, la possbltà erca e controllo consente quell osserazone ragonata el enoeno e la euzone eprca legg e relazon gà note agl stuent alla teora o alle sure sperental Può rsultare nteressante aancare queste atttà con quelle sulazone eettuate con apposto sotware Alla base elle atttà è l applcazone ella secona legge ella naca, etta legge el oto n quanto, a partre alla conoscenza elle orze applcate a un corpo,s può rcaare la legge orara el oto attraerso la sua ntegrazone Nel caso el oto rettlneo unoreente accelerato o el oto crcolare unore è possble con calcol eleentar eternare la eloctà e lo spazo n unzone el tepo In altr cas la eternazone ella eloctà e ella poszone n unzone el tepo necessta eto anals ateatca che non sono copres ne progra nsteral ;cò perché l equazone : F = a è un equazone erenzale el secono orne S può counque rsolere l equazone el oto anche n quest cas utlzzano un etoo calcolo approssato,l etoo Eulero seplce, noto coe etoo ell ntegrazone nuerca ell equazone el oto; esso perette calcolare la eloctà e la poszone n corrsponenza un nsee screto alor el tepo Qualunque etoo ntegrazone un equazone è basato sulla proceura n cu s sue l nterallo enzone [a,b] ella arable npenente n un nuero n nterall nt, solto uguale apezza = ( b a) La soluzone ell equazone è allora calcolata ne punt a n b n =,,, = 1 a partre al punto nzale 1 e qun per gl altr punt terano la sere operazon eettuate su 1 La arable npenente n abto sco è l tepo Supponao, a esepo, oler stuare l oto n un nterallo tepo T a partre all stante nzale t= Dso l nterallo tepo, attraerso un certo nuero n punt,n n nterall apezza = T / n, l applcazone el etoo Eulero consste nel calcolare la eloctà e la poszone nal n ogn nterallo tepo supponeno che n tale nterallo l accelerazone, calcolata attraerso l rapporto F/, sa costante e uguale al alore che assue all nzo ello stesso nterallo tepo Per coprenere la necesstà el etoo nuerco che s uole utlzzare, gl stuent eono conoscere sa le granezze cneatche eloctà e accelerazone ee che quelle stantanee ;anz s può re che graze a queste atttà potrà rsultare pù chara la erenza tra alore eo e alore stantaneo Partao alle enzon eloctà ea e accelerazone ea : s = e a = ; esseno s = s s, = e t = t t con t e t, s e s, e rspettaente l stante nale e nzale ell nterallo tepo t, la poszone nale e nzale, la eloctà nale e nzale n tale nterallo Sulla base queste enzon, not alor e a,ella eloctà e ella poszone nzal per l nterallo tepo t, s possono rcaare alor ella eloctà e ella poszone nal attraerso le note espresson : (1) = + a () s = s + Qu ntroucao la pra approssazone sosttueno al alore + = la ea artetca tra e, coè

2 Coe rsulta eente, quest approssazone consste nell potzzare che la eloctà nell nterallo tepo t ar lnearente La () enta allora : + () s = s + = s + + a Da quest ulta espressone segue che la poszone nale s può essere calcolata nell potes che l corpo s uoa oto unoreente accelerato con accelerazone costante par all accelerazone ea a Nella aggor parte e cas non è acle conoscere l alore a n quanto essa è unzone ella poszone, ella eloctà e el tepo E possble però calcolare un alore approssato ella eloctà nale sosttueno a a l alore ell accelerazone nel punto nzale cascun nterallo t, così che la (1) s oca n : (4) = + a e la () n : (5) s = s + = s + + a Per success stant t 1, t,, t l cclo calcolo su eloctà e poszone è terato a partre a alor e preceent no all stante nale I calcol esegut ageolente attraerso l oglo elettronco, sono approssat per ue ot: - l arrotonaento e rsultat - l accelerazone non rgorosaente costante ne ar nterall tepo Auentano l nuero n suson ell nterallo tepo T l approssazone glora, a l errore arrotonaento auenta perché auenta l nuero elle operazon In generale esste un alore asso per l nuero n suson ell nterallo tepo T e qun un alore no oltre l quale non s guaagna n precsoneanalzzao ora alcun esep CORPO SOGGETTO AD UNA FORZA COSTANTE Questa pra seplce atttà ha lo scopo ntrourre gl stuent al etoo nuerco aceno anche acqusre alartà con l oglo elettronco Con l auslo una schea stuente rsulta puttosto seplce la costruzone el pro oglo laoro In esso, note le conzon nzal el corpo, coè la sua eloctà e l accelerazone costante prootta alla orza F a esso applcata, l nserento opportuno elle espresson (4) e (5) s tracca l agraa oraro e l graco eloctà-tepo nell nterallo tepo t che a all stante nzale t = all stante t Scelta l apezza cascuno e sottonterall eleentar n cu s sue t, ene natt postato l cclo calcolo per alor ella eloctà e ella poszone n cascuno quest nterall I alor eloctà e poszone sono alor e, a, coe s può ercare, ess s approssano sepre eglo a alor stantane ruceno l apezza e sottonterall Cò rsulta partcolarente eente se s utlzza l opzone Istograa per l traccaento e grac relat alla poszone e alla eloctà Tal grac, aleno n questo seplce esepo, possono essere conrontat con quell ottenut rettaente attraerso l equazone orara el oto per conrontare l errore approssazone coesso E possble, una olta presposto l oglo, analzzare grac relat al caso n cu la eloctà nzale è nulla o negata, o ancora quello n cu la orza ha erso opposto al oto e causa la ecelerazone el corpo no a arlo erare Qu seguto una parte el oglo che analzza col etoo Eulero l oto un corpo soggetto a una orza costante che prouce un accelerazone par a / s n un nterallo tepo secon suso n 4 sottonterall CORPO SOGGETTO AD UNA FORZA COSTANTE Conzon nzal t t(s) (t=) (t=)/s,5

3 t()=*t a()=(cost) ()=(-1)+a(-1)*t ()=(-1)+(-1)*t+,5*a()*t B15=A15*F$6 D16=D15+C15*F$6 E16=E15+D15*F$6+,5*C15*F$6 poszone el oc t à accelerazone 4,5, 15, , 1,5 1,, CORPO SOGGETTO AD UNA FORZA VARIABILE A)FORZA ELASTICA Conserao l caso n cu un corpo assa è soggetto alla sola orza elastca rchao F = -k E questo l caso el sstea assa-olla : è noto che allontanano l corpo alla poszone equlbro e lascanolo lbero uoers, la olla lo arà oscllare aant e netro In assenza orze sspate (attrto e resstenza el ezzo) le oscllazon conserano l apezza costante nentaente La secona legge ella naca n questo caso ene : -k = a, esseno la eorazone ella olla, oero la stanza el barcentro el corpo alla sua poszone equlbro Per cascuno egl nterall t n cu s sue l nterallo tepo osserazone, le espresson che eono essere terate n tutt punt n cu è stato so t sono : (1) = + a () = + + a k Poché l espressone ell accelerazone è ata a : a =, alle (1) e () s aggunge la seguente : k () a = a( ) = Le equazon a terare sono allora, nell orne, la () la (1) e la () Se s aoperano le suette equazon s può però osserare a grac che rsultat sono aett a un noteole errore, natt l apezza elle oscllazon cresce leggerente all auentare el nuero elle oscllazon L errore s può rurre nueno l apezza e sottonterall teporal, a una aggore ruzone ell errore e qun un ntegrazone pù accurata s ottene aoperano le orule terate seguent : = + a = + coe ostrato qu seguto A paraetr nzal relat alla poszone e alla eloctà è qu necessaro aggungere la assa el corpo e la costante elastca ella olla per l calcolo ell accelerazone CORPO SOGGETTO AD UNA FORZA ELASTICA F = -k Conzon nzal a(t=) (t=) (t=) (kg) k(n/) t(s) -4,1,1 4, t()=*t B1=A1*I$4 ()=(-1)+a(-1)*t ()=(-1)+()*t C1=C11+E11*I$4 D1=D11+C1*I$4 t() () () a() a()=-(k/)*(),1-4, E1=-(H$4/G$4)*D1 1, -,8,984 -,96,4 -,1587,95 -,89

4 ,6 -,49,95 -,611 Poszone Veloctà Accelerazone,1 -,1 -,54 1,8 1,6,16,7 1,,5 -,5-1,,48,96 1,44 1,9,4,88 6, 4,, -, -4, -6,,44,88 1, 1,76,,64,8 B)OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO Se l sstea assa-olla è otato un aortzzatore, questo tenerà a renare l oto aceno nure progressaente l apezza elle oscllazon el corpo Le orze agent sul corpo sono la orza elastca F = -k e la orza prootta all aortzzatore che è tpo luonaco e qun è proporzonale alla eloctà con cu s k k' uoe l corpo, coè F = -k L accelerazone stantanea el corpo è allora ata a : a = Per l calcolo egl spostaent e elle eloctà utlzzao lo stesso etoo seguto nora, l unca equazone che caba è quella per l calcolo ell accelerazone coe llustrato qu s seguto OSCILLATORE ARMONICO MORZATO Conzon nzal (t=) (t=) (kg) k(n/) k'(ns/) t(s), ,4 t()=*t B1=A1*I$4 ()=(-1)+a(-1)*t ()=(-1)+()*t C1=C11+E11*I$4 D1=D11+C1*I$4 t() () () a() a()=-(k/)*()-(k'/)*(-1),1-1, E1=-(H$7/G$7)*D1-(I$7/G$7)*C1 1, -,4,984 -,984,4 -,794,95 -,91,1 -,1159,96 -,866 Poszone Veloctà Accelerazone 1,,1 -,88 1,76,64,5 4,4 5,8 6,16-1, 1,8,16,4 4, 5,4 -,1 1,4,8,1 4,16 5, -,4 -, C)MOTO DI UN GRAVE IN UN FLUIDO Se un corpo (grae) cae lberaente sulla Terra, supponeno che cò accaa nel uoto,la orza peso P = g,unca orza agente su esso, è causa ella sua accelerazone che è par all accelerazone gratà g = 98 / s La presenza ell ara coe qualunque altro ezzo luo aterale esercta sul corpo ue tp orze rette n erso opposto a quello ella orza peso tenent a rallentarne la cautauna queste orze è la spnta Archee, uguale al peso el olue luo che l corpo sposta uoenos n esso : F A = gv, oe è la enstà el luo e V l olue el corpo

5 Supponeno che la enstà sa costante,la spnta sul corpo sarà costante e porrà a questo un accelerazone : a A = gv /,che anrà a sottrars all accelerazone gratà g La secona orza che l luo esercta sul corpo n cauta è rappresentata alla resstenza el luo stesso, che rsulta proporzonale alla eloctà stantanea el corpo, secono una costante proporzonaltà k che pene sa alle caratterstche el luo che alla ora el corpo L accelerazone stantanea causata alla resstenza el luo è : a F = k / ; anche questa anrà a sottrars all accelerazone gratà assee a a A In conclusone l corpo cae con un accelerazone a = g gv / k /, che non è costante a pene alla eloctà el corpo all stante conserato Segueno la stessa proceura per eternare la soluzone nuerca, e percò potzzano che l oto cauta el corpo sa unoreente accelerato n cascun nterallo tepo pccola apezza conserato, l oglo = + a calcolo a realzzare con Ecel utlzza le relazon : che anno terate per tutto l nterallo = + osserazone Coe conzon nzal ponao che sano ()= e ()= oero che all stante nzale l grae nza la sua cauta nel luo e percò l orgne el rerento conce con la poszone all stante nzale, poszone n cu esso è oaente ero I paraetr necessar per costrure l oglo sono : la assa ( n Kg) e l olue V(n ) el corpo, la enstà el luo ( n Kg / ) l coecente resstenza el luo K(n Ns/) MOTO DI UN GRAVE IN UN FLUIDO 4, Conzon nzal (t=) (t=) (kg) V(^) (Kg/^) k(ns/) t(s) t()=*t ()=(-1)+a(-1)*t ()=(-1)+()*t B1=A1*I$4 C1=C11+E11*I$4 D1=D11+C1*I$4, 75,5 1 54,1 t() () () a() a()=9,8-(v*9,8/)-(k/)*(-1),1 9,747 E1=9,8-(I$7*H$7*9,8/G$7)*D1-(J$7/G$7)*C1 1,,975,197 9,8,4 1,8768,85 8,8 Poszone 4,6 6,9 9, 11,5 1,8 D)MOTO DI UN SATELLITE , 1,,6,9 5, Veloctà 6,5 7,8 9,1 1,4 11,7 1, 14, ,4,8 Accelerazone 4, 5,6 7, 8,4 9,8 11, 1,6 14, 15,4 Una nteressante applcazone el etoo nuerco rguara l oto un satellte attorno alla Terra Il satellte nteragsce con la Terra attraerso la orza gratazonale,espressa alla aosa legge gratazone unersale : M F = G Tale orza è attratta e è rettaente proporzonale alle asse el satellte () e ella Terra (M) e nersaente proporzonale al quarato ella loro stanza Dalla legge ella naca rcaao GM l accelerazone el satellte : a = Sappao che l orbta el satellte gace n uno stesso pano per cu possao rappresentare la sua poszone n un sstea coornate cartesane O, con l orgne nel centro ella

6 Terra L accelerazone a è retta al satellte erso la Terra coe la orza gratazonale ; scoponao l ettore a nelle sue ue coponent cartesane a e a coe ostrato n gura Osserao che l trangolo ento a ettor a e a e l trangolo TSH sono sl, per cu s ha a : = a : e qun (1) a = a Proceeno n oo analogo per l trangolo ento a ettor a e a e l trangolo TSH : () a = a Sosttueno rspettaente nella () e nella (1) l espressone a = GM GM ell accelerazone a = s ottene : a = GM Aeno conserato l oto un satellte attorno alla Terra, conoscao la sua assa M e qun possao 14 calcolare l alore el prootto GM = 98 1 ( / s) Le equazon che c consentono applcare l etoo nuerco anche a questo oto sono percò le seguent : 14 a = 98 1 ; a queste ottenao le coponent cartesane e ella eloctà e le coornate 14 a = 98 1 cartesane e che nuano la poszone el satellte n cascuno egl nterall n cu ao l tepo osserazone el oto Le equazon alla base el cclo calcolo sono n enta le seguent : = ( 1) + ( 1) che ornsce la stanza el satellte alla Terra all stante nzale cascun 14 a = 98 1 nterallo, per le coponent ell accelerazone el satellte, 14 a = 98 1 ( ) = ( 1) + at per le coponent ella eloctà, ( ) = ( 1) + a t ( ) = ( 1) + ( ) t per la poszone ( ) = ( 1) + ( ) t Coe conzon nzal ponao ()= e () =h, con h quota cu s troa l satellte rspetto al centro ella Terra ; ( ) = e ( ) =, con eloctà tangenzale nzale che possee l satellte Una olta coplato l oglo laoro s può nagare e rlettere ulterorente sul oto satelltare e are elle preson sulla traettora, aceno arare la quota e la eloctà nzal el satellte MOTO DI UN SATELLITE ATTORNO ALLA TERRA poszone nzale =

7 poszone nzale = 7K costante GM =,98E+14 eloctà tangenzale nzale = 77/s eloctà nzale ertcale = /s tepo asso osserazone ta = 1,E+4s nterallo teporale eleentare t = 1,E+s tepostanza accelerazone eloctà poszone t a a 7-8, , , ,14-1, , , , ,998-, , ,49-94, o rb t a sat ellt are Font bblograche : Tonoln-Certo Percors ateatca,1989 Mnera Italca Materal el progetto FISISS EsPB