LINEAMENTI DI MECCANICA ANALITICA

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1 A. BUSATO LINEAMENTI DI MECCANICA ANALITICA (PARTE ) MGBSTUDIO.NET

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3 SOMMARIO Lneaent d Meccanca Analtca, d cu u vene presentata la PARTE, costtuta dal CAPITOLO, è una stesura della atera effettuata con lnguaggo caro e seplce, corredato da esep, d argoent notoraente pegnatv sa dal punto d vsta concettuale, ce da uello ateatco. Tale stesura s rvolge prncpalente agl Student delle Facoltà scentfce ed è una base operatva per rsolvere te standard d esae della atera tradzonalente denonata Meccanca Razonale, a ce ogg nelle nostre Unverstà, superando l classco traguardo delle Euazon d Lagrange, va a trattare alcun argoent propr della Meccanca Analtca con ezz ateatc odern (Calcolo Matrcale). I prereust rcest al Lettore sono: ) Anals Mateatca standard; ) Meccanca Razonale fno alle Euazon d Lagrange escluse; 3) Anals lneare con specale rguardo al Calcolo Matrcale e ndcale. La PARTE, n preparazone sotto la denonazone d CAPITOLO, rprende e apla alcun argoent della pra parte, ne aggunge d altr a contenuto pù avanzato per l proseguo degl stud. Caratterstca del Testo è uella d non lascare nulla d ndostrato. A volte vene alleggerto l testo da contenut ateatc ce esulano da noral prereust sopra espost, a l loro rcao o la loro dostrazone vene data n appendc a paragraf affncé l testo sa assaente auto-contenuto.

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5 . CAPITOLO I Prncp fondaental della Dnaca de Sste dscret. RICHIAMI DI ALCUNI CONCETTI DI MECCANICA RAZIONALE. Coordnate Lagrangane. Dato un sstea d N punt ateral, P,..., (ce P denonereo ance partcelle e ndcereo con,,..., N ), eventualente soggett a vncol, la loro poszone nello spazo, rspetto ad un assunto sstea d rferento cartesano (da consderare nerzale), è ndvduata da rspettv vettor poszone r (,... n). (Fg..) Pocé ogn vettore poszone è dentfcato dalle sue tre coponent, ce sono ance le coordnate cartesane del punto ce esso ndca (estreo del vettore), ne consegue ce l sstea degl N punt è ndvduato da 3N coordnate cartesane. Tra ueste 3N coordnate possono sorgere delle relazon n conseguenza d eventual vncol a cu punt ateral sono soggett. S dce allora ce tal relazon traducono vncol. P N Fg.. Anzcé dalle coordnate cartesane, la poszone d un sstea d N punt può essere fssata edante le cosddette coordnate lagrangane, (dette ance coordnate generalzzate o coordnate ndpendent o coordnate lbere), ndcate soltaente con sbol,,..., n. Vedao coe. Sano s le euazon ce legano le 3N coordnate cartesane a causa de vncol (euazon vncolar). Allora, 3N s n coordnate rsultano lbere, coè suscettbl d assuere valor arbtrar. Esse, perettendo d accantonare la consderazone de vncol, s anfestano coe coordnate strettaente suff-

6 . cent a deternare la poszone del sstea d punt,e, consderate funzon del tepo, a descrverne l oto. S suole dre ce l loro nuero espre grad d lbertà del sstea. Inoltre, non è necessaro ce esse conservno un sgnfcato cartesano. Il pù delle volte, anz, ne sono prve. Qualunue eleento avente orgne geoetrca, angol, dstanze e loro funzon (eleent poszonal), può essere assunto a fare l uffco d coordnata, coe carsce, a o d esepo, la Fg.. rferentes al caso undensonale del pendolo seplce. Fg.. In uesto esepo, le coordnate cartesane del sstea sono x e y, legate dalla relazone: x y l ce traduce l vncolo della rgà dell asta OP, ovvero l vncolo dell appartenenza d P alla crconferenza d centro O e raggo l. Consderato ce le coordnate cartesane sono e c è un unca relazone d vncolo, l nuero d grad d lbertà del sstea costtuto dal pendolo è, dato dal conteggo. Pertanto, a defnre la poszone del sstea, basta una sola coordnata lagrangana, ce può essere costtuta dall angolo Φ ce l asta OP fora con la vertcale y. Ma ance una delle due coordnate cartesane, per esepo x, consderata da sola, può assuere l ruolo d coordnata lagrangana. Infatt, atteso l vncolo cu è soggetto l punto P, la poszone del sstea rsulta deternata assegnando x. A uanto spegato faccao segure la defnzone: «Dcons coordnate lagrangane (o generalzzate, o ndpendent, o lbere) d un sstea dnaco, e s ndcano con,,..., n, n grandezze d ualsas natura (o genes) geoetrca ce sano, n nuero strettaente suffcente, atte a deternare la poszone del sstea, e, consderate funzon del tepo, a descrverne l oto».

7 . 3. Classfcazone de vncol. La possbltà d sceglere un gruppo d coordnate lagrangana per dentfcare la poszone d un sstea eccanco, è legata ala natura de vncol. Ecco und la necesstà d una pra fondaentale classfcazone de vncol n base alla loro natura. Questa è caratterzzata dal tpo della loro rappresentazone analtca. Se una condzone d vncolo relatva a un sstea d N partcelle è rappresentable edante s relazon tra vettor poszone, ce n generale scrvereo: f ( r, r,...,, t) (,,..., s) rn. ove f è sbolo d funzone algebrca, ce eventualente possono contenere l tepo t n odo esplcto (a denotare ce vncol sono obl nel tepo), no dcao ce uella condzone d vncolo è d tpo olonoo. Abbao vsto al N.ro. ce s relazon ual le., fan sì ce restno lbere 3N s n coordnate, ce abbao ndcato con l (l,,, n). Questa rduzone del nuero delle coordnate è possble propro per la struttura algebrca delle., le ual consentono la elnazone d s varabl rendendole dpendent da n varabl ndpendent. (Infatt l sstea costtuto dalle., n nuero d s < 3N, è rsolvble assegnando arbtraraente valor d n varabl). Alternatvaente possao dre ce uando un sstea eccanco può essere descrtto da n coordnate lagrangana, esso a vncol olono. Se, nvece, la condzone d vncolo non può essere espressa nel odo descrtto, coè edante relazon del tpo., allora vncol vengono dett anolono. Il fatto salente ce caratterzza uesta crcostanza, è propro l fatto ce le euazon d vncolo non anno la fora fnta., e und non s prestano ad esplctare s varabl cartesane n funzone d n varabl del tpo l, rendendole con cò superflue. Precsaente, le euazon ce traducono vncol anolono s presentano n fora dfferenzale non ntegrable (coè n fora dfferenzale non esatta). Un caso ce s cta spesso coe esepo, è uello d un dsco ce rotola (senza strscare) su d un pano orzzontale, antenendos vertcale. (Fg.. ) Fg..

8 . 4 Per descrvere tale oto possono essere assunte le coordnate x e y del centro del dsco, l angolo d rotazone φ attorno all asse del dsco e l angolo θ ce l asse del dsco fora con l asse x del rferento cartesano. In conseguenza del vncolo, costtuto da una traettora sul pano d rotolaento, l odulo della veloctà del centro del dsco è dato da: Rφ & dφ v R. essendo R l raggo del dsco, entre la drezone della stessa è perpendcolare all asse del dsco. In conseguenza d cò, possao scrvere (Fg.. ): dx x& dy y& v senθ vcosθ. 3 Fg.. Introducendo la. nelle. 3, trovao le due euazon: dx R senθ dφ dy R cosθ dφ.4 ce, legando le varabl x, y,θ,φ, esprono l vncolo d rotolaento. Ma uesto legae s anfesta n fore dfferenzal non esatte (NOTA: sen θ dφ e cosθ dφ non sono dfferenzal esatt n uanto senθ e cosθ non sono nterpretabl coe dervate d una funzone d φ ) e und non ntegrabl, l ce rende possble esplctare alcune varabl coe dpendent dalle altre. In altr tern non è possble ottenere, per l pro-

9 . 5 blea posto, un sstea d coordnate lagrangana del tpo. Il problea non è und rsolvble col etodo ce fa capo alle coordnate lagrangana, a con altr espedent. Faccao rlevare ce, entre proble ce convolgono vncol olono, n vrtù della possbltà d ntrodurre le coordnate lagrangane, sono sepre rsolvbl secondo procedure foral, proble ce convolgono vncol anolono (per fortuna n noranza) non possono contare su d una va generale d approcco. Nella. abbao esso n evdenza esplcta la varable tepo. Quando le relazon d vncolo s presentano n tal odo, coè con la t esplcta, vncol sono varabl nel tepo e vengono dett reono. Se nvece, nelle relazon d vncolo l tepo non fgura esplctaente, coè se le. s scrvono: f ( r, r,..., ). 5 r N allora vncol non varano nel tepo. In uesta evenenza sono dett sclerono. Occorre rcordare ce rguardo a vncol s fa l portante dstnzone tra vncol ruvd (o real) e vncol lsc (o deal) a seconda ce v sano plcat fenoen d attrto oppure no. Va da sé ce l concetto d vncolo lsco è un concetto lte a cu s pervene per astrazone, consderando condzon effettve nelle ual l attrto s anfesta n progressone decrescente. Per una esatta coprensone d uanto segue, dobbao fare una precsazone lesscale, dstnguendo tra vncol fss e vncol cneatc. Col terne vncolo fsso ntendao un vncolo ce non perette alcun ovento al punto ce v è collegato, coe accade a un punto d una struttura costruttva collegato al suolo (a parte un accdentale cedento del vncolo stesso), entre col terne vncolo cneatco ntendao un vncolo ce concede al punto nteressato solo un ovento partcolare defnto geoetrcaente, co è l caso d un punto obblgato a gacere su d una data superfce o a percorrere una data lnea. Con la locuzone copatble con vncol attrbuta ad un nsee d spostaent vrtual (ved N.ro 3.), s deve ntendere un nsee d spostaent ce rspetta vncol, sa fss ce cneatc. 3. Spostaento vrtuale d una partcella. Precsao nnanztutto ce l aggettvo vrtuale vene usato n contrapposzone con l aggettvo reale (o possble). La dfferenza tra spostaento vrtuale e spostaento reale è n relazone con la condzone d ovento del vncolo, col fatto coè, ce l vncolo sa fsso o oble, ed è llustrata dalla Fg. 3., a) e b). La Fg. 3. a) ostra un partcella vncolata a uovers su d una superfce S lsca, a sua volta oble o deforable. Indcereo lo spostaento reale nel tepo della partcella, nzalente n contatto con S n P, nel seguente odo: d r δ r d P 3. coè coe soa dello spostaento δ r d sul pano tangente alla superfce S, e dello spostaento d P del suo punto d contatto su S.

10 . 6 Fg. 3. Se agnao ce al tepo nzale t dal uale pensao d effettuare lo spostaento, la superfce S ranga bloccata e rrga nella confgurazone raggunta al tepo t (coè ce rest da uesto stante oble), nella 3. dovreo avere d P. Pertanto, n tal caso, n luogo della 3. s scrverà: dr δ r 3. Cò preesso, con rferento ad una partcella d un sstea eccanco, caereo vrtual gl spostaent del tpo δ r per dstnguerl da uell del tpo dr, coè real. Occorre precsare ce per l uso ce fareo de concett ce andao ad e- sporre, convenao d attrbure agl spostaent vrtual δ r una assoluta arbtraretà, salvaguardando soltanto la loro copatbltà co vncol ( rrg al tepo t). Rassuao uanto detto nella seguente defnzone: «Dces spostaento vrtuale d una partcella d un sstea eccanco dscreto, uno spostaento ad essa attrbuto, arbtraro, nfnteso, e copatble co vncol rrg al tepo t» 4. Lavoro vrtuale delle reazon d vncolo. La defnzone data al N.ro precedente rguardo allo spostaento vrtuale, non è sterle percé porta con sé portant conseguenze. Innanztutto, pocé se l vncolo è lsco, coe abbao potzzato nella Fg. 3., la reazone Φ del vncolo è perpendcolare a δ r, rsulta: Φ δ r, 4. la ual relazone affera ce, n presenza d vncol lsc, l lavoro della reazone Φ per lo spostaento vrtuale δ r, è nullo. Caao uesto lavoro, lavoro vrtuale. C s rende conto subto ce, se d converso nella 4., ponao lo spostaento reale dr,

11 . 7 anzcé lo spostaento vrtualeδ r, l uguaglanza a zero non vale pù, coè l lavoro effettuato da Φ avrà un valore non nullo. Se le partcelle sono N, valendo la 4. per ognuna d esse, avreo: N Φ δ r, 4. relazone ce dà luogo al seguente enuncato:«dato un sstea eccanco dscreto costtuto da N partcelle, è nullo l lavoro totale delle reazon de vncol lsc sulle N partcelle soggette a spostaent vrtual» In uanto sopra esposto, abbao tactaente supposto ce vncol fossero blater, coè tal da non consentre alla partcella l abbandono del vncolo n conseguenza d un certo spostaento vrtuale. (Per esepo, nella fattspece d Fg 3., la fuoruscta della partcella da una banda della superfce S). In uesta crcostanza gl spostaent vrtual rsultano ance nvertbl, consentendo accanto allo spostaento vrtuale δ r, ance lo spostaento opposto δ r. Per esepo, nella stuazone d vncolo d Fg. 3., se la partcella non può abbandonare l contatto con la superfce, coè se resta strettaente vncolata a gacerv, gl spostaent vrtual possono avvenre esclusvaente su pan tangent a S e und accanto ad un δ r avreo sepre ance un δ r. Caereo nvertbl gl spostaent vrtual avent uesta caratterstca. Ma un vncolo può ance essere unlatero. Con tale terne s desgna un vncolo ce consente uno spostaento vrtuale δ r, a non l suo opposto δ r. Questo sarebbe l caso, se n Fg. 3. la superfce S costtusse una barrera per ovent della partcella ce tentassero d forarla verso l nterno, a non pedsse ovent d n allontanaento verso l esterno. E caro ce se l vncolo o vncol sono unlater, le 4. e 4. devono essere sosttute dalle seguent: Φ δ r N > Φ δ r > nelle ual s a l segno d dsuguaglanza anzcé uello d uguaglanza. A uesto rguardo è opportuno un carento. Se δ r avesse un valore fnto, ancorcé pccolsso, l contatto tra la partcella e la superfce d vncolo S cesserebbe per un δ r d- verso la banda non probta d S, talcé la reazone Φ cesserebbe d esstere, coè s retto avrebbe Φ, e la 4. 3 e la 4. 4 non potrebbero valere. Ma l concetto d nfnteso attrbuto a δ r fa sì ce esso non abba a un valore fnto, ancorcé pccolsso, a un valore pccolo a pacere, la cu enttà non può a deternars. Pocé per un valore deternato d δ r è Φ, ne consegue ce per un valore non deternato d δ r deve valere la negazone del precedente asserto, coè Φ. A carento po, del segno d dsuguaglanza > attrbuto alle 4. 3 e 4. 4, basta osservare con rferento alla Fg. 4. ce nel caso d vncolo unlatero, lo sposta-

12 . 8 ento non nvertble δ r dretto verso la banda accessble del vncolo, fora sepre un angolo acuto con la drezone d Φ, per cu prodott scalar 4. 3 e 4. 4 sono sepre postv. Fg. 4. Se nvece consderao una partcella lbera nello spazo esterno d S, vale la 4., n uanto è Φ. Per uanto detto, potreo allora condensare le 4. e 4. 4 nell unca forula: N Φ δ r 4. 5 valevole n generale per un sstea d partcelle n ualunue condzone precsata d vncolo (coprendendo n uesta locuzone ance l assenza d vncolo). La 4. 5 s e- nunca dcendo: «In un sstea eccanco a vncol lsc, le reazon vncolar sono tal ce l lavoro da esse coputo per ogn spostaento vrtuale è sepre non negatvo. Precsaente tale lavoro è nullo per ogn spostaento vrtuale nvertble, entre è postvo per ogn spostaento vrtuale non nvertble» 5. Il Prncpo de Lavor Vrtual (P.L.V.) e la Relazone sbolca della Statca. Precsao ce s dà l noe d prncpo ad un enuncato fsco-ateatco al uale s attrbusce, per nduzone da sngol fatt sperental, valà unversale, bypassando la necesstà d una dostrazone forale. Cò non sgnfca ce dell enuncato non s possa dare ne cas specfc la dostrazone. Anz, ogg, rconoscendo ce l noe d prncpo a una otvazone storca, è nvalso l uso d darne spesso la relatva dostrazone. Seguendo uesta tendenza, no und, dostrereo appresso l Prncpo de Lavor vrtual, l uale und pù propraente potrebbe caars Teorea de Lavor vrtual. Per la carezza d uanto segue, ponao ente o sottolneao nnanztutto l fatto ce la valà delle relazon è del tutto generale, ualunue sa

13 l orentaento delle forze attve ce agscono sulle rspettve partcelle. La forza attva F. 9 ce agsce sulla partcella a n generale una coponente ce ne provoca l oto, e una coponente ce vene eulbrata dalla reazone Φ. Le s rferscono esattaente a uesta reazone. Ora è caro ce se c rferao a condzon statce (coè d eulbro), la coponente d F ce provoca l oto è nulla. In tal caso le forse attve l euazone: F F j sono ugual ed opposte alle rspettve reazon e potreo scrvere Φ F 5. Con tale sosttuzone la 4. 5 s scrverà: N F δ r, 5. e n tale fora prende l noe d Relazone sbolca della Statca. In base a uest ulta dsuguaglanza, possao enuncare ce «n un sstea eccanco a vncol lsc, n condzon d eulbro, l lavoro vrtuale delle forze attve è sepre non postvo». Questa proposzone costtusce gà la pra parte del Teorea de Lavor vrtual, ce u d seguto voglao enuncare e dostrare nella sua copletezza. Dce l Teorea: «Dato un sstea eccanco a vncol lsc n eulbro n una certa confgurazone C, l Lavoro vrtuale (coè l lavoro attnente a un sstea d spostaent vrtual * copatbl) coputo dalle Forze attve è non postvo (coè è dato dalla 5. ). Vceversa, se l Lavoro vrtuale delle Forze attve è non postvo, l sstea eccanco è n eulbro» Per la dostrazone forale della pra parte del Teorea, aettendo l eulbro degl N punt ce costtuscono l sstea, scrvereo: F Fj Φ j (,,..., ) ( j,,..., N) 5. 3 essendo le F, le forze attve agent su punt P non vncolat e le F e Φ, le forze attve e le reazon agent su punt vncolat. Scrvao l espressone del lavoro vrtuale totale δ L delle forze attve coe soa d due tern d cu l pro rappresenta l la- (a) voro delle forze su punt non vncolat, entre l secondo rappresenta l lavoro delle forze su punt vncolat: N N (a) δ L F δ P F δ P j Fj δ Pj 5. 4 j j

14 . Per l potes espressa dalla pra delle 5. 3 ce s rfersce a punt lber, l pro terne della soa 5. 4 è nullo, pertanto la stessa s rduce alla seguente: (a) δ L N j F δ P j j 5. 5 Ma la 5., valda appunto nell potes dell eulbro, c dce ce la uanttà 5.5 è sepre non postva, per cu scrvereo: (a) δ L N j F δ P j j conforeente alla pra parte dell asserto. Per la seconda parte del Teorea, dobbao aettere l potes: δ L (a) { δ P } 5. 7 { } ove δ P ndca ogn nsee arbtraro d spostaent vrtual copatbl, dat a partre da una certa confgurazone generca C. Per la lbertà ce abbao, assuao coe nsee d spostaent vrtual copatbl uello ce coprende spostaent non null (arbtrar) per sol punt lber e spostaent null per tutt punt vncolat. Sceatcaente avreo: δ P P { P lber} 5. 8 δ P j P j { Pj vncolat} 5. 9 L nsee degl spostaent costtuto da due sottonse 5. 8 e 5. 9, ce ndcereo col sbolo S, è forato con tutt spostaent reversbl, o percé s rferscono a punt lber o percé sono null. Qund, con la scelta fatta S per gl spostaent vrtual, nella 5. 7 vale l segno d uguaglanza, e scrvereo: (a) δ L δ P F δ P S 5. Ora, la 5. assunta coe potes, può essere verfcata o percé tutte le F sono nulle, e allora tutto punt lber sono n eulbro, o percé sngol lavor vrtual s copensano due a due (supposto sano n nuero par). Ma uest ulta crcostanza non può sussstere per l arbtraretà della scelta de δ P, d cu possao dsporre per assuere d volta n volta class d spostaent contenent un solo spostaento vrtuale non nullo, l ce farebbe rdurre la soatora 5. ad un solo addendo non nullo. Ne rsulterebbe d nuovo F (,,, ).

15 . Pertanto dalla 5. 7 col solo segno d uguaglanza dscende l eulbro d tutt punt lber. Pocé l eulbro d uesto sottonsee d punt è accertato, prendao n consderazone n uanto segue solo punt vncolat, rferendo ad ess l potes 5. 7, ce u rscrvao: (a) δ L F δ P j j j (j,,, N) 5. Ragonao per assurdo e supponao ce l sstea de punt vncolat non sa n eulbro. Allora, appoggando le dee su d un vncolo unlatero costtuto da una superfce lsca uale raffgurata n Fg. 5., la forza attva F sulla partcella avrà una coponente tangenzale (parallela al pano tangente alla superfce) n coponente nora le F, talcé scrvereo: j j F t j e una F t n 5. F j F j n Ma : F Φ 5. 3 j j Fg. 5. per cu, n luogo della 5., scrvereo: t F F Φ j j ce perette d esprere l lavoro vrtuale delle forze attve nel odo seguente: (a) δ L N j F δ P j j N ( F Φ ) δ P F δ P Φ j t j j j N j t j j N j j δ P j, 5.5 ovvero sntetcaente:

16 . (a) (a) t δ L δ L δ L v, 5.6 nella uale l pro terne è l lavoro coputo dalle coponent tangenzal delle forze attve entre l secondo terne è l lavoro coputo dalle reazon vncolar. Usufruendo dell arbtraretà d scelta del sstea degl spostaent vrtual, assuao coe tale, l sstea degl spostaent effettv prodotto sul pano tangente alla superfce d vncolo dalle coponent tangenzal delle forze attve. Ma con tale scelta, entre l v (a) t lavoro δ L delle reazon vncolar è nullo, uello δ L delle coponent tangenzal delle forze attve è postvo. Pertanto, la 5. 6 vene a dre ce: δ L (a) >. 5.7 L avere und aesso ce l sstea non è n eulbro contraddce l potes d partenza 5.. Ne rsulta ce, aettendo uest ulta, l sstea è n eulbro. Il Teorea de Lavor vrtual è pertanto copletaente dostrato. Vedao alcun seplc esep d applcazone del P.L.V. al calcolo delle condzon d eulbro d un sstea. Con rferento alla Fg: 5. s vogla deternare per uale valore del contrappeso p, l peso vene eulbrato sul pano nclnato d nclnazone α. Fg.5. Dando al punto P lo spostaento vrtuale δ P verso l basso, lo spostaento vertcale ce subsce l punto Q, è dato da: δ Q δ Psenα, 5. 8 per cu, l euazone de lavor vrtual rsulta:

17 δ L p δ P δq p - δ Q δ P. 3 δ Psenα 5. 9 δ P p senα 5. Coe secondo esepo consderao la accna detta tagla raffgurata n Fg S vogla calcolare la forza p ce eulbra l peso. Fg Dao al punto A ove è applcata p lo spostaento vrtuale verso l basso,δ A. Il punto B s alzerà della stessa lungezza nfntesa nducendo una rotazone alla carrucola attorno al centro d stantanea rotazone O. Pertanto l asse della carrucola (e la relatva staffa) s alzerà della uanttà: δc δ A 5. Il P.L.V. fornsce allora: p δ A δa p 5. Un esepo eno banale dell applcazone del P.L.V. s a nella rcerca delle condzon d eulbro del sstea bella-anovella rappresentato n Fg. 5. 4, sottoposto ad una forza F agente sul pstone.

18 . 4 Fg Se M è l oento applcato alla anovella, l lavoro da esso effettuato per uno spostaento angolare vrtuale δ α, è Mδα, entre l lavoro effettuato falla forza F per lo spostaento lneare vrtuale δ x, è Fδ x, cosccé l P.L.V. fornsce: Mδα Fδ x δ x M F 5. 3 δα Per trovare l rapporto tra due spostaent vrtual ce fgurano nella 5. 3, e- sprao la lungezza della bella n funzone dell ascssa x dello snodo B e dell angolo d rotazone α della anovella. Con rguardo alla Fg. 5. 4, s a: r x rx cosα l 5. 4 Dfferenzando rspetto alle varabl x e α, ottenao: (x rcosα) δ x rxsenαδα δ x rxsenα, δ a x rcosα 5. 5 ce sosttuta nella 5. 3, fornsce nfne: M x Fr senα, 5.6 x rcosα nella uale x è data dalla: x rcosα l r sen α, 5. 7

19 . 5 ottenuta rsolvendo la 5. 4 rspetto a x. In tal odo la 5.6 fornsce per ogn valore d α, l valore d M ce eulbra la forza F agente sul pstone. 6. Applcazone del P.L.V. al calcolo delle reazon de vncol nelle strutture sostatce n Scenza delle Costruzon (S.d.C.). Al N.ro. abbao fatto la dstnzone tra vncol fss e vncol cneatc. Su tale dstnzone è fondato l etodo d calcolo delle reazon vncolar nelle strutture sostatce n S.d.C. ce sfrutta l P.L.V. E noto ce una struttura costruttva deve essere ancorata al suolo edante vncol fss. Quando uest sono n nuero strettaente suffcente a garantre l eulbro della struttura s dce ce la struttura è sostatca. In S.d.C. per vncolo applcato a un punto P s ntende un dspostvo o una dsposzone costruttva ce pedsce a P un ualce ovento; per nuero d vncol applcat a un punto P s ntende l nuero de ovent seplc pe al punto P (generalente nel pano). Gl spostaent seplc sono la traslazone orzzontale, la traslazone vertcale e la rotazone. Fg. 6. In odo seplfcato n S.d.C. s ctano ual vncol: l carrello con cernera (ce pedsce la traslazone n drezone perpendcolare al pano d scorrento del carrello), la cernera fssa (ce pedsce le traslazon orzzontale e vertcale), l ncastro (ce pedsce abedue le traslazon e la rotazone). (Fg. 6. ). In corrspondenza d cascun ovento peo nasce una reazone, ce è la forza ce l vncolo costruttvo oppone sul punto n cu è applcato per pedrne l ovento ce le forze gravant sulla struttura (forze d carco) tendono a provocare. Il nuero de ovent pe dal vncolo costruttvo e und l nuero delle reazon da esso generate, defnsce l rango del vncolo. Così s dce ce l carrello con cernera è un vncolo d rango (o seplce ), la cernera fssa è un vncolo d rango (o doppo), e l ncastro, un vncolo d rango 3 (o trplo). Iagnando d asportare l vncolo costruttvo e d sostturlo con tutte le sue reazon, la struttura non caba assetto e perane n eulbro. Volendo ettere n evdenza d un vncolo costruttvo d rango ultplo una sola reazone da esso eserctata, lo s sosttusce con un vncolo opportuno d rango edataente nferore copletandolo con la reazone voluta. Così per esepo, se n una cernera fssa s vuole ettere

20 . 6 n evdenza la reazone orzzontale, la s sosttusce con un carrello con cernera e s aggunge la reazone orzzontale. E con uesto trucco ce n S,d.C. alle strutture sostatce s applca l P.L.V. per l calcolo delle reazon vncolar. Il percé è subto caro: sosttuendo al vncolo costruttvo orgnaro (ce è un vncolo fsso) un vncolo costruttvo d rango edataente nferore con l aggunta della reazone voluta, non s altera lo stato d eulbro della struttura e nello stesso tepo un vncolo fsso vene trasforato n cneatco, coè n un vncolo atto ad assorbre uno spostaento vrtuale copatble (con lo stato d ancoraggo d tutta la struttura, coè con vncol resdu). S dce ance, n uesta fase d approcco all applcazone del P.L.V., ce s rende lable la struttura per potere ettere n evdenza la reazone voluta. (Precsaente una-volta-lable, n uanto s togle un solo vncolo seplce). Occorre fare un osservazone: consderando l sstea degl spostaent vrtual n una struttura resa lable, c accorgao ce tale sstea è ance un sstea d spostaent real per la struttura lable, n uanto ogn vncolo sussstente nella detta struttura (fsso o cneatco) è nvarable nel tepo. Cononostante n S.d.C. s contnua a parlare d spostaent vrtual, forse con un sgnfcato del terne un po dverso da uello n uso nella Meccanca Razonale, volendo ntendere con spostaent vrtual seplceente spostaent non real per la struttura effettva, ce è oble (senza rferent all nvarabltà teporale de vncol ce è d per sé scontata). Carao uanto detto con un esepo pratco. Consderao la struttura d Fg. 6. a), ce ostra una trave d lungezza l vncolata all estretà A con una cernera fssa, e n B con un carrello e cernera. Nel punto C agsce una forza vertcale F, essendo C a dstanza a da A e a dstanza b da B. C proponao d calcolare la reazone R B del carrello n B. Coe pro passo, rendao lable la struttura asportando l carrello e sosttuendolo con la sua reazone R B vertcale e orentata verso l alto. La Fg. 6. b) ce ostra l rsultato d tale operazone, ette n evdenza pure gl spostaent vrtual cneatc δ B e δ C ce la struttura lable consente. (Spostaent copatbl). Fg. 6.

21 . 7 Tal vncol cneatc sono costtut da arcett d crconferenze d centro A, ce punt B e C sono obblgat a percorrere nel loro spostaento. Le forze R B e F sono applcate a punt B e C rsp.te, a la loro applcazone non fa sorgere sul vncolo cneatco alcuna reazone. Inoltre gl spostaent δ B e δ C sono reversbl. Allora, punt B e C s trovano nella condzone d punt lber cu sano stat partt coe spostaent vrtual arbtrar uell concess da vncol cneatc. Con cò, sao ndott ad utlzzare per l nostro calcolo ce fa capo al P.L.V., la forula 5., la uale nella fattspece, tenendo conto de segn de sngol tern, s scrve: (a) δ L F δ C δb 6. R B R B F δ C 6. δ B Ma dalla Fg. 6. s rcava la proporzone: δ C δ B a l per cu la 6. dventa:, 6. 3 R a F la B B F l R Vedao così ce l P.L.V. perette d deternare la reazone del carrello R B. Consderao coe ulterore esepo la struttura d Fg. 6. 3, denonata arco a tre cernere, proponendoc la deternazone della reazone orzzontale della cernera C, conseguente alla condzone d carco costtuta da una forza orzzontale n B. Fg. 6. 3

22 . 8 Sosttuao la cernera C con l vncolo d rango edataente nferore (carrello con cernera) n odo da porre n evdenza la reazone cercata. Sono ora da rcercare gl spostaent vrtual orzzontal (coè nella drezone delle forze) de punt C e B. Cò vene fatto n base allo spostaento cneatco della struttura resa lable. (Teora delle catene cneatce). Dalla Fg. 6 3 s a, tenendo conto della concordanza o eno degl spostaent e delle forze: (a) δ L F δ B R C δ C 6. 5 R C δ B F 6. 6 δ C Osservando ce O è l centro d rotazone del sstea lable (punto d ncontro del prolungaento dell asta I con la norale al pano d scorrento del carrello), rsulta: δ B δ C, per cu la 6. 6 dventa: R F 6. 7 C Il prncpo de lavor vrtual trova n S. d. C. la sua pù produttva applcazone nella statca de sste elastc. ****** ******

23 .. SVILUPPI ORIGINATI DAL CONCETTO DI LAVORO VIRTUALE. Relazone ed euazone sbolca della Dnaca. Consderao un sstea S d N punt ateral P d assa : S {( P, ) ;,, N}...., a vncol lsc, soggett a forze. Per un osservatore nerzale vale l euazone fondaentale della Dnaca: F Φ a. ove le F sono le forze attve e le Φ, le reazon vncolar. Esplctando ueste ulte dalla., scrvereo: Φ ( F a).. 3 P Sa δ uno spostaento vrtuale dato a. Allora, oltplcando scalarene entrab ebr della. 3 per δ P e soando rspetto all ndce, ottenao: P N Φ δ P ( F a) N δ P. 4 Rconoscao al pro ebro l lavoro vrtuale delle reazon vncolar, ce n base alla 4. 5 è non negatvo. Coè abbao: N Φ δ P. 5 per cu la. 4 euvale alla scrttura: N ( F a) δ P., 6 Confrontando uesta euazone con la 5., rcordao ce sbol δ r e δ P sono eupollent esprente l P.L.V. nel caso della Statca, osservao ce s passa da uest ulta alla. 6 sosttuendo le forze con le forze: ( p) F F F a. 7 denonate da D Alabert forze perdute. Pertanto la.6, scrtta n vrtù della poszone. 7, nel odo seguente:

24 . N F ( p) δ P.8 può rguardars, nella sua espressone foralente dentca alla 5., coe una estensone alla Dnaca del P.L.V. valevole n Statca. Tale espressone prende l noe d Relazone sbolca della Dnaca e può essere enuncata dcendo: «Il lavoro vrtuale delle forze perdute è non postvo» Se vncol, oltre ad essere lsc sono ance blater, col ce tutt gl spostaent vrtual sono nvertbl, nella. 5 vale l segno d uguaglanza, cò ce coporta ce ance la.6 e la.8 abbano l segno d uguaglanza. In tal caso coè la.8 s scrve: N ( p) F δ P. 9 e n uesta fora prende l noe d Euazone sbolca della Dnaca.. Il Prncpo d D Alebert e l Euazone sbolca della Statca. Rconsderando la. 9, vedao ce, nel caso n cu sa a, la. 9, n vrtù della. 7, s rduce alla seguente: N F δ P,. espressone ce prende l noe d Euazone sbolca della Statca. Il noe è gustfcato dal fatto ce se a, l oto del sstea è caratterzzato da una veloctà nulla, coè l sstea è n uete, oppure da una veloctà costante (oto rettlneo unfore). Ma n uest ulto caso può assuers un rferento nerzale nel uale l sstea sa ugualente n uete. Pertanto supporre a è euvalente a supporre l sstea n condzon statce. Confrontando la. 9 e la., possao enuncare l seguente Prncpo: «Dato un sstea eccanco n condzon d eulbro statco e scrtte per esso le pertnent euazon sbolce della Statca, supposto ce l suo eulbro statco sa rotto e suo punt assuano le accelerazon a, le conseguent euazon dnace caratterzzant l oto s otterranno sosttuendo nelle euazon statce alle ( p) forze attve F, le forze perdute F» In uesta enuncazone consste l Prncpo d D Alebert, l uale, ntroducendo un nesso operatvo tra Statca e Dnaca, perette d scrvere con una regola seplcssa le euazon d ovento d un sstea, note ce sano uelle d eulbro, coe fareo vedere subto con un esepo. Consderao l dspostvo d Fg.. denonato Maccna d Atwood. Esso consste n due corp (puntfor) P e P, d asse rs.te e, appes agl estre d una fune sorretta da una carrucola d assa trascurable, l cu asse è pernato ad una staffa fssata ad una certa altezza.

25 . 3 Fg.. L eulbro del dspostvo è tradotto dall euazone della Statca: F F,. essendo F e F le forze-peso, drette secondo la vertcale, ce agscono sulle due asse. Applcando l Prncpo d D Alebert, n luogo della., dovreo scrvere: F a F a.3 da cu, proettando lungo l asse y ottenao l euazone scalare: F y a y F y a y..4 y F y g ay y Pocé F g e, e noltre a, essendo g l odulo dell accelerazone d gravtà, dalla.4 s a successvaente: g a y g a y a ) g( ) y ( a y g g* < g.5 Supponendo >, P dscende con accelerazone d gravtà g* < g. S coprende subto coe la accna serva per surare l accelerazone d gravtà g. Montando una assa poco pù grande d, g* rsulta pccola e faclente surable.

26 . 4 Dal valore d g* s può und rsalre al valore d g con la.5. Galleo utlzzava lo stesso crtero edante pan nclnat. Consderao coe secondo esepo dell applcazone del Prncpo d D Alebert un pendolo seplce. Fg.. Esso è un sstea avente un punto O fsso. L euazone d eulbro statco s pone scrvendo ce è nullo l oento rspetto al punto O, della forza F (costtuta dal peso) agente sulla assa. Avreo, coè: (P O) F. 6 Il Prncpo d D Alebert rcede ora ce la forza F sa sosttuta dalla forza perduta F a, nella uale a è l accelerazone nel oto vncolato (peresso da vncol), coè nella fattspece lungo la tangente alla crconferenza d centro O. Pertanto alla.6 sosttuao la seguente: (P O) ( F a),. 7 Dalla uale traao: ( P O) a (P O) F.. 8 Calcolando odul de due prodott vettoral, e consderando ce, per uanto detto, d s d θ a l, essendo s l ascssa curvlnea sulla traettora, scrvereo: dθ

27 . 5 d θ d θ g ll lg senθ senθ,.9 dθ dθ l ce è l euazone dfferenzale del oto del pendolo. [NOTA: l segno eno è gustfcato dal fatto ce l accelerazone auenta entre l ascssa curvlnea, contata dal punto pù basso dnusce]. Voglao da ulto dar ragone del noe d forze perdute attrbuto da D Alebert alle forze ndcate dalla.7. All uopo consderao l euazone., u rportata: F Φ a.. In uesta euazone a è l accelerazone del punto P del sstea nel suo oto effettvo vncolato, sotto l azone della forza attva e della reazone vncolare Φ. Se l punto fosse lbero, nella.6 sarebbe e l accelerazone sarebbe dversa da a, deternata uncaente dalla forza attva F. Ma per Φ s può scrvere l espressone.3, ce sosttuta nella.6 produce l denttà: Φ F F ( F a ) a. La.7 s nterpreta dcendo ce per ottenere l accelerazone effettva del oto vncolato del punto P, occorre sottrarre dalla forza attva F la forza F F a, la uale va und perduta agl effett del oto. Scrvendo la. 3 nella fora: ( p) a Φ ( F a ). s vede ce essa è uella parte d F ce va ad eulbrare la reazone vncolare Φ. C s sarà accort ce la flosofa profonda ce è alla base del Prncpo d D Alebert sta nel fatto ce l euazone del oto d un sstea sottoposto a vncol, può costrurs facendo astrazone dalle reazon de vncol stess. ****** ******

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29 3. LE CONSEGUENZE DELL EQUAZUINE SIMBOLICA DELLA DINAMICA Il Teorea della Quanttà d Moto. L euazone sbolca della Dnaca.9, ce u rportao per carezza: N ( p) F δ P N ( F a) δ P 3. la uale, rcordao, s rfersce a un sstea soggetto a vncol blater, porta con sé alcune sgnfcatve conseguenze. Dvdendo la 3. per, ottenao: N ( F a) v 3. δ P essendo v la veloctà (detta vrtuale) del punto P. Supponendo ce l sstea d punt sa dotato d oto (vrtuale) traslatoro rettlneo unfore, dovreo porre nella 3. : v v, costante per tutt punt, col ce la 3. stessa può scrvers: N v ( F a) 3. 3 dalla uale, data l arbtraretà d v, s ottene successvaente: N ( F a) N a N F. 3.3 delle forze at- Ma la uanttà al secondo ebro non è altro ce l rsultante tve, entre la uanttà al pro ebro, può scrvers: (a) R d N dq v, ove Q N v è la uanttà d oto del sstea. Con cò la 3.3 assue la fora: Q (a) R 3. 4 d e sotto uesta fora espre l Teorea della Quanttà d Moto ce dà luogo al seguente enuncato: «In un sstea dotato d oto rettlneo unfore, la dervata rspetto al tepo della Quanttà d Moto è uguale al Rsultante delle Forze attve»

30 3. 3. Il Teorea del oento della uanttà d oto. Al N.ro precedente abbao supposto ce per punt d un sstea eccanco, fosse: v v cost. Faccao ora, nvece, l potes ce sa: v ω ( P O), 3. coè ce l sstea sa dotato d oto rotatoro con ndpendente dal tepo. Allora, la 3. dvene: ω ndpendente da punt e l polo O N ω ( P O) ( F a ). 3. Tenendo conto dell arbtraretà d ω, s a successvaente: N ( P O) ( F a ) N [( P O) F (P O) a ] N (P O) N F (P O) a. 3.3 Ma l pro terne della 3. 3 non è altro ce l oento rspetto ad O, entre l secondo terne, scrtto nella fora: (a) M delle forze attve d N 3.4 ( P O) v s rvela essere la dervata rspetto al tepo, del oento, ce ndcereo con Γ, delle uanttà d oto v calcolato sepre rspetto ad O. Pertanto n luogo della 3. 3 ne rsulta la scrttura: dγ M (a) 3.5 la uale espre l Teorea del Moento delle Quanttà d Moto ce può esprers col seguente enuncato: «In un sstea dotato d oto rotatoro d polo O, la dervata rspetto al tepo del oento delle uanttà d oto (calcolato rspetto ad O), è uguale al oento delle forze attve»

31 Il Teorea dell Energa Cnetca. Supponao d applcare l euazone sbolca della Dnaca 3. a un sstea d punt a vncol fss (ovvaente blater e lsc) sceglendo (coe è possble n uesto caso) un nsee d spostaent vrtual concdente con uello effettvo attnente al oto reale. Allora, nella 3. le veloctà vrtual v avranno ance l sgnfcato d veloctà effettve. Cò stablto, applcando la legge dstrbutva del prodotto scalare, la 3. rsulta scrtta: N a v F N v Ora, la uanttà a secondo ebro è la potenza Π uanttà a pro ebro può scrvers nel odo seguente: (α) 33. delle forze attve, entre la N N dv N d v a v v 33. [NOTA: l passaggo dscende dall denttà d d v ( v v) v d v v d v ]. Rconoscao entro la parentes tonda della 33. l espressone dell Energa Cnetca T del sstea d punt, per cu la 33. stessa pù sntetcaente può scrvers: dt Π (α), ed n uesta fora espre l Teorea dell Energa Cnetca, ce può enuncars nel seguente odo: «La dervata rspetto al tepo dell Energa Cnetca d un sstea d punt ateral a vncol lsc fss è uguale alla Potenza delle forze attve». Una fora pù sgnfcatva d uella della s ottene ntegrando uesta uguaglanza entro l ntervallo d tepo t. Rsulta: t T ( a) dt Π T t t t t dl (a) () () T T L L (a) T L, ce legges: «In un sstea eccanco a vncol lsc fss, l ncreento d energa cnetca n un ntervallo d tepo t t, uguagla l lavoro delle forze attve coputo n uel edeso ntervallo d tepo». In partcolare osservao ce se un sstea, nelle condzon poste, è nzalente n uete (t ) e n un stante successvo t > lo s trova n oto, la sua Energa Cne-

32 3. 4 tca all stante nzale è nulla, entre all stante t è postva, coè è T >. Allora la (a) c dce ce è ance L >. In altr tern, nel passaggo dalla uete al oto le forze attve copono lavoro postvo. S conclude ce: «Se per ogn spostaento vrtuale la condzone L > non s verfca, coè s verfca la condzone (a) opposta: ( δ * L a) l ovento non può copers», Trovao così confera della 5., la Relazone Sbolca della Statca ce traduce l P.L.V. Rtornao a consderare la 33., nella uale abbao rconoscuto l espressone della Potenza delle forze attve: N (α) Π F v Moltplcando n uesta abo ebr per, abbao: Π ovvero: (α) N F v, N d*l F d P, nella uale, pocé le v sono veloctà effettve, d P sono spostaent effettv. Faccao a uesto punto notare ce abbao contrassegnato l lavoro eleentare con un astersco per evdenzare ce n generale esso può non essere un dfferenzale e- satto. S ntusce a uesto punto ce la crcostanza ce l ncreento d Lavoro conseguente ad un certo nsee effettvo (rcordao uesto assunto) d spostaent d P sa un dfferenzale esatto, sarà legata alla natura delle forze F. 34. La funzone potenzale. Se la desgnasse un dfferenzale esatto, allora susssterebbe una funzone U ( F, P ), d cu dl sarebbe l dfferenzale, e potrebbe scrvers: d*l dl du. 34. Facendo l potes ce le forze attve F dpendano esclusvaente dalla poszone de punt del sstea, la funzone U ( F, P ) dpenderebbe anc essa dalla sola poszone de punt. La caereo funzone potenzale,o seplceente potenzale. Assunte n coordnate x x,...,, atte ad ndvduare la poszone del sstea, scrvereo allora:, x n U U( x x,..., ) 34., x n

33 3. 5 Notao subto ce se l oto aettesse la 34, allora l Lavoro delle forze attve sarebbe ndpendente dal tpo d percorso ce l sstea potrebbe copere partendo da una poszone nzale A per gungere ad una poszone fnale B e dpenderebbe uncaente da ueste due poszon. Infatt, ntegrando la 34., s ottene: L AB B A du U ( B) U (A), 34.3 la uale ndca ce l lavoro coputo dalle forze attve è dato dalla dfferenza de valor ce la funzone U assue ne punt B e A, e da nessun altra crcostanza. Osservao ce la può ance essere nterpretata n un odo alternatvo. Infatt, nvertendo lt dell ntegrale, dovreo scrvere: L du U ( A) U (B) BA A B Soando allora le e 34. 4, s a: L L L, AB BA l ce sgnfca ce l lavoro coputo dalle forze attve n un cclo d percorso arbtraro ce port l sstea da una poszone A ad una poszone B e lo facca po rtornare n A, è nullo. A uesto punto è nteressante ndagare crca l legae ce sussste tra la funzone U U (P ) e le forze attve ce sollectano l sstea, legae ce costtusce la condzone per l esstenza della funzone potenzale. All uopo rscrvao, nell potes ce susssta la U, la nella fora: e sa: N du F d P, P P ( x, x,..., xn ) la relazone ce ndvdua punt P edante le coordnate assunte. Allora, n base a uesta relazone e alla 34., la s svluppa coe segue: N U N P P P F dx dx dx x x x xn N U N N P dx F dx x x

34 3. 6 Dovendo uesta relazone essere verfcata per ualunue nsee degl ncreent, assuao un nsee d ncreent nel uale sa dx l unco ncreento non nul- dx lo. Allora, la 34. 8, contenendo nella soatora rspetto a un unco addendo, dà luogo alle n relazon: U x P N F X ; (,,, n), x ove X, se ben osservao la struttura del secondo ebro della 34. 9, è a drs la coponente secondo la coordnata x, della sollectazone globale agente sul sstea, soa delle sngole coponent delle forze attve lungo la coordnata x. Pertanto, la legges nel seguente odo: «La dervata parzale della funzone potenzale rspetto alla coordnata x,se esste, è uguale alla coponente della sollectazone secondo uella coordnata». C cedao: «l esstenza della U e und la sua deternazone è asscurata n ogn caso?» La rsposta è negatva, però la deternazone della U è sepre possble per un sstea a un solo grado d lbertà soggetto a forze poszonal, coè a forze ce dpendono uncaente dalla poszone attuale assunta dal sstea. In tal caso, detta x l unca coordnata del sstea, la s rduce alla seguente: N du P X(x) F du X(x) dx. 34. dx x Conoscute allora le forze attve (poszonal) e und la funzone X(x), l potenzale s ottene edante una ntegrazone. Coè rsulta: U ( x) X ( x) dx Il Potenzale nel caso delle forze gravtazonal. Al N.ro precedente abbao vsto ce l Potenzale esste nella duplce condzone ce le forze attve sano d tpo puraente poszonale e l sstea abba un solo grado d lbertà. Per un sstea con ualunue grado d lbertà, la possbltà d ottenere una funzone potenzale sussste ancora purcé le forze attve sano costtute da forze-peso, coè provengano da un capo gravtazonale. Per dostrare tale asserto, rferendoc alla Fg. 35., osservao ce nel caso n uestone la poszone del generco punto P può essere deternata edante le coordnate x, y, z d una terna cartesana, l cu asse z assuao vertcale ascendente, per cu l relatvo vettore poszone sarà espresso da: P O x y j z. 35.

35 3. 7 D altra parte la forza s scrverà: F Fg. 35. F g, 35. essendo g l accelerazone d gravtà. Con cò la fornsce successvaente: N d*l d P g d( x y j z, F ( ) ) N dalla uale eseguendo l prodotto scalare, s trae: N d*l d ( g ) dz ) N g z Rcordando ce la uota zg del barcentro del sstea d asse è dato da: z G z z M z M z G con M assa totale del sstea, la può scrvers: d*l d( Mgz ) G, ce confrontata con la 34., ostra ce l Potenzale U sussste ed è dato da:

36 3. 8 U M g z G S not ce l segno eno ce ne rsulta per l potenzale, è attnente all asse vertcale assunto orentato verso l alto (asse z d Fg. 35. ). Se l asse vertcale s orenta verso l basso, coe spesso s fa ne proble, l potenzale a segno postvo. 36. Sste conservatv ed Energa potenzale. Quando è possble deternare una funzone potenzale (coe ne cas vst) e può und valere la (la uale espre ce l Lavoro delle forze attve dpende uncaente dalle poszon nzale e fnale del sstea eccanco), s dce ce la sollectazone ce agsce sul sstea è d tpo conservatvo e ce U ne è l Potenzale Vedao l otvo d uesta dzone. Valendo la 34., l Teorea dell Energa Cnetca espresso dalla può scrvers: dt du. 36. Integrando e ndcando con E una costante, dalla 36. s ottene: T U E T U E. 36. Introducendo la grandezza V, denonata Energa Potenzale, data da: V U, la 36. rsulta: T V E, fora ce legtta l seguente enuncato: «Nel oto d un sstea eccanco a vncol lsc fss e soggetto a sollectazone conservatva, è costante la soa della sua energa cnetca e della sua energa potenzale. Tale costante ce s suole ndcare con E prende l noe d Energa Totale del sstea» Pocé n ogn stante del oto vale la 36. 4, la E è una uanttà ce s conserva durante l ovento. D u l terne conservatve dato a uelle forze attve ce deternano un oto nel uale l Energa Totale s conserva (coè resta costante). A uesto rguardo occorre ntrodurre una ternologa n uso. S dà l noe d Integral pr (del oto) a uelle grandezze (o funzon) ce s traggono dalle euazon dfferenzal del oto d un sstea eccanco e ce durante l oto s antengono costant. Pertanto la caas Integrale (pro)dell Energa. Essa può vantaggosaente sostture una delle euazon del oto, o addrttura essere assunta coe euazone fnta per la deternazone dell atto d ovento (veloctà) se uesta è l ncognta ce nteressa n un sstea a un solo grado d lbertà. Consderao coe esepo l sstea d Fg. 36., costtuto da un dsco oogeneo pesante d assa ce rotola senza strscare su d un proflo (d fora ualsas) n un pano vertcale.

37 3. 9 Fg. 36. Sono verfcate tutte le potes rceste affncé l problea sa rsolvble applcando la forula Se z è la uota del centro del dsco contata da un certo lvello sull asse z orentato verso l alto, la funzone potenzale è data da U gz, entre l energa potenzale è data da: V gz L energa cnetca T è la soa dell energa cnetca del oto rotatoro del dsco attorno al suo asse e dell energa cnetca del oto traslatoro del suo centro: T J ω v Se R è l raggo del dsco è: v ω R, e la dventa: T v J J v v R R Allora, supponendo ce l dsco parta dalla uete ( T A ), l applcazone della all stante nzale e all stante fnale, porta a scrvere: gz A J gzb v B R

38 3. ( z z ) g J R A B v B g J R ove s è posto z A z B, dslvello tra le uote nzale e fnale. Introducendo l oento d nerza del dsco dato da J R, la dventa: vb ( g), forula ce è struttvo confrontare con uella ce fornsce strsc senza rotolare sul proflo lsco, la uale notoraente è: v B nel caso ce l dsco v ( g) 36. B ****** ******

39 4. 4. ENERGIA CINETICA IN COORDINATE LAGRANGIANE 4. Energa cnetca nell atto d oto traslatoro. Per gl svlupp teorc della Meccanca Analtca, noncé per la soluzone de proble, è portante rcavare l espressone dell Energa cnetca n coordnate lagrangane, espressone ce sarà da u- tlzzars n tutt cas n cu un sstea eccanco costtuto da N punt ateral P è dato nella fora: ove le P t), ( t),..., n ( t), t, 4. P ( ) ( (t) (,,, n) 4. sono appunto le coordnate lagrangane (v. ), e l tepo t è fatto fgurare esplctaente per coprendere nella trattazone ance l caso d vncol reono (v. ). Il rsultato relatvo a vncol sclerono s potrà ottenere coe caso partcolare d uesta pù generale postazone. Cò preesso, nconcao col rcaare l espressone dell energa cnetca n funzone delle veloctà (v.ance 33.) per un sstea d N punt ateral d assa, (,,, n), rferto a un sstea d ass cartesan Oxyz, (Fg. 4. ),scrvendo: P T N v v N v 4. 3 Fg. 4. Pocé nel rferento cartesano assunto, sngol punt P sono ndvduat da rspettv vettor poszone ( P O), le veloctà v sono espresse da: d d v ( P O) P P&, 4. 4

40 4. per cu, per ottenere le dovreo dervare la 4.. S a: v t d d d d n n P P P P v n t P P & 4. 5 Introducendo uesta espressone d nella 4. 3, s pervene a scrvere: v N T v v n n n t t P P P P & & Effettuando l prodotto scalare con l applcazone della legge dstrbutva, delle due uanttà entro parentes tonda, la 4. 6 può essere posta sotto la fora: n n a a a T & & & 4. 7 ove coeffcent sono funzon note (percé lo sono le 4. ) d,, t, date da: a a a,, & N a P P 4.8 N t a P P 4. 9 N t t a P P 4. S vede, osservando la 4. 7, ce n coordnate lagrangane l energa cnetca d un sstea a vncol olono reono è rappresentata da tre tern, d cu l pro è una fora uadratca nelle, l secondo è una fora lneare nelle, e l terzo è una fora ndpendente da ueste varabl. & & Nel caso ce vncol sano fss, la legge d dpendenza dretta dal tepo vene a ancare e la 4. 7 s seplfca peranendo n essa la sola fora uadratca, n uanto coeffcent a e a contenendo l fattore t P, rsultano null (v e 4. ). Specfcataente, rscrvendo la fora uadratca della 4. 7 per l caso de vncol sclerono, e facendo noltre uso del sbolso ndcale ce oette l segno d soatora, avreo: a T & &. 4.

41 4. 3 Pù espressvaente, la 4. 7 può essere posta n veste sbolca (atrcale), scrvendo: T A & & 4. nella uale la atrce: A [ a ] 4. 3 prende l noe d atrce dell energa cnetca. S osserv ce scabando gl ndc nella 4. 3, coeffcent a non cabano n uanto l prodotto scalare ce copare nella 4. 8, è coutable. Pertanto, la atrce 4. 3 è setrca. Faccao notare ce nella 4. s deve esegure pra l prodotto atrcale A &, l uale produce un vettore, e po l prodotto scalare del vettore ottenuto per l secondo vettore &. Il rsultato è uno scalare, uale appunto deve essere l energa cnetca. Eseguao lo svluppo descrtto nel caso bdensonale d due varabl lagrangane e. T a a a a & & & & a& a& a a & & & & [( a & a & ) & ( a & a & & ] ) & ( a a & & a & & a & ) T ( a& a& & a& ). 4.4 La 4. 4 ostra ce nell espressone dell energa cnetca n coordnate lagrangane, scrtta con l fattore n evdenza, coeffcent d e & sono rsp.te gl eleent dagonal a e a della atrce A [ a ], entre l coeffcente del prodotto & & dvso per, fornsce gl eleent setrc d A. Può essere utle per le applcazon estendere la 4. 4 al caso trdensonale. Per far uesto dovreo svluppare l espressone atrcale seguente: & T a a a 3 a a a 3 a a a & & & 3 & & &

42 4. 4 A cont fatt rsulta: T ( a & a & a & a & & a & & a & & ) Calcolao a o d esepo l energa cnetca del sstea rappresentato l Fg. 4., costtuto da due punt ateral d asse e collegat da un flo d assa trascurable. Il pro punto, P, s uove su d un pano orzzontale, entre l secondo punto,, pende vertcalente da un foro pratcato nel pano. P Fg. 4. Assuao coe coordnate lbere del sstea le due coordnate polar ρ e θ del punto P, l punto vncolato al pano. L energa cnetca totale è la soa dell energa cnetca T d traslazone nella drezone del flo (con θ cost.), d entrabe le asse, e dell'energa cnetca T connessa con la veloctà v ρθ (con ρ cost.), della sola assa. In forule: T ( ) ρ& 4. 7 d T ρθ ( ) θ 4. 8 ρ & Con cò, l energa totale del sstea è: [( ) ρ & ρ θ& ] T T T Confrontando uesto rsultato con la 4. 4, s possono estrarre gl eleent della atrce dell energa cnetca. Rsulta: a

43 4. 5 A ρ Energa cnetca nell atto d oto rotatoro d un corpo rgdo con un punto fsso. La forula 4. (o 4, ) provene da un postazone generale del problea con rferento a un sstea eccanco d punt ateral, ndvduato da coordnate lagrangane. Vedao coe uesta forula s specalzza nell portante caso del corpo rgdo dotato d oto rotatoro attorno a un punto fsso Ω. Suddvdao l corpo rgdo, ce un corpo contnuo, n partcelle τ (Fg. 4. ). Fg. 4. Detta µ la denstà (assa per untà d volue), la 4. 3 s scrve: T µ v v τ, 4. τ nella uale v è dato da: v ω ( P O). 4. Calcolao v v. S a: [ ω ( P Ω) ] [ ω (P Ω ] v v ) [ ω ( P Ω) ] (P Ω), 4. 3 ω avendo ottenuto l ulta espressone con l lecto scabo de segn d prodotto scalare e vettorale tra vettor ω ( P O), ω e ( P O). Con tale scabo, a snstra del segno d prodotto scalare, vene a coparre l doppo prodotto vettorale: ω (P Ω) 4.4 [ ] ω