LINEAMENTI DI MECCANICA ANALITICA

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1 A. BUSATO LINEAMENTI DI MECCANICA ANALITICA (PARTE ) MGBSTUDIO.NET

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3 SOMMARIO Lneaent d Meccanca Analtca, d cu u vene presentata la PARTE, costtuta dal CAPITOLO, è una stesura della atera effettuata con lnguaggo caro e seplce, corredato da esep, d argoent notoraente pegnatv sa dal punto d vsta concettuale, ce da uello ateatco. Tale stesura s rvolge prncpalente agl Student delle Facoltà scentfce ed è una base operatva per rsolvere te standard d esae della atera tradzonalente denonata Meccanca Razonale, a ce ogg nelle nostre Unverstà, superando l classco traguardo delle Euazon d Lagrange, va a trattare alcun argoent propr della Meccanca Analtca con ezz ateatc odern (Calcolo Matrcale). I prereust rcest al Lettore sono: ) Anals Mateatca standard; ) Meccanca Razonale fno alle Euazon d Lagrange escluse; 3) Anals lneare con specale rguardo al Calcolo Matrcale e ndcale. La PARTE, n preparazone sotto la denonazone d CAPITOLO, rprende e apla alcun argoent della pra parte, ne aggunge d altr a contenuto pù avanzato per l proseguo degl stud. Caratterstca del Testo è uella d non lascare nulla d ndostrato. A volte vene alleggerto l testo da contenut ateatc ce esulano da noral prereust sopra espost, a l loro rcao o la loro dostrazone vene data n appendc a paragraf affncé l testo sa assaente auto-contenuto.

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5 . CAPITOLO I Prncp fondaental della Dnaca de Sste dscret. RICHIAMI DI ALCUNI CONCETTI DI MECCANICA RAZIONALE. Coordnate Lagrangane. Dato un sstea d N punt ateral, P,..., (ce P denonereo ance partcelle e ndcereo con,,..., N ), eventualente soggett a vncol, la loro poszone nello spazo, rspetto ad un assunto sstea d rferento cartesano (da consderare nerzale), è ndvduata da rspettv vettor poszone r (,... n). (Fg..) Pocé ogn vettore poszone è dentfcato dalle sue tre coponent, ce sono ance le coordnate cartesane del punto ce esso ndca (estreo del vettore), ne consegue ce l sstea degl N punt è ndvduato da 3N coordnate cartesane. Tra ueste 3N coordnate possono sorgere delle relazon n conseguenza d eventual vncol a cu punt ateral sono soggett. S dce allora ce tal relazon traducono vncol. P N Fg.. Anzcé dalle coordnate cartesane, la poszone d un sstea d N punt può essere fssata edante le cosddette coordnate lagrangane, (dette ance coordnate generalzzate o coordnate ndpendent o coordnate lbere), ndcate soltaente con sbol,,..., n. Vedao coe. Sano s le euazon ce legano le 3N coordnate cartesane a causa de vncol (euazon vncolar). Allora, 3N s n coordnate rsultano lbere, coè suscettbl d assuere valor arbtrar. Esse, perettendo d accantonare la consderazone de vncol, s anfestano coe coordnate strettaente suff-

6 . cent a deternare la poszone del sstea d punt,e, consderate funzon del tepo, a descrverne l oto. S suole dre ce l loro nuero espre grad d lbertà del sstea. Inoltre, non è necessaro ce esse conservno un sgnfcato cartesano. Il pù delle volte, anz, ne sono prve. Qualunue eleento avente orgne geoetrca, angol, dstanze e loro funzon (eleent poszonal), può essere assunto a fare l uffco d coordnata, coe carsce, a o d esepo, la Fg.. rferentes al caso undensonale del pendolo seplce. Fg.. In uesto esepo, le coordnate cartesane del sstea sono x e y, legate dalla relazone: x y l ce traduce l vncolo della rgà dell asta OP, ovvero l vncolo dell appartenenza d P alla crconferenza d centro O e raggo l. Consderato ce le coordnate cartesane sono e c è un unca relazone d vncolo, l nuero d grad d lbertà del sstea costtuto dal pendolo è, dato dal conteggo. Pertanto, a defnre la poszone del sstea, basta una sola coordnata lagrangana, ce può essere costtuta dall angolo Φ ce l asta OP fora con la vertcale y. Ma ance una delle due coordnate cartesane, per esepo x, consderata da sola, può assuere l ruolo d coordnata lagrangana. Infatt, atteso l vncolo cu è soggetto l punto P, la poszone del sstea rsulta deternata assegnando x. A uanto spegato faccao segure la defnzone: «Dcons coordnate lagrangane (o generalzzate, o ndpendent, o lbere) d un sstea dnaco, e s ndcano con,,..., n, n grandezze d ualsas natura (o genes) geoetrca ce sano, n nuero strettaente suffcente, atte a deternare la poszone del sstea, e, consderate funzon del tepo, a descrverne l oto».

7 . 3. Classfcazone de vncol. La possbltà d sceglere un gruppo d coordnate lagrangana per dentfcare la poszone d un sstea eccanco, è legata ala natura de vncol. Ecco und la necesstà d una pra fondaentale classfcazone de vncol n base alla loro natura. Questa è caratterzzata dal tpo della loro rappresentazone analtca. Se una condzone d vncolo relatva a un sstea d N partcelle è rappresentable edante s relazon tra vettor poszone, ce n generale scrvereo: f ( r, r,...,, t) (,,..., s) rn. ove f è sbolo d funzone algebrca, ce eventualente possono contenere l tepo t n odo esplcto (a denotare ce vncol sono obl nel tepo), no dcao ce uella condzone d vncolo è d tpo olonoo. Abbao vsto al N.ro. ce s relazon ual le., fan sì ce restno lbere 3N s n coordnate, ce abbao ndcato con l (l,,, n). Questa rduzone del nuero delle coordnate è possble propro per la struttura algebrca delle., le ual consentono la elnazone d s varabl rendendole dpendent da n varabl ndpendent. (Infatt l sstea costtuto dalle., n nuero d s < 3N, è rsolvble assegnando arbtraraente valor d n varabl). Alternatvaente possao dre ce uando un sstea eccanco può essere descrtto da n coordnate lagrangana, esso a vncol olono. Se, nvece, la condzone d vncolo non può essere espressa nel odo descrtto, coè edante relazon del tpo., allora vncol vengono dett anolono. Il fatto salente ce caratterzza uesta crcostanza, è propro l fatto ce le euazon d vncolo non anno la fora fnta., e und non s prestano ad esplctare s varabl cartesane n funzone d n varabl del tpo l, rendendole con cò superflue. Precsaente, le euazon ce traducono vncol anolono s presentano n fora dfferenzale non ntegrable (coè n fora dfferenzale non esatta). Un caso ce s cta spesso coe esepo, è uello d un dsco ce rotola (senza strscare) su d un pano orzzontale, antenendos vertcale. (Fg.. ) Fg..

8 . 4 Per descrvere tale oto possono essere assunte le coordnate x e y del centro del dsco, l angolo d rotazone φ attorno all asse del dsco e l angolo θ ce l asse del dsco fora con l asse x del rferento cartesano. In conseguenza del vncolo, costtuto da una traettora sul pano d rotolaento, l odulo della veloctà del centro del dsco è dato da: Rφ & dφ v R. essendo R l raggo del dsco, entre la drezone della stessa è perpendcolare all asse del dsco. In conseguenza d cò, possao scrvere (Fg.. ): dx x& dy y& v senθ vcosθ. 3 Fg.. Introducendo la. nelle. 3, trovao le due euazon: dx R senθ dφ dy R cosθ dφ.4 ce, legando le varabl x, y,θ,φ, esprono l vncolo d rotolaento. Ma uesto legae s anfesta n fore dfferenzal non esatte (NOTA: sen θ dφ e cosθ dφ non sono dfferenzal esatt n uanto senθ e cosθ non sono nterpretabl coe dervate d una funzone d φ ) e und non ntegrabl, l ce rende possble esplctare alcune varabl coe dpendent dalle altre. In altr tern non è possble ottenere, per l pro-

9 . 5 blea posto, un sstea d coordnate lagrangana del tpo. Il problea non è und rsolvble col etodo ce fa capo alle coordnate lagrangana, a con altr espedent. Faccao rlevare ce, entre proble ce convolgono vncol olono, n vrtù della possbltà d ntrodurre le coordnate lagrangane, sono sepre rsolvbl secondo procedure foral, proble ce convolgono vncol anolono (per fortuna n noranza) non possono contare su d una va generale d approcco. Nella. abbao esso n evdenza esplcta la varable tepo. Quando le relazon d vncolo s presentano n tal odo, coè con la t esplcta, vncol sono varabl nel tepo e vengono dett reono. Se nvece, nelle relazon d vncolo l tepo non fgura esplctaente, coè se le. s scrvono: f ( r, r,..., ). 5 r N allora vncol non varano nel tepo. In uesta evenenza sono dett sclerono. Occorre rcordare ce rguardo a vncol s fa l portante dstnzone tra vncol ruvd (o real) e vncol lsc (o deal) a seconda ce v sano plcat fenoen d attrto oppure no. Va da sé ce l concetto d vncolo lsco è un concetto lte a cu s pervene per astrazone, consderando condzon effettve nelle ual l attrto s anfesta n progressone decrescente. Per una esatta coprensone d uanto segue, dobbao fare una precsazone lesscale, dstnguendo tra vncol fss e vncol cneatc. Col terne vncolo fsso ntendao un vncolo ce non perette alcun ovento al punto ce v è collegato, coe accade a un punto d una struttura costruttva collegato al suolo (a parte un accdentale cedento del vncolo stesso), entre col terne vncolo cneatco ntendao un vncolo ce concede al punto nteressato solo un ovento partcolare defnto geoetrcaente, co è l caso d un punto obblgato a gacere su d una data superfce o a percorrere una data lnea. Con la locuzone copatble con vncol attrbuta ad un nsee d spostaent vrtual (ved N.ro 3.), s deve ntendere un nsee d spostaent ce rspetta vncol, sa fss ce cneatc. 3. Spostaento vrtuale d una partcella. Precsao nnanztutto ce l aggettvo vrtuale vene usato n contrapposzone con l aggettvo reale (o possble). La dfferenza tra spostaento vrtuale e spostaento reale è n relazone con la condzone d ovento del vncolo, col fatto coè, ce l vncolo sa fsso o oble, ed è llustrata dalla Fg. 3., a) e b). La Fg. 3. a) ostra un partcella vncolata a uovers su d una superfce S lsca, a sua volta oble o deforable. Indcereo lo spostaento reale nel tepo della partcella, nzalente n contatto con S n P, nel seguente odo: d r δ r d P 3. coè coe soa dello spostaento δ r d sul pano tangente alla superfce S, e dello spostaento d P del suo punto d contatto su S.

10 . 6 Fg. 3. Se agnao ce al tepo nzale t dal uale pensao d effettuare lo spostaento, la superfce S ranga bloccata e rrga nella confgurazone raggunta al tepo t (coè ce rest da uesto stante oble), nella 3. dovreo avere d P. Pertanto, n tal caso, n luogo della 3. s scrverà: dr δ r 3. Cò preesso, con rferento ad una partcella d un sstea eccanco, caereo vrtual gl spostaent del tpo δ r per dstnguerl da uell del tpo dr, coè real. Occorre precsare ce per l uso ce fareo de concett ce andao ad e- sporre, convenao d attrbure agl spostaent vrtual δ r una assoluta arbtraretà, salvaguardando soltanto la loro copatbltà co vncol ( rrg al tepo t). Rassuao uanto detto nella seguente defnzone: «Dces spostaento vrtuale d una partcella d un sstea eccanco dscreto, uno spostaento ad essa attrbuto, arbtraro, nfnteso, e copatble co vncol rrg al tepo t» 4. Lavoro vrtuale delle reazon d vncolo. La defnzone data al N.ro precedente rguardo allo spostaento vrtuale, non è sterle percé porta con sé portant conseguenze. Innanztutto, pocé se l vncolo è lsco, coe abbao potzzato nella Fg. 3., la reazone Φ del vncolo è perpendcolare a δ r, rsulta: Φ δ r, 4. la ual relazone affera ce, n presenza d vncol lsc, l lavoro della reazone Φ per lo spostaento vrtuale δ r, è nullo. Caao uesto lavoro, lavoro vrtuale. C s rende conto subto ce, se d converso nella 4., ponao lo spostaento reale dr,

11 . 7 anzcé lo spostaento vrtualeδ r, l uguaglanza a zero non vale pù, coè l lavoro effettuato da Φ avrà un valore non nullo. Se le partcelle sono N, valendo la 4. per ognuna d esse, avreo: N Φ δ r, 4. relazone ce dà luogo al seguente enuncato:«dato un sstea eccanco dscreto costtuto da N partcelle, è nullo l lavoro totale delle reazon de vncol lsc sulle N partcelle soggette a spostaent vrtual» In uanto sopra esposto, abbao tactaente supposto ce vncol fossero blater, coè tal da non consentre alla partcella l abbandono del vncolo n conseguenza d un certo spostaento vrtuale. (Per esepo, nella fattspece d Fg 3., la fuoruscta della partcella da una banda della superfce S). In uesta crcostanza gl spostaent vrtual rsultano ance nvertbl, consentendo accanto allo spostaento vrtuale δ r, ance lo spostaento opposto δ r. Per esepo, nella stuazone d vncolo d Fg. 3., se la partcella non può abbandonare l contatto con la superfce, coè se resta strettaente vncolata a gacerv, gl spostaent vrtual possono avvenre esclusvaente su pan tangent a S e und accanto ad un δ r avreo sepre ance un δ r. Caereo nvertbl gl spostaent vrtual avent uesta caratterstca. Ma un vncolo può ance essere unlatero. Con tale terne s desgna un vncolo ce consente uno spostaento vrtuale δ r, a non l suo opposto δ r. Questo sarebbe l caso, se n Fg. 3. la superfce S costtusse una barrera per ovent della partcella ce tentassero d forarla verso l nterno, a non pedsse ovent d n allontanaento verso l esterno. E caro ce se l vncolo o vncol sono unlater, le 4. e 4. devono essere sosttute dalle seguent: Φ δ r N > Φ δ r > nelle ual s a l segno d dsuguaglanza anzcé uello d uguaglanza. A uesto rguardo è opportuno un carento. Se δ r avesse un valore fnto, ancorcé pccolsso, l contatto tra la partcella e la superfce d vncolo S cesserebbe per un δ r d- verso la banda non probta d S, talcé la reazone Φ cesserebbe d esstere, coè s retto avrebbe Φ, e la 4. 3 e la 4. 4 non potrebbero valere. Ma l concetto d nfnteso attrbuto a δ r fa sì ce esso non abba a un valore fnto, ancorcé pccolsso, a un valore pccolo a pacere, la cu enttà non può a deternars. Pocé per un valore deternato d δ r è Φ, ne consegue ce per un valore non deternato d δ r deve valere la negazone del precedente asserto, coè Φ. A carento po, del segno d dsuguaglanza > attrbuto alle 4. 3 e 4. 4, basta osservare con rferento alla Fg. 4. ce nel caso d vncolo unlatero, lo sposta-

12 . 8 ento non nvertble δ r dretto verso la banda accessble del vncolo, fora sepre un angolo acuto con la drezone d Φ, per cu prodott scalar 4. 3 e 4. 4 sono sepre postv. Fg. 4. Se nvece consderao una partcella lbera nello spazo esterno d S, vale la 4., n uanto è Φ. Per uanto detto, potreo allora condensare le 4. e 4. 4 nell unca forula: N Φ δ r 4. 5 valevole n generale per un sstea d partcelle n ualunue condzone precsata d vncolo (coprendendo n uesta locuzone ance l assenza d vncolo). La 4. 5 s e- nunca dcendo: «In un sstea eccanco a vncol lsc, le reazon vncolar sono tal ce l lavoro da esse coputo per ogn spostaento vrtuale è sepre non negatvo. Precsaente tale lavoro è nullo per ogn spostaento vrtuale nvertble, entre è postvo per ogn spostaento vrtuale non nvertble» 5. Il Prncpo de Lavor Vrtual (P.L.V.) e la Relazone sbolca della Statca. Precsao ce s dà l noe d prncpo ad un enuncato fsco-ateatco al uale s attrbusce, per nduzone da sngol fatt sperental, valà unversale, bypassando la necesstà d una dostrazone forale. Cò non sgnfca ce dell enuncato non s possa dare ne cas specfc la dostrazone. Anz, ogg, rconoscendo ce l noe d prncpo a una otvazone storca, è nvalso l uso d darne spesso la relatva dostrazone. Seguendo uesta tendenza, no und, dostrereo appresso l Prncpo de Lavor vrtual, l uale und pù propraente potrebbe caars Teorea de Lavor vrtual. Per la carezza d uanto segue, ponao ente o sottolneao nnanztutto l fatto ce la valà delle relazon è del tutto generale, ualunue sa

13 l orentaento delle forze attve ce agscono sulle rspettve partcelle. La forza attva F. 9 ce agsce sulla partcella a n generale una coponente ce ne provoca l oto, e una coponente ce vene eulbrata dalla reazone Φ. Le s rferscono esattaente a uesta reazone. Ora è caro ce se c rferao a condzon statce (coè d eulbro), la coponente d F ce provoca l oto è nulla. In tal caso le forse attve l euazone: F F j sono ugual ed opposte alle rspettve reazon e potreo scrvere Φ F 5. Con tale sosttuzone la 4. 5 s scrverà: N F δ r, 5. e n tale fora prende l noe d Relazone sbolca della Statca. In base a uest ulta dsuguaglanza, possao enuncare ce «n un sstea eccanco a vncol lsc, n condzon d eulbro, l lavoro vrtuale delle forze attve è sepre non postvo». Questa proposzone costtusce gà la pra parte del Teorea de Lavor vrtual, ce u d seguto voglao enuncare e dostrare nella sua copletezza. Dce l Teorea: «Dato un sstea eccanco a vncol lsc n eulbro n una certa confgurazone C, l Lavoro vrtuale (coè l lavoro attnente a un sstea d spostaent vrtual * copatbl) coputo dalle Forze attve è non postvo (coè è dato dalla 5. ). Vceversa, se l Lavoro vrtuale delle Forze attve è non postvo, l sstea eccanco è n eulbro» Per la dostrazone forale della pra parte del Teorea, aettendo l eulbro degl N punt ce costtuscono l sstea, scrvereo: F Fj Φ j (,,..., ) ( j,,..., N) 5. 3 essendo le F, le forze attve agent su punt P non vncolat e le F e Φ, le forze attve e le reazon agent su punt vncolat. Scrvao l espressone del lavoro vrtuale totale δ L delle forze attve coe soa d due tern d cu l pro rappresenta l la- (a) voro delle forze su punt non vncolat, entre l secondo rappresenta l lavoro delle forze su punt vncolat: N N (a) δ L F δ P F δ P j Fj δ Pj 5. 4 j j

14 . Per l potes espressa dalla pra delle 5. 3 ce s rfersce a punt lber, l pro terne della soa 5. 4 è nullo, pertanto la stessa s rduce alla seguente: (a) δ L N j F δ P j j 5. 5 Ma la 5., valda appunto nell potes dell eulbro, c dce ce la uanttà 5.5 è sepre non postva, per cu scrvereo: (a) δ L N j F δ P j j conforeente alla pra parte dell asserto. Per la seconda parte del Teorea, dobbao aettere l potes: δ L (a) { δ P } 5. 7 { } ove δ P ndca ogn nsee arbtraro d spostaent vrtual copatbl, dat a partre da una certa confgurazone generca C. Per la lbertà ce abbao, assuao coe nsee d spostaent vrtual copatbl uello ce coprende spostaent non null (arbtrar) per sol punt lber e spostaent null per tutt punt vncolat. Sceatcaente avreo: δ P P { P lber} 5. 8 δ P j P j { Pj vncolat} 5. 9 L nsee degl spostaent costtuto da due sottonse 5. 8 e 5. 9, ce ndcereo col sbolo S, è forato con tutt spostaent reversbl, o percé s rferscono a punt lber o percé sono null. Qund, con la scelta fatta S per gl spostaent vrtual, nella 5. 7 vale l segno d uguaglanza, e scrvereo: (a) δ L δ P F δ P S 5. Ora, la 5. assunta coe potes, può essere verfcata o percé tutte le F sono nulle, e allora tutto punt lber sono n eulbro, o percé sngol lavor vrtual s copensano due a due (supposto sano n nuero par). Ma uest ulta crcostanza non può sussstere per l arbtraretà della scelta de δ P, d cu possao dsporre per assuere d volta n volta class d spostaent contenent un solo spostaento vrtuale non nullo, l ce farebbe rdurre la soatora 5. ad un solo addendo non nullo. Ne rsulterebbe d nuovo F (,,, ).

15 . Pertanto dalla 5. 7 col solo segno d uguaglanza dscende l eulbro d tutt punt lber. Pocé l eulbro d uesto sottonsee d punt è accertato, prendao n consderazone n uanto segue solo punt vncolat, rferendo ad ess l potes 5. 7, ce u rscrvao: (a) δ L F δ P j j j (j,,, N) 5. Ragonao per assurdo e supponao ce l sstea de punt vncolat non sa n eulbro. Allora, appoggando le dee su d un vncolo unlatero costtuto da una superfce lsca uale raffgurata n Fg. 5., la forza attva F sulla partcella avrà una coponente tangenzale (parallela al pano tangente alla superfce) n coponente nora le F, talcé scrvereo: j j F t j e una F t n 5. F j F j n Ma : F Φ 5. 3 j j Fg. 5. per cu, n luogo della 5., scrvereo: t F F Φ j j ce perette d esprere l lavoro vrtuale delle forze attve nel odo seguente: (a) δ L N j F δ P j j N ( F Φ ) δ P F δ P Φ j t j j j N j t j j N j j δ P j, 5.5 ovvero sntetcaente:

16 . (a) (a) t δ L δ L δ L v, 5.6 nella uale l pro terne è l lavoro coputo dalle coponent tangenzal delle forze attve entre l secondo terne è l lavoro coputo dalle reazon vncolar. Usufruendo dell arbtraretà d scelta del sstea degl spostaent vrtual, assuao coe tale, l sstea degl spostaent effettv prodotto sul pano tangente alla superfce d vncolo dalle coponent tangenzal delle forze attve. Ma con tale scelta, entre l v (a) t lavoro δ L delle reazon vncolar è nullo, uello δ L delle coponent tangenzal delle forze attve è postvo. Pertanto, la 5. 6 vene a dre ce: δ L (a) >. 5.7 L avere und aesso ce l sstea non è n eulbro contraddce l potes d partenza 5.. Ne rsulta ce, aettendo uest ulta, l sstea è n eulbro. Il Teorea de Lavor vrtual è pertanto copletaente dostrato. Vedao alcun seplc esep d applcazone del P.L.V. al calcolo delle condzon d eulbro d un sstea. Con rferento alla Fg: 5. s vogla deternare per uale valore del contrappeso p, l peso vene eulbrato sul pano nclnato d nclnazone α. Fg.5. Dando al punto P lo spostaento vrtuale δ P verso l basso, lo spostaento vertcale ce subsce l punto Q, è dato da: δ Q δ Psenα, 5. 8 per cu, l euazone de lavor vrtual rsulta:

17 δ L p δ P δq p - δ Q δ P. 3 δ Psenα 5. 9 δ P p senα 5. Coe secondo esepo consderao la accna detta tagla raffgurata n Fg S vogla calcolare la forza p ce eulbra l peso. Fg Dao al punto A ove è applcata p lo spostaento vrtuale verso l basso,δ A. Il punto B s alzerà della stessa lungezza nfntesa nducendo una rotazone alla carrucola attorno al centro d stantanea rotazone O. Pertanto l asse della carrucola (e la relatva staffa) s alzerà della uanttà: δc δ A 5. Il P.L.V. fornsce allora: p δ A δa p 5. Un esepo eno banale dell applcazone del P.L.V. s a nella rcerca delle condzon d eulbro del sstea bella-anovella rappresentato n Fg. 5. 4, sottoposto ad una forza F agente sul pstone.

18 . 4 Fg Se M è l oento applcato alla anovella, l lavoro da esso effettuato per uno spostaento angolare vrtuale δ α, è Mδα, entre l lavoro effettuato falla forza F per lo spostaento lneare vrtuale δ x, è Fδ x, cosccé l P.L.V. fornsce: Mδα Fδ x δ x M F 5. 3 δα Per trovare l rapporto tra due spostaent vrtual ce fgurano nella 5. 3, e- sprao la lungezza della bella n funzone dell ascssa x dello snodo B e dell angolo d rotazone α della anovella. Con rguardo alla Fg. 5. 4, s a: r x rx cosα l 5. 4 Dfferenzando rspetto alle varabl x e α, ottenao: (x rcosα) δ x rxsenαδα δ x rxsenα, δ a x rcosα 5. 5 ce sosttuta nella 5. 3, fornsce nfne: M x Fr senα, 5.6 x rcosα nella uale x è data dalla: x rcosα l r sen α, 5. 7

19 . 5 ottenuta rsolvendo la 5. 4 rspetto a x. In tal odo la 5.6 fornsce per ogn valore d α, l valore d M ce eulbra la forza F agente sul pstone. 6. Applcazone del P.L.V. al calcolo delle reazon de vncol nelle strutture sostatce n Scenza delle Costruzon (S.d.C.). Al N.ro. abbao fatto la dstnzone tra vncol fss e vncol cneatc. Su tale dstnzone è fondato l etodo d calcolo delle reazon vncolar nelle strutture sostatce n S.d.C. ce sfrutta l P.L.V. E noto ce una struttura costruttva deve essere ancorata al suolo edante vncol fss. Quando uest sono n nuero strettaente suffcente a garantre l eulbro della struttura s dce ce la struttura è sostatca. In S.d.C. per vncolo applcato a un punto P s ntende un dspostvo o una dsposzone costruttva ce pedsce a P un ualce ovento; per nuero d vncol applcat a un punto P s ntende l nuero de ovent seplc pe al punto P (generalente nel pano). Gl spostaent seplc sono la traslazone orzzontale, la traslazone vertcale e la rotazone. Fg. 6. In odo seplfcato n S.d.C. s ctano ual vncol: l carrello con cernera (ce pedsce la traslazone n drezone perpendcolare al pano d scorrento del carrello), la cernera fssa (ce pedsce le traslazon orzzontale e vertcale), l ncastro (ce pedsce abedue le traslazon e la rotazone). (Fg. 6. ). In corrspondenza d cascun ovento peo nasce una reazone, ce è la forza ce l vncolo costruttvo oppone sul punto n cu è applcato per pedrne l ovento ce le forze gravant sulla struttura (forze d carco) tendono a provocare. Il nuero de ovent pe dal vncolo costruttvo e und l nuero delle reazon da esso generate, defnsce l rango del vncolo. Così s dce ce l carrello con cernera è un vncolo d rango (o seplce ), la cernera fssa è un vncolo d rango (o doppo), e l ncastro, un vncolo d rango 3 (o trplo). Iagnando d asportare l vncolo costruttvo e d sostturlo con tutte le sue reazon, la struttura non caba assetto e perane n eulbro. Volendo ettere n evdenza d un vncolo costruttvo d rango ultplo una sola reazone da esso eserctata, lo s sosttusce con un vncolo opportuno d rango edataente nferore copletandolo con la reazone voluta. Così per esepo, se n una cernera fssa s vuole ettere

20 . 6 n evdenza la reazone orzzontale, la s sosttusce con un carrello con cernera e s aggunge la reazone orzzontale. E con uesto trucco ce n S,d.C. alle strutture sostatce s applca l P.L.V. per l calcolo delle reazon vncolar. Il percé è subto caro: sosttuendo al vncolo costruttvo orgnaro (ce è un vncolo fsso) un vncolo costruttvo d rango edataente nferore con l aggunta della reazone voluta, non s altera lo stato d eulbro della struttura e nello stesso tepo un vncolo fsso vene trasforato n cneatco, coè n un vncolo atto ad assorbre uno spostaento vrtuale copatble (con lo stato d ancoraggo d tutta la struttura, coè con vncol resdu). S dce ance, n uesta fase d approcco all applcazone del P.L.V., ce s rende lable la struttura per potere ettere n evdenza la reazone voluta. (Precsaente una-volta-lable, n uanto s togle un solo vncolo seplce). Occorre fare un osservazone: consderando l sstea degl spostaent vrtual n una struttura resa lable, c accorgao ce tale sstea è ance un sstea d spostaent real per la struttura lable, n uanto ogn vncolo sussstente nella detta struttura (fsso o cneatco) è nvarable nel tepo. Cononostante n S.d.C. s contnua a parlare d spostaent vrtual, forse con un sgnfcato del terne un po dverso da uello n uso nella Meccanca Razonale, volendo ntendere con spostaent vrtual seplceente spostaent non real per la struttura effettva, ce è oble (senza rferent all nvarabltà teporale de vncol ce è d per sé scontata). Carao uanto detto con un esepo pratco. Consderao la struttura d Fg. 6. a), ce ostra una trave d lungezza l vncolata all estretà A con una cernera fssa, e n B con un carrello e cernera. Nel punto C agsce una forza vertcale F, essendo C a dstanza a da A e a dstanza b da B. C proponao d calcolare la reazone R B del carrello n B. Coe pro passo, rendao lable la struttura asportando l carrello e sosttuendolo con la sua reazone R B vertcale e orentata verso l alto. La Fg. 6. b) ce ostra l rsultato d tale operazone, ette n evdenza pure gl spostaent vrtual cneatc δ B e δ C ce la struttura lable consente. (Spostaent copatbl). Fg. 6.

21 . 7 Tal vncol cneatc sono costtut da arcett d crconferenze d centro A, ce punt B e C sono obblgat a percorrere nel loro spostaento. Le forze R B e F sono applcate a punt B e C rsp.te, a la loro applcazone non fa sorgere sul vncolo cneatco alcuna reazone. Inoltre gl spostaent δ B e δ C sono reversbl. Allora, punt B e C s trovano nella condzone d punt lber cu sano stat partt coe spostaent vrtual arbtrar uell concess da vncol cneatc. Con cò, sao ndott ad utlzzare per l nostro calcolo ce fa capo al P.L.V., la forula 5., la uale nella fattspece, tenendo conto de segn de sngol tern, s scrve: (a) δ L F δ C δb 6. R B R B F δ C 6. δ B Ma dalla Fg. 6. s rcava la proporzone: δ C δ B a l per cu la 6. dventa:, 6. 3 R a F la B B F l R Vedao così ce l P.L.V. perette d deternare la reazone del carrello R B. Consderao coe ulterore esepo la struttura d Fg. 6. 3, denonata arco a tre cernere, proponendoc la deternazone della reazone orzzontale della cernera C, conseguente alla condzone d carco costtuta da una forza orzzontale n B. Fg. 6. 3

22 . 8 Sosttuao la cernera C con l vncolo d rango edataente nferore (carrello con cernera) n odo da porre n evdenza la reazone cercata. Sono ora da rcercare gl spostaent vrtual orzzontal (coè nella drezone delle forze) de punt C e B. Cò vene fatto n base allo spostaento cneatco della struttura resa lable. (Teora delle catene cneatce). Dalla Fg. 6 3 s a, tenendo conto della concordanza o eno degl spostaent e delle forze: (a) δ L F δ B R C δ C 6. 5 R C δ B F 6. 6 δ C Osservando ce O è l centro d rotazone del sstea lable (punto d ncontro del prolungaento dell asta I con la norale al pano d scorrento del carrello), rsulta: δ B δ C, per cu la 6. 6 dventa: R F 6. 7 C Il prncpo de lavor vrtual trova n S. d. C. la sua pù produttva applcazone nella statca de sste elastc. ****** ******

23 .. SVILUPPI ORIGINATI DAL CONCETTO DI LAVORO VIRTUALE. Relazone ed euazone sbolca della Dnaca. Consderao un sstea S d N punt ateral P d assa : S {( P, ) ;,, N}...., a vncol lsc, soggett a forze. Per un osservatore nerzale vale l euazone fondaentale della Dnaca: F Φ a. ove le F sono le forze attve e le Φ, le reazon vncolar. Esplctando ueste ulte dalla., scrvereo: Φ ( F a).. 3 P Sa δ uno spostaento vrtuale dato a. Allora, oltplcando scalarene entrab ebr della. 3 per δ P e soando rspetto all ndce, ottenao: P N Φ δ P ( F a) N δ P. 4 Rconoscao al pro ebro l lavoro vrtuale delle reazon vncolar, ce n base alla 4. 5 è non negatvo. Coè abbao: N Φ δ P. 5 per cu la. 4 euvale alla scrttura: N ( F a) δ P., 6 Confrontando uesta euazone con la 5., rcordao ce sbol δ r e δ P sono eupollent esprente l P.L.V. nel caso della Statca, osservao ce s passa da uest ulta alla. 6 sosttuendo le forze con le forze: ( p) F F F a. 7 denonate da D Alabert forze perdute. Pertanto la.6, scrtta n vrtù della poszone. 7, nel odo seguente:

24 . N F ( p) δ P.8 può rguardars, nella sua espressone foralente dentca alla 5., coe una estensone alla Dnaca del P.L.V. valevole n Statca. Tale espressone prende l noe d Relazone sbolca della Dnaca e può essere enuncata dcendo: «Il lavoro vrtuale delle forze perdute è non postvo» Se vncol, oltre ad essere lsc sono ance blater, col ce tutt gl spostaent vrtual sono nvertbl, nella. 5 vale l segno d uguaglanza, cò ce coporta ce ance la.6 e la.8 abbano l segno d uguaglanza. In tal caso coè la.8 s scrve: N ( p) F δ P. 9 e n uesta fora prende l noe d Euazone sbolca della Dnaca.. Il Prncpo d D Alebert e l Euazone sbolca della Statca. Rconsderando la. 9, vedao ce, nel caso n cu sa a, la. 9, n vrtù della. 7, s rduce alla seguente: N F δ P,. espressone ce prende l noe d Euazone sbolca della Statca. Il noe è gustfcato dal fatto ce se a, l oto del sstea è caratterzzato da una veloctà nulla, coè l sstea è n uete, oppure da una veloctà costante (oto rettlneo unfore). Ma n uest ulto caso può assuers un rferento nerzale nel uale l sstea sa ugualente n uete. Pertanto supporre a è euvalente a supporre l sstea n condzon statce. Confrontando la. 9 e la., possao enuncare l seguente Prncpo: «Dato un sstea eccanco n condzon d eulbro statco e scrtte per esso le pertnent euazon sbolce della Statca, supposto ce l suo eulbro statco sa rotto e suo punt assuano le accelerazon a, le conseguent euazon dnace caratterzzant l oto s otterranno sosttuendo nelle euazon statce alle ( p) forze attve F, le forze perdute F» In uesta enuncazone consste l Prncpo d D Alebert, l uale, ntroducendo un nesso operatvo tra Statca e Dnaca, perette d scrvere con una regola seplcssa le euazon d ovento d un sstea, note ce sano uelle d eulbro, coe fareo vedere subto con un esepo. Consderao l dspostvo d Fg.. denonato Maccna d Atwood. Esso consste n due corp (puntfor) P e P, d asse rs.te e, appes agl estre d una fune sorretta da una carrucola d assa trascurable, l cu asse è pernato ad una staffa fssata ad una certa altezza.

25 . 3 Fg.. L eulbro del dspostvo è tradotto dall euazone della Statca: F F,. essendo F e F le forze-peso, drette secondo la vertcale, ce agscono sulle due asse. Applcando l Prncpo d D Alebert, n luogo della., dovreo scrvere: F a F a.3 da cu, proettando lungo l asse y ottenao l euazone scalare: F y a y F y a y..4 y F y g ay y Pocé F g e, e noltre a, essendo g l odulo dell accelerazone d gravtà, dalla.4 s a successvaente: g a y g a y a ) g( ) y ( a y g g* < g.5 Supponendo >, P dscende con accelerazone d gravtà g* < g. S coprende subto coe la accna serva per surare l accelerazone d gravtà g. Montando una assa poco pù grande d, g* rsulta pccola e faclente surable.

26 . 4 Dal valore d g* s può und rsalre al valore d g con la.5. Galleo utlzzava lo stesso crtero edante pan nclnat. Consderao coe secondo esepo dell applcazone del Prncpo d D Alebert un pendolo seplce. Fg.. Esso è un sstea avente un punto O fsso. L euazone d eulbro statco s pone scrvendo ce è nullo l oento rspetto al punto O, della forza F (costtuta dal peso) agente sulla assa. Avreo, coè: (P O) F. 6 Il Prncpo d D Alebert rcede ora ce la forza F sa sosttuta dalla forza perduta F a, nella uale a è l accelerazone nel oto vncolato (peresso da vncol), coè nella fattspece lungo la tangente alla crconferenza d centro O. Pertanto alla.6 sosttuao la seguente: (P O) ( F a),. 7 Dalla uale traao: ( P O) a (P O) F.. 8 Calcolando odul de due prodott vettoral, e consderando ce, per uanto detto, d s d θ a l, essendo s l ascssa curvlnea sulla traettora, scrvereo: dθ

27 . 5 d θ d θ g ll lg senθ senθ,.9 dθ dθ l ce è l euazone dfferenzale del oto del pendolo. [NOTA: l segno eno è gustfcato dal fatto ce l accelerazone auenta entre l ascssa curvlnea, contata dal punto pù basso dnusce]. Voglao da ulto dar ragone del noe d forze perdute attrbuto da D Alebert alle forze ndcate dalla.7. All uopo consderao l euazone., u rportata: F Φ a.. In uesta euazone a è l accelerazone del punto P del sstea nel suo oto effettvo vncolato, sotto l azone della forza attva e della reazone vncolare Φ. Se l punto fosse lbero, nella.6 sarebbe e l accelerazone sarebbe dversa da a, deternata uncaente dalla forza attva F. Ma per Φ s può scrvere l espressone.3, ce sosttuta nella.6 produce l denttà: Φ F F ( F a ) a. La.7 s nterpreta dcendo ce per ottenere l accelerazone effettva del oto vncolato del punto P, occorre sottrarre dalla forza attva F la forza F F a, la uale va und perduta agl effett del oto. Scrvendo la. 3 nella fora: ( p) a Φ ( F a ). s vede ce essa è uella parte d F ce va ad eulbrare la reazone vncolare Φ. C s sarà accort ce la flosofa profonda ce è alla base del Prncpo d D Alebert sta nel fatto ce l euazone del oto d un sstea sottoposto a vncol, può costrurs facendo astrazone dalle reazon de vncol stess. ****** ******

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29 3. LE CONSEGUENZE DELL EQUAZUINE SIMBOLICA DELLA DINAMICA Il Teorea della Quanttà d Moto. L euazone sbolca della Dnaca.9, ce u rportao per carezza: N ( p) F δ P N ( F a) δ P 3. la uale, rcordao, s rfersce a un sstea soggetto a vncol blater, porta con sé alcune sgnfcatve conseguenze. Dvdendo la 3. per, ottenao: N ( F a) v 3. δ P essendo v la veloctà (detta vrtuale) del punto P. Supponendo ce l sstea d punt sa dotato d oto (vrtuale) traslatoro rettlneo unfore, dovreo porre nella 3. : v v, costante per tutt punt, col ce la 3. stessa può scrvers: N v ( F a) 3. 3 dalla uale, data l arbtraretà d v, s ottene successvaente: N ( F a) N a N F. 3.3 delle forze at- Ma la uanttà al secondo ebro non è altro ce l rsultante tve, entre la uanttà al pro ebro, può scrvers: (a) R d N dq v, ove Q N v è la uanttà d oto del sstea. Con cò la 3.3 assue la fora: Q (a) R 3. 4 d e sotto uesta fora espre l Teorea della Quanttà d Moto ce dà luogo al seguente enuncato: «In un sstea dotato d oto rettlneo unfore, la dervata rspetto al tepo della Quanttà d Moto è uguale al Rsultante delle Forze attve»

30 3. 3. Il Teorea del oento della uanttà d oto. Al N.ro precedente abbao supposto ce per punt d un sstea eccanco, fosse: v v cost. Faccao ora, nvece, l potes ce sa: v ω ( P O), 3. coè ce l sstea sa dotato d oto rotatoro con ndpendente dal tepo. Allora, la 3. dvene: ω ndpendente da punt e l polo O N ω ( P O) ( F a ). 3. Tenendo conto dell arbtraretà d ω, s a successvaente: N ( P O) ( F a ) N [( P O) F (P O) a ] N (P O) N F (P O) a. 3.3 Ma l pro terne della 3. 3 non è altro ce l oento rspetto ad O, entre l secondo terne, scrtto nella fora: (a) M delle forze attve d N 3.4 ( P O) v s rvela essere la dervata rspetto al tepo, del oento, ce ndcereo con Γ, delle uanttà d oto v calcolato sepre rspetto ad O. Pertanto n luogo della 3. 3 ne rsulta la scrttura: dγ M (a) 3.5 la uale espre l Teorea del Moento delle Quanttà d Moto ce può esprers col seguente enuncato: «In un sstea dotato d oto rotatoro d polo O, la dervata rspetto al tepo del oento delle uanttà d oto (calcolato rspetto ad O), è uguale al oento delle forze attve»

31 Il Teorea dell Energa Cnetca. Supponao d applcare l euazone sbolca della Dnaca 3. a un sstea d punt a vncol fss (ovvaente blater e lsc) sceglendo (coe è possble n uesto caso) un nsee d spostaent vrtual concdente con uello effettvo attnente al oto reale. Allora, nella 3. le veloctà vrtual v avranno ance l sgnfcato d veloctà effettve. Cò stablto, applcando la legge dstrbutva del prodotto scalare, la 3. rsulta scrtta: N a v F N v Ora, la uanttà a secondo ebro è la potenza Π uanttà a pro ebro può scrvers nel odo seguente: (α) 33. delle forze attve, entre la N N dv N d v a v v 33. [NOTA: l passaggo dscende dall denttà d d v ( v v) v d v v d v ]. Rconoscao entro la parentes tonda della 33. l espressone dell Energa Cnetca T del sstea d punt, per cu la 33. stessa pù sntetcaente può scrvers: dt Π (α), ed n uesta fora espre l Teorea dell Energa Cnetca, ce può enuncars nel seguente odo: «La dervata rspetto al tepo dell Energa Cnetca d un sstea d punt ateral a vncol lsc fss è uguale alla Potenza delle forze attve». Una fora pù sgnfcatva d uella della s ottene ntegrando uesta uguaglanza entro l ntervallo d tepo t. Rsulta: t T ( a) dt Π T t t t t dl (a) () () T T L L (a) T L, ce legges: «In un sstea eccanco a vncol lsc fss, l ncreento d energa cnetca n un ntervallo d tepo t t, uguagla l lavoro delle forze attve coputo n uel edeso ntervallo d tepo». In partcolare osservao ce se un sstea, nelle condzon poste, è nzalente n uete (t ) e n un stante successvo t > lo s trova n oto, la sua Energa Cne-

32 3. 4 tca all stante nzale è nulla, entre all stante t è postva, coè è T >. Allora la (a) c dce ce è ance L >. In altr tern, nel passaggo dalla uete al oto le forze attve copono lavoro postvo. S conclude ce: «Se per ogn spostaento vrtuale la condzone L > non s verfca, coè s verfca la condzone (a) opposta: ( δ * L a) l ovento non può copers», Trovao così confera della 5., la Relazone Sbolca della Statca ce traduce l P.L.V. Rtornao a consderare la 33., nella uale abbao rconoscuto l espressone della Potenza delle forze attve: N (α) Π F v Moltplcando n uesta abo ebr per, abbao: Π ovvero: (α) N F v, N d*l F d P, nella uale, pocé le v sono veloctà effettve, d P sono spostaent effettv. Faccao a uesto punto notare ce abbao contrassegnato l lavoro eleentare con un astersco per evdenzare ce n generale esso può non essere un dfferenzale e- satto. S ntusce a uesto punto ce la crcostanza ce l ncreento d Lavoro conseguente ad un certo nsee effettvo (rcordao uesto assunto) d spostaent d P sa un dfferenzale esatto, sarà legata alla natura delle forze F. 34. La funzone potenzale. Se la desgnasse un dfferenzale esatto, allora susssterebbe una funzone U ( F, P ), d cu dl sarebbe l dfferenzale, e potrebbe scrvers: d*l dl du. 34. Facendo l potes ce le forze attve F dpendano esclusvaente dalla poszone de punt del sstea, la funzone U ( F, P ) dpenderebbe anc essa dalla sola poszone de punt. La caereo funzone potenzale,o seplceente potenzale. Assunte n coordnate x x,...,, atte ad ndvduare la poszone del sstea, scrvereo allora:, x n U U( x x,..., ) 34., x n

33 3. 5 Notao subto ce se l oto aettesse la 34, allora l Lavoro delle forze attve sarebbe ndpendente dal tpo d percorso ce l sstea potrebbe copere partendo da una poszone nzale A per gungere ad una poszone fnale B e dpenderebbe uncaente da ueste due poszon. Infatt, ntegrando la 34., s ottene: L AB B A du U ( B) U (A), 34.3 la uale ndca ce l lavoro coputo dalle forze attve è dato dalla dfferenza de valor ce la funzone U assue ne punt B e A, e da nessun altra crcostanza. Osservao ce la può ance essere nterpretata n un odo alternatvo. Infatt, nvertendo lt dell ntegrale, dovreo scrvere: L du U ( A) U (B) BA A B Soando allora le e 34. 4, s a: L L L, AB BA l ce sgnfca ce l lavoro coputo dalle forze attve n un cclo d percorso arbtraro ce port l sstea da una poszone A ad una poszone B e lo facca po rtornare n A, è nullo. A uesto punto è nteressante ndagare crca l legae ce sussste tra la funzone U U (P ) e le forze attve ce sollectano l sstea, legae ce costtusce la condzone per l esstenza della funzone potenzale. All uopo rscrvao, nell potes ce susssta la U, la nella fora: e sa: N du F d P, P P ( x, x,..., xn ) la relazone ce ndvdua punt P edante le coordnate assunte. Allora, n base a uesta relazone e alla 34., la s svluppa coe segue: N U N P P P F dx dx dx x x x xn N U N N P dx F dx x x

34 3. 6 Dovendo uesta relazone essere verfcata per ualunue nsee degl ncreent, assuao un nsee d ncreent nel uale sa dx l unco ncreento non nul- dx lo. Allora, la 34. 8, contenendo nella soatora rspetto a un unco addendo, dà luogo alle n relazon: U x P N F X ; (,,, n), x ove X, se ben osservao la struttura del secondo ebro della 34. 9, è a drs la coponente secondo la coordnata x, della sollectazone globale agente sul sstea, soa delle sngole coponent delle forze attve lungo la coordnata x. Pertanto, la legges nel seguente odo: «La dervata parzale della funzone potenzale rspetto alla coordnata x,se esste, è uguale alla coponente della sollectazone secondo uella coordnata». C cedao: «l esstenza della U e und la sua deternazone è asscurata n ogn caso?» La rsposta è negatva, però la deternazone della U è sepre possble per un sstea a un solo grado d lbertà soggetto a forze poszonal, coè a forze ce dpendono uncaente dalla poszone attuale assunta dal sstea. In tal caso, detta x l unca coordnata del sstea, la s rduce alla seguente: N du P X(x) F du X(x) dx. 34. dx x Conoscute allora le forze attve (poszonal) e und la funzone X(x), l potenzale s ottene edante una ntegrazone. Coè rsulta: U ( x) X ( x) dx Il Potenzale nel caso delle forze gravtazonal. Al N.ro precedente abbao vsto ce l Potenzale esste nella duplce condzone ce le forze attve sano d tpo puraente poszonale e l sstea abba un solo grado d lbertà. Per un sstea con ualunue grado d lbertà, la possbltà d ottenere una funzone potenzale sussste ancora purcé le forze attve sano costtute da forze-peso, coè provengano da un capo gravtazonale. Per dostrare tale asserto, rferendoc alla Fg. 35., osservao ce nel caso n uestone la poszone del generco punto P può essere deternata edante le coordnate x, y, z d una terna cartesana, l cu asse z assuao vertcale ascendente, per cu l relatvo vettore poszone sarà espresso da: P O x y j z. 35.

35 3. 7 D altra parte la forza s scrverà: F Fg. 35. F g, 35. essendo g l accelerazone d gravtà. Con cò la fornsce successvaente: N d*l d P g d( x y j z, F ( ) ) N dalla uale eseguendo l prodotto scalare, s trae: N d*l d ( g ) dz ) N g z Rcordando ce la uota zg del barcentro del sstea d asse è dato da: z G z z M z M z G con M assa totale del sstea, la può scrvers: d*l d( Mgz ) G, ce confrontata con la 34., ostra ce l Potenzale U sussste ed è dato da:

36 3. 8 U M g z G S not ce l segno eno ce ne rsulta per l potenzale, è attnente all asse vertcale assunto orentato verso l alto (asse z d Fg. 35. ). Se l asse vertcale s orenta verso l basso, coe spesso s fa ne proble, l potenzale a segno postvo. 36. Sste conservatv ed Energa potenzale. Quando è possble deternare una funzone potenzale (coe ne cas vst) e può und valere la (la uale espre ce l Lavoro delle forze attve dpende uncaente dalle poszon nzale e fnale del sstea eccanco), s dce ce la sollectazone ce agsce sul sstea è d tpo conservatvo e ce U ne è l Potenzale Vedao l otvo d uesta dzone. Valendo la 34., l Teorea dell Energa Cnetca espresso dalla può scrvers: dt du. 36. Integrando e ndcando con E una costante, dalla 36. s ottene: T U E T U E. 36. Introducendo la grandezza V, denonata Energa Potenzale, data da: V U, la 36. rsulta: T V E, fora ce legtta l seguente enuncato: «Nel oto d un sstea eccanco a vncol lsc fss e soggetto a sollectazone conservatva, è costante la soa della sua energa cnetca e della sua energa potenzale. Tale costante ce s suole ndcare con E prende l noe d Energa Totale del sstea» Pocé n ogn stante del oto vale la 36. 4, la E è una uanttà ce s conserva durante l ovento. D u l terne conservatve dato a uelle forze attve ce deternano un oto nel uale l Energa Totale s conserva (coè resta costante). A uesto rguardo occorre ntrodurre una ternologa n uso. S dà l noe d Integral pr (del oto) a uelle grandezze (o funzon) ce s traggono dalle euazon dfferenzal del oto d un sstea eccanco e ce durante l oto s antengono costant. Pertanto la caas Integrale (pro)dell Energa. Essa può vantaggosaente sostture una delle euazon del oto, o addrttura essere assunta coe euazone fnta per la deternazone dell atto d ovento (veloctà) se uesta è l ncognta ce nteressa n un sstea a un solo grado d lbertà. Consderao coe esepo l sstea d Fg. 36., costtuto da un dsco oogeneo pesante d assa ce rotola senza strscare su d un proflo (d fora ualsas) n un pano vertcale.

37 3. 9 Fg. 36. Sono verfcate tutte le potes rceste affncé l problea sa rsolvble applcando la forula Se z è la uota del centro del dsco contata da un certo lvello sull asse z orentato verso l alto, la funzone potenzale è data da U gz, entre l energa potenzale è data da: V gz L energa cnetca T è la soa dell energa cnetca del oto rotatoro del dsco attorno al suo asse e dell energa cnetca del oto traslatoro del suo centro: T J ω v Se R è l raggo del dsco è: v ω R, e la dventa: T v J J v v R R Allora, supponendo ce l dsco parta dalla uete ( T A ), l applcazone della all stante nzale e all stante fnale, porta a scrvere: gz A J gzb v B R

38 3. ( z z ) g J R A B v B g J R ove s è posto z A z B, dslvello tra le uote nzale e fnale. Introducendo l oento d nerza del dsco dato da J R, la dventa: vb ( g), forula ce è struttvo confrontare con uella ce fornsce strsc senza rotolare sul proflo lsco, la uale notoraente è: v B nel caso ce l dsco v ( g) 36. B ****** ******

39 4. 4. ENERGIA CINETICA IN COORDINATE LAGRANGIANE 4. Energa cnetca nell atto d oto traslatoro. Per gl svlupp teorc della Meccanca Analtca, noncé per la soluzone de proble, è portante rcavare l espressone dell Energa cnetca n coordnate lagrangane, espressone ce sarà da u- tlzzars n tutt cas n cu un sstea eccanco costtuto da N punt ateral P è dato nella fora: ove le P t), ( t),..., n ( t), t, 4. P ( ) ( (t) (,,, n) 4. sono appunto le coordnate lagrangane (v. ), e l tepo t è fatto fgurare esplctaente per coprendere nella trattazone ance l caso d vncol reono (v. ). Il rsultato relatvo a vncol sclerono s potrà ottenere coe caso partcolare d uesta pù generale postazone. Cò preesso, nconcao col rcaare l espressone dell energa cnetca n funzone delle veloctà (v.ance 33.) per un sstea d N punt ateral d assa, (,,, n), rferto a un sstea d ass cartesan Oxyz, (Fg. 4. ),scrvendo: P T N v v N v 4. 3 Fg. 4. Pocé nel rferento cartesano assunto, sngol punt P sono ndvduat da rspettv vettor poszone ( P O), le veloctà v sono espresse da: d d v ( P O) P P&, 4. 4

40 4. per cu, per ottenere le dovreo dervare la 4.. S a: v t d d d d n n P P P P v n t P P & 4. 5 Introducendo uesta espressone d nella 4. 3, s pervene a scrvere: v N T v v n n n t t P P P P & & Effettuando l prodotto scalare con l applcazone della legge dstrbutva, delle due uanttà entro parentes tonda, la 4. 6 può essere posta sotto la fora: n n a a a T & & & 4. 7 ove coeffcent sono funzon note (percé lo sono le 4. ) d,, t, date da: a a a,, & N a P P 4.8 N t a P P 4. 9 N t t a P P 4. S vede, osservando la 4. 7, ce n coordnate lagrangane l energa cnetca d un sstea a vncol olono reono è rappresentata da tre tern, d cu l pro è una fora uadratca nelle, l secondo è una fora lneare nelle, e l terzo è una fora ndpendente da ueste varabl. & & Nel caso ce vncol sano fss, la legge d dpendenza dretta dal tepo vene a ancare e la 4. 7 s seplfca peranendo n essa la sola fora uadratca, n uanto coeffcent a e a contenendo l fattore t P, rsultano null (v e 4. ). Specfcataente, rscrvendo la fora uadratca della 4. 7 per l caso de vncol sclerono, e facendo noltre uso del sbolso ndcale ce oette l segno d soatora, avreo: a T & &. 4.

41 4. 3 Pù espressvaente, la 4. 7 può essere posta n veste sbolca (atrcale), scrvendo: T A & & 4. nella uale la atrce: A [ a ] 4. 3 prende l noe d atrce dell energa cnetca. S osserv ce scabando gl ndc nella 4. 3, coeffcent a non cabano n uanto l prodotto scalare ce copare nella 4. 8, è coutable. Pertanto, la atrce 4. 3 è setrca. Faccao notare ce nella 4. s deve esegure pra l prodotto atrcale A &, l uale produce un vettore, e po l prodotto scalare del vettore ottenuto per l secondo vettore &. Il rsultato è uno scalare, uale appunto deve essere l energa cnetca. Eseguao lo svluppo descrtto nel caso bdensonale d due varabl lagrangane e. T a a a a & & & & a& a& a a & & & & [( a & a & ) & ( a & a & & ] ) & ( a a & & a & & a & ) T ( a& a& & a& ). 4.4 La 4. 4 ostra ce nell espressone dell energa cnetca n coordnate lagrangane, scrtta con l fattore n evdenza, coeffcent d e & sono rsp.te gl eleent dagonal a e a della atrce A [ a ], entre l coeffcente del prodotto & & dvso per, fornsce gl eleent setrc d A. Può essere utle per le applcazon estendere la 4. 4 al caso trdensonale. Per far uesto dovreo svluppare l espressone atrcale seguente: & T a a a 3 a a a 3 a a a & & & 3 & & &

42 4. 4 A cont fatt rsulta: T ( a & a & a & a & & a & & a & & ) Calcolao a o d esepo l energa cnetca del sstea rappresentato l Fg. 4., costtuto da due punt ateral d asse e collegat da un flo d assa trascurable. Il pro punto, P, s uove su d un pano orzzontale, entre l secondo punto,, pende vertcalente da un foro pratcato nel pano. P Fg. 4. Assuao coe coordnate lbere del sstea le due coordnate polar ρ e θ del punto P, l punto vncolato al pano. L energa cnetca totale è la soa dell energa cnetca T d traslazone nella drezone del flo (con θ cost.), d entrabe le asse, e dell'energa cnetca T connessa con la veloctà v ρθ (con ρ cost.), della sola assa. In forule: T ( ) ρ& 4. 7 d T ρθ ( ) θ 4. 8 ρ & Con cò, l energa totale del sstea è: [( ) ρ & ρ θ& ] T T T Confrontando uesto rsultato con la 4. 4, s possono estrarre gl eleent della atrce dell energa cnetca. Rsulta: a

43 4. 5 A ρ Energa cnetca nell atto d oto rotatoro d un corpo rgdo con un punto fsso. La forula 4. (o 4, ) provene da un postazone generale del problea con rferento a un sstea eccanco d punt ateral, ndvduato da coordnate lagrangane. Vedao coe uesta forula s specalzza nell portante caso del corpo rgdo dotato d oto rotatoro attorno a un punto fsso Ω. Suddvdao l corpo rgdo, ce un corpo contnuo, n partcelle τ (Fg. 4. ). Fg. 4. Detta µ la denstà (assa per untà d volue), la 4. 3 s scrve: T µ v v τ, 4. τ nella uale v è dato da: v ω ( P O). 4. Calcolao v v. S a: [ ω ( P Ω) ] [ ω (P Ω ] v v ) [ ω ( P Ω) ] (P Ω), 4. 3 ω avendo ottenuto l ulta espressone con l lecto scabo de segn d prodotto scalare e vettorale tra vettor ω ( P O), ω e ( P O). Con tale scabo, a snstra del segno d prodotto scalare, vene a coparre l doppo prodotto vettorale: ω (P Ω) 4.4 [ ] ω

44 4. 6 corrspondente alla fora generale: ( A B) C A ω con B P Ω 4. 5 C ω nella uale la parentes raccude pr due vettor. (S rcord ce l doppo prodotto vettorale non gode della propretà assocatva). Utlzzando la fora atrcale del doppo prodotto vettorale (v. Appendce ) alla 4.5 s può dare la seguente fora (n cu I è la atrce untà): ω (P Ω) I (P Ω) (P Ω) ω Inserendo uesta espressone al posto d l energa cnetca nella fora: v v nella 4., venao ascrvere T µ ω (P Ω ) (P Ω ) (P Ω ) τ ω I τ { [ ] } ω T ω µ ( P Ω) ( P Ω) ( P Ω) τ τ I, 4. 7 ove nell ulto passaggo è stato posto ω fuor del segno d soatora, dato ce non dpende dal punto del corpo. Nella 4. 7 rconoscao entro le parentes graffe la atrce d nerza J del corpo rferta al centro Ω (v. Appendce ). Pertanto la 4. 7 può scrvers: T ω Jω Jω ω Pocé ω è legata al vettore θ degl angol ce deternano la poszone del corpo (per esepo tre angol d Eulero) dalla relazone: ω θ &, 4. 9 la 43. 8, s scrverà n defntva nel odo seguente: T J θ & θ &, 4.

45 4. 7 la uale, confrontata con l espressone 4., c dce ce uest ulta nel caso del ovento d un corpo rgdo con un punto fsso, s specalzza utando la atrce dell energa cnetca A, nella atrce d nerza J del corpo rferta al punto fsso Ω, e utando altresì l vettore delle coordnate lagrangane, nel vettore degl angol d rotazone θ. Osservao ce se s assue un rferento avente gl ass concdent con gl ass prncpal d nerza del corpo n oggetto, la atrce J è dagonale, per cu, dette p,, r le coponent d ω, possao scrvere: ( Cr B Ap r p Cr B Ap r p r p C B A T ) Energa cnetca nel oto rotatoro d un corpo rgdo con un asse fsso. Nel caso n cu l corpo rgdo abba un asse fsso, la veloctà angolare ω a una drezone fssa (ce è uella dell asse, asse d rotazone), per cu, detto θ l angolo ce rappresenta l unco grado d lbertà del corpo, s dovrà porre n luogo della 4. 9, la relazone: ω θ & û, 43. essendo u l versore dell asse d rotazone. Allora la 4., assuendo l asse d rotazone concdente con l asse cartesano z, rsulta: ˆ u u ˆ ˆ θ θ & J & T u u θ & ˆ ˆ J θ θ θ θ & & & & J C C B A, 43. avendo posto C J, oento d nerza attorno all asse d rotazone z. 44. Energa cnetca nel oto rgdo pano. Merta una dscussone partcolare l oto rgdo pano, coè l oto d un corpo rgdo ce avvene per tutt suo punt parallelaente a un pano. L atto d oto n tal caso può essere traslatoro o rotatoro. Se è traslatoro tutt punt del corpo anno la edesa veloctà v. Allora nella 4. potreo scrvere fuor del segno d soatora, ottenendo: v v v τ τ µ v v T τ τ µ v

46 4. 8 T v vg. 44. Pocé v, nel caso n esae, è costante per tutt punt del corpo, abbao assunto v v G, ntendendo con vg la veloctà del barcentro, per rferrc ad un punto sgnfcatvo. Se nvece, l atto d oto è rotatoro, è noto ce esso avvene, stante per stante, attorno ad un punto C, detto centro d stantanea rotazone, la cu veloctà nell stante consderato è nulla. In base a cò, per un generco punto P del corpo rgdo nel suo ovento pano, possao scrvere: v ω ( P C), 44. ove ω, veloctà angolare, è un vettore norale al pano del oto. D conseguenza l suo versore û conserva drezone costante e l calcolo dell energa cnetca non è dssle da uello effettuato per l corpo rgdo con un asse fsso, calcolo ce porta alla 43.. A tale forula potreo dare un pù espressvo aspetto scrvendo: T J Cω, ove l pedce C, posto a J, sta a rcordare ce l oento d nerza va calcolato rspetto all asse d stantanea rotazone, la cu tracca sul pano del oto è per l appunto C. Osservao a uesto punto ce non è sepre agevole l calcolo dretto della 44. 3, l uale rcede tra l altro d sapere ndvduare l centro d stantanea rotazone. Soccorre allora, l cosddetto Teorea d Köng, edante l uale la può essere sosttuta dalla relazone: T J Gω MvG, ove M è la assa totale del sstea. Con uesta relazone l calcolo d T vene scsso nel calcolo dell energa cnetca d un oto rotatoro barcentrale e nel calcolo dell energa cnetca d un oto traslatoro. Precsaente. l Teorea d Köng s enunca coe segue: «L energa cnetca d un sstea eccanco S, rspetto ad un rferento prefssato Oxyz, è uguale all energa cnetca calcolata rspetto al suo rferento barcentrco G x y z, soata all energa cnetca della assa totale M del sstea agnata concentrata nel barcentro G (calcolato rspetto al rferento Oxyz» Per la dostrazone c rferreo ad un sstea dscreto d asse. In base alla defnzone d energa cnetca, rspetto a rferent Oxyz (fsso) e G x y z (barcentrale con gl ass d orentaento fsso), scrvereo nell ordne:

47 T T (O) (G) N v v N Ma la veloctà v, per la coposzone delle veloctà, è data dalla soa della veloctà v rspetto al rferento oble (barcentrale) con la veloctà vg del sstea oble rspetto a uello fsso, dentfcata con la veloctà del barcentro del sstea d asse. Coè: v v v G Introducendo la nella 44. 5, s a allora: N ( v v G ) T (O) v G vg N N N v v (O) G (G) T T MvG Q vg Ma per l Teorea del Moto del Barcentro, e consderando ce la veloctà del barcentro rspetto al rferento barcentrale è nulla ( v G ), è: Q (G) M v G, per cu l terzo terne della è nullo. Cò dostra l teorea. Per applcare l Teorea d Köng al caso del oto rgdo pano, coè percé la sa euvalente alla 44, 3, occorre ce l orgne O del rferento Oxyz, sa assunta concdente col centro d stantanea rotazone (v. Fg. 44. )

48 4. Fg. 44. Allora, sul pano del oto abbao: ( G ) ωd v ω C. 44. G Con cò, la dventa: T J Gω M ω d ( J G M d ) ω. 44. Confrontando uesta con la 44. 3, s a: J C J G M d 44. n accordo col Teorea del trasporto del oento d nerza. E appena l caso d rarcare ce l applcazone ce abbao fatto del Teorea d Köng n relazone al oto rgdo pano è solo un caso partcolare della sua pù generale valà, coe del resto rsulta caro dall postazone della dostrazone ce ne abbao fatta. Proponao ualce esepo attnente a uanto spegato n uesto N.ro. S vogla deternare l energa cnetca d una ruota oogenea ce rotola senza strscare su d una rotaa avanzando con veloctà v (Fg, 44. ). Fg. 44.

49 4. S tratta d un oto rgdo pano ce avvene sul pano vertcale. Applcereo pertanto la relatva al Teorea d Köng, nella uale è dato da J M R la nella fattspece s scrve: G e v G è la veloctà del barcentro rspetto al rferento fsso Oxy. Allora J G T M R ω MvG Pocé a causa del rotolaento, è v ω G, la fornsce: R T M R v R G Mv G 3 T MvG Se la ruota strsca parzalente sulla rotaa con veloctà v s, tale veloctà è da aggungere alla veloctà ω R dovuta al puro rotolaento, per cu la veloctà lneare del barcentro, dventa: * v ωr G v s La forula ce traduce l Teorea d Köng, osservato ce n vrtù della 44. 5, è ora ω R v * * G v s, e consderato ce la veloctà del barcentro è ora v G, s scrve: * * ( v v ) v T M G s M G, la uale può ance pors sotto la fora: T 3 4 * ( v ) * M vg M vs G v s * Se v, consderato ce n uesto caso è v v, s rtrova l rsultato s Se v * * s v G, coè se la veloctà del barcentro v G è ottenuta per puro strscaento (per esepo, frenatura ce blocca l oto rotatoro), l atto d oto dvene puraente traslatoro e dalla s rcava: G G T * M vg M v s M v G coe deve rsultare per la 44..

50 4. Coe secondo esepo consderao l sstea raffgurato n Fg , consstente n due sfere oogenee ugual d raggo R e assa ndvduale M collegate da un asta rettlnea oogenea d lungezza l e d assa dsposta lungo la retta ce congunge centr delle due sfere. Il sstea ruota con veloctà angolare ω attorno ad un asse vertcale norale all asse d collegaento e passante per la sua ezzera. S vogla calcolare l energa cnetca del sstea. Fg Il pano del oto è l pano orzzontale. Assuao coe rferento fsso Oxyz, un rferento ce abba l orgne O concdente col punto d ezzo dell asta d collegaento delle due sfere, e coe rferento barcentrale Gx y z, un rferento ce abba l orgne G concdente col barcentro d una sfera. L asse z sa concdente con l asse d rotazone del sstea, e l asse z gl sa parallelo. Rcordaoc ce gl ass accentat, coe uell non accentat, anno orentaento fsso, cosccé rspetto all osservatore G la sfera s uove d oto rotatoro, con veloctà ω, attorno al propro daetro concdente con l asse z. (Per convncers s consder la Fg , nella uale s vede un dsco collegato ad un asta ruotante ntorno ad O. Rspetto al rferento Gx y cu ass anno orentaento fsso, entre G cope l percorso della crconferenza γ, un punto P del dsco cope una rotazone copleta ntorno a G) Fg

51 4. 3 da: In relazone a uesto ovento rotatoro, l energa cnetca d una sfera è data T 5 5 (G) s J sω MR ω MR ω L energa cnetca della assa M concentrata n G, rspetto al rferento O, è: ( l R) ω. 44. ( ) T O s MvG M Pertanto, l energa cnetca del sstea costtuto dalle due sfere, calcolata n base al Teorea d Köng (nel rferento Oxyz), s scrverà: (G) (O) [ T T ] MR ω M ( l R) s s ω 5 MR M ( l R) ω L energa cnetca dell asta d collegaento delle sfere (nel rferento Oxyz) è: T (O) a J a ω L ω ( l) ω 6 l ω. 44. Con cò, l energa cnetca totale del sstea (rspetto al rferento Oxyz), soando le energe cnetce parzal de suo coponent, rsulta: T ω M R M ( l R) l Coe successvo esepo d applcazone del Teorea d Köng per l calcolo dell energa cnetca d un oto rgdo pano, possao consderare l asta rgda oogenea d assa ce s uove su d un pano dotato del rferento Oxy, coe ostra la Fg In tale pano l asta possede tre grad d lbertà. La sua poszone può essere deternata edante le coordnate x, y G G del suo barcentro G, e edante l angolo ce essa fora con l asse x, coe ostrato n fgura.

52 4. 4 Fg Applcando l Teorea d Köng, se v v è l odulo della veloctà del barcentro, scrvereo: G G θ & vg, T J G e ntroducendo l valore d per l asta: J G θ & vg T l Volendo esprere T n funzone d tutte le coordnate lbere, calcolereo le coponent della veloctà nel odo seguente: v G ( G O) x y j G & x& y& j G G G G G & v x y G G D conseguenza la rsulta: G T l θ & x& G y& G Volendo rcavare la atrce dell energa cnetca per l sstea preso n esae (asta dotata d oto pano), dovreo confrontare la con la S ottene: A l 44. 8

53 4. 5 Per un esepo con calcol un po pù laboros s può consderare l problea llustrato n Fg Una lana rgda d assa s uove n un pano vertcale sostenuta da un flo teso (o da un asta d assa trascurable con cernere agl estre) ce collega un suo punto A ad un punto fsso O del pano. S tratta d un problea bdensonale nel uale, assunto un rferento Oxy coe ostrato n fgura, possono essere fatt ntervenre coe coordnate lbere, gl angol θ e φ, l pro forato dal flo (o dall asta) con l asse vertcale y, l secondo forato dalla retta AG sepre con l asse vertcale y, essendo G l barcentro della lana (Fg ) Fg Applcando l Teorea d Köng, scrvereo: φ & vg, 44.9 T J G avendo osservato ce rspetto al rferento barcentrale G x y z, è φ & la veloctà angolare della lana, avendo noncé ndcato con v G la veloctà del barcentro e con J G l oento d nerza della lana rspetto all asse z (norale al pano della lana stessa). Per esprere ance l secondo terne d T n funzone delle coordnate lbere, dato ce: v G x& y& G G con x e y G G, coordnate del barcentro, occorrerà esprere ueste ulte n funzone d θ e φ. Con rguardo alla Fg , ottenao:

54 4. 6 x l senθ asenφ G y lcosθ acosφ G Fg Qund, dervando: x& y G G lcosθ θ& acosφ φ& lsenθ θ& asenφ φ& Allora la rsulta: G l cosθ θ& acosφ φ& ( lsenθ θ& asenφ φ& ) v ( ) v l θ& a φ& laθφ & & cos( φ θ ) G Con cò la s scrve: T G J ( ) φ & θ& a φ& laθφ & & cos( φ θ ) l T [ J G θφ & & l θ& ] ( a ) φ & lacos( φ θ ) Confrontando la con la 4. 4 s può costrure la atrce dell energa cnetca, ce rsulta:

55 ( ) 4. 7 J G a lacos φ θ A lacos( φ θ ) l ****** ******

56 4. 8 Appendce al Paragrafo 4 DOPPIO PRODOTTO VETTORIALE Il doppo prodotto vettorale s presenta n cert svlupp teorc. Esso può essere scrtto ne due od seguent: ( ) C A B e A ( B C). essendo necessaro precsare la poszone delle parentes n uanto l doppo prodotto vettorale non gode della propretà assocatva, coe è facle verfcare n base alla prortà delle operazon ndcata dalle parentes. Per uanto segue c rferreo alla pra scrttura. Svluppandola ottenao: ( ) C A B A A A ( C jc ) B 3 C3 j B B 3 [( ) ( ) ( )] ( ) A B A B j A B A B A B A B C jc C3 La è l prodotto vettorale d due vettor, und scrvereo: j A B ( A B A B ) ( A B A B ) ( A B A B ) ( ) C 3 C 3 3 C 3 C 3 [( A B A B ) C ( A B A B ) ] C [( A B A B ) C ( A B A B ) ] j 3 3 C3 [( A B A B ) C ( A B A B ) ] C Consderando la pra coponente, possao ordnare tern entro parentes uadra nel odo seguente: [ B ( A C A C ) A ( B C A )] 3 3 3C3. 4 Aggungendo entro la parentes uadra la uanttà nulla può scrvere: [ B ( A C A C A C ) A ( B C B C B C )] B A C A BC la 4 s

57 4. 9 [ B ( A C) ( B C)]. 5 A Operando analogaente sulle altre coponent del vettore 3, ueste ulte assuono la fora: j [ B ( A C) A ( B C)] [ B 3 ( A C) A ( B C) ] B S vede così ce la 5, la 6 e la 7 sono le coponent del vettore, per cu ne rsulta l denttà: ( A C) A( B C) ( A B) C B( A C) A( B C), 8 ce può enuncars coe segue: «Il doppo prodotto vettorale con pr due vettor entro parentes, è un vettore dfferenza d due vettor, l pro de ual è l vettore centrale oltplcato per l prodotto scalare de vettor estre, entre l secondo è l pro vettore oltplcato per l prodotto scalare de successv». S può dare veste atrcale alla 8, ntroducendo la atrce A B, detta prodotto tensorale tra vettor A e B, e defnta dalla scrttura: A B A B A B A B3 A B A B A B3. 9 A 3B A3 B A3 B3 E facle verfcare, applcando le regole dell algebra atrcale, ce rsultano le denttà: ( A B) C A( B C), ( B C) A B( C A), per cu la 8 può scrvers n veste atrcale coe segue: ( A B) C ( B C) A ( A B) C. Nel caso n cu vettor estre sano ugual, coè sa C A, la 8 rsulta: ( A B) A A B A( B A). Cabao sbol nella, per applcarla alla trattazone del Par.fo 4, e und ponao:

58 4. A ω B ( P Ω) P 3 La rsulta scrtta: ( ω P) ω ω P ω ( P ω ). 4 Moltplcao scalarene entrab ebr della per P. Ottenao: ( ω P) ω P ω P ω( P ω) P ( ) P ω P ω P ω 5 Con rguardo al pro terne del rsultato 5, osservao ce und potreo scrvere: ω P ω P P è un nuero; Iω. 6 Rguardo nvece al secondo terne del rsultato 5, osservando parent ce ( P ω) è un nuero ce per l oento porreo uguale a, scrvendo: ( P ω ), 7 avreo: ω ( P ω) P ω P ( P ω) Ma è facle verfcare ce:. 8 ( P ω) ω ( P P)ω, 9 ove P P è la atrce, espressa n base alla 9, dalla scrttura: P P P P P P P P3 P P P P P P3 P 3P P3 P P3 P3 Pertanto, al posto della 5 con le trasforazon esegute, potreo scrvere: ( ω P) ω P ω P Iω ω ( P P)ω, e und, con successv raccoglent ostrat:

59 [ ] ( ω P) ω P ω P ω ( P Pω) I [ ] ( ω P) ω P P ( P P) 4. ω I ω, la uale, rcordando la poszone 3, dostra la 4. 6.

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61 5. 5. LE EQUAZIONI DI LAGRANGE 5. Preesse ateatce. L euazone sbolca della Dnaca stablta al Par.fo con la. 9 (o la. 6, presa col segno d uguaglanza), è l punto d partenza per gungere alla forulazone delle Euazon d Lagrange, fondaentale ezzo per la rsoluzone de proble d Dnaca e base per ulteror svlupp teorc. Inconcereo dunue col rscrvere u appresso l Euazone sbolca della Dnaca: N ( F a ) P, 5. δ rcordando l portante crcostanza ce essa s rfersce al caso d sste con vncol oltre ce lsc ance blater, l ce lta la sua valà alle confgurazon ordnare del sstea eccanco, non potendo applcars alle confgurazon d confne, ove vncol non sono pù blater. Tale crcostanza è faclente ntuble uando s pens ce nelle confgurazon d confne, le grandezze cneatce perdono la loro contnutà ateatca a causa d urt, entre la contnutà è condzone necessara per la dfferenzabltà e und per la forulazone del problea dnaco n tern d euazon dfferenzal. (NOTA: lo studo del sstea n una confgurazone d confne va affrontato con ezz dvers da uello proposto nel presente Paragrafo). Cò preesso, ntroducao subto l potes ce l sstea S, ce voglao prendere n consderazone, sa olonoo, coè ce la sua dentfcazone poszonale possa essere fatta edante le coordnate lagrangane n nuero d n (v. N.ro ). Cò coporta ce possa scrvers la relazone d dentfcazone, consderando l caso generale d vncol reono, data da: P ( ( t), ( t),..., n( t), t), P S, (,,, N) 5. P E opportuno stablre prelnarente per la carezza dell esposzone, tre relazon ce c saranno utl negl svlupp ateatc. Precsaente, s anno le denttà seguent, ce elencereo con a), b), c), le ual convolgono spostaent e veloctà vrtual: a) b) c) δ P v & v P n d P δ P 5. 3

62 5. La 5. 3 a) espre lo spostaento vrtuale della -esa partcella del sstea n conseguenza delle varazon d (,,, n) delle sue coordnate, consderando vncol congelat all stante t, dato ce stao parlando d spostaent vrtual. (NOTA: se vncol fossero reono occorrerebbe aggungere all espressone 53. a) la P uanttà ). L espressone 5..3 a) rspecca l analoga forula ce espre t l ncreento d una fnzone d pù varabl nel capo reale. S arrva ad essa ance per va forale (coe deve essere per la legge d estensone de concett ateatc dal capo reale a cap pù copless), consderando la Fg. 5.., ce ostra l ncreento P d un generco punto P conseguente all ncreento della sola coordnata, essendo un ndce specfcato. Potendos scrvere l uguaglanza: Fg. 5. P P P ( ) P ( ) 5. 4 passando al lte per, foralente s ottene: l P l P ( ) P ( ) l δ P δ P δ δ Soando gl ncreent P pertnent ad ogn ndce d s ottene la a) delle Per la dostrazone della 5. 3 b), basta scrvere l espressone della veloctà v del punto P nel caso generale d vncol reono. Dervando la 5. rspetto a t, s a:

63 5. 3 t d n n P P P P P P & & & & v, 5. 6 ovvero, n fora copatta: t n P P & v S vede dalla 5. 7 ce la dervata d rspetto a rsulta data dal coeffcente d v & &, e solo da uesto, n uanto tutt gl altr tern non dpendendo da danno un contrbuto nullo. Ne rsulta pertanto la 5, 3 b). & Per la dostrazone della 5. 3 c), osservao ce partendo dalla scrttura: d P v, 5. 8 s gunge, dervando abo ebr rspetto a, all espressone: d v P, 5. 9 dalla uale s ottene la 5. 3 c) nvertendo l ordne delle dervazon. Può sorgere ualce dubbo crca la legtttà d tale nversone, fatta estendendo sc et splcter la regola dell nvertbltà delle dervazon parzal, valda nel capo reale per le funzon d due varabl, dato ce la fora 5. 9 non s presenta propraente nel odo v prescrtto. (V è nfatt, n essa una costone tra dervata parzale e dervata totale). Ma partendo dalla 5. 9 e applcando la 5. 7, scrtta con la notazone abbrevata ce sottntende l sbolo d soatora, seguao seguent svlupp: t t d P P P P P & & v. 5. Ora, n uest ulta espressone, nelle due dervate seconde è lecto nvertre l ordne delle dervazon conforeente alla regola valda nel capo reale (avendo l espressone un aspetto forale dentco a uello corrspondente nel capo reale). Pertanto n luogo della 5. possao scrvere: t d P P P & t d P P &, 5.

64 5. 4 ove abbao esso n vsta l operatore: t & 5. Ma scrvendo la 5. 7 nella fora: t d P P & 5. 3 vedao ce l operatore: t & 5. 4 è euvalente all operatore d. Da cò segue ce la 5. può scrvers: d d P P c.v.d Le coponent lagrangane delle forze attve e delle forze d nerza. Rtornao all espressone 5. dell Euazone sbolca della Dnaca, ce u sotto rproducao: ( ), 5. P N δ a F e sosttuao n essa l espressone 5. 3 a) dello spostaento vrtuale δ. Abbao: P ( ) n N P δ a F, 5. ovvero, eseguendo la oltplcazone n base alla propretà dstrbutva del prodotto scalare: n N n N P P a F 5. 3 Ma per l arbtraretà de potreo prendere successvaente seguent set d spostaent vrtual:

65 n n n n δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ K K K K K K K K K 5.4 ne ual soltanto un δ, d volta n volta dverso, non è uguale a zero; d odo ce dalla 5. 3 potreo rcavare n euazon della fora seguente: N P F N P a (,, 3,, n) 5. 5 ce c proponao d coentare. Consderando l pro ebro e svolgendov la soatora, dopo avere elnato dall euazone l oltplcatvo, abbao: N P F N N P P P F F F Ognuno de tern al secondo ebro d uesta espressone, coe prodotto scalare della forza (agente sul punto ) per l vettore F P P, espre la coponente della forza nella drezone del detto vettore F P oltplcata per l odulo del vettore stesso. (NOTA: s rcord ce la drezone del vettore P è uella dell ncreento conseguente all ncreento della coordnata uando tal ncreent dventano nfntes). Orbene, ndcereo la soa d tutt uest prodott scalar, coè l secondo ebro della 5. 6, col sbolo Q, coè porreo: P N P F, 5. 7 Q denonando tale uanttà coponente lagrangana delle forze attve (consderate nel coplesso coe sollectazone globale agente sul sstea) d ndce (coè secondo la coordnata lagrangana ). S può dre ce essa fornsce rguardo ad un partcolare sstea lo stato d sollectazone n funzone d una coordnata lagrangana. Q

66 5. 6 Fg. 5. Possao rferrc alla Fg. 5. per un esepo ce carsca la cosa n un caso onodensonale. La fgura ostra un pendolo la cu poszone è deternata dalla coordnata lagrangana angolare. Assunto l versore tˆ sulla tangente n P alla traettora crcolare (nel verso deternato da crescente), e osservato ce, essendo n dscorso una sola coordnata, l sbolso della dervata parzale può essere sosttuto da uello della dervata ordnara, abbao: P dp d dp tˆ ltˆ d Pertanto rsulta: P dp Q F F F ltˆ Flsen d Prendao ora n esae l secondo ebro della 5. 5, e analogaente a uanto fatto per l pro ebro ponao: N P a τ, 5. denonando le uanttà n uestone τ coponent lagrangane delle forze d nerza coutate d segno. Nella fattspece dell esepo d Fg. 5., sarebbe: dp a tˆ al d d d. 5. τ l l l

67 5. 7 (NOTA: l segno negatvo dell accelerazone a dpende dal fatto ce uando l angolo auenta, la veloctà v d P dnusce. Coè, la funzone v v() è decrescente, und la sua dervata, l accelerazone, è negatva). Quanto fn u esposto, c autorzza a scrvere la 5. 5 sntetcaente, nel odo seguente: Q τ. (,,, n) 5. Scrvendo per esteso uesto rsultato, vedao ce s tratta d un sstea d n e- uazon dfferenzal nelle n funzon ncognte (t) : Q τ Q τ Q n τ n 5. 3 Volendo rassuere la struttura d ueste euazon, rcordao ce le Q contengono le forze, le ual possono dpendere solo dalla poszone de punt, dalla loro veloctà, noncé al pù dal tepo, per cu scrvereo: Q Q (, &, t) d D altro canto, le τ contengono n pù le accelerazon, percò sono funzon ance & &, per cu scrvereo: τ τ (, &, &, t) L ntegrazone delle 5. 3 produce accanto alle (t), ance n costant arbtrare, ce s deternano fssando per un deternato stante valor d e &. Generalente s assue coe deternato stante, l stante t, consderandolo l stante a partre dal uale s vuole studare l oto, per cu valor ad esso corrspondent, d e & rappresentano le cosddette condzon nzal del sstea eccanco, coè la sua poszone e l suo atto d ovento nzal. Il problea ce s presenta a uesto punto è uello d dare un aspetto operatvo alle euazon 5. (o 5. 3) rendendole atte a tradurre n tern ateatc rsolutv un deternato problea. Nel caso undensonale ce abbao consderato n Fg. 5. allo scopo d evdenzare l sgnfcato delle grandezza Q e τ, la cosa s presenta gà d per sé seplce. Infatt, nella fattspece, l euazone 53., n base a rsultat espress dalle 5. 9 e 5., porta a scrvere:

68 5. 8 Flsen d l l g d sen, 5. 6 la uale, tenuto conto ce F g, non è altro ce la ben nota euazone del pendolo. Affrontao nel prosso N.ro l problea generale d rendere operatve le euazon 5. n ogn caso coplesso. 53. Deduzone delle euazon d Lagrange. S gungerebbe a dare un aspetto operatvo alle euazon 5., se s ruscsse a far dpendere la uanttà τ da ualce grandezza acroscopca caratterstca del sstea eccanco e tale ce per ogn specfco problea potesse essere calcolata. Questa possbltà esste e porta ad dentfcare la grandezza n uestone con l Energa cnetca T, ce sappao essere data dalla forula: N T v v 53. Per vedere la cosa, nconcao con l ntrodurre nella 5. n luogo dell accelerazone a, la sua euvalente espressone d v. S a successvaente: N N d d d P P P v v v τ, 53. coe s constata subto applcando al pro terne entro parentes uadra, la regola d dervazone d un prodotto. Ma per le 5. 3 b) e c), abbao le denttà: v d d d & & P v v v v d P v v v nelle ual l ulto passaggo è gustfcato dalla dervazone del prodotto. v v v Per ezzo delle e 53.4 la 53. può scrvers:

69 5. 9 N v v d & τ, ossa: N N v v d & τ Ma osservando ce, potendos scrvere segn d dervazon fuor del segno d soatora, s a: N v & N T v & & N v N T v, la assue l aspetto: T T d & τ Pertanto, n vrtù della 53. 9, le 5. possono essere scrtte nel odo seguente: T T d &, 53. Q e n uesta fora sono conoscute coe le Euazon d Lagrange. Esse, conforeente a uanto abbao sopra dcarato, contengono l Energa cnetca T del sstea eccanco a cu s rferscono, una uanttà ce per la loro soluzone s deve prevaente calcolare n coordnate lagrangane (le coordnate contenute nella 53. ), e ce, coe abbao vsto al Par.fo 4, s presenta nella fora Anals della funzone Q e ntroduzone della funzone lagrangana. Necessta a uesto punto un anals della funzone Q. Abbao vsto ce essa s presenta n generale coe funzone d e al pù del tepo t (v. 5. 4). E nteressante consderare l caso ce la dpendenza dalle ctate varabl possa essere espressa attraverso la soa d tre funzon, la pra delle ual dpenda solo dalle coordnate d poszone, la seconda, solo dalle veloctà generalzzate, e la terza solo dal tepo. &, [ n,...,, ] [ ] n & & & &,...,,

70 5. D odo ce s possa scrvere: Q () () F ( ) F ( & ) f ( t) 54. Aggungereo l potes ce sa: F F () () U ( ) 54. R ( &) & con U ed R funzon rsp.te d e d &. Coè: U U () R R(&) Le 54. e sussstono nelle stuazon n cu l sstea eccanco è soggetto a forze poszonal conservatve (delle ual U è l potenzale) e a forze dsspatve vscose d cu R è la funzone d Rayleg (potenzale delle forze dsspatve vscose). Il terne f (t) nella 54., sussste nella crcostanza n cu l sstea sa soggetto ance a forze esterne ce dpendono esclusvaente dal tepo, le cosddette forze presse o forzant. E caro coe al pù due delle suddette forze prese n consderazone con la 54., possono non sussstere. Rappresentando le Q coe abbao fatto con la 54., e tenendo conto delle potes 54. e 54. 3, le Euazon d Lagrange assuono l aspetto: d T & T U R & f (t), ovvero: d T & R & ( T U ) f (t) Introducao ora la cosddetta funzone d Lagrange defnta da: T U per cu rsulta ance: T U 54.9

71 5. Con le poszon e la s scrve: d ( U ) & R & f ( t). 54. Ma U non dpende da &, per cu, producendo la sua dervazone rspetto a & rsultato nullo, la sua presenza nella 54. è superflua e tale euazone può scrvers seplceente: d & R & f (t). 54. le Q Rcordao ce sotto uesta fora le Euazon d Lagrange s presentano uando aettono una rappresentazone del tpo 54. con le potes agguntve 54. e Nel caso n cu s abba R e f ( t), la 54. s seplfca nella seguente: d &. 54. S vede allora, ce la funzone lagrangana (o lagrangana senz altro) assue l portante ruolo d eleento caratterzzatore del partcolare sstea eccanco a cu s rfersce, una spece d codce dentfcatore per uanto rguarda l oto cu l sstea è soggetto sotto la sollectazone d forze conservatve. Ma c è d pù potendos dare d una defnzone altaente sgnfcatva ed elegante, tosto ce s raent la defnzone d energa potenzale uale funzone potenzale cabata d segno. (v. N.ro 36). Infatt, la 54. 8, ponendo U V, fornsce: T V, e ne rsulta la defnzone: «La lagrangana d un sstea eccanco conservatvo è la dfferenza tra l energa cnetca e l energa potenzale del sstea stesso». Per concludere l ter ce c a condott alle Euazon d Lagrange, faccao notare l fatto salente secondo l uale, essendo partt ne nostr ragonaent da un sstea costtuto da punt dscret, non trovao pù alcuna tracca d tale postazone nel rsultato fnale. Le Euazon d Lagrange s presentano atte a rsolvere proble d oto counue sa conforato l sstea eccanco descrvble n coordnate lagrangane, coe ostrereo appresso con ualce esepo d applcazone. Sa l sstea llustrato n Fg Esso è costtuto da un asta rgda oogenea AB d assa e da un dsco oogeneo d centro C e raggo R, pure d assa. L asta può scorrere senza attrto su d un pano orzzontale sotto l azone d una forza centrale elastca d centro O sulata da una olla d coeffcente con gl estre collegat n O e A. Il dsco può rotolare senza strscare sull asta AB. Il sstea è antenuto n uete

72 5. con la olla tesa. C s proponga d calcolare l ovento del sstea ce consegue al suo rlasco: Fg. 54. Per la soluzone assuao un asse x con l orgne n O. La poszone nzale sa fssata n odo ce a e c sano le ascsse de punt A e C. Il sstea a due grad d lbertà, esplcat dal ovento dell asta ce ndvduereo per ezzo della coordnata lagrangana x A costtuta dall ascssa del suo punto A, e dal ovento del dsco ce ndvduereo con la coordnata lagrangana x C costtuta dall ascssa del suo centro C. (NOTA: l dsco è esso n ovento dall asta n vrtù dell attrto, n uanto è dcarato ce esso può rotolare senza strscare, l ce non potrebbe avvenre se non sussstesse attrto tra la superfce d rotolaento (l asta) e l punto d contatto. Naturalente nel problea s prescnde dall energa perduta nel rotolaento coe ance n uella perduta nella olla). Indvduate le coordnate lagrangane, occorre esprere n funzone d ueste la funzone lagrangana. Rsulta: T V R x& C x& A x& A x& C xa R nella uale l pro terne è l energa cnetca dell asta, l secondo terne, l energa traslatora del dsco, l terzo terne, l energa cnetca rotatora del dsco, data da: Jω R v x& Trot, con J (oento d nerza polare rsp.to a C) e C x& ω A, R R essendo v la veloctà perferca del dsco rspetto alla superfce d rotolaento, coè all asta; nfne l uarto terne nella è l energa potenzale della olla uando la sua estensone è x A. Le due euazon d Lagrange ce ne rsultano applcando la 54., sono: d d x& A xa x& C xc d d [ x& ( x& x& )] x A [ x& ( x& x& )] C C C A A A

73 5. 3 Eseguendo le dervate rspetto al tepo s ottene l sstea d euazon seguente: x && x && A C x && x && A C x && x && C A x A x && x && A C x && C x && A x A la cu soluzone è affdata a etod ateatc. Consderao coe secondo esepo l doppo pendolo ostrato n Fg. 54. d cu s vogla calcolare la funzone d Lagrange sotto la sollectazone deternata da un capo unfore d gravtà g (uello locale n prosstà della superfce terrestre). Fg. 54. Assuao coe coordnate lagrangane, gl angol θ e θ ce le aste forano con la vertcale, e scrvao le euazon d trasforazone ce le legano alle coordnate cartesane x, y e x, y delle asse puntfor e, rsp.te. S a: x lsenθ y lcosθ x y l senθ l cosθ l senθ l cosθ Pocé le energe cnetce delle due asse e n coordnate cartesane sono date rsp.te da: ( x& y& T ) 54.

74 5. 4 T ( x& y& ) 54. necessta procurars le dervate delle e Esse rsultano: x& y& lcosθ θ & l senθ θ& x& lcosθ θ & lcosθ θ & 54. y& ( lsenθθ& lsenθ θ & ) Per ezzo delle 54. le 54. e 54., dventano: l θ & T l θ & l θ& l l ( θ θ ) e und l energa totale del sstea è: [ θ& θ& ] T cos θ & T T T l lθ& ll cos( θ θ ) θ& θ & Dobbao ora calcolare le funzon potenzal U e U delle due asse e. C avvarreo della cabata d segno n uanto n Fg. 54. abbao assunto un asse vertcale orentato verso l basso (v. N.ro 35). Pocé le asse sono puntfor l loro barcentro concde col punto ce le rappresenta. Assuereo noltre coe lvello cu rferre potenzal l asse x, per cu sarà: z G lcosθ z G l cosθ lcosθ e und: Con cò abbao: U glcosθ U g lcosθ lcosθ U U U ( ) cosθ g lcosθ lcosθ gl ( ) La funzone d Lagrange cercata è pertanto: & T U l θ lθ ll cos( θ θ ) θθ & glcosθ g lcosθ lcosθ ( ) Un successvo esepo è suggerto n Fg Un pendolo d assa osclla sul pano vertcale avendo l punto d sospensone collegato ad un blocco d assa M lbero d scvolare su d un pano lsco orzzontale. & &

75 5. 5 Fg Assuendo un sstea d coordnate uale ostrato n fgura, la poszone d M è ndvduata dall ascssa x, entre uella d dall ascssa: x x lsenθ e dall ordnata: y lcosθ Le loro dervate sono rsp.te: x& θ θ & x& lcos ; y& lsenθ θ & L energa cnetca del sstea è allora data da: M x& ( x& y ) M x& ( x& lcosθ θ& ) ( T & Svluppando s ottene: [ lsenθθ& ] ) T (& l θ& x& θ& l cosθ ) M x& x d altra parte la funzone potenzale, assuendo coe lvello zero l pano d scorrent d M, e l asse y orentato verso l basso, è data da: U glcosθ

76 5. 6 Con cò la lagrangana del sstea rsulta: T U M x& ( x& l θ& x& θ& l cosθ ) glcosθ Stazonaretà dell Azone. La funzone d Lagrange defnta al N.ro precedente coporta una nteressante nterpretazone del oto naturale, da cu s può partre per - stture un Teorea utle per la seplfcazone della sua espressone n cert cas. Per vedere la cosa nconcao col defnre la cosddetta Azone altonana. Essa è la uanttà S defnta dall ntegrale defnto tra gl stant t e t della funzone lagrangana. Coè: t S. 55. t Sappao ce è una uanttà caratterstca del oto naturale, coè del oto uale avvene n Natura. Consderao n Fg. 55., una traettora d uesto oto tra punt P (, t) e P (, t) e ndcaola con l. (NOTA: c rferreo per seplctà d sbol ad un sstea onodensonale). Fg. 55. Accanto alla l s consder una traettora l avente edes estre, così costruta: per un generco punto P(,t) sulla l, s tracc sulla l l punto P ( δ, t) ce nel edeso stante t copete alla coordnata varata d δ. S dce ce l è la traettora d un oto varato sncrono, volendo con cò sottolneare ce tale oto non è un oto ce avvene secondo le legg natural, a tra ot agnat fttz, è un oto nel uale punt corrspondent sulle due traettore l ed l s rferscono ad un edeso stante. L uso del sbolo dfferenzale δ, anzcé d, sta appunto a sgnfcare uesto: ce la varazone pressa (d tpo vrtuale) non rguarda l tepo.

77 5. 7 In Fg. 55. è esso n evdenza lo spostaento (vrtuale) δ P ce fa passare sncroncaente da P a P, dato da: δ P P ( δ, t) P(, t). 55. Dervando rspetto al tepo abo ebr della 55., s ottene: d d d d δ P ( P ( δ, t) P(, t) ) P ( δ, t) P(, t) v v ove v e v sono le veloctà de punt P e P, e und veloctà attnent al edeso stante t su l ed l rsp.te. Pertanto v v sarà la varazone sncrona d veloctà all stante t del punto P e la ndcereo con δ v. Coè: δ v v v Ne consegue ce la può essere scrtta nel seguente odo: d d δ P δ v δ P, d essendo v P. S vede così ce segn d dervazone teporale e d varazone sncrona possono essere scabat. Coe abbao consderato la varazone sncrona δ P d un punto della traettora, possao consderare la varazone sncrona d una grandezza generca Q dpendente dal oto del sstea eccanco. Ne rsulta ance per essa ce: d d δ Q δ Q Osservao ance ce ne punt estre coun alle due traettore l ed l, P ( ( t), t ) e P ( ( t), t ) lo spostaento sncrono è nullo, per cu s a: δ P δp Cò coporta ce le varazon sncrone delle coorate ne punt estre sano parent nulle, coè ce sa: δ ( t ) δ ( t) Cò preesso, operao una varazone sncrona dell azone (v, 55. ), scrvendo:

78 5. 8 δ S δ t t (, &, t) Osservao ce la varazone dell ntegrale è conseguenza della varazone sncrona (a t costante) della coordnata, per cu è lecto portare l sbolo δ entro l segno d ntegrale, ed operare v la dfferenzazone edante l detto sbolo, a t cost. S a: δ S t t δ δ & & t t δ t t δ &. 55. & Integrando per part l secondo terne del secondo ebro con fnto, rsulta: coe fattor & t t d δ S δ δ δ, 55. & & t e ordnando: t t t t δ S d δ & t & δ t t. 55. Ma l pro terne è nullo n vrtù della 55. 8, entre la funzone ntegranda nel secondo terne non è altro ce la uanttà l cu annullaento costtusce la condzone ce presede al verfcars del oto naturale. Tale uanttà uguaglata a zero è nfatt l euazone d Lagrange del oto governato dalla lagrangana. Pertanto, ance l secondo terne della 55. nel oto naturale è nullo, per cu rsulta: δ S, coè l Azone è stazonara. S dostra anz ce essa è na e sotto tale ulterore specfcazone la vene ad esprere l Prncpo della na Azone enuncato da Maupertus. E appena l caso d rlevare ce la valà della nel oto naturale, è legata alle stesse potes ce sottendono la valà dell euazone d Lagrange, e coè ce l sstea eccanco sa soggetto a vncol blater lsc e a sollectazone attva conservatva. (NOTA: n uanto precede c sao rfert a un ssteo con un grado d lbertà. Se l sstea a s grad d lbertà, per affrontare la deduzone del Prncpo dell Azone stazonara s devono varare d volta n volta ndpendenteente s coordnate dverse ( t) (,,..., s). E evdente allora ce s ottengono sotto l segno dell ntegrale

79 , successvaente, s uanttà, l cu annullars costtusce la condzone del oto naturale descrtto da cascuna coordnata. Queste uanttà uguaglate a zero costtuscono le s euazon d Lagrange necessare a deternare l oto d un sstea eccanco a s denson). Il Prncpo dell Azone stazonara c perette d stture l seguente Teorea: «La funzone d Lagrange ce presede al oto naturale d un sstea eccanco è deternata a eno d una dervata totale adva d una funzone arbtrara delle coordnate e del tepo». In forula, se ' ed sono due lagrangane tal ce: d ' f (, t) le fore delle euazon del oto calcolate con rferento a ' o ad, sono dentce. Pratcaente la propretà s usa per cancellare dalla lagrangana calcolata, gl eventual tern ce possono essere nterpretat coe dervate total d una funzone delle coordnate e del tepo. Va da sé ce dalla lagrangana possono essere elnat ance gl eventual tern ce contengono solo l tepo, n uanto le euazon d Lagrange prevedono ce la lagrangana sa dervata rspetto alla coordnata e alla sua dervata &, cò ce fa sparre nel rsultato ogn tracca de tern dpendent solo dal tepo. Per la dostrazone dell asserto s scrva l Azone della Abbao: t df S S S f (, t) f (, t) S cost t n uanto f (, t) f (, t) è una uanttà nuerca costante. Operando ora una varazone sncrona dell Azone, pocé δ cost., s ottene: δ S δ S Cò sgnfca ce se δ S, ance δ S. Coè, l oto deternato dalla ' produce la stessa stazonaretà nell Azone del oto deternato dalla. Trattas und d due ot ugual. Possao consderare coe esepo d uanto vsto, l calcolo della funzone d Lagrange, del sstea raffgurato n Fg Esso consste, sul pano vertcale, d un dsco alla cu perfera è collegato l punto d sospensone d un pendolo. Il dsco, d raggo a, è n oto con freuenza angolare ω, per cu l punto d sospensone del pendolo percorre una crconferenza d raggo a con oto unfore, essendo nel contepo l pendolo soggetto alla forza d gravtà.

80 5. Fg. 55. Vedao subto ce la poszone del pendolo è deternata dalla coordnata lagrangana θ, angolo ce l asta del pendolo fora con la vertcale. Le euazon d trasforazone delle coordnate cartesane del punto P d assa, sono: x acosω t lsenθ y asen ω t lcosθ e le loro dervate rsultano: x& aωsenω lcosθθ& y& aω cosω t lsenθθ& Il calcolo dell energa cnetca fornsce allora: T ( x y& ) e svluppando s ottene: [ aωcosω t lsenθθ& ] & ( aω senωt lcosθθ& ) ( ) T [ θ a ω sen ωt alωθ sen( θ -ω t) a ω cos ωt] l & & La funzone potenzale della assa è data da: ( asenω lcosθ ) gasenω t glcosθ U g Sa n T ce n U v sono de tern ce dpendono solo dal tepo. Scrvereo pertanto la lagrangana elnandol:

81 l T U θ alωθ sen( θ ωt) glcosθ 5. & &. 55. Possao trasforare l secondo terne, osservando ce s a l denttà: d cos ( θ ωt) sen( θ ωt) ( θ& ω ) θ& sen( θ ωt) ωsen( θ ωt) d θ & ). 55. sen( θ ωt) ω sen( θ ωt) cos( θ ωt Osservao ce n uesto rsultato copare la dervata totale d una funzone della coordnata e del tepo ce coe tale può essere elnata. Allora potreo sostture nel secondo terne della 55., al fattore θ & sen( θ ωt) seplceente ω sen ( θ ωt ), e la lagrangana n defntva rsulta: l & 55. T U θ al ω sen( θ ωt) glcosθ ****** ******

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83 6. 6. IL TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA 6. Rca d forule. Al Par.fo 3 abbao stablto la forula: T V E 6. ce sancsce la conservazone dell energa totale d un sstea eccanco sottoposto a forze dervant da un potenzale U, coe conseguenza del Teorea dell energa cnetca espresso dalla Voglao ora ostrare n uesto Par.fo, coe la propretà della conservazone dell energa totale (detta ance energa eccanca) possa essere fatta dervare coe vero e propro teorea, dalle euazon d Lagrange scrtte per l caso delle forze poszonal conservatve. Rcaao ueste ulte: d & Pocé : 6. T U, 6. 3 e U non contene &, la 6. può ance scrvers: d T & T U Pocé per l caso ce voglao prendere n esae l energa cnetca è data dalla fora uadratca: T n a & &, 6. 5 ce è una funzone oogenea d ordne, ad essa s può applcare l Teorea d Eulero per le funzon oogenee (v. Appendce ), e scrvere: n T & T & Dostrazone del Teorea d conservazone dell Energa eccanca. Allo scopo d seplfcare le scrtture adottao la convenzone d Ensten ce oette l segno d soatora e sottntende ce s effettu la soa de tern con ndc rpetut. Allora, la 6. 6 s scrve:

84 6. T & & T. 6. Dervando rspetto al tepo abo ebr d uesta relazone, s a: d T & & T & && dt. 6. D altra parte, per l caso ce stao prendendo n esae, l energa cnetca, data dalla forula 6. 5, è una funzone d e d & (,,, n), essendo le contenute nelle uanttà a. Coè: T T (, & ) Dervando tale funzone secondo la regola delle funzon coposte, s ottene: dt T T & && & T & && dt T & Sosttuendo uest ulta nella 6., rsulta: d T & & dt T & dt d T & T & dt Ma entro parentes uadra d uesta espressone trovao l pro ebro della Sosttuendov l secondo ebro della 6. 4, la 6. 5 dventa: U dt & Rcordao ce U, la funzone potenzale, è funzone delle sole coordnate d poszone. Coè: U U ( ), (,,, n) 6. 7

85 6. 3 per cu, dervando rspetto al tepo con la regola delle funzon coposte, s a: du U & Confrontando uest ulta con la 6. 6, ottenao: du dt 6. 9 e und, ntroducendo l energa potenzale V U, d ( T V ) T V E cost. 6. S rtrova così l rsultato ce espre la conservazone dell energa totale d un sstea eccanco sottoposto a forze dervant da un potenzale (Sstea conservatvo). Consderereo appresso ualce esepo d applcazone d uesto Prncpo. La Fg. 6. ostra una catena oogenea pesante appoggata su un tavolo orzzontale lsco. Essa è trattenuta n uete con un tratto d lungezza y a penzolon. All stante t la catena vene rlascata. S vogla calcolare l oto d caduta. Fg. 6. Il sstea a un solo grado d lbertà. Fssato un rferento cartesano con orgne nello spgolo O, e l asse y vertcale orentato verso l basso, assuao coe unca coordnata lagrangana, la coordnata cartesana y dell estreo A della catena. Detta la denstà lneare della catena ed l la sua lungezza, l energa cnetca T è data da:

86 6. 4 T & l y. 6. Per calcolare l energa potenzale calcolereo prevaente la funzone potenzale a cu cabereo segno. All uopo osservao ce, essendo l peso del tratto BO d catena appoggato, eulbrato dalla reazone del tavolo, le forze attve sono uelle ce a- gscono solo su troncett dy del tratto a penzolon. Per un troncetto eleentare dy a dstanza y da O, l potenzale, applcando la (col segno cabato, n uanto l nostro asse vertcale è orentato verso l basso), è dato da: du ( dy) g y gy dy. 6. Integrando da a y s a allora: U y gydy g y y V g 6. 3 Pertanto la 6. fornsce: l g y y E & E l y & g y euazone ce può rsolvers per separazone delle varabl. Isolando dy y &, s a n- fatt: dy g E y l l Pocé l energa totale E è una costante, possao calcolarla per t, stante n cu l sstea sta passando dalla uete al oto ed E è uguale alla sola energa potenzale. Così s avrà: E y Et Vt g Introducendo uesto valore d E nella 6. 5, dopo ualce passaggo s gunge all espressone: dy g y y l y

87 6. 5 Operando l cabaento d varable y x, s gunge faclente alla soluzone: y t arccx C. g 6. 8 l In base alle condzon nzal rsulta C, ed l rsultato fnale è: g y yc t 6. 9 l La legge del oto 6. 9 vale ovvaente fno all stante n cu la catena abbandona l tavolo, coè fno al oento n cu l estreo B va a concdere con O. Da tale * stante, dcao t, la catena procede n caduta lbera sotto l accelerazone della gravtà. * * Nella per t t s a y l. Rsolvendo per t s trova: t * l l l y log. 6. g y (NOTA: s fa uso della forula ce espre l arcocoseno perbolco edante l logarto: arccx log ( x ± x ). S scegle l segno n base a consderazon fsce) La Fg. 6. ostra un secondo esepo d utlzzazone del Teorea d conservazone dell energa eccanca. Fg. 6.

88 6. 6 Un flo d assa trascurable passando nella gola d una carrucola d peso, grevole attorno al suo asse dsposto orzzontalente, a l estreo P collegato ad un peso p e l estreo A collegato ad una olla d costante fssata n O, estendble dalla sua poszone d rposo ce s a uando A concde con O. Il sstea è trattenuto n uete nella poszone n cu la olla è a rposo, po vene rlascato all stante t. S vogla calcolare l ovento. Assuao coe coordnata lagrangana l allungaento x della olla contato dal punto O ove collocao l orgne d un asse cartesano x collneare con l asse della olla. Assuao un altro asse x parallelo al tratto vertcale del flo, avente orgne O', per esepo, sul prolungaento del daetro orzzontale della carrucola. Quando è x sull asse OA, l punto P sa al lvello d O'. Allora, la coordnata x d A, per l nestendbltà del flo, è la stessa per l punto P. Cò posto, calcolereo l energa cnetca T del sstea, coe soa dell energa cnetca della carrucole e d uella del grave. Avreo: T J ω Px & R x& R x& P g p & g x. 6. Il potenzale U delle forze attve, costtute dalla forza d rcao della olla e dalla forza peso, assuendo coe lvello per l potenzale del peso la retta orzzontale passante per O' è: x U px. 6. Allora l Teorea d conservazone dell energa eccanca porta a scrvere (rcordando ce V U ): T V g p g x x& px E Pocé l energa totale s conserva, ne calcolereo l valore n un stante partcolare. Assuendo coe stante uello nzale vedao ce E, n uanto entrabe le energe, cnetca e potenzale, sono nulle. Con tale valore per E la 6. 3 produce: ( p ) x& g x 4gpx e separando le varabl:

89 6. 7 p dx g px x Integrando con l uso d tavole d ntegral, s ottene: p x p t arcsen C g p Dalla condzone nzale ce fornsce per t, x, s rcava C π. Rscrvendo la 6. 6 con uesto valore per C, abbao: x p arcsen p g π t p 6. 7 Ponendo: Ω g p, 6. 8 s ottene nfne, relaborando: p x ( cosωt) S conclude ce l estreo P del flo (coe pure l altro estreo A) s uove d oto aronco con elongazone assa par a p e perodo: π p T π 6. 3 Ω g ****** ******

90 6. 8 Appendce al Paragrafo 6 IL TEOREMA DI EULERO PER LE FUNZIONI OMOGENEE Preettao la defnzone d funzone oogenea: «Una funzone oogenea d ordne n se rsulta ce: F( x, y, z) s dce n F( λ x, λ y, λ z) λ F( x, y, z),. essendo λ un paraetro». Sa per esepo la funzone: F( x, y, z) x y z xy yz xz. Allora rsulta: F( x, λ y, λ z) x λ yλ zλ xλ yλ yλ zλ xλ z λ ( ) ( ) ( ) λ λ x λ y λ z λ xy λ yz λ xz x,, ). 3. λ ( y z xy yz xz) λ F( x y z Pocé λ fgura elevato al uadrato, la funzone. è a drs oogenea d ordne. Per una funzone oogenea F( x, y, z) d ordne n vge l Teorea espresso dalla forula: F F F x y z nf, 4. x y z ce n fora atrcale potreo scrvere pù espressvaente coe segue: F x F, 5. y F z [ x y z] nf cò ce c perette d enuncare l Teorea d Eulero per le funzon oogenee, nel odo seguente: «Per una funzone oogenea d ordne n, l prodotto scalare del vettore delle varabl per l vettore delle dervate parzal è uguale a n volte la funzone.

91 6. 9 La dostrazone segue faclente dervando entrab ebr dell denttà. rspetto a λ S a: ( λx) ( λx) ( λy) ( λy) ( λz) ( λz) F F F n n λ F. 6. λ λ λ Ponendo λ, rsulta: F F F x y z nf x y z c. v. d. 7.

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93 7. 7. LE EQUAZIONI DI HAMILTON 7. La Trasforata d Legendre. Per rcavare le Euazon d Halton, ce sono un dverso odo d esprere l oto d un sstea eccanco olto spesso alternatvo rspetto a uello ce fa capo alle Euazon d Lagrange, c avvarreo della Trasforata d Legendre, una forula ateatca (ce vene dostrata n Appendce ) avente l seguente aspetto: n ) g( y ) x y f ( x ), 7. contenente la condzone ce le varabl real x e y (,,, n) sano legate dalla relazone: f ( x ) y (,,,, n) 7. x La forula dce ce, data la funzone f ( x ) delle n varabl x, x,..., xn, una nuova funzone g ) ( y ) è a drs sua Trasforata secondo Legendre, se è legata alla pra trate la forula n uestone 7., essendo le sue varabl y, y,..., y n legate alle varabl x per ezzo della relazone 7.. Per tale otvo s può dre ce la 7. nsee alla 7. espre l rsultato d un cabaento d varabl effettuato sulla funzone f (x )., n base alla teora della Trasforazone d Legendre, rsul- Le varabl x e tano date da: x ) g( y ) ; y y y f ( x) x 7. 3 Osservao ce la trasforazone 7. con le assocate relazon 7. e 7. 3, rguardano l vettore delle varabl x ce abbao scrtto coe argoento d f. Se la f è funzone ance d altr set d varabl, ueste rangono nalterate nella trasforazone. In altre parole la trasforazone opera soltanto sulle varabl ce la forula 7. ette n evdenza. 7. Le Euazon d Halton e l altonana. Supponao ce la f ( x ) del N,ro precedente sa la funzone d Lagrange (, &, t), d cu s vogla la trasforazone della varable &. Coè s ponga: ( ), & t f x ) ; & x 7., (

94 7. varabl Indcata n uesto contesto la funzone g ) ( y ) col sbolo (, y t), n cu le, e t non sono soggette a trasforazone, la forula 7. s scrve: ( ) ), y t & y (, & t 7., n, In tal odo la funzone (, y, t) vene ad essere la trasforata d Legendre della funzone lagrangana. Ad essa dao l noe d funzone d Halton o seplceente altonana. Ora per la seconda delle 7. 3, e n base alle poszon 7., rsulta ce y è dato da: (, &, t) y & p, 7. 3 avendo ndcato con p la dervata della lagrangana rspetto a &, coè avendo posto: p, 7. 4 & uanttà cu dareo l noe d oento cnetco (o pulso generalzzato) d ndce. (NOTA: sul sgnfcato d oento cnetco v. N.ro 74.) Ponendo allora n luogo d y nella 7., uesta dvene: ( ), p t p, & t. 7. 5, n & ( ), Dervando la 7. 5 rspetto alle varabl e t, non nteressate dalla trasforazone, s ottene: p ; t t 7. 6 Inoltre, dervando la 7. 4 rspetto al tepo, s a: d p&, 7. 7 & nella uale la seconda uguaglanza è gustfcata dalle euazon d Lagrange (v. 54. ). Confrontando la 7. 7 con la pra delle 7. 6, vedao ce possao scrvere:

95 7. 3 p& Inoltre, n base alla pra delle 7. 3 e alle poszon ndcate con le 7. e 7. 3, s rcava ance: & p, Le euazon così ottenute, 7. 8 e 7. 9, vengono dette Euazon d Halton. Esse ostrano coe l oto possa essere descrtto ance n tern delle varabl, p t (ce prendono per l appunto l noe d varabl altonane), oltre ce n tern delle varabl, &, t (denonate varabl lagrangane). Ma la cosa salente ce s osserva nelle 7. 8 e 7. 9, è ce ueste euazon sono euazon del pro ordne, entre le euazon del oto n fora lagrangana sono euazon del secondo ordne. S rleva pertanto, n ulta anals, l portante fatto ce la trasforazone d Legendre della lagrangana conduce ad un abbassaento dell ordne delle euazon del oto. C s può cedere se tra la forulazone lagrangana e la forulazone altonana delle euazon del oto v sa sepre perfetta euvalenza. La rsposta è postva se l sstea d euazon del oto dal uale s parte nell uno o nell altro caso, è rducble n fora norale. Cò sgnfca ce, se tale condzone non è verfcata per un sstea eccanco, uesto può aettere la trattazone lagrangana o la trattazone altonana, a non entrabe. 73. Il sgnfcato dell altonana. Scrtta la funzone altonana: ( ), p, t, 73. effettuaone la dervata totale rspetto al tepo. S a: d t n & n p p& 73. Sosttuendo n uesta & e p& date dalle 7. 9 e 7. 8, abbao: d t n p p n, e vedao ce gl ult due tern s eldono. S conclude ce le dervate total e parzal d rspetto al tepo sono ugual e la seconda delle 7. 6 può scrvers:

96 7. 4 d t Allora, nel caso partcolare ce la funzone lagrangana (o ance l altonana) non dpenda esplctaente dal tepo (caso de vncol sclerono) la fornsce: d cost Con cò, s rvela un ntegrale pro del oto, coè una funzone ce durante l oto s antene costante. Abbao vsto ce la funzone lagrangana è stata ntrodotta col sgnfcato fsco d soa dell energa cnetca e della funzone potenzale (v ). Abbao altresì vsto ce uesta defnzone perette d costrure la lagrangana edante le caratterstce fsce del sstea eccanco n studo, al fne d poter utlzzare le euazon d Lagrange per la soluzone del problea del oto. In odo parallelo, per poter utlzzare le euazon d Halton, occorre rcercare l sgnfcato fsco della funzone, così da saperla costrure n base alle caratterstce fsce del sstea eccanco. Per uesta rcerca, rscrvao la defnzone d data dalla 7. 5: n p & e ntroducao n uesta l espressone d, ( T U), e l espressone 7. 4 d : p p, & dopo avere osservato ce uest ulta può ance scrvers nella fora: p T & n uanto la U ce copare nella non dpende da. Con cò, la s scrve: & n T & ( T U ) & Ma per la 6., n cu rprstnao l sbolo d soatora e ce u rportao:

97 n 7. 5 T & T, 73. & la può scrvers: T T U T U. 73. Ma la funzone potenzale con segno cabato è l energa potenzale V, per cu, n defntva, per possao scrvere l espressone: T V, 73. espressone ce c rvela l sgnfcato fsco dell altonana, uale soa dell energa cnetca e dell energa potenzale, uanttà ce con unca parola vene defnta energa eccanca (o totale) del sstea. Pocé abbao vsto (v ) ce l altonana è un ntegrale pro del oto, possao afferare ce l energa eccanca è un ntegrale pro del oto. Rtrovao così conferato l concetto ce l energa eccanca s antene costante durante l oto. Svluppereo appresso alcun esep d applcazone delle euazon d Lagrange e d Halton ettendole a confronto sugl stess proble. Consderao l seplce esepo ostrato n Fg. 73., relatvo a un punto aterale d assa soggetto a una forza d rcao elastca F x. Fg. 73. Assuendo coe coordnata lagrangana l ascssa x del punto d assa, s a: T & x ; x U e la lagrangana rsulta: ( x x T U & ) L euazone d Lagrange (unca nel nostro caso undensonale), ce u rportao per cooà:

98 7. 6 d fornsce: & (, x) d x& x x && x, ce è la ben nota euazone dfferenzale del secondo ordne del oto aronco. Per affrontare la trattazone Haltonana dobbao procurarc la funzone d Halton, ce coe sappao, convolge l oento cnetco p. Per far uesto scrvao nnanztutto l espressone del oento cnetco relatvo al problea n esae: p x& x& ( x& x) x& Per scrvere ora l espressone dell altonana c rferreo alla sua defnzone ce u rportao per cooà: n p & Rscrvendola per e lagrangana, dventa: x, e ntroducendo n essa l espressone della ( x x ) px& & Ma deve essere funzone delle varabl p e x, und nella occorre elnare x&. Per far uesto c varreo della 73. 7, dalla uale abbao: p x &. 73. Con uesto valore d relaborazone: x& ntrodotto nella 73. 9, la stessa dventa, dopo una breve p x, 73. ed è uesta l altonana ce perette d scrvere le euazon del oto nella fora:

99 7. 7 p x & ; p& x 73. p x Tal euazon del oto sono n nuero d due, a sono entrabe del pro ordne. S potrebbe osservare ce l procedento pù lungo per gungere all altonana, vene copensato dalla pù seplce rsoluzone delle euazon dfferenzal del oto. Un secondo esepo d confronto tra l etodo lagrangano e uello altonano vene vene offerto dalla Fg. 73., la uale ostra un pendolo coposto coè un corpo rgdo ce ruota attorno ad un asse fsso sotto l azone d un capo conservatvo. Fg. 73. Assuendo coe coordnata lagrangana, l angolo d rotazone θ, s a: θ & U ( θ ) Mgacosθ T J ; U (v ove z G y C < ) (NOTA: J è l oento d nerza del corpo rspetto all asse d rotazone; Mg è l peso del corpo applcato nel suo centro d assa C. Con la s vene a fssare l lvello del potenzale n corrspondenza dell asse x.) La funzone d Lagrange rsulta: T U Jθ& U ( θ ) D conseguenza l euazone d Lagrange s scrve: d du ( J ) θ & du J θ & Per scrvere le euazon d Halton calcolao pra l oento cnetco p:

100 7. 8 θ& p θ θ& θ& θ& J U ( ) J Per rcavare ora la funzone d Halton dobbao rferrc alla sua defnzone ce rportao u sotto per tenerla sott occo: n p & Nel nostro caso undensonale, 73. 4, la dventa: θ. Allora, tenendo conto ance della p θ& Jθ& U ( θ ) Per rdurre ad essere funzone d θ e p, occorre elnare θ & dalla Lo s fa trate la 73. 6, dalla uale s rcava: p θ & J Con uesta sosttuzone la funzone d Halton dventa: p p p J U ( θ ) J J p U ( ) J θ Pertanto le euazon del oto d Halton rsultano: p θ & p J U p& θ θ Le euazon fnal del oto n fora lagrangana, usufruendo dell espressone della lagrangana 73. 4, rsultano: J θ & Mgasen θ, entre n fora Haltonana, n base alle e 73. 3, sono:

101 7. 9 θ& p p& J p& Mga senθ Il problea d gungere alla legge del oto, partendo dalla ce è un euazone del secondo ordne oppure dalle ce sono un sstea d euazon dfferenzal del pro ordne, è un problea puraente ateatco. Dao alcune ndcazon, randando per la copletezza a test d Anals Mateatca, consderando l caso delle pccole oscllazon ove è lecto sostture l seno con l suo argoento. Ponendo allora senθ θ, le e s scrvono: θ& Mga θ J θ& p p& J p& Mga senθ La s presenta coe una euazone del secondo ordne a coeffcent costant, la cu soluzone è: Mga Mga θ Acos t Bsen t J J con A e B costant da deternare n base alle condzon nzal. Ponendo θ θ, θ&, per t, trovao A θ, B, per cu la dventa: Mga θ θ cos t J Posto ω Mga J, vedao ce l perodo delle pccole oscllazon rsulta: π J T π ω Mga Per la soluzone del sstea , ce nel caso delle pccole oscllazon s presenta coe un sstea d due euazon lnear del pro ordne: θ& p p& J p& M gaθ 73. 4

102 7. è consglable usare odern etod atrcal (v. Apostol, Anals, Cap. 3). Scrtto l sstea nella fora atrcale seguente: θ& p& Mga θ θ J, & () 73.4 p θ () θ ove θ è l vettore delle condzon nzal, s constata ce tale fora è del tpo: Y& ( t) AY( t) ; Y () B 73.4 con B vettore delle condzon nzal, la cu soluzone è data dalla forula: A Y( t ) e t B. Con cò, la dffcoltà è relegata alle tecnce d calcolo della atrce esponenzale. 74. Sgnfcato fsco degl puls generalzzat. Defnt gl puls generalzzat edante la poszone: p T, 74. & & è nteressante osservare ce l loro sgnfcato fsco vara sa n dpendenza del sstea d rferento assunto, sa n dpendenza del sstea eccanco consderato. Consderao l esepo d un punto d assa, lbero da vncol, rferto a un sstea d coordnate cartesane ortogonal. Per esso l energa cnetca è: T (& y& z& ) x, 74. (,, 3) sono rsp.te le x, y, z, r- per cu, n base alla 74., consderando ce le sulta: p x&, p y& p z&, S vede così ce, nel caso consderato, gl puls generalzzat anno l sgnfcato fsco d coponent della uanttà d oto. Se nvece rferao sepre lo stesso punto aterale a un sstea d coordnate clndrce, essendo l energa cnetca, ora, espressa dalla forula:

103 7. T (& r & z& r θ ), la 74., ove le (,, 3) sono rsp.te le r, θ, z, fornsce: p r&, p r θ& p z&, Ora, p e p3 sono ancora due coponent della uanttà d oto, a p è la coponente secondo l asse z del oento della uanttà d oto. Coe secondo esepo consderao un corpo rgdo con un asse fsso, dcao x. Allora la sua energa cnetca è espressa da: φ & T J, essendo φ l angolo d rotazone e J l oento d nerza rspetto all asse x. In tal caso l unca coordnata lbera è φ, e la 74. fornsce: p Jφ &, a l sgnfcato fsco d oento rspetto all asse x della uan- la uale ostra ce ttà d oto. p ****** ******

104 7. Appendce al Paragrafo 7 LA TRASFORMAZIONE DI LEGENDRE La trasforazone d Legendre opera su d una funzone un partcolare cabaento d varable. Sa la funzone dfferenzable (d classe C aleno) d n () varabl: y f ( x, x,..., x ) f ( x ) (,,..., n n ). defnta n un dono A, cu eleent sono le n-uple x [ x, x,..., xn ] d nuer real (vettor). Accanto alla f ( x ), defnao una seconda funzone g( x, y) legata alla pra dalla relazone: g( x, y ) x y n f ( x ).. In vrtù della defnzone della f ( x ), ance la. è dfferenzable, della stessa classe della. e defnta nel dono A A cu eleent sono le coppe ( x, y) delle n- uple [ x ] e [ y ] d nuer real. Nella. e sono ntese coe varabl ndpen-, dent. E caro, però, ce se tra le varabl x e y dovesse ntercedere ualce legae, la g( x y ) ne verrebbe a rsentre, coè uterebbe n dpendenza d uel legae. C possao cedere: esste un legae tra, e se esste ual è, ce possa rendere la funzone g x, y ) ndpendente da? Se la rsposta fosse postva, ( allora l pro ebro della. dverrebbe una partcolare funzone della. potreo scrvere la relazone: x y x x e y g ) ( y ) e n luogo n ) g( y ) x y f ( x ), 3. la uale nel suo aspetto ostrerebbe ce s è venuta a deternare una corrspondenza tra le funzon f ( x ) e g ) y ), uale sarebbe prodotta da un cabaento d varabl ( da x y. Ebbene, uesto è propro l caso e s dostra coe segue. Affncé susssta la 3., coè affncé la g( x, y ) sa ndpendente da x, è caro ce la condzone da porre alla. è data dall annullaento della dervata della g( x, y) stessa rspetto a x (,,, n) n ogn punto del dono A A. Pertanto scrvereo: g( x, y x ) x n x y f ( x ) 4.

105 7. 3 Ponendo per carezza d scrttura: g( x, y x ) ϕ ( x, y la 4. s svluppa coe segue: ϕ ), 5. n ϕ ( x, y ) x y f ( x ) x x f ( x ) x, y ) y. 6. x ( (NOTA: l rsultato è gustfcato dal fatto ce sotto l segno d soatora, non nulla ed uguale ad è soltanto la dervata rspetto a x con ndce.) La 6. espre la condzone, sotto fora d una specale dpendenza d y da x, ce deve sussstere affncé s abba la fora 3. Abbao così trovato uel partcolare legae tra x e y ce fa sì ce s detern la trasforazone della funzone x ) nella funzone g ) f ( ( y ), legae ce non è altro ce l cabaento d varable : x y f ( x). 7. x In conseguenza d uanto trovato, no dreo ce la funzone ) è la Trasforata d Legendre della funzone data f ( x ). g ) ( y Proponaoc ora d rcavare n odo esplcto le varabl n goco x e y deternano la trasforazone descrtta. Il problea s rsolve dfferenzando abo ebr della 3., rcordando la presenza del vncolo 6. Tale tpo d dfferenzazone, ce s ncontra ance nel calcolo de ass e n condzonat, rcede d essere affrontato con l pego de cosddett oltplcator d Lagrange secondo la seguente regola (v. per es. Francesco Trco, A. M. vol II, cap. IV): «Per dfferenzare una espressone funzonale n presenza d una condzone d vncolo tra le varabl, s dfferenza una cobnazone lneare a coeffcent costant forata con l espressone data e pr ebr delle euazon d condzone». Cò coporta ce nel nostro caso s scrva: d n n ) [ g( y )] d x y f ( x ) λϕ ( x. y ) Svluppando la dfferenzazone, abbao: ce. 8.

106 7. 4 n ) g y n n n f n n dy x ϕ x xdy ydx dx, λ dx ce rordnando può scrvers: ) g y n n n ϕ y dy xdy, λ dy, λ ϕ y dy f x n n n dx ydx, ϕ λ dx 9. x Per l arbtraretà degl ncreent (da consderare vrtual) prendao d volta n volta un set d ncreent dy e dx n cu sano dvers da zero soltanto gl ncreent d ndce, und tornao a denotare l ndce con. In tal odo avreo un set d n euazon ove non copare pù l segno d soatora rspetto ad, ed n luogo della 9. potreo scrvere: ) g y dy x dy n λ ϕ y dy n f ϕ dx ydx λ dx. x x L espressone trovata è una denttà, coè le uanttà al pro e al secondo ebro restano sepre ugual tra loro ualunue sa l valore assunto. Qund restano ugual ance per l valore zero. Con cò è possble uguaglare a zero cascuno de due ebr della. ottenendo le due espresson seguent: ) g y x n ϕ λ y. f x y n ϕ λ. x Fssao l attenzone sulla. e rscrvaola nel odo seguente: n ϕ f λ y. 3. x x Ma l secondo ebro d uesta relazone è dentcaente nullo per la condzone 6., per cu la 3. è n effett l sstea:

107 n 7. 5 ϕ λ, 4. x coè un sstea lneare oogeneo d n euazon nelle n ncognte λ. Per una soluzone non banale l deternante de coeffcent deve essere uguale a zero. Ma coe dostrereo tra poco, tale deternante è nvece dverso da zero sotto una certa condzone. Coè, verfcandos tale condzone, potreo scrvere: ϕ det, 5. x la atrce de coeffcent. Pertanto per l sstea 4. varrebbe la solu- ϕ essendo x zone banale: λ (,,,n) 6. Studao la uestone. Dervao la 6. rspetto a x. Ottenao l uguaglanza: ϕ x x f x, 7. nella uale la atrce a secondo ebro è la atrce essana della funzone f. Pertanto lo studo del deternante della atrce de coeffcent del sstea 4. s sposta nello studo del deternante della atrce essana della funzone f Supponao ce la funzone f sa convessa, coè tale ce rspetto ad un pano ce ntersec la superfce f, uesta rest sepre al dsotto ( NOTA: nel caso d f funzone d due varabl, s avrebbe la superfce d una scodella appoggata sul pano (xy) coe ostra la Fgura sottostante).

108 7. 6 Allora le sue dervate pre sono sepre crescent, per cu le dervate seconde sono sepre postve. Pertanto la atrce essana d f non a alcun eleento nullo su tutto l dono d f. Allora, essa è una atrce setrca (per l nvertbltà dell ordne delle dervazon) con eleent a null, e pertanto è dagonalzzable con tutt gl eleent dagonal (ce sono suo autovalor), real e dvers da zero. Pertanto l suo deternante (costtuto dal prodotto degl autovalor) è dverso da zero. Ne consegue ce prendendo deternant de due ebr della 7. avreo: det ϕ x det f x x 8. conforeente a uanto avevao antcpato con la 5. Partendo, vceversa, dall potes ce l essano d f sa dverso da zero s gunge a stablre ce la f è convessa. S dostra faclente ce una funzone lagrangana soddsfa alle condzon poste per la f.

109 8. 8. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI. 8. Concetto d funzonale. Il Calcolo delle Varazon orgna da una estensone de proble d stazonaretà (la deternazone de ass e n) delle usual funzon real d varable reale. Scrvendo, rguardo a tal funzon (e ltataente al caso undensonale): y f (x) 8. s vuole ntendere, coe s sa, l esstenza d una corrspondenza tra due nuer x e y. Precsaente, s dce ce, fssato un valore per x, s ottene l corrspondente valore d y, trate le operazon rappresentate da f. Può sorgere allora l problea d deternare ue valor d x ce rendono la funzone, coè l andaento d y, stazonaro. Il punto d stazonaretà x, coe s rcorderà, è uel punto n cu ogn ncreento x (d ualunue segno) provoca ncreent d f sepre postv (e s a un no), oppure sepre negatv (e s a un asso). In luogo della 8. s consder ora la scrttura: b [ f ( t ] F F ) 8. a n cu l ruolo ce a la x nella 8. è assunto da una funzone f (t) defnta e consderata tra gl estre a e b, entre la uanttà al pro ebro, la F ce fgura al posto d y, contnua ad essere un nuero reale. Cedaoc: «Ce sgnfcato scatursce per la scrttura 8. dal confronto con la 8.?» E evdente ce nella 8. abbao una corrspondenza tra una funzone f (t) e un nuero. In altr tern, l nuero F è un nuero ce dpende dalla scelta d una funzone, coè, una volta fssat cert estre a e b, da tutt valor ce tale funzone assue nell ntervallo [ a, b]. Il seplce esepo del calcolo d un ntegrale defnto carsce l concetto ce abbao esposto. Scrvendo: F f ( t) b a 8. 3 no ntendao rcavare l nuero F ce trate l operazone d ntegrazone defnta tra valor t a e t b, la funzone f (t) produce. Tale nuero dpende und dalla partcolare funzone f (t) prescelta. Cabando la funzone, caba l nuero F. La 8. 3 c fornsce così un esepo d nuero ce dpende da una funzone consderata n un ntervallo [ a, b], coè dall nsee d nuer ce sono valor ce la funzone assue n uell ntervallo. Quanto detto s può evdenzare col dagraa d Fg. 8., ce ostra l andaento d due funzon f ( t ) e f ( t) consderate nell ntervallo [ a, b ]. S sa ce l nuero F dato dalla 8. 3, espre la uadratura dell arco AB del dagraa d f (t), coè dà la sura dell area copresa tra la curva della funzone, l asse delle ascsse e le ordnate ne punt a e b. Orbene, varando la curva della funzone, passando coè, per

110 8. esepo, dalla curva d f ( t ) alla curva d f ( t ) è del tutto evdente ce l area sopra descrtta caba, coè F F. Qund l nuero F dpende dalla fora della funzone tra punt A e B. Fg. 8. Un altro esepo d nuero ce dpende da una funzone è offerto dalla stessa fgura 8., ed è l nuero ce espre la lungezza dell arco AB della curva della generca funzone f (t). Coe s sa dall A.M. tale lungezza è data dalla forula: F f (t) 8. 4 b a e s vede coe essa etta n evdenza la dpendenza d F da f (t) trate la dervata d tale funzone. Nueros esep d dpendenza espressa dalla scrttura 8. s ncontrano nello studo d proble fsc. Voglao darne un seplce saggo llustratvo con rguardo alla Fg. 8.. Fg. 8. Essa propone l oto lungo un asse x d un punto aterale d assa soggetto ad una forza f (t), funzone del tepo. L euazone del oto secondo Newton è: && x f (t) 8. 5 dalla uale s trae:

111 t t 8. 3 x f ( t) 8. 6 Vedao così ce lo spazo percorso dal punto dal tepo t al tepo t t, dpende dalla funzone f (t) ce espre la forza applcata. Un altro esepo olto portante d nuero dpendente da una funzone è e- spresso dalla forula: F L[ f ( t), f ( t). t] b a 8. 7 ove L espre un legae tra f (t), la sua dervata e la varable ndpendente t. S ravvsa a uesto punto ndspensable dare un noe a uesto nuero F ce dpende dalla scelta d una funzone. Lo s caa funzonale. Iportant proble sono conness con la studo d un funzonale, per esepo uell ce rguardano la sua stazonaretà, coè l suo dvenre asso o no. Tal proble vengono caat proble varazonal. C proponao d esporne fondaent ne pross sottoparagraf. 8. Dervata d un funzonale. Voglao nconcare con lo stablre l concetto d dervata d un funzonale. Sorge spontaneo pensare ce s tratt d un estensone del concetto d dervata d una coune funzone d varable reale, e ce, d conseguenza, convolga l lte d un ualce rapporto ncreentale. E und sulla dentfcazone d tale rapporto ncreentale ce dobbao fssare l attenzone. Qual ncreent dovreo prendere n consderazone? Per rspondere alla doanda rferaoc per esepo al funzonale 8. 7 cedendoc In ce odo potreo provocare una varazone ncreentale d F. F dpende dalla funzone f (t), und dobbao pensare d dare una varazone ncreentale alla f (t), coè una varazone eleentare al suo andaento. Per spegare uesto concetto rferaoc alla Fg. 8., la uale rporta l dagraa della funzone f (t) ltato da punt A e B d ascsse a e b rsp.te. Cosa dovreo ntendere per varazone eleentare d tale dagraa? In fgura sono rportat due tp d ncreent fnt. Uno è l usuale ncreento f ce la funzone subsce per un ncreento τ della varable ndpendente t, dato a partre da un valore τ d uesta. Questo ncreento coe s vede non a nulla a ce fare con una alterazone dell andaento della funzone tra punt A e B. L altro ncreento ce è segnato n fgura e ce abbao denotato con f è un ncreento dato all ordnata della funzone δ nel punto τ e antenuto costante per tutte le ordnate coprese nel tratto τ, essendo τ un ncreento data alla varable ndpendente t a partre dal valore τ. E evdente ce uesto ncreento δ f, così descrtto, è ora atto a rappresentare un andaento varato (n odo eleentare) della funzone f (t) tra punt A e B.

112 8. 4 Fg. 8. Abbao usato per uest ulto tpo d ncreento fnto l sbolo, dverso dal seplce sbolo, per far ntendere ce l ordnata della funzone non vara n vrtù d una varazone della varable ndpendente, a per un ncreento dato a varable ndpendente costante. In altre parole col tpo d varazone f s vene a varare la curva della funzone per un tratto τ copreso tra valor della varable ndpendente. τ e τ τ. Questo tpo d varazone è sgnfcatvo uando la varable ndpendente ndca l tepo t coe accade n Meccanca. Allora la varazone ndcata con δ s dce sncrona per sgnfcare appunto ce essa è data sncroncaente con un stante d tepo fssato. Cò preesso, s consder, tenendo presente per esepo l funzonale 8. 7, l rapporto: δ δ ( F; τ ) δ f ( τ ) τ 8. tra l ncreento subto dal funzonale F a seguto della varazone δ f (τ ) data a f (t) nel punto τ per l tratto τ, e l ncreento δ f ( τ ) τ subto dalla uadratura dell arco AB per effetto della varazone sncrona della curva. Nel detto rapporto è facle ndvduare l sgnfcato d un rapporto ncreentale, estensone concettuale d uel rapporto ce sta a base della usuale nozone d dervata. S not ce u le uanttà esse a confronto nel rapporto anno le denson d un area, dal oento ce ance ( F; τ ) n vrtù dell ntegrale 8. 7 (sul uale appoggao le dee) espre un ncreento d area.

113 8. 5 Applcando pertanto l procedento ce porta alla defnzone dell usuale dervata, faccao tendere a zero la varazone sncrona della funzone, col ce ance l ncreento del funzonale tenderà a zero, entre l rapporto ncreentale 8. 8 (sotto certe ape condzon sulle ual sorvolao) tenderà a un lte. Scrvereo und: l ( F; τ ) ( τ τ δ f ( τ ) δ f ) δ ( F; τ ) δ f ( τ ) dτ F [ f (t); τ ]. 8. A proposto delle notazon usate nella 8., voglao far notare ce al denonatore del rapporto dfferenzale ce denota l avvenuto passaggo al lte, l δ ndca l ncreento nfnteso sncrono dervante dall ncreento fnto sncrono. Al nueratore abbao antenuto per l ncreento nfnteso lo stesso sbolo δ per rcordare ce l ncreento nfnteso del funzonale è dovuto all ncreento sncrono della funzone f (t). Inoltre faccao osservare ce la notazone F [ f (t); τ ], ntrodotta per la dervata d un funzonale, è utuata dal sbolso usato per la dervata parzale d una funzone d pù varabl f x, x,..., x ), ndcata con f, ove l pedce x nd- ( n ca la varable varata (entre tutte le altre sono antenute costant). Nella notazone F [ f (t); τ ] è τ ce fa le vec del pedce dscreto x, o per eglo dre ne estende l sgnfcato al caso specfco, ove vene ad assuere una varabltà contnua. In uesto senso la 8. può essere concepta coe una generalzzazone del concetto d dervata parzale. x δ 83. Varazone d un funzonale. Dalla 8., rcordando ce gl nfntes nella notazone d Lebntz della dervata uale rapporto tra nfntes, sono soggett alle regole algebrce, rcavao: [ f ( t); τ ] δf ( τ δ F F ). 83. Per analoga con la forula ce espre la parte prncpale dell ncreento d una funzone ordnara d varable reale, l sgnfcato della 83. è abbastanza caro. Infatt, se ndcao con δ ( F; τ ) l ncreento totale ce subsce l funzonale a segu- TOT to della varazone nfntesa sncrona δ f (τ ) della f (t) nel punto t τ, la 83. e- spre la parte prncpale dell ncreento totale δ ( F; τ ). Per seplctà caere- TOT o tale parte prncpale d δ ( F;τ ) seplceente varazone d F. Osservando pù da vcno le cose e fssando l attenzone sull ndce τ, ntuao ce la 83. svolge l ruolo (nel contesto de funzonal) del dfferenzale parzale d una funzone ordnara d pù varabl, coè del dfferenzale attnente alla varazone d una sola varable entre tutte le altre sono antenute costant. Cò preesso, sao ad un passo dal pervenre ne rguard d un funzonale, alla logca estensone del Teorea del dfferenzale totale valdo per una funzone f x, x,..., x ) d n varabl real. ( n TOT

114 8. 6 Precsaente, così coe tale Teorea espre l dfferenzale totale coe soa d tutt dfferenzal parzal relatv alle varazon d cascuna sngola varable, talcé s scrve: df f x f dx dx x f dx x n n f dx x f dx x f dx x n n n f dx x 83. analogaente la sua estensone a funzonal, esprerà l dfferenzale totale coe soa d tutt gl nfnt contrbut local del tpo 83., attnent ad ogn punto τ, l ce porta a scrvere, n luogo d una soatora, un ntegrale, e s avrà la scrttura: δ F b F a [ f ( t); τ ] δ f ( τ ) dτ E a uesto punto nell ordne naturale delle cose defnre la dervata seconda d un funzonale, argoento ce affrontereo nel prosso N.ro. 84. Dervata seconda d un funzonale. S coprende coe per defnre la dervata seconda d un funzonale s debba partre dalla forula 8. ce ne espre la dervata pra, osservando ce è essa stessa a sua volte un funzonale. S dovrà und applcare alla 8. la stessa regola ce a condotto alla F. Vedao coe. Consderao sull asse t un punto η, generalente dstnto da τ (cò orgna la dervata sta) o eventualente concdente con τ (cò orgna la dervata pura, e rproducao sul rapporto dfferenzale della 8., l foralso propro delle dervate seconde d una funzone d pù varabl real. Ne rsulta la scrttura: δ F f ( τ ) dτ f ( η) dη F [ f ( t); τ, η]. 84. A uesto rguardo s può ance dostrare ce: [ f ( t); τ, η] F [ f ( t); η, τ ] F, 84. coè ce vale la generalzzazone del Teorea d nvertbltà dell ordne delle dervazon. Dalla 83. s a po: δ [ f ( t); τ, η] δ f ( τ ) δ f ( η dτ dη F F ) 84. 3

115 8. 7 Questo ce abbao scrtto è un dfferenzale secondo a seguto d varazon sncrone d f (t) nel punto τ e nel punto η, S tratta und d un dfferenzale secondo parzale. Per ottenere l dfferenzale secondo totale s dovrà esegure l ntegrazone rspetto a τ e rspetto a η. S scrverà pertanto: δ b b F F a a [ f ( t); τ, η] δ f ( τ ) δ f ( η) dτ dη Stazonaretà. Il problea pù portante rguardo a un funzonale è uello della sua stazonaretà. Per tale studo s fa capo agl stess concett ce stanno alla base dello studo della stazonaretà delle funzon usual d n varabl real e ce s pernano sulla forula d Taylor. Rcordao ce uesta forula per le funzon d n varabl real, s scrve (v. Appendce): 3 n f df d f d f d f 3! n! R n. 85. Avendo defnto l processo col uale s forano var dfferenzal d un funzonale, no potreo rscrvere, nel caso d un funzonale, la stessa forula 85. sosttuendo al sbolo d l sbolo" δ ", ottenendo: n F δ F δ F δ 3 F δ F, 85. 3! n! nella uale abbao altresì trascurato gl nfntes d ordne superore all n-eso raccus nel resto. R n Sulla falsarga della teora della stazonaretà d una funzone f d n varabl, rferendoc ora alla 85., ove F desgna un funzonale, dreo ce condzone necessara e suffcente per la stazonaretà d F, è ce sa: δ F 85.3 per arbtrare varazon δ f (t) date a f (t). Allora, se s potrà noltre stablre ce: δ F > δ f (t) 85.4 s potrà afferare ce l funzonale F a n corrspondenza della funzone f (t) (ce asscura l verfcars delle e 85. 4), un no; entre se s potrà stablre ce: δ F < δ f (t) 85.5 s potrà dre ce F a un asso.

116 Funzonal fondaental. Molt proble fondaental del Calcolo delle Varazon (calcolo ce convolge funzonal) rguardano lo studo della stazonaretà d partcolar tp d funzonal, ce caereo funzonal fondaental, l pù coplesso de ual s presenta sotto l aspetto seguente: F b L[ f ( t), f ( t), f ( t), t], 86. a ove L espre un legae tra la funzone f (t), la sua dervata pra, la sua dervata seconda e la varable ndpendente t. Lo studo d detto funzonale può essere fatto dpendere dallo studo d funzonal fondaental pù seplc. Inzereo pertanto lo studo dal funzonale pù seplce d tutt ce è l seguente: F L[ f ( t), t]. 86. b a n cu nel legae denotato da L non copare né f (t). né f (t). Volendo calcolare la varazone δ F della fora funzonale 86., conseguente alla varazone δ f d f (t), dobbao consderare l tepo congelato all stante t τ, e und applcare le regole foral della dfferenzazone. Ne rsultano le successve scrtture: b L a ), b a δ F δ [ f ( t t] δ L b L δ F δ f a f Confrontando uesto rsultato con la 83. 3, ottenao, coe dervata funzonale d n un punto τ, l espressone: F L F f t τ Consderao ora l caso d un funzonale del tpo: F b L[ f ( t), t] a Se δ f è un ncreento sncrono d f per analoga con la avreo: b L δ F δ f a f Ma a no nteressa ottenere la varazone δ F d F n funzone non d δ f, bensì n funzone esplcta d una varazone sncrona δ f d f (ce sa nulla agl estre a e b

117 8. 9 e nell potes ce gl estre a e b sano fss). Occorre und procedere ad una trasforazone della forula Allo scopo esplctao l sgnfcato d δ f. In vrtù della defnzone d dervata possao scrvere: f ( t ) f ( t) δ f δ Ma l sbolo δ opera a t costante ( congelato a t τ ), und non vene nfluenzato da δ, noltre δ gode, ntutvaente, della propretà dstrbutva, per cu la s può trasforare coe segue: δ f ( t ) δ f ( t) d δ f δ f appena s ravvs nel ebro nteredo l lte del rapporto ncreentale della funzo ne δ f. Introducendo l rsultato nella 86. 6, abbao allora: b L d δ F δ f a f Operao su uesta espressone una ntegrazone per part assuendo fattor fnto. S a: L f coe b L b d L F δ f f f a f. 86. δ a a,. Pertanto l pro terne della 86. è uguale a zero, col ce la 86. stessa s scrve: Ma abbao posto l potes ce δ f sa nullo alle estretà dell ntervallo [ b] b d L F f a f, 86. δ e dal confronto d uesta con la s a: d L F 86. f tτ ce è l espressone della dervata funzonale d F nel punto τ. Prendao ora n consderazone l caso del funzonale: F 3 b L[ f ( t), t] a 86. 3

118 8. e seguaone le trasforazon appresso ndcate, basate sull nversone de sbol d e δ noncé sull ntegrazone per part e su rsultat precedent. δ F b 3 a L δ f f b L d δ f a f b L b d L δ f δ f f a f a b L b d L d δ f δ f f a f a b b L d L b d L δ f δ f δ f f f a f a a L d L b d L δ f δ f δ f a f f b a f Il pro terne è nullo per l potes d partenza, per cu rsulta: b d L δ F 3 δ f a f Confrontando con la rsulta: d L f F tτ Sao ora n grado d affrontare l problea ce c eravao propost, uello dello studo del funzonale 86.. Cò fareo sovrapponendo rsultat parzal ottenut ne cas partcolar precedent. Consderao n pro luogo l funzonale: F b L[ f ( t), f ( t), t 4 ] a e osservao ce la varazone δ F 4 è la soa de contrbut alla varazone apportat dalle varazon δ f e δ f. Percò per le e 86., avreo:

119 8. δ F 4 δ F F δ b a f f L δ f f L d f f L b a b a δ δ δ 4 F f f L d f L f f L b a b a δ δ Da uesta nel solto odo s deduce ce, entro l ntervallo [, è: b] a, τ t f L d f L F Fnalente, per l funzonale pù coplesso 86., u rportato:, 86. [ t t f t f t f L F b a ), ( ), ( ), ( ] soando due contrbut e 86. 4, avreo: b a f f L f f L d f L F δ δ δ f f L d f L d f L b a δ. 86. Nell potes ce f δ sa nullo agl estre dell ntervallo [, l pro terne s annulla. Confrontando und con la 83., rsulta: b] a, τ t f L d f L d f L F 86. Fnora abbao supposto ce gl estre a e b dell ntervallo fossero fss. Se tale potes vensse rossa, un funzonale F rsulterebbe, oltre ce funzone d f, ance funzone n senso ordnaro delle varabl a e b. Allo ra una varazone δ d a e una varazone δ d b provocerebbero una varazone agguntva del funzonale, data da: [ b a, ] a b b b F a a F δ δ Se F è espresso genercaente dalla scrttura:

120 8. F b L a coe ne cas da no consderat, la rsulta seplceente: δ [ b Lδ t] L b L δ a t b t a a Questo rsultato segue dal Teorea d A.M. secondo l uale «La dervata d un ntegrale defnto rspetto al suo estreo superore è uguale alla funzone ntegranda la cu varable d ntegrazone sa stata sosttuta con l valore dell estreo superore, a condzone ce la funzone ntegrando sa contnua» 87. Stazonaretà ncondzonata. Quanto fn u esposto a servto a procurarc le espresson della varazone pra d ue funzonal ce aggorente nteressano l Calcolo delle Varazon. Espresson ce trovao copendate nella 86., alle ual è da aggungere la nell eventualtà d lt varabl. A uesto punto, sao n grado d affrontare l problea della stazonaretà de funzonal ce abbao preso n consderazone. Supporreo n pro luogo ce lt a e b sano fss e ce la funzone f (t) sa totalente lbera, coè non soggetta ad alcun condzonaento. In tale stuazone, possao subto cederc: «Dato l funzonale u rportato: F 4 b L[ f ( t), f ( t), t] a 87. dpendente dalla funzone f (t), uale sarà la f (t) ce lo rende stazonaro?» In base alla 84. 7, dovrà essere: δ F 87. con δ F fornto dalla Allora, la condzone 87., per l arbtraretà d δ f, s traduce nelle seguent condzon: L f d L f L f L f ta tb ove la L è una funzone data.

121 8. 3 Coentando uesto rsultato, vedao ce la è una euazone dfferenzale ordnara del secondo ordne nella funzone ncognta f (t). Essa è nota col noe d Euazone d Eulero. Una volta ntegrata, fornsce la f (t) a eno d due costant arbtrare ce potranno essere deternate edante le e In odo analogo s studa la stazonaretà del funzonale 86., u rportato: F b L[ f ( t), f ( t), f ( t), t] a Per esso la condzone 87. s traduce, n vrtù della 86., nelle seguent condzon: L f d L d f L f L f d L f ta L f d L f tb L f L f ta tb L euazone d Eulero n uesto caso è la Essa s presenta coe euazone del uarto ordne nella funzone ncognta f (t), ce coporta und uattro costant arbtrare ce le euazon n tern fnt perettono d calcolare. Se po, sepre ranendo f (t) ncondzonata, accadesse ce lt a e b non sano fss, a lber, ess sarebbero due nuove ncognte da deternare. Concotanteente s dovrebbe aggungere alla varazone δ F data dalla 86., ance l contrbuto dato dalla Con cò, per la stazonaretà, s avrebbero le condzon agguntve espresse, per l arbtraretà d δ a e δ b, dalle seguent ulteror due euazon n tern fnt: L ; L 87. ta t b ****** ******

122 8. 4 Appendce al Paragrafo 8 FORMULA DI TAYLOR PER LE FUNZIONI DI PIU VARIABILI REALI E GENE- SI DELLA SUA RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA Rcordao l espressone della forula d Taylor per le funzon d una sola varable reale: f!! 3 ( n) n ( x x) f ( x) f ( x) x f ( x) x f ( x) x f ( x) x Rn Essa, fssato un punto x, n cu la funzone a l valore noto f (x), c perette d calcolare l valore della funzone nel punto ncreentato x x, coe soa d tern d una sera. Nella, tutt tern oltre l n-eso, sono stat raggruppat nell unco terne R n, cu può dars la fora, detta d Lagrange: 3! n! ( n) ( n ) n f ( x x) x R θ, ( n! essendo θ un opportuno nuero copreso tra e ( <θ < ). E cara, osservando la, la forazone de successv tern della sera, ual s protraggono sno all nfnto, se la sere non vene troncata pra del terne R n. Alla può dars una veste dversa, pù adatta alo svluppo d alcune teore, rcorrendo alla notazone usata per l dfferenzale pro d una funzone, coè per l nfnteso del pro ordne ce rappresenta la parte prncpale dell ncreento della funzone conseguente all ncreento x della varable. Tale notazone, coe s rcorderà, è la seguente: d f ( x) f ( x) x, 3 Ora, se no applcao le regole della dfferenzazone alla uanttà 3, venao a scrvere: [ d f ( x) ] d f ( x) d [ f ( x) x] f ( x) x x d[ x] f ( x) d. 4 Ma l secondo terne è nullo, n uanto x è da rtenere ndpendente da x, coè costante ualunue sa l valore d x a partre dal uale s opera l ncreento, per cu la 4 fornsce: d f ( x) f ( x) x 5

123 8. 5 ce è a drs nfnteso del secondo ordne della funzone f (x) Analogaente trovao: d 3 [ d f ( x) ] d f ( x) d [ f ( x) x ] f ( x) x x d [ x ] f ( x) 3 3 d f ( x) f ( x) x, 6 detto nfnteso del terzo ordne della funzone f (x). E n generale avreo: d r f ( x) ( r) f ( x) x r, 7 da drs nfnteso d r-eso ordne della funzone f(x). Allora, con uanto vsto, alla può dars la seguente fora, ce fa uso degl nfntes d ordne successvo della funzone f (x):!! 3! n! 3 n f df d f d f d f Rn 8 Una forula analoga alla 8 può stturs per le funzon d pù varabl. Inconcao col consderare una funzone d due varabl f (x, y), l cu capo d defnzone C sul pano Oxy sa uello ostrato n Fg.. Fg. In C fssao due punt, P ( x, y) e P ( x, y ), e consderao l segento P P. Tale segento s può rappresentare paraetrcaente edante le euazon: x x t y y t ; 9 S osserv ce facendo varare t da a, l punto P, d coordnate date dalla 9, descrve l segento percorrendolo da a. Sul segento P P rsulterà defnta, n P P

124 8. 6 vrtù delle 8, una funzone z F(t), e potrà scrvers per l ncreento ce subsce z nel passare da : z ) ), P ( a ), ( P y x y x ( () ), ( ) F F y x f y P P y x f x f y f x f t F ) ( ( ) ( t F y x f x f (. (, x f Cò preesso, s può enuncare l Teorea: «Data la funzone d due varabl real f (x, y) avente dervate parzal contnue fno all ordne n, la funzone F (t) ce la descrve su d un segento del capo C d defnzone, è anc essa dervable n volte, e la sua dervata -esa (con,,, n) a l espressone: y f y x f F ) (» La dostrazone può esegurs per nduzone, constatando ce la forula è vera per e, supposta vera per, è vera ance per. Ora, per, la fornsce: t F ) ( (), conforeente al rsultato fornto dalla regola d dervazone delle funzon coposte applcata alla funzone f (x, y) con x e y date dalla 9. Eseguao ora una dervazone rspetto a t d abo ebr della allo scopo d ottenere l espressone della dervata. Per far uesto rcordao ce le dervazon rspetto a t vanno fatte con la regola delle funzon coposte tenendo present le 9, e coè oltplcando la dervata rspetto alla varable cartesana per la dervata della varable cartesana rspetto a t. Con cò avreo: ) t F ) ( ) y x f y x f y x f y x f 3 y f y x f. 3 Raccoglendo tern sl la 3 può ordnars coe segue:

125 8. 7 y x f x f t F ) ( ) ( y x f y f. 4 Ma per la forula s Stfel u sotto rportata: 5 l l l coeffcent entro parentes uadra della 4 s possono scrvere rsp.te così: ecc. 6 ; ; dal ce s vede ce la 4 stessa non è altro ce la con al posto d. Dunue la dostrazone per nduzone della è coputa. ( ) Quest ulta, rcordando lo svluppo del bnoo d Newton, s può ettere sotto la seguente fora d potenza sbolca: f y x t F ) ( ) ( 7 ce ntroduce l operatore dfferenzale sbolco: y x. 8 S deve tener presente ce ogn prodotto del tpo: l l y x 9 ce s ncontra nel suo svluppo va sosttuto con la dervata -esa d f fatta l volte rspetto a x ed -l volte rspetto a y. Qu pervenut, rtornao a consderare la funzone F(t) rcordando ce n essa la varable t assue valor estre e. L ncreento d t fra tal valor estre è

126 8. 8 und t. Cò coporta ce, se applcao alla F(t) la forula d Taylor data dalla, dovreo sostture nella, x con e x con, ottenendo così, per lo svluppo d Taylor della F(t) eseguto col valore nzale t, la forula: n F ( ) F() F () F () F () F () Rn!! 3! n! con R n dato da: ) ( n R n F ( θ ) ; < θ < ( n )! La, portando F() al pro ebro e usufruendo delle espresson 7 per le dervate d F(t), può essere scrtta coe segue: n ( ) F()! f Rn x y F, ove l pedce posto ad f sta a rcordare ce tutte le dervate devono essere calcolate nel punto assunto coe nzale. Sosttuendo nella, la, s ottene: n f ( x, y ) f ( x, y)! f Rn, 3 x y ed è uesta la forula d Taylor per le funzon d due varabl, ce dventa la sere d Taylor se f (x,y) è dotata d dervate parzal d ualsas ordne ed R n tende a zero per n. Nel ual caso s scrve: f f! x y f ( x, y ) f ( x, y). 4 ( p,,..., p Questa espressone s generalzza faclente al caso d una funzone x, x,..., x ) d un nuero ualsvogla p d varabl ce subscono rsp.te gl ncreent f, dvenendo la sere: ( x () () p() () () p(), x,..., x ) f ( x, x,..., x ) p f! x x x p, 5

127 8. 9 ove l operatore dfferenzale sbolco è una cara estensone dell operatore 8. Con rguardo alla 3 (o 4) è nteressante ettere n luce una fora alternatva d scrttura cu la stessa dà luogo, e ce generalzza la scrttura 8 ce abbao dostrato nel caso delle funzon d una sola varable. Per far uesto, osservao nnanztutto ce la potenza sbolca, assocata alla funzone f con, ne produce l ncreento prncpale, coè l dfferenzale pro: df f f dx dy f dx dy x y 6 x y Eseguao ora con le regole foral della dfferenzazone, l dfferenzale del dfferenzale 6, ce caereo dfferenzale secondo. Avreo: d df f f d f f d f f d f d dx dy dx dy dx dx dy dy x y dx x y dy x y f f f f dx dxdy dxdy dy x x y y x y dx dx dy dy f x x y y dx dy f x y 7 d d Questo rsultato è gustfcato dal fatto ce le uanttà dx e dy ce rsulterebbero coe part della dfferenzazone de prodott all nterno delle parentes, sono dx dy nulle, n uanto gl ncreent delle varabl ndpendent, dx e dy, sono da rteners assegnat coe ndpendent da x e da y, e und costant. (Osservazone gà fatta!) Estendendo l procedento s trova n generale ce può pors: d f dx dy f x y, 8 ove d f è a drs dfferenzale -eso d f. Con cò la 3 può scrvers:! 3! n! 3 n f df d f d f d f Rn, 9

128 8. avendo osservato ce vale l euvalenza sbolca: d dx dy x y 3 Per le applcazon eccance nteressa la sera d Taylor troncata al terne uadratco. Rferendoc n uanto segue alle funzon f ( x, x) d due varabl, e ndcando gl ncreent delle stesse con x, x anzcé con,, svolgao la potenza sbolca dell operatore 8 per. Avreo, scndendo l doppo prodotto sbolco n due tern e rcordando la regola ce fa capo al sbolo 9: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 x x x x x x S osserv ce l espressone 3 fornsce un nuero S ce rsulta dal prodotto atrcale seguente: T S P H P 3 ove: x P x ; f f x x x H 33 f f x x x coe è facle constatare eseguendo calcol ndcat dalla 5. A proposto de ual s rcord ce va pra eseguto l prodotto atrcale H P ce produce un vettore colon- T na e po l prodotto scalare tra l vettore ottenuto e l vettore rga P. Alla atrce H forata con le dervate seconde della funzone f ( x, ) x s dà l noe d atrce essana della funzone (dal ateatco tedesco Hesse). Rlevao noltre ce l terne lneare della 4, coè l pro terne della soatora ce s a per, può pors nella fora: essendo: f f x x f P, 34 x x

129 8. f f f grad f j 35 x x Convene, per le applcazon eccance e con rguardo alla Fg., adottare le seguent scrtture: f ( x x, x x f f ( x, x) f (P ) P ( P - P ) (P) Fg: Allora, possao scrvere la forula d Taylor troncata al terne uadratco, nella seguente fora sbolca: f ( P) f (P ) f (P - P ) (P - P ) H (P - P ). 39 Interpretando la funzone f (P) coe la funzone potenzale U () d certe forze conservatve agent su un sstea eccanco del uale (,,..., ) sa l vettore n delle coordnate lagrangane e l vettore d una confgurazone nzale, la 39 assue l aspetto: U ( ) U ( ) U ( ) ( - ) ( - ) H( - ) 4

130

131 9. 9. STAZIONARIETA CON LIMITI FISSI ASSEGNATI. PRINCIPIO DI HA- MILTON 9. Condzonaento d f (t) agl estre. Le forule della varazone funzonale δ F ce abbao stablto al Par.fo 9, contengono n odo del tutto generale un terne ce tene conto del contrbuto della varazone δ f della funzone f (t) agl estre a e b dell ntervallo [ a, b]. Abbao gà osservato coe uesto terne debba consderars nullo nel caso n cu la funzone f (t), pur essendo lbera (coè ncondzonata) all nterno d [ a, b], sa però condzonata agl estre, nel senso d dover v assuere valor assegnat, talcé ne rsult: δ f ; δ f 9. ta tb In uanto segue c atterreo a uesta stuazone, la uale dà luogo al caso pù seplce d stazonaretà condzonata, defnta foralente dalle condzon così e- spresse: f ( a) α ; f ( b) β 9. essendo α e β valor assegnat (v. Fg. 9. ) Fg. 9. Consderando per esepo l funzonale 86. 7, nella sua varazone δ F 4 data dalla 86.8, nell potes consderata vene a ancare l pro terne e la condzone d stazonaretà s rduce alla sola euazone d Eulero 87. 3, u rportata:

132 9. L f d L, 9. 3 f la uale fornsce la f (t) a eno d due costant arbtrare, subto calcolabl edante le 9.. Cò puntualzzato, preparao la strada per stablre, coe applcazone de concett espost rguardo al Calcolo delle Varazon, uno de pù perspcu prncp varazonal della Dnaca, l cosddetto Prncpo d Halton. Per fssare le dee rferaoc alla Fg. 9. ce ostra un punto P vncolato ad una superfce lsca fssa. C proponao d rconoscere l ovento M naturale cu esso vene assoggettato n conseguenza della sollectazone dovuta a forze esterne. Cò sgnfca deternare la legge del oto P(t) uale s verfca n Natura. Per far uesto, c porreo nella poszone entale d consderare, accanto al ovento naturale M ce fa percorrere a P la traettora fsca r, un altro ovento M, ce caereo varato sncrono, l uale fa percorrere a P la traettora s. Fg. 9. La ragone del noe sta nel fatto ce, fssato un tepo t, entre nella traettora r l punto s trova n P, nella traettora s esso vene a trovars n P'. Percò P e P' sono due poszon sncrone. Allora, per defnzone (v. N.ro 3), lo spostaento: δ P P P 9. 4 è uno spostaento vrtuale relatvo all stante t. S può ance dre ce, conoscendo δ P(t), coè δ P ad ogn stante, è possble, noto l oto M, ottenere l oto M. S coprende coe uesto concetto della sncronctà delle poszon d un punto aterale nel oto M e nel oto M, possa essere esteso ad ogn altra grandezza Q connessa col oto M, consderando accanto a Q la grandezza Q' varata sncrona (relatva al oto M ), data da:

133 9. 3 Q Q δ Q 9. 5 ove δ Q è la varazone sncrona ce Q subsce passando dal oto naturale M al oto varato sncrono M. A uesto rguardo è d uopo rcaare l attenzone sul dverso sgnfcato de sbol δ e d post dnanz al una ualunue grandezza Q. Precsaente, l sbolo δ, coe apaente spegato, espre una varazone sncrona (e und vrtuale), entre l sbolo d (uello posto a denotare l usuale dfferenzale) espre la varazone d Q nella sua evoluzone teporale secondo la nota scrttura: dq dq, 9. 6 dq ove è la dervata d Q rspetto a t. E portante rlevare ce sbol δ e d godono della propretà d essere coutabl. Consderao nfatt, le due scrtture: d dq ( δ Q) ; δ 9. 7 La pra sgnfca: «Modo d varare nel tepo della varazone sncrona d Q». La seconda sgnfca:«varazone sncrona del odo d varare nel tepo d Q». Ma la varazone sncrona e la varazone teporale sono ndpendent (l una non nfluenza l altra); pertanto δ e d sono nvertbl e le due scrtture 9. 7 danno l edeso rsultato. Con cò s può scrvere: d dq ( δ Q) δ dδ Q δ dq 9. 8 Quanto fn u esposto può essere svncolato dal caso partcolare del oto d una sola partcella uale consderato n Fg. 9., potendos rpetere per cascuna partcella appartenente a un sstea d N partcelle. In tal caso, l passaggo dal ovento naturale M del sstea, al suo ovento varato sncrono M sarà effettuable conoscendo per sngol punt le funzon: δ P δ P ( t) (,,, N) Forulazone generale del Prncpo d Halton. Consderao l euazone sbolca della Dnaca (v. 3. ), u rportata: N ( F a ) δ P. 9.

134 9. 4 Nella 9. δ P sono spostaent vrtual, a sono asslabl per defnzone a spostaent sncron, n uanto, coe s sa, gl spostaent vrtual sono dat a t costante. Rcordao ance ce δ P sono funzon del tepo coe ndca la t, a- vreo: Orbene, effettuando l ntegrazone della 9. 9 nell ntervallo d tepo [ ] N t t F δ P a δ P t N t t,, 9. ove nel secondo terne abbao lectaente scabato, per cooà, segn d ntegrale e soatora. Integrando per part l secondo ntegrale con δ P fattor fnto, s a: t t a δ P Con cò la 9. s scrve: d t t [ v δ P ] v δ P t t t [ v δ P ] v δ v [ ] t t t v P t δ v t t t δ 9. 3 t N N t N t F δ P [ v P ] t δ v t δ t Analzzando uesta espressone trovao ce: ) La soatora sotto l segno d ntegrale al pro ebro non è altro ce l lavoro vrtuale delle forze attve nel passaggo dal ovento M al ovento M ce ndcereo con δ *L. Coè ponao: N F δ P δ *L 9. 5 ) La soatora sotto l segno d ntegrale al secondo ebro non è altro ce la varazone sncrona dell energa cnetca dal ovento M al ovento M ce ndcereo con δ T. Coè ponao: N δ v δ T 9. 6 Con tal poszon possao scrvere la 9. 4 nel seguente odo:

135 9. 5 t t N ( δ * L δ T ) v δ P t t 9. 7 Ponendoc nella condzone n cu la varazone del oto rspett le confgurazon nzale e fnale del sstea, per cu sa: δ P ( t ) ; δ P ( t ) 9. 8 nella 9. 7 vene ad annullars l terne a secondo ebro e la stessa 9. 7 rsulta: t t ( δ * L δ T ) Pocé le varazon ndcate col sbolo δ sono varazon sncrone (a t costante) d scostaento dal oto naturale, l rsultato 9. 9 s nterpreta dcendo ce «fra tutt ot varat sncron entro l ntervallo d tepo [ t, t ] ce rspettano le confgurazon estree, l oto naturale M è uello ce verfca l annullaento dell ntegrale della soa del lavoro vrtuale delle forze attve e della varazone sncrona dell energa cnetca». Cò sgnfca ce, se M è l oto naturale, l passaggo a ualsas altro oto M varato sncrono, coporta ce l ntegrale 9. 9 sa nullo. Se partendo da un oto M* trovasso nvece ce l ntegrale 9. 9 non è nullo, uesto sgnfcerebbe ce M* non è un oto naturale. Questo è l senso dell espressone 9. 9, la uale n detta fora e- spre nel odo pù generale l Prncpo d Halton, non essendo stata fatta alcuna potes restrttve rguardo alle forze attve. Queste ulte possono ance essere non conservatve, coe s è voluto ntendere ndcando con l astersco l loro lavoro vrtuale. 93. Prncpo d Halton nel caso d forze conservatve. Se faccao l potes ce le forze attve sano conservatve, allora l dfferenzale δ * L ce copare nella 9. 9 è, coe s sa, un dfferenzale esatto e andrà ndcato con δ L senza astersco. Allora può pors: δ * L δ L δu δ V 93. essendo U una funzone potenzale e V la connessa energa potenzale. Ne segue ce l pro ebro della 9. 9 può scrvers: t t t ( δ * L δ T ) ( δu δ T ) t t ( T U ) T U δ T U 93. t t t δ δ [( ) ] ( ) t t

136 9. 6 ove l penulto passaggo è gustfcato dal fatto ce nella dfferenzazone sncrona del prodotto ( T U ), l terne ( T U ) δ è nullo n uanto la varazone sncrona d è uguale a zero. L ulto passaggo è nvece gustfcato dalla legtta nvertbltà de segn d ntegrale e d dfferenzazone sncrona. Con cò, la 9. 9 dventa: t δ ( T U ) t Introducendo la funzone d Lagrange: T U e l azone altonana S, data da: t S, t la fornsce la scrttura: δ S, ce dà luogo alla seguente enuncazone: «Fra tutt ovent varat sncron prodott da forse conservatrc ce rspettano le confgurazon estree, uello naturale presenta azone altonana stazonara (na, coe può dostrars per un ntervallo [ t, t ] opportunaente ltato». Per sste olono a n grad d lbertà ndvduat dalle coordnate lagrangane,...,, s a:, n T T (, &, t) ; U U ( ) per cu rsulta: (, &, t) Allora, la fornsce: t δ S δ t Ma S, ce n vrtù della 93. 8, ettendo n luce le varabl, s scrve pù vsvaente così: S t t [ ( t), & ( t), t], 93. 9

137 9. 7 ostra d essere un funzonale del tpo 96., per l uale la condzone d stazonaretà porta all euazone d Eulero 96. 3, ce nella fattspece scrvereo: d &, 93. e s rtrovano le note euazon d Lagrange. 94. Il Prncpo dell eurpartzone dell energa. La stazonaretà dell azone e- spressa dalla93. 9, può dar luogo, opportunaente odfcata, ad un altra nteressante forulazone detta Prncpo dell eurpartzone dell energa. Osservao ce la u rportata: t S t 94. può scrvers: t S ( t t) 94. t t t e und, tenuto conto ce T V, ance nel seguente odo: t t S ( t t) T V t t [ T V t t t t t t ( ) ] essendo T e V valor ed nell ntervallo consderato dell energa cnetca e dell energa potenzale. Con cò, la condzone d stazonaretà rsulta: δ S δ t t )[ T V ], ( ce per essere ( t ) t costante, può scrvers: ( T V ) δ Deducao da uesto rsultato la seguente enuncazone: «Il oto naturale d un sstea eccanco soggetto a forze attve conservatve è uello per cu, fra tutt ot varat sncron ce rspettano le confgurazon estree, rsulta stazonara e precsaente na, la dfferenza tra l valor edo dell energa cnetca e l valor edo dell energa potenzale» Cò sgnfca ce l energa s rpartsce n eda uanto pù euaente possble tra le due fore n goco, uella cnetca e uella potenzale.

138 9. 8 S osserv ce l fatto ce la stazonaretà espressa dalla corrsponda a un no, è posto dalla fsca delle cose, n uanto l dre ce la dfferenza tra valor ed d T e d V rsulta assa, non avrebbe senso. (La dfferenza tra due uanttà ede è assa uando una delle due è nulla!) 95. Applcazone ad un problea fsco. E a uesto punto nteressante (e opportuno) dare un esepo d applcazone de concett espost rguardant funzonal. All uopo prendao n consderazone l problea delle vbrazon trasversal d una trave elastca (o verga) uale rappresentata n Fg Fg. 95. Indcao con l la lungezza della trave, con la sua denstà (assa per untà d lungezza) e con s s(x,t) lo spostaento trasversale d un troncetto dx. Allora, l energa cnetca del troncetto dx ce s sposta trasversalente con veloctà s& sarà data da: dt dx s& 95. e uella dell ntero sstea contnuo della trave, da: T l s dx &. 95. Per scrvere l espressone del potenzale delle forze esterne, faccao l potes ce sul troncetto generco dx agsca una forza esterna esprble coe F ( x, s) dx, essendo und F ( x, s) una forza per untà d lungezza, funzone dell ascssa x e dello spostaento trasversale della trave nel punto x. In tal odo l potenzale può essere assegnato coe potenzale per untà d lungezza per ezzo d una funzone P (x, s). Allora l potenzale totale delle forze esterne sarà espresso da: U ( e) l P ( x, s) dx

139 9. 9 Per calcolare l potenzale delle forze nterne, rcordao ce l energa potenzale elastca è proporzonale al uadrato del oento flettente, l uale a sua volta è proporzonale alla curvatura. Pertanto l potenzale sarà proporzonale al uadrato della curvatura. Rcordao altresì ce, se s s(x, t) è l euazone della deforata elastca, la curvatura è data da: 3 x s x s r Se le elongazon sono tal ce la uanttà x s possa essere trascurata rspetto all untà, allora la curvatura può assuers par al solo nueratore della e scrvers: x s r Con cò, per l potenzale cercato delle forze nterne ( d segno opposto all energa potenzale), avreo: dx x s c U l ) ( Abbao ora tutt gl eleent per scrvere la funzone d Lagrange del nostro sstea eccanco contnuo, la uale rsulterà dalla soa de tern 95., e 95. 6, dando luogo all espressone: dx x s c s x s U T l ), ( P L & ce s rvela un funzonale rspetto alla varable ndpendente x. Scrvao la nella fora: dx s U T l & [ ] l l dx x s c dx s x ), ( P, 95.8

140 9. coè nella soa de tre funzonal ndcat. Per scrvere l euazone d Lagrange ce u rportao per cooà: d & dobbao procurarc, osservando ce s, le dervate e s&. Ma per far uesto s occorre tener presente ce è per l appunto un funzonale, o se voglao, la soa d tre funzonal, per cu le dervazon andranno fatte con le regole della dervazone funzonale. Per uanto rguarda la, osservao ce s& non copare nel secondo fun- s& zonale della e neppure nel terzo, per cu andrà preso n consderazone solo l pro. Questo è della fora 95., nella uale la funzone f è ora, nel nostro contesto, ndcata con s&. (Osservao ance ce, nel nostro contesto l funzonale è ndcato con, entre nella teora al Par.fo 8, l funzonale ce c rguarda per la dervazone rspetto ad s&, è ndcato con F ). Pertanto la forula della dervazone ce dovreo utlzzare è la 85. 4, essendo L nella fattspece dato da: L s & Rcordando ce la dervata del funzonale s fa rspetto alla funzone, n uanto l funzonale s consdera una funzone della funzone, rsulta: s& L s& s&. 95. Per uanto rguarda la, osservao ce ora s devono consderare l secondo s ed l terzo funzonale della 95. 8, ual sono rsp.te del tpo 95. ( F ) e ( F3 )con le funzon f s. Le forule per la dervazone sono, ancora la 95. 4, e la Pertanto s a: s L s () L s (3) P s x L s P ( cs ( x) ) s x P s s x 4 c 4 95.

141 Ponendo rsultat ottenut nella 95. 9, l euazone d Lagrange rsulta, allora: 9. s P t s ovvero: 4 s c 4 x, s t c 4 s 4 x P s F P avendo ndcato con F la forza esterna per untà d lungezza data da. s S rtrova così, nella la classca euazone delle vbrazon (forzate) d una verga. (NOTA: nella 95. l uso del sbolo d dervata parzale n cert tern è gustfcato dal fatto ce s dpende ance dal tepo) 96. Il problea della Bracstocrona. Affrontao n uesto N.ro, coe ulterore esepo, l caso del no d un partcolare funzonale, assocato al problea seguente: «Un punto pesante percorre senza attrto, sotto l azone della gravtà, una guda C partendo dal punto O da fero, e gunge al punto A, posto a lvello nferore. Ce fora deve avere la guda affncé l percorso sa coputo nel no tepo?» (v. Fg. 96. ) Fg. 96. Questo problea vene detto problea della bracstocrona (del percorso col tepo pù breve). Per affrontarlo lo dvdereo n tre punt: ) Forulazone del tepo rcesto per una fora generca del percorso; ) postazone dell euazone dfferenzale della curva C secondo la uale deve essere conforato l percorso, affncé l tepo d percorrenza sa no; 3) Rsoluzone dell euazone dfferenzale. Per l punto ), con rferento alla Fg. 96., calcolao dappra la veloctà della partcella d assa, all abbassaento y dal rferento orzzontale Ox. Per l

142 9. Prncpo d conservazone dell Energa, uguaglando le soe dell energa potenzale e dell energa cnetca n O e n P (d ordnata y ), abbao: E ( O) T ( O) E (P) T (P) p p ds gy ds gy, 96. e d u, l tepo eleentare d percorrenza sulla curva C, essendo s la sua coordnata curvlnea: ds 96. gy (NOTA: per l segno dell energa potenzale, ce a segno opposto alla funzone potenzale, ved osservazone alla fne del N.ro 35). Integrando la 96. fra t e t τ, essendo τ l tepo ce l punto pesante pega per gungere n ( x, y ), s avrà: τ τ y y y ds A gy Calcolao l dfferenzale ds: ( ds) ( dx) ( dy) ( dx) ( y dx) ds y dx Sosttuendo nella 96. 3, uesta dvene: y y τ dx g, y forula ce rsponde al punto ). Per rspondere al punto ), osservao nnanztutto ce l ntegrale defnto è un funzonale del tpo 87. (n cu però non copare e- splctaente la x), e coè: 4 L [ y( x), y ( x x] F ), b a, 96.6

143 9. 3 ove L è dato da: ( ) y y L y y La condzone d stazonaretà (ce ovvaente rspecca un no) è data dall euazone d Eulero 87. 3, ce u rportao (con sbol usat nel presente contesto): d dx L L y y Per ottenere l euazone dfferenzale, la cu ncognta è la funzone y y(x) ce rappresenta la fora della bracstocrona, occorre esegure le dervazon della L ndcate nella S a: L y 3 ( ) L ( ) y y y ; y y y Sosttuendo le nella 96. 8, eseguendo la dervazone rspetto a x e seplfcando s ottene l euazone dfferenzale: y yy, 96. ce è la rsposta al ) punto. Il terzo punto rguarda la rsoluzone dell euazone dfferenzale trovata. Essa s può abbassare d ordne ponendo: y u, 96. per cu s a: du du dy du du y y u. 96. dx dy du dy dy Con cò la 96. dventa: du u yu dy u du du, u y euazone a varabl separate, ce ntegrata fornsce subto:

144 9. 4 ossa: ( u ) ln y ln b ln, ( u ) y b ; b cost Rcordando la poszone 96., la produce: b y dy u, y dx nella uale l segno postvo davant alla radce è gustfcato dal fatto ce la pendenza dy y, col rferento assunto è postva. Separando le varabl nella 96. 6, ed eseguendo l ntegrazone ndefnta, s a: y dx x dy b y c, ntegrale ce s rsolve con la seguente sosttuzone: y bsen θ dy bsenθ cosθ dθ per la uale s a successvaente: bsen θ x bsenθ cosθ dθ c b ( sen θ ) ( ) x b sen θ dθ c b cosθ dθ c x b( θ senθ ) c Con cò sao gunt a trovare le seguent euazon paraetrce [potendos la y b cosθ ]: pra delle 96. 8, scrvers ( ) x b y b ( θ senθ ) ( cosθ ) c 96.

145 9. 5 Pocé la curva y y(x) deve passare per l punto x, y, per cu è ance θ, deve essere c. Assuendo po coe paraetro φ θ, e ponendo b a, le 96. s scrvono: x a y a ( φ senφ ) ( cosφ ) 96. e ueste sono n defntva le euazon paraetrce della curva C d cu al problea. S rconosce ce le 96. sono le euazon paraetrce d una cclode, la curva generata da un punto P d una crconferenza ce rotola senza strscare su d una retta Ox. (Fg. 96. ) Fg. 96. Le euazon 96. s rcavano edataente dalla Fg. 96., consderando l eguaglanza vettorale: (P O) (N O) (C N) (P C) 96. Proettando sull asse x s ottengono le relazon: x aφ acos ( φ 9 ) x a( φ senφ y a acos(8 φ) y a( cosφ ) ce sono per l appunto le 96.. La costante a vene deternata ponendo ce la curva pass per l punto A( x, y). S rcord ce l paraetro φ è l angolo d rotolaento lungo l asse x, della crconferenza C d raggo a, contato a partre dalla poszone n cu l punto A d C, generatore della cclode, concde con l orgne O degl ass cartesan (Fg. 96. ). ****** ******

146

147 .. STUDIO DELLA STABILITA DELL EQUILIBRIO DI UN SISTEMA MEC- CANICO. Eulbro de sste olono nel caso generale. Al N.ro abbao stablto l euazone sbolca della Statca, ce u rportao: N (a) δ L F δ r,. la uale affera ce per l eulbro d un sstea d N punt è necessaro e suffcente ce sa nulla ogn forza attva agente su punt. Se l sstea è olonoo, v saranno n coordnate lbere (,,, n), a deternare la poszone d cascun punto, talcé s abba: P P (,,..., n ),. e gl spostaent vrtual vengano espress da: n δ P δ r δ P j.. 3 j δ δ j Con cò n luogo della., s avrà: N F δ P n n N j j δ δ j δ j j δ j F δ P..4 Ma le uanttà entro parentes sono le coponent Q (j,,, n) delle forze attve secondo le coordnate lbere (v. 5. 7): j j Q j N δ P F,.5 δ j per cu l euazone sbolca della Statca s scrverà: δ L ( a) N j Q δ j j,.6 euazone ce legges; «Per l eulbro d un sstea olonoo è necessaro e suffcente ce sano nulle le coponent delle forze attve secondo ogn coordnata lbera» Possao fare vedere coe effettvaente uesto Prncpo rcada n uello pù generale (e ntutvo) espresso dalla., l uale fa rferento drettaente alle forze attve.

148 . Consderao, per esepo, l caso d un solo punto aterale lbero, soggetto alla forza attva F, e assuao coe coordnate lbere le tre coordnate cartesane, x, y, z. In tal caso, la. s esplcta così: per cu è: P x yj z,. 7 P x P P ; j; y z. 8 Allora, le coponent della forza attva secondo le coordnate lbere, rsultano: Q x P F F F x x. 9 Qy P F F j F y y. Q z P F F F z z. e s vede ce l annullaento delle Q per l eulbro euvale all annullaento delle coponent delle forze attve secondo gl ass e und all annullaento della forza attva F. Un altro esepo può essere uello d un punto aterale vncolato ad una lnea lsca. Allora, coe unca coordnata lbera del punto aterale può assuers la lungezza s dell arco contata a partre da un punto prefssato sulla lnea. In tal caso, abbao: dp Q s F F t. ds essendo Ft la coponente della forza attva secondo la tangente alla lnea. Sccoe Ft è la forza a cu s deve l oto del punto lungo la lnea, per l eulbro l annullaento d Q e euvalente a uello d F. s t. Eulbro de sste olono con forze agent conservatve. Rcordao (v. N.r 33 e 34) ce se l lavoro delle forze attve è un dfferenzale esatto, allora esste una funzone potenzale U (), tale ce: U Q j.. j

149 . 3 In tal caso, la. 6 s scrve: dl n U δ du,. j j j la uale ostra appunto ce dl è un dfferenzale esatto. Allora, n vrtù della., l euazone sbolca della Statca s scrve espressvaente n uesto odo : du,. 3 forula ce ndca: «Nella confgurazone d eulbro d un sstea, la funzone potenzale è stazonara» [NOTA: dalla. 3 non s deve dedurre U cost. percé essa è stata rcavata sotto l potes delle condzon statce (partendo dall euazone sbolca della Statca) e und solo a uesta condzone può rferrs]. Rcordando po l espressone e la relazone sbolca della Statca 5., u rportate: U M gz G. 4 L N F δ P n vrtù della., s a: du dl M gd( z ) d ( z G ) G. 5 dz G,. 6 relazone ce traduce l seguente Prncpo (detto d Torrcell): «Il barcentro d un sstea soggetto a forze gravtazonal posto n una confgurazone d eulbro, non può a abbassars per uno spostaento vrtuale dato al sstea». E opportuno coentare rsultat a cu sao gunt. Osservao subto ce l aver trovato con la. 3, ce nelle confgurazon d eulbro d un sstea, la funzone potenzale è stazonara, apre la strada a tre possbltà, n uanto ce la. 3 è verfcata sa ce U sa assa, sa ce sa na, sa ce sa né assa, né na. S consder, nfatt, per esepo, un punto pesante vncolato a percorrere una sagoa, uale uella raffgurata n Fg.., posta n un pano vertcale. Con rferento alla. 4, ove z G concde con la uota del punto, vedao ce U è no (assaente negatvo) n B, asso n A, e né asso né no n C.

150 . 4 Fg.. Ce A, B, e C sano poszon d eulbro, ce lo dce po, la. 6, percé, supposto l punto pesante non pù vncolato alla sagoa a appoggato n odo da poterla abbandonare per cert spostaent vrtual post, la. 6 vene verfcata. A uesto punto, vene spontaneo nterrogarc crca la natura dell eulbro stesso ce vene a deternars nelle tre poszon A, B, C d Fg... Un anals n proposto porta ne rguard dell eulbro al concetto d stabltà. Consderao l punto nella poszone A. L ntuzone c dce ce dando al punto un pccolo spostaento ce lo port fuor dal suo ntorno del pro ordne e und rlascatolo, esso tende a rtornare n A ed v peranere n eulbro. S dce allora ce la poszone A è una poszone d eulbro stable. Se nvece consderao l punto nella poszone B, non abbao dffcoltà a capre ce un pccolo spostaento da tale poszone lo porta n condzone d non rtornare pù n B, a d allontanars sepre pù da tale poszone. Dcao allora ce la poszone B è una poszone d eulbro nstable. Per uanto rguarda la poszone C, possao capre ce è anc essa una poszone nstable n uanto uno spostaento verso destra porta l punto ad allontanars da C, a ance uno spostaento verso snstra fa altrettanto, percé nella fase d rlasco, l punto, transtando n C con una certa energa cnetca acusta, supera tale punto e acussce uello spostaento verso destra soprannonato ce è causa del suo defntvo allontanaento da C. Se nvece l punto fosse vncolato ad una retta orzzontale n una poszone D, un suo spostaento su tale retta non avrebbe altro effetto ce uello d lascarlo n uete nella nuova poszone assunta. Caao allora l suo eulbro eulbro ndfferente. Sebbene una defnzone rgorosa della natura dell eulbro, n uanto tale natura coe abbao vsto porta a consderare l oto del sstea eccanco n prosstà delle condzon d eulbro, trov la sua collocazone nell abto della Dnaca, possao però, gà rconoscere n uanto esposto pù sopra l seguente crtero statco d stabltà: «Un sstea eccanco n una confgurazone d eulbro C*, s trova n e- ulbro stable se v la sua funzone potenzale U è assa, entre s trova n eulbro nstable se v la sua funzone potenzale U è na» Introducendo l energa potenzale V U, s a la pù freuente enuncazone alternatva: «L eulbro è stable ove l energa potenzale V è na, ed è nstable ove l energa potenzale V è assa».

151 . 5 Rferendoc alla uota del barcentro s a ance l enuncato:«l eulbro è stable se la uota del barcentro zg è na, ed è nstable se la uota del barcentro z è G assa». Rservandoc d stablre l crtero d stabltà dell eulbro n odo rgoroso nella Seconda Parte d uesto Corso, edante Teore d Ljapunov e d Drclet, c avvarreo de crter espost per affrontare lo studo della stabltà dell eulbro de sste eccanc. 3. Studo della Stabltà de sste ad un solo grado d lbertà. Per uanto vsto al N.ro e assuendo coe crtero d stabltà uello ce fa capo alla funzone potenzale U, tale studo s traduce seplceente n uello, ben noto dall Anals Mateatca, della rcerca delle condzon de ass e n d tale funzone. Ne rassuao l prncpo, supponendo U funzone d una sola varable ce ndcereo con x. Innanz tutto, edante la Fg. 3., rcordao coe ne punt d stazonaretà, l dagraa d una funzone della sola varable x, nella fattspece la U(x), abba tangente parallela all asse x. Fg. 3. L osservazone c serve per ndvduare l crtero con cu dstnguere ass da n. E facle vedere ce tale crtero rguarda l segno dell ncreento della funzone a destra e a snstra de punt d stazonaretà. Precsaente osservao ce, se l segno dell ncreento della funzone è negatvo ed ndpendente dal segno dell ncreento d x, allora sao n presenza d un asso. E analogaente, se l segno dell ncreento della funzone è postvo ed ndpendente dal segno dell ncreento d x, allora sao n presenza d un no. Qund la decsone crca l asso o l no d U è affdata al segno d U. Rportao appresso l espressone della forula d Taylor per le funzon d una sola varable reale (v. F.la d Appendce al Paragrafo 8), troncata al secondo terne: ( U U ( x) x U x x 3. )

152 . 6 la tangente al grafco della funzone è orzzon- Pocé ne punt d stazonaretà tale, deve essere nnanztutto: * x U ( x * ) 3. Inoltre s vede ce ualunue sa l segno d x, è U > se U ( x) >. Cò corrsponde a un no d U. Vceversa, ualunue sa l segno d x, è U <, se U ( x) <. Cò corrsponde a un asso d U. S a pertanto l seguente rassunto: * * U ( x ) > s a un no Se con U ( x ) 3. 3 * U ( x ) < s a un asso Se po fosse U ( x * ), occorrerebbe prosegure l ndagne. fno a trovare la pra dervata ce non s annulla. Se uesta è d ordne par, vale d nuovo lo speccetto 3. 3, se è d ordne dspar non s avrà né asso, né no, a soltanto una stazonaretà (coe nella poszone C d Fg.. ). 4. Studo della Stazonaretà de Sste a pù grad d lbertà. Per uesto studo c rferreo alla forula d Taylor scrtta n fora sbolca e troncata al terne uadratco, svluppata n Appendce al Paragrafo 8, ce u rportao, applcata alla funzone f U: T U U P P H P. 4. Questa forula espre pr due tern dello svluppo d Taylor per una funzone U d ualsvogla nuero d varabl, applcable und a un sstea d ualsvogla grad d lbertà. No l applcereo a un sstea con due grad d lbertà, caso n cu le uanttà rappresentate anno l seguente sgnfcato: U U U gradu j 4. x x x P x 4. 3 U U x x x H 4. 4 U U x x x

153 . 7 Pocé voglao esanare la stabltà dell eulbro n una confgurazone d * stazonaretà C del sstea, dovrà essere nnanztutto U. Qund s dovrà esanare l segno del secondo terne della 4., n relazone a segn degl ncreent x e x. Tale secondo terne dovrà essere defnto d segno, l ce sgnfca ce dovrà assuere un edeso segno ndpendenteente da segn degl ncreent x e x nell ntorno del punto d stazonaretà. C s rende conto d cò esanando la Fg. 4. e la Fg. 4.. Fg. 4. Fg. 4. Infatt, dalla Fg. 4. s vede ce ove v è un asso deve essere U <, ualunue sano segn d x e x, entre dalla Fg. 4. s vede ce ove v è un no deve essere U >, ualunue sano segn d x e x. S osserv, ce se l segno d U dpendesse da segn degl ncreent x e x, non v sarebbe né un asso, né un no, a uello ce s caa un punto d sella, coe ostra la Fg

154 . 8 Fg Per rassuere uanto detto possao coporre seguent speccett: x U x U U < > asso P P no P P T T H H Il problea è ora l seguente: «Coe c s può asscurare ce la uanttà sa defnta d segno, coè abba lo stesso segno ndpendenteente da segn degl ncreent e?» P T P H x x La cosa sarebbe d facle gudzo se la atrce essana H s presentasse n fora dagonale. Per rendercene conto, svluppao la uanttà. S a successvaente: P T P H P T P H [ ] x x x U x x U x x U x U x x [ ] x x x x U x x x U x x x U x x U

155 U x x. 9 U U x x x x x x S vede così ce, se la atrce essana fosse dagonale, col ce nella 4. 7 ancerebbe l terne col prodotto x x, la uanttà P T H P rsulterebbe nsensble a cabaent d segno d x e x ( ual fgurano al uadrato). Allora la uan- U U ttà P T H P avrebbe segno defnto nel caso ce le dervate e abbano x x ugual segno, e nel punto d stazonaretà v sarebbe un no o un asso. E facle U decdere se s tratta d un no o d un asso: se >, s tratta d un no e x U se <, s tratta d un asso. x Il problea s coplca se la atrce essana non è dagonale. In uesto caso, l Calcolo Matrcale nsegna a dagonalzzare la atrce rcercandone gl autovalor λ e λ, ce sono gl eleent dagonal della atrce dagonalzzata, per cu uesta vene a presentars nella fora: H λ λ 4. 8 Rcordando la procedura d calcolo, gl autovalor s rcavano dall euazone caratterstca della atrce H, data da: H λ H det ( H λi) det 4. 9 H H λ la uale svluppata, utlzzando per cooà d scrttura sbol x, y per le varabl ndpendent e l sbolo a ndc per le dervate seconde, porta alla seguente euazone d secondo grado n λ : λ ( U xx U yy ) λ ( U xx U yy U xy ). 4. Dalla teora delle euazon d secondo grado s sa, ce, se rsulta: λ λ U U U xx yy xy λ λ U xx U yy λ e λ sono le radc, 4. 4.

156 . sono entrabe postve o entrabe nega- Dalla 4. s rcava ce, se λ e tve è: λ U U U xx yy xy > λ λ In tal caso, U e U devono avere lo stesso segno. S osserv allora l seguente xx yy speccetto, l uale, n base a uanto analzzato sopra, conduce a dentfcare le condzon d asso o no d U e und la condzone d stabltà o eno del sstea eccanco n una confgurazone d stazonaretà: λ λ > > λ λ U U xx yy U xx > > (no) 4. 4 U yy > λ < λ < U xx < λ λ U xx U yy < (asso) 4. 5 U yy < Se non s vuole utlzzare l etodo ndcato, basato essenzalente sulla teora delle Matrc, s può fare rcorso ad un etodo alternatvo ce svluppao nel prosso N.ro. 5. Studo della stazonaretà d un sstea a due grad d lbertà con l uso del deternante essano. A tale scopo rferaoc alla forula d Taylor generalzzata (troncata al secondo terne): U du d U 5. essendo d dato dalla potenza sbolca: d dx dx 5. x x dedotta n Appendce al Paragrafo 8. In vrtù della 5., l dfferenzale secondo ce fgura nella 5., svluppato rsulta: d U U U U dx dx dx dx 5. 3 x x x x Coe al solto, verfcato ce du per la stazonaretà, s a un no se d U > e un asso se U < ualunue sano segn degl ncreent dx e dx. Per stu- d

157 . dare l ndpendenza del dfferenzale secondo, da segn d dx e dx nell ntorno d un punto d stazonaretà, ponao: dx, dx 5. 4 essendo un ualsas nuero reale postvo o negatvo. Con cò, la condzone d ndpendenza del dfferenzale secondo d U da segn degl ncreent dx e dx, vene sosttuta dalla condzone d ndpendenza dal valore d. Rscrvao la 5. 3 ettendo n evdenza dx e valendoc della Ottenao: d U U U U dx 5. 5 x x x x U x x U U H x x <, 5. 6 Con tale scrttura vedao ce l segno d d U non dpenderà pù dal segno d dx (ce nell espressone rsulta al uadrato), bensì solo dal segno del trnoo d secondo grado n raccuso entro parentes. Con cò, l problea del segno d d U s è spostato n uello del segno del trnoo. E ad esso ce vene rcesto un segno costante (defnto postvo o defnto negatvo) al varare d. La condzone percé tale costanza d segno s verfc, è nota dall Algebra eleentare, e consste nella negatvtà del dscrnante del trnoo. [NOTA: nfatt, se l dscrnante del trnoo è negatvo, l euazone d secondo grado ce s ottene uguaglandolo a zero, non a radc real, per cu la parabola ce rappresenta, non potendo taglare l asse delle ascsse, resterà sepre al dsopra d tale asse (trnoo sepre postvo) o sepre al d sotto (trnoo sepre negatvo)] Rassuendo n forula uanto esposto, e detta H una uanttà essenzalente postva, dovrà essere: ove le dervate sono calcolate ovvaente nel punto d stazonaretà. U U Dalla 5. 6 s vede ce, affncé sa <, le dervate seconde e devono avere lo stesso segno. Osservao ora ce la condzone 5. 6 può essere posta x x sotto la fora del seguente deternante a atrce setrca: U U x x x H > 5. 7 U U x x x

158 . D fronte ad un problea d stazonaretà, per verfcare la stabltà occorre nnanztutto calcolare l deternante essano H. Se esso rsulta postvo, nel punto d stazonaretà v sarà un asso o un no (e non un punto d sella). Per stablre po, se s tratta d un asso od un no, osservao ce la 5. 5, ce deve essere defnta d segno ualunue sa l valore d, nel caso partcolare d, s rduce a: d U U dx, 5. 8 x U U per cu d U a l segno della dervata (oppure uello della dervata, dato x x ce le due dervate devono avere uguale segno). Dopo uanto fn u esposto, possao sntetzzare la regola per la rcerca del asso e del no d U con seguent speccett, fatto rferento alla 5. : du U x 5. 9 U x d U defnto d segno se H > U x U x > < no asso 5. d U non def. d segno se 5. H < né n né ax H prosegure 6. Alcun esep relatv alla teora svolta. La Fg. 6. ostra una lana etallca ABCD uadrata d lato a e peso p, oble n un pano vertcale rferto a un sstea d ass cartesan Oxy con l asse y vertcale dscendente. Il vertce B della lana è collegato edante una cernera ad un cursore, scorrevole lungo un asta concdente con l asse y. Il vertce opposto D è ncernerato all estretà d una olla d costante elastca, la cu altra estretà è fssata al punto E, posto sull asse x a dstanza a dall orgne. Al cursore è collegato l capo d un flo ce, avvolgendos su d una carrucolna posta n O, regge all altro capo una assa puntfore Q d peso. Assuendo coe coordnate lbere, l ordnata y del punto B e l angolo θ ce la dagonale BD fora con l asse y, deternare valor d e ce deternano la confgurazone d eulbro C* del sstea caratterzzata da valor delle coordnate lbere:

159 . 3 y * a ; * π θ 6. Fg. 6. Soluzone. Per la soluzone occorre deternare la funzone potenzale U U ( y, θ ) dovuta al peso della assa Q, al peso p della lana e alla forza elastca della olla. Per potenzal de pes necesstano le uote de barcentr, d Q e della lana. Se l è la lungezza del flo s a: yq yg y yq l yq l y ; 6. y G y HG y a sen( θ 9 ) y a cosθ 6.3 Per l potenzale della forza elastca occorre calcolare la dstensone DE della olla corrspondente alla uota y d B: [ DE] (OE OF) (FK KD) ( a a senθ ) ( y acosθ ) 6. 4 Allora l potenzale totale dervante dalla soa de sngol potenzal, rsulta:

160 . 4 U ( y, θ ) U U p U ( l y) p( y acos ) a 6.5 θ ( a senθ ) ( y acosθ ) [NOTA: S rcord ce l segno del potenzale è uello del lavoro della forza agente per uno spostaento vrtuale ce tenda ad auentare l energa potenzale. Nel caso della olla DE uno spostaento vrtuale ce tenda ad allungarla nel entre ne auenta l energa potenzale, provoca un lavoro negatvo da parte della forza da essa eserctata.] Le condzon d eulbro del sstea sono deternate dall annullaento delle dervate pre della funzone potenzale. Per la 6. 5 s a: U y p y acosθ 6. 6 U θ p asenθ a cosθ ay senθ 6. 7 Introducendo nelle 6. 6 e 6. 7 le condzon 6., s ottengono valor cercat d e. Rsulta: p ; p a Per valutare la stabltà dell eulbro (o per eglo dre averne confera, dato ce la stabltà è fscaente ntuble), occorre costrure la atrce essana, calcolando le dervate seconde del potenzale nel punto d eulbro. S a: U y U ; a y θ ; U a θ 6. 9 La atrce essana rsulta pertanto: a a a 6. In base alla teora del N.ro 5, esanao l segno del suo deternante. S a: H a a a ( ) > 6.

161 . 5 Pocé gl eleent dagonal sono negatv, la atrce rsulta defnta negatva. Qund l potenzale presenta un asso (v. speccetto 5. ) e l sstea è n eulbro stable. Coe secondo esepo s consder l sstea raffgurato n Fg. 6.. Fg. 6. Esso è costtuto da un dsco D d centro C e raggo R 3r, oogeneo d assa e da un secondo dsco D d centro G e raggo r, oogeneo d assa. Dè vncolato a una guda concdente con l asse x, lungo la uale rotola senza strscare, essendov collegato dalla parte nferore, antenendos n un pano vertcale rferto a un sstea cartesano Oxy orentato coe ostra la fgura. D è vncolato a rotolare senza strscare sul bordo d D, ranendov all esterno e nel sepano y. Sul sstea agscono le seguent forze: ) Le forze peso d De D g ) La forza elastca F λ ( G O) (con λ >) applcata n G. r La confgurazone del sstea sa deternata dalle coordnate lagrangane θ e x, essendo θ l angolo ce l vettore ( G O) fora con l asse y, e x l ascssa del centro C del dsco D. S deternno le poszon d eulbro ordnare (nterne alle confgurazon d confne) e se ne stud la stabltà. Soluzone. Nello scrvere l espressone del potenzale delle forze conservatve n goco, possao fare astrazone dal potenzale del peso d, pocé, dato ce l suo D

162 . 6 barcentro non s sposta vertcalente, esso è costante e sparsce nelle dervazon del potenzale stesso. Assuereo und per uesto, l espressone: ove g U gyg λ G O 6. r yg è la uota del barcentro d D. In essa l pro terne è l potenzale della forza d gravtà agente su D, entre l secondo terne è l potenzale della forza elastca. (Per l suo segno s rconsder la NOTA precedente). Pocé le coordnate d G sono: x y G G x 4rsenθ 3r 4rcosθ 6. 3 s a: G O x y ( x 4r senθ ) ( 3r 4rcosθ ) G G G O x 8rsenθ x 5r 4r cosθ 6. 4 Il potenzale, elnando tern costant, rsulta allora: [ 8r cosθ λ( x 8rsenθ x 4r cosθ ] g U ( x, θ ) ) r Le confgurazon d eulbro ordnare s trovano uguaglando a zero le dervate parzal d U. U x U θ λ g r ( x 4rsenθ ) 6. 6 [ λxcosθ ( 3λ ) senθ ] 4g r 6. 7 Dalla 6. 6 s rcava: x senθ r * e s vede ce una pra confgurazone d eulbro C è data da: * C x θ 6. 9

163 . 7 Questa confgurazone d eulbro vede l sstea con centr C e G allneat lungo la vertcale. Sosttuendo la 6. 8 nella 6. 7 s rcava: 3λ 3λ cosθ θ arccos 6. 4λ 4λ Ma se θ soddsfa la 6., ance θ 3 θ la soddsfa. Pertanto v sono due confgurazon d eulbro setrce rspetto alla vertcale, alle ual la 6. 8 fornsce valor d x 4rsenθ e x3 x 4rsenθ. Rassuendo esse sono: C * x θ 4rsenθ 3λ arccos 4λ 6. x3 * C3 θ3 4rsenθ 3λ arccos 4λ 6. * * * Per studare la stabltà delle confgurazon d eulbro dentfcate, C,C, C3, occorre costrure la atrce essana. Le dervate seconde d U rsultano: U x λ g r 6. 3 U θ 4g [( 3λ ) rcosθ λxsenθ ] 6. 4 U xθ 4gcosθ 6. 5 Allora la atrce essana, ce non s presenta n fora dagonale, è: H g λ r 4λgcosθ 4g 4λgcosθ [( 3λ ) rcosθ λxsenθ ] 6. 6 Il suo deternante è dato da: λ r 4 H g ( 3λ ) [ rcosθ λxsenθ ] 6λ g cos θ 6. 7 Nella confgurazone C rsulta: *

164 . 8 H 4λ g ( 7λ) > per * λ < g Pocé H λ <, la atrce è defnta negatva e l eulbro nella confgurazone C è stable. Pocé l testo del problea stablsce ce deve essere λ >, r * la * ltazone per λ nella confgurazone d eulbro C, è: * C <λ< dobbao porre nella 6. 7 le condzon 6.. R- Per la confgurazone C sulta: * H 4λ [( 3λ ) rcosθ λ( 4rsenθ ) senθ ] 6λ g θ r * g cos λ g ( 3λ ) [ cosθ 4λsen θ 4λcos ] 4 θ 4λ g [( 3λ ) cosθ 4λ( cos θ ) 4λcos θ ] ( 3λ ) cosθ 4λ g 4 8cos θ λ 6. 3 * Sarà H >, per valor d λ ce rendono la uanttà n parentes uadra aggore d zero. Sosttuendo n essa al posto d cos θ l valore dato dalla 6., s ottene la dsuguaglanza: 7λ 6λ > λ > Ma per λ sussste una ulterore ltazone posta dalla confgurazone d confne del sstea, raffgurata n Fg

165 . 9 Fg Infatt dalla fgura s desue ce θ non può oltrepassare l valore valore setrco θ C π 3, talcé s a la ltazone: θ π e l C 3 π < θ < π ce dà luogo alla ltazone per l coseno: cosθ > Per la 6., cò coporta: 3λ 4λ > λ < λ <, segue ce la l- Pocé allora, per la ltazone d confne 6. 34, deve essere * tazone d λ per la confgurazone C è data da: * C <λ <

166 . * Con un anals parallela s trova per la confgurazone C ne rguard d stessa ltazone Percò scrvereo: 3 λ la * C3 <λ < Se rportao n un pano cartesano Oλθ punt rappresentatv dell eulbro del sstea, ottenao l dagraa d Fg. 6. 4, nel uale s possono rconoscere gl ntervall del paraetro λ entro ual l eulbro è stable nelle tre confgurazon. Fg S not la bforcazone ce l luogo de punt d eulbro presenta nel punto B,. Tale punto, n cu è λ, s può consderare punto d stabltà per tutte e tre 7 7 C *, C * * le confgurazon d eulbro,, C 3. Se λ supera l valore, la stabltà s ottene lungo due percors dstnt del punto d 7 eulbro. ****** ******

167 .. STUDIO DELLE PICCOLE OSCILLAZIONI. La Lagrangana approssata. Sappao ce la conoscenza della lagrangana perette, attraverso la scrttura delle Euazon d Lagrange, d calcolare la legge del oto d un sstea eccanco a vncol ndpendent dal tepo e soggetto a forze conservatve. Tale legge del oto rsulta espressa dalle funzon (t), ove le sono le coordnate lagrangane (o lbere) del sstea eccanco. In generale, n uesto calcolo, s possono ncontrare notevol dffcoltà, ce peraltro specalstc etod d rsoluzone e l uso del coputer nsegnano a superare. In uesto contesto c possao però cedere se nell ntorno d una confgurazone d eulbro stable del sstea, non sa possble, per la partcolare natura del oto ce v s nstaura, stture una opportuna seplfcazone del suo studo analtco. La rsposta a uesta doanda è postva, e s perna sulla plausbltà d troncare la lagrangana al suo terne uadratco. Apprestaoc und ad esporre prncp d tale approcco d calcolo. Allo scopo nconcao col rscrvere u per cooà, l espressone * dell energa potenzale U () nelle vcnanze d un punto d eulbro ordnaro, troncandola al su terne uadratco (v. Appendce al Paragrafo 8): * * * * * * U ( ) U ( ) U ( ) ( ) ( ) H ( ). In erto a uesta forula, cò ce occorre rcordare sono tre crcostanze: ) * U ( ) gradu * * n uanto è un punto d stazonaretà e le dervate pre delle coordnate sono nulle; ) Se l punto d eulbro è ance stable, la atrce es- * sana H, v calcolata, è defnta negatva; 3) Pocé l potenzale è defnto a eno d una costante arbtrara, possao usufrure d tale arbtraretà per fare n odo ce sa U ( * ). Tenendo conto d cò, la. s seplfca nella seguente: * * * U ( ) ( ) H ( ). Convene al oento passare dalla scrttura sbolca. alla scrttura ndcale, ntroducendo nel contepo le coordnate relatve alla confgurazone d eulbro: z *. 3 ce ndcalente scrvereo: z * * z. 4 Con cò, la. s scrverà:

168 . * * * U ( z ) H zz. 5 Al N.ro 4 abbao dostrato ce se vncol sono fss (ndpendent dal tepo), l energa cnetca T assue la fora uadratca (v. 4. ): T a& &,. 6 ove coeffcent dat dalla 4. 8 ce u rportao per cooà: a a N P P. 7 dpendono esclusvaente dalle coordnate l (l,,, n) coe s vede dall espressone soprascrtta. Sntetcaente, s a coè: a a ( l ). 8 Ora, allo scopo d ottenere una espressone seplfcata dell energa cnetca, potreo pensare d svluppare n sere la. 8 troncando po la sere n odo opportuno. Ma la seplce osservazone ce l tener conto d tern superor a uell d ordne zero (coè ance del pro ordne) produrrebbe n T, ce è una fora uadratca, potenze d ordne superore al secondo, c suggersce subto d tener conto soltanto del pro terne dello svluppo d ordne zero, ce è uanto dre ce basta sostture nella *. 6, a ( l ) con a * ( l ) a, coè col valore d a corrspondente al punto d eulbro. Introducendo ance per l energa cnetca le coordnate relatve al punto d stazonaretà e osservando ce per la. 4, s a (essendo * cost. ): & & z la. 6 s scrverà:,. 9 T * a z& z&.. In base a uest ulta e alla. 5, la lagrangana approssata rsulta: T * U * a * z& & z H * zz.. Essa c consente d scrvere delle euazon d Lagrange cosddette approssate:

169 . 3 d * z& j z j *.. Eseguao nella. la pra dervata ndcata: z & * a * z& z& j z& a * z& z& z& j * * aδ j z& a z& δ j & * * a j z aj z & j. 3 a * z& [NOTA: E stato ntrodotto l delta d Kronecer δ n luogo della dervata j l delta d Kronecer δ j n luogo della dervata z& z& j z& z& n uanto ce ueste dervate sono nulle uando gl ndc delle z& sono dvers e sono ugual a uando gl ndc sono u- gual. Inoltre, pocé nel secondo terne è un ndce d soatora, gl possao cabare noe e caarlo. Tenendo po conto ce la atrce a è setrca, abbao a a. Tutto cò conduce al rsultato scrtto] j j Per la seconda dervata della., abbao, procedendo coe sopra: j j e z * j H * δ j z H * z δ j H * j z. 4 Con cò la., scrvendo d z& && z, dventa: a * j & z H * j z. 5 o n fora sbolca: * * A & z H z.6 Le euazon. 5 e. 6 prendono l noe d euazon lnearzzate (nell ntorno d una confgurazone d eulbro stable). Esse dal punto d vsta analtco, costtuscono un sstea dfferenzale d ordne N, lneare oogeneo a coeffcent costant. Sappao dall Anals Mateatca ce l suo ntegrale generale s ottene coe cobnazone lneare d N ntegral partcolar ndpendent. Un prosso N.ro sarà dedcato a tale studo. Nel N. ro successvo studereo nvece l applcazone

170 . 4 dell euazone. 6 (o. 5) al caso delle pccole oscllazon de sste con un solo grado d lbertà.. Pccole oscllazon de sste con un solo grado d lbertà. Innanz tutto osservao ce nel caso undensonale ce c proponao d trattare, la atrce essana * H s rduce alla sola dervata seconda del potenzale U(z) calcolata nel punto d eulbro z. Rcordao ce la atrce essana, nel punto d eulbro stable, è defnta negatva, per cu possao porre: * H U (). * * Venendo ora alla deternazone della atrce dell energa cnetca A a per l caso undensonale, dobbao osservare nnanztutto ce ance uesta atrce s rduce ad un solo eleento, a ( * ), ce è l coeffcente della fora uadratca. uando uesta è scrtta n funzone dell unca varable lagrangana. D conseguenza tale fora uadratca, nel punto d eulbro, assue l aspetto: j T & * a( ). e n un punto generco: T & a( ). 3 Consderao coe esepo d uanto detto, l sstea undensonale raffgurato n Fg.., consstente n una assa puntfore vncolata a uovers lungo una guda rettlnea lsca, essendo collegata ad una olla l cu secondo estreo è fssato ad un punto A, a dstanza l dalla guda. Nella poszone d eulbro O, la olla è tesa. Fg..

171 . 5 Assuendo coe coordnata lagrangana l angolo θ ce l asse della olla fora con la vertcale OA, s a la seguente relazone tra θ e la coordnata cartesana x: x l tanθ x & l θ&.. 4 cos θ Notoraente è: T x &.. 5 Allora, per la. 4 possao scrvere: l cos θ T θ&. 6 4 Questa espressone confrontata con la. 3, ostra ce nel caso preso n esae coe esepo, è: θ l a ( ) a( ).. 7 cos 4 θ Applcando uesto rsultato alla. nel punto d eulbro stable O (faclente ntuble fscaente), ove è θ, la. 7 fornsce: l a ( l cos * θ ) Per la pra delle. 4, è: x θ arctg l & x& x& x& θ θ &. 9 x l x l l l l ove l approssazone è gustfcata dal fatto ce lo studo delle pccole oscllazon è basato sull potes d trascurare tern d grado superore al secondo. Con cò, n vrtù delle. 8 e. 9, n luogo della. 6 possao scrvere: T x& l * ( θ ) & l x&.. a θ

172 . 6 S rtrova così la forula dell energa cnetca del punto aterale n coordnate cartesane. Se l sstea undensonale non è descrtto n coordnate cartesane, per cu la forula dell energa cnetca assue l aspetto., porreo: a( * ). osservando ce concderà con la assa usuale soltanto se la coordnata lagrangana assunta a descrvere l sstea avrà l sgnfcato d coordnata cartesana. In defntva, l anals coputa conduce a scrvere la. 6 per l caso undensonale, nel odo seguente: & z& z. la uale, ponendo coe è uso: ω. 3 assue l aspetto: && z ω z.. 4 S constata subto ce le funzon cosω t e sen ω t sono due soluzon ndpendent, per cu l ntegrale generale della. 4 è: z Ccosω t Csenω t,. 5 l uale, coe s sa, e coe la Fg.. auta a rcordare, può ance etters sotto la fora: z Acos( ω t α). 6 essendo: A ; C C tan C C α. 7 Da uanto vsto possao trarre la seguente conclusone. Le pccole oscllazon d un sstea undensonale attorno alla sua poszone d eulbro stable, costtuscono un oto oscllatoro aronco con freuenza angolare ω, data dalla. 3, apezza A e fase α date dalle. 7. Tale oto aronco coe s sa è uello coputo sull asse vertcale d un rferento cartesano, dalla proezone P dell estretà P d un vettore d apezza A, rotante n senso antoraro con veloctà ω.

173 . 7 Fg.. 3. Pccole oscllazon de sste con pù grad d lbertà. Al N.ro precedente non abbao avuto eccessva dffcoltà a rsolvere l euazone. 6 nel caso d un sstea con un solo grado d lbertà. Affrontao ora la uestone nel caso de sste con pù grad d lbertà. Cò fareo cercando degl ntegral partcolar della. 6 edante l utlzzo d una funzone test d tpo esponenzale, ce scrvereo vettoralente nel odo seguente: z u e jω t 3. ove ω è una costante postva, u un vettore non dpendente dal tepo, j l untà agnara ed e la base de logart neperan. Pertanto, la soluzone 3. proposta è un vettore rotante n senso antoraro con veloctà angolare ω, coè la rappresentazone sbolca d una funzone snusodale. Dervando la 3. due volte rspetto al tepo, s ottene: && z ω j ue ω t, 3. la uale, sosttuta nsee alla 3. nella. 6, produce: A uω e H ue * jω t * jω t Seplfcando, raccoglendo u a destra, e ponendo: ω λ, 3. 4 da cu rsulta ce λ è un paraetro essenzalente postvo, abbao: * * ( A ) u H λ. 3. 5

174 . 8 Questa scrttura atrcale rappresenta un sstea algebrco oogeneo nell ncognta: T [ u, u,..., u n u ] 3. 6 Percé esso fornsca soluzon non banal e gustfc l ntroduzone della funzone-test 3., deve essere nullo l deternante de coeffcent, coè l deternante della atrce entro parentes nella Pertanto scrvereo: * * det[ H λ A ] Questa condzone perette la deternazone d λ. Coe s vede, sao n presenza d un problea agl autovalor. La 3. 7, ce nella ternologa d tale contesto è l euazone caratterstca del sstea dfferenzale. 6, è un euazone d grado n per λ. Essa produce pertanto, n valor per λ, n corrspondenza d cascuno de ual, ntrodotto nel sstea 3. 5, possao rcavare rsolvendo l sstea, l relatvo vettore (autovettore) u, coè le ncognte u, u,..., u n (v. 3. 6). Con cò potreo ottenere n ntegral partcolar del oto cascuno relatvo ad un edeso valore d λ, così desgnat: z ( t) u e jω t (,,, n) (,,..., n) 3. 8 La soluzone generale sarà costtuta da una cobnazone lneare d ueste soluzon sngole relatve a freuenze angolar dverse, per cu essa rsulterà data da: n z ( t) C u e jω t 3. 9 A aggor carento della forazone della forula 3. 9, s osserv l sottostante speccetto n cu, raccuse entro le parentes graffe, copaono le soluzon u de var sste lnear caratterzzat successvaente da var valor λ d λ, noncé le cobnazon lnear delle soluzon attnent a var valor d λ, coè a var (successv) valor d ω λ ( pedc ndcano le soluzon, coè le coponent degl autovettor, gl apc ndcano le freuenze angolar. n n n u u L u C u C u L C u n n n u u L u Cu C u L C u λ λ λn 3. M M M LL M M M u n u L n n n n u n Cnu n Cn u n L Cn u n Prendendo la parte agnara della 3. 9, avreo le soluzon fsce:

175 . 9 (t) z n jω t C u e 3. ce sono ovvaente tante, uante sono le coordnate z (t) del sstea, dato ce l ndce (,,..., n) è l ndce non saturato nella La conclusone ce s trae da tale rsultato è ce l oto descrtto da cascuna delle coordnate del sstea eccanco nelle condzon consderate. è un oto oscllatoro coplesso soa d oscllazon perodce seplc d apezze e fas arbtrare [NOTA: per seplctà sbol delle fas sono stat oess], a d freuenze perfettaente deternate, la pù bassa delle ual vene detta freuenza fondaentale. S raent nfne, ce le dette freuenze angolar, per l odo col uale sono venute n luce, sono le radc uadrate (v. 3.4) delle soluzon dell euazone caratterstca del sstea dfferenzale. 6, ovvero degl autovalor della sua atrce. Coe esepo d applcazone della teora svolta, s rconsder l doppo pendolo, d cu al N. ro 54 abbao deternato la funzone lagrangana, e ce rproducao n Fg. 3.. Fg. 3., Proponaoc ora d calcolarne le freuenze delle pccole oscllazon attorno alla confgurazone d eulbro stable, ce anfestaente è uella ce vede le due asse e allneate lungo la vertcale. Seguendo la tracca della teora dobbao procurarc le espresson dell energa cnetca e dell energa potenzale. Queste sono ga state calcolate al N.ro 54 e u le rportao per cooà: θ & T l lθ& ll cos( θ θ ) θ& θ & 3. U cosθ g lcosθ lcosθ 3. 3 gl ( )

176 . Per ottenerne l approssazone per le pccole oscllazon (θ <<, θ << ), possao consderare cos( θ θ), e sostture noltre cos θ e cos θ con l loro svluppo n sere ltato al terne uadratco cosθ. Le 3. e 3. 3 d- θ ventano allora : [( ) l θ & lθ& ll θ & θ & T ] 3. 4 U ( ) glθ glθ 3. 5 nella uale non abbao trascrtto tern costant ce rsultano dalla sosttuzone d θ cosθ con, n uanto scopaono nel processo d dervazon ce dalle euazon d Lagrange portano alle euazon del oto. 5. Dalle 3. 4 e 3. 5 rcavao la atrce dell energa cnetca e la atrce essana del potenzale. Per la atrce dell energa cnetca, rcordando uanto detto n erto alla 4. 4, s anno gl eleent: ( ) a ; a ( ) ; a a l 3. 6 l per cu la atrce rsulta: l l A ( ) ll l l l l 3. 7 Per la atrce essana d U s devono calcolare le dervate seconde: U θ ( ) gl ; l g ; U θ U θ θ 3. 8 per cu la atrce rsulta: H ( ) gl l g 3. 9 Calcolao la atrce [ H λa] : ( ) gl [ ( ) l ll H λa] λ lg ll l

177 ( ) ( ). gl λ l λll 3. λll lg λl Il deternante d uesta atrce uguaglato a zero, è dato da: det[ H λa] ( ) l ( g λl ) l ( g λl ) λ l l 3. Preva seplfcazone, s ottene l euazone d secondo grado n λ : λ l l λ [ g( )( l l )] g ( ) ce rsolta fornsce due valor d λ :, 3. ( )( l l ) [ g( )( l l )] 4 l l g ( ) g λ 3. 3 l l ( )( l l ) [ g( )( l l )] 4 l l g ( ) g λ 3. 4 l l e und le due freuenze angolar: ω λ ; λ ω 3. 5 I due valor d λ così trovat, sono uell per ual l sstea algebrco oogeneo 3. 5 fornsce soluzon non banal per le ncognte u [ u, u,..., u n ], le ual perettono d scrvere le euazon del oto nella fora Lascao al lettore uesto copto avvertendo ce le costant ntrodotte vanno deternate n base alle condzon nzal. No c ltao al calcolo effettuato delle freuenze angolar, proponendo n aggunta l nteressante caso caratterzzato da una assa preponderante. Trattando l caso ateatcaente edante l lte per delle 3. 3 e 3. 4, preva dvsone per de loro nuerator e denonator, s ottene: g ω ; l g ω 3. 6 l S vede così ce uando, le freuenze del doppo pendolo tendono a valor ce avrebbero se due pendol fossero ndpendent. S not ce n vrtù del segno assunto davant al radcale nelle 3. 3 e 3. 4, è λ < λ ( e und ω è la freuenza angolare fondaentale). Ce ω vada attrbuto al pendolo d lungezza l è po con-

178 . valdato dalla pra delle 3. 6, dato ce l pendolo d assa >> è pressocé nsensble alla assa ce v è appesa è und osclla con la freuenza propra d pendolo seplce ce è per l appunto la pra delle Coordnate noral. Al N.ro precedente abbao vsto ce nel caso de pccol ovent d un sstea eccanco plurdensonale nell ntorno d un punto d eulbro stable, le sue coordnate poszonal fsce nterpretano tal ovent coe una soa d oscllazon d freuenze dverse. Forulao l seguente uesto: E possble deternare delle coordnate lbere (non fsce, a funzon delle coordnate fsce) tal ce ognuna d esse copa un unca oscllazone seplce d deternata freuenza (dversa per ogn coordnata)? E caro ce s sottntende una rsposta afferatva, altrent l uesto non sarebbe posto. Vedao coe possao procedere nella rcerca. Consderao la Fg. 4., ove sul pano cartesano Ozz, n cu z, z sono le coordnate fsce d un sstea eccanco bdensonale, è traccato l loro vettore: [ z, z z ] 4. untaente agl autovettor u eu del sstea algebrco Fg. 4. Ora appare caro dalla fgura ce esstono de nuer Z e Z tal ce rsult; z Z u Z u, 4. ossa tal ce l vettore z sa rappresentato assuendo coe base gl autovettor ue u. In generale allora, per un sstea n-densonale, scrvereo, con scrttura ndcale prva del sbolo d soatora:

179 . 3 z Z u (,,, n) 4. 3 Sosttuao l espressone 4. 3 nel sstea dfferenzale. 6. Avreo: A * * ( Z& u ) H ( Z u ) & Consderao l sstea algebrco 3. 5, n cu cabao segn per cooà, u rportato ettendo n evdenza l partcolare autovettore corrspondente all autovalore : λ * * ( A ) u H λ Esso s può scrvere: u * * H u λ A u 4. 6 Z Introducendo l pro ebro della 4. 6 nella 4. 4, uest ulta dventa: A * * ( Z& u ) λ A u Z & 4. 7 Osservando ce tern d tale relazone sono vettor, percé (a parte gl scalar * ) sono prodott d atrc per vettor, dopo l raccoglento d A u, oltplcao scalarente per u j : ( Z& * λz ) A u u j & 4. 8 Un Teorea d Algebra Lneare affera ce gl autovettor ce s ottengono da * * un sstea algebrco uale l 4. 5, ove le atrc H e A sono setrce, costtuscono una base d vettor avent la propretà espressa dalla seguente relazone, ove δ è l sbolo d Kronecer (v. Appendce al Paragrafo ): * A u u j δ j Sosttuendo la 4. 9 nella 4. 8, uest ulta fornsce: ( Z& λ Z ) δ Z& λ Z &, 4. j ovvero, tenendo conto ce λω : u j Z&& ω Z 4.

180 . 4 S vede così ce s è raggunto lo scopo prefsso, n uanto ce la 4. è l euazone dfferenzale d un oto aronco seplce descrtto dalla varable teporale Z. E d ueste varabl ce ne sono n, tante uant sono grad d lbertà del sstea eccanco, cascuna delle ual fornsce ot aronc seplc tutt dsaccoppat, dpendent ognuno da un unca propra freuenza d oscllazone, secondo lo scea sotto rportato per aggore evdenza. Z&& ω Z Z&& ω Z.. Z&& ω Z n n n 4. Le coordnate Z n tal odo defnte prendono l noe d coordnate noral e rspettv ot aronc s dcono od noral d oscllazone. S sarà capto ce l portanza delle coordnate noral rsede nella facltà d rsoluzone del sstea dsaccoppato delle euazon 4.. Una volta rsolto s può rsalre alle coordnate fsce edante le Può essere nteressante ottenere una forula ce espre le n funzone delle coordnate fsce z. S tratta ovvaente d esplctare le Z dalla Per far uesto oltplcao scalarente abo ebr della 4. 3 per l vettore z A * u j Z A * u j. S a: Z u A * u 4. 3 j Applcando la 4. 9 ( l prodotto scalare è coutatvo), rsulta: Z δ j z A * u Z z A * u ****** ******

181 Appendce al Paragrafo. 5 DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA: * A u u j δ j Scrvao la 4. 5 per due dvers autovettor: * * ( A ) u H λ * * ( A ) u H λ j j T T Moltplcando scalarente la pra per e la seconda per, s a pure: * * u ( A ) u T j T u j H λ 3 * * u ( A ) u H λ 4 j j Nella 4 eseguao l operazone d trasposzone tenendo presente la regola data T T T AB B A dall denttà ( ) : T * * [ u ( H λ A ) u ] T T T [( H λ ) ] [ ] j j * * T A u u j T *T *T u j ( ja ) u j H λ 5 Sottraendo l rsultato 5 dalla 3, tenendo ance presente ce per la setra della * *T * atrce A, è A A, s a: u T j * *T T * ( H H ) u ( λ ) u A u λ 6 j Se ance la atrce H è setrca, per cu H H terne e s a: T * ( λ ) u A u j j j * * * T u, la 6 s rduce al secondo λ. 7 Ora, per u A T * j u λ λ, ottenao: j, 8 entre per λ λ j, la 7 a un valore fnto; a pocé gl autovettor sono deternat a eno d una costante, possao sceglere uesta n ado ce rsult:

182 . 6 u A T * j u. 9 Pertanto possao conglobare la 8 e la 9 nell unca relazone: u T j A * u δ j essendo δ T u j j e l vettore l delta d Kronecer. Pocé la espre un prodotto scalare tra l vettore * A u, due vettor s possono coutare, a così facendo occorre fare la trasposzone del pro vettore per farlo dvenre vettore colonna, secondo le convenzon del calcolo atrcale. Pertanto la s può scrvere ance: * A u u j δ j ed è uesta la fora ce copare nel testo (v. 4. 9). Sottolneao la crcostanza sotto la uale la forula è valda: u e u devono essere gl autovettor d una trasforazone lneare (per esepo l sstea algebrco 4. 5). Pocé la è una fora uadratca, possao dre ce uando le varabl d una fora uadratca sono gl autovalor d una trasforazone lneare, allora la fora uadratca euvale al delta d Kronecer. Cò sgnfca ce vettor A u e sono * ortogonal. j u j Per un carento copleto rcaao la defnzone d fora uadratca e la sua rappresentazone atrcale nel caso generale. Dces fora uadratca Q nelle n varabl x (,,..., n), l espressone algebrca: Q n, j a j x x j No, per appoggare le dee su svlupp algebrc facl, c rferreo ad una fora uadratca d tre varabl x, x x, ce rappresentereo und con la scrttura: Q 3 a x x, j j j, 3. 3 Svluppando la soatora abbao: Q a x x a x x a x 3 x3 a x x a x x a x 3 x3 a x x a x x a x x3 Questa espressone s può ettere sotto la seguente fora atrcale estesa:

183 . 7 Q [ x x x ] 3 a a a 3 a a a 3 a a a x x x 3 5 coe s può constatare eseguendo l prodotto della atrce per l vettore colonna e und uello del vettore rga per l nuovo vettore colonna ottenuto. Indcando ora A la atrce [ a ] e con X l vettore colonna [ ], la 5 s può ndcare con la scrttura atrcale sbolca: j x T X AX 6 ovvero, coutando l prodotto scalare e facendo apparre un vettore colonna a destra: AX X 7 Consderando un caso nuerco n relazone alla 4 tern ncrocat sl s soano. Convene percò defnre la atrce A setrca, per cu suo eleent a ndc nvertt, essendo ugual, daranno luogo nell espressone nuerca a coeffcent d valore doppo. Inversaente, nel portare n fora atrcale un espressone uadratca, gl eleent setrc della atrce dovranno avere valore età de coeffcent de tern ncrocat relatv. Inoltre gl eleent dagonal della atrce saranno coeffcent de tern al uadrato. S consder l esepo seguente: Q x x x x 7x3 4xx La 8 n fora atrcale rsulta: Q X T 4 4 X 7 9

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185 INDICE GENERALE. RICHIAMI DI ALCUNI CONCETTI DI MECCANICA RAZIONALE Coordnate Lagrangane Classfcazone de vncol 3 Spostaento vrtuale d una partcella 4 Lavoro vrtuale delle reazon d vncolo 5 Il Prncpo de Lavor Vrtual e la Relazone sbolca della Statca 6 Applcazone del Prncpo de Lavor Vrtual al calcolo delle reazon de vncol nelle strutture sostatce n Scenza delle Costruzon. SVILUPPI ORIGINATI DAL CONCETTO DI LAVORO VIRTUALE Relazone ed euazone sbolca della Dnaca Il Prncpo d D Alebert e l Euazone sbolca della Statca 3. LE CONSEGUENZE DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DI- NAMICA 3 Il Teorea della Quanttà d Moto 3 Il Teorea del oento della uanttà d oto 33 Il Teorea dell Energa Cnetca 34 La funzone potenzale 35 Il Potenzale nel caso delle forze gravtazonal 36 Sstea conservatv ed Energa potenzale 4. ENERGIA CINETICA IN COORDINATE LAGRANGIANE 4 Energa cnetca nell atto d oto traslatoro 4 Energa cnetca nell atto d oto rotatoro d un corpo rgdo con un punto fsso 43 Energa cnetca nel oto rotatoro d un corpo rgdo con un asse fsso 44 Energa cnetca nel oto rgdo pano Appendce Doppo prodotto vettorale 5. LE EQUAZIONI DI LAGRANGE 5 Preesse ateatce 5 Le coponent lagrangane delle forze attve e delle forze d nerza 53 Deduzone delle euazon d Lagrange 54 Anals della funzone Q e ntroduzone della funzone lagrangana 55 Stazonaretà dell Azone 6. IL TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA 6 Rca d forule 6 Dostrazone del Teorea d conservazone dell Energa eccanca Appendce Il Teorea d Eulero per le funzon oogenee 7. LE EQUAZIONI DI HAMILTON 7 La Trasforata d Legendre 7 Le euazon d Halton e l altonana 73 Il sgnfcato dell altonana 74 Sgnfcato fsco degl puls generalzzat Appendce La Trasforata d Legendre 8. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI 8 Concetto d funzonale 8 Dervata d un funzonale 83 Varazone d un funzonale

186 84 Dervata seconda d un funzonale 85 Stazonaretà 86 Funzonal fondaental 87 Stazonaretà ncondzonata Appendce Forula d Taylor per le funzon d pù varabl real e genes della sua rappresentazone sbolca 9. STAZIONARIETÀ CON LIMITI FISSI ASSEGNATI. PRINCIPIO DI HAMILTON 9 Condzonaento d f(t) agl estre 9 Forulazone generale del Prncpo d Halton 93 Prncpo d Halton nel caso d forze conservatve 94 Il Prncpo dell eurpartzone dell energa 95 Applcazone ad un problea fsco 96 Il problea della Bracstrocrona. STUDIO DELLA STABILITÀ DELL EQUILIBRIO DI UN SISTEMA MECCANICO Eulbro de ssteo olono nel caso generale Eulbro de ssteo olono con forze agent conservatve 3 Studo della Stabltà de sste ad un solo grado d lbertà 4 Studo della Stazonaretà de Sste a pù grad d lbertà 5 Studo della stazonaretà d un sstea a due grad d lbertà con l uso del deternante essano 6 Alcun esep relatv alla teora svolta. STUDIO DELLE PICCOLE OSCILLAZIONE La Lagrangana approssata Pccole oscllazon de sste con un solo grado d lbertà 3 Pccole oscllazon de sste con pù grad d lbertà 4 Coordnate noral Appendce Dostrazone della forula

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