Appunti di Chimica Fisica dello Stato Solido

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1 Appunt d Chca Fsca dello Stato Soldo

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3 Masso Toelln Appunt d Chca Fsca dello Stato Soldo

4 Coprght MMIV ARACE EDITRICE Srl wwwaracneedtrcet 0073 Roa va Raffaele Garofalo, 33 A/B telefa ISB I drtt d traduzone, d eorzzazone elettronca, d rproduzone e d adattaento anche parzale, con qualsas ezzo, sono rservat per tutt Paes I edzone: febbrao 004

5 A o padre

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7 Presentazone ell ntento d corrspondere alle attese degl student d poter dsporre d un agevole testo per la preparazone degl esa rguardant la Chca fsca dello stato soldo, sono proposto d raccoglere n questa pubblcazone gl appunt-base delle lezon, che tengo nell abto de cors d laurea n Chca e n Scenza de ateral presso l Unverstà degl Stud d Roa Tor Vergata S tratta, pertanto, d una artcolata raccolta d dspense sulle dverse teatche degl argoent fondaental della atera, che ho cercato d esporre coputaente, n fora sntetca, a svluppando ed llustrando, dettaglataente, calcol e le forulazon ateatche Argoent, che d solto s trovano varaente dstrbut n dverse pubblcazon ad ndrzzo specalstco, sono stat qu runt n un unco testo, per agevolare l approcco degl student alla atera La trattazone è rpartta n se captol dedcat, rspettvaente, a seguent argoent della Chca fsca dello stato soldo: propretà terche, dfett d punto, teora della dffusone d atera, trasporto d atera ne sold onc, transzon d fase ordne-dsordne e cnetca delle transzon d fase Alla fne del testo ho nserto una bblografa essenzale, che potrà essere utle per l approfondento degl argoent oggetto della presente trattazone Confdando d essere ruscto a consegure le fnaltà ddattche che ero proposto, desdero nfne porgere l pù vvo rngrazaento al collega Masso Fanfon e ad Andrea Allegr per la qualfcata collaborazone, che hanno generosaente prestata nella stesura del testo e per corredarlo de pù conson support grafco e fguratvo Roa Gennao 004 Masso Toelln

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9 Indce Captolo I Propretà terche de sold Mod noral d vbrazone Deternazone de od noral d vbrazone 5 3 Catena onoatoca lneare 4 Il soldo d Ensten 5 5 Copressbltà ed espansone terca 8 6 L approcco d Debe 6 Captolo II Dfett ne sold Classfcazone de dfett 3 Dfett d punto 3 3 Potenzale chco de dfett d punto 35 4 Equlbr tra dfett 4 5 Equlbro elettronco ne seconduttor 48 Captolo III Teora della dffusone d atera ne sold 3 Pra e seconda legge d Fc 67 3 Rsoluzone della II legge d Fc nel caso undrezonale Interpretazone statstca del coeffcente d dffusone La passeggata casuale (rando wal) Coeffcente d dffusone e funzone d autocorrelazone Autodffusone e dffusone del traccante 90 Captolo IV Trasporto d atera ne sold onc 4 Equazon d trasporto generalzzate 95 4 Dffusone chca uero d trasporto onco degl elettrolt sold Cnetca d ossdazone de etall: teora d Wagner Applcazon della teora d Wagner 8

10 Captolo V Transzon d fase ordne-dsordne 5 Classfcazone delle transzon d fase 7 5 Transzone ordne-dsordne nelle leghe bnare 3 53 Paraetro d ordne locale Ordne a lungo raggo: approcco d Bragg e Wllas Deternazone dell energa specfca 4 56 Calore specfco al punto d transzone 49 Captolo VI Cnetca delle transzon d fase 6 ucleazone e crescta 53 6 ucleazone oogenea Aspett terodnac della nucleazone Cnetca d nucleazone ucleazone eterogenea La teora d Kologorov, Johnson, Mehl e Avra ucleazone sultanea e nucleazone costante Rozone dell potes d casualtà 86 Bblografa essenzale 9

11 I - Propretà terche de sold Mod noral d vbrazone Consderao una catena lneare costtuta da asse puntfor ugual, connesse tra loro da oscllator aronc (olle) non necessaraente ugual Gl estre della catena sono vncolat, edante altr due oscllator, a due punt fss Il sstea eccanco può copere oscllazon solaente lungo l asse delle In questo caso l nuero d grad d lbertà vbrazonal è uguale a e la funzone potenzale s espre edante una fora quadratca delle coordnate generalzzate (,, ): (), V K dove tern K sono gl eleent d una atrce setrca, che rsulterà trdagonale n quanto sono present solaente nterazon tra pr vcn Le equazon del oto s ottengono edante ntegrazone del seguente sstea d equazon dfferenzal: d dt V K () Cerchao soluzon del sstea avent la fora, a eno d un fattore d fase, t ( t) Ae (3) dove A è una costante Sosttuendo la 3 nella s ottene un sstea algebrco d equazon nelle ncognte A : ( K) A K A K A 0 K A K A ( K ) A 0 (4)

12 Captolo I oppure, n fora copatta, I K A 0 (5) dove I è la atrce untà, K la atrce delle costant elastche, entre A è l vettore colonna delle apezze delle oscllazon Il sstea 4 aette soluzon non banal se e solo se l deternante della atrce I K è dentcaente nullo: I K 0 (6) Quest ulta equazone, detta equazone caratterstca, concde con l calcolo degl zer d un polnoo d grado n, P ( ) 0, per l quale essteranno radc Supponao, noltre, che le radc sano real e dstnte:,,, Le frequenze,,, prendono l noe d frequenze noral d vbrazone Se consderao nuovaente l sstea d equazon lnear 4 osservao che per ogn frequenza l sstea aetterà le soluzon A ( ), A ( ),, A ( ) Pur tuttava, al fne d ottenere una soluzone non banale, n vrtù dell equazone 4, ad una delle apezze deve essere assegnato un valore arbtraro: A ( ) C dove C è una costante Dostrereo che la soluzone generale per le apezze assocate alla frequenza può essere espressa coe segue: A ( ) C ( ) ( ) c ( ) c (7) ( ) dove c è una costante e ( ) è l nore dell eleento (,) - rga, colonna - della atrce ( I K) Dostrao ora l eq7; a tale scopo ndchao gl eleent della atrce che fgura nella 5 con ( ) I K Le apezze s deternano rsolvendo l seguente sstea oogeneo: ( ) A ( ) 0

13 Propretà terche de sold 3 dove la soa s esegue sull ndce rpetuto Al fne d deternare una soluzone non banale, è necessaro attrbure un valore arbtraro ad una delle ncognte A Questo valore è defnto dalle condzon nzal Ponao ad esepo, A ( ) C Il sstea è ora sovradensonato e, conseguenteente, s può elnare la pra equazone e rsolvere l sstea d - equazon ) A ( ) C ( ),,, ( che n fora estesa dventa 3 ( ) A ( ) ( ) A ( ) ( ) A ( ) 3 33 ( ) A3 ( ) ( ) A ( ) 3 3 ( ) A ( ) 3 3 ( ) A ( ) A ( ) A ( ) C ( ) C 3 ( ) C ( ) ( ) ( ) Se l sstea d equazon lnear sopra ctato è norale, la soluzone s trova applcando l teorea d Craer che, per l apezza A, fornsce l espressone A C C C 3 = C, dove rappresenta l nore della pra rga e della -esa colonna della atrce così defnta:

14 4 Captolo I 3 dove, per seplctà d notazone, le dpendenze da sono state oesse La soluzone generale per le apezze s può esprere coe segue: A ( ) ( ) C ( ) ( ) c ( ) c che concde con l eq7 Pertanto, utlzzando l prncpo d sovrapposzone, la soluzone generale del problea qu esposto può essere espressa nella fora ( t) ( t ) ( t ) A ( ) e c e Q ( t), (8) dove le funzon Q (t) prendono l noe d od (o coordnate) noral d vbrazone In partcolare, lo stato dnaco del sstea eccanco è defnto preva assegnazone delle condzon nzal (0), (0) (,, ), ovvero delle costant c, nell equazone 8 La soluzone (t) è esprble trate la sovrapposzone d oscllazon aronche d frequenze par alle frequenze noral d vbrazone Cascuna d queste oscllazon (odo norale) non è altro che la soluzone del problea dnaco per un sngolo oscllatore d frequenza elle nuove varabl, Q (t), la funzone d Halton del sstea è uguale alla soa d funzon d Halton d sngolo oscllatore aronco, d frequenze par alle frequenze propre del sstea Il cabaento d coordnate Q (eq8) consente pertanto d dsaccoppare l sstea d oscllator, rendendo l problea dnaco del tutto equvalente a quello caratterstco d un sstea d oscllator aronc ndpendent el paragrafo seguente studereo un sstea d due

15 Propretà terche de sold 5 oscllator aronc accoppat, per approfondre ulterorente l sgnfcato d questo cabaento d varabl dnache Deternazone de od noral d vbrazone Consderao l sstea d due oscllator aronc accoppat rportato nella fg L haltonana del sstea è data da ) ( K G G V T H () dove e sono le coordnate delle due asse Questa equazone può essere scrtta n fora atrcale utlzzando le relazon seguent: I T 0 0 () V 0 0 (3) con G K / ) ( 0 e K / Proponaoc ora d trovare una nuova base per l nsee de vettor, tale che n questa base le atrc assocate a T e V rsultno dagonal A questo scopo deternao gl autovettor della atrce : u u ovvero 0 I (v noltre par ) S ottene: 0 ; u (4) 0 ; u (5) Consderao ora vettor u e u qual vettor della nuova base A questo proposto è bene rcordare che la atrce nell equazone