Lavoro di una forza costante. Forza costante che agisce su una particella nella stessa direzione del suo moto rettilineo. posizione iniziale

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1 Nel 976 Vasl Aleee solleò dal paento n sopra la testa, a crca, un peso record d 5 newton (55 kg). Quanto laoro ha atto per solleare tale peso? Quanto laoro ha atto per tenerlo solleato 5 second? aoro ed Energa Il problea ondaentale della Dnaca è quello d deternare coe s uoe una partcella note le orze agent su d essa. Oppure, se una parte del oto è nota (traettora) e sono note le orze atte agent, deternare copletaente l oto e le orze d ncolo. Nel caso n cu le orze sano costant o dpendent dal tepo o dalla eloctà, l problea s può rsolere analtcaente (n qualche caso) o nuercaente. Spesso le orze n Natura dpendono dalla poszone. I etod analtc e nuerc possono ancora essere applcat, tuttaa possono essere sluppat etod nteressant d soluzone basat su concett d laoro ed energa a generalzzazone del concetto d energa consente la orulazone d una legge d conserazone che goca un ruolo ondaentale n tutta la sca. Pro. A.Zenon 7/8

2 aoro d una orza costante orza costante che agsce su una partcella nella stessa drezone del suo oto rettlneo poszone nzale s s poszone nale corsa de lett denzone d laoro della orza nel caso partcolare orza costante che agsce su una partcella n drezone dersa da quella del suo oto rettlneo coponente d nella drezone dello spostaento cos s Se Se Se Se Se s s cos s cos s cos s cos s l laoro può essere posto, negato o nullo nessuno spostaento nessun laoro Se sulla partcella agsce pù d una orza, l laoro d cascuna orza dorà essere calcolato separataente Il laoro totale coputo sarà la soa de laor coput da tutte le orze sano ess post, negat o null. Il solleatore d pes cope laoro per solleare l peso da terra entre non cope laoro per tenerlo solleato (spostaento nullo) benché applch una grande orza. Pro. A.Zenon 7/8

3 grande orza, laoro nullo g e N non copono laoro la orza d attrto radente cope laoro la tensone della une non cope laoro aoro d una orza costante trate prodotto scalare cos s coponente della orza n drezone dello spostaento scos coponente dello spostaento n drezone della orza Utlzzando la denzone d prodotto scalare quanttà scalare s cobnazone d due ettor aoro e sste d rerento Il odulo e la drezone della orza agente non dpende dal sstea d rerento dal quale s ossera l oto. o spostaento s nece dpende dal sstea d rerento Due osserator su sste d rerento ders concordano qund sul l alore della orza (allungaento d un dnaoetro), a non sul laoro coputo dalla orza stessa che può anche aere segn ders. Pro. A.Zenon 7/8

4 aoro n sca e laoro sologco aoro negato aoro posto aoro nullo a denzone d laoro n sca non corrsponde alla nozone sologca e socale d laoro Una persona che tene un grosso peso n ano dal punto d sta sologco cope un grosso laoro Da quello sco non cope nessun laoro, poché la orza applcata al peso non produce nessuno spostaento a spegazone è che da un punto d sta croscopco l uscolo strato non è un supporto soldo e non sostene l peso statcaente Puttosto le sue bre s contraggono e rlascano a grupp contnuaente e ad ogn contrazone ene atto del laoro. Percò quando l solleatore sostene l peso la sua stanchezza auenta perché produce del laoro nterno a uscol. Un taolo è nece un supporto statco che non s stanca e non ha bsogno né d alent né d rposo per poter sostenere a lungo un peso. Untà d sura del laoro M kg s s J joule T s Esepo 7- s s cos Un blocco d assa =,7 kg è spnto lungo un pano nclnato e percorre una dstanza s=4,65 raggungendo una altezza d,86. Supponendo l attrto nullo, calcolare l laoro necessaro per spostare l corpo, se la orza applcata è parallela al pano e l blocco ene spnto a eloctà costante. Equazone d oto del blocco g N a gsn gsn 7,5N4,65 8J Se l blocco osse solleato ertcalente g h g h,7kg 9,8s,86 8J,86 4,65,7kg9,8s 7,5 N 4 l pano nclnato perette d usare una orza nore su un percorso aggore Pro. A.Zenon 7/8

5 Eserczo Una corda, che scorre su una pulegga pra d assa e d attrto, sostene un blocco d assa. a carrucola è ssata al sotto e s tra erso l basso l capo lbero della corda. a) Qual è ntenstà della orza che s dee applcare al capo lbero della corda per solleare l blocco? 5 Il blocco sale con eloctà costante: a= T g a T g T g a corda dea solaente la drezone della orza g b) Quanto laoro è ornto al blocco dalla corda nel solleaento? dalla corda sul blocco dalla ano sulla corda T d Td gd d d gd c) Un altra ssteazone della carrucola è ostrata n gura. a carrucola oble è trata erso l alto con una orza doppa della tensone T della corda. Qual è ora l ntenstà della orza? a pulegga oble sale con eloctà costante ed ha assa trascurable T T T a T T S S a corda dea solaente la drezone della orza T S g età della orza precedente S d) D quando dee spostars erso l basso la ano per solleare l blocco? s d l doppo dello spostaento precedente e) Quanto laoro è ornto al blocco dalla corda nel solleaento? dalla corda sul blocco T d Td gd g dalla ano sulla corda d gd Pro. A.Zenon 7/8

6 aoro d una orza arable: caso undensonale 6 S suppone che la orza agsca n una sola densone (asse ) e che dpenda da coe () Calcolo del laoro d () nello spostaento del punto d applcazone della orza da a orza consderata costante n d aoro coputo dalla orza (approssato) d d d d d d d d d d d spostaento dso n olt nterall d aoro totale da ad d... d d d... d N n glore approssazone al dnure d d d n d approssato approssazone glora all auentare del nuero d nterall e al dnure d d Quando d denta nnteso d, la soatora denta un ntegrale Valore esatto del laoro area sotto la cura l N d n d n Sua d area sottostante la cura denta da () Integrale dento Pro. A.Zenon 7/8

7 aoro d una orza elastca 7 s = - et oto con a= poszone d equlbro s = orza et esterna orza s eserctata dalla olla orza eserctata dalla olla egge d Hooke pccole deorazon s k k [N/] costante elastca della olla orza d rchao > allungaento s < < copressone s > aoro eettuato dalla olla nello spostaento da a s s d kd k k la olla a laoro posto quando acna la partcella all equlbro aoro eettuato dalla olla nello spostaento da = a s s d kd k laoro negato sa n copressone che n estensone aoro eettuato dall agente esterno, spostaento da = a et k s et k k Il laoro è dato dall area sotto le rette Pro. A.Zenon 7/8

8 aoro d una orza arable: caso bdensonale 8 poszone nzale traettora nel pano orza arable lungo la traettora poszone nale pccol spostaent aoro atto dalla orza lungo l trattno generco ds d ds cos ds aoro totale atto dalla orza lungo la traettora da ad N n n N ds cos ds Quando l nterallo ds denta nnteso ds e N dene nnto n n n n n ntegrale d lnea ds cos ds bsogna conoscere e lungo la traettora lungo la traettora Espressone equalente ds d ydy s estende a tre denson Esepo 7-4 Un oggetto d assa è appeso ad un lo d lunghezza D. oggetto è spnto lateralente da una orza sepre orzzontale nché l lo non ora un angolo con la ertcale. o spostaento è lento. Che laoro anno le orze? Condzone d equlbro T g T sn T cos g g tan Pro. A.Zenon 7/8

9 Calcolo del laoro eettuato dalla orza 9 P d ydy d Dsn d Dcos d g tan d S espre n unzone d gd g tan Dcosd gd sn d cos gd cos dalla gura s ede h D cos gh Calcolo del laoro eettuato dalla orza peso g g g ds h d ydy gdy g dy gh Il laoro atto dalla tensone del lo è nullo perché la orza T è sepre ortogonale allo spostaento P h rs P g T gh gh P cancella g l laoro è scalare Esepo Il punto d applcazone della orza =(a y)+(by)j s uoe lungo un arco d parabola d equazone y=. Calcolare l laoro atto dalla orza per andare dall orgne al punto sulla parabola d coordnata =. Integrale d lnea lungo la traettora parabolca ds d ydy a yd by S ntroduce la traettora e s rconduce l ntegrale alla sola arable y dy 6d 4 4 a d b 6 d a 6b 5 4 a 6b dy d a 6b d a 6b 5 5 Pro. A.Zenon 7/8

10 Energa Cnetca e Teorea aoro-energa Una orza applcata ad una partcella può, allo stesso tepo, copere laoro e odcare l oto della partcella stessa Esste una relazone ra l laoro eettuato da una o pù orze applcate ad una partcella e la arazone conseguente del suo oto Questa anals della relazone ra laoro eseguto e oto porta a tre portant conseguenze () Introduzone d una nuoa grandezza detta Energa Cnetca (o d oento). () Dostrazone dell esstenza d un portante ed utle Teorea che collega la arazone d energa cnetca d una partcella al laoro eseguto su d essa dalla orze applcate. () Introduzone de presuppost d una ondaentale egge d Conserazone, la egge d Conserazone dell Energa Calcolo del laoro atto da una sstea d orze su una partcella rs... rs rs una partcella ds ds ds; ds; rs... ds Oppure n odo equalente per una partcella ds ds rs ds Calcolo dell eetto sul oto per un oto rettlneo e una orza rsultante costante rs ; K rs rs rs a a K K K Energa Cnetca Teorea aoro-energa Il aoro atto dalla rsultante delle orze applcate ad una partcella è uguale alla arazone della sua Energa Cnetca Pro. A.Zenon 7/8

11 Energa Cnetca Energa Cnetca è una grandezza scalare non negata Energa Cnetca d una partcella dpende dal sstea d rerento dal quale l oto della partcella ene osserato Due osserator n due ders sste d rerento ossereranno ders alor del laoro e ders alor della Energa Cnetca. Tuttaa ercheranno entrab la aldtà del Teorea aoro-energa Se l odulo della eloctà non caba, l Energa Cnetca non caba e qund la orza non a laoro. Una orza centrpeta non a laoro. Energa Cnetca è espressa n joule coe l aoro e rappresenta la quanttà d laoro che l corpo può ornre n rtù del suo oto (o che bsogna ornre per arrestarlo). Teorea aoro-energa Il Teorea aoro-energa ene ottenuto graze alla Seconda egge del oto; non costtusce qund una nuoa legge ndpendente della eccanca Il Teorea rsulta utle quando necessta una relazone dretta ra la orza agente, lo spostaento (oppure l laoro coputo) ed l odulo della eloctà della partcella. Non ornsce nece norazon crca la drezone della eloctà ed l tepo nel quale aene l enoeno. E l punto d partenza per la generalzzazone del concetto d energa e l ottenento pra del Teorea e po della egge generale d Conserazone dell Energa Dostrazone generale del Teorea aoro-energa Caso undensonale, orza arable. rs rs s ntegra n d rs rs a rs d dt d d d d d dt d d d d K d d d K K unzone d unzone =((t)) cabo d arable Teorea aoro-energa Pro. A.Zenon 7/8

12 Esepo 7-6 Teorea aoro-energa Un corpo d assa =4,5 kg ene lascato cadere da ero da un altezza h=,5 rspetto alla superce terrestre. Quanto ale l odulo della sua eloctà pra d toccare l suolo? g s gh K gh Esepo 7-7,5 4,s gh 9,8s Un blocco d assa =,6 kg scola su una taola orzzontale pra d attrto con una eloctà n odulo uguale a, s -. Urta contro una olla che s copre entre l blocco s era. Se la costante elastca è k=5 N/, d quanto ene copressa la olla? Teorea aoro-energa kd kd K d k,6kg,s, 5N Esepo Una autooble d assa che agga a eloctà = k/h rena prosaente no a erars. Se l coecente d attrto de pneuatc con la strada è,6 qual è la na dstanza d arresto? Teorea aoro-energa d g d attr gd gd /,6s,69,8s 65,6 la dstanza auenta con l quadrato d Esepo Teorea aoro-energa Una persona d 7 kg, senza cntura d scurezza, agga su una acchna a 5 k/h. a acchna subsce un urto rontale contro un ostacolo ero. Calcolare la orza che la persona dee eserctare con le bracca per arrestare l corpo pra d colldere contro l parabrezza. S consder la lessone delle bracca,6. eda eda d d 7kg5/,6s,6 eda d Sstea tecnco 5N 48kg Pro. A.Zenon 7/8

13 tazon del Teorea aoro-energa Il Teorea aoro-energa è stato rcaato trate la Seconda egge del Moto d Newton nella ora applcable a partcelle puntor. E possble applcarlo ad oggett real o a corp solo se quest s coportano coe partcelle e l unca ora d energa che possedono è cnetca. Se un corpo nece è un sstea coplesso allora nterengono anche delle orze nterne alle sue are part, sa acroscopche che croscopche, che copono laoro Un autooble che subsce un urto contro un uro e s accartocca perde energa cnetca graze alle orze nterne alle sue are part e non graze alle orze eserctate dal uro, che non copono laoro. Nell uso del Teorea aoro-energa con sste copless bsogna tenere conto anche del laoro delle orze nterne del sstea (ed Cap. 9). a potenza Qualche olta è necessaro non solo conoscere quanto laoro è stato atto da un sstea, a anche con quale rapdtà l laoro ene coputo. S densce potenza eda l rapporto ra l laoro coputo ed l tepo pegato per coperlo. J P ; P M T T M T Wwatt t t s a potenza stantanea ene denta coe: Jaes Watt (76-89) d grande realzzatore d P acchne a apore dt Il laoro può essere espresso n untà d potenza tepo Pt; kwora 6 W6s,6 J a potenza applcata ad un corpo s può esprere coe orza rsultante applcata per la eloctà del corpo d ds ds P dt dt dt Se e sono antparallel la potenza applcata è negata Pro. A.Zenon 7/8