Fenomeni di trasporto

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1 Fenoen d trasporto S è sto che nel caso collsonale awellano le eqazon de oent della nzone d dstrbzone dentano : (.43) (.44) (.45) Ossa rprodcono coe caso partcolare le eqazon drodnache de ld eleran Qesto sstea d 5 eqazon scalar contene 5 arabl ndpendent,,n, (p e ρ possono essere espresse n nzone delle sole n, ), se la orza esterna è data e solo nzone delle coordnate. Qnd l sstea è chso e tlzzable per rcaare la dnaca n tern d randezze acroscopche. La teora cnetca ostra coe l eqazone d Elero descra la dnaca d na classe rstretta d ld la c nzone d dstrbzone locale e d tpo awellano Qesto tpo d nzone d dstrbzone plca che lsso d enera e nllo (q = 0) e l tensore d pressone daonale, ossa l ldo s troa n condzon d eqlbro eccanco e terco, qnd senza orz lontdnal al strat e senza scostà, coè senza possbltà d trasporto d oento da no strato ad n altro del ldo.

2 E oo che per poter trattare la dnaca d ld scos, n partcolare n presenza d ort radent spazal del capo d eloctà e necessaro assere che la nzone d dstrbzone locale non sa awellana ed e necessaro arrare ad na denzone d qesta nzone, tenendo conto del atto che, coe ostra la l eqazone d oltzann, dee n on caso, rlassare ad na condzone d eqlbro awellano. na orlazon copleta, del problea è stata slppata da Chapan e Enso (97) con l assnzone che la nzone d dstrbzone (, n condzon d trasporto possa essere espressa coe no slppo pertrbato del tpo. Doe l terne e la nzone d dstrbzone d eqlbro e le nzon d ordne sperore () s ottenono terataente coe pertrbazon sccesse dell eqazone d oltzann. Il paraetro dello slppo α λ/l(doe λ e l l.c. d collsone e L la scala tpca del radente) è dpende da radent delle arabl della nzone d dstrbzone, che coe abbao sto sono n pro loo responsabl del coportaento trbolento del ldo e de enoen d scostà. Il etodo che tlzzereo, perche ateatcaente pù seplce, prende l noe d eqazone d hatnaar, Gross & Kroo (eqazone GK, 954) e ene spesso sata per stdare enoen d trasporto n pra approssazone. E anch esso n etodo pertrbato dell eqazone d oltzann, a s era al pro ordne:

3 Per consderare stazon dnache derse da ld eleran scrao la nzone d dstrbzone nella ora: (-40) doe è la awellana locale e rappresenta la deazone, che consderereo pccola. Lo slppo dell nterale d collsone, con la sboloa à sata: ' ' = ( ' ' + ' ' + ' ' + ' ' ) ( ) trascrando tern qadratc n, e tlzzando = rslta: (-4) l c ordne d randezza, se s consderano le se arazon del secondo ordne, è, t c σ (, p, dω d Ω doe rel è la eda della eloctà relata tra le partcelle e σ tot la sezone d rto totale. Il tepo τ = (nσ tot rel ) pò essere consderato coe n alore edo caratterstco del tepo d collsone.

4 Possao qnd screre l eqazone d oltzann collsonale nella ora approssata: ( + ) = τ (-4) rascrando rspetto a nel terne a snstra e assendo che la nzone tenda alla awellana nel tepo caratterstco τ. Se nel sstea sono present ort radent spazal e l terne a prodrre la assa deazone dalla awellana, per c per ordn d randezza ed n assenza d orze esterne: = τ doe L è la scala tpca del radente. tlzzando l espressone per l cano lbero edo λ = τ s ha anche : (-43) Qnd la deazone dalla awellana sarà tanto pù pccola qanto pù pccolo sarà l lbero cano edo rspetto alla scala acroscopca. e rtroao α che è l paraetro d pccolezza tlzzato da Chapan e Enso.

5 Dalla (.4) s ottene: (-43) da c, nota la nzone d dstrbzone d eqlbro : (,, = n(, (, π 3/ (,, ep (, (, = (, è possble calcolare esplctaente la pertrbazone tlzzando l eqazone d oltzann. dpende da e t attraerso n,,, pertanto: e analoaente per / =,,3 (-44) (-45) (-46) Il calcolo d, eseto tlzzando le denzon (-46) applcate alla (-45) ene oesso perché pttosto acchnoso. I dettal d qesto calcolo sono rportat n K. Han Statstcal Mechancs pa 04 e se. S ottene:

6 con Qesta espressone per la deazone dalla dstrbzone awellana ostra: che dpende essenzalente da radent d qanttà sche acroscopche, teperatra e eloctà che è proporzonale al tepo d collsone: se le collson sono rare, τ è rande, rslta aore; se sono reqent, τ pccolo, la deazone dalla awellana è nore. In ora ettorale s scre: (-47) + = K, 3 5 K + = δ τ (-47 bs)

7 Con l espressone d è possble qnd rcaare le randezze sche acroscopche al pro ordne d pertrbazone così coe sono state calcolate all ordne zero nella precedente lezone Ad esepo l lsso d enera s calcola coe: tenendo conto che, coe s e sto : e che l contrbto all nterale del II terne d è nllo, perché la nzone sotto nterale e dspar n s ottene: con: = 0= = d K τ (- 47) ( ) = + = 5 5 ) ( d d τ ρ ( ) = = 0 0 d q ρ ( ) d ρ (.48) (.48 bs), 3 5 K + = δ τ + = K

8 Eseendo l nterale (.48 bs) s ottene: (.49) che ostra coe l terne corrsponda eettaente a trasporto d enera terca, con l attore oltplcato K che dee essee dentcato coe l coecente d condcbltà terca. Il tensore d pressone s scopone coe à dscsso, n n tensore daonale d pressone (p δ ) ed n tensore a tracca nlla (Π ): Interando slla dstrbzone pertrbata al I ord ne: p = 3ρ < > Π = ( Π /3 Π δ ). che slppando l nterale denta: (, = (, (.50) dato che l I terne dell nterale e ora dspar. (.5) 5 = τ, + δ 3 K

9 Inne s rcaa: Con e K = + Coe edreo pù aant, qesto terne d pressone non-daonale perette na traserento d oento ra strat ld adacent, e l coecente η pò essere qnd nteso coe n coecente d scostà. Il tensore del sorz al I ordne d pertrbazon e denta pertanto: (.5) (.53) P = pδ η + δ (.54) 3 Va notato al proposto che coecent d condcbltà terca e scostà rcaat dall eqazone cnetca d oltzann sono n otto accordo con dat sperental s ld real ottent n laboratoro.

10 Idrodnaca d ld scos Con le espresson per q, P, K ora rcaate P = pδ K = + η K δ 3 è possble rscrere le eqazon drodnache ncorporando tern d trasporto Se s consdera η costante, l terne d sorzo d pressone nell eqazone del oto, denta: Con qesta espressone l eqazone del oto denta: ( ) ) = = ) (.4) (.55) (.56) Analoaente per l eqazone dell enera: denta: E l eqazone dell enera denta (.4) (.57) (.58)

11 Alcn tern sono nella aor parte de cas trascrabl: precsaente tern scos che contenono arazon spazal d nella (.54) e l terzo terne del secondo ebro della (-55) che corrsponde alla prodzone d calore per dsspazone scosa. Pertanto l sstea delle eqazon drodnache con tern d trasporto, screndo n loo d F/ a ndcare la orza per ntà d assa, rslta: (.59) (.60) (.6) e a sotto l noe d sstea d eqazon drodnache per ld scos. L eqazone del oto (.60) è l eqazone d Naer- Stoes. Se coecent K e η e la orza sono dat, le arabl scalar ndpendent del problea sono 5, coè 3 coponent d e tra ρ, p,, ε, coe s rcaa dalle denzon p Anche le eqazon scalar drodnache sono 5, per c l sstea è chso e rsolble

12 Le prncpal potes che hanno peresso d ottenere n sstea rsolble sono: l ndpendenza d e η dalle arabl spazal l potes che la prodzone d calore da parte delle dsspazon scose sa trascrable. S tratta d potes noralente ben ercate n ld a bassa denstà n c l cano lbero edo tra collson è bree rspetto alle scale tpche del sstea, a le collson sono essenzalente d tpo bnaro. Nel caso d ld ad alta denstà, la stazone non è d atto sostanzalente derente prché l rt che antenono l sstea coerente conserno l enera e l oento; La trattazone pertrbata GK perette pertanto l estensone della teora cnetca anche al caso d nzone d dstrbzone locale non awellana, n partcolare n presenza d ort radent spazal del capo d eloctà.