Sistemi energetici. 1 Esercitazioni SISTEMI ENERGETICI

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1 Eserctazon SISTEMI ENERGETICI Sste ed ntà d sra Il sstea d sra tlzzato è l Sstea Internazonale (S.I.). Le grandezze fsche che n esso sono assnte coe fondaental sono: Grandezza Untà d sra Sbolo teo Secondo s assa Chlograo kg lnghezza Metr teeratra Grad Kelvn K Le altre grandezze fsche sono srate tlzzando ntà d sra dervate dalle fondaental slla base delle vare legg che governano la Fsca. Ad eseo la forza, data dalla seconda legge della dnaca F a, è esressa n newton [N]. Se consderao n coro d [kg] sottoosto all accelerazone d [/s²] s ha che s qesto agsce na forza: [ ] [ ] [ ] [ ] N kg s kg s. Un sstea d sra ancora olto tlzzato n cao tecnco è l Sstea Tecnco (S.T.). Le grandezze fsche che n esso sono assnte coe fondaental sono: Grandezza Untà d sra Sbolo teo Secondo s forza Chlograo kg lnghezza Metr teeratra Grad centgrad C Talvolta, er aggore charezza, l sbolo tlzzato er esrere la forza nel S.T. è l kg. Il caone tlzzato er qantfcare la assa nel S.I. è lo stesso caone tlzzato er dentfcare la forza eso nel S.T.. Da qesta condzone è ossble rcavare la relazone tra kg e N. Infatt, n base alla seconda legge della dnaca, consderando n coro avente assa d kg erso nel cao gravtazonale terrestre, sottoosto qnd all accelerazone d gravtà ar a 9.8 /s, s ha che s qesto agsce na forza: F [kg] 9.8[/s kg ] 9.8 s 9.8[N] ar ad kg. Nel segto, vsta l dentfcazone tra l caone d assa e d eso, ndchereo l chlograo assa e qello eso con lo stesso sbolo kg. Untà d sra della ressone Poltecnco d Torno Pagna d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

2 Eserctazon Dal nto d vsta densonale la ressone è l raorto tra na forza ed na serfce. Nel S.I. è srata n Pascal ([Pa]), dove [Pa] [N/ ] Pochè l Pa raresenta na ressone d enttà esga, nel cao de sste energetc vengono correnteente tlzzat de so ltl coe kpa 3 Pa; MPa 6 Pa ed bar 5 Pa La ressone, erò, vene srata tlzzando anche altre ntà d sra, alcne n dsso, coe l atosfera tecnca [ata] e l atosfera norale [at], altre n artcolar ca e/o stazon, coe lletr d colonna d ercro [ Hg ]ed lletr d colonna d acqa [ HO ]. I fattor d conversone tra qeste ntà d sra sono: [ata] 9866,5 [Pa] [at] 35 [Pa] [ Hg ] 33,3 [Pa] [ HO ] 9,8665 [Pa] Nella tabella UNI allegata sono rortate le ntà d sra, relatvaente al S.I., delle rncal grandezze fsche e relatv fattor d conversone er le corrsondent ntà d sra ne rncal sste d sra. Relogo delle rncal esresson necessare er la rsolzone degl esercz alcatv. Pro rnco della terodnaca. Fora sostanzale (Sste chs) dove: dq e +dlde (Lez.3-4) energa del sstea chso: E U+E c +E b +E ω +... (Lez.3-4) energa nterna: U U T +U ch +... (Lez.3-4) energa cnetca: E c c / (Lez.3-4) energa otenzale ( g r ): E g gz (Lez.3-4) energa dovta al c.f.c.: E ω -rω / (Lez.3-4) e sosttendo var tern s ottene: dq ( ) + dl du + dec + deg de ω (Lez.3-4) e + Conservazone dell energa n fora eccanca ( ) dl dv + dec + deg + dlw + de ω (Lez.3-4) Poltecnco d Torno Pagna d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

3 Eserctazon altra fora del ro rnco della terodnaca: dq e + dl du + dv d vd (Lez.3-4) w Fora Elerana (Sste aert) Q de + L & E & f (Lez.5-6) dt & + energa agazznata n n sstea aerto: c E U + + gz de dt d dt V EñdV c energa d corrente: E f E + v + + gz r r E & f E & f, f A E ñc nda (Lez.5-6) (Lez.5-6) (Lez.5-6) (Lez.5-6) In condzon stazonare: dq + dl d + de + de + ( de ) (Lez.5-6) e c g ω Conservazone dell energa n fora eccanca dl vd + de + de + ( deω ) + dl (Lez.5-6) c g w Secondo rnco della terodnaca TdS dq dq + dq dq + dl (Lez.) e w e w Modell d gas Gas erfetto v RT R cost dq c dt costante P dq cv dt costante v Poltecnco d Torno Pagna 3 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

4 Eserctazon R c - c v Gas qas erfetto v RT R cost dq c dt c dq dt v v R c - c v f (T ) f (T ) Gas reale v z(,t ) RT Fnzon d stato de gas erfett energa nterna: du cv dt entala: d cdt entroa: ds c dt R dv c dt R d v T + v T Legg d trasforazon er n gas trasforazon eqazone c e sobara costante T/v cost c sotera T costante v cost socora v costante T/ cost c v adabatca reversble oltroca dq e dl w c costante v k cost k v cost c k v Poltecnco d Torno Pagna 4 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

5 Eserctazon Esercz alcatv del rnco d conservazone dell energa ) Una acchna esande 3 kg/s d gas da bar e 5 C sno ad bar, secondo na oltroca con esonente.5. S conosce L w 6 kj/kg e s vol saere la otenza nterna della acchna, nonché, eventalente, se qesta scaba calore con l eterno e qanto colessvaente. (c 5 J/kg/K, R87 J/kg/K, energe cnetche trascrabl all ngresso e all scta). ) In n anto er rscaldare n abente l ventlatore asra.5 3 /s d ara dall esterno nelle condzon d bar, 5 C e la anda n na tbazone n c è nserto n rscaldatore elettrco che le fornsce calore. L ara efflsce nell abente ad na ressone ar a qella esterna con veloctà trascrable. Saendo che l ventlatore è azonato da n otore che eroga na otenza d 3.7 kw (con n rendento eccanco della trasssone eccanca otore-ventlatore ar a.97), valtare la otenza terca rchesta al rscaldatore affnché l ara efflsca nell abente ad na teeratra d 35 C. (c 5 J/kg/K, R87 J/kg/K). 3) In n rscaldatore entra ara nelle condzon d.5 MPa, C con na veloctà d 5 /s ed esce nelle condzon d.45 MPa, 85 C con na veloctà d /s. Saendo che l rege d fnzonaento è stazonaro e che l evolzone del fldo nel rscaldatore è arossable con na oltroca d esonente, s valt l esonente, l calore assco fornto al fldo nonchè l enttà delle erdte er resstenze assve L w drante la trasforazone. (c 5 J/kg/K, R87 J/kg/K). 4) Una trbooa deve sollevare acqa da n ozzo n n serbatoo er n altezza d. Il condotto n c è nserta la oa ha n daetro costante ar a c. Le erdte er resstenze assve nel condotto e nella oa sono valtabl n n 5% del lavoro assco coto dalla oa. Calcolare la otenza del otore che azona la oa n tal condzon saendo che l acqa efflsce all atosfera con veloctà d /s. S assa n rendento eccanco nell accoaento otore-oa ar a.97. 5) Una trbna a vaore rceve na otenza d MW dal vaore che la attraversa. Le condzon del vaore all ngresso sono ar a 3 bar, 45 C e la veloctà del vaore è ar a /s. Il vaore vene scarcato dalla acchna con na veloctà d 4 /s ad na teeratra d 33 C n n abente ove regna na ressone d MPa. Deternare la ortata d vaore che attraversa la acchna. 6) In na trbna a gas dabatca gas s esandono a artre dalla teeratra d 8 C segendo na lnea d esansone d esonente.3. Saendo che l raorto d esansone (raorto tra la ressone all assone e qella allo scarco della trbna) è ar a 4 e che l calore ntrodotto dall esterno drante l esansone aonta a 3 kj/kg, deternare la teeratra alla fne dell esansone ed l lavoro d esansone. (c 5 J/kg/K, R87 J/kg/K). Poltecnco d Torno Pagna 5 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

6 Eserctazon 7) Una bobola della caactà d 5 ltr, contenente ara nelle condzon abente d bar e 3 K, è collegata trate na valvola ad n grande serbatoo contenente ara alla ressone d 5 bar ed alla teeratra d 3 K. Arendo la valvola nella bobola entra ara fno a ortare la ressone nterna a 5 bar. Trascrando gl scab d calore con l esterno drante l rocesso d reento, deternare la assa d ara che entra e la teeratra eda dell ara nella bobola al terne del reento. (c 4.5 J/kg/K, R87 J/kg/K). Poltecnco d Torno Pagna 6 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

7 Eserctazon Solzon esercz alcatv I rnco della terodnaca ) La acchna lavora n condzon stazonare. Alcando l rnco d conservazone dell energa n fora elerana tra le sezon d ngresso () e d scta () della acchna, sosta otrce, ossao scrvere: Q e - L + E c + dove: E c c(t -T ) La teeratra T è deternable trate l esressone della oltroca che nsce gl stat e del fldo: T T (73+5)*(/)^(,5/,5) 358,79 K c(t -T ),5*(358,79-773) - 434,9 kj/kg Il lavoro che l fldo esercta sgl organ obl della acchna ò essere deternato dall eqazone dell energa n fora eccanca: L vd Ec Lw vd L L ntegrale defnto tra e ha solzone: vd v RT β (,5/,5)*87*773*(-/(^(,5/,5)))/ 3 356,63 kj/kg L kj/kg P L 3*356,63 883,9 kw Il calore assco scabato con l esterno rslta qnd: w Q e L + 94,63-434,9-4,8 kj/kg (negatvo n qanto sottratto al fldo che s esande attraverso la acchna). ) Con rferento allo schea raresentato a lato, alchao l rnco d conservazone dell energa, nella fora tlzzata er sste aert: Q& e + L& ( + Ec ) dove: E c c(t -T ),5*(35-5) 3,5 kj/kg L& L & P η P,97*3,7 3,59 kw a Poltecnco d Torno Pagna 7 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

8 Eserctazon La ortata n assa che attraversa l sstea s deterna oltlcando la ortata n vole (V & ), nota nella sezone d ngresso, er la denstà assca nella stessa sezone. ρ 5 /(87*78),53 kg/ 3 RT & ρ V&,53*,5,88 kg/s La otenza terca rchesta dal rscaldatore è qnd data da: Q& η P,88*3,5-3,5953,9 kw e a 3) L evolzone del fldo nel rscaldatore è arossable con na oltroca e ertanto, ndcando con edc e rsettvaente le condzon del fldo all ngresso e all scta, s ha: T da c s ottene: T ln( ) ln(,45/,5)/ln(3/483) -,5;, ln T T ( ) Il calore assco fornto al fldo s deterna trate l esressone del I rnco, scrtto secondo l crtero d stdo elerano: Q e - L + E c + con L n qanto non c sono organ obl che scabano lavoro con l fldo Q e c(t -T )+(c -c )/,5*(3-483)+( -5 )// 3 677,95 kj/kg Il lavoro delle resstenze assve drante la trasforazone è deternable trate l esressone del I rnco n fora eccanca L vd Ec L w ; da c ( c c ) Lw vd Ec RT + -,/(-,889)*87*483*((,45/,5)^(-,889/,)-) +(5 - )/ 6987 J/kg 6,99 kj/kg 4) Alchao l rnco d conservazone dell energa n fora eccanca tra l elo lbero del serbatoo d asrazone della oa (edce a) e l scta del condotto d andata (edce ), tenendo resente che l fldo d lavoro è acqa, che consderereo ncorble. L vd+ Ec + E g + Lw + Ec + E g + Lw g( H Ha ) + Lw ρ Poltecnco d Torno Pagna 8 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

9 Eserctazon dove, nell lta esressone, s è tlzzata la defnzone d carco totale c H + + z ρg g at c Nella sezone d scta l carco totale è H + + z ρg g at al elo lbero del serbatoo d asrazone è H a + za ρ g sosttendo qeste esresson nell eqazone d artenza s ottene: c L Lw g( z za ) + 9,8*+ / 98 J/kg L 98/,85 3,94 J/kg Per calcolare la otenza del otore che azona la oa occorre dara deternare la ortata n assa che anda la oa: φ ρπ c *3,4*(*- ) /4* 5,7 kg/s 4 La otenza rchesta dal otore rslta essere P L & PM 5,7*3,94/,97/ 3 3,77 kw η η 5) Alchao l ro rnco della terodnaca n fora elerana tra ngresso () e scta () della trbna a vaore, tlzzando la convenzone delle acchne otrc: Q e - L + E c + con Q e erchè la acchna è adabatca. Dal dagraa d Moller è ossble deternare l entala del vaore n, ntersecando l sobara d 3 bar con l sotera d 45 C; s ottene 3344 kj/kg. Analogaente, le condzon del vaore all scta della trbna sono deternabl trate l sobara a bar e l sotera a 33 C: 35 kj/kg. c c L ( -4 )// 3 4, kj/kg & P * 3 /4, 44,6 kg/s 6,6 t/h L 6) La teeratra d scarco de gas dalla trbna è deternable tlzzando l eqazone della trasforazone oltroca tra ngresso (3) e scta (4) della acchna: Poltecnco d Torno Pagna 9 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

10 Eserctazon T3 T3 T4 73/4^(,3/,3) 779, K 3 β 4 Il lavoro assco è dato dall esressone ( E ): ( T3 T ) Qe L Qe c 4 +,5*(73-779,)+3 338,46 kj/kg c 7) Con rferento allo schea raresentato a lato, alchao l rnco d conservazone dell energa n fora lagrangana al sstea costtto dalla assa, nzalente resente nella bobola ra dell aertra della valvola, e dalla assa che, resente nzalente nel serbatoo, sarà ntrodotta nella bobola al terne del reento. Pertanto la assa che colessvaente sarà resente nella bobola al terne del reento varrà +. dq e +dldedu+de c +... Trascrando gl scab d calore drante l rocesso d reento ed ntegrando l esressone tra l stante edataente ra dell aertra della valvola e l stante n c ha terne l reento s ottene: L U + E c U ( +) U f - U - U S n qanto la varazone d energa cnetca è trascrable tra l stante d fne e l stante d nzo reento. Il lavoro effettato dalle forze esterne sl sstea è dato da: L dv dv V S S S + + S avendo ndcato con S + la serfce che delta l sstea con l esterno, e con V l vole occato dalla assa nel serbatoo ra del rocesso d reento. Alcando qnd l eqazone d stato de gas erfett alle asse e all nzo del rocesso e a + al terne del reento, ossao scrvere: SV RTS V RT V f SV + RT RT f f ed esrendo le energe nterne er l ara, consderata coe n gas erfetto, U c v T + cost c v T Sosttendo le esresson deternate nella seconda eqazone s ottene: Poltecnco d Torno Pagna d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

11 Eserctazon RT V S S cvt cvt f RT f c T c c c v S R R R cv V V ( ) ( S ),639 kg Rc T krt v v v da c: ( R + c ) T V V V ( ) S S V 5,8* -3 kg RT SV T 45, K f R( + ) v S S S S Poltecnco d Torno Pagna d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

12 Eserctazon Esercz sgl ant a cclo Rankne 8) Un anto teroelettrco con trbna a vaore, rgeneratvo, consa 63 t/h d cobstble avente otere calorfco nferore a ressone costante H 4 MJ/kg e rchede er la condensazone /h d acqa che s rscalda d C nel assaggo attraverso l condensatore. Il rendento del generatore d vaore vale η b.9; gl aslar assorbono na otenza d MW, le erdte eccanche della trbna aontano a 5 MW. Calcolare la otenza tle dell anto ed l rendento globale. 9) Nell anto a vaore a rcero arzale scheatzzato nelle condzon nonal d fnzonaento s doandano: la otenza tle; l rendento globale; la ortata d cobstble (avendo esso n otere calorfco nferore H 4 kj/kg). (I calcol vengano effettat otzzando che l lqdo sa resttto dall tlzzazone terca nelle condzon d satrazone alla ressone d 5kPa, e che all scta del degasatorergeneratore l acqa s trov nelle condzon d satrazone a kpa. S not che qest lta otes è sale n robe d qesto to a eno che l lqdo non sa sottoraffreddato. In qesto caso sarà ndcata la teeratra dell acqa all scta dello scabatore. Per deternare le condzon del vaore sllato nella trbna d bassa ressone (BP) s ò otzzare che: a) l esansone sa raresentata da na retta sl dagraa d Moller; b) l rendento terodnaco tra ngresso trbna e nto d estrazone sa ar a qello dell ntero coro della trbna. Le de otes, entrabe arossate, coortano rsltat leveente dvers. L anto n esae è d to cogeneratvo, atto coè alla rodzone congnta d lavoro e calore, e ertanto la defnzone d rendento globale che occorre adottare è d to econoco). ) Un anto convenzonale a vaore ha le segent caratterstche n condzon nonal: ressone all scta del generatore d vaore O bar; teeratra all scta del generatore d vaore t O 55 C; ressone al condensatore k,5 bar: rendento terodnaco nterno della trbna η θ.8. Calcolare l rendento tle del cclo assendo n rendento organco η.96. Deternare noltre l rendento tle qalora s renda l anto rgeneratvo. Sorre che lo sllaento rgeneratvo venga effettato alla ressone d 3 bar e che la frazone sllata, desrrscaldata e condensata, serva a ortare, n n condensatore a scela, Poltecnco d Torno Pagna d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

13 Eserctazon l acqa all scta dal condensatore alla teeratra corrsondente alle condzon d satrazone alla ressone d 3 bar. ) In n anto a recero arzale le condzon del vaore all ngresso della trbna sono: 6 bar e 5 C. Le condzon del vaore all estrazone sono ar a 3 bar e 9 C. La trbna d bassa ressone ha rendento terodnaco nterno η θ.8, e la ressone al condensatore vale.6 bar. In tal condzon l generatore d vaore rodce na ortata d vaore ar a 6 t/h (η b,9) e l anto svla na otenza d 35 MW (η,95). Deternare la ortata estratta ed l rendento globale dell anto nell otes che la ortata estratta venga rentegrata alla stessa teeratra della condensa rovenente dal condensatore. Poltecnco d Torno Pagna 3 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

14 Eserctazon Solzone esercz sgl ant a cclo Rankne 8) La otenza terca fornta al fldo nel generatore d vaore è data dall esressone: Q & b η bh,9*63/3,6*4 63 MW La otenza terca sottratta al fldo nel condensatore vale: Q& c h h Th chρhqh T 4,868**665/36** -3 37,93 MW La otenza tle dell anto vale: P P Pax P Q& Q& Pax P 63-37, ,7 MW e l rendento globale: P η g ηb &,9*4,7/63,344 9) Q Con rferento alla sbologa ndcata sllo schea dell anto, dal dagraa d Moller s rcava: O 374,3 kj/kg Hs 637,3 kj/kg Q 37, kj/kg Ks 4,6 kj/kg dalla defnzone d rendento soentroco n trbna abbao: H O η ϑ ( ) AP O H s 764,7 kj/kg η 53, kj/kg ( ) K Q ϑbp Q K s Dalle tabelle delle crve lt del vaore s deterna noltre - lqdo scta condensatore L 5,5 kj/kg - lqdo satro scta tenza terca U 64, kj/kg Per deternare le condzon del vaore sllato a bar (nto E) drante l esansone nella trbna BP otzzao che l rendento terodnaco tra Q ed E valga,85, lo stesso valore che vene fornto er ttto l coro d BP (è qesta n otes d lavoro n ancanza d dat ù recs relatv alle condzon del vaore sllato). Es 36,8 kj/kg η 355, kj/kg ( ) E Q ϑ BP Q E s La ortata estratta drante l esansone nella BP s deterna edante n blanco allo scabatore a scela: ( & BP δ ) L + δ & E BPR da c Poltecnco d Torno Pagna 4 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

15 Eserctazon R L δ& BP E L l entala del nto R s deterna dalle tabelle delle crve lt alla ressone d bar: R 54,7 kj/kg rslta qnd R L δ BP *(54,7-5,5)/(355,-5,5),6 t/h 3.38 kg/s E L La otenza tle fornta dall anto è data dall esressone: P η + + δ [ ( ) ( ) ( )( )] AP O H BP Q E BP,96*[*(374,3-764,7)+*(37,-355,)+(-,6)*(355,-53,)]/3,6/ 3 45, MW entre la otenza terca che vene fornta al fldo nel generatore vale: Q + & AP ( ) ( ) O M BP Q H E dove M raresenta l entala del lqdo ra dell ngresso nel generatore d vaore. Per deternare qesto valore occorre effettare n blanco energetco al nodo d conflenza tenza terca lqdo scta dal degasatore-rgeneratore: ( AP BP ) U + BPR M (*64,+*54,7)/ 57,4 kj/kg AP AP ( ) + ( ) Q& & O M BP Q H [*(374,3-57,4)+*(37,-764,7)]/3,6/ 3 64, MW La ortata d cobstble s deterna dalla defnzone d rendento del generatore d vaore: Q& b 64,/(,9*4) 4,56 kg/s η H b Il rendento globale del cclo è defnto dall esressone: P ηg ηb Q& Q& U la otenza terca fornta all tenza terca è Q& *(764,7-64,)/3,6/ 3 59, MW U ( )( ) AP P BP H U η g ηb Q& Q&,9*45,/(64,-59,),387 U K Poltecnco d Torno Pagna 5 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

16 Eserctazon ) Con rferento al cclo Rankne ndcato a lato, dal dagraa d Moller s rcava: O 3499,8 kj/kg Ks 59,8 kj/kg e dalla defnzone d rendento soentroco: η 347,8 kj/kg K O ϑ ( ) O K s Dalle tabelle delle crve lt del vaore s deterna noltre er l lqdo all scta del condensatore L 37,77 kj/kg Il rendento tle del cclo base è dato dalla relazone: P L L O K η Q& η η,96*(3499,8-347,8)/(3499,8-37,77),39 Q Q O L Nel caso d cclo reso rgeneratvo, le condzon del vaore sllato alla ressone d 3 bar (nto E) sono deternate n odo analogo a qanto fatto nell eserczo 9). Es 69,3 kj/kg η 83,4 kj/kg E O ϑ ( ) O E s Per la resenza dello sllaento rgeneratvo la defnzone del rendento tle deve tener conto del fatto che la ortata n assa attraverso la trbna non è costante, e qnd: δ ( O E ) ( E K ) P + ( O E ) + ( δ )( E K ) η η η Q& ( ) ( ) O R O R dove R raresenta l entala d satrazone del lqdo a 3 bar; dalle crve lt R 56,4 kj/kg Dal blanco del rgeneratore a scela s ha: δ & E + ( δ ) L R δ& R L da c (56,4-37,77)/(83,4- E L 37,77),59 δ& ( O E ) + ( E K ) η η &,96*[3499,8-83,4+(-,59)*(83,4- ( ) O R 347,8)]/(3499,8-56,4),353 Poltecnco d Torno Pagna 6 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

17 Eserctazon ) Con rferento al cclo Rankne ndcato a lato, edante l dagraa d Moller s rcavano le segent entale er l vaore: O 34, kj/kg H 845, kj/kg Ks 38,6 kj/kg dalla defnzone d rendento soentroco nella trbna BP: η 359,9 kj/kg ( ) K H ϑbp H K s Le tabelle delle crve lt del vaore danno, er l scta dal condensatore L 5,5 kj/kg La ortata estratta er l tenza terca è deternable dall esressone d otenza tle dell anto: [ AP( O H ) + ( AP U )( H K )] AP ( O K ) P η ( ) P η & [6/3,6*(34,-359,9)-35* 3 /,95]/(845,-359,9),38 U H K kg/s La otenza terca fornta all tenza rslta: Q &,38*(845,-5,5)/ 3 57,59 MW U U ( ) H L Al generatore d vaore s fornsce: Q & 6*(34,-5,5)/3,6/ 3 45,36 MW AP ( ) O L Il rendento globale dell anto a rcero arzale vale qnd: P η g ηb Q& Q&,9*35/(45,36-57,59),359 U Poltecnco d Torno Pagna 7 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

18 Eserctazon Esercz sgl gell ) Un gello soentroco ed adabatco rceve ara a 7 C ed alla ressone d 6 bar e la scarca alla ressone d bar; la veloctà del fldo nella sezone d ngresso dell gello è ar a /s. Saendo che l area della sezone d scta vale A 3 c, calcolare la la ortata n assa e la veloctà all scta. 3) Un gello dabatco rceve del vaore a bar, 4 C con veloctà ar a /s. Le condzon del vaore nella sezone d scta dell gello (A c ) sono d 3 bar e 5 C. Saendo che drante l esansone l vaore rceve n calore assco ar a 4 kj/kg, s detern la veloctà del vaore all scta dell gello e la ortata n assa. 4) Un gello convergente-dvergente, adabatco, esande ara dalle condzon d onte, T (c ) sno alla ressone d bar. Nella sezone rstretta, d area ar a c, s ha na ressone d 3 bar ed na teeratra d 5 K. Nella sezone d scta s rleva na teeratra d 35 K. Consderando l esansone soentroca nel tratto convergente dell gello, s deternno la ortata d ara che attraversa l gello, la veloctà dell ara nella sezone d scta, l area della sezone d scta e le condzon (ressone e teeratra) nell abente d onte. (L esansone è soentroca nel solo tratto convergente dell gello e ertanto le relazon rcavate er l densonaento deale d n gello sono alcabl al solo tratto convergente. S not noltre che l esansone contna nel tratto dvergente dell gello e qesto erette d care se l efflsso è crtco o sbrtco) 5) Un gello convergente-dvergente esande ara da n abente a ressone d.5 bar, teeratra d 543 K e veloctà trascrable, sno ad n abente ove regna la ressone d bar. L gello è caratterzzato da na sezone d scta d 5,493 c ed n raorto delle resson n condzon d adattaento ar a.. Per le condzon d lavoro ndcate, valtare la ortata d ara che attraversa l gello e la veloctà d efflsso del fldo nella sezone d scta. (L gello non lavora scraente n condzon d adattaento, a, rcordando l sgnfcato d raorto crtco delle resson, è ossble dre che l efflsso è crtco). 6) Un gello De Laval, soentroco, è rogettato er rcevere na ortata d kg/s d vaore a 6 bar e 5 C con veloctà d 5 /s e ressone d scarco ar a bar. Calcolare la ortata d vaore che attraversa l gello qando qesto è alentato con vaore a 5 bar, 4 C e veloctà trascrable, entre la ressone nell abente d valle è stata varata n odo da antenere l gello adattato. S detern anche l valore della ressone nell abente d scarco. (La ressone d scarco dell gello n condzon d rogetto è anche la sa ressone d adattaento; è noto qnd l raorto d adattaento dell gello, che raresenta na caratterstca dell gello dendente dalla sa geoetra e dal fldo d lavoro (k). L nflenza della varabltà dell esonente k sl valore del raorto d adattaento s ò noralente trascrare). Poltecnco d Torno Pagna 8 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

19 Eserctazon Solzon esercz sgl gell ) Indchao le condzon del fldo nell abente d onte e nell abente d valle dell gello rsettvaente con edc e. La teeratra del fldo all scta dell gello è data dall eqazone dell soentroca alcata tra abente d onte ed scta: k k T T * (7+73)*(/6)^(,4/,4) 583,5 K ρ RT RT 5 /(87*583,5),597 kg/ 3 La veloctà all scta s deterna alcando l rnco d conservazone dell energa n fora elerana tra abente d onte e sezone d scta dell gello: Q + L + E e c Nel caso d gello L (non c sono organ obl che scabano lavoro con l fldo); noltre la trasforazone è adabatca, e qnd Q e. Rslta qnd: da c c c ( T T ) c + c ( T T ) ( +*4,5*( ,5)) / 89,6 /s La ortata d ara saltta dall gello vale: ρ A c,597*3* -4 *89,6,6 kg/s. 3) Pochè l gello è dabatco, occorre alcare l I rnco, scrtto secondo l crtero d stdo elerano, n fora coleta: Qe + L Qe + Ec S ottene: c Qe + c + ( ) I valor d entala s deternano trate l dagraa d Moller, ochè sono not, er entrab nt, valor d ressone e teeratra: 347,5 kj/kg 967, kj/kg c Qe + c + ( ) (*4* 3 + +*(347,5-967,)* 3 ) / 89, /s La ortata d vaore saltta dall gello s deterna edante l eqazone d contntà: Ac & v dove l vole assco s rcava dal dagraa d Moller nell ntersezone tra l sobara e l sotera n : v,796 3 /kg Poltecnco d Torno Pagna 9 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

20 Eserctazon A c v 4) & (* -4 *89,)/,796, kg/s. L esansone del fldo avvene anche lngo l tratto dvergente dell gello e ertanto l De Laval lavora n condzon crtche. Calcolao la ortata n assa con rferento alle condzon nella sezone rstretta: ρr Ar cr r ρ r 3* 5 /(87*5),9 kg/ 3 RTr Nelle condzon d fnzonaento ndcate, la veloctà nella sezone rstretta è ar alla veloctà del sono: cr cs krt r r (,4*87*5) / 448, /s ρr Ar cr,9** -4 *448, 9,37 kg/s Pochè l evolzone del fldo è soentroca nel tratto convergente dell gello, è ossble calcolare le condzon nell abente d onte trate la defnzone d ressone crtca e d teeratra crtca: r 3/((/,4)^(,4/,4)) 5,68 bar k k k + Tr T T 5/(/,4) 6 K k + Per deternare la veloctà c ossao alcare l rnco d conservazone dell energa tra sezone rstretta e sezone d scta: c ( T T ) c ( T T ) c ( T T ) c r (*4,5*(6-35)) / 78,7 /s e l area della sezone d scta s rcava dall eqazone d contntà A ρ c La denstà nella sezone d scta è data dall eqazone d stato: ρ 5 /(87*35),996 kg/ 3 RT RT S è osto l gaglanza tra e n qanto, qalnqe sa l to d trasforazone segta dal fldo nell gello, la ressone slla sezone d scta s dovrà conqe ortare al valore d ressone dell abente d valle. Qesto otrà avvenre trate l evolzone soentroca (gello adattato) ore l reqlbro della ressone avverrà o trate n rto fldodnaco (er > ad ), retto o oblco, che otrà verfcars o all nterno o nella sezone d scta dell gello, o trate na ostesansone (er < ad ), che avverrà sere nella sezone d scta. Poltecnco d Torno Pagna d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

21 Eserctazon A 9,37/(,996*78,7) 3,7* -4 ρ c 5) Il raorto tra ressone d valle (edce ) e ressone totale d onte (edce ) nel fnzonaento del De Laval vale: k,4 < r,58 k + cr k Pertanto, essendo l raorto dscrnante serore al raorto crtco delle dscr resson che s verfca nella sezone rstretta dell gello, ossao afferare che l fnzonaento dell gello è crtco. Sareo ott gngere alla stessa conclsone, senza effettare nessn calcolo, n base all osservazone che nel tratto dvergente s ha n esansone del fldo, e qesto è ossble solo n cao sersonco. La ortata ò essere deternata n condzon d adattaento, n qanto a artà d condzon d onte, la ortata rane costante er gello crtco, ndendenteente dal raorto d esansone. A k k ρ k ad ρ,5* 5 /(87*543),6 kg/ 3 RT RT k + k ad Poltecnco d Torno Pagna d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca 5,493* -4 *((*,4/,4)*,5* 5 *,6*[,^(/,4)-,^(,4/,4)]) /,3 kg/s Per deternare la veloctà nella sezone d scta non è ossble tlzzare le esresson d c rcavate er le condzon d rogetto n qanto la trasforazone non è soentroca nel tratto dvergente dell gello. Le eqazon tlzzabl sono: conservazone dell energa tra sezone d onte e sezone d scta; eqazone d contntà ed eqazone d stato de gas erfett. c c ( T T ) ρ A c ρ RT RT Posto, con le otvazon vste nell eserczo recedente, s hanno tre eqazon n tre ncognte. Da qesto sstea è ossble, er sosttzone, rcavare la segente esressone d secondo grado n ρ. k ρ k ρ k k ρ A

22 Eserctazon Delle de solzon ossbl, na è negatva, e qnd la sola solzone fscaente accettable è raresentata dal valore: ρ,74 kg/ 3 La teeratra nella sezone d scta s rcava dall eqazone d stato: T 488,3 K Rρ La veloctà d efflsso vale: c c T T (*4,5*( ,3)) / 33,5 /s ( ) E ossble calcolare la veloctà del sono nella sezone d scta cs krt (,4*87*488,3) / 44,94 /s Da valor deternat s dedce che l flsso è sbsonco n scta, ovvero l adattaento della ressone nella sezone d scta è stato effettato trate n rto fldodnaco. 6) Le roretà del fldo n ngresso all gello s deternano trate l dagraa d Moller: 6 bar; t 5 C: v,93 3 /kg; 395,7 kj/kg Dalla defnzone d entala totale c + 336,96 kj/kg s rcavano le condzon total a onte dell gello: La ressone e l vole total s ottengono, trate l dagraa d Moller, consderando la trasforazone soentroca dallo stato fno al lvello d entala totale. 65,9 bar v,88 3 /kg Il raorto d adattaento dell gello vale /65,9, ad e, ochè l raorto d adattaento dende sostanzalente dalla sola geoetra dell gello, la nova ressone nell abente d valle è: ' ' 6,3 bar ad avendo ndcato con l ace le grandezze relatve alle nove condzon. Per deternare la ortata che attraversa l gello qando s odfcano le condzon d onte del fldo d lavoro occorre consderare la relazone della ortata valda n condzon d efflsso soentroco nell gello De Laval: A v k k k ad k+ k ad v f k, v f ( k ) Poltecnco d Torno Pagna d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

23 Eserctazon In condzon d crtctà er n deternato gello la ortata n assa dende dalle condzon d onte e da na fnzone relatvaente colessa d k. Trascrando l nflenza della ccola varazone d k s ottene: v s ha qnd: ' v ' v ' ' v v ' Le nove condzon total a onte dell gello concdono con le condzon statche n qanto la veloctà del fldo n ngresso è trascrable. Le roretà s deternano dal Moller: 395,5 kj/kg v,578 3 /kg S ottene qnd: ' v *((5*,88)/(65,9*,578)) / *,33 3,3 kg/s v ' E ossble deternare l valore edo dell esonente k nel cao d lavoro dell gello. Per le condzon nonal s consder l soentroca dalle condzon d onte alla ressone d scarco. Trate l dagraa d Moller s deterna: bar: s 78,38 kj/kg; v,986 3 /kg Il valore d k deve soddsfare la relazone: k k v v da c s ottene k ln ln ( ) ( v v ),75 Nelle nove condzon d fnzonaento, dal Moller s rcava: 6,3 bar: s 78,7 kj/kg; v,37 3 /kg e qnd k' ln ln ( ' ') ( v ' v '),67 Se non s fosse trascrata l nflenza della varabltà d k, tlzzando l esressone coleta della ortata n condzon d adattaento, tento conto dell nflenza dell esonente k sl valore d adattaento, s sarebbe ottento & ' v v ' f ( k', ' ') f ( k, ) 3,3*(,355/,355) 3, kg/s con n errore relatvo, n odlo, nferore al %. Poltecnco d Torno Pagna 3 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

24 Eserctazon Esercz slla regolazone d ant a vaore 7) Un anto a vaore a recero arzale è stato rogettato er le segent condzon d fnzonaento: -vaore rodotto dal generatore d vaore: t/h a 4 bar e 4 C; -trbna d alta ressone (AP): rendento terodnaco nterno 4 bar; -trbna d bassa ressone (BP): rendento terodnaco nterno η.785, ( k,crt ) AP ϑ AP η ϑ.8, ( BP k,crt ) BP. bar; -condensatore: ressone k. bar; -tenza terca: 7 t/h d vaore a 5 C. Al fne d otenzare l anto, l generatore d vaore vene sosttto con n generatore n grado d fornre l vaore a 5 bar e 45 C. Mantenendo costant la ressone d estrazone e qella d condensazone, calcolare la ortata d vaore rodotta dal novo generatore, la nova ortata nvata all tenza terca e la otenza erogata dall anto. (Il dato k,crt ndca l valore d ressone allo scarco dscrnante er c la trbna n esae, con le assegnate condzon d fnzonaento, nza a lavorare n cao crtco. E qnd ossble deternare se le de trbne lavorano n cao crtco o n cao sbcrtco. Per la trbna BP l raorto d esansone n condzon nonal d fnzonaento è edataente deternable, entre er la trbna AP è necessaro valtare dara la ressone allo scarco. Tale ressone ò essere rcavata, edante calcolo teratvo, onendo che l rendento soentroco d esansone sa ar al valore fornto e che la teeratra del vaore allo scarco della trbna sa d 5 C. Nell anto otenzato occorrerà calcolare nov raort d esansone er verfcare se l novo cao d lavoro delle de trbne è crtco o sbcrtco. Per la trbna BP, ochè le resson d onte e d valle rangono costant, non caba l cao d lavoro rsetto alle condzon nonal, entre er la trbna d AP l raorto delle resson dnsce e ertanto l cao d lavoro otrebbe essere dverso da qello nonale). 8) In condzon d rogetto, n anto d trbna a vaore consa t/h d cobstble (H 4 MJ/kg) rodcendo vaore a 5 C e 3 bar (η b.88). Al condensatore vene antenta na ressone ar a. bar e la trbna ha n rendento terodnaco nterno ar a.8 e k,crt.3 bar Regolando l anto er lanazone all assone della trbna, la ortata d cobstble vene rdotta a 5 t/h. Sost costant l rendento del generatore, qello della trbna, la ressone al generatore e qella al condensatore, calcolare la otenza fornta dall anto nelle nove condzon d lavoro (η η 95). 9) Una trbna ltstado revede n ro stado ad azone, regolato er arzalzzazone, ed na sccessone d stad a reazone. Le condzon nonal d fnzonaento revedono: - stado ad azone: grado d arzalzzazone nllo, condzon del vaore all assone d bar e 4 C, ressone del vaore allo scarco 4 bar, rendento terodnaco nterno η θ.7, ortata t/h; Poltecnco d Torno Pagna 4 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca

25 Eserctazon - gro a reazone: ressone allo scarco.5 bar, rendento terodnaco nterno η θ.8, k,crt.8 bar. S detern la ressone d scarco dello stado ad azone, a artà d condzon del vaore a onte e d ressone allo scarco dell ntera trbna, qando l grado d arzalzzazone dello stado ad azone vene ortato a.3. S calcol noltre la otenza della trbna nelle nove condzon, sonendo nvarat rendent terodnac delle trbne ed l rendento organco (η o.96). (S not che l raorto d resson crtco dello stado ad azone è qello del solo dstrbtore. Esso sarà qnd rosso a.5 essendo l dstrbtore scheatzzable coe n nsee d gell ost n arallelo) ) Una trbna a vaore ltstado n condzon d rogetto ha le segent caratterstche: - condzon del vaore all assone: 5 bar, 45 C e veloctà trascrable; - condzon del vaore allo scarco: k. bar e k,crt bar; - ortata d vaore: t/h. Calcolare la ortata d vaore che attraversa la trbna qalora le condzon del vaore all assone dvengano ar a 3 bar e 35 C e la ressone al condensatore sa d bar. Poltecnco d Torno Pagna 5 d 5 Data lta revsone 5/6/ Atore: Antono Mttca