Termodinamica della radiazione di corpo nero

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1 Termodnamca della radazone d corpo nero L. P. 5 Dcembre 2007 La teora termodnamca della radazone d corpo nero, svluppata da Stefan, Boltzmann e Wen negl ultm decenn del 19 secolo, è d estrema mportanza storca. Infatt l esstenza d questa potente teora motvò lo studo spermentale dettaglato dello spettro della radazone d corpo nero, da parte d Lummer e Prngshem, e pù tard, con grande accuratezza, da Rubens e Kurlbaum. A loro volta, quest rsultat motvarono la teora d Planck della radazone d corpo nero, che costtuì l occasone per l entrata n scena de quant. 1. Legg d Krchhoff sull emssone e l assorbmento della radazone Supponamo che della radazone elettromagnetca d frequenza angolare ω colpsca un corpo alla temperatura T. Una parte d questa radazone verrà rflessa e una parte verrà assorbta dal corpo. Detta I(ω) la potenza della radazone ncdente, la potenza assorbta dal corpo sarà par a α(ω, T)I(ω), che defnsce l coeffcente d assorbmento α(ω, T). D altra parte, trovandos a temperatura T, l corpo emetterà della radazone elettromagnetca. Indchamo con di out (ω, T) la potenza emessa dall untà d superfce del corpo n onde elettromagnetche d frequenza compresa fra ω e ω + dω. Possamo qund defnre l emttvtà ǫ(ω, T) del corpo medante la relazone di out (ω, T) = ǫ(ω, T) dω. (1) Krchoff mostrò che, se l concetto d equlbro termodnamco vale per l energa radante, l rapporto fra ǫ(ω, T) e α(ω, T) è una funzone unversale, proporzonale alla denstà spettrale Ψ(ω, T) dell energa radante all equlbro alla temperatura T, coè alla denstà d energa, per untà d volume e d frequenza, contenuta dalla radazone elettromagnetca d frequenza angolare compresa fra ω e ω + dω. In effett, supponamo che l nostro corpo s trov contenuto entro una cavtà contenente energa radante, e che tutto l sstema sa n equlbro alla temperatura T. Allora, stante per stante, l corpo verrà ad essere colpto da radazone. Per fssare le dee, mmagnamo d rcoprre l corpo con uno schermo rflettente, che rfletta perfettamente la radazone, tranne per una pccola superfce d area S, che lasca

2 Termodnamca della radazone d corpo nero 2 passare solo la radazone d frequenza angolare compresa fra ω + dω. Qund l corpo rceve una radazone d ntenstà di(ω, T) = κsψ(ω, T) dω, dove κ è una costante che, come vedremo pù avant, vale c/4, dove c è la veloctà della luce. D questa radazone, ne vene assorbta una frazone α(ω, T). Qund la temperatura del corpo camberebbe, a meno che la potenza ǫ(ω, T)S dω emessa dal corpo non sa esattamente uguale a di(ω, T). Ottenamo così ǫ(ω, T) = κα(ω, T) Ψ(ω, T). (2) In partcolare, se l corpo è perfettamente nero (coè assorbe totalmente tutte le frequenze che lo colpscono), s ha α = 1, per cu ǫ(ω, T) = κ Ψ(ω, T). (3) Lo spettro d emssone del corpo nero è qund proporzonale alla denstà spettrale dell energa radante alla temperatura T. Questa relazone c nsegna anche come realzzare un corpo perfettamente nero: basta consderare una cavtà contenente energa radante, che comunch con l esterno tramte un pccolo foro. In effett n questo caso samo perfettamente scur che l suo spettro d emssone sa propro uguale a Ψ(ω, T). In pratca, tutte le frequenze che entrano dal foro vengono rflesse un gran numero d volte dalle paret della cavtà fno ad essere prma o po assorbte. 2. Relazone fra pressone ed energa nterna Consderamo ora un treno d onde elettromagnetche caratterzzato dal vettore k che s muove nella drezone determnata da k alla veloctà della luce c. Indchamo con E la denstà d energa per untà d volume assocata a questo treno d onde. Allora la quanttà d energa trasportata dall onda, che passa per una superfce d area S normale ad n nell untà d tempo è data da E = ESc. Inoltre l onda elettromagnetca trasporta anche quanttà d moto. La quanttà d moto trasportata dall onda attraverso la superfce d area S normale a k è data da E k/(ck). Pù n generale, ndcando con n l vettore normale alla superfce consderata, la quanttà d moto trasportata dall onda che passa attraverso questa superfce è data da E ks cos θ/ck = E S cos θ k/k, dove θ è l angolo compreso fra k e n. Supponamo adesso che la radazone sa contenuta n una cavtà cubca dalle parat rflettent, poste n x = ±L/2, y = ±L/2, z = ±L/2. A un onda d vettore d onda k = (k x, k y, k z ), con k x > 0, che s drge verso la parete posta n x = L/2, è assocata l onda rflessa d vettore d onda k = ( k x, k y, k z ) che se ne allontana. Qund la quanttà d moto dell onda è varata, e questo è dovuto al fatto che la parete esercta una forza sull energa radante. Questa forza è par alla varazone della quanttà d moto subta dall onda nell untà d tempo. Usando la relazone appena ottenuta, s ha F k = 2E S cos 2 θ, dove è l versore dell asse x. La pressone eserctata dalla parete sulla radazone s ottene sommando questo contrbuto su tutt valor d k relatv alla radazone che colpsce la parete consderata

3 Termodnamca della radazone d corpo nero 3 (n cu coè k x > 0), e dvdendo per l area L 2 della parete. Supponendo una dstrbuzone sotropa della radazone, questo corrsponde a 2E cos 2 θ, dove cos 2 θ è dato da cos 2 θ = 1 π/2 2π dθ sn θ dφ cos 2 θ = 1 4π (4) Questo rsultato s può ottenere medante un calcolo esplcto, o tenendo presente che esso corrsponde alla metà del valor medo d kx 2 dvso per k 2, valutato a k fsso su tutte le drezon: e questo valor medo è evdentemente par a k 2 /3. Da questo ragonamento, ottenamo la relazone fra la pressone p eserctata dalla radazone e la denstà E/V della radazone stessa: p = 1 E 3 V. (5) 3. Teorema del vrale È struttvo dervare questa relazone con un altro procedmento, che fa uso del teorema del vrale. Dervamolo dapprma per un sstema d partcelle lbere d massa m, contenute entro un recpente cubco d volume V. Consderamo la quanttà K = r p. (6) Calcolamone la dervata rspetto al tempo. S ha K = ṙ p + r ṗ = r F + p 2 m. (7) Calcolamo adesso la meda temporale d questa relazone su un tempo molto lungo, per un gas all equlbro. Poché l sstema è all equlbro, K const., e qund dk/dt 0. Qund all equlbro s ha E kn = p 2 2m = 1 r F. (8) 2 La meda che appare a secondo membro è chamata vrale. Nel caso d partcelle ndpendent contenute entro un recpente, essa può essere calcolata come segue. Consderamo le paret parallele al pano yz, una posta n x, l altra n x L. In corrspondenza della prma, s ha r F = pl 2 x, e l altra dà pl 2 (x L). La somma de due contrbut è qund pl 3 = pv. Sommando sulle altre facce ottenamo fnalmente 3pV. Qund E kn = 3 pv. (9) 2 Nel caso dell energa radante, dobbamo tenere conto del fatto che ṙ p = cp = ε, per cu l secondo termne della (7) è uguale all energa totale. Qund, nvece della (9) abbamo E = 3pV, come volevamo dmostrare. (10)

4 Termodnamca della radazone d corpo nero 4 4. Legge d Stefan-Boltzmann Sulla base d questo rsultato, possamo ottenere la relazone fra la denstà d energa per untà d volume e la temperatura assoluta. Sappamo nfatt che la pressone eserctata dalla radazone è ndpendente dal volume, per cu E = 3p(T) V. D altra parte, s ha n generale ) E = T p ) V T Qund ovvero T T p ) T V p T 4, = 4p, V p. (11) che equvale a E T 4 per una cavtà d volume fssato. Questa relazone è nota come legge d Stefan-Boltzmann. S può scrverla facendo ntervenre la costante unversale σ S che esprme l energa rradata per untà d superfce e d tempo da un corpo nero alla temperatura T. Poché l ntenstà dell energa rradata I è espressa n funzone della denstà E/V dell energa radante medante la I = c E 4 V. (13) Abbamo così ottenuto l valore della costante κ che esprme la potenza emessa n funzone della denstà spettrale. Ottenamo così (12) I = 3 4 cp = σ ST 4, (14) dove la costante d Stefan σ S vale σ S = W/m 2 K 4. (15) Per ottenere questa relazone, s consder un pccolo cclo d Carnot, operante fra le temperature T e T + dt, e fra volum V e V + dv. Il lavoro computo nel cclo è par a dw = (p + dp)dv p dv = p/ T) V dt dv. D altra parte, per l prncpo d Carnot, esso è anche uguale al calore dq assorbto alla temperatura pù elevata per l rendmento η = dt/t. Utlzzando l prmo prncpo, s ha dq = de +dw = E/ V ) T dv +pdv. Qund T dw = T p/ T) V dv dt = ( E/ V ) T +p)dv dt. Il fattore 1/4 n questa espressone derva dal fatto che l energa rradata da una superfce d area S è dretta n tutte le drezon. Un onda d vettore d onda k passa attraverso una superfce d sezone apparente par a S cosθ, dove θ è l angolo fra k e la normale alla superfce. Medando cosθ su tutte le drezon possbl dell onda uscente s ottene 1/4.

5 Termodnamca della radazone d corpo nero 5 5. Espansone adabatca e legge d spostamento d Wen Supponamo adesso che l volume della cavtà n cu s trova l energa radante venga aumentatato adabatcamente da V a V + dv. In questa stuazone, l prmo prncpo della termodnamca mplca che l energa nterna E dmnusca d una quanttà par al lavoro nfntesmo dw computo dal sstema: s ha così de = p dv. In conseguenza d questa dmnuzone, anche la pressone dmnurà. Dato che E = 3pV, avremo Qund ovvero de = 3d (pv ) = 3p dv + 3V dp. V dp = 4 3 p dv, p 3/4 V = const. (16) Poché p T 4, questa equazone mplca anche T 3 V = const. (17) Indchamo con Ψ(ω, T) la denstà spettrale della radazone, coè l energa, per untà d volume e untà d frequenza angolare, delle onde elettromagnetche d frequenza angolare compresa fra ω e ω + dω. L energa totale contenuta nella cavtà può essere espressa n termn d Ψ(ω, T), medante la E = V dω Ψ(ω, T). (18) Wen fece l potes che l espansone adabatca dell energa radante agsse allo stesso modo su tutte le frequenze. In questo modo la denstà spettrale Ψ(ω, T ) nella cavtà dopo l espansone deve poter essere espressa semplcemente n funzone della denstà spettrale Ψ(ω, T) prma dell espansone, se le frequenze ω e ω s corrspondono. Ora, dato che ω = ck, e che k è nversamente proporzonale alla lunghezza d onda, c aspettamo che ω = ω/η, dove η = (1 + dv/3v ) è l fattore d cu s sono dlatate le lunghezze. D altra parte, la (17) dce che, n corrspondenza d questa dlatazone, la temperatura passa da T a T = T/η. Inoltre, per la legge d Stefan-Boltzmann, s ha ( ) T 4 dω Ψ(ω, T ) = dω Ψ(ω, T). T 4 Qund, se è possble fare corrspondere le frequenze n questa espressone, secondo l potes d Wen, s deve avere ( ω Ψ η, T ) = 1 Ψ(ω, T). (19) η η3 Ponendo η = T n questa espressone, e rsolvendo rspetto a Ψ(ω, T), ottenamo ( ) ( ) ω ω Ψ(ω, T) = T 3 Ψ T, 1 = T 3 ψ. (20) T

6 Termodnamca della radazone d corpo nero 6 Questo rsultato è noto come legge d spostamento d Wen. La denstà spettrale della radazone d corpo nero è qund espressa da una funzone unversale d una sola varable. Inoltre le frequenze caratterstche, n partcolare la frequenza cu corrsponde la radazone pù ntensa, sono proporzonal alla temperatura assoluta T. Quest rsultat seguono dalle legg della termodnamca, dell potes d sotropa, e dalla legge d dspersone ω = ck, assocata alla relazone P = E k/ck. Dalle prme msure della denstà spettrale della radazone d corpo nero s osservò che essa decresce esponenzalmente alle grand frequenze. Per la legge d spostamento d Wen, l coeffcente che moltplca ω all esponente deve essere nversamente proporzonale a T. S ottene così una legge della forma Ψ(ω, T) e hω/k BT, (21) dove la costante d Boltzmann k B è stata ntrodotta per comodtà. In questa espressone appare la costante unversale h, d dmenson energa tempo, che è chamata costante d Planck. Le msure pù recent danno per essa l valore h = Js. (22) Notamo che, se la termodnamca classca c permette d concludere che esste una denstà spettrale unversale Ψ(ω, T) che soddsfa la legge d spostamento d Wen, essa non c dce nulla della sua forma. Tuttava la legge d spostamento d Wen mplca l esstenza d una costante unversale delle dmenson d h, almeno fn tanto che ψ(x) non è una semplce potenza.