Applicazione alla Finanza dei metodi di EDP-Modello di Black-Scholes

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1 Applicazione alla Finanza dei metodi di EDP-Modello di Black-Scholes Docente:Alessandra Cutrì

2 Descrizione del Modello - Opzioni OPZIONE è il più semplice strumento derivato: E un contratto che da la possibilità (ma non l obbligo) a chi lo detiene di acquistare (o vendere) una certa quantità di un titolo sottostante ad una data futura ed ad un prezzo prefissati: un bene sottostante di prezzo S (dipendente dal tempo) un prezzo di esercizio K (strike price) una data T (scadenza) o tempo di maturità Opzione Europea: il diritto può essere esercitato solo alla scadenza T Opzione Americana: il diritto può essere esercitato in un qualsiasi momento fino alla scadenza T Opzione Call: Diritto di acquistare Opzione Put: Diritto di vendere

3 Call Europea con Strike K e maturità T Consideriamo un Opzione Europea Call: il diritto di acquisto può essere esercitato solo alla scadenza T. Supponiamo che il bene sottostante alla scadenza T abbia un prezzo S T Al tempo T ci sono due possibilità: S T > K: il valore finale dell opzione (pay-off) corrispondente al ricavo che si ottiene esercitando l opzione (cioè acquistando il bene al prezzo K e rivendendolo al prezzo di mercato S T ) è pari a S T K S T < K: non conviene esercitare l opzione ed il pay-off è nullo In definitiva il pay-off di una Call europea è pari a (S T K) + = max{s T K, 0} Analogamente il pay-off di una Put Europea è pari a (K S T ) + = max{k S T, 0}

4 Quanto costa l Opzione? Modello di Prezzatura delle OPZIONI di Black Scholes (per cui ricevettero il Nobel per l economia): formule esplicite per il prezzo di opzioni di tipo Europeo. Ipotesi fondamentali: Efficienza del mercato: (1965-Eugene Fama) Il mercato è capace di rispondere immediatamente a qualsiasi nuova informazione sul bene sottostante in modo tale che la storia passata del bene sia interamente riflessa nel prezzo corrente dello stesso ( Il passato è nel prezzo! ) La variazione di prezzo di un bene segue un Processo Markowiano Assenza di arbitraggio: Non ci sono possibilità di fare profitti senza rischio ( variabilità sul rendimento finale) istantanei. OSS: L ipotesi di Efficienza di mercato è molto controversa in economia. Si sta sviluppando una nuova teoria introdotta da Peters nel 1994 basata su un ipotesi di mercato stabile o mercato frattale che si adatti meglio all evidenza empirica.

5 Variazione del prezzo del bene sottostante Costo di un Opzione Europea dipende dalla variazione di prezzo del bene sottostante: Efficienza del mercato La variazione di prezzo S del bene sottostante segue un Processo Markowiano (L andamento di S viene descritto da un equazione differenziale stocastica) Oss:non è interessante valutare le variazioni assolute del prezzo del bene (una variazione di prezzo di 2 euro su un bene che costava 100 euro è molto meno interessante rispetto alla stessa variazione su un bene che costava 4 euro) Oss: Importante è il RETURN (o rendimento): rapporto tra la variazione assoluta del prezzo ed il suo valore originale: ds S

6 Modello evolutivo del prezzo S del sottostante ds S = ds drift S Il return si compone di due parti: + ds stock S parte deterministica: ds drift S = µdt assimilabile al Return di denaro investito senza rischio in banca e caratterizzato dal parametro di drift µ che corrisponde al tasso medio di crescita del prezzo del bene (andamento medio del titolo) parte stocastica: ds Stock S = σdb tiene conto delle fluttuazioni del titolo dovute alla risposta del prezzo del titolo alle informazioni esogene. σ:volatilità: Misura le oscillazioni del prezzo del bene rispetto al trend e rappresenta la misura della suscettibilità del prezzo del bene alle informazioni esogene (deviazione standard dal return) db:processo di Wiener Moto Browniano

7 Moto Browniano geometrico Dunque il prezzo S del bene sottostante è soluzione di questa equazione differenziale stocastica: (Moto Browniano geometrico) ds = µsdt + σsdb OSS: Il modello per ds è un astrazione matematica in quanto segue un evoluzione continua nel tempo (dipende dall ipotesi di efficienza del mercato) in quanto nella realtà i prezzi dei beni sono quotati ad intervalli di tempo discreti ma questo produrrebbe una quantità enorme di dati che diverrebbe ingestibile

8 Poiché il valore dell opzione dipende dal prezzo del bene sottostante, per valutare tale valore è necessario studiare il comportamento di una V (S, t) quando S evolve nel tempo secondo l equazione differenziale stocastica ds = µsdt + σsdb Come si fa? Utilizzando la Formula di Ito che mette in relazione le piccole perturbazioni di una funzione di variabile aleatoria con le piccole fluttuazioni della variabile aleatoria stessa.

9 Richiamo:Moto Browniano Processo Stocastico: {X t } t R + è una famiglia dipendente da un parametro t di variabili aleatorie definite su uno spazio di probabilità (Ω, F, P) Moto Browniano 1 dim: {B t } t R + è un processo stocastico che soddisfa le proprietà: 1 B 0 = 0 quasi certamente 2 per ogni 0 s t, B t B s è una v.a. indipendente da B s (proprietà di Markow o senza memoria che implica che per ogni t > 0 e 0 t 0 < t 1 < < t n < t si ha P{B t Z B t0 = b 0, B t1 = b 1,..., B tn = b n } = P{B t Z B tn = b n } 3 per ogni 0 s t, B t B s ha una distribuzione di probabilità Gaussiana con media µ = 0 e varianza σ 2 = t s in particolare P{B t I } = I G(ω, t)dω con G(ω, t) = 1 e ω2 2t 2πt

10 Se indichiamo con B t = B t+ t B t con t > 0, E( B t ) = 0 E(( B t ) 2 ) = t per t 0 si ha db dtn (0, 1) = N (0, dt) (oss: E(X ) = Ω XdP) Il moto Browniano si può ottenere come limite di una passeggiata aleatoria simmetrica su un ipotetico asse x

11 Media e varianza di ds E(dS) = E(µSdt + σsdb) = µsdt in media il valore di S a (t + dt) è maggiore o minore (dipende dal segno di µ) per una quantità pari a µsdt Var(dS) = E(dS 2 ) (E(dS)) 2 = E((µSdt + σsdb) 2 ) (µsdt) 2 = E(µ 2 S 2 dt 2 + σ 2 S 2 (db) 2 + 2µσS 2 dtdb) µ 2 S 2 dt 2 = σ 2 S 2 E((dB) 2 ) + 2µσS 2 dte(db) = σ 2 S 2 E((dB) 2 ) = σ 2 S 2 dt (oss: Var(X ) = X E(X ) 2 L 2 (Ω,P) = Ω X E(X ) 2 dp)

12 Processo di Ito Def: Sia {B t } un Browniano 1 dim. Si definisce processo di Ito un processo stocastico {X (t)} sempre su (Ω, F, P) che soddisfa dx (t) = a(x (t), t)dt + b(x (t), t)db(t) X (0) = x 0 oss: Se b = 0 si ha un processo deterministico soluzione dell eq. diff. X (t) = a(x (t), t) oss: S è un processo di Ito con a(x, t) = µx e b(x, t) = σx se g(x, t) è regolare, possiamo sviluppare con Taylor ed ottenere g(x (t), t) = g(x (0), 0)+g t dt+g x dx [g xx(dx ) 2 +2g xt dxdt+g tt (dt) 2 ]+ il differenziale di g si ottiene prendendo le parti lineari in dt e dx. I termini del tipo dxdt e (dt) 2 sono di ordine superiore ma il (dx ) 2 = [adt + bdb] 2 = a 2 (dt) 2 + 2abdtdB + b 2 (db) 2 ma b 2 (db) 2 b 2 dt quindi dg = [g t + ag x b2 g xx ]dt + bg x db OSS: L operatore L = t + a x b2 2 xx è associato all eq.differenziale stocastica

13 Applicazione calcolo di Ito al pay-off V (S, t) Applichiamo il differenziale di Ito alla funzione pay-off calcolata al variare dell istante temporale t [0, T ] V (S, t) segue l evoluzione del prezzo S secondo la SDE del Moto Browniano geometrico quindi ds = µsdt + σsdb dv = [V t + µsv S σ2 S 2 V SS ]dt + σsv S db Il modello di Black-Scholes si basa sulla possibilità di rendere deterministica la variazione dv cioè eliminare il termine σsv S db. Come è possibile? Costruendo un portafoglio auto-finanziante privo di rischio e che consiste di V e di opportune quantità del bene sottostante S (si usa assenza di arbitraggio)

14 Ipotesi di modello BS per calcolo di V Le Ipotesi del modello BS sono S evolve secondo ds = µsdt + σsdb tasso di interesse privo di rischio r e la volatilità σ sono costanti e NOTE ( 1E al tempo zero frutta e rt E al tempo T ) non ci sono costi di transazione dividendi nulli (poi vediamo come si generalizzano) E possibile la vendita o l accquisto in ogni istante di una qualsiasi quantità di bene No ARBITRAGGIO:cioè ogni investimento istantaneo senza rischio DEVE avere rendimento r Portafoglio autofinanziante

15 Come si rende deterministico dv? Si costruisce un portafoglio Π privo di rischio che consiste dell opzione V e di una quantità di sottostante. Per assenza di arbitraggio Π deve crescere al tasso di interesse r: essendo dπ = rπdt Π = V S dove quantità di sottostante che si suppone costante nell intervallo (t, t + dt) uguale al valore che aveva in t. La variazione di Π in (t, t + dt) è dπ = dv ds = [V t +µsv S σ2 S 2 V SS ]dt [µsdt+σsdb]+σsv S db Se scegliamo in modo che σsv S db σsdb = 0 cioè = V S (t, S) in (t, t + dt) abbiamo (per l assenza di arbitraggio) dπ = [V t σ2 S 2 V SS ]dt = r(v SV S )dt

16 Equazione di Black-Scholes otteniamo l EDP di Black-Scholes (senza pagamento dividendi): V t σ2 S 2 V SS rv + rsv S = 0 Oss: non compare più il coefficiente µ (tasso di crescita medio del prezzo del sottostante) Se esercitiamo un opzione europea su un sottostante che paga dividendi in tempo continuo (per esempio costituito da quote azionarie di diverse imprese che pagano dividendi in periodi differenti dell anno questa ipotesi è accettabile), nell intervallo (t, t + dt) l ammontare del diviedndo pagato è δsdt con δ: tasso istantaneo di dividendo Flusso di dividendi decremento del prezzo S in dt uguale al tasso pagato dal dividendo (per assenza di arbitraggio) altrimenti comprando il titolo al tempo t e rivendendolo subito dopo aver ricevuto il dividendo si otterrebbe un guadagno pari a δsdt senza rischio

17 Equazione di Black-Scholes con flusso di dividendi Tale modifica porta alla modifica nell eq. BS seguente: V t σ2 S 2 V SS rv + (r δ)sv S = 0 E un EDP a coefficienti variabili abbiamo la condizione di Cauchy al tempo T (equazione Backward): V (S T, T ) = (S T K) + attraverso opportune trasformazioni arriveremo all equazione del calore di cui conosciamo la soluzione in forma esplicita e poi ritrasformando otterremo la soluzione V (S, t) in forma esplicita (tutto con metodi analitici)

18 Dall eq. di BS all equazione del calore Vogliamo risolvere con metodi analitici l eq. di Black-Scholes V t σ2 S 2 V SS rv + (r δ)sv S = 0 (1) definita su D V := {(S, t) t.c.s > 0, 0 t T } Trasformazione di coordinate (S, t) (x, τ) ed un cambiamento di incognita V (S, t) u(x, τ) in modo che u soddisfi l equazione del calore u τ = u xx x R 0 τ σ2 2 T Si risolve come sappiamo l eq. del calore e si torna indietro ottenendo la soluzione esplicita V (S, t)

19 Primo passo: trasformare (1) in una EDP a coefficienti costanti Poniamo: S = Ke x x = log S K x R t = T 2τ σ 2 τ = σ2 σ2 (T t) 0 τ 2 2 T Consideriamo prima la funzione ausiliaria: v(x, τ) := 1 K V (S, t) = 1 K V (Kex, T 2τ σ 2 ) e vediamo l equazione soddisfatta da v(x, τ)

20 Poiché V (S, t) = Kv(x, τ) abbiamo: V t = Kv τ τ t = Kv τ ) ( σ2 2 x V S = Kv x S = Kv K 1 x S K = K S v x V SS = ( K S S v x(x, τ) ) = K v S 2 x + K S S (v x(x, τ)) = = K v S 2 x + K S v xx x S = K v S 2 x + K K 1 S S K v xx = = K v S 2 x + K v S 2 xx Quindi V (S, t) soddisfa (1) v(x, τ) soddisfa: cioè σ2 2 Kv τ σ2 S 2 ( K S 2 v x + K S 2 v xx) + (r δ)kv x rkv = 0 ( ) 2(r δ) v τ = v xx + σ 2 1 v x 2r σ 2 v

21 Chiamando p := 2(r δ) σ 2 ( ) 2(r δ) v τ = v xx + σ 2 1 v x 2r σ 2 v e ι := 2δ σ 2 otteniamo v τ = v xx + (p 1) v x (p + ι)v (2) Per arrivare all equazione del calore, chiamiamo γ := 1 2 (p 1) e β := 1 (p + 1) = γ OSS: β 2 = γ 2 + p. Infatti: 1 4 (p + 1)2 = 1 4 (p 1)2 + p Infine definiamo la nuova incognita u: v(x, τ) = e γx (β2 +ι)τ u(x, τ) Verifichiamo che se v soddisfa (2) allora soddisfa l eq. del calore. u(x, τ) = e γx+(β2 +ι)τ v(x, τ)

22 v(x, τ) = e γx (β2 +ι)τ u(x, τ) Quindi v τ = e γx (β2 +ι)τ u τ (β 2 + ι)e γx (β2 +ι)τ u = e γx (β2 +ι)τ [u τ (β 2 + ι)u] Sostituendo in (2) v x = e γx (β2 +ι)τ [ γu + u x ] v xx = e γx (β2 +ι)τ [γ 2 u 2γu x + u xx ] e γx (β2 +ι)τ [u τ (β 2 + ι)u γ 2 u + 2γu x u xx (p 1)( γu + u x ) + (p + ι)u]= 0

23 Cioè [u τ (β 2 + ι)u γ 2 u + 2γu x u xx (p 1)( γu + u x ) + (p + ι)u] = 0 che implica, essendo γ := 1 2 (p 1) e β2 = γ 2 + ι, che il coefficiente che moltiplica u sia nullo; infatti: (β 2 +ι)+γ 2 γ(p 1) p ι = 2γ 2 +p γp+γ p = γ[2γ p+1] = 0 quindi u soddisfa u τ (x, τ) = u xx (x, τ) x R, 0 τ σ2 2 T

24 Equazione del calore Equazione del calore unidimensionale u τ (x, τ) = u xx (x, τ) x R, 0 τ σ2 2 T con condizione iniziale u(x, 0) = u 0 (x) x R ha per soluzione u(x, τ) = G(x, τ) u 0 (x) dove G(x, τ) = 1 e x2 4τ 4πτ = Φ0, 2τ (x) cioè la densità di probabilità di una distribuzione Normale di Media zero e Varianza 2τ.

25 Qual è la condizione iniziale u 0? Chi è u 0 (x)? τ = σ2 2 (T t) τ = 0 corrisponde a t = T quindi la condizione iniziale per u corrisponde alla condizione al tempo T per V che è nota! u(x, 0) = e γx v(x, 0) = 1 K eγx V (S, T ) = 1 K eγx V (Ke x, T ) ma V (S, T ) è il valore dell opzione Europea call (o put) al tempo di maturità, quindi V call (S, T ) = (S T K) + V put (S, T ) = (K S T ) + Valutiamo l opzione Call (la Put è analoga). Sia u c (x, 0) il dato iniziale relativo all opzione Call; abbiamo: u c (x, 0) = 1 K eγx V call (Ke x, T ) = 1 K eγx (Ke x K) + = (e (γ+1)x e γx ) + = max{e βx e γx ; 0} (β = γ + 1)

26 Formula esplicita per u call (x, τ) Si ha quindi u call (x, τ) = G(x, τ) u c (x, 0) = 1 4πτ e x2 4τ uc (x, 0) u call (x, τ) = 1 4πτ R e (x y)2 4τ max{e βy e γy ; 0}dy Essendo β = γ + 1 ne segue che per y 0 l integrando si annulla e dunque u call (x, τ) = 1 + 4πτ 0 e (x y)2 4τ (e βy e γy )dy := I β I γ

27 dove I α : = 1 4πτ + 0 e (x y) 2 = exα+τα2 4πτ + 4τ +αy dy = 1 0 e [(x+2τα) y] 2 ) 4τ Ponendo η = x+2τα y 2τ, si ha dy + 4πτ 0 e (x 2 2y(x+2τα)+y 2 ) 4τ dy I α = exα+τα2 2π x+2τα 2τ e η2 2 dη Usando la funzione di ripartizione di una normale standard di media zero e varianza uno: Φ(ξ) = ξ e η2 2 dη 2π I α = e xα+τα2 Φ( x + 2τα 2τ )

28 Quindi u call (x, τ) = I β I γ = e xβ+τβ2 Φ( x + 2τβ ) e xγ+τγ2 Φ( x + 2τγ ) 2τ 2τ Tutto va scritto in termini di V c (S, t). A tal proposito poniamo d 1 := x + 2τβ 2τ d 2 := x + 2τγ 2τ Poiché x = log S K e τ = σ2 2 (T t) si ha d 1 = log S K + σ2 (T t) 1 2 (p + 1) σ T t = log S K + ( σ2 2 d 2 = log S K + σ2 (T t) 1 2 (p 1) σ = log S K T t OSS: d 2 = d 1 σ T t + r δ)(t t) σ T t σ2 + ( 2 + r δ)(t t) σ T t

29 Essendo V (S, t) = Kv(x, τ) = Ke γx (β2 +ι)τ u(x, τ), abbiamo V c (S, t) = Ke γx (β2 +ι)τ {e βx+β2τ Φ(d 1 ) e γx+γ2τ Φ(d 2 )} = Ke (β γ)x ιτ Φ(d 1 ) Ke (γ2 β 2 ι)τ Φ(d 2 ) ma β γ = 1, ιτ = 2 δτ = δ(t t), β 2 = γ 2 + p, p + ι = 2r σ 2 σ 2 quindi Ke (β γ)x ιτ δ(t t) = Se e Analogamente Ke (γ2 β 2 ι)τ r(t t) = Ke V call (S, t) = Se δ(t t) Φ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ) V put (S, t) = Ke r(t t) Φ( d 2 ) Se δ(t t) Φ( d 1 )

30 Chi è la per l opzione Call? Poiché = S (V call(s, t)) = e δ(t t) Φ(d 1 ) > 0 Si ha inoltre che V S è crescente in S quindi la funzione V call (S, t) è una funzione convessa in S per ogni t Analogamente per le opzioni Put

31 dalla passeggiata aleatoria al moto Browniamo Consideriamo una passeggiata aleatoria (random walk) di un oggetto di massa unitaria lungo l asse x l oggetto parte dall origine x = 0 in un intervallo di tempo τ l oggetto si muove di un passo di lunghezza h a destra o a sinistra con probailità 1 2 lo spostamento al passo N è indipendente da quanto avvenuto al passo N 1

32 Dopo N passi, cioè in t = Nτ qual è la probabilità che l oggetto sia nella posizione x = mh con h Z? p(x, t) = ( N K ) ( ) 1 N = 2 N! K!(N K)! ( ) 1 N 2 in quanto ( N ) K è il numero di cammini con K passi a sinistra e N K passi a destra 2 N è il numero di cammini possibili dopo N passi ovviamente m = K (N K) = 2K N mentre x = [K (N K)]h = (2K N)h

33 Qunidi la probabilità che l oggetto si trovi in x ad un istante t + τ (successivo a t) è ed inoltre del resto p(x, t + τ) = p(x + h, t) p(x h, t)1 2 p(0, 0) = 1 (l oggetto si trova nell origine all istante iniziale quasi certamente) p(x, 0) = 0 per ogni x 0 p(x + h, t) = p(x, t) + p x (x, t)h p xx(x, t)h 2 + o(h 2 ) quindi p(x h, t) = p(x, t) p x (x, t)h p xx(x, t)h 2 + o(h 2 ) p(x, t + τ) = p(x, t) p xx(x, t)h 2 + o(h 2 )

34 da p(x, t + τ) = p(x, t) p xx(x, t)h 2 + o(h 2 ) si ottiene p(x, t + τ) p(x, t) τ cioè, se h e τ tendono a zero in modo che = 1 2 p xx(x, t) h2 τ + o(h2 τ ) h 2 τ ad un limite finito 2D p t (x, t) + o(1) = 1 2 p xx(x, t)2d + o(1) dove D rappresenta il coefficiente di diffusione D = 1 2 Moto Browniano

35 In tal caso dove p t = 1 2 p xx lim p(x, t) = δ(x) p(x, t) = G (x, t) t 0+ G(x, t) = 1 e x2 2t 2πt è la Gaussiana di media µ = 0 e varianza σ 2 = t

36 OSS: h τ quindi la velocità con la quale l oggetto effettua ogni passo diventa infinita (tale particella si mantiene ad una distanza media finita nell unità di tempo a causa delle continue fluttuazioni del suo moto) Per h, τ 0, per il teorema del limite centrale la passeggiata tende al moto Browniano

37 OSS: Se x j := x(jτ) è la posizione raggiunta dopo j passi e per j 1 poniamo hξ j = x j x j 1 ξ j valgono 1 o 1 con probabilità 1 2 dunque ξ j sono indipendenti ed identicamente distribuite E(ξ j ) = 0, E(ξ 2 j ) = var(ξ j) = 1 x N = h N j=1 ξ j in quanto x N = x N x N 1 + x N 1 x N x 1 x 0 = h 2Dt N scegliendo h = (t = Nτ) e passando al limite per N, si prova che x N converge in legge ad una variabile aleatoria X = X (t) che ha una distribuzione normale con media zero e varianza 2Dt = t la cui densità è G(x, t) (il moto Browniano) N j=1 ξ j