I modelli di valutazione. Corso di Economia delle Scelte Finanziarie e di Portafoglio (prof. G. Ferri): Lezione 4

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1 I modelli di valutazione Corso di Economia delle Scelte Finanziarie e di Portafoglio (prof. G. Ferri): Lezione 4 1

2 In questa lezione Rational Valuation Formula (RVF) per determinare il valore fondamentale di una azione (= VAS dei dividendi futuri attesi, con tasso di sconto costante); Il CAPM ci aiuta a determinare il valore (variabile nel tempo) del tasso di sconto nella RVF; Descriviamo il Consumption-CAPM (C-CAPM), cioè il CAPM rispecificato in termini di flusso ottimo di consumo intertemporale ( attività finanziarie detenute per smussare il profilo intertemporale di consumo) 2

3 La Rational Valuation Formula - 1 Qual è il valore fondamentale (ovvero corretto, ovvero giusto) di una azione? Se il mercato è efficiente, il prezzo di una azione P t deve convergere al suo valore fondamentale V t. Infatti, se P t V t vi sono opportunità di profitto non sfruttate: es. se P t < V t allora l investitore neutrale al rischio compra l azione poiché si aspetta un guadagno in conto capitale dato che P t deve aumentare verso V t in futuro. Perciò, P t tende a crescere e a convergere rapidamente al suo valore fondamentale V t. Questo, naturalmente, se gli investitori al margine hanno aspettative omogenee. Si ricordi anche il legame tra P t e R t (prezzo e rendimento) 3

4 La Rational Valuation Formula - 2 Caso di rendimenti attesi costanti È una delle assunzioni più semplici. Rendimento atteso: [1] E t R t+1 = [E t V t+1 V t + D e t+1 ] / V t ove V t è il valore dell azione alla fine del periodo t; D t+1 èil dividendo pagato tra t e t+1; E t è l operatore aspettativa basato sulle informazioni disponibili al tempo t (che chiamiamo Ω t ); D e t+1 E t (D t+1 Ω t ) E t D t+1. Assumiamo che gli investitori siano disposti a detenere la azione se ha un rendimento atteso (minimo) costante: [2] E t R t+1 = k k> 0; con rendimenti anormali attesi nulli: [3] E t (R t+1 k Ω t ) = 0 4

5 La Rational Valuation Formula - 3 Usando [1] e [2] si ha un equazione di Eulero, differenziale, che determina la variazione nel tempo di V t : [4] V t = δe t (V t+1 + D t+1 ); δ=1/(1+k)<1 è il fattore di sconto Aggiornando la [4] a t+1 si ha: [5] V t+1 = δe t+1 (V t+2 + D t+2 ) Ora prendiamo l aspettativa di [5] sulla base di Ω t : [6] E t V t+1 = δe t (V t+2 + D t+2 ) infatti, per la legge dell iterazione delle aspettative: [7] E t [E t+1 (X t+2 )] = E t (X t+2 ) per qualsiasi variabile X La [7] vale per qualsiasi periodo e, quindi: [8] E t V t+2 = δe t (V t+3 + D t+3 ), eccetera 5

6 La Rational Valuation Formula - 3a E t R t+1 = [E t V t+1 V t + D e t+1] / V t E t R t+1 = k kv t = [E t V t+1 V t + D e t+1] V t + kv t = E t V t+1 + D e t+1 V t (1 + k) = E t [V t+1 + D t+1 ] [4] V t = δe t (V t+1 + D t+1 ); δ=1/(1+k)<1 è il fattore di sconto 6

7 La Rational Valuation Formula - 4 Usando la [6] nella [4] si ha: V t = δ[δe t (V t+2 + D t+2 )] + δ(e t D t+1 ) E, con sostituzioni successive, si ottiene: [9] V t = δd e t+1 + δ2 D e t+2 + δ3 D e t δn (D e t+n + Ve t+n ) Ora per N, δ N 0; per cui, se la crescita attesa di D non è esplosiva, cioè D e t+n è finito, e anche Ve t+n è finito: [10] lim N E t [δ N (D e t+n + Ve t+n )] 0 La [10], condizione finale (o di trasversalità), esclude le bolle speculative razionali (cfr. oltre) per cui la [9] dà: [11] i e con δ=1/(1+k) V t = i = 1 δ D t + i 7

8 La Rational Valuation Formula - 5 Ricordiamo che abbiamo derivato la [11] assumendo: 1. Rendimenti attesi costanti; 2. Legge iterazione aspettative (razionalità aspettative); 3. Vale la condizione di trasversalità (dividendi finiti); 4. Tutti gli investitori hanno: lo stesso punto di vista sulle determinanti dei rendimenti e aspettative omogenee Quindi il valore corretto o fondamentale è il VAS dei dividendi futuri attesi. Se si aggiunge assunzione che: 5. Gli investitori uguagliano istantaneamente il prezzo di mercato al valore fondamentale, la RVF ci dice che: [12] P t = E t i = 1 i δ D t + i 8

9 La Rational Valuation Formula - 6 Caso di orizzonte finito La [12] vale ancora per un orizzonte d investimento finito anziché infinito? (shortermismo? miopia?) Si può mostrare, per induzione, che la [12] vale ancora, ma ciò dipende in modo cruciale dalle assunzioni 1 5 e non vale più quando si rimuovano alcune di esse (cfr. oltre) Caso di dividendi costanti In questo caso la RVF si semplifica perché D t (osservabile) è la migliore previsione possibile di tutti i dividendi futuri, cioè i dividendi seguono un cammino casuale: D t+1 = D t + w t+1 ove w t+1 è white noise (media nulla, varianza costante e serialmente non correlato) 9

10 La Rational Valuation Formula - 7 Se le aspettative sono razionali (come sopra) E t (w t+j Ω t )=0 per ogni j 1 e, quindi, E t D t+j =D t per cui la [12] dà: [13] P t = δ(1 + δ + δ 2 + )D t = [δ/(1- δ)] D t = (1/k)D t La [13] prevede k=d/p cioè che il rendimento da dividendo (dividend yield) sia costante e uguale al rendimento (minimo) richiesto dagli investitori (k). Vi sono inoltre implicazioni interessanti sulla volatilità. Caso di crescita attesa costante dei dividendi Se D t cresce al tasso costante g, si può mostrare, la [13] dà: P t = [(1+g)/(k g)] D t con (k g)>0 cioè P t dipende solo da D t, k, g. NB: per g=0 torna la [13] 10

11 La Rational Valuation Formula - 8 Caso di rendimenti attesi variabili nel tempo Supponiamo che gli investitori, per detenere una certa azione, richiedano rendimenti attesi differenti per ogni periodo futuro: [14] E t R t+1 = k t+1 Dalle [9] e [13] si ricava allora: P t =δ t+1 D e t+1 +(δ t+1 δ t+2 )De t+2 + +(δ t+1 δ t+2 δ t+n )(De t+n +Ve t+n ) ove δ t+i =1/(1+k t+i ). Allora, il prezzo corrente dell azione dipende da tutti i tassi di sconto futuri attesi e da tutti i dividendi futuri attesi, anche se, dato che 0<δ t+i <1, i valori più distanti nel tempo tendono a pesare sempre meno NB: ciò ci suggerisce perché le Borse guardano a BCE/FED 11

12 Il CAPM e la RVF - 1 Portafoglio di mercato Cosa ci dice il CAPM sulla variabilità nel tempo del premio al rischio? Ci dice che è possibile. Ricordiamo che: [15] E t R m t+1 r t = λ E t [σ2 m,t+1 ] cioè il rendimento del portafoglio di mercato in eccesso sul tasso privo di rischio è proporzionale alla varianza (attesa) dei rendimenti del portafoglio di mercato. Ma il termine di destra nella [15] è il risk premium (rp t ): [16] E t R m t+1 = r t + rp t infatti rp t = λe t [σ 2 m,t+1 ] Confrontando [14] e [16] si ha che: [17] k t = r t + λ E t [σ 2 m,t+1 ] 12

13 Il CAPM e la RVF - 2 Cioè, il rendimento richiesto dipende in modo positivo da r t e dal rischio non diversificabile (E t σ 2 m,t+1 ). Perciò, se: - l investitore non percepisce rischi di mercato (E t σ 2 m,t+1 =0) - oppure, l investitore è neutrale rispetto al rischio (λ=0) il tasso di sconto appropriato è il tasso privo di rischio (r t ). Singoli titoli azionari Sappiamo dal CAPM che per ogni azione i deve valere: [18] E t R it+1 = r t + β it (E t R m t+1 r t ) ove β it = E t (σ im /σ 2 m ) t+1 Sostituendo dalla [15] per E t σ 2 mt+1 si ha che: [19] E t R it+1 = r t + λ E t (σ im, ) t+1 e anche: [20] k it+1 = r t + λ E t (σ im ),t+1 perciò, se la cov muta nel tempo dovrebbe mutare anche il tasso di sconto δ t+j del singolo titolo azionario. 13

14 Risk premium Il CAPM e la RVF - 3 Ora si può definire il risk premium sulla singola azione in coerenza col CAPM. Il mercato remunera gli investitori solo per il rischio non diversificabile (sistematico). Il rendimento richiesto k it+1 per rendere conveniente detenere una certa azione nel più ampio portafoglio è dato da r t più una ricompensa per il rischio aggiuntivo (cioè il risk premium): [21] k it+1 = r t + rp it = r t + λ E t (σ im ),t+1 14

15 Il CAPM e la RVF - 4 In sintesi - Dalla definizione di rendimento atteso del portafoglio, mediante l equazione di Eulero e le aspettative razionali si può derivare la RVF per i prezzi delle azioni; - In un mercato efficiente e ben informato i prezzi sono determinati dal VAS dei dividendi futuri attesi e dai tassi di sconto; - Se i rendimenti attesi di equilibrio sono costanti, è costante anche il tasso di sconto nella RVF; - Se i rendimenti attesi di equilibrio sono dati dal CAPM allora il tasso di sconto nella RVF può variare nel tempo, dipendendo dal tasso privo di rischio e dal termine varianza/covarianza. 15

16 Il Consumption-CAPM - 1 Nel Consumption-CAPM (C-CAPM), CAPM rispecificato per determinare flusso ottimo consumo intertemporale; È desiderabile smussare profilo intertemporale consumo perché utilità marginale del consumo decrescente (U >0; U <0) ovvero individui sono avversi al rischio; Le azioni sono detenute per trasferire potere d acquisto nel tempo se non si può trasferire in ciascun momento il consumo è determinato dal nostro reddito corrente; Una certa attività svolge meglio tale funzione se il suo rendimento atteso è alto quando ci si aspetta che il consumo sarà basso: è qui che il guadagno atteso da una extra unità di consumo è massimo (perché cresce U ). 16