6. INDICI DI DIPENDENZA

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1 6. INDICI DI DIPENDENZA 6.1 Itroduzioe La rilevazioe cotemporaea di due variabili X e Y su uità statistiche ha essezialmete lo scopo di evideziare le evetuali relazioi esisteti ra loro, ossia di veriicare se esiste ua certa dipedeza di ua variabile dall altra. Ua codizioe di dipedeza di Y da X implica che al variare delle determiazioi assute da X si modiica ua qualche caratteristica della distribuzioe di Y. Se almeo ua delle due variabili è di tipo qualitativo, si ha ua situazioe di dipedeza, che i questo caso è detta ache coessioe, quado a ua particolare determiazioe di ua di esse si accompaga, i geere, ua speciica determiazioe dell altra. Se ivece etrambe le variabili soo quatitative, si è i preseza di u certo grado di dipedeza, che i questo caso è detta correlazioe, quado al crescere dei valori assuti dalla X ache la Y tede a crescere, oppure quado al crescere dei valori assuti dalla X la Y tede a dimiuire. Fra le iumerevoli variabili che risultao aturalmete più o meo dipedeti ra loro si possoo citare la posizioe geograica e il tipo di vegetazioe presete i ua zoa, le codizioi igieiche e le malattie, la pressioe atmoserica e il livello di iquiameto, la quatità di ertilizzate impiegata e la resa produttiva delle coltivazioi, l'ammotare di prestiti e il tasso di iteresse, i livelli di reddito e di cosumo delle amiglie, l età dei bambii e la classe che requetao a scuola, la proessioe e il titolo di studio. I tutti questi casi la determiazioe assuta da ua variabile su u uità statistica è i grado di orire idicazioi più o meo precise sulla determiazioe dell altra. Così, per esempio, l'età di u bambio orisce u'idicazioe sulla classe che molto probabilmete requeta a scuola, la proessioe di u idividuo adulto orisce iormazioi sul suo probabile titolo di studio. Come si vede dagli esempi, i casi che iteressao da u puto di vista statistico si rieriscoo a situazioi i cui la coosceza della determiazioe assuta da ua variabile cosete di are delle valutazioi più o meo attedibili sulla determiazioe assuta da u altra, ma i geere o permette di cooscerla esattamete. Nelle situazioi reali, iatti, due variabili possoo risultare più o meo dipedeti, ma be diicilmete la relazioe che li lega è peretta, é è del tutto iesistete. La situazioe limite di dipedeza peretta si preseterebbe quado a ciascua delle determiazioi co cui può maiestarsi ua variabile osse associata, i ogi caso, ua sola delle diverse determiazioi dell altra variabile. 101

2 Co rierimeto agli esempi precedeti ua situazioe di coessioe peretta si avrebbe quado, i ua collettività di bambii di età diverse e iscritti a classi diverse, tutti quelli di ua stessa età requetassero ua stessa classe, oppure quado tutti gli idividui co ua stessa proessioe possedessero lo stesso titolo di studio. I questi casi, evidetemete, cooscere l'età equivarrebbe a cooscere esattamete ache la classe, metre l iormazioe sulla proessioe cosetirebbe di cooscere esattamete il titolo di studio. Nelle situazioi cocrete possoo esistere legami più o meo stretti ra le due variabili, e questo legame è tato più stretto quato più a ciascua delle determiazioi co cui può maiestarsi ua variabile è associata, ella maggior parte dei casi, ua stessa determiazioe dell'altra. Il grado di dipedeza ra età e classe requetata dai bambii è probabilmete molto elevata, metre i geerale lo è di meo quella ra proessioe e titolo di studio. Nelle situazioi di elevata dipedeza la coosceza della determiazioe assuta da ua variabile su ua particolare uità statistica cosete di prevedere co ua qualche precisioe quale sarà la maiestazioe dell altra variabile sulla medesima uità. Il legame ra due variabili risulta tato più stretto e, quidi, il grado di dipedeza è tato più elevato, quato maggiore è l'attedibilità di questa previsioe. La situazioe limite opposta, detta di idipedeza, si ha quado o esiste alcua associazioe ra le due variabili, el seso che la coosceza della determiazioe assuta da ua di esse o orisce alcua iormazioe sulla probabile determiazioe dell'altra. Per esempio, la coosceza del sesso di u idividuo o cosete di avere ua previsioe attedibile della sua età o della sua religioe. Nelle situazioi reali esistoo ache variabili che soo correlate ra loro per u gruppo di idividui, ma o per u altro, come per esempio el caso dell età e dell altezza che risultao correlate per i bambii, ma o per gli adulti. Nelle pagie segueti si esamierao alcui dei più comui metodi statistici utilizzati per evideziare l'esisteza di u evetuale legame ra le variabili, per descrivere il tipo di relazioe e per misurare l'itesità. Questi idici assumoo orme diverse a secoda del tipo di variabili cosiderate e del tipo di legame di cui si vuole misurare l itesità. Va comuque sottolieato il atto che ua qualsiasi misura statistica della dipedeza idica soltato che tra due variabili esiste di atto u associazioe più o meo stretta, metre la atura di questa associazioe può essere messa i luce solo co gli strumeti propri della scieza che si occupa di quei particolari eomei. I altri termii, questo sigiica che i metodi statistici o soo i 10

3 grado di idividuare le evetuali leggi che regolao i legami ra variabili, ma solo di veriicare se esistoo o meo delle regolarità di rapporti. 103

4 6. Associazioe ra variabili i ua distribuzioe bivariata Nella successiva tabella 6..1 è riportato u caso di dipedeza peretta della variabile Y dalla X i quato le uità statistiche che presetao ua certa determiazioe della X presetao tutte ua stessa determiazioe della Y. I questo caso la coosceza della determiazioe assuta dalla prima variabile equivale a cooscere co certezza ache la determiazioe della secoda. Tabella 6..1 Esempio di dipedeza peretta uilaterale della Y dalla X X\Y d 1 d c c 1 0 c No esiste ivece ua dipedeza peretta della X dalla Y dato che, metre alla determiazioe d corrispode la determiazioe c 1, a d 1 corrispodoo sia c sia c 3. I situazioi aaloghe a questa si dice che esiste ua peretta dipedeza uilaterale della Y dalla X. Nella tabella 6.., ivece, è riportato u esempio i cui è la variabile X a dipedere i modo peretto dalla Y. Tabella 6.. Esempio di peretta dipedeza uilaterale della X dalla Y X\Y d 1 d d 3 c c Per semplicità, i seguito si esamierà i dettaglio la dipedeza della Y dalla X, ma ovviamete tutte le cosiderazioi valgoo ache se si scambiao le due variabili ra loro. La dipedeza peretta della Y dalla X implica che le distribuzioi codizioate della Y c j presetao u'uica determiazioe a cui è associata ua requeza diversa da zero, metre tutte le altre requeze soo ulle. Co rierimeto alle distribuzioi relative codizioate della Y c j ciascua di esse preseta ua sola requeza pari a 1, metre le altre requeze soo ulle. 104

5 Nella tabella 6..3 è ivece riportato u esempio di dipedeza peretta bilaterale. I questa situazioe tutte le uità statistiche che presetao ua certa determiazioe di ua variabile presetao ua e ua sola determiazioe dell'altra e viceversa. Tabella 6..3 Esempio di dipedeza peretta bilaterale X\Y d 1 d d 3 c c c I ua situazioe di peretta dipedeza bilaterale tutte le distribuzioi di Y codizioate a X (e tutte le distribuzioi di X codizioate a Y) presetao u'uica determiazioe co requeza diversa da zero, metre alle restati determiazioi è associata ua requeza ulla. Co rierimeto alle distribuzioi relative codizioate esiste ua sola requeza pari a 1 su ciascua riga e su ciascua coloa della tabella, metre le restati requeze soo ulle. La situazioe di peretta dipedeza bilaterale richiede ecessariamete che le due variabili assumao uo stesso umero di determiazioi diverse, per cui la tabella a doppia etrata avrà u umero di righe uguale al umero di coloe. Quado ivece la tabella è rettagolare, co u umero di righe diverso dal umero di coloe, se esiste ua situazioe di dipedeza peretta, questa può essere solo uilaterale. I alcue situazioi reali, l'iteresse può essere rivolto a misurare il grado di dipedeza uilaterale di ua variabile dall altra, ma i altre situazioi si può voler valutare il grado di dipedeza bilaterale, detta ache iterdipedeza. Nel primo caso si itede valutare i che misura ua variabile "dipede" dall'altra per cercare di prevedere la determiazioe di tale variabile a partire da quella assuta dall altra (come ei casi delle variabili reddito e cosumo, livello dei tassi di iteresse e umero di richieste di mutui bacari, dose di u ertilizzate e produttività per ettaro, ammotare delle spese pubblicitarie e umero di articoli veduti). Nel secodo caso si suppoe ivece che le due variabili abbiao uo stesso ruolo all itero dell aalisi (esempi di questo geere soo costituiti dalle coppie di variabili peso e statura, lughezza del emore e 105

6 dell omero, cosumo medio delle auto i città e i autostrada, votazioe otteuta egli esami di matematica e di statistica). Se iteressa esamiare la dipedeza della Y dalla X (oppure della X dalla Y), la prima variabile è detta variabile dipedete, metre la secoda è detta variabile idipedete o variabile esplicativa. L'uso del termie "dipedeza" o vuole però suggerire che la determiazioe assuta da ua variabile sia la causa (o ua delle cause) della determiazioe assuta dall'altra, ache perché ua evetuale relazioe di causa-eetto o potrebbe i ogi caso essere provata co i soli metodi statistici. Se ra le variabili o esiste alcua relazioe, si dice che X e Y soo idipedeti. Facedo rierimeto alla tabella a doppia etrata, la codizioe di idipedeza implica che le distribuzioi relative codizioate risultao tutte uguali ra loro, ossia che per ogi determiazioe di ua variabile le diverse determiazioi dell altra si presetao sempre elle stesse proporzioi. I questo caso è evidete che la coosceza della determiazioe assuta da ua variabile su ua uità statistica è del tutto irrilevate per are delle ipotesi attedibili sulla determiazioe assuta dall altra su quella stessa uità. Se la variabile Y è idipedete da X, quidi, le distribuzioi relative codizioate di Y c j soo tutte uguali ra loro, per cui valgoo le segueti uguagliaze 11 j s 1.. ; 1l l. ; 1 h jh h. 1; s ; l s h come si vede ache dalla tabella 6..4 che riporta le distribuzioi codizioate relative di Y c j sotto ipotesi di idipedeza della Y dalla X. 106

7 Tabella 6..4 Distribuzioi relative codizioate della Y dalla X sotto ipotesi di idipedeza della Y dalla X X\Y d 1... d l... d h c 1 11 s1 1. 1l s l 1. 1h s h c j j1 s 1 s l jh s c 1 s1. l. s l h. s h h A partire dalle uguagliaze coteute all itero della tabella precedete, la distribuzioe bivariata può essere posta ella orma riportata ella tabella Tabella 6..5 Esempio di distribuzioe bivariata sotto ipotesi di idipedeza della Y dalla X X\Y d 1... d l... d h c 1 11=s l=s l h=s h c j j1=s 1... =s l... jh=s h c 1=s l=s l.... h=s h l.. h 1 Eettuado le somme per coloa delle requeze si ottiee. 1 s1 s j1 ; s 1; s ;. l l l j1 ; s. h h h j 1 s ; 107

8 da cui risulta che ciascua costate s l corrispode alla requeza relativa margiale.l (per ogi l = 1,,, h). I caso di idipedeza della Y dalla X le distribuzioi relative codizioate delle Y c j soo tutte uguali ra loro e uguali alla distribuzioe relativa margiale della Y. Questo risultato resta valido ache el caso i cui si utilizzio le requeze assolute, aziché le requeze relative, dato che le ue dieriscoo dalle altre solo per la costate moltiplicativa. I caso di idipedeza valgoo quidi le segueti uguagliaze. l. l (j = 1,,, ; l = 1,,, h) 6..1 per cui u qualsiasi idice calcolato per la Y assume sempre lo stesso risultato per ciascu gruppo omogeeo i X, e tale risultato corrispode ache al valore dell idice calcolato sulla distribuzioe margiale di Y. I ua situazioe di idipedeza, quidi, le iormazioi orite dalle distribuzioi codizioate o aggiugoo ulla a quelle orite dalla distribuzioe margiale. Dalle uguagliaze 6..1, valide sotto ipotesi di idipedeza della Y dalla X, discedoo ache le due segueti uguagliaze. l. l j. (j = 1,,, ; l = 1,,, h) i base alle quali risulta che le distribuzioi relative codizioate della X soo uguali ra loro e uguali alla distribuzioe margiale della X: si può quidi cocludere che quado Y è idipedete da X ache X risulta idipedete da Y. La codizioe di idipedeza statistica è sempre bilaterale. 108

9 Dalle uguagliaze 6..1 deriva iie che, sotto codizioe di idipedeza, le requeze itere (assolute e relative) della tabella corrispodoo ai prodotti.l.l (j = 1,,, ; l = 1,,, h) e queste due uguagliaze rappresetao la codizioe ecessaria e suiciete per l idipedeza ra X e Y. Due variabili X e Y soo idipedeti se e solo se la requeza assoluta associata a ogi coppia (c j, d l ) è uguale al prodotto delle requeze assolute margiali associate a c j e d l diviso per, oppure se la requeza relativa associata a ogi coppia (c j, d l ) è uguale al prodotto delle requeze relative margiali associate a c j e d l. Le requeze itere corrispodeti al caso di idipedeza ra X e Y soo dette requeze teoriche (assolute o relative) e soo idicate mediate la otazioe seguete '.l (j = 1,,, ; l = 1,,, h) 6.. '.l Esempio 6..1 Data la seguete distribuzioe relativa a due variabili qualitative scoesse X e Y Esempio di distribuzioe bivariata X\Y d 1 d d 3 c c si determiio le distribuzioi della variabile Y codizioata a X Le due distribuzioi risultao quelle riportate ella tabella successiva e coicidoo co la distribuzioe margiale della Y della tabella precedete. Le variabili X e Y soo quidi idipedeti ra loro. 109

10 Distribuzioi della variabile Y c j otteute dalla tabella precedete X\Y d 1 d d 3 c c Esempio 6.. Completare la seguete tabella sotto ipotesi di idipedeza assoluta ra le due variabili Esempio di distribuzioe bivariata X\Y a b c La tabella assume la orma seguete Esempio di distribuzioe bivariata X\Y a b c La relazioe aalizzata i questo paragrao è solo uo dei tati possibili tipi di legame che possoo itercorrere ra due variabili. Per distiguerla da altri tipi di dipedeza/idipedeza si parla quidi di dipedeza/idipedeza assoluta o ache di dipedeza/idipedeza i distribuzioe. 110

11 6.3 Dipedeza assoluta (o dipedeza i distribuzioe) Nelle situazioi reali, la relazioe esistete ra le variabili X e Y è più o meo lotaa dalle situazioi limite di idipedeza e di dipedeza peretta, per cui le requeze delle diverse distribuzioi codizioate soo più o meo cocetrate i corrispodeza di ua o più determiazioi diverse, metre alle altre determiazioi soo associate requeze miori. L'idice più comuemete usato per valutare il grado di dipedeza assoluta ra due variabili è il cosiddetto chi-quadrato di Pearso, idicato co il simbolo, che assume la orma j1 l1 h ' ' Questo idice si basa sulle diereze (comuemete dette cotigeze) ra le requeze osservate e quelle teoriche, calcolate cioè sotto ipotesi di idipedeza, per cui può essere calcolato per variabili di qualsiasi tipo, dato che si basa solo sui valori delle requeze cogiute. Se la distribuzioe è espressa mediate le requeze relative, il calcolo del chi-quadrato richiede la coosceza della umerosità della popolazioe e la assume la orma equivalete j1 l1 h 6.3. ' ' Dalle precedeti espressioi risulta evidete che l idice o può mai assumere valori egativi e che risulta uguale a zero se e solo se tutte le cotigeze soo uguali a zero e, quidi, i caso di idipedeza assoluta ra X e Y, metre tede ad assumere valori cresceti al crescere del grado di dipedeza ra le due variabili. Ua ormula sempliicata di calcolo è data da h j1 l 1.l se la tabella è espressa mediate le requeze assolute oppure dall espressioe equivalete 111

12 h j1 l 1.l che si utilizza quado si dispoe delle requeze relative ed è oto il umero di uità statistiche. Dimostrazioe Per otteere le due ormule precedeti è suiciete sviluppare i quadrati che compaioo elle ormule origiali e utilizzare l uguagliaza 6... Per esempio, sviluppado la si ottiee j1 l1 h h ' ' 1 j1 l1.l j1 l1 j1 l1 h.l h h.l j1 l1.l h j1 l 1.l da cui si ottiee la 6.3.3, metre partedo dalla 6.3., co u procedimeto aalogo, si ottiee la Il valore massimo del chi-quadrato, che si ottiee ei casi di peretta dipedeza assoluta (sia uilaterale, sia bilaterale), risulta uguale al prodotto ra e il miore ra il umero di determiazioi assuto da X e il umero di determiazioi assuto da Y dimiuito di 1. Il campo di variazioe del chi-quadrato è quidi costituito dai due estremi mi 0, max mi, h 1, per cui tede ad assumere valori cresceti al crescere delle dimesioi della tabella a doppia etrata e al crescere del umero delle uità statistiche. Dimostrazioe Per questa dimostrazioe occorre iazitutto teere presete che per ogi j e l si ha sempre.l j = 1,,,, l = 1,,, h dove il sego di uguagliaza vale solo el caso i cui a ogi determiazioe di Y corrispode ua sola determiazioe di X, ossia quado c'è ua codizioe di dipedeza assoluta peretta della X dalla Y. Moltiplicado etrambi i termii della disuguagliaza precedete per, si ottiee 11

13 . l che, sostituita ella 6.3.3, orisce il seguete risultato h h. 1.l 1 j j1 l 1.l j1 l1 j1 I caso di peretta dipedeza della X dalla Y, quidi, il valore massimo del chi quadrato è pari al prodotto della umerosità per il umero di modalità della X meo 1. I maiera aaloga, a partire dalla disuguagliaza j = 1,,,, l = 1,,, h si vede acilmete che risulta l 1, dove il sego di uguagliaza si ha solo i caso di peretta dipedeza della Y dalla X. Si cosideri, per esempio, la tabella che si rierisce a due variabili qualitative scoesse rilevate su ua collettività di 00 idividui. Tabella Distribuzioe degli occupati dipedeti per rapporto di lavoro e sesso Lavoro\Sesso Maschi Femmie A tempo determiato A tempo idetermiato Questa distribuzioe è molto prossima a quella che si avrebbe i caso di idipedeza, come risulta dalla tabella 6.3., i cui le requeze itere soo state calcolate sotto questa ipotesi. Tabella 6.3. Distribuzioe teorica degli occupati dipedeti per rapporto di lavoro e sesso i caso di idipedeza Lavoro\Sesso Maschi Femmie A tempo determiato A tempo idetermiato Di cosegueza il chi-quadrato, che i questa situazioe potrebbe assumere u qualsiasi valore compreso ra 0 e 100 (i quato etrambe le variabili assumoo modalità diverse), risulta prossimo al suo miimo 113

14 Esempio Data la seguete distribuzioe bivariata, rierita al sesso dell acquirete e al modello di ipod acquistato, si calcoli il valore dell idice chi-quadrato e se e determii miimo e massimo. Esempio di distribuzioe bivariata Sesso\Modello A B C F M Utilizzado la ormula si ottiee Il miimo e il massimo soo rispettivamete mi 0 χ, 50mi, max 114

15 6.4 Dipedeza i media Data ua variabile quatitativa Y cosiderata i corrispodeza delle diverse determiazioi assute da ua variabile X (qualitativa o quatitativa), si può avere iteresse a valutare le evetuali diereze esisteti o ra le distribuzioi codizioate della Y c j, ma ra i valori di ua speciica caratteristica di tali distribuzioi che si ritiee di particolare iteresse el caso i esame. I umerose situazioi reali, per esempio, si voglioo corotare i valori medi assuti dalla Y all itero dei diversi gruppi omogeei i X, per cui lo scopo dell idagie cosiste el valutare le diereze ra le medie delle distribuzioi codizioate. Casi di questo geere si presetao quado si voglioo comparare i livelli medi del redimeto a u esame di studeti che hao utilizzato diereti libri di testo, le medie della resa produttiva per ettaro di ertilizzati diversi, i livelli medi del reddito a secoda del tipo di occupazioe oppure del settore di attività ecoomica, i redimeti medi di diereti titoli azioari. Cosiderata per esempio la successiva tabella 6.4.1, che riporta la distribuzioe degli occupati di sesso maschile per classe di età e ramo di attività ecoomica, si potrebbe essere iteressati a veriicare se l età media degli occupati varia a secoda del ramo di attività. Tabella Distribuzioe degli occupati maschi per età e ramo di attività. Dati i migliaia 1 Attività\età [14, 5) [5, 30) [30, 50) [50, 65) 65 e + Agricoltura Idustria Terziario Chiudedo l ultima classe a 75 ai si ottegoo i segueti risultati (arrotodati a due cire decimali) y y y agricoltur a idustria. terziario dai quali risulta che gli occupati el settore agricolo hao i media poco meo di 46 ai, gli occupati el terziario hao u età media di 41 ai, metre la media più bassa, pari a circa 39 ai, si rileva el settore dell idustria. 1 ISTAT (1986), Idagie statistica sulle codizioi di salute della popolazioe e sul ricorso ai servizi saitari. Novembre 1983, Note e relazioi.1 115

16 Nell esempio appea esamiato la variabile Y età assume dei valori medi che variao al variare della determiazioe assuta dalla variabile X settore di attività ecoomica, per cui si può cocludere che la Y dipede i media da X. Quado esiste questo tipo di dipedeza è possibile otteere ua valutazioe più o meo approssimata dell'ordie di gradezza assuta dalla Y su ua uità statistica quado per quella uità è ota la determiazioe c j assuta dalla X. Tato più la Y è dipedete i media dalla X, tato più accurata sarà tale previsioe, corrispodete alla media della distribuzioe codizioata y cj. L itesità di questo tipo di legame dipede dalla variabilità delle distribuzioi codizioate della Y c j. Se iatti i valori delle variaze codizioate s y cj risultao prossimi a zero, tali distribuzioi soo molto cocetrate itoro alla loro media per cui le gradezza della Y per ogi gruppo omogeeo i X. y cj oriscoo idicazioi attedibili sull'ordie di La situazioe limite di peretta dipedeza i media della Y dalla X si ha quado le variaze codizioate s y cj soo ulle, perché i questo caso la coosceza della determiazioe assuta da X cosete di idividuare co certezza la corrispodete determiazioe assuta da Y. I questo caso, quidi, si avrebbe ache ua peretta dipedeza assoluta della Y dalla X. Se le medie codizioate risultassero tutte uguali ra di loro ci si troverebbe ivece ella codizioe limite opposta, di idipedeza i media. I questo caso la coosceza della determiazioe assuta dalla variabile X su u uità statistica sarebbe del tutto irrilevate per prevedere il valore assuto dalla Y su quella stessa uità sulla base della media della distribuzioe codizioata Per misurare il grado di dipedeza i media della Y dalla X si utilizza u idice che si basa sulla scomposizioe della variaza di osservazioi suddivise i g gruppi. I questo cotesto, però, la variaza ra i gruppi (o variaza betwee) è la variaza delle medie codizioate 1 b s yc y j j1 y c j. 116

17 e viee chiamata variaza spiegata perché misura quella parte della variaza complessiva della Y che "dipede", ossia è "spiegata", dalle diereze ra i valori medi della Y all'itero di ogi gruppo omogeeo i X. La variaza all itero dei gruppi (o variaza withi) corrispode ivece alla media delle variaze delle distribuzioi codizioate s 1 w j1 s y c j e viee chiamata variaza residua perché misura la parte residua della variaza complessiva della Y, che dipede dalla variabilità della Y all'itero dei sigoli gruppi omogeei i X. La dipedeza i media di ua variabile quatitativa Y da ua variabile X di tipo qualsiasi viee misurata mediate il cosiddetto rapporto di correlazioe della Y sulla X che è pari al rapporto ra la variaza spiegata e la variaza totale della Y. Il rapporto di correlazioe y x (eta quadrato) assume la orma b y w y s s y x s s e, dato che s y corrispode alla somma s b + s w, risulta sempre compreso ell itervallo [0, 1]. Più i particolare, risulta pari a zero quado il suo umeratore è uguale a zero, ossia quado le y c j soo tutte uguali ra loro e uguali alla media della distribuzioe margiale y. U risultato pari a zero idica quidi che la variabile Y è idipedete i media dalla X. Il rapporto di correlazioe assume ivece valore 1 quado è ulla la variaza residua, ossia quado è ulla la media poderata delle variaze codizioate. Questo si veriica se e solo se tutte le variaze delle distribuzioi codizioate soo pari a zero, ossia quado all itero dei diversi gruppi omogeei i X i valori della Y coicidoo tutti co la media codizioata. I questo caso c è ua dipedeza assoluta peretta della Y dalla variabile X. 117

18 Se è oto che X e Y soo idipedeti i seso assoluto (per cui l idice chi-quadrato è pari a zero), Y risulta ache idipedete i media dalla X, dato che le variabili Y c j hao distribuzioi idetiche e, quidi, hao gli stessi mometi. Se, ivece, c è idipedeza i media, per cui le y cj soo tutte uguali ra loro, questo o implica che siao uguali ra loro ache le distribuzioi codizioate per cui potrebbe esservi ua situazioe di dipedeza più o meo elevata i distribuzioe. Se due variabili soo idipedeti i seso assoluto lo soo ache i media, metre o è ecessariamete vero il viceversa. Nelle situazioi cocrete l'idice assume u valore itero all itervallo [0, 1] e al crescere del risultato cresce il grado di dipedeza i media della Y dalla X. Per esempio, il valore del rapporto di y x correlazioe calcolato sulla tabella è circa pari a e idica quidi che si è prossimi alla situazioe di idipedeza i media, dato che solo poco più del % della variabilità complessiva della Y è assorbita dalla variaza spiegata. Se tutte e due le variabili soo quatitative, sulla distribuzioe è deiito ache il rapporto di correlazioe x y della X sulla Y, per il quale valgoo tutte le cosiderazioi precedeti. È evidete che i valori dei due idici i geere soo diversi ra di loro, come si ituisce subito co rierimeto alle situazioi di dipedeza assoluta peretta uilaterale. Ovviamete l idipedeza assoluta implica l idipedeza i media bilaterale. Co rierimeto ai dati sul reddito e sul cosumo riportati ella tabella 5..6, i valori dei due rapporti di correlazioe (arrotodati a 4 cire decimali) soo x y e y x I questo esempio, quidi, il 43% della variabilità della Y dipede (o viee spiegato) dalla relazioe che lega le medie codizioate della Y alla X, metre la variaza media all'itero dei sigoli gruppi omogeei è pari al residuo 57% della variabilità complessiva. Commeti aaloghi valgoo per il rapporto di correlazioe della X sulla Y. Esempio Cosiderata la seguete distribuzioe bivariata si calcoli il rapporto di correlazioe della Y sulla X X\Y A B C

19 Dalla distribuzioe margiale si ottegoo la media e la variaza di Y che risultao rispettivamete uguali a y 4.8 s y Sulle tre distribuzioi codizioate si ottiee y A.0 s y A y B 6.5 s y B y C s yc 4 Per cui la variaza spiegata è 1 s b e il rapporto di correlazioe della Y sulla X risulta y x

20 6.5 Cocordaza e discordaza I umerose situazioi reali, quado etrambe le variabili X e Y soo di tipo quatitativo, si vuole valutare se al crescere dei valori assuti da ua variabile ache i valori dell altra tedoo a crescere oppure se tedoo a dimiuire. Per esempio, si potrebbe essere iteressati a veriicare se al crescere dei livelli del reddito mesile ache la spesa per cosumi tede ad aumetare, se al crescere del grado di aziaità i ruolo aumeta ache il livello del reddito, se al crescere della produzioe di grao il suo prezzo tede a dimiuire. Se si dispoe della sequeza origiaria delle coppie di osservazioi, uo strumeto che si rivela particolarmete utile per idagare sul tipo e sull'itesità del legame esistete ra le variabili è il cosiddetto diagramma di dispersioe o scatter diagram, che cosiste i u graico sul quale le coppie di valori (x i, y i ), per i = 1,,,, rilevati sulle uità statistiche vegoo rappresetate da u puto co coordiate proporzioali a x i e y i. Pertato ogi sigolo puto del graico corrispode a ua uità statistica. Il diagramma di dispersioe mette i evideza il campo di variazioe delle due variabili, i puti itoro ai quali soo cocetrati i loro valori, il tipo di legame che esiste tra le variabili e la sua itesità. La igura 6.5.1, per esempio, riporta le coppie di valori elecate ella tabella Figura Diagramma di dispersioe dei dati riportati ella tabella 5..5 C o s u m o Reddito 10

21 Il graico otteuto mostra come, al crescere del livello del reddito, ache il cosumo tede geeralmete a crescere. I ua situazioe come questa si dice che esiste cocordaza ra le due variabili, o che le variabili X e Y soo cocordi. Ioltre il graico evidezia ache che i puti tedoo a disporsi itoro ad ua retta co icliazioe positiva. Si può quidi cocludere che a icremeti di reddito corrispodoo geeralmete icremeti proporzioali di cosumo, per cui quello proposto è u esempio di dipedeza lieare diretta ra le due variabili. I situazioi come questa la coosceza del valore di ua variabile per ua uità statistica sembra i grado di orire iormazioi, sia pure approssimate, sull'ordie di gradezza dell'altra variabile. Questa aermazioe acora ituitiva e poco accurata verrà ripresa e precisata elle pagie segueti. Il diagramma di dispersioe relativo ai dati dell esempio 5.6.4, che riporta i valori della variabile X coteuto di umidità e Y solidità di 10 assi di lego, mostra ivece u esempio di discordaza ra le due variabili, dato che al crescere dei valori dell umidità la solidità delle assi di lego tede a dimiuire. Le variabili X e Y soo quidi discordi. 14 Figura 6.5. Diagramma di dispersioe dei dati riportati ell esempio s o l i d i t à umidità Come si può otare dal coroto ra i due graici precedeti, l itesità del legame ra X e Y può essere più o meo elevata e le orme che possoo assumere le uvole di puti di u diagramma di dispersioe soo le più varie. Nella igura 6.5.3, per esempio, o esiste ua relazioe di cocordaza o di 11

22 discordaza ra le due variabili cosiderate, metre il graico della igura mostra u adameto dapprima cocordate e poi discordate. 0 Figura Esempio di diagramma di dispersioe Y ,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 X 10 Figura Esempio di diagramma di dispersioe 8 Y X Nota Ache la rappresetazioe di ua distribuzioe bivariata relativa a due variabili quatitative potrebbe essere eettuata mediate u diagramma di dispersioe, ma i questa situazioe i sigoli puti hao u peso diverso, che dipede dalla requeza associata a ciascua coppia di valori. Per questo motivo si evita questo tipo di rappresetazioe ricorredo, semmai, a graici di tipo dierete che o verrao però esamiati i questa sede. 1

23 U idice i grado di valutare se le due variabili i esame soo legate i modo diretto o iverso è la covariaza che, come si è visto i precedeza, assume valori positivi se le variabili soo cocordi e valori egativi se soo discordi. Ua covariaza ulla idica solo l asseza di cocordaza o discordaza ell adameto delle due variabili, ma o esclude che esistao altri tipi di legami, ache molto stretti, per cui a ua covariaza pari a zero può corrispodere u eta quadrato o u chi-quadrato molto elevato, o addirittura massimo. Se, ivece, è il chi-quadrato a risultare ullo, allora sarao ulli sia l idice eta quadrato sia la covariaza. Se due variabili X e Y soo idipedeti i seso assoluto (o i distribuzioe) e soo etrambe di tipo quatitativo, la loro covariaza è pari a zero. Dimostrazioe Teedo presete la secoda delle uguagliaze 6.., il primo mometo misto ra le due variabili (espresso ella ormula 5.6.5) può essere scritto ella orma seguete m h h 1, 1x j yl.l x j yl. l j1 l1 j1 l1 x y e risulta quidi uguale al prodotto delle medie delle due variabili. Di cosegueza la covariaza, pari alla diereza ra la media della variabile XY meo il prodotto delle medie delle due variabili, risulta pari a zero. 13