Sistemi a più gradi di libertà: cinematica diretta

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1 Sstem a pù grad d lbertà: cnematca dretta Introduzone La poszone e l'orentamento d una terna soldale all ultmo elemento d un meccansmo a pù grad d lbertà (robot) dpende evdentemente dalle caratterstche geometrche della sua struttura e dalla confgurazone de suo gunt. La rsoluzone del problema prevede l ndvduazone d una relazone analtca esplcta che, nota la geometra e la confgurazone del meccansmo fornsca la poszone l orentazone della terna d estremtà: tale procedmento vene globalmente detto cnematca dretta. La prma parte (Par.,,3), dedcata all'nquadramento qualtatvo del problema, defnsce l formalsmo con cu verrà affrontata la cnematca dretta, rsolve l problema n modo ntutvo per un sstema a due grad d lbertà utlzzando le trasformazon omogenee e propone una sere d consderazon sull'estensone del metodo a robot a se grad d lberta. La seconda (Par.4,5), dedcata all'approcco quanttatvo alla cnematca dretta, svluppa un metodo d modellzzazone della struttura del robot basata sull'assegnazone d terne d rfermento cartesane a suo element e sull'utlzzo d trasformazon omogenee per descrverne le poszon relatve. Al termne vengono propost una sere d esemp applcatv. - Cnematca dretta La cnematca dretta affronta l problema statco della rcerca delle relazon che legano la poszone e l'orentamento dell'estremtà della struttura del robot alle varabl d gunto. Tale relazone prende l nome d equazone cnematca n quanto governa l comportamento cnematco del robot (Fg.). Fg. Schema generale d un meccansmo a pù grad d lbertà La struttura de robot ndustral è sempre costtuta da una catena cnematca aperta, coè da una sere d element rgd collegat l'uno all'altro da gunt. Per dentfcare correttamente e sntetcamente component della struttura convene assocare a cascuno d ess un numero seguendo un'opportuna convenzone (Fg.).

2 Fg. Numerazone d element e gunt n un robot a n gunt Nel seguto l prmo elemento della struttura, coè quello collegato a terra, sarà dentfcato come segmento zero e successv con una numerazone progressva:,,..., n-, n dove n è l numero de gunt. I gunt vengono numerat progressvamente, a partre da uno, nell'ordne n cu s ncontrano muovendos dalla base della struttura verso la sua estremtà. Con questa convenzone, l generco gunto sarà quello che unsce gl element - e della struttura. La cnematca dretta è meglo defnta ntroducendo n+ sstem d rfermento tal che: ϑ la terna O _X Y Z sa quella base, ϑ la terna O _x y z sa soldale con l prmo elemento della struttura, ϑ la terna O _x y z sa soldale con l secondo elemento ϑ. ϑ la terna O _x n y n z n sa soldale con l'estremtà della struttura L'equazone cnematca è l'nseme delle relazon che esprmono la poszone e l'orentamento della terna O _x n y n z n rspetto a quella d rfermento O _X Y Z, n funzone delle varabl d gunto. La confgurazone assunta dalla struttura del robot, e qund la poszone e l'orentamento della terna d estremtà, possono essere calcolate note che sano le relazon della cnematca dretta e gl n valor delle varabl d gunto. Premesso questo s può pensare d defnre uno spazo, detto spazo de gunt, avente un numero d dmenson par a quello de gunt, coè n. Un punto appartenente a tale spazo vene ndvduato da un nseme ordnato d n coordnate (n,n,...,n n ). Qund ad ogn confgurazone assunta dalla struttura del robot corrsponderà n tale spazo un punto le cu n coordnate saranno valor delle varabl d gunto. L'nverso non e' sempre vero n quanto gunt hanno possbltà d movmento lmtata e qund non sarà possble far corrspondere ad ogn punto dello spazo de gunt una possble confgurazone della struttura del robot. La cnematca dretta può qund essere pensata come l'nseme d quelle relazon che trasformano un punto dello spazo de gunt (che esprme la confgurazone della struttura del robot) nella poszone ed orentamento d una terna cartesana (quella soldale con l'estremtà della struttura).

3 - Cnematca dretta per un meccansmo pano a due grad d lbertà S consder un meccansmo a due grad d lbertà n cu gl ass d rotazone de due gunt sano entramb perpendcolar al foglo n modo tale che ogn suo movmento avvenga n tale pano (Fg.3). Fg. 3 Schema e geometra del meccansmo Essendo due gunt, s dovranno defnre tre terne, la prma d rfermento, la seconda soldale al prmo segmento della struttura e l'ultma al secondo. Essendo a pror del tutto arbtrara sa la poszone n cu sstemare l'orgne che l'orentamento da dare agl ass d rfermento, convene poszonare le terne n modo tale da semplfcare l problema. Una buona soluzone per la terna d rfermento O _X Y Z è quella d fare concdere l'orgne con l'ntersezone tra l'asse d rotazone del prmo gunto e l pano n cu s muove l robot. Per quanto rguarda l'orentazone è convenente che l'asse Z concda con quello d rotazone del prmo gunto. L'orgne della terna O _x y z può essere sstemata tra l'ntersezone dell'asse d rotazone del secondo gunto ed l pano d movmento del robot, l'asse z concdente con quello d rotazone del secondo gunto mentre l'asse x può essere vantaggosamente orentato n modo da essere l prolungamento del prmo bracco. L'orgne dell'ultma terna, O _x y z, vene n genere poszonata n un punto dell'ultmo elemento della struttura partcolarmente nteressante, ad esempo quello n cu avvene la chusura delle due dta. Per quanto rguarda gl ass, una buona soluzone e' d dsporre z parallelo a Z e z e x come l prolungamento del secondo bracco. Nel seguto s utlzzeranno le matrc d trasformazone 4 x 4 ntrodotte nel captolo precedente anche se, essendo tutt movment appartenent al pano X Y della terna d rfermento, sarebbe n teora possble utlzzare delle matrc 3 x 3 che trascurno la terza dmensone. Tal matrc s ottengono da quelle che verranno utlzzate toglendo la terza colonna e la terza rga. La scelta d utlzzare comunque le pù complesse matrc 4 x 4 è gustfcata dalla esgenza d rendere l'esempo pù aderente alla trattazone generale del problema che verrà svluppata nel seguto. Nell'ntento d semplfcare la rappresentazone delle funzon trgonometrche seno e coseno, d cu s farà un uso ntenso, s adotteranno le seguent convenzon: snϑ n = S n cosϑ n = C n sn ( ϑ m + ϑ n ) = S mn cos( ϑ m + ϑ n ) = C mn

4 La trasformazone omogenea che descrve la terna O _x y z rspetto a quella d rfermento e': A = C S S C l C l S La varable d gunto è l'angolo d rotazone ϑ attorno all'asse Z del sstema d rfermento base. Questa prma osservazone permette d scrvere mmedatamente la sottomatrce d rotazone rot(z,ϑ ). Rmangono da determnare gl element della quarta colonna, che sono po le coordnate d O. Tale punto è vncolata a muovers attorno a O ad una dstanza fssa par alla lunghezza del prmo elemento della struttura del robot (dstanza tra due ass d rotazone). Qund e' possble esprmere la sua ascssa e la sua ordnata n modo trgonometrco: X = l * C Y = l * S La coordnata Z d O non pone alcun problema n quanto e' sempre nulla. Determnate le prme tre rghe della matrce non resta che completarla con la quarta per ottenere la matrce sopra rportata. La trasformazone omogenea che descrve la terna O _x y z rspetto alla O _x y z è: A = C S S C lc l S Il procedmento per ottenere questa matrce e' analogo a quello utlzzato per determnare A. L'equazone cnematca per questo robot a due grad d lbertà sarà: C T = A A = S S C lc + lc l + S ls L'esattezza de rsultat può essere verfcata calcolando la poszone dell'orgne O della seconda terna e l'angolo d cu rsulta ruotata rspetto a quella d rfermento utlzzando la trgonometra. La coordnate x ed y del punto O s ottengono proettando sull'asse delle ascsse e delle ordnate le lunghezze de due bracc (Fg.4): x = l C + l C elemento [,4] della matrce y = l S +l S " [,4] " " La terna d estremtà rsulta ruotata attorno all'asse Z dell'angolo ϑ rspetto al rfermento, come rsulta dalla sottomatrce d rotazone 3 x 3.

5 Fg. 4 Schema del meccansmo con rportate le terne d rfermento e le coordnate lbere Esempo: dato l robot d Fg.4, calcolare la poszone dell'estremtà della struttura quando: ϑ = 6 ϑ = -3 sapendo che: l = 6 mm l = 5 mm Dsponendo le terne come precedentemente descrtto e facendo concdere l'orgne della seconda terna con l punto cercato, s ottene: La poszone dell'estremtà della struttura sarà: x = y = Cnematca dretta per un robot a se grad d lbertà I robot a se grad d lberta rappresentano le strutture pù complete effettvamente operant n ambto ndustrale e qund la rcerca della loro equazone cnematca può essere vsta come l caso pù complesso che s possa ncontrare. L'equazone cnematca vene rcavata con l'applcazone rpetuta del procedmento utlzzato per l robot a due grad d lbertà: prma s numerano segment che costtuscono la struttura e gunt e

6 po s dspongono le terne, una d rfermento e altre se, cascuna soldale ad un sngolo elemento nella struttura del robot (Fg.5). L'equazone cnematca è la relazone matematca che, n funzone de valor delle se varabl d gunto, dà poszone ed orentamento della terna O 6..x 6 y 6 z 6 rspetto al rfermento O..X Y Z. Fg. 5 Schema generale dell applcazone delle terne al meccansmo Tale relazone sarà n pratca una trasformazone omogenea, coè una matrce 4 x 4, cu sngol element saranno funzone delle varabl d gunto. La poszone e l'orentamento d una qualsas delle terne ntrodotte, rspetto alla sua precedente, può essere espressa tramte una opportuna trasformazone omogenea funzone della varable d gunto che ne permette l movmento relatvo. Qund l'equazone cnematca può essere ottenuta come l prodotto delle se trasformazon omogenee che descrvono le relazon tra le terne (Fg.5). Le se trasformazon d nteresse sono: A -> posz. ed orent. d O _X Y Z rspetto ad O _x y z A -> " " " " O _x y z rspetto ad O _x y z A 3 -> " " " " O 3 _x 3 y 3 z 3 rspetto ad O _x y z. A 4 -> " " " " O 4 _x 4 y 4 z 4 rspetto ad O 3 _x 3 y 3 z 3 A 5 -> " " " " O 5 _x 5 y 5 z 4 rspetto ad O 4 _x 4 y 4 z 4 A 6 -> " " " " O 6 _x 6 y 6 z 6 rspetto ad O 5 _x 5 y 5 z 4 dove con A s ndca la matrce corrspondente e con l'ndce l numero del gunto che permette l movmento relatvo delle due terne. Ad esempo, gl element della matrce A 3 saranno funzone della poszone assunta dal terzo gunto ed esprmeranno la poszone e l'orentamento d O 3 _x 3 y 3 z 3 rspetto ad O _x y z. L'equazone cnematca, che d'ora n po chameremo T, sarà data dal prodotto delle se matrc che descrvono le relazon tra le terne: T = A A A 3 A 4 A 5 A 6 Tutto è qund rcondotto alla determnazone delle sngole trasformazon, problema che verrà affrontato successvamente. La maggor parte delle strutture de robot ndustral prevedono che prm tre gunt sano specalzzat a poszonare gl oggett nello spazo mentre tre rmanent ne permettono l'orentazone. Questa consderazone suggersce d rscrvere l'equazone cnematca sottolneando questa specalzzazone:

7 T = TpTo dove: Tp = A A A 3 To = A 4 A 5 A 6 La trasformazone Tp esprme la poszone e l'orentamento della terza terna, soldale con l terzo elemento della struttura, rspetto al rfermento base. Quando l robot è cartesano tale trasformazone sarà caratterzzata dall'avere la componente rotatora costante n quanto prm tre ass del robot sono prsmatc e qund non modfcano l'orentamento della terza terna rspetto al rfermento (Fg.6). Fg. 6 Quando nvece almeno uno de prm tre gunt è rotodale, anche la componente rotatora della matrce Tp sarà funzone delle varabl d gunto (Fg.7). La trasformazone To esprme la poszone e l'orentamento della terna d estremtà della struttura rspetto alla terza. Gl ultm tre gunt delle strutture de robot sono pratcamente sempre rotodal per cu la trasformazone To conterrà sempre una componente rotatora funzone delle varabl d gunto. La componente traslatora può al contraro essere nulla. Questo accade quando gunt sono dspost n modo che tre ass d rotazone s ncontrano n un unco punto (s parla d polso sferco e la condzone e' verfcata nella maggor parte de robot ndustral) che vene fatto concdere con l'orgne delle terne, dalla terza alla sesta (Fg.8a). La componente d traslazone sarà n questo caso nulla perché la poszone dell'orgne della sesta terna, concdente con quella della terza, non può essere modfcata dal movmento degl ultm tre gunt n quanto appartene a loro ass d rotazone.

8 Fg. 7 Nella pratca questa stuazone s rscontra raramente n quanto la sesta terna vene sempre poszonata n un punto sgnfcatvo della struttura (Fg.8b); ad esempo n corrspondenza della flanga d attacco degl utensl o concdente con la loro estremtà operatva. Fg. 8 Quando l polso non e' sferco la To conterrà sempre una componente traslatora rsultato del movmento rotatoro de gunt (Fg.9). Fg. 9 La matrce T esprme la poszone e l'orentamento della sesta terna rspetto a quella d rfermento e qund avrà la seguente forma:

9 T = x6 y6 z6 j j j x6 y6 z6 k k k x6 y6 z6 O6x O 6 y O 6z L'ntenso uso che s farà nel seguto d questa matrce consgla tuttava d utlzzare una formulazone pù semplce: T = nx n y nz o o o x y z a a a x y z px p y p z Analzzando per colonne la matrce s ha (Fg. ): n = vettore normale. Consderando una pnza ad apertura parallela delle dta sarà ortogonale al pano n cu avvene tale movmento. o = vettore apertura. Verrà orentato n modo da descrvere l movmento d apertura e d chusura delle dta. a = vettore avvcnamento. Indca la normale al palmo della mano e qund la drezone con cu l'utensle d presa deve approccare le part da manpolare. p = vettore poszone. Esprme la poszone dell'orgne della sesta terna rspetto a quella d rfermento. In generale l'orgne vene poszonata nel punto centrale della pnza quando le due dta sono completamente chuse. Fg. Nella pratca rsulta spesso convenente adottare come terna d rfermento un sstema d rfermento cartesano dverso da O _X Y Z. Questa eventualtà s presenta ad esempo quando s deve gestre un'sola robotzzata n cu operano contemporaneamente pù macchne. In tal caso è evdente l vantaggo d rferre le poszon d tutt gl oggett e le operazon ad ess relatve ad un unco sstema d rfermento.

10 Fg. In quest cas, per descrvere la poszone e l'orentamento della sesta terna rspetto al nuovo rfermento costtuto dalla terna B (base), occorrerà consderare una ulterore trasformazone omogenea (Fg. ). Tale trasformazone, ndcata nel seguto con Z, esprmerà poszone ed orentamento della terna O _X Y Z rspetto alla B. Qund la sesta terna sarà dentfcata dalla trasformazone: ZT = ZA A A 3 A 4 A 5 A 6 Sempre esgenze pratche spngono ad ntrodurre, a volte, una ulterore trasformazone, ndcata con U, che descrve la poszone e l'orentazone dell'utensle o della pnza montato sul robot rspetto alla sesta terna (Fg. ). Un esempo d tale esgenza s ha ne robot d saldatura n cu e' necessaro conoscere l punto termnale della torca d saldatura. Qund la relazone che da' la poszone e l'orentamento dell'utensle manpolato dal robot rspetto alla terna base sarà: ZTU = ZA A A 3 A 4 A 5 A 6 U 4 - Parametr caratterstc degl element della struttura Le trasformazon omogenee A descrvono la rototraslazone della generca terna -esma rspetto alla --esma. La loro rcerca è semplfcata dall'utlzzo della rappresentazone d Denavt e Hartenberg. Tale rappresentazone consste n una matrce d trasformazone omogenea che permette d stablre n modo sstematco la poszone e l'orentamento de sstem d rfermento soldal con sngol element della struttura del robot. Prma d utlzzare questa matrce è tuttava utle rpercorrere la strada che ha portato alla sua formulazone. Il prmo passo e' l'ntroduzone d alcune regole per la dsposzone delle terne d rfermento. S consderno due element generc della struttura (- e ) e l gunto che l collega () che, n ambto ndustrale, potrà essere d tpo rotodale (d torsone Fg.a o d flessone (Fgb) o prsmatco (Fg.3). Ogn sstema d coordnate può essere ben defnto utlzzando le seguent regole (Fg.4):

11 orgne all'ntersezone tra l'asse d rotazone del gunto + e la normale comune agl ass de gunt e +. S not che la terna -esma è qund n corrspondenza del gunto +-esmo. Quando due ass d rotazone de gunt e + sono concorrent l'orgne andrà poszonata nel punto d ncontro. Quando nvece sono parallel s sceglerà, tra le nfnte normal comun, quella che passa per la prma orgne ben defnta che s ncontra avanzando nella catena cnematca. asse z concdente con l'asse d rotazone del gunto +. asse x lungo l prolungamento della normale comune ed orentato n drezone opposta all'asse -. Quando gl ass d rotazone de gunt e - sono concorrent la normale comune degenera n un punto e qund l'asse x avrà drezone concdente con quella del prodotto vettore tra z - e z e verso arbtraro. asse y perpendcolare agl altr due ass n modo da ottenere una terna destra. Fg. Fg. 3 Le regole sopra esposte sono faclmente estendbl a gunt prsmatc pur d sostture all'asse d rotazone la drezone d traslazone. Tra le nfnte rette avent tale drezone s opterà per quella passante per la prma orgne ben defnta che s ncontra avanzando nella catena cnematca (Fg.5). La prma e l'ultma terna non possono essere completamente defnte utlzzando le regole vste n quanto s trovano alle estremtà della struttura.

12 Fg. 4 Fg. 5 Per quanto rguarda la terna base (la prma) s convene d poszonare l'orgne n un opportuno punto appartenente all'asse d rotazone del prmo gunto e d far concdere quest'ultmo con l'asse Z. La dsposzone degl ass X e Y e' nvece arbtrara. Per la terna d estremtà rsulta convenente poszonare l'orgne n un opportuno punto dell'organo termnale e d orentare gl ass n modo che sa semplce descrvere rspetto ad ess le operazon d lavoro (Fg.). S consderno ora due generc element della struttura d un robot rportat n Fg.4 con le relatve terne. La rappresentazone d Denavt e Hartenberg utlzza quattro parametr per descrvere la poszone e l'orentamento della _esma terna rspetto alla --esma. La prma coppa descrve la geometra dell'-esmo elemento della struttura ed è costtuta pertanto da due costant. Tal costant sono:

13 a - dstanza dell'asse z da z -. Tale dstanza e' la lunghezza della normale comune, coè d quel segmento compreso tra due ass e normale ad entramb. Questa costante esprme la lunghezza dell'elemento della struttura. α - angolo formato dalle proezon de due ass z e z - su un pano perpendcolare alla normale comune. Per convenzone s assume l'angolo postvo quando la proezone dell'asse z - deve essere ruotata n senso antoraro attorno all'asse x per sovrapporla a quella dell'asse z. Questa costante esprme l'angolo d rotazone dell'elemento della struttura. La seconda coppa determna la poszone relatva de due gunt adacent ed + ed è formata da una costante e da una varable. d - dstanza tra le due ntersezon che gl ass x - ed x hanno con l'asse e z -. Tale parametro rsulta essere varable nel caso n cu l gunto sa d tpo prsmatco; ϑ - angolo formato dalla proezone delle due normal comun (ass x - ed x su un pano perpendcolare all' asse e z -. Per convenzone s assume postvo l'angolo quando la proezone dell'asse x - deve essere ruotata n senso antoraro attorno all'asse z - per sovrapporla a quella dell'asse x. Tale parametro rsulta essere varable nel caso n cu l gunto sa rotodale. Con quest quattro parametr s e' n grado d rappresentare la poszone e l'orentamento della terna -esma rspetto alla terna --esma. Per semplfcare la procedura che porta a scrvere la trasformazone omogenea relatva e' utle ntrodurre la terna ntermeda H _x'y'z' (Fg.6). Tale terna avrà l'orgne nel punto d ntersezone tra l'asse z - e x, l'asse x' dretto come x e l'asse z' come z -. Utlzzando le due costant a ed α che descrvono la geometra dell'-esmo elemento della struttura è possble scrvere la trasformazone omogenea che permette d passare dalla terna O _x y z alla H _x'y'z'. Tale trasformazone sarà l rsultato d una traslazone d a lungo l'asse x' e d una rotazone d α attorno all'asse x': H =trasl(a,,)rot(x', α ) = cosα senα senα cosα a Tramte due parametr che descrvono la poszone relatva de due gunt - e è possble scrvere la trasformazone omogenea che permette d passare dalla terna H _x'y'z' alla O - _x - y - z -. Tale trasformazone e' composta dalla traslazone d lungo l'asse Z - e dalla rotazone ϑ attorno allo stesso asse. H' = trasl (, d ) rot (z, ϑ ) = C S S C d

14 Fg. 6 La trasformazone omogenea d Denavt e Hartenberg è data dal prodotto delle due matrc H ed H ': H ' H = A C S = S cosα C cosα senα S senα C senα cosα ac a S d Per gunt rotodal la varable d gunto è l'angolo ϑ mentre per quell prsmatc è la lunghezza d. Inoltre, quando l gunto -esmo e' prsmatco, la costante a s annulla. 5 - Esemp d cnematca dretta Le fas che permettono d rcavare l'equazone cnematca d un robot, ndpendentemente dalla complesstà della sua struttura, possono essere così rassunte: - defnre una terna base d rfermento e assegnare ad ogn elemento della struttura una terna secondo le regole precedentemente esposte. Pur seguendo l formalsmo d Denavt e Hartenberg le terne possono essere dsposte n molt mod dvers per cu uno stesso problema può essere rsolto con pù procedment equvalent al fne del rsultato fnale. - rcavare parametr cnematc caratterstc per gunt e per gl element della struttura. - rcavare le trasformazon omogenee A che mettono n relazone la terna -esma con la --esma. - ottenere l'equazone cnematca moltplcandole tra loro Robot a due grad d lbertà S consder l robot a due grad d lbertà descrtto nel Par. e rportato n Fg. 4 e se ne determn l'equazone cnematca. Terne d rfermento: O _X,Y Z O : ntersezone tra Z e l pano n cu s muove l robot. X : drezone arbtrara. Y : completa la terna destra.

15 Z : concdente con l'asse d rotazone del prmo gunto. O _x y z O : ntersezone tra z e l pano n cu s muove l robot. x : prolungamento della normale comune agl ass Z e z passante per O. y : completa la terna destra. z : concdente con l'asse d rotazone del secondo gunto. O _x y z O : punto d chusura della pnza del robot. x : prolungamento del segmento O O y : completa la terna destra. z : parallelo a Z e z. Parametr cnematc e varabl d gunto: Gunto Matrc d trasformazone D-H: ϑ d α a Matrce ϑ l A ϑ l A Sosttuendo nella trasformazone d Denavt e Hartenberg parametr cnematc e le varabl d gunto s rcavano le matrc A e A rportate nel Punto.. Equazone cnematca: n x = C n y = S n z = o x = -S o y = C o z = a x = a y = a z = p x = l *C +l *C p y = l *S +l *S p z = 5. - Robot clndrco a tre grad d lbertà S consder l robot clndrco d Fg.7 e se ne determn l'equazone cnematca.

16 Fg. 7 Terne d rfermento: O _X Y Z O : un punto dell'asse d traslazone del prmo gunto concdente con quello d rotazone del secondo. X : drezone arbtrara. Y : completa la terna destra. Z : concdente con l'asse parallelo alla drezone d traslazone del gunto passante per O. O _x y z O : ntersezone tra z e la normale comune con la retta parallela alla drezone d traslazone del terzo gunto passante per O 3. x : concdente con X quando d =. y : concdente con Y quando d =. z : concdente con l'asse d rotazone del secondo gunto. O _x y z O : ntersezone tra z e la normale comune a z. x : normale al pano ndvduato da z e z. y : completa la terna destra. z : concdente con la retta parallela alla drezone d traslazone del 3 gunto passante per O 3. O 3 _x 3 y 3 z 3 O 3 : punto d chusura della pnza del robot. x 3 : concdente con l vettore normale della pnza. y 3 : concdente con l vettore apertura. z 3 : concdente con l vettore avvcnamento.

17 Parametr cnematc e varabl d gunto: Gunto ϑ d α a Matrce d A ϑ 3-9 a A 3 d 3 A 3 Matrc d trasformazone D-H: A = d C A = S S C ac a S A 3 = d 3 Equazone cnematca: n x = C n y = S n z = o x = o y = o z = - a x = - S a y = C a z = p x = -d 3 S + a C p y = d 3 C + a S p z = d Esempo: dato l robot d Fg.7, calcolare la poszone e l'orentamento dell'estremtà della struttura quando: d = 5 mm ϑ = 3 3

18 d 3 = 4 mm sapendo che: a = mm Sosttuendo nell'equazone cnematca s calcola la trasformazone omogenea che descrve la terna d estremtà rspetto al rfermento: T = A A A 3 = Il rsultato ottenuto può essere verfcato dsegnando la confgurazone della struttura corrspondente a dat del problema Robot antropomorfo a tre grad d lbertà S consder l robot antropomorfo d Fg.8 e se ne determn l'equazone cnematca. Fg. 8 Terne d rfermento: O _X Y Z O : ntersezone tra Z e Z. X,Y : drezon arbtrare. Z : concdente con l'asse d rotazone del prmo gunto. O _x y z O : concdente con O. x : normale al pano ndvduato da Z e z. y : completa la terna destra. z : concdente con l'asse d rotazone del secondo gunto. O _x y z O : ntersezone tra z e la normale comune con z passante per O.

19 x : prolungamento della normale comune. y : completa la terna destra. z : concdente con l'asse d rotazone del terzo gunto. O 3 _x 3 y 3 z 3 O 3 : concdente con O. x 3 : concdente con l vettore normale della pnza. y 3 : concdente con l vettore apertura. z 3 : concdente con l vettore avvcnamento. Intutvamente s sarebbe tentat d sstemare l'orgne d questa terna n corrspondenza del punto d chusura della pnza. Questa sstemazone non è tuttava compatble con la metodologa d Denavt e Hartenberg n quanto quattro parametr non sarebbero suffcent per descrverne la poszone rspetto alla terna precedente. In partcolare, per portare a concdere le due orgn, sarebbe necessaro traslare O 3 lungo l'asse x, movmento non permesso dal formalsmo adottato. La poszone della pnza (P n Fg.8), detta l la dstanza tra P ed O 3 può essere calcolata come segue: P x = p x + l a x P y = p y + l a y P z = p z + l a z Infatt P s trova sul prolungamento n drezone postva dell' asse z 3, d cu s conoscono cosen drettor a x, a y, a z. L'orentamento e' nvece determnato dalla conoscenza d quello della terza terna. Parametr cnematc e varabl d gunto: Gunto ϑ d α a Matrce ϑ -9 A ϑ l A 3 ϑ 3 9 A 3 Matrc d trasformazone D-H: A = C S S C A = C S S C lc l S

20 C3 A 3 = S3 S 3 C 3 Equazone Cnematca n x = C C 3 n y = S C 3 n z = -S 3 o x = -S o y = C oz = a x = C S 3 a y = S S 3 az = C 3 p x = l C C p y = l S C p z = - l S La poszone della pnza è data da : Px = l C C + l C S 3 Py = l S C + l S S 3 Pz = -l S +l C 3 Esempo: dato l robot d Fg.8, calcolare la poszone e l'orentamento dell'estremtà della struttura quando: ϑ = 9 ϑ = ϑ = 3 sapendo che: l = 6 l = 5 Sosttuendo nell'equazone cnematca, s calcola la trasformazone omogenea che descrve la terza terna rspetto al rfermento: T = A A A 3 = 6

21 Il rsultato ottenuto può essere verfcato osservando la Fg.8 che rappresenta l robot con questa confgurazone de gunt. La poszone del centro pnza sarà un punto che, rspetto all'orgne O 3 e' traslato d 5mm nel verso postvo dell'asse z 3. Conoscendo versor d z 3 le coordnate d tale punto possono essere calcolate: ascssa -> 6+*5 = mm ordnata -> +* = mm quota -> +* = mm L'orentamento della pnza è defnto da versor degl ass della terza terna Polso sferco S consder l polso sferco d Fg.9 e se ne determn l'equazone cnematca. Fg. 9 Terne d rfermento: Il polso vene normalmente collocato a valle de tre gunt prncpal per permettere al robot d orentare correttamente gl oggett. Per questo s consdererà come terna d rfermento la O 3 _x 3 y 3 z 3 mentre le successve avranno ndce crescente, così come le varabl d gunto che saranno ndcate con ϑ 4ϑ5ϑ6. O 3 _x 3 y 3 z 3 O 3 : ntersezone degl ass d rotazone de gunt. x 3,y 3 : drezon arbtrare. z 3 : concdente con l'asse d rotazone del prmo gunto del polso. O 4 _x 4 y 4 z 4 O 4 : concdente con O 3. x 4 : normale al pano ndvduato da z 3 e z 4. y 4 : completa la terna destra. z 4 : concdente con l'asse d rotazone del secondo gunto del polso. O 5 _x 5 y 5 z 5 O 5 : concdente con O 4. x 5 : normale al pano ndvduato da z 4 e z 5. y 5 : completa la terna destra.

22 z 5 : concdente con l'asse d rotazone del terzo gunto del polso. O 6 _x 6 y 6 z 6 O 6 : punto d chusura della pnza del robot. x 6 : concdente con l vettore normale della pnza. y 6 : concdente con l vettore apertura. z 6 : concdente con l vettore avvcnamento. Parametr cnematc e varabl d gunto: Gunto polso ϑ d α a Matrc ϑ 4-9 A ϑ 5 9 A 3 ϑ 6 d 6 A 3 Matrc d trasformazone D-H: C4 A 4 = S4 S C 4 4 C5 A 5 = S5 S C 5 5 A 6 = C6 S6 S C 6 6 d 6 Equazone cnematca: n x = C 4 C 5 C 6 -S 4 S 6 n y = S 4 C 5 C 6 -C 4 S 6 n z = -S 5 C 6 o x = -C 4 C 5 S 6-S 4 C 6 o y = S 4 C 5 C 6 -C 4 S 6 o z = -S 5 C 6 a x = C 4 S 5 ay = S 4 S 5 az = C 5 p x =d 6 C 4 S 5 p y =d 6 S 4 S 5

23 p z =d 6 S 5 Esempo: dato l polso d Fg.9, calcolare la poszone e l'orentamento della sua terna d estremtà quando: ϑ 4 = ϑ 5 = ϑ 6 = sapendo che: d6 = 5 mm Sosttuendo nell'equazone cnematca s calcola la trasformazone omogenea che descrve la terna d estremtà rspetto a quella d rfermento: T = A 4 A 5 A 6 = = 5 Il rsultato ottenuto può essere verfcato mmedatamente n rfermento alla fg.9.