Esercizi di Controlli LS - 1

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1 Esercizi di Controlli LS - 1 i a R a v a v c ω C r Figura 1: Motore elettrico in corrente continua. Esercizio - Si considera il motore elettrico in corrente continua a magneti permanenti rappresentato in Figura 1, descritto dalle equazioni v a (t) = R a K m K c = b d = con il seguente significato dei simboli: v a (t) R a K m b K c tensione di armatura (ingresso) coppia resistente (ingresso) corrente di armatura velocità angolare posizione angolare resistenza di armatura induttanza di armatura costante della fcem di armatura momento di inerzia coefficiente di attrito viscoso costante di coppia del motore Assumendo come ingressi v a e c r, come stato i a, ω e ϑ, come uscite ω e ϑ, ricavare le matrici (A,B,C,D) che descrivono il sistema in forma di stato. Assumendo come valore dei parametri: R a = 1 =.7 K c =.1 = 1 b = 1 K m =.1 - si studi la risposta del sistema all impulso e al gradino unitario: - agendo solo sull ingresso v a (t), si realizzi un controllo in retroazione della posizione e se ne studi la risposta all impulso, al gradino unitario e ad un ingresso sinusoidale:

2 - agendo solo sull ingresso v a (t), si realizzi un controllo in retroazione della velocità e se ne studi la risposta all impulso, al gradino unitario e ad un ingresso sinusoidale: - agendo solo sull ingresso v a (t), si realizzi un controllo in retroazione della posizione e della velocità e se ne studi la risposta all impulso, al gradino unitario e ad un ingresso sinusoidale. Comandi MatLab da utilizzare: ss, impulse, step, lsim. Soluzione Determiniamo le matrici (A, B,C, D). Le equazioni che descrivono il sistema possono essere riscritte nel seguente modo: d = R a K m 1 v a (t) (1) = K c i a(t) b 1 c r(t) (2) = (3) Scrivendo il sistema di equazioni formato dalla (1),(2) e (3) in forma matriciale ed esplicitando le componenti dello stato, degli ingressi e delle uscite si ottine: d = = R a K c K m La b (4) (5) É possibile scrivere la (4) e la (5) in forma più compatta ponendo: x(t) = T, v a (t) T, y(t) = T R a K m 1 La A = K c b, B = 1 1, C =, D = 1 1 da cui si ottiene la classica rappresentazione di un sistema dinamico in forma di stato: ẋ(t) = A x(t)b u(t) (6) y(t) = C x(t)d u(t) (7) Per lo studio della risposta del sistema all impulso e al gradino si faccia riferimento al M-file allegato motorecc.m.

3 Vediamo ora come realizzare un controllo in retroazione della posizione dell albero motore di tipo proporzionale, agendo sul solo ingresso v a (t). Si definisce la funzione errore e(t) data dalla differenza fra una posizione di riferimento ϑ re f (t) a cui si vuole portare il sistema e la posizione attuale dell albero motore : e(t) = ϑ re f (t) (8) Siccome si vuole realizzare un controllo di tipo proporzionale agendo solo sulla tensione con cui si pilota il motore v a (t), si avrà che: v a (t) = k p e(t) = k p (ϑ re f (t) ) (9) dove con k p si indica la costante di guadagno del controllore. Il vettore degli ingressi del sistema u(t) può quindi essere riscritto come: kp (ϑ ) kp ϑ kp Si noti che l ingresso del motore è ora costituito dalla somma di due contributi, il primo dovuto alla posizione di riferimento ϑ re f (t) e alla coppia resistente e il secondo dovuto alla posizione dell albero motore che è un uscita del sistema. Indicando con p(t) = ϑ re f (t) T il nuovo ingresso del sistema controlloremotore ed esplicitando il contributo dovuto alla retroazione del uscite y(t) la (1) si può scrivere come: kp 1 ϑre f (t) kp (1) = K i p(t)ky(t) (11) kp 1 kp Andando a sostituire la (11) nella (6) e riscrivendo la (7) tralasciando il termine dovuto alla D che è nulla si ottiene: ẋ(t) = Ax(t)B(K i p(t)ky(t)) = Ax(t)BK i p(t)bky(t) (12) y(t) = Cx(t) (13) e sostituendo la (13) nella (12) e raccogliendo i termini che moltiplicano lo stato x(t) si ha: Ponendo ẋ(t) = (ABKC)x(t)BK i p(t) (14) y(t) = Cx(t) (15) Â = (ABKC), ˆB = BK i, Ĉ = C, ˆD = D le (14) e (15) rappresentano il nuovo sistema dinamico controlloremotore ẋ(t) = Â x(t) ˆB p(t) (16) y(t) = Ĉ x(t) ˆD p(t) (17)

4 p(t) K i u(t) Motore in corrente continua y(t) K Figura 2: Schema del controllo in retroazione realizzato. Per realizzare il controllo in retroazione della velocità, il procedimento è analogo a quanto visto nel caso del controllo di posizione. Si definisce la funzione errore e(t) come: quindi la tensione in ingresso al motore v a (t) sarà data da: e(t) = ω re f (t) (18) v a (t) = k v e(t) = k v (ω re f (t) ) (19) dove con k v si indica la costante di guadagno del controllore. Il vettore degli ingressi del sistema u(t) può quindi essere riscritto come: kv (ω ) kv ω kv Indicando con p(t) = ω re f (t) T il nuovo ingresso del sistema controlloremotore ed esplicitando il contributo dovuto alla retroazione del uscite y(t) la (2) si può scrivere come: kv 1 ωre f (t) kv (2) = K i p(t)ky(t) (21) kv 1 kv La definizione delle matrici (Â, ˆB,Ĉ, ˆD) che descrivono il sistema controlloremotore rimane inalterata rispetto al caso precedente.

5 Nel caso si voglia realizzare un controllo in retroazione sia della posizione che della velocità, ci si può ricondurre al caso del solo controllo di posizione con l unica differenza che nella (9) si deve aggiungere un termine proporzionale alla velocità dell albero motore: v a (t) = k p (ϑ re f (t) ) k v (22) dove con k p si indica la costante di posizione e con k v la costante di velocità. Il vettore degli ingressi del sistema u(t) può quindi essere riscritto come: kp (ϑ ) k v kp ϑ kp k v (23) Indicando con p(t) = ϑ re f (t) T il nuovo ingresso del sistema controlloremotore ed esplicitando il contributo dovuto alla retroazione del uscite y(t) la (23) si può scrivere come: kp 1 ϑre f (t) kv k p = K i p(t)ky(t) (24) kp 1 kv k p La definizione delle matrici (Â, ˆB,Ĉ, ˆD) che descrivono il sistema controlloremotore rimane inalterata rispetto al caso della sola retroazione di posizione.