Integrazione per parti e per sostituzione

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1 Integrazione per parti e per sostituzione Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi B Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 1/51

2 Formula di integrazione per parti Integrazione per parti Si applica all integrazione di prodotti di funzioni Proposizione: formula di integrazione per parti Sia I R intervallo in R esianof, g : I! R due funzioni derivabili con derivata continua (cioè f, g 2 C 1 (I )). Allora per ogni a, b 2 I abbiamo che Z b a f 0 (x)g(x) dx [f (x)g(x)] b a Z b a f (x)g 0 (x) dx. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 2/51

3 Dimostrazione Ricardo eke day # gcx ) ) ftxlgcx ) tfcxlgkx ) Tutegw its fx e I sn mamboemembro fabdda ( fexlgixtdxefabfkxlgixdxtfathxlgk fcblgcbl - - flalgla ) Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 3/51

4 fabfixigcxldx f. fexlgixifab he fexlgtxdx DX Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 4/51

5 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 5/51

6 Osservazioni Sf ' klgixldx fix ' gix ) - a - la formula vale anche per integrali indefiniti ffcxijcxldx - Z b f 0 (x)g(x) dx [f (x)g(x)] b a a Z b a f (x)g 0 (x) dx riconduce il calcolo di Z b a f 0 g stata scaricata dalla f alla g). L idea è: passare dall integrale di semplice R b a fg 0. al calcolo di Z b a fg 0 (la derivata è cile R b a f 0 g all integrale più Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 6/51

7 - Operativamente, per applicare l integrazione per parti al calcolo di Z b a h(x)k(x) dx G- f bisogna scegliere, fra h e k, I quale ha il ruolo di f 0, I quale ha il ruolo di g. è fondamentale scegliere bene quale delle due funzioni derivare e quale integrare. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 7/51

8 Miscellanea di integrali per parti Prodotto di un polinomio per una funzione trigonometrica Sia P : R! R una funzione polinomiale esia 6 0: Z b a P(x) sin( x) dx oppure Z b a P(x) cos( x) dx Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte ( f 0 $ sin( x) (oppure f 0 $ cos( x)) g $ P(x), cioè integriamo la funzione trigonometrica e deriviamo il polinomio. asisrabaar To Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 8/51

9 Esempio I Z 1 0 x cos(2x) dx conned {YETI Ism afptuere be formula an salt I ' at { 8 fcx ) since ) a 2 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 9/51

10 - foht. [ " X cos 12 1 dx. + ( any ' six ' ] ' o da film + snc ] to Coscia + since Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 10 / 51

11 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 11 / 51

12 xd - Può essere necessario applicare l integrazione per parti ripetutamente, Esempio I Z 2 1 x 3 sin(x) dx 4/3 2 g*t 3 gth E ftxtsinix ) (a) ( posy ) dxtffaosixl. Cosby } - Y II±* { 9k 51 ' Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 12 / 51

13 - 26.aswdxt[ ( srnuy bglxtox z26. - sincxldx x3ws(x1][ z 6 0* ;D snap / 9th 's z /f' at fexteoscx ) Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 13 / 51

17 Prodotto di un polinomio per una funzione esponenziale. Sia P : R! R una funzione polinomiale esia 6 0. Z P(x)e x dx. Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte ( f 0 $ e x Co Si Si absassa, icsuo a fuedo g $ P(x), - o cioè integriamo la funzione esponenziale e deriviamo il polinomio. de ottewgo Una fz. espneuwale! Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 17 / 51

18 - [.... Esempio I Z 2 0 xe 2x dx an mfs #III fat e I e d + ( ze2 ]2o fee " - eg]2j. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 18 / 51

23 Prodotto di un polinomio per una funzione iperbolica. Sia P : R! R una funzione polinomiale esia 6 0: Z b a "e±e P(x) sinh( x) dx. oppure Z b a P(x) cosh( x) dx Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte ( f 0 $ sinh( x) (oppure f 0 $ cosh( x)) g $ P(x), ye±te* cioè integriamo la funzione iperbolica e deriviamo il polinomio. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 23 / 51

24 Prodotto di un polinomio per una funzione logaritmica. Sia P : R! R una funzione polinomiale esia 6 0.Siano 0 < a < b : Z b a P(x) ln( x) dx. Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte ( f 0 $ P(x), g $ ln( x), cioè integriamo il polinomio e deriviamo la funzione logaritmica. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 24 / 51

25 Esempio I Z 3 1 x ln(2x) dx Hg IIg a, { t * ' cxt g I f3 EH ( + E wgaap, Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 25 / 51

26 . -. f. }, L x2 + logax ) ]3 - Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 26 / 51

28 Esempio Z I ln(x) dx flogixdx. fh logcxldx TIE:* HIKE Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 28 / 51

29 - - xt f. ggdx of + xbgxidx xlogcxl e Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 29 / 51

31 Prodotto di un polinomio per l arcotangente. Sia P : R! R una funzione polinomiale esia 6 0. Z b a P(x) arctan( x) dx. Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte ( f 0 $ P(x), g $ arctan( x), cioè integriamo il polinomio e deriviamo la funzione arcotangente. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 31 / 51

32 - fos Esempio I Z 1 0 x arctan(x) dx Qui ftxt x ( 9 ' xt aroma, { fat x } gtxi 1 1 t 2 I I. teed tfztaneanuitg Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 32 / 51

33 ^ - tearoom en ]! - for i dx f x} are anexit - its fol ( ^ - a) dx ( Bn anianexl - g + 1z artomcxif : - Iz aciom ( 11 - is + 1z artom c e ) arian c 1 ) - lz TG ^ z Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 33 / 51

35 Integrazione per sostituzione Esempio Come integrare Z 1 Intuitivamente: ponendo 0 sin 2 (t)arctan(sin(t)) cos(t) dt?? x sin(t), cioè t arcsin(x), ottengo il termine x 2 arctan(x), che so come trattare (integrando per parti). Come diventa il termine cos(t) dt? come diventano gli estremi di integrazione? Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 35 / 51

36 La formula di integrazione per sostituzione ci dice come si trasforma l integrale dopo il cambiamento di variabile tramite una ' invertibile. x '(t), t ' 1 (x) Formula di integrazione per sostituzione Sia f :[a, b]! R una funzione continua esia x '(t) un cambiamento di variabile tale che ' : I! R è invertibile e derivabile con derivata continua: ' 2 C 1 (I ). Allora Z b a f (x) dx Z ' 1 (b) ' 1 (a) f ('(t))' 0 (t) dt. Vi è anche una versione per gli integrali indefiniti. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 36 / 51

37 Dimostrazione: Sia F una primitiva di f.quindi Z b a f (x) dx F (b) F (a). Per l ipotesi la funzione F ('(t)) è derivabile e vale he dim. basate Sulla founuhe E pu (F ('(t))) 0 F 0 ('(t)) ' 0 (t) f ('(t)) ' 0 (t). al ewvata. Dunque della fz Z ' 1 (b) Z ' 1 f ('(t)) ' 0 (b) compose (t) dt (F ('(t))) 0 dt ' 1 (a) ' 1 (a) F ('(' 1 (b))) F ('(' 1 (a))) F (b) F (a) Z b a f (x) dx Osservazione: integrazione per parti integrazione di un prodotto di funzioni la dimostrazione della formula di integ. per parti è basata su formula per la derivata del prodotto di funzioni integrazione per sostituzione integrazione tramite cambiamento di variabile la dimostrazione della formula di integ. per sostituzione è basata su formula per la derivata della composizione di funzioni Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 37 / 51

38 Struttura di X qlt ) t g- ' k ) Z b a f (x) dx Z ' 1 (b) ' 1 (a) f ('(t))' 0 (t) dt Groome t p f (x) f ('(t)) dx ' 0 (t) dt R b a - ' kl d, R ' 1 (b) ' 1 (a) se x vanafne aeb, tvava Fra E ' Cal e ptcb.) Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 38 / 51

39 ' Cb ) b f f ( eh)q'hdt ffasdx a Esempio iniziale &*nfn dx Z 1 I sin 2 (t)arctan(sin(t)) cos(t) dt 0 xyh srmlt ) dx YIH dt eosltldt \ Parton a) µ dt : Otts 1 x srnhtelsrniol, anal ] I ) 0 corn c i ) 2 aciomexldx per q Parti Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 39 / 51

42 Strategia per integrare funzioni che contengono termini con radicali: e ettuare la sostituzione in modo da eliminare il radicale. Esempio 1 I Z 2 0 x p x +1 dx. Strategy : 1sM# pass X alla old Vari a bi Ee - - s Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 42 / 51

43 I kte Ia s At szi ds(ftlldxztndx xetoiz ] sxtie[ of B ] enb ] - Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 43 / 51

44 .... µ32( 5- i ) ds f. }s3 's ]Bs. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 44 / 51

47 Esempio 2 I Z 1 0 s 3 e s2 ds. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrazione per parti e per sostituzione Analisi B 47 / 51