Matematica - Canale E - A.A Esercitazione 8
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- Antonio Castellani
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1 Matematica - Canale E - A.A. 6-7 Esercitazione 8. INTEGRALI INDEFINITI Integrazione quasi immediati e per sostituzione diretta Per i seguenti integrali si puó Utilizzare la formula con F antiderivata di f, oppure f(g(xg (x dx = F (g(x Ricordare che f(g(xg (x dx = f(u du con u = g(x Passiamo da f(g(xg (x dx a f(u du mediante le sostituzioni u = g(x e g (x dx = du Esercizi. Calcolare i seguenti integrali:. (* 3x x 3 + dx (Soluzione : F (x = ln x3 + +c, c R. (sin x 5 cos xdx (Soluzione : F (x = 6 (sin x6 + c, c R 3. (* cos log x dx (Soluzione : F (x = sin log x + c, c R x 4. (5 + sin xe 5x cos x dx (Soluzione : F (x = e 5x cos x + c, c R 5. x 3 x4 dx (Soluzione : F (x = 4 ln x4 + c, c R
2 6. (* 7x dx (Soluzione : F (x = ln 7x + c, c R 7 7. x x 5 dx (Soluzione : F (x = ln x 5 + c, c R 8. (* 3x 5x 4x + 9 dx (Soluzione : F (x = ln 5x 4x+9 3 +c, c R x x 9 dx (Soluzione : F (x = ln x c, c R 8x x 3 dx (Soluzione : F (x = 4 ln x 3 + c, c R 3e sin x cos xdx (Soluzione : F (x = 3e sin x + c, c R. e arctan x+ x dx (Soluzione : F (x = + e arctan x+ + c, c R 3. 3x x dx (Soluzione : F (x = 3 x + 3 ln x + c, c R 4 4. (* x 5 dx x (Soluzione : F (x = x ln x + c, c R 5. 3x x + 3 dx (Soluzione : F (x = 3 x ln x c, c R 4
3 6. 8x 4x x + 5 dx (Soluzione : F (x = ln 4x x+5 +c, c R Integrazione per sostituzione inversa La stessa formula di sostituzione può essere scritta come f(x dx = f(g(tg (t dtcon x = g(t Passiamo da intf(x dx a f(g(tg (t dt mediante le sostituzioni x = g(t e dx = g (t dt. Spesso si parte da una trasformazione t = h(x suggerita dal testo dell esercizio. Si esplicita x come funzione di t e quindi si procede con la trasformazione.. (* e x / x dx (Utilizzare: t = x (Soluzione: F (x = e x + C. (* x + x dx (Utilizzare t = + x o t = + x (Soluzione: F (x = 5 ( + x5/ 3 ( + x3/ + C 3. (* x 3 dx (Utilizzare t = + x (+x 3 (Soluzione: F (x = ( + x + 4( + x + C 4. x 5 4 x 3 (Utilizzare t = 4 x 3 (Soluzione: F (x = 8 9 (4 x3 3/ + 5 (4 x3 5/ + C Integrazione per parti Se f(x e g(x sono le primitive rispettivamente di f (x e g (x, allora: f(xg (xdx = f(xg(x f (xg(xdx Questa formula si applica quando f (xg(xdx risulta più semplice dell integrale di partenza. Le seguenti formule d integrazione, dove p(x è un polinomio di grado n, rappresentano un applicazione immediata dell integrazione per parti. 3
4 p(xe x dx = p(xe x p (xe x dx f(x = p(x g (x = e x p(x sin xdx = p(x cos x + p (x cos xdx f(x = p(x g (x = sin x p(x cos xdx = p(x sin x p (x sin xdx f(x = p(x g (x = cos x p(x ln xdx = P (x ln x P (x x dx f(x = ln x g (x = p(x φ(xdx = xφ(x xφ (xdx f(x = φ(x g (x = Esercizi. Calcolare i seguenti integrali:. x sin xdx (Soluzione : F (x = x cos x + sin x + c, c R. (* sin xdx (Soluzione : F (x = x sin x cos x + c, c R 3. xe x dx (Soluzione : F (x = e x (x + c, c R 4. xe 3x dx (Soluzione : F (x = 9 e3x (3x + c, c R 5. ( x ln xdx (Soluzione : F (x = x ln x + c, c R 6. cos xdx (Soluzione : F (x = x + sin x cos x + c R 7. ln xdx (Soluzione : F (x = x ln x x + c, c R 8. xe x dx (Soluzione : F (x = e x (x + + c, c R 9. (* x e x dx (Soluzione : F (x = e x (x x + + c, c R 4
5 . (* x ln xdx (Soluzione : F (x = 9 x 3 (3 ln x + c, c R. e x sin xdx (Soluzione : F (x = ( ex cos x+e x sin x+c, c R. e x cos xdx (Soluzione : F (x = (ex sin x+e x cos x+c, c R 3. (* ln(+xdx (Soluzione : F (x = x ln(+x x+ln +x +c, c R 4. (* sin(ln xdx (Soluzione : F (x = ( x sin(ln x x cos(ln x +c, c R 5. cos(ln xdx (Soluzione : F (x = ( x cos(ln x+x sin(ln x +c, c R Esercizi del libro di testo: Dal Capitolo : Esercizi:,,3,4,9,,,,3,4,5,6,8,9,(*,(*,,4 Teorema fondamentale del calcolo e integrali definiti Se F (x è una primitiva di f(x, l integrale definito di f(x è uguale alla differenza dei valori assunti da F (x nell estremo superiore b e nell estremo inferiore a. b Esercizi. Calcolare i seguenti integrali: a f(xdx = F (x b a = F (b F (a. (* (x 3x + dx (Soluzione : 4 3 5
6 . (* (e x + e x dx (Soluzione : e e 3. (* π sin xdx (Soluzione : π 4. (* 4 ( x + dx (Soluzione : (x 3 dx (Soluzione : 4 6. (x 5 4x 3 dx (Soluzione : π π e 4x dx (Soluzione : e 4 cos xdx (Soluzione : π 3. π ( x xdx (Soluzione : 45 (4x + 3 dx (Soluzione : 5 (x x + dx (Soluzione : 5 6 (3sin x 4cos xdx (Soluzione : (3sen x 5 cos xdx (Soluzione : 8 6
7 4. π e sen x cos xdx (Soluzione : e 5. 4x 5 (x dx (Soluzione : (686 (5 6 9 Esercizi (utilizzare i calcoli già fatti per il calcolo degli integrali indefiniti. i ii (* iii (* iv (* x 5 x+ dx (Soluzione: 5(log 5 log e e x x dx (Soluzione: e x 3 ( + x dx (Soluzione: 3 log( + x dx (Soluzione: v (* 4 3 x 5 x dx (Soluzione: log Esercizi del libro di testo del Cap. Gli esercizi da. a.3 del Cap. del libro di testo con l eccezione di. e.9 parti II e IV. In particolare si segnalano.4(*,.9 (I,III,IV,V e.(*. Esercizi di esame i Calcolare il seguente integrale definito: A : 3e3 +, B : e C : e3 +, D : 3e xe 3x dx 7
8 ii Calcolare il seguente integrale definito: x dx : A : 3, B : 3, C : 3, D : 3 iii Calcolare il seguente integrale definito: x(e x + dx A : e, B : e C : e, D : D : e Risposte: ic, iia, iiid. 8
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