INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

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1 INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE COMPOSTA Integrale di: Funzione Composta*Derivata[argomento] Metodo di sostituzione

2 FunzioneComposta*Derivata[argomento] L integrale di una FunzioneComposta*Derivata[argomento] è uguale alla Primitiva della FunzioneEsterna g[ f (x)] f '(x)dx = G( f (x)) FunzComposta g=funzesterna [ f (x)] n i f ' (x)dx Derivata[funzInterna] argomento = [ f (x)]n+ n + f '(x) f (x) dx = ln f (x) +c cos f (x)i f ' (x)dx = senf (x) e f (x) i f ' (x)dx PrimitivaFunzEsterna = e f (x) senf (x)dxi f ' (x)dx = cos f (x) 2

3 Integrale di FunzioneComposta*Derivata[argomento] -Funzione Esterna POTENZA [ f(x)] n f '(x)dx= [ f(x)]n+ n+ D[FunzInterna] Primitiva FunzEsterna argomento ) (7x + ) 3 7dx = funzinterna f=7xalcolo f =7*+0=7 f f Primitiva f.esterna (7x + ) 3 7 dx = Potenza = (7x + )4 4 C E 2) (2x + 4) 5 2dx = funzinterna f=2x+4 calcolo f =2*+0=2 C E (2x + 4) 5 2dx = Primitiva = f.esterna f f Potenza (2x + 4)6 6 3

4 Integrale di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 4) 3) -Funzione Esterna POTENZA (8x + 3) 5 dx = Se la derivata dell argomento f non c è nel testo devo inserirla moltiplicando e dividendo per un numero opportuno. = 8 (8x + 3)5 8dx = 8 (8x + 3)5 8dx = (8x + 3) 6 f 8 6 divido e moltiplico per 8 (x 2 + ) 3 x dx = funzinterna f=8x+3 --> f = 8*+0=8 : argomento = 2 (x2 + ) 3 2x dx == 2 (x2 + ) 3 2x dx == (x 2 + ) 4 f 2 4 divido e moltiplico per 2 funzinterna f =x > f = 2x argomento = = (x2 + ) 4 NON C E (8x + 3)6 48 C è x Manca 2 8 4

5 Integrale di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 2- Funzione esterna /f(x) ) 8 8x dx f '(x) f (x) dx = f (x) f '(x)dx = ln f (x) +c DerivataFunzInterna argomento f =8x- --> f = 8*+0=8 : PrimitivafunzEsterna C E = 8x 8 dx = Primitiva = ln 8x +c funzesterna f /f(x) /f 2) 6x 3x 2 + dx f =3x > f = 3*2x+0=6x : C E = Primitiva 6x dx = 3x 2 funzesterna = ln 3x 2 + +c + /f(x) /f f 5

6 Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 2- Funzione esterna /f(x) 3) 4) x x dx = = 2 2x x idx = x 2 + x 3 + 3x dx f '(x) f (x) dx = 2 i2x dx = x f /f f (x) f '(x)dx = ln f (x) +c Negli esempi seguenti la derivata dell argomento f non è presente nel testo: devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno Divido e moltiplico per 2 f interna f=x > f = 2*x+0=2x : Primitiva funzesterna /f(x) = 2 ln(x2 + 3) f.interna =x 3 +3x --> f = 3x 2 +3 =3(x 2 +) C E la x manca 2 manca 3 Divido e moltiplico per 3 = 3 3(x 2 + ) x 3 + 3x idx = 3 Primitiva x 3 + 3x i(3x2 + 3)dx = = festerna 3 ln x3 + 3x +c f /f(x) 6 /f

7 Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 3-Funzione esterna Esponenziale e f (x) i f '(x)dx = e f (x) DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna argomento f f 3 e 3x dx = e 3x 3dx = = e 3x Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna ( in questo caso è l esponente) f non è nel testo: per ottenerla devo moltiplicare/dividere per un numero opportuno e x dx = Divido/moltiplico per - x e x2 dx = Divido/moltiplico per 2 f interna=esponente f=-x --> f = - : = e x ( ) dx = e x ( ) dx f interna=esponente f=x 2 --> f = 2x : NON C E = e x = 2 2x dx = ex2 2 2x dx = ex2 2 ex2 f f C E la x manca 2 7

8 Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 4-Funzione esterna coseno 3cos(3x 4)dx = cos(3x 4)i3dx = f =3 c è cos 4x dx = = Molt/div per 4 4 cos f (x) f '(x)dx DerivataFunzInterna argomento PrimitivaFunzEsterna cos 4xi4 dx = 4 = senf (x) cos 4xi4 dx = sen(3x 4) Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna f non è nel testo: per ottenerla devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno f =4 non c è f f Calcolo integrale Primitiva della funzesterna coseno f = 4 sen4x cos(2x + 3) dx = = Molt/div per 2 2 f =2 non c è cos(2x + 3)i2 dx f == 2 sen(2x + 3) 8

9 METODO DI SOSTITUZIONE funzioni composte g[ f (x)]dx g=funzioneesterna f= funzinterna o argomento Pongo argomento=t cioè f(x)=t --> ricavo x e calcolo differenziale dx. (*) Sostituisco nel testo e ottengo un integrale in t che risolvo. Infine ri-sostituisco f(x) al posto di t. (*) DIFFERENZIALE dx è una operazione che si svolge: calcolando la derivata prima e moltiplicando per dt Esempi: se x=3t+5 Differenziale : dx=(3*+0)dt dx=3dt se x=t 2-3 Differenziale : dx=(2t-0)dt dx=2tdt se x=5t 2 +7t Differenziale : dx=(0t+7)dt 9

10 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE (5x + 2) 4 dx = Funzione esterna Potenza Pongo f(x)=t 5x + 2 = t Ricavo x 5x = t 2 x = 5 t 2 5 Calcolo Differenziale (t) 4 5 dt = 5 t 4 dt = dx = dt dx = 5 dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo = 5 t 5 5 = t 5 25 RI-sostituisco f(x) al posto di t = (5x + 2)5 25 0

11 2 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE cos(3x ) dx = Pongo f(x)=t Funzione esterna Coseno 3x = t Ricavo x 3x = t + x = 3 t + 3 Calcolo Differenziale dx = dt dx = 3 dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli costi 3 dt = 3 cost dt = Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo = 3 sent = RI-sostituisco f(x) al posto di t = 3 sen(3x )

12 3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE 2 7x + 3 dx = Ricavo x Funzione esterna /f(x) Pongo f(x)=t 7x + 3 = t Calcolo Differenziale 7x = t 3 x = 7 t 3 7 dx = dt dx = 7 dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli 2 t 7 dt = 2 7 t dt = Ottengo un integrale immediato/t nella variabile t : lo calcolo = 2 7 ln t = RI-sostituisco f(x) al posto di t = 2 7 ln 7x 3 +c 2

13 4 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE (2x ) 3 x dx = Funzione esterna Potenza f(x)=t 2x = t Ricavo x 2x = t + x = t x = 2 t + 2 Differenziale dx = dt dx = 2 dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli = (t) 3 ( 2 t + 2 ) 2 dt = ( 2 t t 3 ) 2 dt = 4 t t 3 dt = = 4 it = (2x )5 20 t 4 4 = t t 4 6 = (2x )4 6 integrale immediato in t: lo calcolo RI-sostituisco f(x) al posto di t 3

14 5 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE (9x + 7) dx = Conviene porre =t tutta la radice! f(x)=t Funzione esterna Radice Quadrata 9x + 7 = t 9x + 7 = t 2 Ricavo x x = t x = 9 t t 2 9 t dt = 2 9 t 2 dt = = 2 9 t 3 3 = 2t 3 Differenziale 27 = dx = 9 2t 0 dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli dx = 2 9 t dt Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo RI-sostituisco f(x) al posto di t = 2( 9x + 7)3 27 = 2 (9x + 7)3 27 4

15 Regola di integrazione PER PARTI Si applica per calcolare l integrale del prodotto fra due funzioni

16 REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI Si applica per integrare il prodotto fra due funzioni del tipo: x n e x dx Una funzione si chiama FattorFinito f(x) à si deve derivare trovando f (x) L altra è FattorDifferenziale g (x)dx àsi deve integrare: trovo primitiva g(x) ff f (x) g'(x) dx = f (x) g(x) f '(x) ig(x)dx NB: scelgo come FattorFinito la funzione più comoda da derivare ff fd fd x n cos x dx ff x n ln x dx= INT(fd) - D[ff] INT(fd) x e x dx = x e x ex idx = xe x e x ff INT(fd) - D[ff] INT(fd) 6

17 REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI f(x) g'(x) dx= f(x) g(x) f '(x)!g(x)dx ff fd ff x cos x dx = xisenx senx dx INT(fd) - D[ff] INT(fd) = xisenx ( cos x) = xisenx os x ff fd Quando c è il logaritmo scelgo lnx come fattor finito ln x dx = ln x dx = ln xix ff fd x ix dx = x ln x dx = x ln x x x ln x dx = ln x x dx fd ff = ln xi x2 2 i x2 x 2 x2 dx = 2 ln x x x2 dx = 2 ln x x2 2 7