Programma della lezione

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1 Programma della lezione /4. numeri complessi: richiami. Resisenze, condensaori e induanze in regime alernao (AC) 3. Reaanza e impedenza 4. Rappresenazione polare di volaggi, correni e impedenze in AC 5. oscillaore C 6. Andameno in frequenza dei circuii RC: diagramma di Bode e filri 7. alori medi e valori efficaci

2 numeri complessi /4 Un numero complesso a è una coppia ordinaa di numeri reali che possono essere pensai come coordinae di un puno P(a x,a y ) nel piano, o come il veore OP. m P Rappresenazione caresiana a a ia x y a x a y dove l'unià immaginaria i ha la proprieà i O Re l complesso coniugao di a è a* = a x ia y

3 numeri complessi 3/4 a rappresenazione caresiana è adaa per esprimere la somma di numeri complessi x y x y a b ia b x x y y a b a ia b ib

4 numeri complessi 4/4 l modulo di a è un numero reale posiivo pari a x y x y a a a * a a a a a x ay a a * a a * a x l reciproco di a a ia a ia a ia x y x y i a a a a a x y x y y x y

5 numeri complessi 5/4 m a x = a cos P Rappresenazione polare. l numero a si esprime anche mediane modulo (reale posiivo) e angolo di fase () a = OP a y = a sin fase( a) an m( a) Re( a) O Re a a a Relazione ra le rappresenazioni x ia y a cos i a sin cos i sin a exp( i)

6 numeri complessi 6/4 l faore di fase exp(i) è un numero complesso con modulo uniario exp( i ) cos i sin cos sin nduanza nei circuii Prodoo di aexp(i) per b b ib b exp( i) a b a exp( i) b exp( i) a b exp i( ) x y

7 Circuii in correne alernaa 7/4 Relazione correne volaggio in regime sinusoidale con exp i () R () R i R exp () C () Q C C d exp i i C ic () () d d i exp i i

8 Circuii in correne alernaa 8/4 Capacià e induanze in regime sinusoidale obbediscono a relazioni formalmene simili alla legge di Ohm dove la resisenza è sosiuia da una quanià immaginaria dea reaanza capaciiva (negaiva) e reaanza induiva (posiiva). e reaanze e resisenze si combinano secondo le regole serie-parallelo delle resisenze per dare una quanià complessa dea impedenza Z

9 Circuii in correne alernaa 9/4 () R () Z R i R reaanza exp i an R Rappresenazione polare dell impedenza del circuio R in serie. Z R resisenza l faore di poenza è cos. ENE richiede <5 (ossia faori di poenza prossimi all unià) perché in caso conrario manderebbe una grande correne (con grosse perdie di linea) per rasferire (e faurare) una piccola poenza.

10 Circuii in correne alernaa /4 R i R () R () () i() R() () () Rappresenazione con veori roani: volaggio e correne complessi descrivono due cerchi concenrici con uguale velocià angolare. a somma delle cadue di ensione su R (R()) e su (i()) sono rappresenai come caei di un griangolo reangolo che ha ipoenusa ().

11 /4 Circuii in correne alernaa l moore del frigorifero può essere rappresenao da un ramo R (che rappresena il moore del compressore) in parallelo a un ramo C. Per connessioni in parallelo conviene uilizzare l'ammeenza (Y, reciproco della impedenza). e ammeenze di rami in parallelo si sommano. R R i C Y R Y R i R ic C ic () () C () Scegliendo C R l'angolo ra volaggio e correne si annulla; il faore di poenza divena uniario: Y C C Y Y R R Y C R ()

12 Circuio oscillane /4 C R () G, G d d R d d C d Q d d C Q C C R con sin = ) ( cos ) ( G ) ( ) ( R C G Relazione delle energie

13 Circuii in correne alernaa 3/4 l circuio R può essere viso come un disposiivo lineare che rasforma un segnale di ingresso, in = G, in un segnale di uscia, ou =() [ma anche ()] proporzionale a quello di ingresso. Ai segnali di ingresso e di uscia si può associare la poenza media < /R> nel caso dei volaggi e < R> nel caso delle ensioni. a relazione ra segnali di uscia e di ingresso è esprimibile ramie il rapporo delle poenze associae a quesi segnali; il rapporo è indipendene dalla resisenza (R, fissa) per segnali dello sesso ipo. Si può però assumere una resisenza uniaria e un poenza uniaria del segnale di ingresso. n al modo, l ampiezza del segnale di uscia può essere definia dal suo valore nella scala dei db (decibel, in onore dell invenore del elefono A.G. Bell). Si noi che il og del rapporo dei valori efficaci dei segnali ou, in deve essere moliplicao per (non ) per oenere i db s Wou ou db ou og og W in in

14 4/4 Circuii in correne alernaa () R () ou / in (db) Rappreseniamo = ou del circuio R nella scala in db in funzione del logarimo (decimale) della frequenza. Si oiene così la rappresenazione di Bode dell andameno in frequenza dell amplificazione/aenuazione del circuio. 4 6 og /R

15 Circuii in correne alernaa 5/4 Gli elemeni salieni di quesa rappresenazione sono: per <R/,,4<> e l amplificazione è praicamene uniaria (db=) per >R/, il rapporo delle ampiezze divena circa proporzionale a / e quelle delle poenze a / all aumenare di dieci vole della frequenza l ampiezza <> scende di dieci vole e la poenza di vole. Ciò corrisponde a un calo di db. Al raddoppiare della frequenza (crescia di una oava) in quesa regione la poenza diuisce di quaro vole cioè di og4=6.db (6dB oava). Alla frequenza di aglio =R/ l ampiezza si è ridoa di un faore radice di, è cioè pari al 7.7% di quella massima; la poenza è divenaa la meà; poiché og=.3, alla frequenza di aglio l amplificazione è diuia di 3.dB. l puno a 3dB individua la frequenza di aglio comporameni asinoici dell ampiezza del segnale di uscia sono descrii da ree nel diagramma bilogarimico di Bode; le ree vengono esese anche nella regione inermedia poiché si inconrano a c.

16 Circuii in correne alernaa 6/4 l comporameno del circuio R è quello caraerisico di un filro passa basso del primo ordine: la poenza in uscia è quasi cosane sino alla frequenza di aglio; successivamene quesa decresce come il reciproco del quadrao della frequenza. Due filri passa basso uguali in cascaa produrrebbero un filro del secondo ordine, con una aenuazione di 4dB/decade o db/oava; i filri analogici di ordine superiore si producono combinando elemeni RC con più frequenze/empi di smorzameno caraerisici sceli allo scopo di oenere una funzione di risposa prossima a quella volua. Un filro passa basso ideale (brickwall) ha aenuazione nulla (db=) per < c e aenuazione infinia (db=) per > c. Moli filri analogici Hi-Fi e per rasmissioni sono del seimo ordine / decimo ordine (4-6dB/oava).

17 Circuii in correne alernaa 7/4 Un filro passa basso del primo ordine si realizza soliamene con un circuio RC serie: la frequenza () di aglio è /RC in ou in R ic ou / in (db) 4 6 og RC ou in i RC irc irc RC exp i an RC

18 Circuii in correne alernaa 8/4 ou / in (db) in ou 4 6 og RC Un filro passa alo del primo ordine si può realizzare con una serie CR o R

19 alori medi ed efficaci 9/4 a media, <>, di una funzione f() su un inervallo è f f d l valore efficace, o RMS, di f() su un inervallo è RMS f f d

20 alori medi ed efficaci /4 Una funzione f() può essere scria come somma del suo valore medio e di una funzione a media nulla f f f Applicando ad ambedue i membri l operazione lineare di media e ricordando che la media di una cosane è la cosane sessa si ha infai f f f f eorema della varianza. l valore medio di f () è uguale al quadrao di <f> sommao al quadrao del valore efficace di f() f f f f f f RMS f a varianza, RMS, è pari alla differenza ra valore quadraico medio e quadrao del valore medio

21 alori medi ed efficaci /4 Per una grandezza elerica () il valore medio si chiama DC (Direc Curren) il valore efficace di () si indica con RMS, il valore efficace di (()<>) si indica con AC (Alernae Curren) e il eorema della varianza è una relazione di Piagora ra quese re grandezze RMS DC AC RMS AC DC

22 alori medi ed efficaci /4 Per una sinusoide con cos.5sin cos cos cos sin cos cos RMS x x dx x dx x d x d d

23 alori medi ed efficaci 3/4 Onda quadra asimmerica = + RMS AC RMS

24 4/4 alori medi ed efficaci Onda riangolare Basa calcolare le medie su ; si può porre =; per << d d d 3 AC d 3 3 d