Giuseppina Anatriello Fondamenti di Analisi matematica. Dalle funzioni elementari al calcolo differenziale

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3 Giuseppina Anatriello Fondamenti di Analisi matematica Dalle funzioni elementari al calcolo differenziale

4 Copyright MMXIV ARACNE editrice int.le S.r.l. via Quarto Negroni, Ariccia (RM) (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. II edizione: agosto 2014

5 Indice 9 Avvertenze 11 Prefazione 13 Introduzione 19 Capitolo I Le funzioni elementari Parte I Le funzioni elementari 1.1. Proprietà algebriche delle funzioni elementari nei grafici, Funzione potenza ad esponente reale, Funzione esponenziale, Funzione logaritmo, Funzione potenza ad esponente naturale, Funzione radice n-sima, Le funzioni trigonometriche, Capitolo II Il limite 2.1. Limiti delle funzioni elementari, Definizione di limite funzioni monotone, Limiti di funzione di funzioni monotone in punti interni all intervallo di definizione, Continuità in un punto, Teorema sui limiti delle funzioni composte di funzioni monotone, Limiti funzioni potenza ad esponente naturale e radice, Limiti delle funzioni trigonometriche, Operazioni tra limiti, Definizione di limite in termini di intorni, La struttura di ˆR, Teorema delle operazioni tra limiti, Teorema sui limiti delle funzioni composte anche mediante operazioni, 71. 5

6 6 Indice 73 Capitolo III Ordini di infinito e di infinitesimo 3.1. Infiniti e infinitesimi e le funzioni elementari, Infiniti, Infinitesimi, Principi di eliminazione, Principio di eliminazione sugli ordini di infinito, Principio di eliminazione sugli ordini d infinitesimo, Limiti notevoli, Limite notevole funzioni potenza, Limite notevole funzioni esponenziale e logaritmo, Limite notevole funzione seno, Limite notevole funzione coseno, Capitolo IV Linearizzazione del grafico 4.1. Linearizzazione delle funzioni elementari, Retta tangente al grafico, Differenziabilità, Derivata, Approsimmazioni di ordine superiore, Formula di Taylor, La derivata e la misura, Capitolo V Funzioni iperboliche 5.1. Le funzioni iperboliche, Alcune proprietà delle funzioni iperboliche, Funzioni iperboliche inverse, Derivate funzioni iperboliche e inverse, Osservazioni conclusive sulla teoria delle successioni 113 Capitolo I Il limite di funzioni reali Parte II Le funzioni reali 1.1. Limite di funzioni numeriche reali, Punto di accumulazione, Definizione di limite, Teoremi sui limiti, Continuità in un punto, Classificazione delle discontinuità, Limite funzione di due variabili, Proprietà geometriche di insiemi di punti: topologia di R 2, Definizione di limite per funzioni di due variabili, Teoremi sui limiti, Proprietà topologiche delle funzioni continue, Esempi, Limite di funzioni vettoriali, 133.

7 135 Capitolo II La differenziabilità per le funzioni reali Indice Differenziabilità funzioni numeriche, Teoremi in ipotesi di derivabilità per le funzioni numeriche reali, Differenziabilità di funzioni di due variabili, Formula di Taylor, Formula di Taylor per le funzioni numeriche reali, Criteri di monotonia e concavità, Formula di Taylor per le funzioni reali di due variabili, Minimi e massimi relativi di una funzione, Differenziabilità funzioni vettoriali, Capitolo I Le funzioni Parte III Appendice 1.1. Relazione tra insiemi, Relazioni binarie, Funzioni, Operazioni e strutture su un insieme, Funzioni scalari e vettoriali, Le funzioni numeriche reali, Funzioni monotone, Problemi algebrici e strumenti analitici, Disequazioni elementari e risoluzione, Le simmetrie nel piano cartesiano, Le funzioni reali di due variabili reali, Esempio: log 2 (xy 1), Funzioni e campi vettoriali, Bibliografia

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9 Avvertenze Il testo presuppone la conoscenza delle nozioni di base del linguaggio della teoria degli insiemi e della geometria piana euclidea. Le notazioni e i simboli adottati sono quelli di uso più comune in letteratura. Per non appesantire i discorsi le terminologie vengono usate con flessibilità. Dove è possibile, si evita quel rigore solo formale che appesantirebbe troppo la trattazione senza aggiungere comprensione. Il fine è rendere i contenuti accessibili anche ad un lettore non specialista, problematizzando metodi e assunzioni. I contenuti dell Appendice vengono liberamente utilizzati nel testo. 9

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11 Prefazione Questa trattazione è una riedizione del volume Fondamenti di Analisi Matematica: dalle funzioni elementarial calcolo differenziale, (Cues, 2013), in cui veniva proposto un originale percorso dinamico, attraverso il quale classici concetti del Calcolo venivano fatti risalire a proprietà individuabili nelle funzioni elementari. Si proseguiva così quanto fatto in Fondamenti geometrici per Matematica (Cues, 2013), dove si pongono i fondamenti della matematica nella geometria. In questa nuova edizione non compaiono più i capitoli I numeri e la teoria della misura e Integrazione e misura. Il volume è diviso in tre parti. La prima è dedicata alle funzioni elementari e trigonometriche (e loro composte) e per tali funzioni vengono introdotti i concetti e gli strumenti di base dell Analisi matematica. La seconda parte è dedicata alle funzioni reali. In essa alle funzioni reali, quelle numeriche prima a quelle di due variabili poi, si estendono le nozioni introdotte nella prima parte per le funzioni elementari (e trigonometriche) e le loro composte. Nella terza vengono trattati argomenti preliminari sulle funzioni. Riportare tutte le dimostrazioni dei teoremi che vengono citati non rientra negli scopi che si prefigge il testo e comunque queste sono ampiamente presenti in letteratura. Napoli, agosto 2014 Giuseppina Anatriello 11

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13 Introduzione La geometria euclidea fornisce un idea consolidata di cosa sia una retta, una circonferenza, un piano, una sfera e più in generale di insiemi che possono essere descritti mediante questi termini. Non è in grado di studiare però una curva o una superficie generica, poiché, basandosi sulle nozioni primitive di punti, segmenti, circonferenze e piani, a partire da questi non riesce a definire curve e superfici generiche essendo il suo linguaggio inadeguato allo scopo. In ambito puramente geometrico una curva è perfettamente definibile attraverso equazioni che individuino un insieme di punti dello spazio con caratteristiche geometriche, ma tale percorso non è stato intrapreso e probabilmente risulterebbe sterile senza l ausilio di nuovi strumenti. Analogo discorso può farsi per le superfici. All inizio del 1600 Cartesio e Fermat fornirono attraverso il metodo delle coordinate strumenti flessibili per descrivere curve e superfici. Questa strada portò all individuazione di metodi di calcolo efficaci. Nella seconda metà del 1600 Newton e Leibniz scoprirono il calcolo differenziale e integrale, trovando così degli strumenti efficaci per studiare il percorso tracciato da un punto in movimento nel piano e nello spazio, dando vita al settore della matematica che prende il nome di Analisi matematica. Inizialmente l Analisi matematica puntava alla rappresentazione geometrica nel piano cartesiano delle funzioni, utilizzando l algebra dei numeri, nel tentativo di rispondere a quesiti su calcolo di aree e caratteristiche geometriche di una curva. Le ricerche dell Analisi matematica del Seicento e del Settecento furono dominate dal concetto di infinitesimo e dal calcolo infinitesimale, ma il concetto di infinitesimo aveva in sé contraddizioni logiche che furono presto messe in luce. Intorno al 1800 i matematici cominciarono a preoccuparsi più seriamente delle ripercussioni sulla validità dei risultati prodotte dalle imprecisioni dei concetti e delle dimostrazioni dell Analisi matematica 13

14 14 Introduzione e furono numerosi quelli che decisero di portare ordine nel caos che si era determinato, ricostruendo l Analisi matematica sulla base di concetti puramente aritmetici. è possibile che questa decisione possa essere stata presa perché considerata più semplice rispetto a quella di fondare l Analisi matematica sulla geometria (vedi [4]). Del resto il metodo delle coordinate nasce proprio per semplificare le dimostrazioni e le scoperte geometriche, affrancandosi dagli elaborati procedimenti della matematica greca. Nel 1820, Augustin Louis Cauchy, attraverso la formulazione di una definizione di infinitesimo basata sulla nozione di limite, diede il via al processo di rigorizzazione del concetto di infinitesimo. Cauchy diede anche una definizione statica di limite (che prima di questa riformulazione era pensato come moto e variazione) eliminando in questo modo l idea intuitiva del moto e del divenire che non giunge alla fine. L infinitesimo fu dunque trasformato da numero fisso a funzione, indicando con questa una legge secondo la quale quantità variabili dipendono l una dall altra senza implicare necessariamente un rapporto di causa ed effetto. Inizia in questo modo un processo che è storicamente indicato con aritmetizzazione dell analisi e che consiste inizialmente nella riduzione dell Analisi matematica ai numeri. Questo programma impegnerà soprattutto Karl Weierstrass, quindi Georg Cantor, e infine J. Wilhelm Dedekind. Pertanto l Analisi matematica, come studio dei procedimenti infiniti, inizia il suo processo di rigorizzazione dal concetto di numero reale; esso viene poggiato e fondato sulla nozione di numero naturale. Weierstrass aveva riportato tutti i concetti aritmetici superiori al concetto di numero naturale, non andando però a fondo della definizione di quest ultimo; l allora ancora intuitiva nozione di numero naturale rappresentava il fondamento solido su cui appoggiare l intera impalcatura della matematica. Si pose però il problema della definizione di numero; Gottlob Frege impostò tale problema portando il concetto di numero verso quello di insieme e ancorando in questo modo l aritmetica e i numeri naturali alla nozione relazionale di legge logica. Avvenne così una rivoluzione all interno della matematica che fece passare da una visione sostanzialistica dei numeri ad una puramente funzionale e relazionale, privando la matematica del suo terreno intuitivo e tentando di fondarla sulla logica. Oltre a Frege, anche Giuseppe

15 Introduzione 15 Peano prima e Bertrand Russell poi furono i pionieri e gli esponenti di spicco di tale processo. Dalla nuova impostazione della matematica nacquero però antinomie e la loro scoperta provocò un dibattito tra le scuole fondazionali, quella logicista, quella formalista e quella intuizionista, e le scuole convenzionaliste, ma il teorema di incompletezza di Gödel del 1931 stroncò le pretese fondazionali di questo percorso. Intanto però il processo di rigorizzazione aveva consentito uno sviluppo delle teorie matematiche e messo un po d ordine in concetti che prima non erano ben definiti. Nel ventesimo secolo strumenti nuovi e linguaggi nuovi arrivarono con lo sviluppo della topologia e impressero una nuova spinta all Analisi matematica. Con il processo avviato dall aritmetizzazione dell Analisi il punto di vista moderno ha finito con il privilegiare l aspetto della matematica che la configura come linguaggio, indifferente all essenza delle cose che tratta, e slegata alla percezione. In [2] si riscoprono nella geometria i fondamenti della matematica e si vuole recuperare, in qualche misura, la convinzione che la matematica si occupi di oggetti matematici e le sue teorie indirizzino il loro sforzo di ricerca verso la conoscenza di tali oggetti. Con questo spirito in questo volume ridefiniamo e rivisitiamo i concetti di base dell Analisi matematica e del Calcolo differenziale cercando di ritrovarne le origini cognitive. Le proprietà grafiche delle funzioni elementari saranno gli oggetti messi a fondamento dell Analisi matematica e dei suoi concetti basilari, come il limite, la continuità e la derivabilità. Rappresentano dunque queste curve un modello base per l individuazione di quelle proprietà considerate proprie delle curve prima dell avvento dell aritmetizzazione dell Analisi. Per sintesi, in questa trattazione procederemo assumendo nota la definizione algebrica di a b con a e b enti numerici, e tutte le sue proprietà algebriche. L ambito in cui ci muoveremo può essere considerato quello sviluppato in [1] e [2] o quello tradizionalmente accettato.

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17 PARTE I LE FUNZIONI ELEMENTARI

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19 Capitolo I Le funzioni elementari Considerando l espressione a b1 come valore in un punto di una funzione le proprietà algebriche delle potenze possono essere racchiuse in espressioni sintetiche. 2 Daremo per note le dimostrazioni di tutte le proprietà algebriche delle potenze e ci preoccuperemo di porle in evidenza nei grafici di alcune classi di funzioni. Le funzioni che vogliono racchiudere le proprietà delle potenze sono le funzioni potenza, esponenziale e logaritmo e vengono dette funzioni elementari. Dalle funzioni elementari e dalle loro composte (anche tramite le operazioni dell algebra dei numeri) faremo derivare le principali nozioni dell Analisi matematica. 1. La possibilità di definire con una costruzione con riga e compasso un punto il cui quadrato è un punto assegnato (rispetto ad un punto unità, U) e le altre costruzioni considerate in [1] e in [2] consentono di costruire con riga e compasso un insieme denso di punti del tipo A P con P che varia in un insieme denso di una semiretta OA. Grazie all assioma di continuità della semiretta è possibile considerare A P con P che varia sull intera semiretta OU. Quanto esposto, opportunamente formalizzato, consente di definire A P da un punto di vista strettamente geometrico. 2. Ricordiamo, per comodità del lettore, le proprietà algebriche delle potenze più importanti: a) k α k β = α+β ; b) k α k β = k α β ; c) (k α ) β = k α β. Esse danno luogo a proprietà che sono leggibili su rappresentazioni grafiche nel piano cartesiano euclideo attraverso l introduzione delle funzioni elementari. Aggiungiamo che, volendo dare significato all esponente 0, l unica posizione ammissibile è: a 0 = 1 19

20 20 Fondamenti di Analisi matematica L impostazione teorica adotta procedimenti di scoperta che permetteranno di individuare le proprietà delle funzioni che danno luogo ad esse e utilizza ragionamenti eterogenei di natura non esclusivamente verbale e in cui il disegno ha un ruolo centrale di mediatore epistemico Proprietà algebriche delle funzioni elementari nei grafici Le rappresentazioni grafiche che utilizzeremo, con le loro convenzioni classiche, sono provenienti da una trattazione algebrico geometrica idonea su cui non ci soffermeremo ma che assumeremo date, deducibili dal lavoro svolto in [2] e che corrispondono poi alle normali convenzioni in uso. Cominciamo a sottolineare che: a) le proprietà algebriche delle potenze fanno sì che le rappresentazioni grafiche delle funzioni elementari si presentino come deformazioni in curve di linee rette (rette/semirette) rappresentate sull asse x. b) l insieme di definizione della funzione induce sull insieme rappresentativo del grafico nel piano cartesiano un ordinamento rispetto a cui esso è un insieme continuo con il conseguente significato geometrico che questo termine ha riferito alla retta. Questa proprietà prenderà il nome di continuità della funzione e troverà una sua espressione analitica attraverso un percorso dinamico che svilupperemo. La prima classe di funzioni che andremo a trattare sono le funzioni potenza ad esponente reale Ricordiamo che algebricamente la definizione di potenza ad esponente reale viene data a partire da quella di potenza naturale.

21 I. Le funzioni elementari Funzione potenza ad esponente reale La funzione f (x) = x α, con α R, è detta funzione potenza di esponente α. Nella figura in alto sono rappresentati grafici tipo di una funzione potenza con esponente reale positivo, nei casi esponente maggiore e esponente minore di 1. Nella figura in alto è rappresentato un grafico tipo (quello con tratto continuo) del grafico di una funzione potenza con esponente reale negativo. Sulle rappresentazioni grafiche si legge: a) il dominio è ]0, + [, b) l insieme delle immagini è ]0, + [ c) vale la proprietà di continuità, d) le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente o strettamente decrescente, e quindi ogni funzione appartenente alla classe delle funzioni potenza è invertibile. Dalle proprietà delle potenze si desume che l inversa di x α è x 1/α. Al grafico di ciascuna delle funzioni appartiene il punto di coordinate (1, 1), poiché 1 α = 1, ovvero: (1, 1) G x α, α R.

22 22 Fondamenti di Analisi matematica Funzione potenza ad esponente reale positivo Per α > 0 Nella figura in alto è rappresentato un grafico tipo di una funzione potenza con esponente maggiore 1. Nella figura in alto è rappresentato un grafico tipo di una funzione potenza con esponente compreso tra 0 e 1. Dai grafici si evince che l ordinamento delle ascisse è lo stesso di quello delle ordinate; questa proprietà, che è soddisfatta da ogni funzione x α, con α > 0, è di monotonia di tipo strettamente crescente. Abitualmente si pone 0 α = 0, per cui si può considerare (0, 0) G x α e in tal caso diventa: x α [0, + [ [0, + [. Per 0 < α < 1 la rappresentazione del grafico della funzione è del tipo riportato in figura 1.1. Nel grafico si può leggere la proprietà: Sempre dal grafico si legge: x α > x, se 0 < x < 1 4 x α < x, se x > Infatti la rappresentazione grafica della funzione si trova al di sopra della bisettrice per gli x < 1 e la bisettrice è formata da punti che hanno per coordinate le coppie (x, x) e il grafico della funzione x α dalle coppie (x, x α ). 5. Infatti il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice per gli x > 1.

23 I. Le funzioni elementari 23 Figura 1.1. Grafico funzione x α, con 0 < α < 1 Per α > 1 un rappresentazione del grafico della funzione è del tipo riportato in figura 1.2. Figura 1.2. Grafico funzione x α, con α > 1 Nella rappresentazione grafica si può leggere la proprietà: Inoltre si legge sul grafico: x α < x, se 0 < x < 1 6 x α > x, se x > Infatti per gli x < 1 il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice. 7. Infatti il grafico della funzione si trova al di sopra della bisettrice per gli x > 1.

24 Fondamenti di Analisi matematica In generale, considerate due funzioni potenza xα e xβ, con α > β >, si ha a) xα < xβ, se x <, b) xα > xβ, se x >. Le proprietà si possono leggere nel piano cartesiano. Infatti: Se α > β >, si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato nella figura in basso a sinistra. Se α > β, con < α <, e < β <, si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato nella figura in basso a destra. Se α >, < β <, si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato in figura.. Figura.. Funzioni potenza xα e x α Notiamo che in tutti i casi per esponente α > β il grafico xα si trova al di sotto del grafico di xβ prima del punto di intersezione (, ) e al di sopra dello stesso dopo (, ), quindi i due grafici invertono la posizione reciproca in corrispondenza del punto (, ).

25 I. Le funzioni elementari 25 Funzione potenza ad esponente reale negativo Per α < 0 8 la rappresentazione del grafico della funzione è del tipo: Se α < 1, si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato in basso. Se 1 < α < 0, si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato in basso. Come si osserva dai disegni, le funzioni esaminate sono definite in ]0, + [ e l insieme delle immagini è ]0, + [, quindi: f ]0, + [ ]0, + [ Inoltre, le funzioni soddisfano la proprietà che l ordinamento delle ordinate di punti del grafico è l opposto di quello delle relative ascisse. Questa proprietà prende il nome di monotonia di tipo strettamente decrescente. Considerate ora due funzioni potenza x α e x β, se 0 > α > β risulta: a) x α < x β per x < 1 b) x α > x β per x > 1 8. Ricordiamo che vale la seguente relazione x α = ( 1 x ) α.