Distribuzioni simmetriche

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Silvia Romani
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1 Distribuzioni simmetriche Una distribuzione unimodale si dice simmetrica se n 1 =n k ; n 2 =n k-1 ; n 3 =n k-2... Media=Mediana=Moda Una distribuzione unimodale si dice asimmetrica positiva se Media > Mediana > Moda Una distribuzione unimodale si dice asimmetrica negativa se Media < Mediana < Moda 1

2 Distribuzione simmetrica A, B e C sono distribuzione simmetriche. Ognuna ha media mediana e moda che coincidono

3 Distribuzioni asimmetriche asimmetrica a sinistra (asimmetrica negativa coda a sinistra) Media < Mediana < Moda asimmetrica a destra (asimmetrica positiva coda a destra) Media > Mediana > Moda boxplot

4 Box-plot Un modo per rappresentare graficamente la variabilità di una distribuzione è dato dal box-plot. Il box-plot è un grafico caratterizzato da tre elementi: una linea o punto, che indicano la posizionedella media della distribuzione; Un rettangolo (box) la cui altezza indica la variabilità dei valori prossimi alla media; Due segmenti che partono dal rettangolo e i cui estremi sono determinati in base ai valoriestremi della distribuzione come media si può prendere la mediana come altezza del box la distanza interquartile come estremi dei segmenti il valore minimo e massimoosservati. 3/4

5 Esempio di rappresentazione di una vs tramite boxplot Q 1 =23 Q 2 =m=27 Q 3 =30 W=30-23=7 X min =20 X =65 Q 1-1,5*W max vr inf = 23-1,5*7=12,5 <X min vr sup =30+1,5*7=40,5 < X max e quindi 65 viene considerato valore anomalo (Il valore 1,5 per cui viene moltiplicatow è un valore stabilito apriori) Età n i f i F i ,18 0, ,29 0, ,14 0, ,21 0, ,11 0, ,07 1,00 totale 28 1,00 Media=29,3 Moda=23 Q 3 +1,5*W I valori estremi vengono identificati con ivalori di riferimento inferiore e superiore diversi da X min e X max per identificare i valorianomali

6 Frequen ze 10 Distribuzione secondo l'età persingole modalità del carattere Età Considerazioni ai fini della simmetria/asimmetria sullabase del grafico 1. La distribuzione presenta una coda verso destra 2. Media > Mediana >Moda La distribuzione presenta una asimmetriapositiva

7 Grafico boxplot dati relativi all esempio precedente X min Q 1 Q 2 Q 3 Vrsup X max Le diverse lunghezze dei segmenti che partono da Q 1 e da Q 3 indicano che il 25% dei valori più grandi (segmento di destra) si disperde in misura maggiore del 25% dei valori più piccoli segmento di sinistra); la mediana è lievemente spostata verso Q 3 Questo significa che la distribuzione è asimmetrica a destra (asimmetria positiva)

8 7/4 Box-plot: un altro esempio senza identificazione dei valori anomali N atti ni Fi 0,02 0,08 0,30 0,62 0,78 0,87 0,94 0,98 0,99 1, Max = 10 Min = 1 Q3=5 Q1=3 Valore mediano: Me=4

9 Oltre ai valori anomali si possono identificare i valori eccedenti RIASSUMENDO In presenza di distribuzioni con valori anomali, si considerano valori anomali quelli che sono Superiori a Inferiori a Q 3 + 1,5(Q 3 -Q 1 ) Q 1-1,5(Q 3 -Q 1 ) I valori eccedenti sono quelli che sono Superiori a Inferiori a Q 3 + 3,0(Q 3 -Q 1 ) Q 1-3,0(Q 3 -Q 1 ) 8

10 Calcolo degli indici usati per il boxplot (distribuzione con valori anomali ed eccedenti) Q 1 =23 Q 2 =m=27 Q 3 =35 W=35-23=12 X min =20 X max =85 vr inf = 23-1,5*12=5 < Xmin vr sup =35+1,5*12=53 < X max e quindi 65 viene considerato valore anomalo (è>di 53) e 85 è un valore eccedente totale 30 1,00 (è>di 71) Il valore 1,5 percui viene moltiplicato W è un valore stabilito apriori Età n i f i F i ,17 0, ,26 0, ,13 0, ,20 0, ,10 0, ,07 0, ,07 1,00

11 Boxplot dell esempio precedente (Ottenuto con il software SPSS) Sono presenti sia i valori anomali sia i valori eccedenti 10

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