Terzo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Terzo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Tema n ognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) on riferimento al D.Lgs. 96/003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, ognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Scrivere l'integrale generale dell'equazione differenziale ww w $> a> % a> & a> $/.. Si consideri la curva nello spazio, di equazione: alcolare il lavoro lungo del campo 3. Si consideri la funzione <a> a> cos>ß> sin >ß$> per > aß JaßßD aßßd $ & %. 0aß Stailire se la funzione nell'origine è: 0 a. continua (cioè: prolungaile con continuità);. derivaile (calcolando, in caso affermativo, le derivate parziali); c. differenziaile. Giustificare tutte le risposte in ase alla teoria studiata. Si presti attenzione al fatto che è richiesto uno studio solo nell'origine.

2 Terzo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Tema 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aß / $/ a" 5. alcolare il momento d'inerzia di una lamina piana omogenea di massa 7 descritta dal triangolo X di vertici aß ßaPß ßaPßPÎ rispetto a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine. (Si raccomanda di fare una figura e prestare molta attenzione alla rappresentazione analitica dell'insieme X ). 6. alcolare il seguente integrale triplo: M D ( ( ( G...D V D con G aßßd À D ßÈ Š " dove Vß ā sono parametri fissati. Suggerimento: riconoscere l'insieme G. 7. alcolare l'integrale di superficie ( ( D È.Wß D dove D è la superficie del toro che si ottiene facendo ruotare attorno all'asse D la circonferenza: con V ā < ā costanti fissate. : À V < cos : ß D < sin: c d 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da 0a sin per cßd per cß d a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cßd: in ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? osa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) alcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier + 5 di 0 (non è richiesto il calcolo dei coefficienti, 5 ). (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata).

3 Es Tot. Punti Terzo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Scrivere l'integrale generale dell'equazione differenziale ww w $> a> % a> & a> $/. alcoliamo l'integrale generale dell'omogenea: ww w D a> %D a> &D a> % & à 3 > D a> / a- cos>- sin> " erchiamo una soluzione particolare della completa, della forma $> a> E/ w $> ww $> a> $ E/ à a> *E/ $> $> $ E/ a*% a$ & $/ àe $àe à $ a> / Integrale generale dell'equazione completa: $> $ $> > a> / / a- " cos>- sin>. Si consideri la curva nello spazio, di equazione: alcolare il lavoro lungo del campo <a> a> cos>ß> sin >ß$> per > aß JaßßD aßßd

4 Terzo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema < w a> acos>> sin>ß sin>> cos>ß$ > sin> JaßßD a> sin>ß> cos>ß$> sin> asin>ß cos>ß$ > P ( J. < ( sin> a sin>ß cos>ß$ acos>> sin>ß sin>> cos>ß$.> ( sin> ˆ sin> cos> > sin > cos> sin>> cos >*.> ( sin> a>*.> cacos> a>* d ( cos>.> ") 3. Si consideri la funzione $ &. % 0aß Stailire se la funzione 0nell'origine è: a. continua (cioè: prolungaile con continuità);. derivaile (calcolando, in caso affermativo, le derivate parziali); c. differenziaile. Giustificare tutte le risposte in ase alla teoria studiata. Si presti attenzione al fatto che è richiesto uno studio solo nell'origine. a. $ & $ & k k k k k k k k k0aßk Ÿ Ÿ % % % kkkkß e poiché l'ultima funzione scritta tende a zero per aß Ä aß, per il teorema del confronto anche 0 Ä, perciò 0 è continua in aß. 0aß, perciò 0 aß "à 0 aß, perciò 0 aß ". In particolare, 0 è derivaile nell'origine. c. La funzione 0 è differenziaile nell'origine se e solo se esiste ed è zero il limite Ora: lim aßä aß È 0aßa

5 Terzo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema $ & 0aßa a $ & % % aˆ aß È È a % È % a % È Per Ä ß aß $ & $ sgna µ a % kkè kkè È non tende a zero, perciò 0 non è differenziaile nell'origine. 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). I punti stazionari sono: Matrice hessiana: 0aß / $/ a" 0 / $/ / "$/ ā 0 ' / a" a" "$/ " " Ê à " Ê / ß Èlog$ $ $ " Œ ß à $ ˆ "ß Èlog $ / "$ " / a '/ L0aß '/ ' / a" a" " "Î$ L0 Œ / ß / $ Œ $ / "Î$ Œ $ "Î$ % % definita negativa: " Œ ß punto di massimo rel. $ 3

6 Terzo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema / / È L0 ˆ "ß È log$ log$ indef. À / Èlog$ ˆ "ß Èlog $ punti di sella 5. alcolare il momento d'inerzia di una lamina piana omogenea di massa 7 descritta dal triangolo X di vertici aß ßaPß ßaPßPÎ rispetto a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine. (Si raccomanda di fare una figura e prestare molta attenzione alla rappresentazione analitica dell'insieme X ). X eaß À Pß PÎ f 7 %7 M.... kxk ( ( ˆ P ( ( ˆ X P Î %7 " $ %7P " " " "$. 7P P ( Œ Š $ P Œ % $ ) % P $ % 6. alcolare il seguente integrale triplo: M D ( ( ( G...D V D con G aßßd À D ßÈ Š " dove Vß ā sono parametri fissati. 4

7 Terzo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema In coordinate cilindriche: D3 cos * M ( ( ( 3. 3.D. * 3 Vˆ D " V ˆ D cos " " V D ( *.* ( D( 3. 3.D ( D Œ Š ".D $ V D D.D $ % V D D D ( Œ D $ % V V Œ $ % % 7. alcolare l'integrale di superficie ( ( D È.Wß D dove D è la superficie del toro che si ottiene facendo ruotare attorno all'asse D la circonferenza: con V ā < ā costanti fissate. Se V < cos: À : cß d D < sin: + a: À : Mß D, a: si ha: Ú + a: cos* D À Û + a: sin* ÜD, a: : Mß* cß d cioè Ú av < cos: cos* D À Û av < cos: sin* : cß dß* cß d ÜD < sin:.w k+ a: ké+ w a:, w a:.:.* av < cos: <. :.* ( ( D È.W ( ( a< sin: av < cos: av < cos: <. :.* D 5

8 Terzo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema $ < ( sin : ˆ V V< cos: < cos :.: aper le simmetrie $ < āv ( sin :.: < ( asin: cos:.: Ÿ < $ V < :.: < $ < V ā ( sin a % Ÿ % $ < < V 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da 0a sin per cßd per cß d a. Dopo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cßd: in ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? osa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) alcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier + 5 di 0 (non è richiesto il calcolo dei coefficienti, 5 ). (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata) a. La funzione è continua, regolare a tratti (anche se non derivaile), con 0a 0a. Quindi la serie di Fourier di 0 convergerà a 0a per ogni cß d. I coefficienti di Fourier di 0 saranno 9 a"î5.. alcoliamo XÎ " + 5 ( 0acosŒ5. ( 0acosa5. X XÎ X 6

9 Terzo Appello di Analisi Matematica. Prof. ramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema " " 5. 5 " 5 ". ( sin cosa ( csinaa sinaa d " 5 " 5 " aa aa cos cos 5 " 5 " " aa5 " aa5 " " " cos cos 5 " 5 " 5 " 5 " " cosa5 cosa5 " " " " " acosa5" Π5 " 5 " 5 " 5 " 5 " 5 " " " acosa5" acosa5" Π5 " "5 " " +. ( sin ccos d 7