Quinto Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Quinto Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al.lgs. 96/003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú ò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Risolvere il seguente prolema di Cauchy, specificando l'intervallo più ampio su cui è definita la soluzione del prolema: Giustificare il procedimento seguito. C ac B C a w. Si consideri la curva nello spazio, di equazione: <a> Š > cos>ß> sin >ß È> per > Š ß È( Calcolare l'integrale di linea ( Œ.=Þ B C 3. Sia BC / È abßc Á aß 0aBßC B C per ā per abßc aß a. Calcolare le derivate parziali nell'origine e le derivate direzionali nell'origine rispetto a un qualsiasi acos* ß sin*.. In questo caso vale la formula del gradiente? La funzione è differenziaile nell'origine? (Si osservi che le domande si riferiscono solo all'origine. Le affermazioni fatte vanno giustificate) BC 4. Sia 0aBßC ˆ log B C Þ Si dimostri che l'equazione 0aBßC B ac passante per aß). Calcolare w a). definisce implicitamente un'unica funzione

2 Quinto Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 04/5. Tema 5. Si consideri la spirale logaritmica descritta in forma polare dall'equazione: 3 </ +* per * cß d dove + V log Œ < e V ā < ā sono parametri fissati. (Gli estremi dell'arco di spirale si trovano sulle circonferenze di raggi <ßV). Sia E la regione piana limitata da questa curva e dal segmento che ne unisce gli estremi, ossia, in coordinate polari: E a3 ß* À * cß dß3 </ a. Si calcoli, in funzione dei parametri <ßV ā, l'area di E.. Si determini per quale valore del rapporto avî< tale area uguaglia quella della corona circolare di raggi Vß<Þ 6. Calcolare il momento d'inerzia rispetto all'asse del solido omogeneo G di massa descritto analiticamente da: +*. B C G abßcß À Ÿ Ÿ à Ÿ +, con +ß,ß costanti positive fissate. (Si tratta di un cono a sezione ellittica, il volume si può calcolare con considerazioni elementari). Suggerimento: per il calcolo dell'integrale in abßc si utilizzino le coordinate polari ellittiche B 3 +cos * ecc.. Calcolare il flusso del campo vettoriale a JaBßCß BßCß ÈB C attraverso la superficie di equazione cartesiana orientata con la normale verso l'alto. V ˆ B C per B C V, 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cß d da 0aB BkBkÞ a. opo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cß d: in ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie, e scrivere la serie di Fourier.

3 Quinto Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 04/5. Tema (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 3

4 Es Tot. Punti Quinto Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 04/05. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Risolvere il seguente prolema di Cauchy, specificando l'intervallo più ampio su cui è definita la soluzione del prolema: Giustificare il procedimento seguito. C ac B C a w C soluzioni costanti dell'equazione (ma non soddisfano la condizione iniziale). Risolviamo l'equazione a variaili separaili:.c ( ( C B.B ( Œ.C ( B.B C C C B logº º - C C B logº º - C C C - / B Î con - in cui possiamo già imporre la condizione iniziale, trovando: C - à / C B Î CaB B Î B Î / / B Î / / B Î definita purché B Î / Á ß cioè B Á log ßB Á È log

5 Quinto Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema pertanto il massimo intervallo dove la soluzione del prolema di Cauchy è definita è ˆ È ß È log log Þ. Si consideri la curva nello spazio, di equazione: <a> Š > cos>ß> sin >ß È> per > Š ß È( Calcolare l'integrale di linea ( Œ.=Þ B C < w a> Š cos>> sin>ß sin>> cos>ß È k< w a> k *> È( È> (.= ( È *>.> B C > È *>?à*>? à>.>?.?à>? * 3. Sia È? (.? È ( Œ.? È a arctan arctan Þ?? BC / È abßc Á aß 0aBßC B C per ā per abßc aß a. Calcolare le derivate parziali nell'origine e le derivate direzionali nell'origine rispetto a un qualsiasi acos* ß sin*.. In questo caso vale la formula del gradiente? La funzione è differenziaile nell'origine? (Si osservi che le domande si riferiscono solo all'origine. Le affermazioni fatte vanno giustificate) perciò > / cos* sin* a. a> 0 a> cos* ß> sin* µ > cos* sin* per > Ä ß > H@ 0 aß a w cos* sin*þ

6 Quinto Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema In particolare f0 aß aß Þ. La formula del gradiente non vale perché f0 aß acos* ß sin* Á cos* sin *, perciò 0 non può essere differenziaile nell'origine. 4. Sia BC 0aBßC ˆ log B C Þ Si dimostri che l'equazione 0aBßC definisce implicitamente un'unica funzione B ac passante per aß). Calcolare w a). 0 aß) log a)) Þ 0BaBßC B C ab C log 0 Baß) log Á ß quindi per il teorema di ini l'equazione 0aBßC definisce in un intorno di C ) una e una sola funzione B ac passante per aß) regolare, tale che 0aaCßC. B 0C abßc à ab C log 0 Caß) Þ ' log w ) 0 Ca a ß) ' log ) log Þ 0 aß) a) log B log 5. Si consideri la spirale logaritmica descritta in forma polare dall'equazione: 3 </ +* per * cß d dove + V log Œ < e V ā < ā sono parametri fissati. (Gli estremi dell'arco di spirale si trovano sulle circonferenze di raggi <ßV, vedi figura). 3

7 Quinto Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema Sia E la regione piana limitata da questa curva e dal segmento che ne unisce gli estremi, ossia, in coordinate polari: E a3 ß* À * cß dß3 </ a. Si calcoli, in funzione dei parametri <ßV ā, l'area di E.. Si determini per quale valore del rapporto avî< tale area uguaglia quella della corona circolare di raggi Vß<Þ +* * </ + +* / a. kek ( ( * ( Œ < /. * < + * logavî< / ˆ < V < < < Þ logˆ V logˆ V logˆ V V < < <. La corona circolare di raggi <ßV ha area V < ; affinché questo numero risulti uguale a ke k dev'essere cioè V logœ < V < È /Þ 6. Calcolare il momento d'inerzia rispetto all'asse del solido omogeneo G di massa descritto analiticamente da:, B C G abßcß À Ÿ Ÿ à Ÿ +, con +ß,ß costanti positive fissate. (Si tratta di un cono a sezione ellittica, il volume si può calcolare con considerazioni elementari). Suggerimento: per il calcolo dell'integrale in abßc si utilizzino le coordinate polari ellittiche B 3 +cos * ecc. G +ß, è un cono di altezza e sezione ellittica di semiassi, quindi l'area di ase è +, e il volume vale: 4

8 Quinto Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema Z +,Þ M B C.B.C. Z ( ( ( ˆ G Z ( ( ( B C +, Ÿ ˆ B C.B.C. B + 3 cos* C, 3 sin*.b.c +, 3. 3.* +, +,... Z ( ( ( ˆ 3 cos * 3 sin * 3 3 * +.,. +,.. Z ( ( ( ( 3 cos * * 3 sin * * 3 3 ( ( +, +,.. ( (.. Z ˆ , ˆ +, Z 3 3. & +, ˆ +, +, ˆ ( Š +, Z Z & & +, ˆ +, ˆ +,. +, & (risultato che si può riscrivere come Š +, e restituisce la formula del momento d'inerzia per il cono circolare V quando +, V ).. Calcolare il flusso del campo vettoriale a JaBßCß BßCß ÈB C attraverso la superficie di equazione cartesiana V ˆ B C per B C V, orientata con la normale verso l'alto. Sia 0aBßC V ˆ B C. 5

9 Quinto Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema 8.W a0 ß0 ß.B.C abßcß.b.c B C JaBßCß0aBßC abßcßv ab C ÈB C abßcßv ab C F ( ( J 8.W ( ( abßcß.b.c ÈB C B C V ab C V a3 V ( (.B.C ( 3. 3 ÈB C 3 B C V V ( ˆ V 3 V 3 V ). Œ V Þ V 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cß d da 0aB BkBkÞ a. opo aver tracciato il grafico di 0 sul periodo cß d: in ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie, e scrivere la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata) a. -.0 La funzione è continua, derivaile, regolare a tratti, con 0a Á 0 a. Quindi la serie di Fourier di 0 convergerà a 0aB per ogni B aß, e convergerà a (media dei limiti destro e sinistro) in. I coefficienti di Fourier di 0 saranno 9 a ma non 9 aî5.. La funzione è dispari, quindi + Þ Calcoliamo XÎ 5, 5 ( 0aBsinŒ5 B.B ( 0aBsina5B.B X XÎ X 6

10 Quinto Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 04/5. Svolgimento Tema B cosa5b Bcosa5B ( B sina5b.b ā (.B 5 5 Ÿ 5 a Bsina5B sina5b.b 5 5 ā ( 5 5 Ÿ 5 a a5 B 5 a5 cos 5 5 a Þ 5 a5 Š a 5 _ 5 a 0aB ā a a5 BÞ 5 Ÿ a5 Š 5 sin 5