La storia termica dell universo

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1 Capitolo 9 La storia termica dell universo Fino ad ora abbiamo considerato l universo omogeneo ed isotropo però sappiamo che questa approssimazione è valida solo su grande scala. Su scale più piccole l universo è disomogeneo ed è caratterizzato da strutture formatesi in seguito alla crescita di perturbazioni di densità. Il passo successivo è quindi quello di a rontare il problema della crescita delle perturbazioni e per poterlo fare è prima necessario studiare la storia termica di materia e radiazione. 9.1 Gli universi dominati dalla radiazione Per un gas di fotoni, particelle senza massa o ultrarelativistiche (E " mc 2 )l equazionedi stato è p 1 3 " 1 3 c2 r (9.1) con r densità di massa equivalente. Se N è l a d e n s i t à n u m e r i c a d i f o t o n i p e r u n i t à d i banda, la densità di energia è " ÿ h N (9.2) e, poichè il numero di fotoni si conserva abbiamo N pzq N, a 3 N, p1 ` zq 3 (9.3) Il redshift cosmologico comporta che h h p1 ` zq pertanto " ÿ h N ÿ h p1 ` zqˆn, p1 ` zq 3 " p1 ` zq 4 (9.4) ovvero " " a 4 (9.5) relazione già trovata dal punto di vista termodinamico. Consideriamo adesso la radiazione di corpo nero per la quale l intensità specifica è data dalla formula di Planck B pt q 2h 3 c 2 1 e h {kt 1 (9.6)

2 128 La storia termica dell universo Il flusso totale uscente dalla superficie del corpo nero è F ª `8 La densità di energia per unità di banda è B d T 4 (9.7) per cui cioè " " 4 c B 8 h 3 c 3 1 e h {kt 1 ª `8 " d 4 c ª `8 B d 4 c T 4 (9.8) (9.9) " 4 c T 4 (9.1) Sfruttando la relazione appena trovata per la variazione di " con il redshift si può scrivere da cui si ricava infine 4 c T 4 " " p1 ` zq 4 4 c T 4 p1 ` zq 4 (9.11) T T p1 ` zq (9.12) ovvero la temperatura della radiazione di corpo nero decresce al diminuire del redshift. Elospettrodicorponero? Possiamosfruttareilfattoche" d evolverà con il redshift come ", pertanto tenendo conto che p1 ` zq e T T p1 ` zq si ottiene " d 8 h 3 c 3 1 e h {kt 1 d 8 h 3 p1 ` zq 3 1 c 3 e h p1`zq{kt p1`zq 1 p1 ` zqd p1 ` zq 4 ", d (9.13) ovvero, il corpo nero conserva la forma dello spettro, varia solo la sua energia totale. La relazione T T p1 ` zq è una relazione che può essere verificata per la CMB. Esiste una transizione di struttura fine nel livello fondamentale di CI il cui livello superiore è eccitato dall assorbimento di fotoni della CMB; questo permette di osservare righe di assorbimento del mezzo interstellare/intergalattico negli spettri dei quasar che a loro volta permettono di stimare T al redshift in cui avviene l assorbimento. I risultati ottenuti a vari redshift sono z 1.8, T rad 7.4.8K, atteso: 7.58 K; z 1.97, T rad K, atteso: 8.1K; z 4.2, T rad» 14 K, atteso: 14.2K; queste misure costituiscono l evidenza osservativa che la temperatura della CMB segue la legge T T p1 ` zq. Vediamo adesso come trattare la radiazione (o le particelle ultrarelativistiche) nell ambito del modello cosmologico. Ricordiamo che col formalismo dell equazione di stato si ha per la i esima componente p i w i i c 2 (9.14)

3 9.1 Gli universi dominati dalla radiazione 129 eleequazionidifriedmannsono con Si ha w i peribarioni; :a ÿ p1 ` 3w i q i,h 2 9a 2 ÿ i w i 1perladarkenergy; w i 1 3 i i, H 2 a 1`3w i 2a 2`3w i «ÿ H 2 i, 1 (9.15) i, 8 G i, 3H 2 per i fotoni e le particelle ultra-relativistiche. i (9.16) Considerando radiazione, polvere ed energia oscura le equazioni di Friedmann sono pertanto :a H 2 rh 2 2a 2 a 3 9a 2 H 2 a ` rh 2 a 2 Mettiamoci per a! 1ottenendo ` H 2 a ` H 2 a 2 H 2 p ` r ` 1q :a rh 2 a 3 9a 2 rh 2 a 2 (9.17) queste due equazioni sono equivalenti perché derivando la seconda si ritrova la prima. Il regime in cui a! 1èquelloincuiilbilancioenergeticodell universoèdominato dalla radiazione, si parla pertanto di Epoca della Radiazione. Il parametro di densità è ma " c 2 r, per cui r 8 G r, 3H 2 (9.18) r 8 G 3H 2 c 2 " (9.19) Integrando l equazione per 9a nel regime dominato dalla radiazione (a! 1) si ottiene: 1{2 ˆ8 G" 1 9a 3c 2 a 1{2 ˆ8 G" ada dt 3c 2 ª t 1{2 ˆ8 G" ada t 3c 2 1{2 1 ˆ8 G" 2 a2 t (9.2) 3c 2

4 13 La storia termica dell universo Cosmic Microwave Background Brillanza νiν [nw m -2 sr -1 ] Universo Primordiale (Cosmologia) Cosmic Infra-Red Background Galassie Cosmic Optical Background Cosmic X-ray Background Nuclei Galattici Attivi Frequenza [Hz] Figura 9.1: Spettro della radiazione cosmica di fondo. ovvero oppure, 1{4 ˆ32 G" aptq t 1{2 `4H 2 3c 2 r 1{4 t 1{2 "ptq " a 4 (9.21) 3c2 32 G " t 2 " (9.22) In conclusione, la dinamica dei modelli dominati dalla radiazione (tutti quelli per cui a! 1) varia con aptq9t 1{2 (9.23) edipendesolodalladensitàtotaledimassainerzialedelleparticelleultrarelativisticheo di massa nulla Il contenuto in materia e radiazione dell universo In figura 9.1 viene mostrato lo spettro della radiazione cosmica di fondo rappresentato da I in funzione di ; poichèsiamoinscalalogaritmical areasottolacurvaèdirettamente proporzionale all energia. Le componenti che si possono facilmente individuare sono: CMB: cosmic microwave background ormai ben noto; CIB: cosmic infrared background (dovuto all emissione delle galassie);

5 9.1 Gli universi dominati dalla radiazione 131 Waveband Energy density Number density of radiation (ev m 3 ) of photons (m 3 ) Radio (3 MHz) Cosmic Microwave Background Infrared (14 1 µm) UV-optical-near IR ( µm) X-ray ( 1 kev) γ -ray ( 1MeV) γ -ray ( 1 MeV) Tabella 9.1: Proprietà della radiazione cosmica di fondo. CUVOB: cosmic uv-optical background (anche questo dovuto all emissione delle galassie); CXB: cosmic X-ray background (dovuto all emissione degli AGN); CGB: cosmic gamma-ray background (anche questo probabilmente dovuto all emissione degli AGN). Tutte le componenti, tranne la CMB, sono la somma dei contributi di sorgenti puntiformi; la CMB è invece emissione di usa. In tabella 9.1 è riportato il contributo delle singole componenti al fondo cosmico (CB, Cosmic Background) stimato a partire da I : la CMB domina nettamente la densità di energia del CB. Ricordiamo che si tratta di radiazione di corpo nero con T K " 4 c T ˆ 1 13 erg cm 3.26 ev cm 3 (9.24) Adesso paragoniamo la densità di energia della radiazione con la densità di materia ad un qualsiasi redshift z. Consideriamoche per cui si ha ovvero sostituendo c 3H 2 {8 G r pzq "pzq " p1 ` zq 4 c 2 c 2 m pzq a 3 c p1 ` zq 3 r pzq m pzq r pzq m pzq 32 G T 4 3c 3 H 2 p1 ` zq 4 c 3 T 4 p1 ` zq 4 c p1 ` zq 3 (9.25) 5.1 ˆ 1 5 p1 ` zq (9.26) h 2 7 con h 7 costante di Hubble in unità di 7 km s 1 Mpc 1.Ovverol universoerasicuramente dominato dalla radiazione ( r { m 1) per z 1.97 ˆ 1 4 h 2 7 (9.27)

6 132 La storia termica dell universo anche senza considerare il contributo di altre particelle ultrarelativisitiche a " come i neutrini. Se consideriamo i valori di H e che si ottengono dalle osservazioni si ottiene che z rad, ovvero il redshift a cui l universo comincia ad essere dominato dalla radiazione (radiation dominated), è h 7 1,.3 Ñ z rad» 588 «6 (9.28) In questa fase dominata dalla radiazione (z 6) si ha quindi a 9 t 1{2 (9.29) nella fase successiva, z 6, l universo è dominato dalla materia (matter dominated) e, fin quando z " 1, si ha a 9 t 2{3 (9.3) come abbiamo visto studiando le soluzioni dei modelli di Friedmann Il rapporto tra barioni e fotoni Un altro parametro fondamentale per capire l interazione tra materia e radiazione a livello cosmologico è il rapporto tra il numero di fotoni e barioni. Cominciamo col determinare la densità numerica dei fotoni per la radiazione di corpo nero: per cui la densità numerica totale è B 2h 3 1 c 2 e h {kt 1 u 4 c B 8 h 3 1 c 3 e h {kt 1 n u h c 3 e h {kt 1 (9.31) N ª `8 con la trasformazione di variabili N 8 c 3 e2 p3q»2.44 per cui si ha ˆkT h n d ª `8 x h kt,d kt h 3 ª ` d (9.32) c 3 e h {kt 1 dx (9.33) x ˆkT dx ˆ 2 p3q (9.34) e x 1 c 3 h N» ˆ2 kt hc 3 3 ˆ 3 ˆ2 kt T cm 3 hc K (9.35) Vediamo adesso la densità numerica dei barioni N b b c m 3H2 b 8 G m 3.15 ˆ 1 6 cm 3 b h 2 7 (9.36)

7 9.1 Gli universi dominati dalla radiazione 133 Figura 9.2: Storia termica dell universo. dove si è usato b ovvero il parametro di densità dei soli barioni e la massa media m è, con H ed il 25% di He in massa, m.75 ˆ m p `.25 ˆ 4m p.75 ` m p (9.37) Il rapporto fotoni/barioni è pertanto N N b 412 cm ˆ 1 6 cm 3 b h ˆ 18 b h 2 7 (9.38) ovvero b.4, h 7 1 Ñ N N b 3.3 ˆ 1 9 (9.39) all epoca attuale, il numero dei fotoni è estremamente più grande del numero dei barioni. Se i fotoni ed i barioni non sono né creati né distrutti durante l evoluzione cosmica, questo rapporto è invariante.

8 134 La storia termica dell universo 9.2 L epoca della ricombinazione La storia termica dell universo, determinata dall evoluzione di materia e radiazione è riassunta in figura 9.2. Adesso vedremo in dettaglio alcune epoche particolarmente rilevanti per la formazione delle strutture cosmiche. L evoluzione della temperatura della radiazione di fondo cosmica è T T p1 ` zq K p1 ` zq (9.4) eperz «15 si ha T «4 K. Come vedremo, questo significa che c era un numero su ciente di fotoni con h 13.6 ev per ionizzare tutto l idrogeno intergalattico. La regione dello spettro di corpo nero per cui h {kt " 1 è la regione di Wien, ma h kt 13.6eV per T» 158, K quindi com è possibile che H sia stato tutto ionizzato per appena T «4 K? Questo è possibile perché il numero di fotoni è molto maggiore del numero di barioni nel mezzo intergalattico ed il corpo nero ha fotoni su un grosso intervallo di h. Calcoliamo la frazione dei fotoni con h E nel limite h {kt " 1. La densità numerica dei fotoni con energia superiore a E è Np Eq ª `8 E{h con la trasformazione di variabili 8 2 ª 1 `8 c 3 e h {kt 1 d» 8 2 e h {kt d (9.41) E{h c 3 x h kt,d kt h dx (9.42) ovvero Np Eq ª `8 E{kT 8 c 3 ˆkT h Np Eq 1 2 ˆ2 kt hc 3 x 2 e x dx 1 3 ª ˆ2 kt `8 x 2 e x dx (9.43) 2 hc E{kT 3 «ˆ 2 ˆ e E{kT E E ` 2 ` 2 (9.44) kt kt Prima abbiamo trovato che il numero totale di fotoni per unità di volume del corpo nero è 3 ˆ2 kt N.244 (9.45) hc per cui la frazione di fotoni con energia E è Np Eq N «ˆ 2 ˆ e E{kT E E ` 2 ` 2 kt kt (9.46) Prendiamo adesso il rapporto fotoni/barioni N {N b» 3.3 ˆ 1 9,alloraperionizzaretutti ibarionibastachecisia1fotoneionizzantesu1 9 ovvero Np Eq N 1 N {N b» 3. ˆ 1 1 con E 13.6eV

9 9.2 L epoca della ricombinazione 135 posto x E{kT dobbiamo allora risolvere l equazione 3. ˆ 1 1 e x px 2 ` 2x ` 2q ˆ 1 1 e x px 2 ` 2x ` 2q (9.47) la cui soluzione è x E kt» 27.8 (9.48) ovvero esistono così tanti fotoni per barione che è su kt» E 27.8 ciente avere (9.49) ovvero, dato che E 13.6eV corrisponde a T» 158, K, la temperatura del corpo nero al disopra della quale si ha almeno 1 fotone ionizzante per ogni 1 9 fotoni è T» 158, 27.8 K» 57 K (9.5) pertanto bastano poche migliaia di Kelvin a fronte di un energia di ionizzazione corrispondente a oltre 1, K! Siccome T K, T T p1`zq «T z per z " 1, la ionizzazione di tutti i barioni si ha per z» 57 K «21 (9.51) K che corrisponde a a 1 1 ` z «1 z 5 ˆ 1 4 (9.52) In astrofisica, questo tipo di calcolo appare in vari modi: H ionizzato a T «1, K nelle stelle A, i nuclei leggeri che vengono distrutti nell universo primordiale a T basse (molto più piccole delle energie di legame nucleari), ecc. Calcoli più dettagliati indicano che a z r» 15 circa il 5% del gas intergalattico (H) è i o n i z z a t o m e n t r e a z r» 6 circa il 5% di He è ionizzato. Una proprietà fondamentale per capire quanto vedremo più avanti è che per z 1 l universo è otticamente spesso per scattering Thomson (fotoni di usi senza trasferimento di energia, cosa che avviene invece nello scattering Compton). La profondità ottica per scattering Thomson ( T ˆ 1 25 cm 2 )èdatada d T T N e pzqdr con dr incremento in distanza propria aredshiftz che pertanto è dato da dr c dt e c dt si noti che è necessario usare la distanza propria (non comovente) ed il tempo proprio a z poiché sono quelli dei fotoni che subiscono lo scattering Thomson. Si ottiene quindi Nelle lezioni precedenti avevamo trovato d T T N e pzq c dt T N e pzq c dt dz dz dz dt H p1 ` zq p1 ` zq 2 p z ` 1q zpz ` 2q 1{2

10 136 La storia termica dell universo che per z " 1e z " 1diventa dz dt» H 1{2 z 5{2 Adesso consideriamo separatamente i barioni (che fanno scattering Thomson) dal resto della materia oscura b b c b 3H 2 8 G se il 25% della massa barionica primordiale è in He ed il restante in H (vedi la prossima lezione) allora la densità di massa in H è 3/4 del totale per cui eperz, N H 3 4 b m p b 4m pn H 3 b 32 Gm pn H, 9H 2 (9.53) Se xpzq è la frazione di ionizzazione di H e si assume che He è neutro si ha per z " 1 per cui N e xpzqn H pzq xpzqp1 ` zq 3 N H,» xpzqz 3 N H, d T T cn e pzq dt dz dz» T cxpzqz 3 dt N H, dz dz ma la densità numerica di atomi di H a z sipuòottenereapartiredalla9.53 ovvero per cui T 9 T H c 32 Gm p N H, 9H2 b 32 Gm p d T» T cxpzqz 3 9H A 2 b 32 Gm p b ª z2 1{2 z 1 z 3 xpzq z 5{2 1 H 1{2 z 5{2 dz dz.363 ª z2 b xpzqz 1{2 dz (9.54) 1{2 z 1 edaquestaespressionesivedeche,dalmomentoincuihètotalmenteionizzato, T diventa rapidamente molto grande. Infatti, supponiamo che xpzq «1perz 15, allora la profondità ottica dopo z 15 è T.363 b 1{2 ª z 15 esecalcoliamo T per z 16, si ha z 1{2 dz.363 b 2 `z3{2 15 3{2 1{2 3 (9.55) T p15 Ñ 16q.363 b 1{2 2 3{2 ` {2 «1 3

11 9.3 L accoppiamento tra materia e radiazione 137 cioè dopo z 15 (assunto come istante in cui l universo comincia ad essere totalmente ionizzato - o termina di, a seconda del punto di vista) l universo diventa rapidamente otticamente spesso. Calcoli dettagliati mostrano che T» 1perz» 15. In conclusione, l universo non è o s s e r v a b i l e p e r z 15. Ogni fotone che viene emesso per z 15 viene di uso molte volte prima di giungere a Terra e quindi perde rapidamente l informazione sulle sue origini; quella che vediamo è quindi una superficie di ultimo scattering ovvero la superficie molto sottile (spessore tale che t» 1) dove il fotone ha avuto il suo ultimo scattering prima di essere osservato. Questo è lo stesso identico processo che ci impedisce di vedere all interno del Sole. Esiste una photon barrier a z» 15 che ci impedisce le osservazioni con i fotoni a z superiori. Se il fotone per z 15 non subisce ulteriori scattering, la superficie a z 15 è la superficie di ultimo scattering (last scattering surface) e quindi le fluttuazioni nella radiazione cosmica di fondo esistenti a z» 15 sono quelle che vediamo adesso nell emissione di fondo cosmico. 9.3 L accoppiamento tra materia e radiazione Abbiamo visto che l universo è radiation dominated per z 6. Tuttavia, se materia e radiazione non fossero accoppiate, si ra redderebbero indipendentemente a seguito dell espansione dell universo. Infatti, per un gas di barioni abbiamo trovato che mentre per un gas di fotoni T b 9 a 2 T r 9 a 1 quindi la materia si ra redderebbe più rapidamente delle radiazione; in realtà questo avviene solo dopo la ricombinazione quando non c è più l accoppiamento tra le due componenti. Prima della ricombinazione materia e radiazione sono fortemente accoppiate dallo scattering Compton pertanto sono in equilibrio termodinamico e vengono mantenute alla stessa temperatura. Infatti, la profondità ottica per scattering Thomson è così grande e quindi il numero di interazioni è così grande che non possiamo ignorare i seppur piccoli scambi di energia tra i fotoni e gli elettroni che avvengono nel regime di scattering Thomson. Questi scambi di energia sono su cienti a mantenere T r T b Lo scambio di energia per unità di tempo tra campo di radiazione termico a T r eplasma con elettroni a T e che interagiscono solo per scattering Compton è regolato dalla seguente equazione d" r d" m dt dt ˆkTe kt r 4N e T c" r m e c 2 (9.56) con " r e " m densità di energia rispettivamente di radiazione e materia. Derivare questa equazione sarebbe troppo complesso per gli scopi di questo corso ma possiamo farlo nel caso in cui T e T r. Consideriamo la potenza persa da un elettrone per scattering Compton in un campo di radiazione isotropo. Considerando l energia scambiata nei singoli scattering e mediando

12 138 La storia termica dell universo sugli angoli si dimostra che, per il singolo elettrone, la potenza persa per Compton Inverso è P c 4 3 c T 2 2 " r «4 3 c v 2 T c " 2 r (9.57) quest ultima nel limite v{c! 1. Ma dal modello cinetico dei gas perfetti per cui 1 2 m ev kt e (9.58) P c 4 1 A3kT e c 3 A T " r (9.59) ca 2 m e Se la densità numerica di elettroni è N e allora si ha d" m dt ˆ kte N e P c 4 T cn e " r m e c 2 (9.6) che è il primo pezzo dell equazione 9.56; quell equazione a erma semplicemente che per T e T r la radiazione è riscaldata dalla materia mentre per T r T e la materia è riscaldata dalla radiazione. La di erenza tra questi due casi è determinata dal fatto che, come appena visto, N «1 9 N e Vediamo infatti cosa succede dal punto di vista della profondità ottica. La profondità ottica per interazione di un elettrone con i fotoni è e T cn t (9.61) in quanto il numero di fotoni che può interagire con l elettrone nel tempo t è N V N T ct con V volume. Analogamente la profondità ottica per interazione di un fotone con gli elettroni è T cn e t (9.62) si noti che t è sempre da considerare come l età dell universo al momento dell interazione. Siccome N " N e ne consegue quindi che e " ovvero e «1 9.Quindièmoltodi - cile variare lo spettro della radiazione rispetto alla distribuzione di energia degli elettroni: sono gli elettroni ad essere agganciati alla radiazione che ha quindi un enorme capacità termica. Itempiscalaperlecollisionitrae, p, atomi, sono! t, etàdell universopercuil energia del campo di radiazione è distribuita a tutta la materia e, grazie a questo, materia e radiazione sono mantenute alla stessa T nell universo primordiale. Consideriamo adesso il caso del plasma riscaldato dal campo di radiazione: d" m dt d dt ˆ A2 ˆ 3 A2 kt en e 3kN e dt e dt (9.63) il 2ˆ è per tener conto del fatto che ci sono anche i protoni che contribuiscono all energia termica; con la 9.56 possiamo scrivere dt e ˆkTe 3kZN Ze dt 4 kt r T czn Ze " r m e c 2

13 9.3 L accoppiamento tra materia e radiazione 139 ovvero dt e dt 4 3 T " r ˆTr T e m e c (9.64) grazie all enorme capacità termica della radiazione, T r» costante per cui la relazione appena scritta definisce il tempo scala caratteristico per lo scambio di energia tra radiazione eplasma. Supposto z " 1, e definita T e T e T r, discrepanza tra la temperatura degli elettroni e della radiazione, il tempo scala caratteristico in cui questa discrepanza è riassorbita dal campo di radiazione è ex T e ˇdT e {dtˇ 3m ec T e 3m ec (9.65) 4 T " r T e 4 T " r ma, tenuto conto dell evoluzione con z, " r 4 T 4 {cp1 ` zq 4 per cui ex 3m ec 4 T " r 3m e c 2 16 T T 4 p1 ` zq» 3m ec 2 z ˆ 1 19 z 4 s (9.66) 4 16 T T 4 quando il plasma era totalmente ionizzato a z» 15 z 4 ex».46 yr (9.67) 15 Per confronto, troviamo adesso l età dell universo ai redshift in esame. Quando siamo nella fase dominata dalla materia (z 6) e z " 1 ovvero da cui dt dz t» z 5{2 H 1{2 1 H 1{2 dz dt» H 1{2 z 5{2 (9.68) ñ t z 2 z 3{ ˆ 1 17 s h 1 7 z 2.9 ˆ 1 5 yr 15 ª z `8 z 5{2 H 1{2 2 3H 1{2 `8 ˆ.5 z 3{2 z 3{2 dz (9.69).3 3{2 (9.7) Quindi il rapporto tra il tempo scala caratteristico in cui la discrepanza dal campo di radiazione e l età dell universo è ex t T e è r i a s s o r b i t a z 5{2» 1.6 ˆ 1 6 (9.71) 15 il tempo scala in cui si raggiunge l equilibrio termodinamico è ex! tpzq ovvero molto minore dell età dell universo ai redshift considerati: ai redshift in cui l universo è completamente ionizzato ogni discrepanza di temperatura tra materia e radiazione era rapidamente compensata e si giungeva rapidamente a T m» T r.

14 14 La storia termica dell universo Quando la temperatura diventa T 4 K si ha la ricombinazione e e ` p Ñ H; tuttavia resta ancora una piccola frazione di gas ionizzato che vale x «2.5 ˆ 1 5 per z 7 echepermetteunoscambiodienergiatramateriaeradiazioneanchedopolaricombinazione. Se adesso " m è a s s o c i a t a a l l e n e r g i a t e r m i c a d i H e l a d e n s i t à d i e l e t t r o n i è xn H possiamo scrivere, in modo analogo a prima ovvero d" m dt d dt ˆ3 2 kt HN H dt H dt 3 2 kn dt H H dt 8 3 T " r xpzq 4xN H T c" r k ˆTr T H m e c ˆTr T H m e c (9.72) (9.73) Gli elettroni sono in equilibrio termico con la radiazione (tramite scattering Thomson) e al tempo stesso con gli atomi di H (tramite le collisioni). Si è supposto che il tempo di termalizzazione tra elettroni e atomi di H sia trascurabile, per cui ex T H dt {dt 3m e c 2 32 T xpzq T 4 r che con x 2.5 ˆ 1 5 vale 3m e c 2 p1 ` zq 4» 3.67 ˆ 1 19 xpzq 1 z 4 s (9.74) 32 T xpzq T 4 infine, considerando che la 9.7 implica z 4 ex» 466 yr (9.75) 1 z 3{2 t 5.3 ˆ 1 5 yr 1 se ne conclude che il rapporto tra il tempo scala per lo scambio di energia tra materia e radiazione e l età dell universo è ex t ˆ.5 z 5{2.9 h 7 (9.76).3 1 ovvero ex! t fino a z in cui ex» t che avviene per z 1 «p.9q2{5.382 (9.77) ovvero la materia continua ad essere accoppiata alla radiazione fino a z» 4 e al disotto ra reddano indipendentemente. Calcoli più dettagliati mostrano che l accoppiamento tra materia e radiazione prosegue fino a z» Le epoche precedenti alla ricombinazione Torniamo alla figura 9.2 e riprendiamo l analisi della storia termica dell universo al crescere di z, ovveroandandoindietroneltempo.

15 9.4 Le epoche precedenti alla ricombinazione 141 Come abbiamo visto per z» 15 la radiazione di fondo cosmica diventa su - cientemente calda da ionizzare tutto l idrogeno nell universo. Questo significa che passando da z 15 a z 15 protoni ed elettroni ricombinano a formare atomi di idrogeno; quindi dopo l epoca della ricombinazione (z» 15) l universo è quasi del tutto neutro. Poi abbiamo visto che l epoca precedente più rilevante si ha per z «6 quando, all aumentare del redshift, l universo è dominato dalla radiazione ovvero si ha r { m 1perz Á 6. Continuando nella nostra estrapolazione al crescere di z etenendocontochet r T p1 ` zq»t z,siarrivaaz «3 ˆ 1 8 quando T r» 1 9 K(kT».9 MeV). Abbiamo già trovato che la condizione per avere almeno un fotone per barione con energia E è Np Eq N 3 ˆ 1 1 per kt E 27.8 ciò significa che per T r» 1 9 Kc èalmenounfotoneperbarioneconenergiae 2.4MeVovverocisonoabbastanzafotoniperdissociareinucleidiDeuterio(energia di legame 2.23 MeV) e He (28.3 MeV; ricordiamo infatti che se Y è l a b b o n d a n z a in massa di He, Y.25, si ha N He {N H Y {p4 4Y q.8, per cui il numero di nuclei di He è circa 8% di quello dei protoni); pertanto nelle epoche precedenti a z «3 ˆ 1 8 devono esistere solo protoni e neutroni. Considerando lo scorrere del tempo cosmico è chiaro che per z «3 ˆ 1 8 si ha la nucleosintesi, ovvero la formazione di nuclei di D e He apartiredaprotonieneutroni. L epoca più rilevante prima della nucleosintesi si ha per z «2 ˆ 1 9 quando la temperatura è T r 6 ˆ 1 9 K(kT».5MeV» m e c 2 )edifotonisonosu cientemente energetici da dar luogo alla produzione di coppie e, e` per ogni scattering fotonefotone; si deve pertanto avere una situazione di equilibrio in cui c è una coppia elettrone-positrone per ogni coppia di fotoni tali che la loro energia totale sia pari a circa 1 MeV, ovvero la massa totale delle due particelle. Considerando lo scorrere del tempo è chiaro che per z «2 ˆ 1 9 si ha l annichilazione elettroni-positroni e` ` e Ñ ` con trasferimento di energia alla radiazione. Questo è il motivo per cui si ha una piccola discontinuità nella derivata di T pzq: l energia ceduta alla radiazione dall annichilazione delle coppie elettrone-positrone compensa l espansione dell universo e permette di mantenere la temperatura costante come in una transizione di fase. Nelle epoche precedenti l annichilazione delle coppie e, e` l opacità dell universo per le interazioni deboli (per esempio scattering con i neutrini ) diventa» 1 in modo analogo all epoca della ricombinazione quando si raggiunge T» 1: si ha pertanto una barriera dei neutrini in modo analogo alla barriera dei fotoni alla ricombinazione. Andando ancora indietro nel tempo, quando si raggiunge z» 4 ˆ 1 12 la temperatura è T r 1.2 ˆ 1 13 K(kT r» 1GeV» m p c 2 )edèsu cientementealta da dar luogo alla produzione di coppie barione antibarione per scattering di coppie di fotoni con su ciente energia: questo produce una piccola discontinuità della derivata di T r pzq in modo analogo a quanto era accaduto al momento della

16 produzione delle coppie e, e`. Seguendo lo scorrere del tempo cosmico si deduce che per z» 4 ˆ 1 12 si ha l annichilazione di materia e antimateria che però deve avvenire in modo tale da lasciare la materia barionica che vediamo adesso. Questo fatto è uno dei più grandi problemi della cosmologia e prende il nome di problema dell asimmetria dei barioni: per avere l universo dominato dalla materia come abbiamo oggi doveva esistere una piccola asimmetria tra materia e antimateria ovvero dovevano esistere 1 9 ` 1barioniperogni1 9 antibarioni. In questo modo dopo l annichilazione restava circa 1 barione per ogni 1 9 fotoni. Se l universo fosse stato perfettamente simmetrico in materia e antimateria avremmo avuto 1 9 meno barioni di adesso e uguali quantità di materia e antimateria. L asimmetria dei barioni deve aver avuto origine nell universo primordiale: sappiamo che esiste una lieve asimmetria tra materia e antimateria per la violazione di CP che è osservata nel decadimento dei mesoni K. E possibile estrapolare indietro nel tempo ad libitum ed i teorici più ambizioni arrivano fino all era di Planck 1{2 ˆGh t P 1.3 ˆ 1 43 s c 5 ma la fisica è molto diversa da quella ordinaria che abbiamo visto fino ad ora e soprattutto quelle fasi non sono osservabili direttamente (a causa delle barriere di fotoni e neutrini).