Un problema di convergenza di tipo Collatz

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1 U problea di covergeza di tipo Collatz ALESSANDRO CASINI AMANDA PISELLI CHIARA CEROCCHI ELISABETTA AVIZZANO EMANUELE DI CARO GIORGIO CICCARELLA IVAN COLAVITA NICOLETTA CAPOTORTO SERENA NUNZIATA Abstract Nel presete lavoro si studia ua variate della successioe di Collatz per la quale si riesce a provare u teorea di covergeza a. Si riesce ioltre a stabilire per ogi il uero di passi ecessari per raggiugere il valore. Vegoo studiati iizialete i ueri che rappresetao poteze di e i loro predecessori, poi, traite la otazioe biaria si ottiee u risultato che vale per tutti gli altri ueri. 0.Itroduzioe: Il problea di Collatz A partire da u uero aturale assegato,, che chiaereo see, costruiaoe u altro co la seguete regola: Se è pari dividiaolo per due, se ivece è dispari oltiplichiaolo per tre e soiao uo. Applicado ripetutaete la regola si ottiee ua sequeza di ueri. Partedo, per esepio, col uero =6, si ottiee 6, 3, 0, 5, 6, 8, 4,, Cogettura di Collatz Partedo da u qualsiasi uero aturale coe see la successioe dei valori geerati i questo odo arriva sepre, i u uero fiito di passi, a uo. Partedo, per esepio, col uero =6, la sequeza per arrivare a prede 8 passi 6, 3, 0, 5, 6, 8, 4,,, co = ci voglioo 4 passi,, 34, 7, 5, 6, 3, 40, 0, 0, 5, 6, 8, 4,, e per =7 ci voglioo be passi pria di arrivare ad, toccado ueri al di sopra di 9000 Lothar Collatz ha forulato questa cogettura el 937 a, da allora, essuo è stato acora i grado di diostrarla o di forire u cotroesepio, ovvero u uero aturale per il quale la successioe o prede ai il valore uo. Nel caso i cui esistesse u uero che o arriva ai ad, perché etra i u loop o coteete o perché cresce seza liite, allora la cogettura di Collatz risulterebbe falsa.

2 La cogettura, traite l utilizzo assiccio dei coputer, è stata provata essere vera fio a Ache se questo uero è olto grade, o sigifica che la cogettura è vera. Ci soo state altre cogetture che si soo diostrate false solo per valori veraete gradi.. La fuzioe di Collatz Cosideriao la seguete fuzioe: f: N N, dove N={,,3,4,.} f() 3 se èpari se è dispari. Orbite e voli Dato N idichiao co O() e chiaiao orbita di la successioe O()=( a 0, a,a,a 3,..) defiita ricorsivaete el seguete odo: a 0 = a + = f(a ) Esepio: O(3)= (3, 0, 5, 6, 8, 4,,,4,,,4,,,4,,,. ) Idichiao co V() e chiaiao volo di : Il più piccolo k tale che a k = Il volo di idica quate volte, al iio, occorre applicare f ad per otteere. Esepio: V(3) = 7

3 .3 Grafo della fuzioe di Collatz La fuzioe di Collatz può essere efficaceete rappresetata da u grafo orietato che ha N coe isiee dei odi e u arco orietato tra due ueri e, se f()=. SONO RIPORTATI I NODI N CON V(N) 8. L orbita di u uero è rappresetato dal caio orietato che parte dal odo. Nell esepio seguete abbiao evideziato l orbita di 3.

4 .4 Cogettura di Collatz (covergeza) Per ogi N, O() Cioè per ogi N, applicado la fuzioe di Collatz u uero fiito di volte, si ottiee sepre, o i aiera equivalete: per ogi N V() è fiito. La variate easy-collatz Argoeto del presete lavoro è ua variate più trattabile del problea di Collatz. Si parte ache i questo caso dalla defiizioe di ua fuzioe : f: N N per casi.. La fuzioe easy-collatz Cosideriao la seguete fuzioe: f: N N, dove N={,,3,4,.} f() se èpari se è dispari Essedo il doiio N={,,3,4,.}, per ogi N si ha f() >0.. Orbite, voli, grafo Idichereo co O() l orbita di deteriata dalla fuzioe easy-collatz. Esepio: O(8)=(8, 4, 7, 8, 4,,,,,,, ) Coe già visto per la fuzioe di Collatz (vedi.3) è possibile defiire il grafo della fuzioe easy-collatz

5 SONO RIPORTATI I NODI N CON V(N) 9. Nel grafo sottostate abbiao evideziato l orbita di 8 : O(8)=(8, 4, 7, 8, 4,,,,,,, )

6 3.Covergeza Provereo che, a partire da ogi, dopo u uero fiito di passi si arriva sepre a, ovvero la covergeza della fuzioe easy-collatz. Questo può essere forulato coe già visto per la fuzioe di Collatz (vedi.4) i terii di orbite e di voli. 3. Lea ( Doppio passo ) Cosiderata per ogi l orbita O()=( a 0, a,a,a 3,..) per ogi = 0,,, 3, se a > allora a > a + DIMOSTRAZIONE caso: a > e pari. Ne segue che: a a = sottocaso A) a pari. Ne segue che: a a a = e quidi a a 4 4 sottocaso B) a dispari. Ne segue che: a a = ed essedo a > si ha: a a a a a caso: a > e dispari. Ne segue che: a = a e a a a a a = ed essedo a > si ha: a a a

7 Illustriao il lea del doppio passo rappresetado l orbita del uero 3 i u diagraa cartesiao che riporta sull asse delle ascisse i passi di applicazioe della fuzioe easy-collatz e su quello delle ordiate i valori che si ottegoo: 3. Teorea ( Covergeza ) Per ogi N, O() DIMOSTRAZIONE (pricipio della catea discedete ifiita) Suppoiao per assurdo che O(), e segue che O() (altrieti: O()= (,.,,,,,..) quidi a >. Per il lea 3. è allora possibile costruire ua catea discedete ifiita di ueri aturali: a 0 > a >a 4 >a 6,.., e ciò è assurdo.

8 4.Calcolo del volo Dopo aver diostrato la covergeza ora ci occupereo del calcolo per ogi del suo volo V() 4. Volo dei ueri della fora:,, + Le poteze del, i loro predecessori e i loro successivi giocao u ruolo iportate ella successioe easy -Collatz, coe risulta dai segueti risultati. 4. Notazioe 4. Proposizioe Per ogi POT() tale che = V() = DIMOSTRAZIONE (per iduzioe) Passo base: = O( )=(, ) quidi V( )= Passo iduttivo: + O( + )= ( +,,.) quidi V( + )=V( ) +, e per ipotesi iduttiva: V( + )=V( ) + =+

9 4.3 Proposizioe Per ogi POT() tale che = V() = + DIMOSTRAZIONE O( ) = (,, ) V() = v( ) +, e per la prop 4.: V() = v( ) += Proposizioe Per ogi POT() tale che = V() = + DIMOSTRAZIONE (per iduzioe) Passo base: = O( +) = (3, 4,, ) V() = 3 = + Passo iduttivo: + O( + +) = ( + +, + +, +, ) V() = V( +) +, e per ipotesi iduttiva: V() = V( +) + = + + = + 3 = (+) +

10 4.5 Volo di u geerico uero Diao ifie per ogi geerico, u cofie iferiore e uo superiore al suo volo V() 4.6 Proposizioe Per ogi tale che + si ha: + V() + DIMOSTRAZIONE (per iduzioe) Passo base: = Cosideriao i ueri tali che = 3 + = 4, cioè = 3 oppure =4. O(3) = (3, 4,, ) V(3) = 3 V(3) 3 O(4) = (4,, ) V(4) = V(4) 3 Passo iduttivo: + Sia tale che + ++, cioè + + Si possoo presetare due casi. caso: pari. Si avrà: O() =,,. ioltre ed essedo itero +

11 Ora V() = V + V, e per ipotesi iduttiva: + soado ad ogi terie della disuguagliaza si ottiee ifie: + V V() + 3 caso: dispari. Si avrà: O() = ioltre,,, ed essedo itero Ora V() = V, e per ipotesi iduttiva: + V + Soado ad ogi terie della disuguagliaza si ottiee ifie: + 3 V V() Osservazioe Per ogi esiste tale che +, è quidi il più grade eleeto di POT() iore o uguale di, e + il più piccolo eleeto di POT() aggiore o uguale di.

12 4.8 Proposizioe Per ogi tale che + si ha: V( + ) V() V( ) DIMOSTRAZIONE Segue iediataete dalla prop. 4.6 e dalle prop. 4. e 4.4 Illustriao la proposizioe diostrata rappresetado l orbita el diagraa cartesiao le orbite dei ueri 3 POT(), 7 POT() e 3.

13 6. Volo traite rappresetazioe biaria I questo ultio paragrafo cerchereo di igliorare il risultato stabilito ella prop Vedreo coe per ogi è possibile calcolare i odo iediato il suo volo a partire dalla sua rappresetazioe biaria. 6. Notazioe: Idichereo co lettere aiuscole le strighe di ueri ell isiee {0,} es.: A = bi : espressioe biaria del uero es.: 84 bi = 0000 bi : uero delle cifre dell espressioe biaria di es.: 84 bi = 0000 = 7 0 (bi): uero degli zeri iteri i bi es.: (68 ) 0 (00000) 0 bi ZERI ERNI ZERI FINALI 6. Proprietà della rappresetazioe biaria

14 6. Teorea geerale del volo (i) POT() V() 0 ( ) bi (ii) POT() V() bi bi DIMOSTRAZIONE (i) (per iduzioe geeralizzata) Passo base: =3 O(3) (3,4,, ) quidi, V(3) 3 D altra parte, 3 bi 0 () Il passo base è diostrato. 0 3 Passo iduttivo: suppoedo che la tesi valga p e p POT(), diostriao che vale per. caso: è pari, O() e (,,...4,,) POT() V() POT() POT() Ifatti, se POT(), allora POT() Quidi, per ipotesi iduttiva (risulta ifatti ) V V bi 0 bi Se bi A0 allora A bi, duque ed essedo A A0 e 0 (A) 0 (A0) si ha:

15 V() A 0 (A) A0 0 (A0) bi 0 ( bi ) caso: è dispari O() (,,,...4,,) V() V Sottocaso A) quidi, per ipotesi iduttiva (risulta ifatti ) V() V bi 0 bi A A A A0... bi 0 ( bi ) Sottocaso B) POT() allora + POT() e quidi =, duque bi =... Per la prop. 4.3 V() = +, e bi 0 (bi ) =... 0(...) 0 (ii) DIMOSTRAZIONE Sia POT() tale che =, allora bi = Per la proposizioe 4. V()= e bi = Quidi V() bi

16 ESEMPIO O(68)=(68, 84, 4,,,,, 6, 3, 4,,,,, ) V(68)= 68 bi = (00000)+ = 8++ = O(3)=(3, 6, 8, 4,,,,, ) V(3)=5 68 bi = = 6 = 5 Nota: si può i effetti diostrare che il uero di zeri iteri auetato di corrispode al uero di applicazioi della secoda clausola della fuzioe easy-collatz. Osserviao el dettaglio la successioe degli eleeti dell orbita di 68 ella otazioe deciale e biaria. OPERAZIONE NOTAZIONE DECIMALE NOTAZIONE BINARIA : : : + : + : : + : : + :

17 6.3. Ipleetazioe dell algorito (Collatzator) Il teorea 6. descrive i pratica u algorito che perette di deteriare il volo di, a partire dalla sua rappresetazioe i base, traite u rapido esae delle cifre che la copogoo. Di seguito riportiao ua sua possibile ipleetazioe i liguaggio C.

18 7. Coclusioi L aalisi codotta ha peresso di etrare, aleo a livello eleetare, all itero delle questioi poste dalla cogettura di Collatz, itroducedo la etodologia e gli strueti per affrotarli. La fora particolarete seplice della fuzioe easy-collatz ha peresso di provare i aiera agevole u teorea di covergeza. Coe visto, giocao u ruolo iportate le poteze di e i ueri ad esse cotigui (crf ). No stupisce il fatto che la otazioe biaria sia la fora igliore per la costruzioe di algoriti che perettao il cotrollo delle successioi di ueri che si geerao (crf. 6. e 6.3). La fuzioe easy-collatz differisce da quella classica per la secoda clausola: EASY- COLLATZ COLLATZ f() se èpari se è dispari f() 3 se èpari se è dispari ua differeza appareteete piccola che provoca però due sviluppi profodaete diversi, coe si ota iediataete cofrotado i grafi delle due fuzioi EASY- COLLATZ COLLATZ ua sorta di effetto farfalla i abito di teoria dei ueri.

19 Potrebbe avere iteresse, a questo puto, odificare ulteriorete la secoda clausola studiado altre variati di tipo easy coe ad esepio: se èpari se èpari f() oppure f() co k dispari se è dispari k se è dispari valutado via-via la isura dei coportaeti di tipo caotico che evetualete si potrebbero geerare. Ci si chiede, ifie, se lo studio della fuzioe di Collatz, così coe accade per la fuzioe easy-collatz, possa essere facilitato traite l uso di ua opportua rappresetazioe i ua base diversa da 0 (ad esepio la base 6). 8. Bibliografia e sitografia Jea-Paul Delahaye, Giochi ateatici, Ghisetti e Corvi