La risposta numerica deve essere scritta nell apposito riquadro e giustificata accludendo i calcoli relativi.

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1 orso d Laurea n Matematca Prova scrtta d Fsca 2 (Prof. E. Santovett) 11 settembre 2017 Nome: La rsposta numerca deve essere scrtta nell apposto rquadro e gustfcata accludendo calcol relatv. Problema 1. S consder una dstrbuzone contnua d carca, a smmetra sferca, che vale, n coordnate polar, { α/ r r < R ρ(r) = 0 r R (1) n cu α = /m 2.5 e R = 3.20 m. alcolare (a) la carca totale della dstrbuzone, (b) l massmo valore assunto dal campo elettrco, specfcando dove tale valore è assunto, e (c) l potenzale elettrostatco nell orgne (s assuma nullo l potenzale all nfnto). Q tot [] = E max [V/m] = 1455 V 0 [V] = 7760 Problema 2. Tre condensator pan dentc, d capactà = 1.8 µf, sono conness come nella Fgura 1. Inzalmente condensator sono scarch e l nterruttore s è aperto. Ad un certo stante l nterruttore vene chuso e condensator s carcano (V 0 = 12.0 V). alcolare (a) la carca che passa attraverso l nterruttore. S nsersce po un materale delettrco nel condensatore 1 e n tale operazone s osserva che attraverso l nterruttore passa una ulterore carca Q = 6.0 µ. alcolare (b) la costante delettrca k del materale nserto. Infne s apre l nterruttore e qund l delettrco vene estratto. Quanto vale (c) la dfferenza d potenzale fnale tra punt a e b? Q [] = k = 3.5 V ab [V] = 14.2 Problema 3. Un crcuto RL è connesso ad una battera e l nterruttore è nzalmente aperto (s veda la Fgura 2. L nduttanza è costtuta da un solenode lungo l = 30 cm, raggo a = 3.50 mm e N = 3200 spre mentre la resstenza vale R = 28 Ω. alcolare (a) l nduttanza del solenode. Ad un certo stante, t = 0, l nterruttore vene chuso e comnca a crcolare corrente nel crcuto. Al tempo t = s all nterno del solenode s msura un campo magnetco par a B = 9.0 mt. alcolare (b) la tensone della battera e (c) l energa mmagazznata nel crcuto all equlbro (t ). L [H] = ε [V] = 35.2 E [J] = Problema 4. Le norme talane stablscono che l campo elettrco effcace dovuto a onde rado a cu possono essere esposte le persone non deve superare E 0 = 6.00 V/m. alcolare (a) l valore corrspondente del vettore d Poyntng, ossa l ntenstà dell onda. Se un antenna trasmttente rragga una potenza P = 1000 W n tutte le drezon n manera sotropa, qual è (b) la mnma dstanza dall antenna a cu s può stare? S [W/m 2 ] = R mn [m] = 28.9 Dat utl: ε 0 = F/m, µ 0 = 4π 10 7 H/m.

2 s a V 0 1 Fgura 1 Problema 2. b ε s R L Fgura 2 Problema 3. 2

3 Problema 1 Soluzone La carca totale s trova ntegrando la denstà d carca su tutto l volume. haramente convene usare le coordnate sferche data la smmetra e l ntegrale su r andrà fatto fno ad R essendo nulla la denstà fuor. R α Q = 4π r 2 dr = 8π 0 r 5 α R5/2 = µ. alcolamo ora l campo elettrco usando l teorema d Gauss. Dobbamo evdentemente dstnguere l caso n cu samo dentro la sfera (r < R) dal caso n cu samo fuor (r < R). aso r < R: aso r > R: Φ(E) = Q r E4πr 2 α = 4π ε 0 0 r r 2 dr = 8π 5 α r5/2 E = 2α r. 5ε 0 Φ(E) = Q E4πr 2 = Q E = Q = 2α R 5/2 ε 0 ε 0 4πε 0 5ε 0 r 2 Il campo è contnuo n r = R e, poché cresce all nterno e decresce all esterno, l suo valore massmo è assunto propro al bordo della dstrbuzone sferca, per r = R e vale E max = E(r = R) = 2α 5ε 0 R = 1455 V/m. Il potenzale s calcola facendo l ntegrale ndefnto del campo, cambato d segno. Essendo nullo all nfnto possamo calcolare l potenzale nell orgne possamo scrvere 0 R 2α 2α R 5/2 V 0 = E(r)dr = E(r)dr = r dr ε 0 R 5ε 0 r 2 dr = 2α R 3/2 = 7760 V. 3ε 0 Problema 2 Quando l nterruttore s vene chuso, la carca che passa è tutta la carca che s trova sulla capactà equvalente. Q = eq V 0 = 3 2 V 0 = 32.4 µ. Se s ntroduce un delettrco la capactà totale camba e, pochè la tensone rmane la stessa, camba la carca (aumenta perchè aumenta la capactà. La capactà equvalente, dopo che abbamo ntrodotto l delettrco nel condensatore 1, dventa eq = + k2 (k + 1) = 2k + 1 k + 1 dove k è la costante delettrca. La extra carca che passa la possamo dunque scrvere come la carca totale dopo l nserzone del delettrco meno la carca totale prma. ( 2k + 1 Q = ( eq eq )V 0 = k ) = k 1 2 2(k + 1) V 0 Da questa s rcava faclmente k k = V 0 2 Q V Q = 3.5 Ora s apre l nterruttore e s estrae l delettrco. Durante l estrazone del delettrco la carca dunque rmane costante (l generatore è staccato) e camba la dfferenza d potenzale a cap della capactà equvalente (cap a e b). La carca da consderare è la carca che avevamo dopo l nseremento del delettrco e questa va dvsa ora per la capactà fnale, n cu l delettrco non è pù presente (3/2). 3

4 2k + 1 V ab = Q = k + 1 V 0 2(2k + 1) = eq 3 2 3(k + 1) V 0 = 14.2 V. La dfferenza d potenzale cresce essendo la carca costante e la capactà dmnuta. Problema 3 L nduttanza del solenode s calcola a partre dal campo (B = µ 0 n) o, meglo ancora, dal suo flusso concatenato con le N spre L = φ(b) = BΣN = µ 0nπa 2 N = µ 0 πa 2 N2 l = mh. Quando l nterruttore s chude abbamo un crcuto RL con una battera e l andamento della corrente è: (t) = ε (1 e t/τ) R D altra parte l campo all nterno del solenode è legato alla corrente dalla semplce relazone B = µ 0 n e dunque abbamo B(t) = µ 0 n(t) = µ 0εN (1 e t/τ) lr Questa relazone può essere usata per rcavare ε sapendo la corrente ad un dato stante. ε = RB l µ 0 N(1 e t /τ = 35.2 V. ) L energa contenuta all nterno del solenode a regme è quella del campo magnetco e la possamo calcolare ntegrando la denstà d energa sul volume del solenode. D altra parte l campo magnetco, a regme, vale B(t ) = µ 0(t )N l e dunque per l energa possamo scrvere = µ 0εN lr u B = B2 V = πa 2 l E = u B V = πµ 0ε 2 N 2 a 2 2µ 0 2lR 2 = mj. Problema 4 Il vettore d Poyntng per un onda e.m. vale S = 1 µ 0 E B Il campo elettrco e l campo magnetco sono tra loro perpendcolar e dunque l modulo del vettore d Poyntng vale S = 1 µ 0 EB Osservamo adesso che B = E/c ed noltre che l vettore d Poyntng dpende dal tempo molto rapdamente (come camp E e B). Per calcolare l ntenstà dobbamo fare una meda nel tempo che c porta un fattore 1/2. D altra parte se usamo l valore del campo elettrco effcace E 0 l fattore due vene rassorbto. 4

5 I =< S > t = E2 max 2µ 0 c = E2 0 µ 0 c = W/m2. Il legame tra la potenza e l ntenstà, nel caso d un onda sferca che emette n modo sotropo, vale I = P P 4πr 2 r mn = = 28.9 m. 4πI max 5