Presentazione del Modello
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- Sibilla Valsecchi
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1 CAPIOLO 3 Presentazone del Modello
2 SOMMARIO DEL CAPIOLO ERZO (3. Introduzone (3. Descrzone del Modello (3.3 Dscretzzazone nel tepo e nellospazo (3.4 Estensone del odello dscreto n 3D (3.5 Algorto d hoas...3. (3.6 Concluson (3.7 abella propretà terche d var ateral
3 3. Introduzone In uesto captolo s esaneranno etod d ntegrazone nuerca utlzzat. Sao partt con un odello esplcto alle dfferenze fnte (Eulero n avant per po passare ad uno d tpo seplcto (hoas. La forulazone alle dfferenze fnte d un problea d conduzone terca può avvenre oltre che per sosttuzone dretta delle relazon rcavate nell euazone fondaentale d base anche per l postazone d un blanco terco della regone crcostante un dato nodo uest ulto l approcco è stato da no utlzzato per entrab etod. 3.Descrzone del odello Presentao un odello 3D del suolo e degl oggett n esso contenut con note condzon al contorno. Assuao tutt gl eleent del odello essere sold sotrop ed noltre n pra approssazone consderao trascurabl gl effett dovut all udtà.nella fgura 3. sono evdenzat prncpal process fsc che ntervengono nel volue Ω consderato e sulla superfce d nterfacca con l ara Γ. Fg. 3. : Descrzone de prncpal fenoen fsc che hanno luogo nel Ω consderato e sulla superfce d nterfacca con l ara Γ. 3.3
4 Il processo è fondaentalente descrtto dalle seguent euazone tepovarabl e a sngola fase 3D: ( r t α ( r t = 0 con α = t ρc n τ Ω La trasssone del calore sulla superfce per ezzo dell effetto congunto de eccans d convezone e radazone deterna le seguent condzon al contorno : ( r t 4 4 κ h( ara σε( ara = 0 per τ Γ n ( r t = 0 per Ω n τ \ Γ rt = t = ( n Ω ( 0 0 r Dove n è la norale alla superfce Γ ara la teperatura dell ara crcostante σ la costante d Stefan Boltzann e ε l essvtà del terreno h l coeffcente d convezone e uello d conduzone. Se ara << ara l terne n 4 può essere lnearzzato e und portato dentro l coeffcente d convezone rsultando cos aggorato dunue la nuova condzone per la superfce dventa : 3.4
5 ( r t κ h( ara = 0 per τ Γ n 3.3 Dscretzzazone nel tepo e nello spazo Nel caso d conduzone varable nel tepo n aggunta alla dscretzzazone spazale (xy notao la dscretzzazone nel tepo (t. L ulta è rappresentata da un nuero dscreto d fotogra ( snapshots.. L ntervallo d tepo tra due fotogra consecutv è t che per seplctà supponao non var da un stante e l successvo. Quest stant sono ordnat n ordne sull asse del tepo per ezzo del nuero cos che rappresenta l stante corrente entre - e rappresentano gl stant edataente pra e dopo uello corrente. Il pro stante nella seuenza (=0 rappresenta la dstrbuzone nzale della teperatura che è la condzone nzale specfcata a t=0. La dvsone dello spazo d conduzone n dscret volu d controllo ( e gl stant d tepo ( sgnfcano che l capo d teperatura tepovarante (xyt è rpazzato da una atrce trdensonale delle teperature. Quest nuer possono essere deternat applcando la pra legge della terodnaca a ognuno de volue d controllo e tenendo n conto le approprate condzon al contorno. Il caso d nod ntern è consderato Fg
6 3.6 Fg.3.. Dscretzzazone del dono sa nello spazo (xy che nel (t. Con rferento all eso stante d tepo dsegnato al centro della fgura scrvao la pra legge della terodnaca osservando che l volue d controllo coe un sstea chuso che s coporta n anera dpendente dal tepo n uesto odo : W S E N t ywc x = ρ dove la lunghezza W rappresenta la densone longtudnale del nostro sstea conduttvo pù propraente la lunghezza surata nella drezone perpendcolare al pano d Fg.. I fluss d calore che arrvano per conduzone da uattro punt cardnal sono : x W y x W y y W x y W x E W S N
7 Qund = α t ( x ( y Il prosso passo consste nell approssare per ezzo delle dfferenze fnte la dervate rspetto al tepo / t. Se usao l etodo delle dfferenze n avant t t In fne assuendo x= y ottenao l espressone ( ( Fo = Fo 4 dove t Fo = α è detto nuero d Fourer. ( x Il prncpale svantaggo del etodo esplcto è che se non s prendono certe precauzon la soluzone nuerca può svluppare oscllazon che auentano n apezza da un stante e l successvo. Questa nstabltà nuerca può essere evtata sceglendo un passo teporale (Fo suffcenteente pccolo. E stato trovato che la soluzone nuerca è stable uando l coeffcente che oltplca non è negatvo. Percò nel 3.7
8 caso d nod ntern ad un dono bdensonale conduttvo l crtero per la stabltà nuerca è ( 4F 0 0 che s traduce per pccol t n Fo 4 S consder un volue d controllo n cu l trasferento d calore sulla superfce d deltazone con un fludo a teperatura avvenga per convezone fluss d calore per conduzone che arrvano da uattro punt cardnal allora sono : e und N W hw x( y W x S E W x y y W x = Fo( B ( 4Fo BFo la condzone d stabltà n uesto caso dventa ( 4F 0 BFo 0 n altre parole Fo ( B dove B è l nuero d Bot basato sulla grgla spazale: 3.8
9 h x B= Questa nuova condzone è percò pù restrttva della precedente. Per garantre la stabltà dell ntera soluzone nuerca l ntervallo d tepo (e conseguenteente Fo devono essere scelt abbastanza pccol da soddsfare la pù restrttva delle condzon d stabltà. In conclusone l etodo esplcto è un etodo dretto solo condzonalente stable ponendo che Fo non debba superare un certo nuero. Con l valore scelto d Fo basato su consderazon sulla stabltà lo spazo n consderazone e l passo teporale x e t devono essere scelt coe coproesso tra accuratezza nuerca e costo coputazonale. 3.4 Estensone del odello dscreto n 3D La pra approssazone del odello sarà uella d consderare solo nod edataente vcn nelle tre denson coe ostrato n fgura: 3.9
10 In uesto caso le euazon che descrvono l problea sono: Nod Intern: ( ( z z z z z z Fo z z = Fo 6 Nod n Superfce: ( ( z z z z z B 6Fo F B z z = Fo 0 Qund le condzone d stabltà dventano Fo 6 e Fo (6 B Se adesso consderao una sorgente d energa che rrada la superfce del terreno bsognerà consderare un terne d energa raggante nella euazone che rguarda nod n superfce l problea è stato aggrato 3.0
11 consderando un euvalente svluppo nterno d calore Q v nel seguente odo : W = energa ncdente(watt/ W e = ew : energa eessa W a = aw : energa assobta nello strato superfcale Q v = W a / Y Supponao che l energa venga assorbta solo n uno strato superfcale avente uno spessore euvalente alla spazatura tra due nod. 3.
12 3. Consderando una spazatura unfore x= y= z =δ : t c Q h v δ δ ρ δ δ κδ δ κ δ κ δ κ δ κ δ κ ( ( ( ( ( ( ( ( 3 3 = che dopo ualche passaggo dventa : t c Q BF BF F F v o o o o δ ρ = 6 ( (
13 Coe accennato gà uesto etodo d ntegrazone essendo del tutto esplcto offre vantagg dal punto d vsta coputazonale da un lato n uanto rsolvao cos una euazon lnear per ognuno degl N nod consderat ndpendente l una dall altra a dall altro pone de vncol tra l tepo e lo spazo coè tra l passo d ntegrazone e la spazatura de nod della grgla. t Fo= α ( x Con F 0 fssato n base al crtero d stabltà precedenteente descrtto. Per uest otv c sao orentat verso algort plct o seplct che hanno portato rsultat pù accurat. Abbao preso n consderazone l algorto d hoas o Metodo della Matrce rdagonale che è estreaente effcente per rsolvere sste d euazon trdagonal. D seguto descrverò breveente l etodo randando a test specalstc per una descrzone pù dettaglata. 3.3
14 3.5 Algorto d hoas Consderao l caso onodensonale per seplctà senza però perdere d generaltà. X Y δχ w δχ e L euazone dscretzzata che governa lo scabo terco per conduzone n uesto seplce caso è: κ ( te tp Y τ κ Y τ = ρc X Y ( t δχ ( tw tp 0 p tp δχw e s tratta della solta euazone d blanco dell energa applcato al nostro volue d controllo che n uesto caso è bdensonale ( x y n cu t p t e t w sono adesso le nostre ncognte e t 0 p è la teperatura n p al passo precedente e und nota. Svolgendo passagg e raggruppando var tern ottenao: a t = a t a t t p p e e w w 0 p 3.4
15 n cu α τ = δx χ a per =ew con κ α = ρc ed a = a a p e w Che può essere rscrtta coe: aφ(j=bφ(jcφ(j-d dove a=a p b=a e c=a w t p = Φ(J In uesto odo s vede bene che ad ogn passo d ntegrazone le varabl da consderare sono uelle de sol nod adacent a uello consderato per uesto otvo l algorto prende anche l noe d etodo della trdagonale nfatt dsponendo sulle colonne nod d cu s vuole calcolare la teperatura possao rappresentare la procedura con una atrce trdagonale. Qund per esepo se s vuole calcolare la teperatura per nod s procede n pass n cu per ognuno d uest nteressano sole tre teperature : x x x x x x x x x x x x
16 x x x x x x x x x x x x x x x Il etodo per rsolverla è d seguto descrtto: l euazone dscretzzata per una grgla spazale consstente d N nod assue la fora: a(jφ(j=b(jφ(jc(j Φ(J-d(J (J= N avendo posto : a(j=a p (J b(j=a e (J c(j=a w (J d(j=a p (J Φ (J ed essendo per ovv otv: c(=0 b(n=0 Per J= s può scrvere: 3.6
17 a(φ(=b( Φ(d( da cu derva: b( Φ(= a ( d( Φ( a ( e posto: b( P(= a ( d( Q(= a ( s ottene: Φ(=P(Φ(Q(. Per J= s può scrvere: a(φ(=b(φ(3c(φ( d( da cu sosttuendo s rcava: a(φ(=b(φ(3c(p(φ(c(q(d(. 3.7
18 Ne derva: [a(-c(p(]φ(=b(φ(3[d(c(q(] e und: b( d( c( Q( Φ(= Q(3 a( c( P( a( c( P(. Posto: b( P(= a( c( P( e d( c( Q( Q(= a( c( P( s ottene: Φ(=P(Φ(3Q(. In generale s può und scrvere: Q(J=P(J Φ(JQ(J 3.8
19 essendo: b( J P(J= a( J c( J P( J e d( J c( J Q( J Q(J= a( J c( J P( J. Il calcolo de valor assunt dalla generca varable Φ negl N nod consderat ad un defnto stante d tepo (τ τ essendo not corrspondent valor relatv all stante d tepo precedente τ s esegue pertanto calcolando nodo per nodo valor de coeffcent a(j b(j c(j e d(j ed assegnando all andata ossa procedendo da ad N valor d P(J e Q(J defnt n funzone de valor assunt n corrspondenza al nodo precedente e rcavando al rtorno ossa procedendo da N ad l valore d Φ(J defnto n funzone del valore assunto n corrspondenza al nodo successvo. In uesto odo è dunue possble calcolare drettaente tutt valor ncognt della varable ndagata che gaccono su una lnea. Nel caso n cu l problea sa plurdensonale la rsoluzone delle corrspondent euazon algebrche tralascando la possbltà d pegare etod drett può essere ottenuta rcorrendo a etod teratv: s tratta coè d fornre una soluzone d avvo e d applcare rpetutaente l algorto d rsoluzone fno a uando non s raggunga una soluzone 3.9
20 che ne lt del crtero d convergenza adottato possa essere consderata accettable. Al rguardo l etodo d soluzone consste nell utlzzo dell algorto d hoas applcato ad un certo stante d tepo a tutte le rghe della grgla d dscretzzazone spazale del capo esanato rpetutaente teratvaente l applcazone fno al soddsfacento della prefssata condzone d convergenza. Pochè l algorto s presta solaente alla rsoluzone d euazon del tpo vsto con tre ncognte allneate passando ad un problea plurdensonale ed applcando l algorto rga per rga le varabl che non gaccono sulle sngole rghe d ndagne non possono essere consderate ncognte e va ad esse pertanto assegnato l ulto valore noto; ne dervano corrspondenteente caratterstche brde tra lo schea plcto e uello esplcto seppure con una connotazone tpcaente plcta. 3.6 Concluson Nel prosso captolo descrvereo due algort pleentat n MatLab con le relatve soluzon adottate. 3.0
21 abella delle propretà terche d var ateral heral C C Voluetrc heat C heral C W/K Kg/ J/ /s Ar Glycerol Water Ice Olve ol Gasolne Methanol Slcone ol Alcohol Alunu Copper Stanless Steel Alunu Oxde Quartz Concrete Marble Glass Pyrex
22 PVC PFE Nylon Coran (cerac flled Sand (dry Sand (saturated Glass pearls (dry Glass pearls (saturated Wood Cotton Leather Cor Foa glass Mneral nsulaton aterals Plastc nsulaton aterals
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