Dobbiamo dunque calcolare lo sviluppo di Mc Laurin del numeratore fino al quarto ordine. Ricordando che cos(x) = 1 x 2 /2! + x 4 /4!
|
|
- Antonio Pellegrini
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Serie Esercizio Esame di Complementi di Matematica Corso di Laurea in Chimica Esame di Matematica II Corso di Laurea in Scienza dei Materiali 23 Giugno 26 Soluzioni Calcolare cos(x) + x 2 /2 lim x x 2 sin( x2 4 ) Soluzione Il limite proposto è una forma indeterminata del tipo [ ]. Il denominatore va a zero come x 4 ; infatti, abbiamo che il suo sviluppo in serie è x 2 (sin(x 2 /4)) x 2 (x 2 /4 (x/4) 3 /3! + ) x 4 /4 + Dobbiamo dunque calcolare lo sviluppo di Mc Laurin del numeratore fino al quarto ordine. Ricordando che cos(x) = x 2 /2! + x 4 /4! + otteniamo che Dunque ho cos(x) + x/2 = x 4 /4! + cos(x) + x 2 /2 lim x x 2 sin( x2 4 ) = lim x x 4 /4! + x 4 /4 + = 6.
2 Esercizio 2 Calcolare exp( x 2 ) dx con un errore inferiore a. Soluzione L integrando è la serie esponenziale con argomento x 2. Tale serie converge assolutamente ed uniformemente per tutti i valori reali dell argomento, quindi possiamo integrare termine a termine. Lo sviluppo inserie di Mc Laurin di exp( x 2 ) è exp(x 2 ) = i= ( ) n x2n n! Integrando termine a termine ottengo: = x 2 + x 4 /2! x 6 /3! +. exp( x 2 ) dx = (x x3 3 + x5 + ) = ( ) n (2n + )n!, (.) dato che il contributo dell estremo inferiore di integrazione è nullo. La serie così ottenuta è una serie a termini alternati, con il modulo del termine generale, ovvero decrescente e che tende a zero per n (2n + )n!. Posso quindi utilizzare il teorema di Leibniz che dice che, se i= ( )n b n è una serie che soddisfa le ipotesi di cui sopra, essa converge (diciamo a S) ed inoltre S i= N ( ) n b n b N+ i= ovvero, a parole, che la differenza tra la somma della serie e la sua ennesima somma parziale è limitata dal modulo del primo termine che si trascura. Quindi, riconsiderando la equazione (.), per risolvere il problema nella maniera più economica, dovrò trovare il più piccolo valore di n per il quale valga (2n + )n! 2
3 ovvero il valore di n per il quale (2n + )n!. Conviene tabulare i primi valori di n e (2n + )n! nella tabella: [ ] Quindi il valore cercato di n è n = 4 e dunque, a meno di /, exp( x 2 ) dx 3 ( ) n (2n + )n! i= = /3 + / /42 = = 56 2 = Equazioni differenziali Esercizio 3 Sia data, nel piano x la famiglia di curve C a di equazione 2 = a x 6 +. (2.) a) Trovare (in forma implicita) la famiglia di traiettorie ortogonali alla C a. b) Trovare la traiettoria di tale famiglia che passa per il punto (, ). Soluzione Per prima cosa dobbiamo scrivere una equazione differenziale per la famiglia delle traiettorie ortogonali, che poi perverremo ad integrare. Differenziamo a destra e sinistra la (2.), pensando come funzione di x, e otteniamo: 2 = 6 a x 5. Ricavando a dalla (4.) come a = 2 otteniamo semplificando le potenze di x,...con quale gioia del cav. Bertoloni, si può presumere. x 6 e sostituendo in tale equazione, = 3(2 ). (2.2) x 3
4 Questa è l equazione differenziale della quale la famiglia C a è l integrale generale. L espressione della derivata prima data da (2.2) dà la tangente al grafico delle curve della famiglia C a. Quindi, la tangente alla curva ortogonale alla famiglia C a avrà coefficiente angolare dato dall opposto dell inverso di tale espressione; in altre parole, per risolvere il problema dovremo integrare l equazione differenziale = x 3( 2 ). (2.3) Consideriamo ora l equazione (2.3). È a variabili separabili, quindi procediamo con il solito metodo di integrazione: La scrivo nella forma separata (di Leibniz) 3( 2 ) d = x dx; }{{} =3( /) integro a destra (rispetto a ) e a sinistra (rispetto ad x), ed ottengo log = 2 x2 + C, che mi dà la soluzione in forma implicita: 2 log( 2 ) = 3 x2 + C. (2.4) Per risolvere la parte b) dell esercizio, non ho bisogno di dare la forma esplicita di questa soluzione. Infatti, il problema di Cauch proposto è = per x =. Basta quindi sostituire questo dato nella (2.4). Ottengo: log() = C C = e dunque la soluzione del punto b) è data da 2 log( 2 ) = 3 x2 +. 4
5 Esercizio 4 Si consideri l equazione differenziale = ( exp(x)) 2. (2.5) a) Trovare le soluzioni costanti, i punti stazionari delle soluzioni, e la curva degli zeri della derivata seconda (o curva dei flessi). b) Risolvere i due problemi di Cauch associato alla equazione (2.5) con dati iniziali, rispettivamente,: i) () = ii) () = /2 e determinare l insieme di definizione delle due funzioni così ottenute. Soluzione a) L equazione differenziale ammette la soluzione costante =, x. D ora in avanti, esculderemo questa soluzione dalle nostre considerazioni. I punti stazionari delle soluzioni della (2.5) sono dati da quei valori di x per i quali si ha (x) = ; dunque dovrà essere exp(x) = x =. Notiamo che < per x < e > per x >. Quindi il x = è punto di massimo locale. Per calcolare la curva degli zeri della derivata seconda, differenzio la(2.5) rispetto alla x pensando come funzione di x. Ottengo l uguaglianza = exp(x) ( exp(x)). Sostituendo qui dentro l espressione di ottengo raccogliendo a fattor comune = 2 (2 ( exp(x)) 2 exp(x)) 5
6 Dunque la curva che dà l annullarsi della derivata seconda delle soluzioni di (2.5) ha equazione = exp x 2 ( exp(x)) 2 b) Per risolvere i problemi di Cauch proposti, bisogna prima calcolare l integrale generale della (2.5). Questa è una equazione a variabili separabili, la cui forma di Leibniz è Integrando a destra e sinistra ottengo d = ( exp(x))dx. (2.6) 2 = x exp(x) + C = exp(x) x C. (2.7) Per risolvere i problemi di Cauch proposti devo sostituire i valori dati in tale espressione, per trovare il valore di C corrispondente. Nel primo caso ho = C C = 2 che dà la soluzione (x) = Nel secondo caso ho exp(x) x 2 /2 = C C = che dà la soluzione 2 (x) = exp(x) x + Per finire devo discutere l insieme di definizione di (x) ed 2 (x), ovvero devo verificare se il denominatore di (x) (rispettivamente, 2 (x)) si annulla. Considero (x), e, in particolare, il suo denominatore exp(x) x 2. Questo è nullo per exp(x) = x + 2 cioè nei punti di intersezione della funzione esponenziale con la retta = x+2 Graficamente si ha: 6
7 x 2 e quindi il dominio di (x) è R \ {x, x + } dove x e x + sono le ascissa dei due punti di intersezione raffigurati qui sopra. Con un procedimento analogo, si trova che, invece, il denominatore di 2 (x) non si annulla mai, e quindi tale funzione è definita su tutto R. 3 Geometria nello spazio Esercizio 5 a) Scrivere l equazione del piano π passante per i punti A, B, C di coordinate cartesiane A (, 2, 3), B (,, 2), C (,, ). b) Scrivere l equazione della retta s perpendicolare a π e passante per l origine. c) Verificare che le retta r di equazioni parametriche {x = 3 t, = t +, z = 3 t + 4} non tocca mai π e calcolare la distanza tra r e il piano in questione 2. Soluzione Il problema può essere risolto in vari modi. Qui ne presento uno. Considero i vettori v := AC, v 2 = BC, le cui componenti Cartesiane sono v (,, 3); v 2 = (,, 2). 2 Cioè calcolare la distanza di un punto qualsiasi di r da π. 7
8 dato che le coordinate di C sono (,, ), l equazione di π è data da (x ) ( ) z Det 3 =. 2 Sviluppando il determinante qui sopra si ottiene (x ) 3 2 e dunque l equazione di π è ( ) z 3 2 (x ) 2 ( ) 3 + z = 2 x 3 + z +, = 2 x 3 + z + = (3.) Come vettore perpendicolare a π posso prendere n = (2, 3, ); quindi equazioni parametriche di s sono date da {x = 2 t, = 3 t, z = t}. Considero ora la retta r. Sostituendo le sue equazioni parametriche nell equazione cartesiana di π trovo 2(3t) 3(t + ) + ( 3t + 4) + =. Sviluppando si ha che il membro a sinistra di questa espressione vale 2, e quindi nono si ha alcuna intersezione tra r e π. Infine, prendendo t = (ma qualsiasi valore va bene) si ottiene il punto P = (,, 4) della retta r. La distanza di P da π è d(p, π) = = 2 4 =
9 4 Funzioni di più variabili Esercizio 6 Si consideri la funzione F (x, ) = x 3 2 x 2 + x + x (4.) a) Scrivere l equazione del piano tangente al grafico di F nel punto (,, 2). b) Trovare i punti critici di F e determinarne la natura. Soluzione F è un polinomio, dunque differenziabile con continuità un numero arbitrario di volte. Deivate parziali: F x = 3 x2 4 x + +, F = x + 2. (4.2) La formula che dà il piano tangente al grafico di una funzione ( liscia ) nel punto (x,, z = F (x, ) è z z = F x x, (x x ) + F x, ( ) Nel caso in questione si ha x =, =, z = 2 e, da (4.2) F x, = 2, Dunque l equazione del piano in questione è F, =. (z 2) = 2 x + ( ), ovvero 2 x + z + =. Per trovare i punti critici dobbiamo risolvere le equazioni F x =, F =, ovvero (da 4.2) { 3 x 2 4 x + + = x + 2 = 9
10 La seconda dà = x ; sostituendo nella prima (e dividendo per 3) ho 2 x x + 2 = x,2 = 2 I due punti critici sono dunque P = ( 2, 4 ), P 2 = (, ). Per determinarne la natura, calcoliamo l Hessiano di F. Sempre da (4.2) otteniamo: Sostituendo si ha H(F ) = P H(F ) = ( 2 ( 6 x 4 2 ), H(F ) = P2 ). (4.3) ( 2 2 ). Dunque Det(H(F ) ) = 3 P è punto di sella, P mentre Det(H(F ) ) = 3, H F [, ] = 2 P2 P P 2 è punto di minimo relativo. Esercizio 7 Sia f(x, ) := x x. Calcolare il valore massimo ed il valore minimo assoluti di f sul triangolo racchiuso dalle rette x =, = e 2 x + =. Soluzione Per prima cosa determiniamo il triangolo T in questione. L intersezione tra le rette x = e = è il punto A (, ), quella tra le rette = e 2 x + = è il punto B (, ), e quella tra le rette x = e 2 x + = è il punto C (, 3). Graficamente:
11 C A B x Calcoliamo i punti critici all interno di T. Si ha f x = 2 x + f f = per (x, ) = (, ). (4.4) = x + 4 Dato che H f = ( 2 4 il punto P = (, ) è un punto di minimo locale. Notiamo che f(p ) =. Il bordo 3 di T è costituito dai tre segmenti L = AB, L 2 = BC, L 3 = CA. Una parametrizzazione conveniente di L i, i =, 2, 3 è data da: { { { x x 3 L = L = 2 = L = 2 x + 3 = x = (4.5) In corrispondenza avremo le tre funzioni: φ = f L : [, ] R, ) φ (x) = f(x, ) = x x φ 2 = f L2 : [, ] R, φ 2 (x) = f(x, 2 x + ) = e dunque φ 2 = x 2 + 2( 2 x) 2 + x( 2 x) = = 7 x 2 7 x + 2 φ 3 = f L3 : [, 3] R, φ 2 (x) = f(, ) = + 2 2, 3 Oppure frontiera, ma non barriera...
12 delle quali andiamo a determinare gli estremali, ed i corrispondenti valori. Noriamo che φ i, i =, 2, 3 sono parabole con la concavità rivolta verso l alto. Quindi, all interno dei rispettivi domini di definizione, potranno al più avere dei minimi. Ora: φ = 2x ; x = /2 è minimo per φ, e φ (/2) = f(/2, ) = 7/4. φ 2 = 4 x 7; x = /2 è minimo per φ 2, e φ 2 (/2) = f(/2, ) = 4. φ 3 = 4 ; = /4 è minimo per φ 3, e φ 3 (/4) = f(, /4) = 7/8. Da questi risultati (compreso quanto detto in (4.4)) si deduce che il punto P = (, ) è il punto di minimo per f sul triangolo T, ed il valore minimo di f su T è f(p ) =. Questo risultato poteva essere desunto anche con la seguente osservazione. Possiamo scrivere f(x, ) = x x equivalemtemente come f(x, ) = 2 (x + )2 + 2 x Da ciò, f(x, ) per ogni punto del piano; in particolare, f(x, ) = solo quando (x, ) = (, ), che dunque è il minimo assoluto di f in R 2 e dunque su T (dato che (,, ) T ). Per calcolare il valore massimo, dobbiamo calcolare i valori che f assume nei vertici A, B e C di T. Si ha: f(a) = f(, ) = 4; f(b) = f(, 3) = 6; f(c) = f(, ) = 2. Il valore di massimo di f in T è dunque 6, che si ottinene per (x, ) = (, 3). Esercizio 8 Dimostrare, tramite il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, che ci sono tre punti critici della funzione F (x,, z) = x + + z sulla superficie di equazione x z 2 + x z =. 2
13 Soluzione Calcoliamo i gradienti delle due funzioni coinvolte, chiamando G = x z 2 + x z la funzione che dà il vincolo : F = (,, ); G = (2 x + z, 2 + x z, 2 z + x ). Dunque, il sistema da studiare secondo il metodo di Lagrange è = λ (2 x + z) = λ (2 + x z) = λ (2 z + x ) x z 2 + x z =. (4.6) Ricordiamo che incognite sono x,, z, λ; questo sistema è di grado 8 (quattro equazioni di grado 3 ciascuna). Si può risolvere nel seguente modo: Dalle prime due equazioni trovo 2 x + z = 2 + x z, e dalla seconda e terza 2 + x z = 2 z + x. Quindi posso riscrivere (4.6) come λ = λ = 2 x + z 2(x ) z(x ) = 2( z) x( z) = x z 2 + x z =. Le soluzioni della seconda di queste equazioni sono: 2 x + z (2 z)(x ) = (2 x)( z) = x z 2 + x z =. (4.7) A) z = 2; B) = x (4.8) Consideriamo il caso A). Il sistema si riduce a λ = 2 x+ z (2 x)( 2) = x x + }{{} 3 =. 4 Dalla seconda, ottengo o x = 2 o = 2. Consideriamo il primo caso; sostituendo nell ultima equazione si ottiene =. 3
14 Questa equazione non ha soluzioni reali, perchè il discriminante è 6 28 = 4 <. Dato che il caso = 2 è analogo, concludiamo che la soluzione z = 2 della seconda equazione del sistema non dà luogo a soluzioni dell intero sistema. Dobbiamo quindi considerare il caso B), = x. Il sistema 4.7 con = x dà luogo a λ = 2 x+ z (2 x)(x z) = 2 x 2 + z 2 + x 2 z =. La seconda di queste equazioni dà o x = 2 o z = x. Nel primo caso l equazione di vincolo diventa z z + 7 = che non ha soluzioni reali 4. Quindi ci siamo ridotti a considerare il caso z = x. Sostituendo questa soluzione nell ultima equazione otteniamo la equazione cubica x x 2 =. Ricapitolando, i passi che abbiamo fatto ci hanno portato ad affermare che le uniche soluzioni (nel campo reale) del sistema originario 4.6 sono le soluzioni (ancora da determinarsi) del sistema = x z = x λ = 2 x + x 2 x x 2 =. (4.9) Dobbiamo ora verificare che la ultima equazione di tale sistema abbia proprio tre soluzioni reali x, x 2, x 3, e che tali soluzioni non rendano priva di significato la terza. Per questo secondo problema, osserviamo che il denominatore della espressione di λ, cioè, λ = si annulla per x = e x = 2. Detto 2 x + x2 P 3 (x) := x x 2, 4 In effetti, il caso x = 2 è già stato considerato più sopra. 4
15 si ha P 3 () =, P 3 ( 2) = 8+2 = 3, e quindi dobbiamo solo stabilire quanti zeri reali abbia P 3 (x). Osserviamo che P 3 tende a ± per x ± e dunque ha - come tutte le oneste cubiche - almeno una radice reale. La derivate P (x) è data da 3 x 2 +6 x e si annulla per x = e x = 2. Ovviamente x = è il punto di minimo relativo e x = 2 quello di massimo relativo. Dato che P 3 ( 2) = 3(> ) e P 3 () = (< ) il grafico di P 3 (x) attraversa l asse delle x prima del punto di massimo, poi ridiscende fino a = e infine risale per divergere a + (vedi il grafico). Quindi il sistema originario ha tre soluzioni x -4 5
16 5 Integrali multipli Esercizio 9 Calcolare x dx d dove D è la regione definita da: {x, 3 x, x }. D Soluzione La regione D è costituita dai punti a destra dell asse, sotto la retta = 3 x, (retta che forma con l asse x un angolo ϑ = arctan( 3) = π 3 ), e all interno del cerchio di raggio 2, centrato nell origine (vedi figura). Si noti che A (, 3), B (, 2). A π/3 x B In coordinate polari (r, ϑ), legate a quelle cartesiane da x = r cos ϑ, = r sin ϑ, 6
17 D è descritto da: D := {(r, ϑ) : r 2; π/2 ϑ π/3} Dunque l integrale proposto si può calcolare come f(r cos ϑ,r sin ϑ) {}}{ I = (r 2 cos ϑ sin ϑ) r} dr {{ dϑ} [,2] [ π/2,π/3] = 2 r 3 dr π/3 π/2 cos ϑ sin ϑdϑ, da in coord. polari cioè, dato che l integrando è il prodotto di una funzione della variabile r per una della variabile ϑ, e il dominio in coordinate polari è un rettangolo, trasformo l integrale doppio in un prodotto di integrali definiti ordinari. Il primo fattore è uguale a mentre il secondo è π/3 π/2 cos ϑ sin ϑdϑ = Il risultato è dunque π/3 π/2 2 r 3 dr = r4 4 2 = 4, sin ϑ(sin ϑ) dϑ = 2 sin2 (ϑ) I = 2. π 3 π/2 = = 2 (3 4 ) = 8. Alternativamente si potevano usare coordinate cartesiane, e considerare D come l unione dei due domini di tipo II E ed F come nella figura qui sotto A F E C x B 7
18 In particolare, si hanno: E := {(x, ) : 3; 3 x 4 2 } Dunque si avrà F := {(x, ) : 2 ; x 4 2 I = E xdxd + F xdxd I E + I F. Le differenze tra questa scelta e quella delle coordinate polari è che: a) I si calcola come somma di due integrali; b) (Importante):I E ed I F si calcolano attraverso integrazioni iterate, ma non sono prodotto di due integrali ordinari come nel caso sopra. Ovvero ( 3 ) 4 2 I E = x dx d = Analogamente I F = = = = ( ( x 2 /2 ) }{{} =/2((4 2 ) 2 /3)=2 2/3 2 ( 2 2/3 3 ) d = ( ) ( 4 2 ( x x dx ) ) d = d = ) d = 3 = (4 2 ) d = ( 2 4 ) = = Dunque ritroviamo I = I E + I F = 3/2 2 = /2. 8
19 Esercizio Calcolare dove è la regione definita da: Soluzione x dx d ( + ) 3 { x 2, min(x 2, )}. La regione può essere considerata come l unione di due regioni di tipo I: = 2, dove := {(x, ) : x, x 2 }, mentre 2 è il quadrato [, 2] [, ], come in figura. Corrispondentemente sarà I = I + I 2. (,) (2,) 2 x Dato che l integrando ha la forma data, I 2 è un prodotto: 2 d ( I 2 = x dx ( + ) = x ) = (2 2 ( + ) 2 2 )( 2 ( 4 )) = =
20 I si calcola come integrale iterato: ( ) x 2 d ( I = x dx = x ( + ) 3 2 ( ) x 2 ( + x 2 ) dx = 2 2 Quindi x2 ( + ) 2 x dx ( + x 2 ) ) dx = x dx = 4 + ( 8 4 ) = 8. I = I + I 2 = = 6. Alternativamente, il dominio può essere visto come un dominio di tipo II; infatti: := {(x, ) : ( 3, x 2} In questo caso l integrale I si calcola come un integrale iterato, integrando prima rispetto alla x e poi rispetto alla. In formule: ( ) 2 ( x dx ) d 2 I = d = x dx. (5.) ( + ) 3 ( + ) 3 L integrale interno dà: 2 x dx = x2 2 2 = 2 2 ; Quindi dobbiamo calcolare Ora: mentre 2 ( 4 (2 /2 ) d ( + ) 3. 2 d ( + ) = = 3 ( + ) = 3 4, ( ) d = (per parti) = ( + ) 3 4 ( + ) 2 2 ) ( + ) = 4 d 4 ( + ) = 2 ( ) = 6. (5.2) Dunque come dev essere. I = = 6, 2
exp(x 2 ) 1 (1 + x 2 ) 2/5 1
Esame di Matematica II Corso di Laurea Triennale in Scienza dei Materiali Esame di Complementi di Matematica Corso di Laurea Triennale in Scienze e Tecnologie Chimiche 18 Luglio 6 Motivare le soluzioni.
DettagliEsame di Complementi di Matematica (STC) e Parziale di Matematica II (SMat). 3 Maggio Soluzioni
Esame di Complementi di Matematica (STC) e Parziale di Matematica II (SMat). 3 Maggio 2006. Soluzioni In questo documento sono contenuti gli svolgimenti del tema d esame del 05/06/2006. Alcuni esercizi
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del f(x, y) = x 2 + 2y 2 x 3 y 3
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del 7-7-8 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del xy + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + sin
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 9--8 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA
ANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA Prova scritta del 6 giugno 2004: soluzioni ESERCIZIO - Data la funzione f) 3 2 4 + 27 + 9 2 ) /3 4 + 27, + 9 si chiede
DettagliSoluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti
Esercizio 1 (G. Ziglio). (6 punti) Calcolare il volume della porzione di spazio E interna alla sfera di equazione x 2 + y 2 + z 2 = 1 ed esterna al cono di equazione z 2 = x 2 + y 2 E = (x, y, z) R x 2
Dettaglix = t y = t z = t 3 1 A = B = 1 2
11/1/05 Teoria: Enunciare e discutere il teorema di Lagrange. Esercizio 1. Determinare l equazione cartesiana del piano passante per P 0 = (1,, 1) e contenente i vettori u = (,, ) e v = (1, 5, 4). Risposta
DettagliEsercizi con soluzioni dell esercitazione del 31/10/17
Esercizi con soluzioni dell esercitazione del 3/0/7 Esercizi. Risolvere graficamente la disequazione 2 x 2 2 cos(πx). 2. Determinare l insieme di definizione della funzione arcsin(exp( x 2 )). 3. Trovare
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (06/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (06/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d Esame (0/09/200) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 2009/0 Matematica e Statistica Prova d Esame di MATEMATICA (0/09/200) Università di Verona - Laurea
DettagliMatematica A Corso di Laurea in Chimica. Prova scritta del Tema A
Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del 7..6 Tema A P) Data la funzione f(x) = ex+ x determinarne (a) campo di esistenza; (b) zeri e segno; (c) iti agli estremi del campo di esistenza
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (05/09/202) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 20/2 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (05/09/202) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliAlcuni esercizi risolti da esami di anni passati
Alcuni esercizi risolti da esami di anni passati Andrea Braides ( x. Calcolare, se esiste, il limite lim (x,y (, x + y log + y + x 3 y. x + y Dato che log( + s = s + o(s per s, abbiamo lim (x,y (, ( x
DettagliProva scritta del 18/12/2007
Prova scritta del 8//7 È data la funzione: f) = 6 + 4 log tema A) f) = 4 log tema B) Determinarne: a) dominio, limiti significativi, asintoti; b) derivata prima, crescenza, punti di massimo e di minimo;
DettagliCorso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni
Corso di Geometria, a.a. 2009-2010 Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni 5 novembre 2009 1 Geometria del piano e prodotto scalare Richiami. Il prodotto scalare di due vettori del piano v,
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI FOGLIO DI ESERCIZI # 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 009/0 Esercizio 4. (Esercizio 7.3). Calcolare l inversa delle matrici (invertibili) [ ] 3 A = B
DettagliEstremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima.
Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = e x (x 1)(y 1) + (y 1).. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = y (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = xye x +y..
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del A
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -7-5 - A Esercizio ( punti Data la funzione f(x, y = x + y + 4xy 8x 4y + 4 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli
DettagliEsonero di Analisi Matematica II (A)
Esonero di Analisi Matematica II (A) Ingegneria Edile, 8 aprile 3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + x log 3 x (x ) 3 dx.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente
Dettaglidi 4, che è l area dell intera mattonella, imponiamo che 5 e quindi a = 7 5
Problemi Problema 1) 1) Siccome la funzione f(x) è una retta, l espressione cercata è f(x) = 1 x che soddisfa le condizioni a), b) e c) richieste. Per riflessione rispetto all asse y, all asse x e all
DettagliAnalisi Matematica II 14 Giugno 2019
Analisi Matematica II 14 Giugno 2019 Cognome: Nome: Matricola: 1. (10 punti) Si determinino i sottoinsiemi del piano in cui valgano, rispettivamente, continuità, derivabilità e differenziabilità della
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (25/09/203) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 202/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (25/09/203) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliEsercizi. Misti iniziali. Più variabili. 1. Data la funzione. F (x) = x3 3 + x e t2 dt. se ne studino massimi, minimi, flessi, limiti a ±.
Esercizi Misti iniziali. Data la funzione se ne studino massimi, minimi, flessi, iti a ±. 2. Provare che Più variabili F x) = 3. Calcolare, se esistono, i seguenti iti a) b) c) d) x,y),) x 2 + y 2 2 x,y),)
DettagliAnalisi Matematica 2. Michele Campiti. Prove scritte di. Ingegneria Industriale a.a
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 2 Ingegneria Industriale a.a. 20 202 Grafico della funzione f(x, y) := sin(2x 2 y) cos(x 2y 2 ) in [ π/2, π/2] 2 Raccolta delle tracce di Analisi Matematica
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (26/06/203) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 202/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (26/06/203) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliSOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7
SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 Esercizio. Funzione da studiare: log( 3).. Dominio: dobbiamo richiedere che il denominatore non si annulli e che il logaritmo sia ben definito. Quindi le condizioni
DettagliRisoluzione dei problemi
Risoluzione dei problemi Il dominio della generica funzione è:! a a) Scriviamo l espressione della funzione in forma di equazione raccogliendo separatamente i termini contenenti il parametro a e quelli
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea (quadriennale) in Fisica a.a. 2002/03
I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita
DettagliCOMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA A.A Primo appello del 5/5/2010
COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA A.A. 29- Primo appello del 5/5/2 Qui trovate le tracce delle soluzioni degli esercizi del compito. Ho tralasciato i calcoli da Analisi (che comunque sono parte della risoluzione),
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea in Fisica a.a.2001/02
I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del y 2
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 15--18 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliAppunti di Matematica 5 - Derivate - Derivate. Considero una funzione e sia e definita in un intorno completo di.
Derivate Definizione di derivata di f(x) in x D o f Considero una funzione e sia e definita in un intorno completo di. Consideriamo il rapporto (detto rapporto incrementale ) È evidente che il rapporto
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del f(x, y) = 2 x 2 y 2 x y 2 + x y
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del -7- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio
DettagliDERIVATE E LORO APPLICAZIONE
DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x
DettagliSIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO
ANNO SCOLASTICO 2012-13 SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO INDIRIZZO: SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Risoluzione Problema 1 a) Poiché per ogni valore di a l espressione analitica
DettagliSoluzioni verifica di Matematica 5 a E Liceo Scientifico - 17/10/2013
Istituto Superiore XXV aprile Pontedera - Prof Francesco Daddi Soluzioni verifica di Matematica 5 a E Liceo Scientifico - 7/0/03 Esercizio Si consideri la funzione e x+ se x < f(x) = 0 se x = x x x se
DettagliMatematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (24/06/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Tema A Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O,
DettagliSOLUZIONI COMPITO A. Esercizio 1 Utilizzando la formula risolutiva per l equazioni di secondo grado, valida anche in campo complesso, otteniamo:
SOLUZIONI COMPITO A Esercizio 1 Utilizzando la formula risolutiva per l equazioni di secondo grado, valida anche in campo complesso, otteniamo: z = i + i + i 3 In forma algebrica, otteniamo: = i + 1 +
DettagliRisoluzione del compito n. 5 (Luglio 2018/2)
Risoluzione del compito n. 5 (Luglio 2018/2) PROBLEMA 1 Considerate il luogo di zeri S = {(x, y, z) R 3 : z 4+ x 2 + y 2 =0, 2x y + z =0}. a) Giustificando la risposta, dite se S è una curva liscia. b)
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
Dettagli1 Note ed esercizi risolti a ricevimento
1 Note ed esercizi risolti a ricevimento Nota 1. Il polinomio di Taylor della funzione f x, y) due variabili), del secondo ordine, nel punto x 0, y 0 ), è P 2 x, y) = f x 0, y 0 ) + f x x 0, y 0 ) x x
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 2 Secondo compito in itinere 30 Giugno 2016
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Secondo compito in itinere Giugno 6 Cognome: Nome: Matricola: Es.: 9 punti Es.: 9 punti Es.: 6 punti Es.4: 9 punti Totale. Si consideri
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliMatematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (3/09/011) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 010/11 1 Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O, P-Z)
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Matematica I Appello del 5 Febbraio 2007 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Matematica I Appello del 5 Febbraio 7 Tema A Cognome e Nome Matr... Disegnare un grafico approssimativo della funzione f() log( ). Indicare sul grafico
DettagliEsercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.
Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del log 1 + x4 +y 2. xy y
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 9--6 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = (x 2 2y 2 ) e x y
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--5 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Terzo Appello 8 Settembre 2014
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Terzo Appello 8 Settembre 24 Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es.: 9 punti Es.2: 8 punti Es.3: 8 punti Es.4: 8 punti Totale. Sia F la
DettagliSoluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13
Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in
DettagliMaturità scientifica 1983 sessione ordinaria
Maturità scientifica 198 sessione ordinaria Soluzione a cura di Francesco Daddi 1 Si studi la funzione y = a x 1 e se ne disegni il grafico Si determinino le intersezioni della curva da essa rappresentata
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del --9 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio.
DettagliCorso di Laurea in Informatica Applicata Esame di Analisi Matematica Prova scritta del 10 gennaio 2007
Corso di Laurea in Informatica Applicata Esame di Analisi Matematica Prova scritta del 0 gennaio 007 Primo esercizio. È assegnato il numero complesso z = + i. (a) Posto z = + i, determinare la forma trigonometrica
Dettagli(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo
GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()
Dettaglia) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [;
ESERCIZIO - Data la funzione f (x) + x2 2x x 2 5x + 6, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = x 2 + y 3 4y. 4 1, y 2 2(1 + }
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8-09-07 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del f(x, y) = x 2 + y 2
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del -7- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio.
DettagliANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA
ANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA Prova scritta del 2 luglio 2004: soluzioni Data la funzione f() = 3 2 2 arctan + 0, si chiede di: a) calcolare il dominio
DettagliEquazioni differenziali Problema di Cauchy
Equazioni differenziali Problema di Cauch Primo esempio - Risolvere l equazione '( ) = g( ) con g( ) :[ a, b] R continua Teor. fondamentale del calcolo integrale ( ) = + g ( t )dt Primo esempio - Osserviamo
DettagliANALISI MATEMATICA 2 - INGEGNERIA MECCANICA ED ENERGETICA A.A PROVA SCRITTA DEL 28/1/19
ANALISI MATEMATICA - INGEGNERIA MECCANICA E ENERGETICA A.A. 8-9 PROVA SCRITTA EL 8//9 Scrivere nome cognome e numero di matricola in stampatello su tutti i fogli da consegnare. Consegnare solo la bella
Dettagli{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x.
0 Gennaio 006 Teoria: Definizione di derivata puntuale e suo significato geometrico Esercizio Determinare l equazione del piano contenente i vettori u = (,, 3 e v = (,, e passante per P o = (,, Scrivere
DettagliSOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2017
SOLUZIONE DEL PROBLEMA TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 7. Studiamo la funzione f() per verificare che il suo grafico sia compatibile con il profilo della pedana. Dominio della funzione. R Eventuali simmetrie
DettagliEsercitazioni di Analisi Matematica FUNZIONI CUBICHE. Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere:
FUNZIONI CUBICHE Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere: 1) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 2) y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 3) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 4 4) y = fx) = x 3 +
DettagliMatematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (08/07/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O, P-Z) (08/07/20)
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 11
Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI 1 GEOMETRIA 2009/10 Esercizio 1.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliRisoluzione del compito n. 1 (Febbraio 2018/1)
Risoluzione del compito n. Febbraio 8/) PROBLEMA Considerate la curva Φθ) = rθ)cosθ, rθ)senθ, θ/ ), θ. a) Determinate la funzione rθ) in modo che il sostegno di Φ stia sulla superficie conica C = {z =
DettagliTutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017
Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017 Esercizi: serie di potenze e serie di Taylor 1 Date le serie di potenze a.) n=2 ln(n) n 3 (x 5)n b.) n=2 ln(n)
DettagliSoluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2007/2008
Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sunra J.N. Mosconi 19 giugno 008 Problema 1 (a) Determiniamo in funzione di a i lati del triangolo. Essendo l angolo BĈA retto
Dettaglif(x) := 1 10 x g(x) := f(x) x = 1 x + 100
PROBLEMA. Dal momento che la spesa totale mensile data dalla somma del canone mensile e della spesa dovuta alle telefonate al minuto, indicando con x i minuti di conversazione ed f : R + R + la funzione
DettagliIstituzioni di Matematiche, modulo B. corso di laurea in Scienze della Terra. Mauro Costantini
Istituzioni di Matematiche, modulo B corso di laurea in Scienze della Terra. Mauro Costantini 1 Definizione.1. Due rette r = P + v, s = Q + w dello spazio sono ortogonali (o perpendicolari se i vettori
DettagliAnalisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del sesto appello, 24 luglio 2017 Testi 1
Scritto del sesto appello, luglio 7 Testi Prima parte, gruppo.. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f( := 3 e relativamente alla semiretta, specificando se non ne esistano..
DettagliPrima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti 1 Tema n 1 4 5 6 Tot. Cognome e nome in stampatello) codice persona
DettagliAnalisi II, a.a Soluzioni 5
Analisi II, a.a. 2017-2018 Soluzioni 5 1) Sia E un sottoinsieme chiuso e limitato di R n e x R n un punto qualunque. Chiamiamo d(x, E) = inf{d(x, y): y E} la distanza di x da E. Dimostrare che esiste un
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del (x y) log
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -6-4 Esercizio. punti Data la funzione { x y log +, fx, y = x +y 4 x, y,, x, y =, i dire in quali punti del dominio è continua; ii dire
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliIV Scientifico - 24 Novembre 2014
SOLUZIONI IV Scientifico - 24 Novembre 204 0 02 03 04 05 06 07 08 09 0 20 D C C C C E E E E C 202 E C C A C D E A A C 203 E A C E C C A C E C 204 D C B E A B A A A A 205 E E D C D B C C E A 206 D D B C
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo B (SG)
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 29 settembre 2012
Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9 settembre A) Data la funzione f(x, y) = { xy x se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ), i) stabilire se risulta continua
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del , se (x, y) = (0, 0) ( x e. + y x e (y2 )
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del -6-9 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 30 agosto 2011 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) agosto Tema A Tempo a disposizione: ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio di una pagina.
Dettagli= 2x 2λx = 0 = 2y 2λy = 0
ESERCIZI SULLA OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA ESERCIZIO Determinare i punti di massimo e minimo di f x, y = x y soggetta al vincolo x + y = Il vincolo è chiuso e limitato (circonferenza di raggio ) e la funzione
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliCalcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 18 Giugno 2019 Soluzioni Scritto. a) Calcolare il dominio, asintoti ed eventuali punti di non derivabilità;
Calcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 8 Giugno 209 Soluzioni Scritto Data la funzione fx = x 2 x 6 x /3 a Calcolare il dominio, asintoti ed eventuali punti di non derivabilità; b Calcolare, se esistono,
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 )
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-9- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio
DettagliESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x?
A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 6/7 ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 5/6/7 log? Domanda. Per quali valori di è definita l espressione L espressione è definita se l argomento
DettagliEs. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria. Punteggi degli esercizi: Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti.
Es. Es. Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria Terzo appello 8 Settembre 4 Compito B Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.:
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (08/0/0) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/ Tema A Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (08/0/0) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliGEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.
DettagliAnalisi 2 Fisica e Astronomia
Analisi Fisica e Astronomia Appello scritto del 8 Luglio 0. Soluzione Esercizio 7 pti Sia α > 0 un parametro e consideriamo la curva piana γ : [0, ] R γt = t cos, t sin, se t 0, ], e γ0 = 0, 0. t α t α
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliSoluzioni del compito di Istituzioni di Matematiche/Matematica per Chimica F45 e F5X (10/2/11)
Soluzioni del compito di Istituzioni di Matematiche/Matematica per Chimica F5 e F5X (//). La funzione f(x) = x 3x x + (a) èdefinita purché l argomento della radice sia non negativo cioè perx 3x : quindi
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del 7-- Esercizio. punti Data la funzione fx, y = log x + y x + y + x y i trovare tutti i punti critici; ii trovare massimo e minimo assoluti
DettagliSecondo Compitino di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 18 Dicembre 2015 Fila A. i 1 2i. z 2 = (1 + i)(1 i)(1 + 3i).
Secondo Compitino di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 8 Dicembre 05 Fila A Esercizio Si considerino i numeri complessi z = i + i i (a) Calcola il modulo di z e il modulo di z.
Dettagli