Le forze e l equilibrio

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1 I.P.S.I.A. A.M. Barlacchi Crotone Aunti di Fisica Caitolo II Le forze e l equilibrio Ugo Carvelli II/1

2 Caitolo II Le forze e l equilibrio Introduzione ai vettori Per esrimere la quantificazione di talune grandezze è sufficiente indicare un valore, ovvero un numero (o scalare), come ad esemio se dobbiamo indicare la massa di un coro o la larghezza di una orta. L eserienza quotidiana ci insegna erò che esistono altri tii di grandezze fisiche er le quali non è iù sufficiente esrimere un valore numerico ma si rende necessario definire altri asetti. Ciò che uò aiutarci a descrivere cosa accade è il concetto di vettore. Un vettore è un elemento geometrico raresentato da un segmento orientato, munito cioè di una freccia in una delle sue estremità, e caratterizzato da quattro elementi: modulo: raresenta la lunghezza del vettore (indicata da un valore e un'unità di misura); direzione: è individuata dal fascio di rette arallele alla retta su cui giace il vettore; quindi non solo la retta su cui agisce ma anche le rette ad essa arallela; verso: il verso è descritto dalla unta del vettore stesso, raresentato da un segmento orientato; unto di alicazione: il unto antecedente a tutti gli altri, ossia il unto iniziale. I vettori vengono indicati nel seguente modo: a Comosizione di vettori Aare evidente che, nei fenomeni che ci troveremo a studiare, molte volte dovremo affrontare roblemi in cui, er esemio, su un coro agiscono iù forze (iù vettori) quindi si rende necessario chiarire come tali comosizioni avvengano nei diversi casi. 1 caso: vettori aralleli (stessa direzione) e concordi (stesso verso) in questa situazione avremo a che fare con vettori che hanno stessa direzione e stesso verso. La somma dei due vettori, sarà raresentata dal vettore risultante, che avrà stessa direzione e stesso verso di entrambi e come modulo la somma dei moduli. II/2

3 a b il vettore somma sarà indicato come a+b e raresentato come: a b a+b 2 caso: vettori aralleli (stessa direzione) e discordi (verso oosto) in questa situazione avremo a che fare con vettori che hanno stessa direzione ma verso oosto. La somma dei due vettori, sarà raresentato dal vettore risultante (indicato in rosso), che avrà stessa direzione, verso del vettore con modulo maggiore e modulo la differenza tra i moduli (b-a). Avremo quindi: b a il vettore somma sarà indicato come a+b (è semre una somma algebrica) e raresentato come: b a a+b 3 caso: vettori ortogonali tra di loro in questo caso i vettori formano, tra di loro, un angolo di 90, come raresentati in figura: a 90 b II/3

4 il vettore somma a+b sarà raresentato dal vettore che ha come modulo la diagonale del rettangolo formato dai due vettori: a a+b e il modulo del vettore, che indichiamo con R, avrà valore: b R = a 2 + b 2 (er alicazione del teorema di Pitagora) 4 caso: vettori che formano un angolo α tra di loro La somma di due vettori a e b è definita come il vettore a + b, diagonale del arallelogramma formato dai vettori a e b a a+b b Si tracciano le rette arallele ai due vettori a e b (linee tratteggiate) e si congiunge il unto comune dei vettori con l intersezione delle due nuove rette. Tale congiungente sarà il vettore risultante R=a+b. II/4

5 Le forze Da un unto di vista uramente meccanico il concetto rimitivo di forza è insito nello sforzo muscolare che si comie ogni qualvolta vogliamo singere, tirare, imedire il moto, deformare un coro. Così, er esemio, quando si alza un bilanciere, quando si singe una cassa sora un avimento, si alica una forza; un ciclista esercita una forza sui edali er far muovere la bicicletta. Un'automobile si muove sotto la sinta della forza sviluata dal motore; un razzo si muove sotto l'azione di una forza che si svilua in seguito alla combustione dei gas. In generale una forza alicata a un coro, libero di muoversi, lo mette in movimento; diciamo er questo che le forze roducono effetti dinamici. Un altro effetto della forza è ad esemio la deformazione di una molla, In questo caso diciamo che la forza è in grado di deformare il coro momentaneamente, cioè finche agisce la forza. Le forze ossono anche arrestare il movimento dì un coro, come avviene, er esemio, quando si reme sul edale dei freni dì un'automobile in movimento. Se il coro al quale è alicata la forza non è libero di muoversi, ma, come si suoi dire, è vincolato, la forza roduce in generale una deformazione sia del coro che del vincolo. Vincoli e reazioni vincolari Esistono cori che ossono muoversi nelle tre direzioni dello sazio, altri, come un treno sui binari, che sono invece vincolati a stare su una suerficie o su una linea. Posando un oggetto su un tavolo, il tavolo si deforma, sia ur imercettibilmente, er contrastare il eso dell oggetto. Poiché l oggetto rimane fermo, la forza vincolare sarà ari al eso dell oggetto e sarà erciò tanto maggiore quanto maggiore è il eso dell oggetto. Un vincolo è qualsiasi condizione che limita il moto di un coro o lo mantiene in stato di equilibrio. In meccanica, essendo solo le forze caaci di modificare lo stato di quiete o di moto di un sistema, l'azione dei vincoli si eslica attraverso un insieme di forze dette forze vincolari o reazioni vincolari che agiscono sui unti del sistema, limitandone il moto. Unità di misura di una forza Il newton (simbolo: N) è un'unità di misura della forza; fa arte delle unità di misura derivate del Sistema internazionale di unità di misura. Il newton rende il nome da Isaac Newton come riconoscimento er il suo lavoro nella meccanica classica. II/5

6 Venne adottato dalla Conferenza generale dei esi e delle misure nel Viene definita come la quantità di forza necessaria er imrimere ad un chilogrammo di massa una accelerazione di un metro al secondo quadrato. Le sue dimensioni in termini di unità base SI sono: 1N = 1 kg. m S 2 Il dinamometro (dal greco dynamis "forza" e metron "misura") è lo strumento utilizzato er la misurazione della forza. La sua struttura è molto semlice oiché è costituito da una molla con una scala graduata. La forza elastica Per cori elastici intendiamo quei cori che sottoosti ad una sollecitazione tramite una forza, una volta deformatosi, finita l azione della forza, ritornano nelle condizioni iniziali. La forza elastica è quella forza che si evidenzia ogni volta che noi roviamo a sollecitare un coro elastico tentando ti allungarlo, comrimerlo o deformarlo. In tal caso il coro reagisce con una forza interna che si oone alla nostra sollecitazione, che vale: Fel k S (Legge di Hooke) Dove Fel è la forza elastica, k è il coefficiente elastico della molla, misurata in N/m e s è l allungamento della molla risetto alla osizione iniziale, il segno meno sta ad indicare che la forza si oone alla sollecitazione, cioè la forza elastica è una forza di richiamo. II/6

7 La forza di attrito La forza d'attrito è una forza che nasce ogni volta che un coro si muove, o cerca di muoversi, a contatto con un altro coro. L'attrito uò essere dannoso o utile. E' dannoso, e erciò si cerca di limitarlo, quando si vuol far muovere un coro: le forme aerodinamiche sono studiate er ridurre l'attrito, come ure la lubrificazione di organi di macchine). Invece, quando vogliamo fermare o rallentare un coro, sfruttiamo rorio l'effetto dell'attrito (i freni delle macchine, il aracadute). Inoltre, senza l'attrito non otremmo camminare, almeno nel modo in cui siamo abituati (le suole delle nostre scare scivolerebbero sul terreno e noi resteremmo semre fermi nello stesso unto). La forza d'attrito si oone al movimento del coro, quindi ha semre la stessa direzione del movimento (o del tentativo di movimento) del coro e verso oosto. L attrito si divide in: - Attrito statico: è quello che bisogna vincere er far muovere l oggetto quando è ancora fermo (es. quando si vuole mettere in moto un auto) - Attrito dinamico: a sua volta uò distinguersi in: - Attrito radente: si ha quando un coro si muove, o cerca di muoversi, traslando (strisciando) su una suerficie. - Attrito volvente: si ha quando un coro si muove rotolando su una suerficie. - Attrito viscoso: quando un coro solido si muove in un fluido (es. nell'aria o in acqua). L attrito diende da: La natura delle suerfici a contatto (cioè i materiali di cui sono costituite e lo stato fisico: lisce, ruvide, asciutte, bagnate). La forza remente (determina la rofondità dei micro-incastri resonsabili dell'attrito). Fa F F è la forza remente cioè la forza che agisce normale o verticale alla suerficie di contatto, II/7

8 mentre Fa è la forza d attrito cioè la forza che si oone al movimento del coro. Il coefficiente di attrito radente è un numero uro, il cui valore diende dalla natura delle suerfici a contatto. Alcuni valori del coefficiente di attrito radente Suerfici s (statico) d (dinamico) Legno - legno 0,50 0,30 Acciaio - acciaio 0,78 0,78 0,42 Acciaio - acciaio lubrificato 0,11 0,05 Acciaio - alluminio 0,61 0,47 Acciaio - ottone 0,51 0,44 Acciaio - teflon 0,04 0,04 Acciaio - ghiaccio 0,027 0,014 Acciaio - aria 0,001 0,001 Acciaio - iombo 0,90 n.d. Acciaio - ghisa 0,40 n.d. Acciaio - grafite 0,10 n.d. Acciaio - lexiglas 0,80 n.d. Acciaio - olistirene 0,50 n.d. Rame - acciaio 1,05 0,29 Rame - vetro 0,68 0,53 Gomma - asfalto (asciutto) 1,0 0,8 Gomma - asfalto (bagnato) 0,7 0,6 La forza di gravità Il modulo della forza con cui interagiscono due cori qualsiasi dotati di massa è direttamente roorzionale al rodotto delle loro masse e inversamente roorzionale al quadrato della reciroca distanza (o, iù recisamente, dalla distanza tra i centri di massa dei due cori). La direzione lungo cui agisce la forza è quella della retta congiungente i centri di massa. La forza gravitazionale è II/8

9 semre attrattiva. La costante di gravitazione universale, indicata con G, esrime la roorzionalità tra le suddette grandezze ed ha lo stesso valore er qualsiasi coia di cori dotati di massa, ovunque si trovino nell universo. Avremo quindi: con G = 6, N m 2 / kg 2 m, M sono le masse dei due cori che interagiscono e r la loro distanza reciroca. Forza eso e massa Sesso usiamo indistintamente le arole eso e massa, a volte confondendoli tra loro, ma questi termini non sono equivalenti dal unto di vista fisico. In fisica forza eso e massa sono grandezze sostanzialmente diverse: la massa di un coro è una sua rorietà intrinseca, indiendente dalla sua osizione nello sazio e da ogni altra grandezza fisica, il eso, invece, è l'effetto rodotto su tale massa dalla resenza di un camo gravitazionale. Di conseguenza la massa di un coro è costante, mentre il suo eso varia a seconda del luogo in cui viene misurato. Sulla Luna, un uomo esa meno che sulla Terra: sui due cori celesti, una bilancia a torsione o a molla restituirà quindi valori diversi, in quanto si basa sulla misurazione della forza eso; una bilancia a contraeso, invece, restituirà lo stesso valore, in quanto si basa sul confronto di masse (ciò vuol dire che anche su ianeti diversi uno stesso coro mantiene la sua massa, mentre la forza eso varia in base all'accelerazione di gravità). La forza eso (o iù semlicemente eso) agente su un coro è la forza che il camo gravitazionale esercita su una massa, questa forza è diretta verso il centro della Terra. Come ogni altra forza, nel Sistema Internazionale la forza eso si misura in newton (N). Relazione tra eso e massa Se consideriamo un coro di massa m attratto dalla terra di massa M = 5, kg, saendo che il raggio della terra è r = 6, m, sostituendo a G, M, r i valori definiti troveremo la forza con la quale la terra attira il coro di massa m, cioè il eso del coro II/9

10 In ratica i tre termini noti moltilicati tra loro daranno un numero semre uguale che indichiamo con g (accelerazione di gravità) g = G. M / r 2 La forza eso indicata solitamente con la lettera P, è direttamente roorzionale alla massa del coro che la subisce con fattore di roorzionalità g, detto anche accelerazione gravitazionale, che varia da ianeta a ianeta. Sulla Terra l accelerazione gravitazionale mediamente vale: g = 9,81 N/m (Newton su metro) Per cui si ha: P = m. g Pur essendo una forza, sesso la forza eso viene semlicemente indicata con la lettera P e non come vettore P. Questo è dovuto al fatto che tale vettore, sul coro celeste su cui agisce, nel nostro caso la Terra, è comunque diretto semre in modo radiale (come fosse un raggio) e verso quello entrante. In oche arole direzione e verso in ogni unto intorno alla Terra è semre lo stesso e non uò variare. La ressione Finora abbiamo semre alicato le forze ad un unico unto, in generale coincidente con il baricentro, ossia con il unto nel quale ossiamo ensare concentrata tutta la massa del coro. Quando erò abbiamo a che fare con cori estesi omogenei la forza-eso è distribuita in maniera uniforme e l'estensione della suerficie d'aoggio uò giocare un ruolo imortante nel definire le condizioni di equilibrio. II/10

11 Partiamo ad esemio dalla seguente domanda: erché uno sciatore srofonda nella neve se indossa solamente gli scaroni mentre non srofonda con le racchette da neve o gli sci? È chiaro che in entrambi i casi la forza-eso dello sciatore è la stessa. La differenza sta nel fatto che, nel caso delle racchette o degli sci, la forza-eso dello sciatore viene distribuita su tutta la suerficie d'aoggio delle racchette o degli sci e questa suerficie ha un'area molto iù grande di quella degli scaroni. La grandezza che quantifica quanto una forza è distribuita su una suerficie è detta ressione. La ressione è una grandezza scalare e si definisce come il raorto tra l'intensità della forza F che reme su una suerficie e l'area A della suerficie remuta. vista dall alto F La forza F si scarica su una suerficie di A m 2, cioè una suerficie costituita da A quadrati di 1 m x 1 m ciascuno A La forza F sarà riartita sulla suerficie A dando origine a tante iccole forzette, una er ogni m 2, che chiameremo ressione F A vista dal basso Quindi la ressione non è altro che la forza er ogni unità di suerficie, cioè: = F/A Al contrario la forza F sarà data dalla somma di tutte le, cioè: F = =. A A volte II/11

12 Nel Sistema Internazionale la forza si misura in newton, l'area in metri quadri. Pertanto, l'unità di misura della ressione è il newton su metro quadro, N / m 2. Questa unità di misura rende anche il nome di ascal (simbolo Pa). Dimensionalmente abbiamo ertanto che: 1 Pa = 1N / 1 m 2 Equilibrio di un coro sul iano orizzontale Un coro è in equilibrio quando è in quiete e vi rimane nel temo. Determinare le condizioni di equilibrio di un coro è roblema imortante, che uò diventare comlesso: un onte deve essere in equilibrio anche se è attraversato da migliaia di vetture, un grattacielo deve resistere alle scosse sismiche. Per un unto materiale l unica condizione che deve essere soddisfatta affinché esso resti fermo è che la somma, o risultante, delle forze sia nulla. Nel caso raresentato in figura, il coro è soggetto ad una forza esterna F, alla forza eso P e alla forza di attrito statico Fa, oltre che alla reazione vincolare R. Per ottenere l equilibrio (cioè il coro rimane fermo) devono verificarsi le seguenti condizioni: Fa = F e P = R ma ricordando che Fa F (forze di attrito) ed essendo F in questo caso coincidente con la forza eso P, si ottiene: Fa mg Piano inclinato Quello del iano inclinato è uno dei classici roblemi della fisica in cui, in resenza di attrito, è ossibile studiarne l equilibrio. Il iano inclinato è un iano che forma un angolo α con l orizzontale. II/12

13 Anche in assenza di altre forze, il coro è soggetto almeno alla forza eso P che erò, er via dell inclinazione dell angolo, viene scomosta in due comonenti: P e P P tende a comrimere il coro sul iano inclinato, ermettendogli di rimanervi aoggiato, P tende a far scendere il coro verso il basso. Osservando attentamente la figura, ossiamo notare che l angolo formato tra il iano inclinato e l orizzontale coincide con l angolo formato tra la forza eso P e la sua comonente erendicolare, er costruzione (in quanto angoli comresi tra rette erendicolari tra loro). Utilizzando le formule trigonometriche otteniamo: P P. cos e P P. sen ricordando la relazione tra eso e massa: P mg. cos e P mg. sen L attrito statico Fa, invece, tende ad oorsi al moto, cercando di mantenere fermo il coro stesso (equilibrio) almeno fino a quando è soddisfatta la relazione: Fa P Per comletare la quantificazione delle diverse forze in gioco, è utile richiamare la formula (2) di questo caitolo che ci consente di calcolare la forza di attrito statico, ove, essendo P F, la forza remente, coincidente con, otteniamo: Fa P mg. cos Momento di una forza risetto a un unto Per introdurre il concetto di momento M di una forza risetto ad un unto P, bisogna introdurre il concetto di braccio (b) della forza, inteso come la distanza della forza da un unto P: II/13

14 Il momento è quindi il rodotto dell intensità della forza er il braccio: M F b Dove er braccio si intende la minima distanza di P dalla retta che contiene la forza F (b erendicolare a F). Forza e braccio sono inversamente roorzionali, erciò iù lungo è il braccio meno intensa sarà la forza da alicare er avere lo stesso momento. L unità di misura del momento è il Newton er metro ( N m), essendo il rodotto di una forza er una distanza. L effetto del momento è di rodurre una rotazione attorno al unto di riferimento. Per convenzione, il momento si definisce ositivo se la rotazione si comie in senso orario; negativo se la rotazione si comie in senso antiorario. Coia di forze Un sistema di forze formato da due forze di uguale intensità ma di verso contrario, costituisce una coia di forze. Il braccio di una coia di forze corrisonde alla distanza fra le linee di azione delle forze. F F b Il momento della coia sarà: M = F. b II/14

15 Equilibrio del coro rigido un coro rigido uò essere soggetto a due tii di moti: traslatorio e rotatorio. Per ottenere l equilibrio nel caso di moto traslatorio è necessario contrastare la forza F con un altra osta sulla stessa retta di F, di uguale intensità e di verso oosto (-F). Per ottenere l equilibrio nel caso di rotazione, suosto che il coro sia vincolato nel suo centro, bisognerà alicare dal lato oosto una forza di ari modulo, direzione e verso in modo che sia nullo il momento risultante: M i 0 dove il simbolo indica la sommatoria (o somma), mentre gli Mi sono i singoli momenti delle forze agenti sul coro rigido. Il baricentro Un coro uò essere visto come costituito da orzioni infinitesime ciascuna delle quali è soggetta alla forza eso. Il eso comlessivo uò rorio considerarsi alicato nel baricentro del coro, come se ivi si fosse concentrata tutta la sua massa. Dunque il baricentro, o centro di gravità, del coro è il unto di alicazione della forza eso. Nel caso articolare in cui il coro ossegga una simmetria, il centro di gravità coincide rorio con il centro di simmetria. Se si sosende un coro rigido ad un suo unto qualsiasi A, il baricentro si colloca rorio lungo la verticale er A. Se così non fosse, il coro sarebbe soggetto a due forze (eso e reazione vincolare) ooste ma non aventi la stessa retta d azione e la coia che ne deriverebbe rocurerebbe rotazione. II/15

16 Le macchine semlici una macchina è un disositivo che consente di equilibrare una forza (resistente) er mezzo di un altra forza (motrice). Una macchina semlice è chiamata così erché non si uò scomorre in macchine ancora iù elementari. Dal unto di vista storico, raresentano le tecnologie iù antiche er alicare una forza maggiore della sola forza muscolare, attraverso il rinciio del guadagno meccanico. Le leve Le leve sono macchine semlici che consentono di svolgere lavoro con minore energia. Comoste da una sbarra aoggiata su un fulcro, si distinguono in tre classi, a seconda della osizione di resistenza, otenza e fulcro. Il iede di orco che si usa er sollevare oggetti esanti è una leva semlice, ma le leve sono imiegate anche in macchine comlesse. La otenza è amlificata se il suo unto di alicazione è iù lontano dal fulcro del unto di alicazione della resistenza. Le leve sono classificate in base alla osizione relativa di resistenza, otenza e fulcro. Nelle leve di rimo genere (le inze, le forbici, l altalena) il fulcro sta tra resistenza e otenza e uò essere vantaggiosa, svantaggiosa o indifferente in base alla osizione del fulcro. Leva di rimo genere Nelle leve di secondo genere (lo schiaccianoci, la carriola) la resistenza sta tra otenza e fulcro. È una leva semre vantaggiosa. Leva di secondo genere II/16

17 In quelle di terzo genere (la inza er l insalata, la inza er le soracciglia) la otenza viene alicata tra fulcro resistenza. E' una leva che non amlifica la otenza, ma il movimento. È una leva semre svantaggiosa. Leva di terzo genere Quindi ossiamo concludere che: A) se b br la leva è vantaggiosa; B) se b br la leva è svantaggiosa; C) se b br la leva è indifferente La carrucola In meccanica una carrucola o uleggia è una macchina semlice er sollevare esi. E una ruota girevole attorno ad un erno (asse) fissato ad una staffa e munita di una scanalatura entro cui scorre un organo flessibile di trasmissione, come una fune, una cinghia, ecc. Scoo della carrucola (fissa) è modificare la linea di azione di una forza. Possiamo distinguere tre tiologie di carrucole: fissa, mobile e comosta. Permette di esercitare lo sforzo muscolare er sollevare un eso nel verso in cui ci riesce iù facile, (cioè dall'alto verso il basso, aiutati dalla gravità) e sorattutto ci consente di direzionare la linea di azione della forza nel modo a noi iù comodo. II/17

18 L azione della carrucola fissa uò essere raresentata come una leva di 1 genere, in cui il erno centrale della carrucola raffigura il fulcro f e le estremità laterali sono risettivamente la forza resistente Fr e la forza motrice Fm. E mobile quando il eso e attaccato alla staffa, che quindi sale e scende con esso; In questo caso esiste un vantaggio meccanico ari al 50%, ossiamo cioè sollevare un eso di 100 kg con una forza di soli 50 kg. E comosta se costituita da carrucole fisse e mobili. E il sistema senza dubbio iù vantaggioso dal unto di vista dell utilizzo della forza, ma è svantaggioso in termini di velocità del movimento. II/18