gfurnari COERENZA IPERBOLICA

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1 COERENZA IPERBOLICA Possono sorgere ulteriori perplessità sul significato intrinseco della geometria iperbolica. Sono molte le proprietà che gli enti geometrici perdono passando dalla geometria euclidea a quella iperbolica. Già una parallela ad una retta iperbolica, passante per un punto P esterno ad essa, oltre che l unicità perde la caratteristica dell equidistanza. Anzi, il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta iperbolica non è una retta iperbolica. Nel modello iperbolico di Poincaré, se R è il raggio del cerchio iperbolico, il fattore di contrazione di un segmento che sia lontano r dal centro è 1- r 2 /R 2. Allora il luogo geometrico dei punti che distino d da una retta del primo tipo, cioè da un diametro AB, è dato dall equazione y = d (1 - x 2 /R 2 ). Questa equazione rappresenta una parabola con la concavità rivolta verso il diametro AB. 35

2 Se vogliamo renderci meglio conto di tale contrazione, possiamo rapportare la lunghezza d che il segmento ha, se posto al centro, con la lunghezza y che lo stesso segmento avrebbe se posto alla distanza x = r dal centro stesso. Tale rapporto, che si può indicare come rapporto centro/periferia o rapporto C/p, vale allora d / [ d (1-x 2 /R 2 ) ] = 1 / (1- x 2 /R 2 ) ovvero 1 / (1-x 2 ) se facciamo riferimento ad un universo di raggio unitario. E da notare come un tale rapporto non dipende dal valore di d e quindi non risulta legato né alla lunghezza dell unità di misura scelta né al percorso che fa, ma è ancor più da mettere in evidenza che si sta ragionando dal punto di vista estrinseco, cioè da come sarebbe possibile che un universo sia visto dall osservatore di un altro universo, sintomaticamente da un universo euclideo; che lo includesse, se, appunto, potesse includerlo, vederlo e misurarlo! Invece, dal punto di vista intrinseco i punti appartenenti ad una tale parabola sarebbero tutti equidistanti dalla retta di primo tipo AB. E, se un lungo oggetto lineare di larghezza costante d avesse uno dei bordi sulla retta AB, i punti appartenenti al secondo bordo si allineerebbero a quelli tracciati dalla parabola dei punti equidistanti. Tenendo anche conto che tale parabola possiede anche la caratteristica dell unicità, perché allora non assumere che le rette del secondo tipo 36

3 non siano tutte delle parabole passanti per gli estremi di un diametro del cerchiouniverso e cioè per gli estremi della corrispondente retta del primo tipo? Una tale geometria non sarebbe molto semplice, dovendo trattare, una volta fissati degli assi di orientamento, equazioni di parabole oblique la cui trattazione esula dagli scopi di questo lavoro. Ma tali parabole, così come le rette iperboliche, resterebbero anch esse individuate in modo univoco da due punti qualsiasi P e Q e quindi esiste compatibilità con gli assiomi di incidenza. In più, a partire da una qualsiasi di tali parabole, per un punto T fuori di essa sarebbe anche unica la parabola ad essa parallela, vale a dire passante per gli stessi estremi del diametro individuato dalla prima parabola. Naturalmente, anche qui gli estremi di tutte le rette di primo e secondo tipo sono punti ideali, non appartenenti all universo considerato. Un quadrato che venga rappresentato in un tale universo, potrebbe avere gli angoli, sia ottusi che acuti, a seconda della sua posizione. Ma occorre anche porre attenzione a non ingannarci scambiando il punto di vista estrinseco con quello intrinseco: se un ipotetico osservatore appartenesse ad un tale mondo in cui esista la contrazione introdotta da Poincaré, sarebbero possibili 37

4 due casi. Nel primo caso, quello coerente, anche il corpo fisico dell osservatore subisce, insieme alle unità di misura ed ai regoli che utilizza per misurare, la stessa contrazione; allora dal suo punto di vista l universo che osserva ed al quale appartiene non può che apparire euclideo, almeno alla piccola scala del suo raggio di osservazione. Naturalmente potrà dubitarne e fare le sue ipotesi non-euclidee. Nel secondo caso l osservatore, ma anche le sue unità di misura ed il suo regolo che nel caso più rozzo potrebbe essere il palmo della sua mano, non subisce alcuna contrazione. Questo fatto lo renderebbe però incoerente con il suo mondo e renderebbe l osservatore indistinguibile da noi che costruiamo ed osserviamo estrinsecamente rappresentazioni di geometrie non-euclidee sul piano euclideo. Ma un tale osservatore, non-euclideo ma indeformabile, rispetto a cosa sarebbe indeformabile, in quale mondo sarebbe realmente immerso, in un mondo euclideo? Una volta accennato brevemente al punto di vista intrinseco, ci si può fare delle domande anche rispetto al punto di vista estrinseco. Di fatto il punto di vista estrinseco corrisponde a costruire all interno della geometria euclidea una rappresentazione coerente di una geometria non-euclidea, ad esempio quella iperbolica; di poter effettuare su tale rappresentazione delle misure euclidee di segmenti, aree ed angoli, e di poter effettuare dei calcoli su tali misure. E ormai di dominio comune il fatto che, dato il grado forse differente ma comunque elevato della coerenza interna di ciascuna geometria, non è possibile determinare quale sia l effettiva geometria del mondo reale se non attraverso esperimenti fisici. E tuttavia, dato che le varie geometrie differiscono solo su scale paragonabili alle dimensioni dell universo, alla nostra scala di osservazione non è tuttora possibile effettuare, a tal fine, esperimenti realisticamente misurabili. Ma il nostro osservatore intrinseco, come abbiamo accennato sopra, può a sua volta fare le sue ipotesi non-euclidee, e noi possiamo effettuare osservazioni e misure sulla sua geometria. Come potrà essere rappresentabile allora, dal nostro punto di vista, la sua geometria non-euclidea, ad esempio una geometria iperbolica all interno di un mondo iperbolico? E a sua volta, una tale geometria iper-iperbolica, coerente e costruibile all interno della geometria euclidea? Ed una geometria iper-iperiperbolica? E soprattutto, se tali geometrie iper-non-euclidee fossero costruibili, potrebbero indicarci un esperimento, realisticamente misurabile alla nostra scala di osservazione, che ci permetta di determinare quale sia l effettiva geometria del mondo reale? 38

5 ALTRE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE Riandando con ordine, si considera, ormai classicamente [vedi Odifreddi, Divertimento Geometrico, pag. 163], che un teorema di Hilbert prova che non è possibile costruire nel piano euclideo un modello di geometria iperbolica che mantenga contemporaneamente il significato euclideo dei segmenti e degli angoli. Beltrami e Klein avevano scelto di considerare come rette non euclidee diametri e corde del cerchio, ma riesce alquanto problematico definire e trattare gli angoli in maniera non euclidea. E molto più semplice mantenere la nozione euclidea di angolo, considerando però come rette non-euclidee delle curve euclidee. 39 La curva più semplice, anche da trattare algebricamente, è il cerchio: una volta che sia stata scelta tale figura, si procede cercando una caratteristica all interno dello spazio iperbolico che renda unica la scelta dello specifico cerchio, per rispettare gli assiomi di incidenza (unicità della retta iperbolica per due punti P e Q). Storicamente la caratteristica individuata è quella della perpendicolarità di ogni cerchio al cerchio confine dell universo, quello che si ipotizza contenere tutti i punti ideali non appartenenti all universo stesso.

6 Il nostro cerchio-retta iperbolica intersecherà il cerchio ideale nei punti A e B che non le apparterranno, come non le apparterranno tutti i restanti punti esterni al cerchio ideale, e perciò detti ultraideali. Quindi si prosegue dimostrando che se, a partire dai termini indefiniti, gli assiomi di incidenza, di ordine, congruenza e continuità sono validi nella geometria euclidea allora lo sono anche in quella iperbolica. Per inciso, poiché per l approccio alla congruenza tra segmenti occorre stabilire sulle rette iperboliche un sistema di coordinate, storicamente si è scelto il metodo logaritmico che conduce al birapporto, un invariante nella geometria proiettiva. Questo però, pur alquanto suggestivo, è in contraddizione con il preciso rapporto di contrazione (1-r 2 )/R 2 introdotto da Poincaré e connesso alla scelta dei cerchi perpendicolari alla circonferenza ideale come rette iperboliche. Infatti, mentre per Poincaré il fattore di contrazione centro/periferia o rapporto C/p vale 1 / (1- x 2 /R 2 ), nel sistema del birapporto logaritmico è, posto sempre R come raggio del cerchio ideale e k = 2 ln [(R- 0.5)/( R+ 0.5)], 40

7 rapporto C/p = (1/k) ln[(r x)(r x)/(r x)(r x)] e queste due espressioni, pur rappresentando grafici molto prossimi, non coincidono. In ogni caso, si conclude affermando che, una volta dimostrato che la Geometria Neutrale vale sia per quella euclidea che per quella iperbolica, la loro coerenza interna è in corrispondenza l una con l altra e trovare un eventuale contraddizione in una delle due geometrie equivale a contraddire anche l altra. Ora, risulta difficile immaginare quali contraddizioni si possano scovare in una geometria come quella iperbolica dove già risulta problematica una definizione di quadrato che sia coerente come quella euclidea. 41

8 Il quadrato iperbolico, rispetto a quello euclideo, rimane infatti al livello della definizione minima che ho proposto all inizio di questo lavoro, ed il confronto può essere fatto soltanto con negazioni: non ha i lati opposti paralleli (a meno di non voler indicare come parallele le rette non incidenti), non ha i lati opposti equidistanti; occorrono più dati per costruire un quadrato a partire da un suo lato. Ad esempio, partendo dal segmento PQ non si può costruire il secondo lato a partire da P o da Q, su di una delle rette iperboliche che passano per tali punti, se prima non si conosce l area del quadrato, la quale determina l ampiezza dei suoi quattro angoli uguali. La geometria iperbolica sembra essere complessivamente più povera di quella euclidea, ed in effetti del suo modello assiomatico si conoscono solo dimostrazioni di coerenze relative, ovvero ottenute costruendo un modello euclideo della geometria iperbolica. Certo, la sua coerenza interna non è affatto trascurabile, ma occorre tener presente che il suo grado è relativo. 42