Modellizzazione e gestione dei rischi finanziari attraverso un approccio di portafoglio

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3 Annalisa Di Clemente Modellizzazione e gestione dei rischi finanziari attraverso un approccio di portafoglio

4 Copyright 2015 McGraw-Hill Education (Italy), S.r.l. Via Ripamonti, Milano I diritti di traduzione, di riproduzione, di memorizzazione elettronica e di adattamento totale e parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i Paesi. Date le caratteristiche intrinseche di Internet, l Editore non è responsabile per eventuali variazioni negli indirizzi e nei contenuti dei siti Internet riportati. Nomi e marchi citati nel testo sono generalmente depositati o registrati dalle rispettive case produttrici. Programme and Portfolio Manager: Natalie Jacobs Programme Manager: Marta Colnago Programme Manager Custom: Daniele Bonanno Produzione: Donatella Giuliani Stampa: Prontostampa, Verdellino Zingonia (Bergamo) ISBN Printed in Italy

5 Indice Introduzione... XIII PARTE I NUOVE TECNICHE DI STIMA DEI RISCHI DI MERCATO E DI CREDITO DI PORTAFOGLIO 1. Nuove misure di rischio: il Value-at-Risk e la Expected Shortfall Definizione e limiti del Value-at-Risk Esempi di metodologie di misurazione del rischio di mercato Introduzione e descrizione del concetto di misura coerente di rischio Proprietà degli insiemi accettabili e delle misure coerenti di rischio Costruzione analitica di una misura coerente di rischio: la Expected Shortfall Metodologie di stima del rischio di mercato: i modelli VaR Illustrazione delle caratteristiche analitiche dei modelli VaR Il modello RiskMetrics per il calcolo del VaR parametrico Stima del VaR parametrico di un singolo strumento finanziario

6 VI Indice 2.3. Il modello parametrico delta-gamma Stima del VaR del portafoglio attraverso il modello delta-normal La scelta del livello di confidenza La scelta dell orizzonte temporale Limiti dei modelli parametrici per la stima del rischio di mercato Stima del rischio di mercato attraverso un modello simulativo di tipo Monte Carlo puro Una solida teoria statistica per lo studio degli eventi rari: la Extreme Value Theory L importanza della stima degli eventi rari in campo finanziario Descrizione dei principi generali della Extreme Value Theory Stima della coda di una distribuzione Stimatore di Pickands per ξ R Stimatore di Hill per ξ = α 1 > Stimatore di Deckers-Einmahl-de Haan per ξ R Stima delle costanti tipiche Utilizzo della Distribuzione di Pareto Generalizzata (GPD) Stime di massima verosimiglianza di ξ e β Stima di ξ e β attraverso il metodo dei momenti pesati Stima della Expected Shortfall attraverso i principi della EVT Case study: applicazione della EVT pura alla misurazione del rischio del mercato azionario italiano Riferimenti bibliografici Un modello VaR di mercato avanzato : il modello di McNeil & Frey Introduzione Proprietà delle serie storiche dei rendimenti finanziari.. 68

7 Indice VII 4.3. I processi della famiglia ARCH e GARCH Misure dinamiche di rischio Applicazione della EVT alla stima di misure dinamiche del rischio Nuove misure di dipendenza dei dati finanziari: le funzioni copula Introduzione Definizione e proprietà matematiche della funzione copula Descrizione analitica di alcune famiglie di funzioni copula maggiormente utilizzate in campo finanziario Le copule ellittiche: la copula gaussiana, la copula t di Student e la copula grouped t Le copule archimedee Stima dei parametri della funzione copula Il metodo di Massima Verosimiglianza (ML) Il metodo IFM (Inference Functions for Margins) Il metodo CML (Canonical Maximum Likelihood) Stima dei parametri e misure di dipendenza Stima non parametrica Metodi di calibrazione dei parametri da una data rappresentazione analitica della funzione copula Selezione della copula più appropriata utilizzando la copula empirica Algoritmi di simulazione Simulazione dalla copula gaussiana Simulazione dalla copula t ν di Student Simulazione dalla grouped t-copula Simulazione dalla copula Cook-Johnson Simulazione dalla copula Morgenstern Un algoritmo generale per simulare una funzione copula Simulazione dalla copula empirica Case study: implementazione a due titoli azionari italiani.. 92 Riferimenti bibliografici... 98

8 VIII Indice 6. Un modello VaR di mercato avanzato basato sui principi della Extreme Value Theory e delle funzioni copula Presentazione delle caratteristiche del modello avanzato VaR di portafoglio Principi EVT dei quali si avvale il modello VaR di portafoglio Stima dei parametri delle funzioni copula utilizzate nel modello VaR Case study: implementazione del modello VaR avanzato di tipo simulativo basato su funzione copula ed EVT ad un portafoglio azionario italiano Conclusioni Riferimenti bibliografici Nuove tecniche avanzate di stima del rischio di credito del banking book e di allocazione coerente del capitale bancario La modellizzazione del rischio del portafoglio bancario Descrizione delle caratteristiche analitiche del modello interno di portafoglio crediti e stima delle misure di rischio del portafoglio Determinazione delle distribuzioni marginali dei times until default Descrizione del modello uni-fattoriale di generazione degli scenari di perdita dalla funzione copula Gaussiana Stima dei coefficienti di correlazione dei rendimenti delle attività finanziarie Introduzione di una struttura di dipendenza tra tassi di recupero e times until default nel modello interno di portafoglio crediti Allocazione del capitale di rischio tra le attività in portafoglio Case study: implementazione del modello interno ad un tipico portafoglio crediti italiano

9 Indice IX 7.7. Conclusioni Riferimenti bibliografici Modellizzazione del rischio del portafoglio crediti assumendo la stocasticità dell ammontare della perdita data l insolvenza e la sua correlazione all evento insolvenza Introduzione Un breve esame della letteratura internazionale sul tema della relazione tra tasso di recupero ed evento dell insolvenza Descrizione di un modello simulativo con LGD stocastica e correlata all evento insolvenza Case study: implementazione ad ipotetici portafogli crediti globali Conclusioni e commenti Riferimenti bibliografici La relazione tra rischio d insolvenza e ciclo economico Il fenomeno della prociclicità del sistema finanziario e delle regole sul capitale bancario Un riesame della letteratura internazionale Descrizione del modello di stima del rischio di credito di portafoglio adottato e del data set utilizzato Risultati delle analisi di regressione univariata Analisi di multicollinearità Risultati dell analisi di regressione multivariata Risultati dell analisi previsionale in condizioni normali e di stress delle macro variabili rilevanti Stima del tasso di decadimento medio delle imprese non finanziarie italiane Stima della perdita creditizia attesa e del requisito minimo di capitalizzazione bancaria

10 X Indice 9.8. Conclusioni e riflessioni Riferimenti bibliografici La misurazione integrata dei rischi di credito e di mercato del portafoglio bancario Introduzione Struttura del modello integrato di portafoglio per la stima dei rischi di credito e di mercato Descrizione analitica del modello integrato di portafoglio uniperiodale e con esposizione stocastica Definizione dei fattori di rischio e dello scenario economico Descrizione del modello d insolvenza condizionale Esposizioni e tassi di recupero Distribuzione delle perdite economiche di portafoglio condizionate allo scenario Aggregazione delle perdite di portafoglio in tutti gli scenari simulati Case study: implementazione del modello causale multi-fattoriale ad un ipotetico portafoglio crediti Conclusioni Riferimenti bibliografici Sviluppi in tema di misurazione integrata dei rischi bancari Introduzione Un breve esame della letteratura internazionale in tema di tecniche avanzate d integrazione dei rischi bancari Descrizione analitica delle metodologie tradizionali di stima del capitale interno complessivo bancario Illustrazione del modello avanzato di tipo top-down basato su Simulazione Monte Carlo e copula Gaussiana Case study: implementazione dei modelli alternativi di stima del capitale totale interno bancario a dati simulati Conclusioni Riferimenti bibliografici

11 Indice XI Parte II NUOVE TECNICHE DI GESTIONE DEI RISCHI FINANZIARI 12. La gestione del rischio di mercato seguendo un approccio di portafoglio alla Markowitz Introduzione Caratteristiche e proprietà matematiche delle misure di rischio rilevanti e trattabili Modello di minimizzazione della Expected Regret Modello di minimizzazione del Conditional VaR Costruzione della frontiera empirica rispetto al VaR di mercato Case study: implementazione ad un portafoglio azionario italiano Conclusioni e riflessioni Avanzamenti nella costruzione della frontiera efficiente dei portafogli rispetto alla misura del Conditional VaR Tecniche avanzate di generazione degli scenari finanziari e nuove assunzioni distribuzionali circa i rendimenti finanziari Case study: implementazione a due portafogli italiani Commenti finali Riferimenti bibliografici Applicazione della teoria di portafoglio alla gestione del rischio di credito del portafoglio prestiti Introduzione Modellizzazione della dipendenza di coda tra le attività creditizie in portafoglio attraverso le funzioni copula Ottimizzazione del portafoglio crediti attraverso minimizzazione della misura di rischio del CVaR creditizio

12 XII Indice Case study: implementazione del modello di minimizzazione ad un ipotetico portafoglio prestiti Considerazioni conclusive Avanzamento del modello di minimizzazione del CVaR creditizio attraverso la tecnica dell importance sampling (IS) Riferimenti bibliografici La gestione del rischio di credito del banking book attraverso il processo di cartolarizzazione dei prestiti Introduzione Descrizione di un tipico piano di cartolarizzazione dei crediti Case study: analisi dell effetto di mitigazione del rischio di portafoglio generato da un tipico piano di cartolarizzazione dei crediti Conclusioni finali Appendice Riferimenti bibliografici

13 Introduzione Questo testo raccoglie i risultati della mia attività di ricerca che, in questi ultimi quindici anni, si è concentrata sui temi della misurazione e della gestione dei rischi finanziari in un ottica di portafoglio, ma superando le ipotesi restrittive del modello tradizionale di Markowitz (1952) quali, in particolare, l esistenza una distribuzione normale dei rendimenti finanziari e l utilizzo della varianza come misura di rischio del portafoglio. Inoltre, l impianto teorico della Modern Portfolio Theory, nato per la gestione dei portafogli titoli, viene qui applicato anche alla gestione dei portafogli crediti nei quali il prestito non è analizzato singolarmente, ma come parte di un insieme di attività creditizie. In una gestione di portafoglio dei crediti bancari il fenomeno della correlazione tra i crediti (o tra i debitori) è un elemento di notevole importanza; infatti, solo l esposizione creditizia aggregata è il fattore rilevante nella stima dell eventuale futura insolvenza bancaria. Il testo si articola in due parti; la prima parte è dedicata alle nuove tecniche di stima dei rischi di mercato e di credito del portafoglio finanziario mentre la seconda parte tratta delle nuove tecniche di gestione dei rischi finanziari. Nella prima parte si mette in luce non solo l inadeguatezza della tradizionale misura di rischio della varianza per stimare la rischiosità del portafoglio in un contesto di non normalità dei rendimenti finanziari, caratterizzati in particolare dal fenomeno dell asimmetria e delle code grasse (o leptocurtosi), ma pure i limiti della nuova misura del Value-at-Risk internazionalmente accettata dal sistema finanziario e dalle autorità regolamentari (cap. 1). Nel cap. 2 si passa all illustrazione critica dei modelli VaR utilizzati dall industria finanziaria, quali: i modelli parametrici; i modelli simulativi (simulazione storica, simulazione storica filtrata, simulazione Monte Carlo); i modelli a volatilità stocastica (SV model); i modelli basati sulla teoria dei valori estremi (EVT) ed i modelli basati sulle funzioni copula. Nel cap. 3 si sottolinea l importanza di poter stimare adeguatamente la coda di una distribuzione finanziaria e poter cogliere i rischi di coda (o eventi estremi) attraverso i solidi principi statistici della Extreme Value Theory. Nel cap. 4 si descrive un modello, quello di McNeil e Frey (2000), che tenta di prendere in considerazione il fenomeno della eteroschedasticità dei ren-

14 XIV Introduzione dimenti finanziari attraverso l applicazione dei principi della EVT alla stima delle misure dinamiche di rischio. Nel cap. 5 si evidenzia l utilità dell impiego delle funzioni copula in campo finanziario per descrivere la struttura di dipendenza dei dati finanziari e per costruire algoritmi di simulazione degli scenari di perdita. Il cap. 6 presenta un modello VaR di mercato proposto dall autrice (con C. Romano) che definiamo avanzato perché basato sia sui principi della EVT che sulle funzioni copula. Nel case study (paragrafo 6.4) si descrivono e si commentano i risultati dell implementazione di questo modello VaR ad un portafoglio azionario italiano. Nel cap. 7 si presenta un modello di stima del rischio di credito del banking book che si avvale delle funzioni copula e che evidenzia la superiorità di una nuova misura di rischio, la Expected Shortfall, rispetto al VaR ed alla varianza, soprattutto in termini di allocazione coerente del capitale di rischio tra le attività creditizie in portafoglio. Nel case study (paragrafo 7.7.) si implementa il modello ad un tipico portafoglio crediti italiano commentando i risultati ottenuti e ricavandone interessanti contributi operativi. Nel cap. 8 la modellizzazione del rischio di credito del banking book viene realizzata prendendo in considerazione sia la natura stocastica della perdita data l insolvenza (LGD) che l esistenza di una relazione positiva tra la LGD e la probabilità d insolvenza (PD). Nel paragrafo 8.4. si presenta un case study in cui il modello viene implementato ad ipotetici portafogli crediti globali per poter trarre delle utili implicazioni operative. Il paragrafo 9 evidenzia la relazione tra rischio d insolvenza e ciclo economico e quindi la necessità di stimare le perdite inattese creditizie bancarie non solo in un contesto di normalità del ciclo economico (o delle sue macro variabili rilevanti) ma anche e soprattutto in situazioni estreme o di stress del ciclo (quando le variabili assumo valori molto negativi). Anche in questo caso, l implementazione del modello di rischio di credito condizionale ad un banking book ipotetico, ci permette, attraverso l analisi dei risultati raggiunti, di avanzare delle proposte sul tema. Il cap. 10 affronta la delicata questione della misurazione integrata dei rischi di mercato e di credito del portafoglio finanziario attraverso la descrizione ed implementazione di un modello causale multifattoriale ad un ipotetico portafoglio crediti. Il cap. 11 riporta gli sviluppi in tema di misurazione integrata dei rischi bancari (di mercato, di credito, ed operativo) attraverso la descrizione ed implementazione di un modello avanzato di tipo top-down, basato su simulazione MC e copula gaussiana, a dati bancari simulati. Nella parte seconda del testo dedicata alla descrizione ed all analisi delle nuove tecniche di gestione dei rischi finanziari, nel cap. 12 si approfondisce il tema della gestione del rischio di mercato attraverso un approccio di portafoglio, ma oltre Markowitz, presentando dei modelli di minimizzazione vincolata del rischio di portafoglio in cui la misura di rischio utilizzata, Expected Regret e Conditional VaR, è allo stesso tempo una metrica rilevante e trattabile (ossia minimizzabile attraverso semplici modelli di programmazione lineare). Si arriva in questo modo alla costruzione della frontiera efficiente dei portafogli ed alle soluzioni ottime in termini di allocazione del capitale tra le attività in porta-

15 Introduzione XV foglio ma in un nuovo piano rischio/rendimento atteso. Nel cap. 13 questo impianto metodologico viene applicato anche alla gestione del portafoglio crediti bancario. In questo contesto, l ottimizzazione del portafoglio crediti avviene attraverso minimizzazione di una misura di rischio rilevante e trattabile, il credit CVaR, e modellando la dipendenza di coda tra le insolvenze in portafoglio attraverso le funzioni copula. Nel paragrafo si descrive e si implementa a dei portafogli bancari un avanzamento del modello di minimizzazione del CVaR creditizio basato sull utilizzo di una tecnica statistica di riduzione della varianza degli stimatori, l importance sampling (IS). Si conclude la parte seconda di questo testo con il cap. 14 che affronta il tema di una migliore gestione del rischio di credito del banking book attraverso l utilizzo di un adeguato piano di cartolarizzazione dei crediti bancari. Nel case study (paragrafo 14.4) si analizza l effetto di mitigazione del rischio di credito del portafoglio bancario prodotto dal piano di cartolarizzazione quando si utilizzano misure di rischio diverse, quando si implementano modelli di rischio alternativi e quando si fanno diverse ipotesi sui valori delle PD e delle correlazioni tra le attività in portafoglio. Quello che riteniamo di poter concludere da questi studi è che i risultati, sia in termini di stima che di gestione del rischio, sono sicuramente influenzati dalle scelte sulla tipologia di modello di stima e sulla metrica di rischio da adottare. È evidente come la metrica del VaR sia meno cautelativa rispetto alla ES (o al CVaR) per le banche e, quindi, meno costosa in termini di capitale, ma anche meno affidabile. A nostro giudizio, i tempi sono maturi per abbandonare la metrica del VaR e passare ad una misura coerente e trattabile di rischio, come la ES o il CVaR, preziosa soprattutto in un ottica di gestione del rischio secondo un approccio di portafoglio, poiché in grado di prendere in considerazione gli effetti della diversificazione. Constatata la non normalità dei rendimenti finanziari ed in particolare delle perdite creditizie, l utilizzo delle funzioni copula per modellare la struttura di dipendenza tra le attività risulta particolarmente utile soprattutto nel caso della copula t di Student che ha la caratteristica di godere della proprietà della dipendenza di coda cogliendo gli eventi estremi d insolvenza congiunta. Concludiamo questa introduzione, auspicando che questo testo possa essere utile e di interesse a quanti, studenti e non, intendano approcciarsi ai temi affrontati volendo cogliere non solo l aspetto quantitativo ma anche quello critico, assieme alle implicazioni operative scaturite dai risultati raggiunti in questa mia lunga attività di ricerca. Un sentito ringraziamento va al mio coautore di numerosi articoli scientifici su questi temi, il dott. Claudio Romano, con il quale ho iniziato a studiare e continuo attualmente a discutere su questi argomenti; ed al prof. Adriano Giannola che da anni segue, apprezza e sostiene la mia attività di ricerca. Annalisa Di Clemente

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