[ dbm] = 0 dbm " 0,2 #100 db = " 20 dbm

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1 Esercizi di comunicazioni ottiche (SNR, Q, BER) Consideriamo il caso di una linea in fibra ottica lunga 00 km con attenuazione di 0, db/km e dispersione cromatica compensata. Supponiamo poi di avere una trasmissione STM-64 (ovvero con cadenza di circa 0 Gb/s) alla lunghezza d onda di 550 nm, con modulazione binaria d intensità di formato NRZ-OOK. La potenza trasmessa in corrispondenza dei bit è pari a mw (ovvero 0 dbm), mentre si annulla in corrispondenza dei bit 0. Il ricevitore è costituito da un fotodiodo PIN (efficienza 0,6) seguito da un circuito elettrico di amplificazione. Il ricevitore in questione è caratterizzato da una banda elettrica bilatera B m 0 GHz e da una potenza equivalente di rumore (NEP) di 30 pw/ Hz. Vogliamo determinare il valore di SNR elettrico dopo il ricevitore, il parametro di qualità Q di tale sistema di comunicazione ed il tasso di errore sul bit (BER, bit error rate). La potenza ottica di segnale (bit ) al ricevitore in dbm vale: P s [ dbm] 0 dbm " 0, #00 db " 0 dbm Tenendo conto che P s { [ ]} [ dbm] 0 " log 0 P s mw si ottiene in milliwatt: P s P s [ dbm] 0 [ mw] 0 mw 0 " mw La potenza al ricevitore, dopo l attenuazione del tratto di fibra di 00 km, è quindi di 0 µw. Valutiamo l SNR come rapporto tra media al quadrato e varianza di fotoconteggio, cioè di numero di fotoelettroni misurati in un tempo di osservazione T o pari all inverso della banda elettrica del ricevitore (T o coincide poi con la durata temporale dello slot di un bit): T o 00 ps B m 0 GHz

2 Si può scrivere: SNR " shot + " thermal La media di fotoconteggio di segnale è pari al count-rate moltiplicato per il tempo T o : "P s #T o "P s # B m $ h% P s # B m Tenendo presente che l energia di un fotone alla lunghezza d onda di 550 nm è pari a 0,8 ev, si ottiene 0,6 0,8",6 "0 #9 "0#5 "0 #0 4,6875"0 3 La deviazione standard di conteggio dovuta allo shot-noise è uguale alla radice quadrata della media di fotoconteggio di segnale: " shot 4,6875#0 3 68,47 Per determinare la deviazione standard di conteggio generata dal rumore termico del ricevitore abbiamo bisogno della corrente equivalente di rumore (NEC) del ricevitore, che è il prodotto della responsivity del fotodiodo per la potenza equivalente di rumore: NEC R " NEP #e 0,6 A " NEP h$ 0,8 W " 30 pw Hz,5 pa Hz La deviazione standard di conteggio dovuta al rumore termico del ricevitore è poi data da " thermal NEC # B m # e #T o NEC # B m # e # NEC # B m e,5#0 $ 0 $0,4065#0 3 B m,6 #0 $9

3 e si vede che il rumore termico è dominante sullo shot-noise. L SNR elettrico è quindi SNR 4687,5 68, ,5,085 Per determinare l SNR abbiamo valutato la media di fotoconteggio di segnale e le deviazioni standard di fotoconteggio dei contributi di rumore perché queste grandezze ci servono per determinare il parametro Q, definito come: Q µ " µ 0 # + # 0 Nel nostro caso di modulazione OOK-NRZ e rivelazione diretta si ha µ µ 0 0 " + " thermal " 0 " thermal e quindi Q 4687,5, , , ,5 Si può poi determinare il BER a partire dal parametro Q utilizzando la seguente espressione: BER " Q # exp % $ Q ( ' * & ) Nel nostro sistema si ottiene quindi un tasso di errore BER ",666 # exp % ' & $,666 ( * " 6 +0 $ ) che è troppo elevato. 3

4 Tipicamente si considera accettabile un BER minore o uguale a 0-9, che corrisponde ad un parametro Q maggiore o uguale di 6. Nel caso poi di modulazione OOK-NRZ e rivelazione diretta con rumore termico dominante (come in questo esercizio) un Q di 6 corrisponde ad un SNR di 44. Nel caso qui considerato abbiamo << " thermal da cui si vede che il rumore termico del ricevitore è dominante sul rumore shot. In tal caso valgono le approssimazioni SNR " shot # + " thermal " thermal Q " # thermal e quindi valgono con buona approssimazione le relazioni Q " SNR SNR " 4Q Nel nostro esercizio otteniamo SNR " µ $ s 4687,5 ' & ) % 406,5( # thermal, con un piccolo errore dello 0,% rispetto al caso esatto. Per quanto riguarda il parametro Q risulta: Q " SNR,667 con un errore minore dello 0,%. 4

5 ATTENZIONE: in tutte le espressioni precedenti abbiamo calcolato l SNR considerando la potenza ottica in corrispondenza del bit (che è il doppio della potenza ottica media). Per risolvere l esercizio si può anche calcolare l SNR usando l espressione in termini di count-rate e poi, una volta verificato che il rumore termico è dominante, determinare il parametro Q direttamente daall SNR. Può essere istruttivo derivare questa espressione a partire da quella vista prima come rapporto tra quadrato della media e varianza di fotoconteggio. SNR " shot + " thermal + " thermal + " thermal L SNR limitato dal rumore shot (cioè con rumore termico trascurabile) è SNR shot "P s B m #P s h$ B m L SNR al limite quantico coincide con l SNR limitato dal rumore shot quando l efficienza quantica vale, quindi SNR QL P s h" B m Risulta SNR QL 0 "5 0,8#,6 #0 "9 #0"0 7,85#0 4 Si può scrivere poi SNR shot " #SNR QL SNR " #SNR QL # + $ thermal 5

6 Si vede che il rumore termico deprime l SNR rispetto al limite quantico. Introducendo il count-rate n s per il segnale in corrispondenza del bit, si ha n s " B m e quindi n s 4,6875"0 3 s # La varianza di fotoconteggio dovuta al rumore termico è poi " thermal NEC e # B m Introducendo la grandezza $ ' n J NEC &,5"0# ) s #,9775"0 6 s # e %,6 "0 #9 ( che ha le stesse dimensioni [s - ] di un count-rate, si ottiene finalmente la seguente espressione dell SNR: SNR " #SNR QL # + n J n s " #SNR QL # + NEC # h$ e "P s Sostituendo i valori numerici: SNR 0,6 " 78,5" + 97,75 0, ,5" + 4,87,085 6

7 NOTA: nel caso di ricevitore costituito da una resistenza equivalente in parallelo al fotodiodo, si avrebbe una corrente equivalente di rumore pari alla radice della densità dello spettro di corrente di rumore termico (o Johnson) NEC R,T N 0c "T R Considerando poi R 50 Ω, a temperatura ambiente, si otterrebbe N 0c "T R # 5 mev 50 $ 0%3 #,6 #0-9 A Hz 3 pa Hz 7

8 Per migliorare le prestazioni del sistema di comunicazioni ottiche descritto nell esercizio precedente, si sostituisca il fotodiodo PIN con un fotodiodo a valanga (APD) di guadagno medio g 7, fattore di merito F ed efficienza η 0,6. Il circuito elettrico del ricevitore posto a valle del fotodiodo APD rimane inalterato, quindi il ricevitore ha la stessa NEC dell esercizio precedente (mentre la NEP è divisa per g ). Si calcoli SNR, Q e BER. Possiamo calcolare l SNR come rapporto tra il quadrato della media e la varianza del numero di fotoelettroni generati dal ricevitore in un tempo T o (B m ). Il numero medio di fotoelettroni è aumentato di un fattore g 7, sostituendo il PIN con l APD: g "P s B m 3,85#0 4 La varianza del numero di fotoelettroni dovuta al rumore shot è : " shot g Ps F g Ps F g Bm Bm µ s e quindi la deviazione standard è " shot F g # 7 # 3,85#0 4 6,7777 #0 La deviazione standard del numero di fotoelettroni dovuta al rumore termico non cambia sostituendo il PIN con l APD a parità di NEC: " thermal NEC e B m,4065#0 3 L SNR vale poi SNR " shot + " thermal 38,5 677, ,5 44,8 8

9 ed è notevolmente aumentato rispetto al caso di fotodiodo PIN. Il rumore termico è ancora prevalente sul rumore shot, anche se quest ultimo non è più trascurabile. Il parametro Q vale: Q " shot + " thermal + " thermal 38,5,06 677, , ,5 Il BER è talmente basso che il sistema è in pratica error-free: BER ",06 # exp % ' & $,06 ( * < 0 $0 ) Abbiamo visto che sostituendo il PIN con l APD risulta che µ s è moltiplicato per è moltiplicato per shot thermal rimane inalterato g g F g e quindi SNR shot è diviso per F SNR è moltiplicato per thermal g. L impiego dell APD al posto del PIN migliora l SNR quando il rumore termico è prevalente sul rumore shot, mentre lo peggiora quando è dominante il rumore shot. Il massimo miglioramento dell SNR (di un fattore g ) si ha quando il rumore termico è dominante. Nel nostro caso si ha un miglioramento dell SNR di un fattore circa 44/40 che è un po inferiore a g 49 poiché per effetto dell APD il rumore shot non è più trascurabile rispetto al rumore termico, anche se minore. 9

10 Per risolvere l esercizio si può anche utilizzare direttamente l espressione dell SNR: SNR " #SNR QL # F + n J n s L SNR al limite quantico vale SNR QL P s h" B m da cui SNR QL 0 "5,8#0 "9 #0"0 7,85#0 4 Il count-rate di fotoelettroni primari, che vengono poi moltiplicati dall APD, vale n s "P s # h$ P s 0,6 %0&5,8%0 &9 s& 4,6875%0 3 s & (NOTA: nel calcolo di n s NON devo considerare il guadagno medio dell APD) Il parametro n J che tiene conto del rumore elettrico introdotto dal ricevitore dopo la fotorivelazione, ed ha le dimensioni di un count-rate, vale $ ' n J NEC &,5"0# ) s # 4,0357 "0 4 s # g e % 7 ",6 "0 #9 ( Tale parametro in presenza di fotodiodo APD, rispetto al caso di fotodiodo PIN a parità di circuito elettrico di amplificazione, cioè a pari NEC, si riduce di un fattore g pari al quadrato del guadagno medio. Quindi l APD (rispetto al PIN) riduce il peso del rumore termico di un fattore g, mentre aumenta il peso del rumore shot di un fattore F (excess-noise factor). Nel caso di rumore dominante di tipo termico con 0

11 fotodiodo PIN, allora il passaggio ad un fotodiodo APD è chiaramente vantaggioso, come in questo esempio. Sostituendo i valori numerici: SNR 0,6 " 78,5" + 4, ,5" + 8, ,8 Vediamo che il peso del rumore termico è maggiore del peso del rumore shot (8,6 contro ), però quest ultimo non è completamente trascurabile. Proviamo ora a valutare il Q con l espressione approssimata, valida per rumore termico dominante: Q " 44,8 0,5 Questo valore è un po più basso del valore esatto di,06 (errore per difetto del 5%), ma praticamente accettabile per una stima delle prestazioni del sistema.

12 Si consideri ora di aggiungere al sistema di comunicazioni ottiche precedente un ulteriore tratto di fibra di 00 km, in modo da avere una lunghezza complessiva del collegamento pari a 00 km. Si calcoli l SNR elettrico al ricevitore (fotodiodo APD più amplificatore a transimpedenza con NEC,5 pa/ Hz ). Dopo 00 km di fibra l attenuazione complessiva è di 40 db e quindi la potenza di segnale sul bit che arriva al ricevitore è di soli -40 dbm, cioè 0, µw. Con questo livello di potenza così basso il rumore dominante è quello termico introdotto dal circuito elettrico. Precedentemente abbiamo ottenuto un SNR di nel caso di fotodiodo PIN e con una potenza al ricevitore 00 volte maggiore (solo 00 km di fibra). Riducendo la potenza ottica ricevuta di un fattore /00, si ha una riduzione dell SNR di un fattore 0-4. Poi la sostituzione del PIN con l APD, in condizione di rumore termico dominante, comporta un miglioramento dell SNR di un fattore g 49. Quindi otteniamo SNR 0 " ,054 che è un valore bassissimo, pertanto è praticamente impossibile ricevere il segnale ottico.

13 Per migliorare l SNR si aggiunga al ricevitore un preamplificatore ottico di tipo EDFA con guadagno G30 db e fattore d inversione di popolazione n sp,5. Per filtrare l ASE fuori dalla banda del segnale si introduca un filtro ottico di larghezza di banda B o 30 GHz. Si calcoli ora SNR, Q e BER nel caso sia di fotodiodo PIN che APD (più il solito circuito elettrico di amplificazione con NEC,5 pa/ Hz ). Calcoliamo l SNR come rapporto tra il quadrato della media e la varianza del numero di fotoelettroni in un tempo T (B ) : SNR + µ ASE + µ ASE M + µ µ ASE s M + " thermal o m La varianza totale a denominatore è la somma dei contributi dovuti rispettivamente al rumore shot di segnale, al rumore shot di ASE, al rumore di battimento dell ASE con se stesso, al rumore di battimento tra segnale ed ASE e al rumore termico del circuito elettrico. Il parametro M indica il numero totale di modi. Essendo in fibra ottica monomodale il numero di modi spaziali è. Il numero di modi temporali è il rapporto tra la banda ottica e la banda elettrica bilatera. Ci sono poi due modi di polarizzazione dato che l ASE emesso dall amplificatore ottico è depolarizzato. Quindi M B B m 30 GHz 0 GHz o 6 Consideriamo dapprima il caso di fotodiodo PIN. La potenza ottica all ingresso del fotodiodo P s è pari alla potenza all ingresso del preamplificatore ottico P r moltiplicata per un fattore 000 dato dal guadagno G. Tenendo conto dell attenuazione di 40 db della fibra, si ottiene una potenza di segnale d ingresso al preamplificatore ottico, in corrispondenza dei bit, pari a " 4 P r 0 mw 0-7 W e quindi 3-7 P s 0 0 W 0-4 W 3

14 Il numero medio di fotoconteggi di segnale è µ $ " 4 " 0 4 s % Ps Ps 0 0 4,7 0 " 9 Bm h# Bm 0,8,6 0 0,6 Vediamo ora di calcolare il numero medio di fotoconteggi di ASE, sapendo che la densità spettrale di potenza dell ASE per singolo modo di polarizzazione è: N sp h" # ( G $) # n sp Il numero medio di fotoconteggi ASE è, tenendo conti dei due modi di polarizzazione dell ASE depolarizzato: µ ASE " # N sp # B o # B m $ h% # N sp # M $ # G & ( ) # n sp # M e quindi µ 3 ASE 0,6 999,5 6 5,4 0 Valutiamo ora i vari contributi alla varianza di fotoconteggio: rumore shot battimento ASE-ASE battimento segnale-ase rumore termico µ µ 4 s + µ ASE " ASE M " 5 0 µ ASE M " 85#0 6 " thermal NEC e # B m ( ) $ #0 6 Si vede come il contributo principale sia dato dal battimento segnale- ASE, anche se non sono trascurabili né il battimento ASE-ASE né il rumore termico. Il contributo del rumore termico è comunque piccolo, inoltre il contributo del rumore shot può essere ignorato. Sostituendo nell espressione dell SNR si ottiene SNR ( 4,7 "0 4 ) ( ) "

15 Per valutare il parametro Q, teniamo conto che µ + µ ASE µ 0 µ ASE " + µ ASE + µ ASE M + µ µ ASE s M + " thermal " 0 µ ASE + µ ASE M + " thermal Ignorando lo shot-noise si ottiene Q µ " µ 0 # + # 0 4,7 $ $ $0 3 3,8 E interessante notare come il battimento segnale-ase dia il contributo maggiore alla valutazione della deviazione standard di fotoconteggio per bit, mentre si annulli per bit 0. Il contributo maggiore alla valutazione della deviazione standard di fotoconteggio per bit 0 è invece dato dal battimento ASE-ASE. Il BER è poi in questo caso: BER " 3,8 # exp % ' $ 3,8 & ( * 8+0 $5 ) Il preamplificatore ottico ha quindi aumentato di molto il livello di segnale ricevuto dal fotodiodo PIN, ma ha anche introdotto un rumore di tipo ottico dovuto all ASE. Nel sistema di comunicazione considerato la potenza del segnale all ingresso del preamplificatore ottico non è comunque sufficiente per poter ottenere un BER di 0-9. La sostituzione del PIN con un APD migliora solo di poco le prestazioni. Infatti l APD deprime di un fattore g il contributo alla varianza di fotoconteggio dato dal rumore termico, rispetto ai contributi sia del battimento segnale-ase che del battimento ASE-ASE. L APD rende quindi trascurabile il rumore termico, che tuttavia nel caso del PIN era già meno rilevante dei rumori di battimento segnale-ase ed ASE-ASE. 5

16 Facendo i conti ignorando anche il rumore termico, oltre che il rumore shot, si ottiene SNR Q 4 ( 4,7 "0 ) ( ) "0 6 4,5 4,7 " " "0 3 4,0 BER " 4 # exp % $ 4 ( ' * 3+0 $5 & ) Il vantaggio di usare un APD al posto di un PIN è effettivamente piccolo in presenza di un preamplificatore ottico. 6

17 Si possono poi determinare delle espressioni approssimate per SNR e Q nell ipotesi di considerare per i bit un rumore dominante di battimento segnale-ase e per i bit 0 un rumore dominante di battimento ASE-ASE. Si può notare come µ s e µ ASE siano direttamente proporzionali al guadagno G. Di conseguenza i contributi alla varianza dati dai termini di battimento dipendono quadraticamente da G, i contributi di shot-noise dipendono linearmente da G ed il contributo di rumore termico è indipendente da G. Per valori di guadagno elevati ( G >> ) si possono effettivamente trascurare lo shot-noise ed il rumore termico, ottenendo l espressione SNR " µ ASE M + µ µ ASE s M M # # µ ASE + µ ASE Per avere un accettabile qualità di trasmissione l SNR deve essere grande rispetto a, quindi µ s grande rispetto a µ ASE. Si può quindi considerare l espressione approssimata SNR " M # µ ASE Risulta poi " h# P s B m " h# GP r B m " $ G $ SNR QL [ ] r µ ASE " h# $ N $ M " $ G % sp ( ) $ n sp $ M " $ G $ n sp $ M e quindi sostituendo nell SNR: [ SNR " SNR QL] r n sp L SNR per un ricevitore preamplificato otticamente è con buona approssimazione dato dal rapporto tra l SNR quantum-limited all ingresso del preamplificatore e il doppio del fattore d inversione di 7

18 popolazione. Si dice che n sp è la cifra di rumore dell amplificatore ottico. Il fattore n sp può essere anche interpretato come il numero equivalente di fotoni di rumore per modo all ingresso dell amplificatore ottico. Nel caso di rumore ottico di tipo ASE dominante, valgono le seguenti relazioni approssimate: SNR " Q + M # Q Q " # M + SNR + M 4 E possibile ricavare l SNR richiesto per avere un dato Q e quindi un dato BER. Ad esempio per avere BER 0-9, ovvero Q 6, deve essere, a seconda del numero di modi: M SNR 4 44, , Ritorniamo al nostro esercizio e vediamo i risultati che si ottengono con queste espressioni approssimate. L SNR quantum-limited relativo alla potenza ottica d ingresso del preamplificatore ottico vale [ SNR QL ] P r r h" B m 0 #7 0,8$,6 $0 #9 0#0 78,5 L SNR elettrico al ricevitore è quindi approssimabile come [ SNR " SNR QL] r " 78 n sp 3 6 che si discosta poco da quello ottenuto esattamente come rapporto tra media al quadrato e varianza di fotoconteggio, sia nel caso di PIN che di APD. Il parametro Q può essere calcolato poi come 8

19 Q " SNR + M 4 # M 6 +,5 # 0,5$ 6 4,0 " 4 e quindi il BER è BER " 4 # exp % $ 4 ( ' * " 3+0 $5 & ) 9

20 Per cercare di ottenere un BER di 0-9 dopo 00 km in fibra ottica, con dispersione cromatica compensata, si consideri il collegamento composto da due tratte di 00 km con alla fine di ognuna un amplificatore ottico di guadagno 0 db, che compensa esattamente l attenuazione della tratta, e fattore d inversione di popolazione n,5. sp La potenza ottica di segnale, in corrispondenza dei bit, all ingresso dell ultimo amplificatore ottico è di -0 dbm. Quindi l SNR al limite quantico prima dell ultimo amplificatore ottico è [ SNR QL ] P r r h" B m 0 #5 0,8$,6 $0 #9 0#0 7,8$0 3 Quest ultimo amplificatore introduce un rumore dovuto all ASE, generando in uscita un numero G " ( ) n sp di fotoni di ASE per modo, che vengono rivelati dal fotodiodo in aggiunta a quelli di segnale. Anche il primo amplificatore genera alla propria uscita un numero ( G ") n sp di fotoni di ASE per modo. Siccome per ogni tratta l attenuazione della fibra è compensata esattamente dall amplificazione finale della tratta, risulta che il numero di fotoni di ASE del primo amplificatore che arrivano al fotodiodo è proprio uguale al numero di fotoni di ASE del secondo amplificatore. Quindi, ai fini dell SNR, il nostro collegamento composto da due tratte amplificate otticamente alla fine è equivalente ad avere una sola tratta amplificata, pur di raddoppiare il fattore n sp dell amplificatore ottico finale. Si ottiene: [ SNR " SNR QL] r 7,8#03 # n sp 6,30 #0 3 I valori di SNR e di Q sono elevatissimi ed il sistema è praticamente error-free. 0

21 Si determini ora, nel caso sempre di trasmissione OOK-NRZ a 0 Gb/s con 0 dbm di potenza trasmessa per i bit, la massima distanza raggiungibile per avere BER 0-9. Si ipotizzi di avere un collegamento composto da una serie di tratte in fibra lunghe 00 km, con amplificatori ottici alla fine della tratta di guadagno 0 db (in modo da compensare esattamente l attenuazione) e fattore d inversione di popolazione n sp. L ASE è poi depolarizzato ed è filtrato otticamente dopo ogni amplificatore con uno spettro idealmente rettangolare di banda B o 5 GHz. Detto K il numero di tratte, per calcolare l SNR possiamo considerare il nostro sistema equivalente ad avere una sola tratta con amplificatore ottico finale di fattore d inversione di popolazione pari a K n. Si ottiene [ SNR QL ] P r r h" # B m 0 $5 0,8#,6 #0 $9 0$0 7,8#0 3 sp e l SNR elettrico al ricevitore vale, considerando dominante il rumore di battimento segnale-ase per i bit ed il rumore di battimento ASE-ASE per i bit 0: [ SNR " SNR QL] r 7,8#03 K # n sp 4K Il numero di modi è poi,95#03 K M B B m 5 GHz 0 GHz o 5 Tenendo conto della relazione SNR " Q + M # Q risulta che per avere BER 0-9, ovvero Q 6, deve essere SNR " 49,4 Quindi il numero massimo di tratte per garantire questo SNR è

22 K,95"03 SNR,95"03 49,4 39,5 Contando un numero intero massimo di tratte pari a 39, si ottiene la seguente massima distanza raggiungibile L 39 "00 km 3900 km

23 Nel caso di collegamento in fibra di 00 km (attenuazione 0, db/km), con modulazione binaria d intensità di formato OOK-NRZ a 0 Gb/s e potenza trasmessa di 0 dbm per i bit, si consideri una rivelazione coerente omodina. L oscillatore locale ha una potenza di 3 dbm. Si valuti SNR, Q e BER nel caso sia di fotodiodo PIN(con η 0,7) che APD (con η 0,7, g 7 e F ). In entrambi il circuito elettrico a valle dei fotodiodi ha una corrente equivalente di rumore NEC 30 pa/ In generale l SNR per rivelazione coerente omodina vale Hz. SNR " #SNR omodino QL # F + n J n L ( ) è il count-rate dell oscillatore locale e dove n L "P L #P L h$ n J NEC ( e g ). Inoltre compare l SNR al limite quantico per rivelazione coerente omodina, che è il quadruplo dell SNR per rivelazione diretta: SNR omodino QL 4P s h" # B m In termini di numero di fotoelettroni l SNR è esprimibile come il rapporto tra la media al quadrato e la varianza. Nell ipotesi che la potenza ottica del segnale ricevuto sia piccola rispetto a quella dell oscillatore locale, la varianza del numero di fotoelettroni è la somma dei due contributi dati dal rumore shot dell oscillatore locale e dal rumore termico del circuito elettrico. Quindi SNR " shot, L + " thermal Si può notare come la varianza del numero di fotoelettroni sia indipendente dal segnale. Questo fatto implica, ai fini del calcolo del parametro Q, che le deviazioni standard del numero di fotoelettroni rispettivamente per bit e per bit 0 siano uguali tra di loro " " 0 " shot, L + " thermal 3

24 Il parametro Q è poi Q µ " µ 0 # + # 0 # shot, L Vale quindi la relazione + # thermal Q SNR Questa relazione vale per la rivelazione diretta solo nel caso di rumore termico dominante; infatti solo nel caso di rumore shot del segnale trascurabile la varianza del numero di fotoelettroni può essere considerata indipendente dal segnale. Possiamo ora risolvere il nostro esercizio. L SNR al limite quantico è SNR omodino QL 4P s h" Si ha poi B m 4 #0 $7 0,8#,6 #0 $9 #0$0 3 n L "P L #P L 0,7 % %0&3 h$ 0,8%,6 %0 &9 s&,09 %0 6 s & e nel caso di fotodiodo PIN $ n J NEC 30 ' "0# & ) s - 3,5 "0 6 s - e %,6 "0 #9 ( Risulta che il rumore termico è più forte del rumore shot dell oscillatore locale. L SNR ed il parametro Q valgono rispettivamente SNR 0,7 " 3 " + 3,5,09 0,7 " 3 " 4,3 5 Q 0,5" 5 3,6 4

25 Il BER vale quindi, nel caso di fotodiodo PIN BER " 3,6 # exp % $ 3,6 ( ' * +0 $4 & ) Sostituiamo ora il PIN con l APD. Il guadagno dell APD riduce il peso del rumore termico, però bisogna tener conto del parametro di merito F dell APD. Si ottiene SNR 0,7 " 3 " F + g " 3,5,09 0,7 " 3 " + 49 " 3,5,09 0,7 " 3 ",07 06 Con l APD migliora l SNR e diventa dominante il rumore shot dell oscillatore locale. Si ha poi Q 0,5" 06 5,5 BER " 5,5 # exp % ' $ 5,5 & ( * 0 $7 ) Il BER è diminuito con l APD, ma è ancora maggiore di 0-9. Per migliorare ulteriormente le prestazioni del sistema si può pensare di aumentare la potenza dell oscillatore locale. Questo aumento di potenza ridurrebbe il peso del rumore termico. Nel caso di fotodiodo PIN ci si avvicinerebbe al limite quantico (depresso dall efficienza del fotodiodo). Invece nel caso di fotodiodo APD ci si avvicinerebbe al limite quantico depresso però da /F (oltre che dall efficienza del fotodiodo). Quindi per potenze sufficientemente alte di oscillatore locale le prestazioni migliori si ottengono con il fotodiodo PIN. 5

26 Si aumenti la potenza dell oscillatore locale di 0 db rispetto all esercizio precedente, portandola quindi a 3 dbm. Si determinino i nuovi valori di SNR, Q e BER. Nel caso di fotodiodo PIN: SNR 0,7 " 3 " + 3,5 0 ",09 0,7 " 3 " + 0,3 65 L aumento della potenza di oscillatore locale ha reso il rumore termico inferiore al rumore shot dell oscillatore locale e l SNR è migliorato apprezzabilmente. Si ottiene poi: Q 0,5" 65 6,4 BER " 6,4 # exp % ' $ 6,4 & ( * 0,7 +0 $0 ) Il BER ora è diventato minore di 0-9. Nel caso di fotodiodo APD: SNR 0,7 " 3 " + 49 " 3,5 0 ",09 0,7 " 3 ",0 09 Q 0,5" 09 5, BER " 5, # exp % ' $ 5, & ( * 0,9 +0 $7 ) Poiché nel caso di APD il rumore shot dell oscillatore locale era già dominante con una potenza di oscillatore locale di 3 dbm, l aumento di tale potenza lascia praticamente inalterate le prestazioni del sistema. Inoltre l aumento della potenza di oscillatore locale a 3 dbm rende nel caso di fotodiodo PIN il rumore shot di oscillatore prevalente sul rumore termico. Tenendo poi conto che nel caso di APD il rumore shot è maggiore rispetto al PIN (a causa del parametro di merito) si capisce perché le prestazioni migliori si ottengano ora con il PIN. 6