Il problema matematico

Транскрипт

1 Il problema matematico Marzia L. Bizzaro

2 Cos è un problema? situazione che è difficile da gestire e che deve essere risolta percezione della difficoltà, indisponibilità di una risposta immediata per arrivare alla soluzione

3 Quante tipologie di problemi?

4 PROBLEMA DELLE DUE CORDE (Maier, 1931) Dal soffitto di una stanza pendono due corde che devono essere annodate insieme, ma sono così distanti l una dall altra che una persona non è in grado di afferrarle contemporaneamente. Tra gli oggetti presenti nella stanza ci sono una sedia, dei fogli di carta e un paio di pinze

5 PROBLEMA DEI 9 PUNTI (Maier e Casselman, 1970) 9 punti sono disposti in tre righe e colonne equidistanti. Il compito consiste nel collegare fra loro con quattro segmenti tutti i 9 punti, senza mai sollevare la penna dal foglio e senza ripassare due volte per lo stesso segmento

6 PROBLEMA DEI 9 PUNTI (Maier e Casselman, 1970) 9 punti sono disposti in tre righe e colonne equidistanti. Il compito consiste nel collegare fra loro con quattro segmenti tutti i 9 punti, senza mai sollevare la penna dal foglio e senza ripassare due volte per lo stesso segmento

7 Ci sono 10 sacchi: 9 sono pieni d'oro mentre uno solo contiene delle monete false, ogni moneta falsa pesa 11 grammi meno di una d'oro. Qual è il sacco con le monete false? Materiale a disposizione: - Una bilancia a gettone - 1 gettone (valido per una sola pesata) - 1 pennarello

8 La distanza tra Padova e Rovigo è di 25 km ed è la terza parte della distanza tra Padova e Bologna. Qual è la distanza in metri tra Padova e Bologna? Nella tua città ci sono 80 negozi di cui 3/8 sono negozi di alimentari e 2/8 di calzature. Quanti sono i negozi che non vendono alimentari e calzature? Gigetto è riuscito a risparmiare 70 centesimi alla settimana per 15 settimane. Se vuole comprarsi un pallone che costa 14 euro, quanti soldi deve ancora risparmiare? Lo zio di Ettore vuole recintare il suo orto quadrato con una rete. Un lato dell orto è lungo 845 centimetri. Se la rete costa 1,25 euro al metro, quando spenderà lo zio per recintare tutto l orto? Bizzaro - Passolunghi

9 IL PROBLEMA ARITMETICO (arithmetic word problem) compito in cui vi è una presentazione scritta di una serie di dati e una domanda, la cui risposta richiede l uso delle operazioni aritmetiche

10 Quante tipologie di problemi? Problem solving Problema aritmetico

11 Quante tipologie di problemi? Problem solving Problema aritmetico Pensiero produttivo Pensiero riproduttivo

12 Quante tipologie di problemi? Problem solving Problema aritmetico Pensiero produttivo Pensiero riproduttivo Problemi Insight Problemi routinari

13 Il problema aritmetico: attività multicomponenziale e complessa con implicazioni emotive

14 La soluzione di un problema aritmetico richiede: codifica del problema: traduzione, integrazione processo di ricerca: pianificazione, calcolo (Mayer, 1983,1987, 1998) + competenza metacognitiva (Passolughi et al, 1996; Passolunghi, 1999) + memoria di lavoro (Lee et al.,2004; Swanson, 2004,2006; Swanson & Sachse-Lee, 2001; Passolunghi, 1999; Passolunghi & Pazzaglia, 2004,2005; Lee et al, 2009; Andersson, 2009)

15 La soluzione di un problema aritmetico richiede la: codifica del problema: traduzione, integrazione processo di ricerca: pianificazione, calcolo (Mayer, 1983,1987, 1998) + competenza metacognitiva (Passolughi et al, 1996; Passolunghi, 1999) + memoria di lavoro (Lee et al.,2004; Swanson, 2004,2006; Swanson & Sachse-Lee, 2001; Passolunghi, 1999; Passolunghi & Pazzaglia, 2004,2005; Lee et al, 2009; Andersson, 2009)

16

17 29 X 18 = = 522

18 Memoria di lavoro spazio di lavoro in cui sono accessibili e attive una serie di informazioni disponibili per essere manipolate

19 La soluzione di un problema aritmetico richiede la: codifica del problema: traduzione, integrazione processo di ricerca: pianificazione, calcolo (Mayer, 1983,1987, 1998) + competenza metacognitiva (Passolughi et al, 1996; Passolunghi, 1999) + memoria di lavoro (Lee et al.,2004; Swanson, 2004,2006; Swanson & Sachse-Lee, 2001; Passolunghi, 1999; Passolunghi & Pazzaglia, 2004,2005; Lee et al, 2009; Andersson, 2009)

20 Bizzaro - Passolunghi

21 COMPRENSIONE attiva la memoria di lavoro che opera una continua integrazione delle nuove informazioni con quelle previamente codificate che sono state mantenute attive in memoria MANTENIMENTO, INIBIZIONE E TRASFORMAZIONE

22 Quali attività per la comprensione e quindi per la memoria di lavoro? Quale fase routinaria supporta la comprensione? Quale classe?

23 Processo di comprensione Comprensione semantica: integrazione Struttura profonda Risoluzione concettuale

24 Processo di comprensione Ricerca della parole chiave o magiche Struttura superficiale Risoluzione per tentativi ed errori

25 Processo di comprensione Comprensione semantica: integrazione Struttura profonda Risoluzione concettuale

26 Esemplificazione 1

27

28 Esemplificazione 2 Leggi con attenzione questo problema Marco compera 5 penne colorate che costano ciascuna 2 e un libro che costa 6. Quanto spende complessivamente? Adesso modifico la domanda: Quanto riceve di resto? Cosa devi fare. Bene! Modifica il testo Adesso cambio ancora la domanda: Quanti soldi riporta alla mamma? Prova a modificare il testo e vediamo cosa succede!!!

29 La somma di 3 segmenti è 70 cm. Il terzo supera il secondo di 7 cm e il secondo supera il primo di 9 cm. Quanto è lungo il primo segmento

30

31 La rappresentazione Il fiorista confeziona 2 mazzi mettendo in ciascuno 5 margherite e 7 tulipani. Quanti fiori ha utilizzato il fiorista? Matteo vive in una palazzina di due piani. In ogni piano ci sono 8 finestre grandi e 6 finestre piccole. Quante sono in tutto le finestre? La nonna ha una bellissima stampa larga 7 cm e alta 5 cm. Quanto dovrà misurare la cornice? La base di un rettangolo misura 6 cm e l altezza 8 cm. Calcola il perimetro

32 Nei problemi geometrici emerge un effetto formula: la formula diretta è più semplice di quella inversa (40%vs46%; p<.05) che la vesta aritmetica non interferisce nel processo di risoluzione Analisi per tipologie distributivi * Il fiorista confeziona 2 mazzi mettendo in ciascuno 5 margherite e 7 tulipani. Quanti fiori ha utilizzato il fiorista? righexcolonne geo veste aritmetica geometrici Matteo vive in una palazzina di due piani. In ogni piano ci sono 8 finestre grandi e 8 finestre piccole. Quante sono in tutto le finestre? La nonna ha una bellissima stampa larga 7 cm e alta 5 cm. Quanto dovrà misurare la cornice? La base di un rettangolo misura 6 cm e l altezza 8 cm. Calcola il perimetro % errore I problemi distributivi hanno una percentuale significativamente inferiore d errore

33 FOLLOW UP classe I sec. di I grado (N=17: 10 femmine-7 maschi; età media 11,8) Simone e Matteo hanno complessivamente 48 soldatini, ma Matteo ne ha il triplo degli di Simone. Quanti soldatini ha Simone? segmenti * Un quadrato ha il perimetro di 84 metri. Quanto misura un lato? Un ciclista deve percorrere 36 km. Quante tappe farà se per ognuna percorre 4 km? geometrici aritmetici r:.695; p< % errore Problemi con i segmenti sono significativamente più complessi (F(2,15)=7,641; p<.01) I problemi geometrici e quelli aritmetici correlano tra loro (r:0,695; p<.005), mentre i problemi con i segmenti non evidenziano correlazioni (p>1)

34 FOLLOW UP (N=17) Problemi con i segmenti in assoluto i più complessi segmenti * geometrici Problemi geometrici non si differenziano tra loro aritmetici % errore Aritmetici modulazione della difficoltà distributivi righexcolonne geometrici veste aritmetica geometrici % errore

35 Quali attività? molteplici in relazione alla classe frequentata, alla tipologia del problema e all operazione implicata VISIVA concreta GRAFICA astratta

36

37

38

39 La rappresentazione: quale funzione? - supportare il processo di comprensione - favorire concettualmente l individuazione dell operazione corretta N.B.: occorre un allenamento perché siano utilizzato in modo efficace, altrimenti gli studenti con difficoltà non sono avantaggiati dal loro utilizzo o presenza

40 Sviluppare il pensiero algebrico attraverso una rappresentazione grafica semantica che manifesti la relazione fra le variabili Riconosciuta l importanza di sviluppare a livello di scuola primaria un pensiero algebrico infomale (Ainley,1999; Van Dooren et al., 2002) Utilizzare una rappresentazione grafica bar model (Koedinger, 2008; Booth et al., 2011) per supportare il pensiero algebrico Utilizzare problemi aritmetici familiari per veicolare il passaggio a testi con alto livello di astrazione (Booth et al., 2011)

41

42 Categorizzazione le diverse parti del problema sono integrate in una struttura unitaria permette di riconoscere la struttura profonda del testo il suo schema matematico distingue gli abili solutori da coloro che incontrano difficoltà (Passolunghi, 1996)

43 Giulio ha 18 figurine e Luca gliene regala altre 4. quante figurine ha ora Giulio? Giulio ha 18 figurine e Luca gliene perder 4. Quante figurine rimangono a Giulio? Giulio e Luca hanno 4 mazzetti di figurine da 18 figurine. Quante figurine hanno Giulio e Luca? Giulio ha 18 figurine e con Luca decide di distribuirle fra i loro 4 compagni. Quante figurine riceverà ogni compagno?

44

45 Pianificazione Ricercare nella memoria la strada per la soluzione Conoscenza strategica perché il bambino deve costruire e monitorare il piano di soluzione generare sotto obiettivi senza agire direttamente su di essi

46

47

48 Calcolo il solutore identifica quali sono le operazioni per ottenere i differenti sotto-obiettivi premessa indispensabile è la conoscenza degli algoritmi di calcolo

49 Componente metacognitiva pensiero critico, riflessivo, di controllo il gioco del perché

50 Il ruolo della risposta. Testo: Il libro di storia di Matteo ha 20 pagine in più del libro di geografia. Se tutti e due insieme hanno 100 pagine, quante pagine ha il libro di geografia? E quello di storia?

51

52

53 Il problema aritmetico Cosa accade nel passaggio dalla scuola primaria a quella secondaria? presentazione di molteplici tipologie e metodologie di problemi, che produce un aumento significativo degli alunni con difficoltà risolutive

54 CLASSE TIPOLOGIA PROBLEMI METODO RISOLUTIVO Ia PROBLEMI CON I SEGMENTI METODO GRAFICO PROBLEMI CON GLI ANGOLI METODO GRAFICO IIa PROBLEMI CON LE FRAZIONI METODO GRAFICO PROBLEMI CON LE PROPORZIONI METODO DELLE PROPORZIONI IIa/IIIa PROBLEMI GEOMETRICI (figure piane e solide) UTILIZZO DELLE FORMULE FORMULE INVERSE APPLICAZIONE TEOREMI (in modo particolare quello di Pitagora)

55 Come differiscono: i dati non sono più presentati secondo l ordine di utilizzo dal punto di vista linguisticolessicale, sintattico e semantico si evidenzia una maggiore difficoltà l approccio non è più bottom up ma top down utilizzata principalmente la sottrazione come differenza e la divisione come contenenza La somma di 3 segmenti è 70 cm. Il terzo supera il secondo di 7 cm e il secondo supera il primo di 9 cm. Quanto è lungo il primo segmento

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66 Per valutare. È costituito da 4 problemi, per ognuno dei quali il soggetto deve fare una serie di esercizi

67 Per comprensione, rappresentazione e categorizzazione l allievo deve scegliere fra quattro alternative Per lo svolgimento dei problemi l allievo deve risolvere il problema Per la pianificazione l allievo ha la consegna di riordinare tre proposizioni Per l autovalutazione si tiene conto della concordanza tra punteggio ottenuto nella soluzione del problema e valutazione della correttezza della procedura

68

69

70

71

72

73 1) Un rettangolo ha l altezza di 10 cm. La sua base misura il doppio dell altezza. Calcola il perimetro del rettangolo. 2) Un aiuola quadrata ha il lato che misura 600 cm. Lungo i lati vengono piantate dei tulipani a 20 cm l uno dall altro. Quanti tulipani vengono piantati? 3) Zia Irene ha un orto a forma di triangolo isoscele. Un lato misura 5 m e i due lati uguali misurano 8 m. Quanto misura il perimetro dell orto? 4) Ripassa con delle matite colorate di diverso colore le facce che hanno in comune lo spigolo AC 5) Disegna un triangolo con un lato coincidente ad un lato del poligono ed il vertice collocato a metà di un altro lato del poligono 6) Disegna due rette che non sono né perpendicolari né parallele

74

75 Prova di geometria: punteggio per item Classe V primaria e I secondaria I grado

76

77

78

79

80