1. Cosa si intende dicendo che A e B sono eventi indipendenti.;

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1 Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Corso di Matematica e Statistica esercizi di calcolo delle probabilità BASI. Esercizio 1 Siamo alle battute conclusive di una partita al Gioco dell Oca; al giocatore Verde, che sopravanza il giocatore Nero di due caselle, è sufficiente realizzare un 3 per raggiungere la meta. I due giocatori lanciano contemporaneamente un dado (a sei facce): nel caso entrambi raggiungano la meta la partita è considerata patta. Determinare la probabilità che, con un lancio di dadi: 1) il giocatore Verde vinca la partita; 2) il giocatore Nero vinca la partita; 3) la partita finisca in patta; 4) nessuno dei due giocatori raggiunga la meta. Esercizio 2 Siano A, B eventi in uno spazio di eventi Ω. 1. Cosa si intende dicendo che A e B sono eventi indipendenti.; 2. è vero che se A e B sono indipendenti allora anche i loro complementari A e B lo sono? si cerchi di provare in modo rigoroso l affermazione fatta. 3. Da un mazzo di carte napoletane (40 carte in 4 semi diversi) viene estratta una carte; si dica quali coppie fra quelle che si possono costituire fra i seguenti eventi sono indipendenti: A : la carta estratta è un due; B : la carta estratta è una carta di bastoni; C: la carta estratta ha valore minore o uguale a 5; Esercizio 3 Siano A e B eventi in uno spazio di eventi Ω. Cosa si intende dicendo che A e B sono incompatibili? Si dica poi quali fra le seguenti affermazioni sono vere: 1. se A e B sono incompatibili allora p(a) + p(b) 1; 2. se p(a) + p(b) 1 allora A e B sono incompatibili; 3. se A e B sono incompatibili allora A e B sono incompatibili. Esercizio 4 1. Qual è la probabilità che, lanciando tre dadi non truccati la somma dei punti sia minore uguale a sei? 2. Qual è la probabilità che la somma sia 6 sapendo che il primo dado dà 1? Esercizio 5 In un lancio di due dadi a sei facce, si determini la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi A: esce almeno un 3; B: esce almeno un 3 sapendo che esce almeno un numero dispari; C: esce almeno un 3 sapendo che esce almeno un numero pari. Esercizio 6 Dei due eventi A, B (di uno stesso spazio Ω) si conosce p(a) 0.75, p(b) 0.6, p(a B) 0.2 (dove, come usuale, B Ω \ B). Si determini: 1. p(a B); 2. p(a B); 3. p(b A).

2 Esercizio 7 La ruota di una roulette contiene i numeri da 1 a 36 (non contiamo lo 0; quindi non si tratta di una vera roulette da casinò). 1. Un giocatore punta un euro sul pari ed un euro sul quadrato costituito dall insieme di numeri {8, 9, 11, 12}; qual è la probabilità che il giocatore vinca qualcosa? 2. Giocando per tre volte di seguito la prima dozzina {1, 2,..., 12}, qual è la probabilità di vincere almeno una volta? PROBABILITÀ CONDIZIONATA. Esercizio 8 Di tre eventi A, B e C (di uno stesso spazio) si conosce Si determini: p(a C) 0.2, p(b C) 0.4, p(a B C) p(a B C); 2. p(a C B); 3. p(a B C). Esercizio 9 Ad una svendita fallimentare il prof. B acquista una partita di 150 lampadine, il 20% delle quali sono fulminate. Sapendo che 100 lampadine sono di colore rosso e 50 giallo, e che la probabilità che una lampadina rossa sia fulminata è il doppio della probabilità che lo sia una lampadina gialla, si dica: 1. qual è la probabilità che una lampadina rossa sia fulminata; 2. qual è la probabilità che una lampadina funzionante sia gialla. Esercizio 10 Durante una seduta spiritica vi è incertezza se lo spirito evocato sia quello di Dante o quello di Petrarca. Alla domanda del medium: Chi sei?, lo spirto risponde: Dante, ovvia!. Sapendo che la probabilità che si tratti di ciascuno dei due sommi letterati è la stessa (cioè 0, 5) e che lo spirito di Dante mente nel 72% dei casi mentre quello di Petrarca mente nel 38% dei casi, si dica qual è la probabilità che lo spirito evocato sia effettivamente quello di Dante. In un altra occasione, alla domanda del medium lo spirto (che si sa essere quello di Dante o quello di Petrarca) risponde con una palese menzogna. Qual è la probabilità che si tratti di Dante? Esercizio 11 Trattate con solfato ferroso due specie di batteri non facilmente distinguibili presentano statisticamente il seguente comportamento: nella specie X diventa azzurro il 30% dei batteri, nella specie Y il 60%. Un trattamento su una cultura mista di batteri X e Y dà come esito l azzurramento del 40% dei batteri. 1. Si dica quale percentuale della coltura è, statisticamente, composta da batteri di specie X. 2. Osservando al microscopio si vede un batterio divenuto azzurro; si dica qual è la probabilità che appartenga alla specie X. Esercizio 12 L arciere Tuk colpisce il centro del bersaglio nel 60% dei casi; l arciere Kuk nel 42%, e l arciere Buk nel 50%. Ad una gara di tiro, ciascuno di loro scaglia una freccia: 1. qual è la probabilità che il bersaglio sia stato centrato almeno una volta? 2. qual è la probabilità che il bersaglio sia stato centrato almeno due volte? 2

3 3. sapendo che il bersaglio è stato centrato, qual è la probabilità che una delle frecce che lo ha colpito sia quella dell arciere Tuk? Esercizio 13 Durante l intera competizione citata nell esercizio precedente Tuk scaglia 10 frecce, Kuk 15 e Buk 20; al termine un paggio raccoglie una freccia finita a terra (cioè: una che non ha centrato il bersaglio). Qual è la probabilità che si tratti di una freccia di Tuk? Raccogliendone due da terra, qual è la probabilità che almeno una sia dell arciere Tuk? TEST DIAGNOSTICI Esercizio 14 In una popolazione di 1200 individui, relativamente ad una malattia M ed un test diagnostico T si rilevano i seguenti dati: T T + M M Si determini: 1) l incidenza della malattia; 2) sensibilità e specificità del test; 3) valore predittivo positivo del test. Esercizio 15 La sensibilità di un test diagnostico è 0.60, la sua specificità Indicando con q l incidenza della malattia, si determini in funzione di q la probabilità che un individuo il cui test è negativo sia sano. Si calcoli poi il valore nel nei casi q 0.10 e q Esercizio 16 Un test diagnostico per una certa malattia ha specificità 0.96 e sensibilità qual è il valore predittivo positivo (cioè la probabilità che risultando il test positivo si abbia la malattia) se l incidenza della malattia è di 2%; 2. quale incidenza dovrebbe avere la stessa malattia affinché il valore predittivo positivo del test superi il 50%? Esercizio 17 Un test diagnostico per una certa malattia M eseguito su un campione di 2000 individui ha dato esito positivo in 200 casi e negativo nei rimanenti. Sapendo che la malattia ha un incidenza del 12% e che la specificità del test è 0.9, si determini la sua sensibilità. IL PROFESSOR B. Esercizio 18 I prof. B tiene reclusa una popolazione di criceti così composta: metà hanno meno di 1, anno, un quarto tra 1 e 2 anni, e il rimanente quarto più di 2 anni. Molti di loro soffrono di depressione: per la precisione: il 18% dei criceti che hanno meno di un anno; il 42% dei criceti che hanno da 1 a 2 anni; il 70% dei criceti che hanno più di 2 anni. Sulla base di questi dati si calcoli: 1. la proabilità che un criceto scelto a caso sia depresso? 2. la probabilità che un criceto non depresso abbia da 1 a 2 anni? 3

4 Esercizio 19 Il criceto Carletto, evaso nottetempo dalla sua gabbia nel laboratorio del prof.b, si imbatte in un sacchetto contenente frutta secca, composto al 24% da anacardi e il rimanente da nocciole. Inoltre, per effetto degli esperimenti del prof. B, un 1/4 dei frutti nel sacchetto sono radioattivi. È noto infine che la percentuale di anacardi radioattivi è del 15%. Qual è la probabilità che, estraendo dal sacchetto un frutto a caso, il criceto Carletto trovi una nocciola non radioattiva? Esercizio 20 Il professor B acquista una scatola contenente 40 funghi neri e 60 funghi rossi, con l intenzione di somministrarli al suo criceto Carletto. Sapendo che (nei criceti) i funghi neri generano allucinazioni con probabilità 0.60 e quelli rossi con probabilità 0.80, e che, inoltre, le allucinazioni generate dai funghi neri conducono Carletto a tentare di mordere il naso del prof. B, calcolare 1. la probabilità che Carletto, ingerito uno dei funghi, abbia le allucinazioni; 2. le probabilità che, sapendo che il nostro criceto ha ingerito uno dei funghi ed è entrato in stato allucinatorio, egli morda il naso del prof. B. 3. la probabilità che, avendo ingerito 5 funghi, Carletto morda almeno una volta il naso al prof.b. Esercizio 21 Il professor B effettua un trattamento musicale sui criceti, diffondendo tra le gabbiette brani scelti da un selezionatore casuale, tra quelli disponibili nella memoria di un ipod da lui sequestrato in un aula universitaria. Sono note le seguenti informazioni: - la probabilità che un brano tra quelli dell ipod piaccia al criceto Carletto è 1/3. - la percentuale dei brani di Frank Zappa che piacciono a Carletto è del 92%; - la probabilità che un brano che piace a Carletto sia di Frank Zappa è sapendo che il numero di brani in memoria è 253, dire quanti sono quelli di Frank Zappa; 2. qual è la probabilità che un brano (selezionato a caso) sia un brano di Frank Zappa che piace al criceto? 3. dire se dopo la selezione consecutiva di tre brani, la probabilità che almeno uno sia un brano di Zappa che piace al criceto è maggiore del 50%. Esercizio 22 Il professor B ha rubato un flacone di un certo siero dallo studio di un collega (tale Jekyll), e lo somministra ai suoi criceti. Durante la notte, il siero agisce sul 40% dei criceti maschi e il 20% dei criceti femmina, trasformando i criceti su cui agisce in sanguinari criceti-hyde. Pochi minuti dopo, ogni criceto-hyde assale un criceto che non ha subito la trasformazione, facendolo a pezzi; al mattino, ogni criceto ritorna normale. Sapendo che i criceti maschi sono il 60% del gruppo si dica 1. qual è la probabilità che, al mattino, il criceto Carletto sia ancora vivo? 2. qual è la probabilità che il criceto Carletto, sapendo che non ha subito la trasformazione notturna, sia una femmina? (non date peso al nome: il prof. B di certe cose non ci ha mai capito molto e, se è per questo, nemmeno il criceto). DADI, CARTE, PALLINE Esercizio 23 Dato un mazzo di carte napoletane (40 carte e quattro semi: bastoni, coppe, danari, spade); una mano consiste in un insieme di 4 carte pescate dal mazzo: 4

5 1. quante sono le mani fatte solo da carte a bastoni? e quante quelle fatte da carte dello stesso seme? 2. qual è la probabilità di avere una mano fatta da carte di semi tutti diversi? 3. quante sono le mani in cui ci sono esattamente due carte a bastoni? 4. pescando 2 carte dal mazzo, qual è la probabilità che siano di semi diversi? Esercizio 24 Un urna A contiene 5 palline bianche e 6 palline rosse; un altra urna B ne contiene 8 rosse e 3 bianche. Un meccanismo casuale sposta una pallina dall urna B all urna A. 1. Qual è la probabilità che (dopo il passaggio) estraendo una pallina dall urna A si trovi una pallina bianca? [usare la legge delle alternative] 2. Dopo il passaggio si estrae a caso una pallina dall urna A; sapendo che questa è bianca, dire qual è la probabilità che la pallina inizialmente trasferita da B ad A sia bianca. Esercizio 25 Dire se lanciando 4 dadi a sei facce non truccati, la probabilità che esca almeno una coppia di valori uguali è superiore o inferiore al 70%. Esercizio 26 Le facce di un dado dodecaedrico (cioè a dodici facce) vengono colorate: 4 di rosso, 3 di bianco, 3 di verde e 2 di nero. Lanciandolo cinque volte di seguito qual è la probabiloità: 1. escano esattamente due facce rosse; 2. escano due facce rosse, due bianche e una nera; 3. escano solo facce rosse e nere. Esercizio 27 Vi sono tre urne ognuna delle quali contiene 12 palline rosse e 18 palline gialle. Viene estratta a caso una pallina da ogni urna. 1. Qual è la probabilità che vengano estratte esattamente 2 palline rosse? 2. qual è la probabilità che vengano estratte tre palline dello stesso colore? Esercizio 28 Una slot-machine è formata da tre ruote, ognuna delle quali contiene otto caselle di cui 2 recano il disegno di una ciliegia e le rimanenti sei i numeri da 1 a 6. Qual è la probabilità che, azionando la leva: 1. escano esattamente due ciliegie; 2. escano tre simboli uguali. I CASSETTI MALEFICI Esercizio 29 In un armadio provvisto di otto cassetti vengono collocate casualmente, una per cassetto, 6 maglie rosse e 2 maglie verdi. 1. Qual è la probabilità di trovare una maglia rossa aprendo un cassetto a caso? 2. Aprendo a caso due cassetti qual è la probabilità di trovare: almeno una maglia rossa, due maglie rosse, due maglie di colori diversi? 5

6 Esercizio 30 Nell armadio a otto cassetti vengono collocate alla rinfusa 14 paia di pantaloni, in due delle quali è stato lasciato un portafoglio. 1. Qual è la probabilità di trovare un paio di pantaloni col portafoglio aprendo un cassetto a caso? 2. Aprendo un cassetto si trovano due paia di pantaloni; qual è la probabilità che ci sia (almeno) un portafoglio? Esercizio 31 Nell armadio a otto cassetti vengono collocate alla rinfusa 12 camicie. 1. Qual è la probabilità di trovare una camicia aprendo un cassetto a caso? 2. Se dopo aver aperto due cassetti non si è trovata alcuna camicia, qual è la probabilità che aprendo il prossimo se ne trovino due? 3. Sapendo che un certo cassetto contiene (almeno) una camicia, qual è la probabilitrà, aprendolo, di trovarne due? Esercizio 32 Un nuovo armadio ha nove cassetti, ma uno - di cui non si conosce la posizione - è stregato, per cui qualsiasi cosa vi si metta dentro essa scompare. Nell armadio vengono riposte 6 camicie, mettendone in ogni cassetto al più una; qual è la probabilità che aprendo un cassetto a caso si trovi una camicia. 6

7 ALCUNE SOLUZIONI Esercizio 1. Ogni giocatore lancia il dado; lo spazio degli eventi è quello naturale delle coppie di numeri da 1 a 6: Ω {(x, y) x, y {1,..., 6}}, dunque Ω 36. Denotiamo con v e con n, rispettivamente, il punteggio realizzato col lancio del dado dal giocatore Verde e quello realizzato dal giocatore Nero. 1. Verde vince la partita se v {3, 4, 5, 6} e n {1, 2, 3, 4}; i casi favorevoli alla vittoria del Verde sono quindi , e la probabilità che Verde vinca è 16/36 4/9. 2. Nero vince la partita se v {1, 2} e n {5, 6}; i casi favorevoli alla vittoria del Nero sono 2 2 4, e la probabilità che Nero vinca è 4/36 1/9. 3. Si ha parità se v {3, 4, 5, 6} e n {5, 6}; i casi favorevoli alla patta sono 4 2 8, e la probabilità che la partita termini in parità è 8/36 2/9. 4. Nessuno giunge alla meta nei casi v {1, 2} e n {1, 2, 3, 4}; il numero di questi casi è 2 4 8, e la probabilità che nessuno vinca è 8/36 2/9. [si osservi che i quattro eventi di cui si è calcolato la probabilità sono a due a due incompatibili e che la loro unione ricopre l intero spazio degli eventi; la somma delle probabilità è, infatti, 4/9 + 1/9 + 2/9 + 2/9 9/9 1.] Esercizio Gli eventi A e B sono indipendenti se p(a B) p(a)p(b). 2. Supponiamo che A e B siano indipendenti e verifichiamo che per i complementari vale l identità p(a B) p(a)p(b) che stabilisce la loro indipendenza. Per farlo, si può ricorrere all identità di De Morgan A B A B, e la formula p(a B) 1 p(a) p(b) + p(a B). Abbiamo, p(a B) p(a B) 1 p(a B) 1 p(a) p(b) + p(a B) 1 p(a) p(b) + p(a)p(b) (1 p(a))(1 p(b)) p(a)p(b). dunque A e B sono indipendenti. 3. Abbiamo, per ovvie considerazioni, E, ancora, p(a) 4/40 1/10, p(b) 10/40 1/4 e p(c) 20/40 1/2. p(a B) 1/40, p(a C) 4/40, p(b C) 5/40. Ora, basta esaminare le varie possibilità. Si trova che p(a B) 1/40 (1/10)(1/4) p(a)p(b) e dunque A e B sono indipendenti. Calcolando allo stesso modo, p(b C) 5/40 1/8 (1/4)(1/2) p(b)p(c) p(a C) 4/40 (1/10)(1/2) p(a)p(c) dunque B e C sono indipendenti, mentre A e C non lo sono. Esercizio 3. Gli eventi A e B sono incompatibili se p(a B) Vero. Infatti, se A e B sono eventi sappiamo che p(a) + p(b) P (A B) p(a B). Se A e B sono incompatibili, p(a B) 0, dunque p(a) + p(b) p(a B) 1. 7

8 2. Falso. Consideriamo, ad esempio, un lancio di un dato a sei facce, e i due eventi: A esce un numero pari, B esce un numero minore a uguale a 2. Allora p(a) + p(b) 1/2 + 1/3 5/6 1, ma A e B non sono incompatibili (infatti p(a B) p(esce 2) 1/6 0). 3. Falso. Ad esempio, ancora nel lancio di un dado a sei facce, consideriamo gli eventi A esce maggiore o uguale a 5, B esce un numero minore a uguale a 2. A e B sono incompatibili mentre, p(a B) p(a B) 1 p(a B) 1 4/6 1/3 0. Dunque, A e B non sono incompatibili. Esercizio I casi possibili sono I casi favorevoli si devono contare; essi sono costituiti dalle seguenti uscite tre 1 due 1 e un 1 due 1 e un 3 due 1 e un 4 un 1 e due 2 un 1 un 2 e un 3 tre 2 1 caso 3 casi 3 casi 3 casi 3 casi 6 casi 1 caso i casi favorevoli (somma 6) sono dunque 20; la probabilità cercata è quindi p Chiaramente, il valore cercato in questo caso è uguale alla probabilità che, lanciando due dadi, la somma dei punti sia uguale a 5. Per questo, i casi favorevoli sono 4 (cioè (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)) su possibili. La probabilità cercata è dunque p Esercizio 5. Per due dadi a sei facce i casi possibili sono : i casi favorevoli all evento A sono 11, quindi p(a) I casi in cui esce almeno un dispari sono 27 (cioè 36 meno quelli in cui escono due pari che sono 3 2 9), quelli con almeno un 3 sono ancora 11 (si osservi che l evento esce almeno un 3 è contenuto nell evento esce almeno un dispari ); la probabilità cercata è quindi p I casi in cui esce almeno un pari sono (come per i dispari) 27; tra questi, quelli dove esce un 3 sono 6; la probabilità cercata è dunque p Esercizio p(a B) p(a) + p(b) p(a B) p(a) + (1 p(b)) p(a B) Osserviamo che p(a B) + p(a B) p(a); quindi p(a B) p(a) p(a B) p(b A) 1 p(b A) 1 p(b A) 1 [p(a) + p(b) p(a B)] 1 ( )

9 Esercizio La probabilità che, per un giro della pallina, esca un numero pari p(p ) , quella che esca un numero di A {8, 9, 11, 12} è p(a) Quindi, la probabilità di vincere qualcosa per un giocatore che punti sul peri e sulla quartina A è p(a P ) p(a) + p(p ) p(a P ) La probabilità di vincere, in un turno, puntando sulla dozzina è p 1 3 (e quella di non vincere è q 1 p 2 3. Gli eventi di diversi turni della roulette sono ovviamente indipendenti; quindi le probabilità che si hanno ad ogni turno si moltiplicano tra loro. Nel caso specifico, la probabilità di non vincere per tre volte di seguito puntando sulla dozzina è: q , e dunque la probabilità di vincere almeno una volta è La probabilità di vincere al primo turno e perdere negli altri è p q 2, e la stessa è per la vincita solo al secondo o solo al terzo turno. Dunque, la probabilità di vincere esattamente una volta è 3(p q 2 ) (si tratta di un caso molto semplice di distribuzione bernoulliana) Esercizio Per definizione di probabilità condizionata e la proprietà distributiva: p(a B C) p((a B) C) p((a C) (B C)) p(c) p(c) p(a C) p(b C) p(a B C) + p(c) p(c) p(c) p(a C) + p(b C) p(a C B) p((a B) C)/p(B) p(a B C)/p(B) 0/p(B) Osserviamo che, poiché p(a C B) p(a B C) 0, si ha p(a C B) p(a C). Quindi p(a B C) p(a C) p(a B C) p(a C) 0.2. p(c) p(c) Esercizio 9. Denotiamo con p(r), p(g), p(f ) la probabiltà che una lampadina presa a caso tra quelle acquistate sia, rispettivamente, rossa, gialla, fulminata. Le informazioni a disposizione sono quindi p(r) , p(g) , p(f ) , e, inoltre, p(f R) 2 p(f G). 1. Ponendo x p(f R), la legge delle alternative si scrive 1 2 p(f ) p(f R)p(R) + p(f G)p(G) x x x da cui si ricava x 6/ Dal punto precedente si ha, anche, p(f G) La probabilità che una lampadina finzuionante sia gialla è p(g F ); per la formula di Bayes: p(g F ) p(f G)p(G) p(f ) 1 p(f G) 1 p(f ) 9 p(g)

10 Esercizio 10. Denotiamo con D e P, rispettivamente gli eventi lo spirito è Dante e lo spirito è Petrarca, e con M l evento lo spirito mente. I dati a nostra disposizione sono quindi - p(d) p(p ) p(m D) 0.72, p(m P ) La prima questione chiede di determinare p(d M) (dove M è l evento complementare a M, ovvero lo spirito dice la varità). Dalla definizione di probabilità condizionata abbiamo: p(d M) p(m D)p(D) (1 p(m D))p(D) (0.28)(0.5) La seconda questione chiede di trovare p(d M). Applicando Bayes p(d M) p(m D)p(D) p(m) (1) e, come si fa spesso, p(m) si calcola mediante la legge delle alternative: p(m) p(m D)p(D) + p(m P )p(p ) (0.72)(0.5) (0.38)(0.5) 0.55 Quindi, da (1) si ricava: p(d M) (0.72)(0.5) Esercizio 11. Denotiamo con X e Y l evento il batterio appartiene alla specie X o, rispettivamente, specie Y, e con A il batterio diventa azzurro. I dati di cui disponiamo si traducono come p(a X) 0.3, p(a Y ) 0.6 e p(a) Nella popolazione sottoposta al trattamento ci sono solo batteri dei due tipi; dunque p(x) + p(y ) 1. Quindi, usando all indietro la formula delle alternative: 0.4 p(a) p(a X)p(X) + p(a Y )p(y ) (0.3)p(X) + (0.6)(1 p(x)) da cui si ricava: p(x) 2/3. Dunque la percentuale di batteri appartenenti alla specie X si può stimare nel 66. 6%. 2. La domanda chiede di calcolare p(x A). Basta applicare la formula dii Bayes: p(x A) p(a X)p(X) p(a) (0.3)(2/3) Esercizio 12. Sia T l evento: la freccia di Tuk centra il bersaglio, K l evento: la freccia di Kuk centra il bersaglio e B l evento: la freccia di Buk centra il bersaglio. Poiché ciascuno lancia una freccia, i tre eventi sono mutuamente indipendenti, e si ha p(t ) 0.6, p(k) 0.42, p(b) ) Si vuol determinare la probabilità p dell evento T K B. Conviene usare il complementare T K B T K B. Poiché anche gli eventi T, K, B sono mutuamente indipendenti si ha p 1 p(t K B) 1 (1 p(t ))(1 p(k))(1 p(b))

11 2) La probabilità p cercata è la somma delle probabilità (per quattro eventi indipendenti); p 0 p(t K B), p 1 p(t K B), p 2 p(t K B), p 3 p(t K B). Poiché le tre frecce determinano eventi indipendenti, si ha: p p p p Quindi, p ) Il bersaglio è stato colpito è l evento C T K B, la cui probabilità, calcolata al punto (1), è p(c) Quel che cerchiamo è la probabilità condizionata p(t C). Poiché l evento T è contenuto nell evento C, non si ha altro che p(t C) p(t C) p(c) p(t ) p(c) Esercizio 13. Cambiando notazione rispetto all esercizio precedente, denotiamo con T, K e B il fatto che la freccia sia stata scagliata, rispettivamente, da Tuk, Kuk e Buk, e con C l evento: la freccia ha centrato il bersaglio. Quindi, i dati del problema forniscono p(t ) 10/45 2/9, p(k) 15/45 3/9, p(b) 20/45 4/9; più i dati del precedente che si traducono con p(c T ) 0.6, p(c K) 0.42, p(c B) 0.5. La formula delle alternative fornisce la probabilità di C: p(c) p(c T )p(t ) + p(c K)p(K) + p(c B)pB) 4/ Quello che cerchiamo è la probabilità p(t C). Applicando la formula di Bayes: p(t C) p(c T )p(t ) p(c) (1 p(c T ))p(t ) 1 p(c) Esercizio Gli individui affetti dalla malattia sono quelli nell insieme M +, e M L incidenza della malattia è dunque 2. Per definizione, la sensibilità del test è e la sua specificità p(m + ) Se p(t + M + ) p(t + M + ) p(m + ) Sp p(t M ) p(t M ) p(m ) 168/ / ; 912/ / Tenendo conto che p(t + ) , il valore predittivo è, per definizione, V p + p(m + T + ) p(t + M + )p(m + ) p(t + )

12 Esercizio 15. Indichiamo, come di consueto, con M + i soggetti affetti dalla malattia, con M quelli non affetti, con T + quelli il cui test risulta positivo e T quelli il cui test risulta negativo. Quindi, l incidenza della malattia è q p(m + ) 0.20, mentre, per definizione, indicando con Sp la specificità del test e con Se la sua sensibilità, Sp p(t M ) e Se p(t + M + ). Vogliamo trovare a probabilità che un individuo il cui test è negativo non sia affetto dalla malattia, cioè p(m T ) p(t )p(t M ) p(m ) Ora, per la formula delle alternative p(t ) Sp 1 q 0.8 p(t ). 1 q p(t ) p(t M )p(m ) + p(t M + )p(m + ) Sp (1 q) + (1 p(t + M + )) q Sp (1 q) + (1 Se) q q Quindi, sostituendo nell uguaglianza precedente, p(m T ) q 1 q q 1 q. Per q 0.10 si ha p(m T ) Per q 0.30 si ha p(m T ) Esercizio Denotiamo con V + il valore predittivo cercato. Per definizione e la formula di Bayes V + p(m + T + ) p(t + M + )p(m + ) p(t +. (2) ) dove p(t + M + ) 0.98 è la sensibilità del test e p(m + ) 0.02 l incidenza della malattia. Per calcolare il denominatore si può usare la formula delle alternative, ricordando che p(t M ) 0.96 è la specificità del test. Si ha p(t + ) p(t + M + )p(m + ) + p(t + M )p(m ) Sostituendo nell equazione (2), che è il valore cercato. p(t + M + )p(m + ) + (1 p(t M ))(1 p(m + )) V / In questo punto l incognita è x p(m + ). Come nel punto precedente, p(t + ) p(t + M + )x + p(t + M )(1 x) 0.98x (1 x) 0.94x Poi, dall equazione (2) e dalle condizioni del testo, 0.5 V + p(t + M + )x p(t + ) Si tratta quindi di risolvere la disequazione 0.98x 0.94x x 0.94x

13 ovvero quindi da cui 0.98x 0.5(0.94x ) 0.47x ( )x 0.02 x % Esercizio 17. Esercizio 18. Esercizio 19. Indicando con p(r) la probabilità che un frutto del sacchetto sia radioattivo, con p(a) la probabilità che sia un anacardo e p(n) che sia una nocciola. I dati del problema si rappresentano quindi con p(r) 1/4 0.25, p(a) 0.24, p(n) 0.76, p(r A) La provbabilità cercata è p(n R). Dalla formula delle alternative, posto x p(r N), 0.25 p(r) p(r A)p(A) + p(r N)p(N) x da cui si ricava x Dunque p(r N) 1 x A questo punto, per definizione di probabilità condizionata, p(n R) p(r N)p(N) Esercizio 20. Fissando le seguenti notazioni per i vari eventi N: fungo nero, R: fungo rosso, A: allucinazioni, i dati del problema si riformulano come p(n) 0.4, p(r) 0.6, p(a N) 0.6, p(a R) Basta applicare la formula delle alternative: p(a) p(a N)p(N) + p(a R)p(R) Osservando che l evento Carletto morde il prof.b coincide con N A, la probabilità cercata è la probabilità condizionata p(n A). Basta quindi applicare la formula di Bayes: p(n A) p(n)p(a N) p(a) ( 76 5 ( Come al punto precedente, la probabilità che un fungo induca a mordere il naso è p(m) (N A) p(a N)p(N) Quindi la probabilità che un fungo non induca a mordere è 1 p(m) La probabilità che, in 5 ingestioni, Carletto mangi solo funghi di questo tipo è ) q ) Pertanto, la probabilità che, mangiando 5 funghi, il criceto abbia le allucinazioni e morda il professore almeno una volta è 1 q

14 Esercizio 21. Denotiamo con Z il brano è di Franz Zappa, con C il brano piace a Carletto. I dati a disposizione si traducono con p(c) 1/3, p(c Z) 0.92, p(z C) Sia x il numero di brani di Zappa; allora la probabilità che un brano selezionato a caso sia di Frank Zappa è x/253. Occorre quindi determinare p(z). Per la formula di Bayes da cui si ricava e quindi x p(z C) p(c Z)p(Z) p(c) 0.92p(Z) 1/3 x 0.6 p(z) p(Z) 2. Qui ci chiede di calcolare p(z C). Dalla definizione di probabilità condizionata si ha da cui p(z C) p(z C) p(z C) pc) p(z C) 1/3 3. La probabilità che un brano casuale sia di Zappa e piaccia al criceto, calcolata al punto 2., è p 0.2. Quindi la probabilità che per tre volte di seguito non sia selezionato un brano del genere è (1 p) 3, e dunque la probabilità che almeno uno lo sia è che è inferiore al 50%. 1 (1 p) 3 1 (0.8) Esercizio Le carte a bastoni sono un insieme di 10 elementi; una mano a bastoni consiste in un suo sottoinsieme di quattro elementi. Il numero di tali sottoinsiemi (e la risposta alla domanda) è: ( ) ! Per la seconda domanda basta ovviamente moltiplicare per quattro: 4 (10 ) Poiché i semi sono tanti quanto le carte di una mano, il numero di mani formate da carte di semi tutti diversi è ciascun Il numero totale di mani possibili è ( ) La probabilità cercata è dunque p 104 ) ( Il numero di coppie di carte a bastoni è ( ) ; quello delle coppie formate da carte degli altri tre semi è ( ) Il numero di mani costituita da una coppia a bastoni ed una coppia di altri semi è dunque Il numero totale di coppie di carte è ( ) Il numero di coppie costituite da carte dello stesso seme è 4 (10 ) 2 180; dunque il numero di coppie di carte di seme diverso è La probabilità di pescare una coppia di carte di seme diverso è dunque p

15 Esercizio 24. Scriviamo R e B per intendere che da B a A è passata una pallina rossa e, rispettivamente, bianca. Quindi p(r) 8/11 e p(b) 3/11. Denotiamo poi con r e b il fatto che dall urna A venga estratta, dopo il passaggio, una pallina di colore rosso o, rispettivamente, di colore bianco. 1. Per la legge delle alternative p(b) p(b B)p(B) + p(b R)p(R) 6 12 p(b) p(r) La domanda chiede di calcolare la probabilità condizionata p(b b). Tenendo conto che p(b B) 6/12 1/2 ed usando la formula di Bayes si trova p(b b) p(b B)p(B) p(b) (1/2)(3/11) 29/ Esercizio 28. La probabilità che, su ciascuna ruota, esca una ciliegia è p Le tre ruote poi sono indipendenti l una dall altra. La risposta al punto 1. è quindi un applicazione della formula per gli eventi bernoulliani: p(2cil) ( ) 3 2 p 2 (1 p) , Lo spazio degli eventi è costituito da 8 3 casi. Di questi quelli in cui i tre simboli sono uguali sono 6 se il simbolo comune non è la ciliegia e se è la ciliegia; quindi i casi favorevoli sono 6 + 8n 14. Pertanto, la probabilità cercata è Il caso di tre simboli diversi è più complicato da analizzare: questo perché la ciliegia ha più probabilità di uscire di uno specifico numero. Mantenendo lo spazio degli eventi quello di tutte le possibili ruotate (quindi Ω 8 3 ), possiamo ripartire l evento A tutti simboli diversi in due casi tra loro incompatibili: A 1 i simboli sono diversi e non c è la ciliegia; A 2 i simboli sono diversi e c è la ciliegia;. A 1 si calcola facilmente, infatti - poiché i numeri sono sei in ogni ruota - è uguale al numero di disposizioni senza ripetizione A 1 D 6, Per calcolare A 2 possiamo calcorae quante sono le coppie ordinate di smboli diversi tra loro e dalla ciliegia, che sono 6 5; poi tener conto che la ciliegia, può uscire in 6 modi; si ha quindi A 2 6 (6 5). Dunque A A 1 + A Pertanto, la probabilità che escano tre simboli diversi è: p(diversi) A Ω Esercizio La probabilità di trovare una maglia rossa aprendo un cassetto a caso è 6/8. 15

16 2. Le possibili scelte per due cassetti sono ( 8 2) 28 e ovviamente c é una sola coppia di cassetti contenenti entrambi una maglia verde. Dunque la probabilità di trovare almeno una maglia rossa aprendo due cassetti a caso è: p Le coppie di cassetti con maglie rosse sono ( 6 2) 15; quindi la probabilità di trovare due maglie rosse aprendo due cassetti a caso è: p La probabilità di trovare due maglie di colori diversi aprendo due cassetti a caso è: p 3 p 1 p