Capitolo 7 Trasmissione numerica - Parte I

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1 Apputi di Comuicazioi Elettriche Capitolo 7 Trasmissioe umerica - Parte I Itroduzioe ai segali di tipo umerico... chema geerale di u sistema di trasmissioe biaria... Defiizioe del filtro adattato...4 celta della soglia...7 Codifica atipodale e codifica ortogoale... Problema dell iterfereza di itersimbolo... 5 Forme d oda di Nyquist... 9 oll off delle forme d oda ad itersimbolo ullo... Forma d oda da trasmettere... Cei sulla formazioe delle forme d oda i trasmissioe... 4 Estrazioe del timig... 7 Codifica NZ e codifica Z... 8 Codifica Z di tipo atipodale... 3 chema del dispositivo estrattore del timig Diagramma ad occhio Geerazioe degli impulsi di campioameto (schema alterativo) ollecitazioi sul filtro passa-bada e corrispodeti codifiche di liea37 Codice AMI Codice HDB Codice Machester Criterio geerale di dimesioameto del sistema... 4 apporto /N a valle del campioatore... 4 apporto /N a valle del filtro i ricezioe Poteza ricevuta dal mezzo trasmissivo Osservazioe: caso della codifica ortogoale Esempio umerico: trasmissioe umerica del segale TV a colori... 5 istema umerico multitratta su cavo Tratte rigeerative INTODUZIONE AI EGNALI DI TIPO NUMEICO I segali di tipo umerico soo costituiti da sequeze di segali elemetari, temporalmete distiti tra loro, ciascuo di durata T. I liea teorica, si possoo immagiare quate si voglioo forme d oda cui far corrispodere i messaggi elemetari che si voglioo rappresetare (discretizzazioe sulla forme), oppure, usado ua sola forma d oda, si possoo scegliere per essa ampiezze diverse a secoda dell iformazioe da trasmettere (discretizzazioe sulle ampiezze). Questo è proprio il caso della trasmissioe umerica: voledo ad esempio trasmettere le cifre decimali, i segali elemetari avrao la stessa forma d oda, ad esempio rettagolare, ma ampiezze diverse, ogua

2 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 corrispodete ad ua cifra. Nel caso della trasmissioe biaria (che è quella di ostro iteresse i quato è impiegata ei sistemi elettroici), le ampiezze possibili soo solo. I geerale, comuque, la trasmissioe di u simbolo piuttosto che u altro corrispode ad ua scelta tra u umero fiito M di possibilità, dove M soo ache i simboli dell alfabeto sorgete che si vuole trasmettere (M el sistema biario oppure M el sistema decimale). I ricezioe, ricevedo la sequeza di segali elemetari, evetualmete atteuata dal mezzo trasmissivo e deformata dai disturbi, si tratterà di iterpretarla, stabiledo quale è stato il simbolo trasmesso i ciascu itervallo T. i tratta, perciò, di fare acora ua volta ua scelta tra le M possibilità ote a priori. Nel caso biario, la cosa è più semplice, i quato le possibilità soo solo due: i questo, c è ua otevole somigliaza (che sarà acora più chiara ei prossimi discorsi) co quato accade el sistema radar, dove, i ricezioe, la scelta è tra la preseza o l asseza del bersaglio. Ua operazioe di decisioe è tipica ella ricezioe dei segali umerici: da essa cosegue che il segale forito i uscita dal ricevitore può essere corretto oppure parzialmete errato (el caso qualche segale elemetare sia stato iterpretato erroeamete). E ituitivo compredere, come el caso del radar, che si commetterà u errore solo quado il disturbo supera u certo valore: per esempio, el caso di trasmissioe biaria i cui all uo logico è associata ua tesioe +V e allo zero logico ua tesioe -V, l errore si potrà commettere solo quado il disturbo è tale da trasformare ua ampiezza positiva i egativa o viceversa. Fatte queste premesse, sottolieiamo alcue differeze tra u sistema di trasmissioe aalogico ed u sistema di trasmissioe umerico: ua prima differeza è che, metre ella trasmissioe aalogica è ecessario utilizzare apparecchiature ottimizzate per il tipo di segale da trasmettere (segale telefoico, segale musicale, segale televisivo e così via), ella trasmissioe digitale ciò o è ecessario: i segali umerici hao tutti la stessa forma d oda (a parte, ovviamete, la sequeza dei simboli), per cui è possibile trasmettere u qualuque segale umerico seza preoccuparsi di cosa i simboli umerici rappresetao; ua secoda differeza riguarda gli errori: così come ella trasmissioe aalogica o è possibile far arrivare al ricevitore la stessa forma d oda trasmessa, allo stesso modo ella trasmissioe digitale o si può mai raggiugere la certezza di o commettere errori; a frote di questo, però, ci soo due cosiderazioi: i primo luogo, si può fare i modo, ella trasmissioe digitale, che la probabilità di errore sia talmete bassa che l effetto degli errori diveti praticamete ivisibile ; i secodo luogo, metre el caso aalogico, per aumetare il rapporto /N di db, bisoga aumetare di db la poteza del segale (o ridurre di db quella del rumore), el caso digitale questo o è ecessario. CHEMA GENEALE DI UN ITEMA DI TAMIIONE BINAIA A questo puto, ci cocetriamo sulla trasmissioe biaria. Il modo più semplice di trasmettere u segale biario, cioè ua sequeza di e logici, è quello di associare a ciascu simbolo u impulso rettagolare di tesioe, che avrà ampiezza V el caso dello logico e V el caso dell logico: Pesiamo, per esempio, alla diversa bada ecessaria per la trasmissioe dei segali elecati: abbiamo bisogo di almeo 3.4 khz per il segale telefoico, di almeo 5 khz per il segale musicale e di almeo 5 MHz per il segale televisivo i formato PAL. I sistemi reali di trasmissioe umerica o sbagliao praticamete mai se soo disturbati soltato dal rumore termico ed elettroico geerato dalle apparecchiature elettroiche utilizzate. oo ivece molto più sesibili ad altri disturbi, tipicamete quelli proveieti da apparecchiature meccaiche i movimeto (si pesi alle vecchie cetrali telefoiche).

3 Trasmissioe umerica - Parte I t Nel caso più baale, si può pesare di trasmettere di trasmettere ua tesioe ulla per lo ed ua tesioe di u valore +V (ad esempio +5V) per l. I ricezioe, o iteressa ricostruire la forma d oda trasmessa, ma serve riotteere, co la maggiore fedeltà possibile, la sequeza di simboli trasmessa. Quidi, così come el radar, ache ella trasmissioe umerica bisoga effettuare, al termiale ricevete, ua decisioe biaria. Le possibilità soo le segueti: se è stato trasmesso il simbolo logico e si è scelto di associare a tale simbolo u livello ullo di tesioe, i ricezioe giuge solo rumore: s (t) I questo caso, il sistema deve essere i grado di capire che il segale ricevuto è solo rumore; se ivece è stato trasmesso il simbolo logico e si è scelto di associare ad esso ua certa forma d oda elemetare s(t) di durata T (ad esempio u impulso rettagolare di durata T e di ua ampiezza prefissata), questa giuge al ricevitore, atteuata di ua certa costate k e ritardata (di ua quatità ota); la differeza col radar, però, è el fatto che le forme d oda i ricezioe, se ci soo, si possoo presetare solo ad itervalli di tempo regolari (metre el radar gli echi torao idietro co ritardi legati alla posizioe del bersaglio e quidi o determiabili a priori); possiamo perciò scrivere che, i questo caso, i ricezioe si ha (t) s (t) ks(t T) + (t) A parte la differeza circa il ritardo co cui giuge l evetuale forma d oda, si può procedere i maiera del tutto aaloga a quelle seguita el caso radar: al fie di miimizzare la probabilità di errore, bisoga fare i modo che, almeo i u certo istate (che idicheremo acora t m e che varia co le forme d oda scelte per la trasmissioe), il segale sia quato più grade possibile rispetto ai valori che può assumere il rumore. Possiamo a questo puto tracciare uo schema geerale di u sistema di trasmissioe biaria: (t), Geeratore Filtro istema a, di forme Mezzo trasmissivo + Campioatore d'oda s(t) s (t) adattato OGLIA La sequeza biaria da trasmettere va i igresso ad u dispositivo che ha il compito di associare ad essa le corrispodeti forme d oda da trasmettere. La sequeza di tali forme d oda costituisce il segale s(t) che viee iviato sul mezzo trasmissivo. All uscita di quest ultimo, giuge u segale, 3

4 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 ievitabilmete atteuato, co sovrapposto u rumore (t) (che suppoiamo essere, come al solito, biaco e co distribuzioe gaussiaa delle ampiezze). La composizioe di tali segali rappreseta il segale s (t) che va i qualche modo elaborato i ricezioe. La prima elaborazioe è compiuta da u filtro, progettato co la stessa filosofia che, el caso del segale radar, ha portato alla defiizioe del filtro adattato come filtro ottimo 3. Nel paragrafo successivo vedremo la cosa i modo aalitico. All uscita del filtro adattato otteiamo duque u segale che, i istati di tempo distati T secodi uo dall altro, preseta u massimo. Questi massimi vegoo misurati (mediate u dispositivo che quidi è semplicemete u campioatore co periodo di campioameto T) e, i base a tali misure, il successivo sistema a soglia decide se il simbolo trasmesso è oppure : se la tesioe elettrica misurata i igresso è maggiore di u livello prefissato, il sistema a soglia forisce i uscita il valore, metre i caso cotrario forisce. E importate fare ua osservazioe. Lo schema tracciato ell ultima figura, tipico di u sistema di trasmissioe biaria, può essere i effetti distito i due parti, ua biaria ed ua aalogica: ifatti, oi abbiamo simboli biari solo prima del geeratore di forme d oda e dopo il sistema a soglia, metre, el resto dello schema, avedo a che fare co forme d oda cotiue el tempo, siamo i preseza di u ormale sistema aalogico. I altre parole, quidi, il geeratore di forme d oda ed il sistema a soglia effettuao, rispettivamete, il passaggio da digitale ad aalogico (D A) e da aalogico a digitale (A D). I altre parole acora, essi fao da iterfaccia tra il sistema biario ed il sistema aalogico usato per la trasmissioe. DEFINIZIONE DEL FILTO ADATTATO Faremo adesso dei discorsi estremamete simili a quelli fatti per il sistema radar: lo scopo è di far vedere che, ache el caso della trasmissioe biaria, il filtro adattato i ricezioe è particolarmete utile. Così come el radar, il filtro deve essere tale da forire, per il segale, il massimo valore possibile i corrispodeza di u certo istate t m ; di cosegueza, ache i questo caso, ua defiizioe sesata del rapporto /N i igresso al sistema a soglia prevede il cofroto tra la poteza di picco del segale utile e la poteza media di rumore: N soglia P P Dobbiamo massimizzare questo rapporto. Comiciamo dal rumore: se H(f) è la fuzioe di trasferimeto del filtro di ricezioe, possiamo valutare la poteza di rumore come il valor medio dei quadrati della tesioe di rumore, per cui,picco N,media P N,media h (f ) H(f ) df dove h (f) è la desità spettrale di poteza bilatera del rumore biaco sovrapposto al segale. 3 icordiamo che il filtro adattato è ottimo el seso che forisce il massimo rapporto /N all uscita a parità di eergia per simbolo (cioè a parità di poteza media del segale trasmesso). Ua codizioe affiché il filtro sia ottimo è che il rumore sia additivo biaco. 4

5 Trasmissioe umerica - Parte I Questa formula forisce ache la variaza della variabile casuale uc otteuta campioado il rumore all istate di lettura. La fuzioe desità di probabilità di questa variabile casuale ha la seguete espressioe: f ( uc ) πp N,media e P uc N,media Passiamo al calcolo di P : idichiamo co as (t) la forma d oda ricevuta, dove l ampiezza a, picco è per il mometo icogita. e (f) è lo spettro (bilatero) del segale ricevuto, lo spettro (sempre bilatero) del segale i uscita dal filtro è (f ) H(f ) (f ) u L adameto el tempo di questo segale si ottiee atitrasformado: s u (t) jωt jωτ u (f )e df H(f ) (f )e df A oi iteressa la poteza di picco di questo segale: suppoedo allora che tale picco vega raggiuto ell istate t m e cosiderado l ampiezza pari ad a, possiamo scrivere che P,picco a s u (t m ) a H(f ) (f )e jωt m df Possiamo duque formalizzare l espressioe del rapporto /N: N soglia a H(f ) h (f )e (f ) H(f ) jωt m df df A questo puto, osserviamo che l eergia del segale ricevuto è E a (f ) df Esplicitado da qui il valore di a e sostituedo ell espressioe del rapporto /N, otteiamo quato segue: N soglia H(f ) h (f )e (f ) H(f ) Come ci aspettavamo il rapporto /N risulta direttamete proporzioale, a parità di h (f), di (f) e di H(f), all eergia del segale ricevuto. 5 jωt m df df E (f ) df

6 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 Come ulteriore passaggio, cosideriamo adesso che u (f ) H(f ) (f ) e quidi ache che u (f ) H(f ) (f ) (f ) u (f ) H(f ) ostituedo ell espressioe del rapporto /N, otteiamo N soglia u h (f )e jωt m (f ) H(f ) df df u (f ) E H(f ) df Portado a primo membro l eergia E del segale ricevuto, otteiamo ua quatità che è caratteristica del sistema cosiderato. Tale quatità, per ua fissata h (f), dipede esclusivamete da H(f) e da (f), o, i modo equivalete, da H(f) e da U (f). Di cosegueza, la formula appea ricavata cosete di determiare la fuzioe di trasferimeto H(f) ottima ai fii delle prestazioi del sistema. I casi che si possoo presetare (i fase di dimesioameto) soo due: el primo caso, si fissa la forma d oda s (t) i igresso al ricevitore: questo è il caso che esamieremo i questo paragrafo e che si verifica quado risulta coveiete geerare i trasmissioe u certo tipo di forma d oda; el secodo caso, ivece, si fissa la forma d oda s u (t) che si vuole otteere i uscita dal ricevitore: questo caso sarà cosiderato successivamete, quado il requisito fodametale sarà la ecessità di otteere, i uscita dal filtro di ricezioe, forme d oda cosiddette ad itersimbolo ullo. Cosideriamo il caso i cui sia stata fissata la forma d oda s (t) (ad esempio, ua forma d oda approssimativamete rettagolare). Ovviamete, si itede fissata la forma dei segali i ricezioe e o l ampiezza e quidi l eergia, che come visto è proporzioale ad a e dipede ioltre dall atteuazioe. Il ostro obbiettivo è duque ottimizzare il sistema per ua prefissata s (t) (itesa come tipo di forma d oda). Così come el radar, l ottimizzazioe cosiste el redere massimo il rapporto tra il rapporto /N e l eergia E : N E soglia H(f ) h (f )e jωt m (f ) H(f ) df df (f ) df Tutto sta a scegliere ua fuzioe di trasferimeto opportua: ua volta trovato il massimo valore del suddetto rapporto, è possibile determiare, per ogi valore desiderato di, la N soglia corrispodete eergia E, la corrispodete ampiezza a e, i defiitiva, l eergia E T da trasmettere. 6

7 Trasmissioe umerica - Parte I Per semplicità, suppoiamo che il rumore sia biaco, per cui N E soglia H(f ) h (f )e H(f ) jωt m df df (f ) df Applichiamo uovamete la disuguagliaza di chwarz: ripetedo gli stessi idetici discorsi fatti el caso del radar, si trova che N E soglia h / dove la h è la desità spettrale moolatera di rumore ed il sego di uguagliaza (cioè la codizioe ottima) si ottiee quado la fuzioe di trasferimeto del filtro assume l espressioe tipica del filtro adattato i preseza di rumore biaco: * H(f ) k (f ) Acora ua volta, quidi, se la fuzioe di trasferimeto del filtro è proporzioale al complesso coiugato dello spettro del segale ricevuto, le prestazioi soo quelle ottimali e o dipedoo dalla forma del segale ricevuto, ma solo dalla sua eergia. U filtro così fatto è u filtro adattato. Questo è duque il procedimeto che, fissata la forma d oda s (t), porta alla ottimizzazioe del sistema tramite ua ottimizzazioe del filtro. CELTA DELLA OGLIA Così come abbiamo fatto per il sistema radar, u secodo passo importate, dopo la defiizioe del filtro i ricezioe, è quello di capire dove va sistemata la soglia, aalizzado le caratteristiche del segale i ricezioe. Queste caratteristiche o possoo che essere statistiche, i quato ci soo due motivi di casualità: i primo luogo, c è la casualità legata al fatto che il ricevitore o può sapere, per ogi itervallo di tempo, se sta ricevedo oppure ; i secodo luogo, c è la casualità legata al fatto che il rumore o è descrivibile i termii determiistici. Dobbiamo duque capire come sia fatta la fuzioe desità di probabilità del segale che giuge al sistema a soglia. Nel caso del sistema radar, avevamo dedotto che le possibilità erao due: i preseza di solo rumore, si aveva ua distribuzioe di ayleigh, metre, i preseza di eco, si aveva ua distribuzioe di ice. La differeza era dovuta alla preseza del demodulatore ad iviluppo: i u caso (asseza di eco), l igresso al demodulatore era costituito da rumore passa-bada, metre ell altro (preseza di eco), era costituito da rumore passa-bada sommato al segale. Nel caso della trasmissioe biaria, ivece, stiamo per il mometo suppoedo che o ci sia stata modulazioe i trasmissioe, per cui o c è emmeo ua demodulazioe i ricezioe, il che, ovviamete, semplifica le cose. I igresso al filtro abbiamo u rumore termico gaussiao biaco: dopo il filtraggio, questo rumore o è più biaco, ma rimae comuque gaussiao i base ad ua ota proprietà dei sistemi 7

8 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 lieari. Quidi, i uscita dal filtro, avremo u rumore gaussiao la cui fuzioe desità di probabilità è cetrata sul valore assuto dal segale 4. Le possibilità soo duque due: se è stato trasmesso u e se V è il valore del segale corrispodete ad, la campaa gaussiaa sarà cetrata su tale valore; se ivece è stato trasmesso uo e V è il valore corrispodete del segale, la campaa gaussiaa sarà cetrata su tale valore 5. f (x) f (x) V V x La fuzioe f (x) è la desità di probabilità del segale, i uscita dal campioatore, codizioata all eveto trasmesso; la fuzioe f (x) è ivece la desità di probabilità dello stesso segale, codizioata però all eveto trasmesso. Etrambe le fuzioi corrispodoo a delle gaussiae tato più larghe e schiacciate 6 quato maggiore è la variaza del rumore sovrapposto al segale utile. i tratta ioltre di gaussiae idetiche (i quato il rumore che si somma al segale è comuque ua variabile casuale a valor medio ullo), salvo ovviamete il valore medio, che differisce a secoda del simbolo che è stato trasmesso. Evidetemete, ella figura abbiamo cosiderato il caso ideale i cui le due campae o presetao praticamete alcua sovrapposizioe. Questo dipede, ovviamete, oltre che dalla variaza del rumore, dalla distaza tra i livelli V e V di tesioe. Per chiari motivi tecologici, questi due valori o possoo essere eccessivamete distaziati, per cui c è sempre ua parziale sovrapposizioe. La situazioe è duque del tipo idicato ella figura seguete: f (x) f (x) -V max +V max oglia x 4 i itede ovviamete il valore massimo del segale i uscita dal filtro (ossia il valore del quale il successivo sistema a soglia farà uso per la decisioe): i asseza di rumore, l uscita del filtro è u segale che, ell istate di campioameto, vale V se è stato trasmesso e V se è stato trasmesso. 5 I realtà, el caso più semplice, il segale è ullo quado è trasmesso lo. Tuttavia, per semplici motivi di aalogia formale co il caso i cui è stato trasmesso, coviee cosiderare u geerico valore V. 6 icordiamo che l area sottesa dalla gaussiaa deve valere sempre, per cui, quato più la campaa è larga rispetto al valor medio, tato più è schiacciata e viceversa. 8

9 Trasmissioe umerica - Parte I Ua volta misurata, ell istate prefissato di lettura, la tesioe i uscita dal campioatore, si tratta di decidere se è stato trasmesso oppure. i poe allora ua soglia : se la tesioe è superiore alla soglia, si decide per l trasmesso, metre i caso cotrario si decide per lo trasmesso. E chiaro che, i preseza di u rumore a statistica gaussiaa, o si può mai avere ua probabilità ulla di sbagliare, perché sappiamo che la gaussiaa tede solo asitoticamete a zero. Idicata, duque, co la soglia, valutiamo la probabilità di errore ei due casi: suppoiamo che sia stato trasmesso, per cui la curva cui fare riferimeto è f (x): i questo caso, il sistema sbaglia se il valore x del segale ell istate di lettura è superiore alla soglia, per cui deduciamo che la probabilità di errore vale ( ) ( ) ε P ε P x > f p (x) dx I base a questa formula, p ε corrispode all area sottesa da f (x) tra la soglia e + ; suppoiamo adesso che sia stato trasmesso, per cui dobbiamo fare riferimeto a f (x): i questo caso, il sistema sbaglia se il valore x del segale ell istate di lettura è iferiore alla soglia, per cui la probabilità di errore vale ε P( ε ) P( x < ) f p (x) dx I base a questa formula, p ε corrispode all area sottesa da f (x) tra - e la soglia. i tratta, adesso, si scegliere il valore della soglia. A tal fie, dobbiamo valutare la probabilità di errore complessiva del sistema: tale probabilità, applicado il oto teorema delle probabilità totali, vale p( ε) p(t)p ε + p(t)p ε ( ) ( ) dove p (T ) e p (T) soo, rispettivamete, la probabilità di aver trasmesso e la probabilità di avere trasmesso. Tali probabilità, i geerale, soo uguali (pari quidi a.5), i quato ua geerica sequeza biaria avrà uo stesso umero di e di : poedo allora p T p(t) p(t), abbiamo che [ P( ε ) + P( ε ) ].5 [ P( ε ) + P( ) ] p( ε) pt ε A questo puto, proprio perché i simboli ed soo equiprobabili, è chiaro che coviee porre la soglia esattamete el puto i cui si itersecao le curve corrispodeti a f (x) e f (x), il che avviee al cetro tra i valori V e V : V V + Così facedo, ache le sigole probabilità di errore P( ε ) e ( ) etrambe uguali a P( ε T), cocludiamo duque che p( ε).5 P ( ε T) P( ε T) P ε soo uguali. Poedole 9

10 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 Abbiamo cioè cocluso che la probabilità di errore del sistema è pari alla probabilità di sbagliare il sigolo bit. Le cose cambiao, ovviamete, se i simboli e del messaggio trasmesso o soo equiprobabili: per esempio, se è più probabile il simbolo (quidi p (T) > p(t) ), allora ci coverrà porre la soglia più lotaa dal valore V, i modo che P( ε ) < P( ε ). A questo puto, è iteressate osservare l aalogia tra la probabilità di errore i u sistema di trasmissioe umerica ed il rapporto segale/rumore i u sistema di trasmissioe aalogica. Possiamo i particolare cosiderare, come sistema aalogico, proprio il sistema radar, che, come visto, preseta forti aalogie co il sistema umerico almeo per quato riguarda la fase coclusiva di decisioe: i quel caso, per otteere u buo fuzioameto del sistema i termii di risoluzioe radiometrica, era importate il rapporto /N i igresso al sistema a soglia, metre i questo caso, per otteere u buo fuzioameto del sistema i termii di fedeltà della sequeza i uscita, è importate miimizzare la probabilità di errore. Potremmo d altra parte ragioare ache i questo caso i termii di rapporto /N i igresso al sistema a soglia, proprio perché la atura biaria del sistema viee fuori tipicamete all uscita del sistema a soglia. Per quato riguarda il segale, ci iteressa il picco che il segale raggiuge, ad opera del filtro adattato, ell istate di lettura e i corrispodeza della trasmissioe di u (ella trasmissioe dello, il segale è ullo per le ipotesi fatte fio ad ora): possiamo perciò ragioare i termii determiistici e dire che ci iteressa il valore V. Per quato riguarda, ivece, il rumore, dobbiamo ecessariamete ragioare i termii statistici: il parametro del rumore che meglio quatifica l iflueza del rumore stesso sul fuzioameto del sistema è ovviamete la deviazioe stadard σ, che rappreseta lo scostameto del segale, dovuto apputo al rumore, rispetto al valore atteso V. I defiitiva, quidi, il rapporto cui potremmo fare riferimeto, per il dimesioameto del sistema, è il rapporto V σ, che adrebbe perciò reso massimo. I termii di rapporto /N vero e / proprio, dovremmo ivece far riferimeto al rapporto V tra la poteza di picco del segale e / VN,eff la poteza media del rumore (rappresetata dal quadrato del valore efficace del rumore stesso). CODIFICA ANTIPODALE E CODIFICA OTOGONALE A partire da questo paragrafo, vogliamo capire quali criteri vao seguiti per la scelta delle forme d oda da associare ai simboli logici e. Il modo più ituitivo di procedere è quello di associare ua forma d oda s (t) alla trasmissioe di uo e ua diversa forma d oda s (t) alla trasmissioe di u. e si adotta questa scelta, a prescidere da come siao fatte le due forme d oda, il primo problema che si poe è sul filtro i ricezioe, che potrà essere adattato ad ua sola delle due forme d oda. E sufficiete, allora, disporre due distiti filtri, uo adattato a s (t) e l altro adattato a s (t): s(t) H (f) H (f) s,u (t) s,u (t) s,u (kt) s,u (kt) > <,

11 Trasmissioe umerica - Parte I L adattameto dei due filtri è tale, quidi, che oguo di essi massimizzi la propria uscita, ell istate di lettura, quado riceve i igresso il proprio segale, ossia s (t) per H (f) e s (t) per H (f). Cofrotado semplicemete le due uscite, basterà fare riferimeto a quella di valore maggiore per decidere se è stato trasmesso oppure : se s,u (kt) > s, u (kt), allora il simbolo trasmesso è ; se s,u (kt) < s, u (kt), allora il simbolo trasmesso è ; I modo del tutto equivalete, se s (kt) s (kt), allora il simbolo trasmesso è, altrimeti,u, u > il simbolo trasmesso è. Questo sigifica che, ua volta fatta la differeza tra i due segali campioati, l orgao decisore può semplicemete essere u comparatore, ossia u sistema a soglia zero: s(t) H (f) H (f) s,u (t) s,u (t) s,u (kt) + - s,u (kt) + soglia a zero, Il problema successivo è quidi quello di scegliere le due forme d oda s (t) e s (t) i modo che lo schema appea tracciato fuzioi el modo migliore possibile. Ci soo allora almeo due criteri possibili. U primo criterio cosiste el fare i modo che, quado l uscita di u filtro è massima, l altra è ivece ulla: s (kt) s (t) e s, u (kt) ; s e (kt) avedo trasmesso, deve risultare,u [,u ] MAX avedo trasmesso, deve risultare,u (kt) [ s,u (t)] MAX s, u i parla, i questo caso, di codifica ortogoale. Il motivo di questo ome è semplice: sia s(t) il segale che giuge dal mezzo trasmissivo; questo segale va i igresso ai due filtri adattati, ciascu dei quali, per quato sappiamo dallo studio dei sistemi lieari tempo-ivariati, effettua semplicemete la covoluzioe di s(t) co la propria risposta all impulso: u (t) Nel caso del filtro adattato, abbiamo allora che * H (f ) (f ) s * H (f ) (f ) s x(t) * h(t),u,u (t (t m m ) ) s( α)s s( α)s ( α)dα ( α)dα

12 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 uppoiamo allora che sia stato trasmesso lo, per cui s(t)s (t): l uscita del primo filtro deve essere massima, metre l altra deve essere ulla, per cui la codizioe che le due forme d oda devoo rispettare è s ( α)s ( α)dα Questa è la defiizioe di segali ortogoali tra loro. La stessa codizioe si ottiee, ovviamete, el caso di trasmesso, impoedo che sia ulla l uscita del primo filtro. i può fare, però, qualcosa di acora migliore: si può fare i modo che, quado ua uscita è massima i positivo, l altra sia massima i egativo. Questo tipo di codifica di liea è detta codifica atipodale. E molto facile otteere ua codifica atipodale: basta usare la stessa forma d oda per la trasmissioe di e, cambiata però di sego. Per esempio, se la forma d oda corrispodete ad è u rettagolo di ampiezza +V, quella associata a sarà lo stesso rettagolo, ma di ampiezza -V. E chiaro che, co questa scelta, i due filtri i ricezioe differirao semplicemete per il sego: s(t) -H(f) H(f) s,u (t) s,u (t) s,u (kt) s,u (kt) > <, Quado il simbolo è, si trasmette -s(t) e si ottiee la massima uscita positiva dal ramo superiore e la massima uscita egativa dal ramo iferiore; il cotrario si ottiee ivece quado il simbolo è, ossia trasmettedo s(t). Questa codifica riduce la probabilità di errore. Per redercee coto, facciamo il discorso seguete. Cosideriamo per prima la codifica ortogoale, icludedo questa volta il rumore: s(t) + (t) H (f) H (f) s,u (t)+ (t) + - s,u (t)+ (t) + w(t) soglia a zero, (per semplicità, abbiamo trascurato di idicare il campioameto all uscita dei filtri). Nel caso i cui sia stato trasmesso s (t), l uscita del primo filtro è massima, metre quella del secodo è ulla. Quidi, il segale i igresso al comparatore è [ s (t)] + (t) (t) V + (t) (t) w(t),u MAX MAX

13 Trasmissioe umerica - Parte I e ivece è stato trasmesso s (t), il segale diveta [ s (t)] (t) V + (t) (t) w(t) (t),u MAX MAX I etrambi i casi, il rumore sovrapposto è (t)- (t), metre il valore di picco del segale è, i modulo, lo stesso. Dato che il successivo campioatore deve misurare il valore massimo del segale i uscita dal filtro, possiamo allora affermare che la distribuzioe statistica del segale i uscita dal campioatore è quella illustrata ella figura seguete: f (x) f (x) -V max +V max oglia x La distaza tra le campae, cetrate sui valori +V max e -V max. Passiamo alla codifica atipodale: s(t) + (t) -H(f) H(f) s,u (t)- (t) + - s,u (t)+ (t) + w(t) soglia a zero, Nel caso i cui sia stato trasmesso s (t), l uscita del primo filtro è al massimo positivo, metre l uscita del secodo è al massimo egativo, per cui il segale i igresso al campioatore è [ s (t)] (t) [ s (t)] (t) V (t) w(t),u,u MAX MAX Il rumore che esce dai due filtri è ovviamete lo stesso trae u cambiameto di sego, ed è ovvio che sia così, i quato i due filtri hao la stessa fuzioe di trasferimeto, salvo il sego, e ricevoo i igresso lo stesso rumore. e ivece è stato trasmesso s (t), il segale è MAX [ s (t)] (t) [ s (t)] (t) V (t) w(t),u,u MAX MAX I questo caso, quidi, il rumore sovrapposto ha la stessa etità di prima, ma le due campae soo cetrate su -V max e +V max, ossia soo a distaza doppia rispetto a prima. Questo fa si che MAX 3

14 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 dimiuisca l area sottesa dalle code delle gaussiae delimitate dalla soglia, ossia che dimiuisca la probabilità di errore. I defiitiva, la codifica atipodale risulta sicuramete preferibile, rispetto alla codifica ortogoale, dal puto di vista della miimizzazioe della probabilità di errore. Ovviamete, questo vale ell ipotesi che, i etrambi i casi, il picco del segale i uscita dal filtro sia V MAX o -V MAX. Questo o è l uico criterio valido per la scelta della codifica: è ache importate valutare quata poteza serve trasmettere el caso di ua o dell altra codifica. Ifatti, è abbastaza ituitivo 7 compredere che si può otteere la stessa probabilità di errore, co la codifica ortogoale e co quella atipodale, scegliedo diversamete i valori massimi e miimi i uscita dai filtri: proprio perché il fattore determiate è la distaza tra le campae gaussiae, se si imposta ua codifica atipodale dove i valori di uscita soo +V max e -V max, si ottiee ua probabilità di errore esattamete pari a quella che ottiee co ua codifica ortogoale dove i valori di uscita soo e V max. I altre parole, cosiderado ad esempio la sequeza (che si legge uo-zero), si ottiee la stessa probabilità di errore trasmettedo le segueti forme d oda: codifica OTOGONALE codifica ANTIPODALE A A/ t -A/ t Le due forme d oda vao però cofrotate dal puto di vista della poteza di picco e della poteza media. Per quato riguarda la poteza di picco, è ovvio che el caso della codifica atipodale è miore: il valore di picco è metà rispetto a quello della codifica ortogoale, per cui la poteza di picco è /4, ossia 6dB iferiore: ortogoale V picco P picco V picco atipodale V picco / P V / 4 picco picco D altra parte, metre ella codifica ortogoale o dobbiamo trasmettere ulla quado il simbolo è, ella codifica atipodale dobbiamo trasmettere ivece u rettagolo di ampiezza -A/, il che va evidetemete a svataggio della poteza media: ifatti, si trova ifatti che la poteza media associata alla codifica ortogoale è V /, metre quella associata alla codifica atipodale è picco, ort V picco,at (doppia della precedete). e i due valori di picco soo uguali, la codifica ortogoale cosete duque u risparmio di 3dB di poteza media; al cotrario, se il picco ell atipodale è metà di quello ella ortogoale, come supposto prima, la situazioe si iverte: la poteza media della codifica atipodale diveta metà dell altra, per cui è la codifica atipodale che ci fa risparmiare 3dB di poteza media. 7 i può ache fare ua verifica aalitica 4

15 Trasmissioe umerica - Parte I Il motivo del risparmio è el fatto che la forma d oda el caso ortogoale è pari a quella el caso atipodale, cui però è sovrapposta ua cotiua che avrà ua certa poteza. Quidi, co la codifica atipodale possiamo risparmiare la spesa di iviare i liea ua poteza media costate (tesioe cotiua), che peraltro o porta alcua iformazioe ed è del tutto iutile per il fuzioameto del sistema di trasmissioe. La coclusioe è duque che, scelti opportuamete i picchi (i modo da garatire la stessa probabilità di errore fiale), la codifica atipodale è sempre preferibile. POBLEMA DELL INTEFEENZA DI INTEIMBOLO Nel paragrafo precedete abbiamo esamiato alcui semplici criteri co cui scegliere le forme d oda elemetari s (t) ed s (t) da associare ai simboli ed e da iviare all igresso del filtro adattato: u primo criterio è quello della ortogoalità, metre l altro è quello di adottare forme d oda idetiche a meo del sego. U altro importatissimo criterio co cui effettuare questa scelta riguarda il problema dell iterfereza di itersimbolo: abbiamo visto che, i corrispodeza di ciascu segale elemetare ricevuto i igresso, il filtro adattato geera ua certa forma d oda, la quale, ell istate di lettura, preseta il massimo valore possibile, i modo da facilitare il fuzioameto del successivo del sistema a soglia; tuttavia, tale forma d oda o si esaurisce dopo u tempo T, per cui va a sommarsi, sia pure co ampiezza ridotta, sia alle forme d oda corrispodeti ai simboli successivi sia a quelle corrispodeti ai simboli precedeti, adado perciò ad ifluezare gli altri campioameti. Questo è apputo il cocetto dell iterfereza tra simboli successivi o iterfereza itersimbolo. Cosideriamo u esempio cocreto. uppoiamo che la forma d oda i uscita dal filtro adattato e corrispodete alla trasmissioe di u sia quella idicata ella figura seguete: T (+)T (+)T t Come si vede, essa preseta il massimo valore ell istate T, che quidi sarà l istate di lettura, ma preseta ache dei massimi secodari i istati successivi. uppoiamo allora che il successivo simbolo trasmesso sia, per cui la forma d oda trasmessa è ulla (suppoedo ua codifica ortogoale). Il campioatore adrà a leggere il valore del segale ell istate (+)T e troverà ua tesioe o ulla (come dovrebbe ivece essere), dovuta alla composizioe delle forme d oda dei simboli precedeti e successivi (quelle più iflueti soo ovviamete relative al simbolo immediatamete precedete ed a quello immediatamete successivo): se il valore di tale tesioe è superiore alla soglia, il decisore iterpreterà il simbolo trasmesso come u, commettedo perciò u errore. No solo, ma se il simbolo trasmesso fosse stato effettivamete u, la composizioe dei massimi secodari corrispodeti alle varie forme d oda potrebbe portare ad errori sui simboli 5

16 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 successivi, così come ache la composizioe dei miimi, che potrebbero portare il segale al di sotto della soglia quado ivece dovrebbe rimaere al di sopra per idicare che è stato trasmesso u. E chiaro che questa situazioe è itollerabile, per cui bisoga porvi rimedio. U rimedio molto semplice potrebbe essere il seguete: dato che u sistema reale è causale, basterebbe teer coto degli ultimi simboli trasmessi e cacellare di volta i volta l iterfereza. I altre parole, ua volta accertato quale sia il simbolo trasmesso, basta geerare localmete la corrispodete forma d oda e sottrarla a quella ricevuta. Questo, però, fuzioerebbe se o ci fossero errori ell iterpretazioe: i preseza di ache u solo errore, si perderebbe completamete la sequeza giusta. Il problema, duque, si può porre ei segueti termii: oltre a sfruttare al massimo l eergia della sigola forma d oda (giugedo così al cocetto del filtro adattato), è ecessario otteere, i uscita dal filtro, delle forme d oda co la miore iterfereza reciproca possibile. Vediamo allora quali possoo essere queste forme d oda. U primo esempio potrebbe essere la fuzioe eo Cardiale idicata prima, avete la seguete espressioe aalitica: si( πf Ct) s(t) Q πf t Nella figura seguete vegoo riportati la forma d oda e il corrispodete spettro (che deve racchiudere u area pari a Q): C Le oscillazioi laterali che compaioo i questa forma d oda decrescoo letamete allotaadosi dall impulso pricipale. Precisamete, esse variao iversamete al tempo, cioè co / t. Lo spettro è costate sull itervallo [,f C ]. Il valore della bada f C di questo segale può essere scelto impoedo che la forma d oda sia praticamete coteuta ell itervallo T: quato maggiore è f C, tato maggiore è l atteuazioe. i verifica, ifatti, che l ampiezza delle oscillazioi diveta / dell ampiezza massima ell istate per cui f C t > 3, metre diveta / ell istate per cui f C t > 3. Per otteere u decremeto acora più rapido delle oscillazioi laterali si può pesare ad u segale il cui spettro, aziché essere costate ella bada f C, abbia ua trasizioe più graduale dal valore massimo al valore. Per esempio, ella figura seguete è riportato uo spettro a forma di cos e la corrispodete forma d oda: 6

17 Trasmissioe umerica - Parte I L espressioe aalitica di questa forma d oda, che per semplicità o riportiamo, idica che, per t abbastaza più grade di / f, l ampiezza delle oscillazioi tede ad essere iversamete proporzioale a zero (che si verifica per massima. C 3 t aziché a t come el caso precedete. Da qui cosegue che già dopo il primo t / f C ) l ampiezza delle oscillazioi è meo di / rispetto all ampiezza Osservazioe I due esempi appea descritti mostrao ua cosa iteressate: fissato u certo ritmo di trasmissioe /T dei segali elemetari e fissata ache la massima iterfereza tollerabile tra forme d oda adiaceti, è possibile idividuare u tipo di forma d oda caratterizzata dalla miima bada f C possibile. Questo è il motivo per cui, voledo occupare la miima bada possibile, coviee trasmettere tutti i segali elemetari co ua stessa forma d oda distiguedoli uo dall altro per la diversa ampiezza. Le due forme d oda precedetemete illustrate hao duque la caratteristica di esaurirsi i modo più o meo veloce, garatedo così ua iterfereza, tra forme d oda adiaceti, tato miore quato maggiore è l atteuazioe el tempo. D altra parte, però, si può fare ua osservazioe importate: se l uico parametro variabile, per ciascua forma d oda elemetare, o è la forma ma l ampiezza, o è i effetti ecessario che le successive forme d oda si esauriscao praticamete ell itervallo; al cotrario, è sufficiete che esse, pur sovrappoedosi el tempo, cosetao comuque la determiazioe precisa delle rispettive ampiezze. Per compredere questa cosiderazioi, basta cosiderare uovamete la forma d oda eo Cardiale prima illustrata: 7

18 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 i osserva che gli zeri di questa forma d oda soo distaziati, dall impulso pricipale, di multipli di /f C. Allora, se si fa i modo che, ad ogi itervallo T/f C, vega fuori dal filtro ua forma d oda come quella di figura, i vari simboli, ache se sovrapposti, risultao perfettamete distiguibili, i quato, effettuado la lettura (o campioameto) della forma d oda complessiva egli istati multipli di /f C, soltato l impulso corrispodete al simbolo voluto è diverso da zero. La figura seguete mostra il risultato di ua simile scelta, idicado 5 diverse forme d oda elemetari e la loro sovrapposizioe: Effettuado la lettura egli istati idicati dalle freccette, si ottiee sempre e solo l ampiezza massima della forma d oda associata al simbolo di iteresse. Forme d oda come queste si dicoo ad itersimbolo ullo: esse hao il valore massimo el proprio istate di campioameto e valgoo ivece zero egli altri istati di campioameto, i modo da o iterferire co le forme d oda successive. i parla ache di forme d oda a zeri equidistati, proprio perché gli istati i cui valgoo zeri, corrispodedo agli istati di campioameto, soo equidistati tra loro. Questa soluzioe preseta diversi vataggi (tra i quali quello di cosetire la massima velocità di trasmissioe compatibile co ua certa bada assegata), ma è molto critica da u altro puto di vista: è sufficiete che ci sia u piccolo errore ell istate di campioameto, perché il cotributo degli impulsi adiaceti a quello cosiderato diveti molto importate. A questa soluzioe critica se e possoo sostituire delle altre, che soo meo critiche a prezzo però di ua maggiore occupazioe di bada (a parità di velocità). Per esempio, riprediamo la forma d oda il cui spettro ha forma di cos : 8

19 Trasmissioe umerica - Parte I Ache i questo caso, gli zeri risultao equidistati tra loro e dall impulso pricipale, per cui ache questa forma d oda è ad itersimbolo ullo. La distaza tra uo zero e l altro vale /f C, il che sigifica che la trasmissioe deve evetualmete avveire scegliedo f C /T. Nel caso precedete, bisogava ivece predere f C /T, ossia ua bada metà di quella cosiderata i questo caso: Forme d oda di Nyquist Le due forme d oda cosiderate prima o soo frutto di tetativi, ma soo deducibili da proprietà geerali, alle quali si giuge durate la ricerca degli spettri delle forme d oda che presetao zeri equidistati tra loro e dall impulso pricipale. Vediamo allora come si procede. Cosideriamo ua forma d oda geerica s(t). uppoiamo che essa preseti degli zeri equidistati: aaliticamete, se vogliamo che gli zeri siao egli istati t ±kt, co k,,..., dobbiamo imporre che s ± kt k, ( ),... e adesso idichiamo co (f) lo spettro (bilatero) di questo segale, possiamo esprimere s(t) come atitrasformata di Fourier: s(t) jπft (f )e df Impoedo la codizioe sugli zeri equidistati, questa diveta s ± jπfkt ( ± kt ) (f )e df (*) La codizioe così otteuta è ua codizioe sullo spettro di s(t). Vogliamo allora rederci coto di cosa comporti questa codizioe. uppoiamo allora di avere u segale X(f) il cui spettro è otteuto ripetedo (f) co periodo pari a /t : X(f ) k f k t Ua operazioe di questo tipo è illustrata ella figura seguete: 9

20 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 Trattadosi di ua fuzioe periodica, X(f) è esprimibile tramite ua serie di Fourier; si tratterebbe di calcolare i coefficieti dello sviluppo. Tuttavia, se impoiamo che (f) soddisfi alla codizioe idicata dalla (*), si trova che i termii dello sviluppo soo tutti ulli trae quello costate. I altre parole, quidi, se (f) rispetta la codizioe (*), X(f) è ua fuzioe costate: X(f ) + f k t k K D altra parte, X(f) è ua ripetizioe periodica di (f), per cui (f) potrà baalmete essere a sua volta costate, ovviamete ell itervallo /t : (f ) K Quidi, ua soluzioe del problema è quella idicata co (liea a tratto cotiuo) ella figura seguete, dove soo idicati sia lo spettro sia la corrispodete forma d oda: Abbiamo cioè otteuto acora ua volta la fuzioe eo Cardiale. Il valore della costate K si ricava facilmete: l area sottesa da (f), che per la formula di atitrasformazioe corrispode a s(), è pari all area sottesa, ell itervallo /t, dalla retta corrispodete a K: quidi s () K K s()t t Quello trovato, però, o è l uico spettro (f) che soddisfa la (*) e cioè la codizioe di zeri equidistati el tempo. Ci soo ifatti ifiite altre fuzioi (f) che, ripetute co periodo /t, diao luogo ad ua costate K. I base ai discorsi fatti, si tratta di tutte le fuzioi tali che

21 Trasmissioe umerica - Parte I k K s()t f k t Naturalmete, è sufficiete che questa codizioe sia soddisfatta el periodo /t (siamo el domio della frequeza), per cui ad esempio si può imporre che valga ell itervallo, + : t t k t f K s()t - f k t t Dato che siamo iteressati a spettri co bada limitata (i quato è limitata la bada a disposizioe sul mezzo trasmissivo), cosideriamo solo fuzioi (f) limitate tra -/t e /t : se idichiamo co f /t la frequeza di ripetizioe degli impulsi, (f) deve essere limitato tra ±f. I defiitiva, lo spettro che ricerchiamo deve godere delle segueti proprietà: (f ) k t f k s()t f f - f f -f f f Le forme d oda il cui spettro soddisfa queste codizioi appartegoo alla cosiddetta famiglia di Nyquist. La fuzioe più semplice, come si è visto prima, è il eo Cardiale. Proprio dallo spettro rettagolare del eo Cardiale si ottegoo altri spettri che fao al caso ostro: basta aggiugere a tale spettro ua fuzioe dispari itoro alle frequeze ± f / (e ovviamete pari itoro a f, i modo da avere forme d oda reali). Alcui esempi di fuzioi del geere soo riportati ella stessa figura di prima: si tratta di spettri co trasizioe cosiusoidale, compredeti ache il caso estremo i cui l itervallo di trasizioe occupa tutta l estesioe dello spettro. Tra queste fuzioi, c è ache quella co spettro a forma di cos di cui si è parlato prima. All aumetare della trasizioe dello spettro, le odulazioi temporali, che precedoo e seguoo l impulso pricipale, vao dimiuedo di importaza. I questo modo, si ha a disposizioe u isieme di forme d oda, tutte co gli zeri ei puti desiderati, tra cui si può scegliere adottado u adeguato compromesso tra criticità della soluzioe e bada occupata: lo spettro rettagolare è evidetemete quello co la bada miima possibile; lo spettro a forma di cos dà ivece luogo ad u impulso la cui ampiezza, per t > t, o supera mai / dell ampiezza dell impulso pricipale: questo sigifica che, per segali che tollerao ua iterfereza itersimbolo di /, come proprio i segali umerici, o ha importaza l esatta sicroizzazioe tra la durata dell impulso e il periodo di ripetizioe degli impulsi.

22 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 oll off delle forme d oda ad itersimbolo ullo C è u parametro che quatifica lo smorzameto dello spettro del segale cosiderato: si f C defiisce, ifatti, roll off (simbolo: δ) il rapporto l itervallo di frequeza f f X (dove f X è la cifra): δ f f C f frequeza a partire dalla quale comicia lo smorzameto) e la frequeza C (metà della frequeza di f C f f C X Nel caso della fuzioe eo Cardiale, lo spettro ha trasizioe etta dal valore massimo al f valore miimo, il che sigifica che f C X, ossia che f e quidi ache δ. Nel caso, ivece, del Coseo rialzato (liea tratteggiata ell ultima figura riportata), risulta f X e quidi δ. Il roll off, i base alle cosiderazioi fatte prima, quatifica ache la bada occupata dal segale cosiderato: ifatti, è evidete che tale bada è fc B + f f C f C f C + δ ( δ + ) Come già detto prima, all aumetare dell roll off, ossia al dimiuire dello smorzameto dello spettro, aumeta la bada utilizzata e quidi aumeta la velocità di decadimeto a zero della fuzioe el tempo. Ovviamete, si ottegoo sempre forme d oda che tedoo asitoticamete a zero, per cui soo di durata teoricamete ifiita; d altra parte, però, tali forme d oda possoo essere riteute ulle quado il loro valore scede al di sotto del livello del rumore. FOMA D ONDA DA TAMETTEE Nei paragrafi precedeti abbiamo duque fissato u basilare vicolo el ostro sistema di trasmissioe umerico: abbiamo ifatti stabilito che, all uscita dal filtro i ricezioe, è ecessario otteere forme d oda a itersimbolo ullo. Il secodo vicolo da soddisfare è evidetemete quello di garatire che l itero sistema fuzioi, co ua accettabile probabilità di errore, co la miima poteza trasmessa. Ci soo allora vari modi di procedere: il primo modo è quello di fissare il tipo di filtro i ricezioe: i questo caso, come si vedrà tra u attimo, risulta automaticamete fissata la fisioomia del segale che dobbiamo trasmettere sul mezzo trasmissivo i modo che giuga al ricevitore e garatisca le prestazioi desiderate; u secodo modo è ivece quello di scegliere la forma d oda s t (t) più comoda per la trasmissioe: i questo caso, va quidi determiato il filtro ottimo i ricezioe, che produca cioè le prestazioi ottime del sistema compatibilmete co l otteimeto dell itersimbolo ullo i uscita;

23 Trasmissioe umerica - Parte I u ultimo modo è, ifie, quello di fissare sia s t (t) sia la forma d oda s u (t) i uscita dal filtro, dopo di che quest ultimo resta determiato a priori; i particolare coviee effettuare l aalisi per diverse coppie s t (t), s u (t) i modo da disporre di opportue possibilità di scelta. I questo paragrafo ci occupiamo del primo modo di procedere, metre successivamete sarao esamiati gli altri modi. uppoiamo, duque, di aver stabilito quale debba essere la forma d oda i uscita dal filtro di ricezioe: dovrà trattarsi di ua forma d oda ad itersimbolo ullo e co u assegato roll off (ad esempio δ se vogliamo ua forma d oda del tipo si (t) / t ). I secodo luogo, al fie di massimizzare il rapporto /N i uscita dal filtro e quidi dal successivo campioatore, suppoiamo di fissare ache il filtro, scegliedo u filtro adattato al segale ricevuto. Allora, se è fissata la forma d oda i uscita ed è fissato il filtro, risulta automaticamete fissata la forma d oda i igresso al filtro stesso. I realtà, è facile accorgersi che è fissato solo il modulo dello spettro di tale forme d oda, metre rimae acora da fissare la fase. ia j (f ) (f ) (f ) e lo spettro della forma d oda i igresso al filtro: essedo quest ultimo, per ipotesi, adattato, avrà ua fuzioe di trasferimeto H(f ) (f ) e j (f ) Il prodotto tra le due fuzioi rappreseta lo spettro della forma d oda i uscita dal filtro: si tratta evidetemete di X (f ) (f ) u questo spettro dobbiamo imporre il vicolo che corrispoda ad ua forma d oda ad itersimbolo ullo. Di cosegueza, tale vicolo fissa solo il modulo dello spettro del segale da ricevere. No ci soo ivece vicoli sulla fase di (f) ed è ovvio che sia così: quale che sia questa fase, ci pesa comuque il filtro adattato ad elimiarla. Abbiamo quidi la totale libertà di scelta sulla fase di (f). Come spediamo questo grado di libertà? E ovvio che lo spediamo i modo da otteere u segale particolarmete facile da maeggiare. Coviee allora scegliere e i modo che la forma d oda corrispodete abbia il fattore di picco 8 più piccolo possibile. Per compredere il sigificato di questa scelta, cosideriamo due siusoidi, ua di ampiezza A e frequeza f e l altra di ampiezza A /3 e frequeza 3f : j (f ) 8 Il fattore di picco di u segale è il rapporto tra la poteza di picco e la poteza media. 3

24 Apputi di Comuicazioi Elettriche - Capitolo 7 uppoiamo di sommare le due forme d oda: la poteza media della somma è sempre la stessa, quale che sia lo sfasameto tra le due, proprio perché la poteza media di ciascua di esse è la stessa. Ciò che cambia, ivece, al variare dello sfasameto è il valore di picco e quidi la poteza di picco. e le due siusoidi soo i fase, come ella figura precedete, allora la loro composizioe da origie alla seguete forma d oda (sempre a valor medio ullo): Ad esempio, se le due siusoidi hao ampiezza V e 3V, il valore di picco della loro somma risulta essere.87v. e, ivece, le due siusoidi soo sfasate di 8, la forma d oda risultate è la seguete (sempre a valor medio ullo): Il valore di picco risulta essere V. La poteza di picco è quidi decisamete maggiore rispetto a prima, a parità di poteza media: il fattore di picco è aumetato. I defiitiva, variado la fase relativa delle compoeti spettrali, si modifica la forma della fuzioe el tempo, modificado così il fattore di picco. Il pricipio cui atteersi, come detto, è quello di miimizzare il fattore di picco, i modo da evitare la saturazioe degli amplificatori. Cei sulla formazioe delle forme d oda i trasmissioe E opportuo soffermarsi brevemete sul problema di come geerare prefissate forme d oda i trasmissioe. U metodo molto comodo è quello di utilizzare lo schema idicato ella figura seguete: 4