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3 Scienza e tecnica 6

4 Il volume è corredato da materiali consultabili on line sul nostro sito internet, segnalati dal simbolo all interno del testo. I lettori che desiderano informazioni sui volumi pubblicati dalla casa editrice possono rivolgersi direttamente a: Carocci editore Via Sardegna, 50 tel fax Visitateci sul nostro sito Internet

5 Flaminio Flamini Alessandro Verra Matrici e vettori Corso di base di geometria e algebra lineare Carocci editore

6 1 a edizione, dicembre 2007 copyright 2007 by Carocci editore s.p.a., Roma Realizzazione editoriale CompoMat s.r.l., Configni (RI Finito di stampare nel dicembre 2007 dalle Arti Grafiche Editoriali s.r.l., Urbino ISBN Riproduzione vietata ai sensi di legge (art. 171 della legge 22 aprile 1941, n. 633 Senza regolare autorizzazione, è vietato riprodurre questo volume anche parzialmente e con qualsiasi mezzo, compresa la fotocopia, anche per uso interno o didattico.

7 Indice 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici Sistemi di equazioni lineari Matrici Riduzione per righe di una matrice Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari 30 Quesiti ed esercizi 36 2 Matrici e loro rango Prodotto di matrici Matrici invertibili Rango di una matrice Teorema di Rouché-Capelli 54 Quesiti ed esercizi 56 3 Matrici quadrate e determinanti Determinanti Calcolo dei determinanti Determinanti e matrici invertibili Complementi ed applicazioni 66 Quesiti ed esercizi 69 4 Spazi vettoriali L origine della nozione di vettore Definizione ed esempi di spazi vettoriali Sistemi di vettori linearmente indipendenti Spazi vettoriale di dimensione finita Componenti di un vettore e cambiamenti di base 93 Quesiti ed esercizi 99 5 Prodotti scalari Prodotto scalare geometrico 101

8 5.2 Prodotti scalari Prodotti scalari e matrici simmetriche Perpendicolarità e basi ortogonali Basi ortonormali e matrici ortogonali 115 Quesiti ed esercizi Spazi euclidei Lo spazio della geometria euclidea Coordinate cartesiane Alcune proprietà metriche Trasformazioni affini Isometrie Orientazione di spazi vettoriali 147 Quesiti ed esercizi Geometria del piano cartesiano Interpretazione geometrica di angoli convessi fra vettori di R Punti e rette del piano cartesiano R Intersezioni Formule di geometria in R Fascidirette Trasformazioni del piano cartesiano Circonferenze 181 Quesiti ed esercizi Geometria dello spazio cartesiano Prodotto vettoriale e prodotto misto dello spazio vettoriale R 3. Interpretazioni geometriche Punti, rette e piani dello spazio cartesiano R Intersezioni Fasci e stelle di piani, stelle di rette, fasci di rette su un piano Formule di geometria di R 3 220

9 8.6 Trasformazioni dello spazio cartesiano Sfere e circonferenze 237 Quesiti ed esercizi Applicazioni lineari Definizioni ed esempi Nucleo ed immagine di un applicazione lineare Applicazioni lineari e matrici Operazioni tra applicazioni lineari 255 Quesiti ed esercizi Operatori lineari Generalità su operatori lineari e diagonalizzazione Autovalori ed autovettori Ricerca di autovalori ed autovettori Polinomio caratteristico Complementi ed ulteriori esempi 271 Quesiti ed esercizi Matrici ortogonali, simmetriche ed operatori associati Operatori e matrici ortogonali Operatori autoaggiunti e matrici simmetriche Operatori autoaggiunti e forme quadratiche Autovalori di una matrice simmetrica Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti Forme canoniche delle forme quadratiche reali 296 Quesiti ed esercizi Coniche del piano cartesiano R Preliminari sui polinomi in due indeterminate Prime definizioni Alcune proprietà metriche ed affini delle coniche Forme canoniche metriche delle coniche 312

10 12.5 Riduzione a forma canonica metrica delle coniche. Classificazione metrica Forme canoniche affini delle coniche Riduzione a forma canonica affine delle coniche. Classificazione affine 325 Quesiti ed esercizi Quadriche dello spazio cartesiano R Prime definizioni Forme canoniche euclidee delle quadriche Riduzione a forma canonica metrica delle quadriche. Classificazione metrica Forme canoniche affini delle quadriche Riduzione a forma canonica affine delle quadriche. Classificazione affine 358 Quesiti ed esercizi 360 Bibliografia 363

11 Introduzione Matrici e vettori sono due termini che ben rappresentano quel più vasto sistema di nozioni, esercizi ed esempi da cui è abitualmente costituito un primo corso universitario dedicato all apprendimento degli strumenti di base dell algebra lineare e della geometria. Tali termini, che concorrono a formare il titolo di questo libro, possono allora servire per indicarne, anche se molto sinteticamente, le finalità. Esso si propone, infatti, di offrire una trattazione ampia e sistematica, ma nello stesso tempo di carattere elementare, dei principali capitoli della geometria e dell algebra lineare di base. Il libro è dunque rivolto agli studenti ed ai docenti delle facoltà di area scientifica e tecnica delle nostre università e specialmente agli studenti dei vari corsi di studio di Ingegneria e di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali. Esso si colloca, per quanto riguarda i contenuti, in un ambito ben conosciuto e sperimentato. Una grossa parte della trattazione riguarda infatti i seguenti argomenti: lo studio dei sistemi di equazioni lineari e delle matrici, il calcolo dei determinanti, la teoria degli spazi vettoriali, le nozioni di prodotto scalare e di base ortonormale, la geometria analitica piana e spaziale, la nozione di applicazione lineare, lo studio degli autovettori di un endomorfismo, la diagonalizzazione di matrici, le forme quadratiche reali e la loro classificazione e la classificazione delle coniche del piano e delle quadriche dello spazio. Pertanto, prima di descrivere la successione dei capitoli del testo ed il dettaglio del loro contenuto, ci sembra maggiormente utile fornire alcune indicazioni sull impostazione generale di questo testo e su ciò che può caratterizzarlo tra gli altri dello stesso tipo. Tre sono le esigenze, certamente collegate, a cui abbiamo sentito di dover dare maggiore soddisfazione: una è di natura prevalentemente scientifica, una seconda è di tipo didattico ed una terza è connessa al sistema, scolastico e culturale, in cui operano docenti e studenti. Innanzitutto ci siamo proposti di non trascurare le esigenze e le necessità di un ragionamento e di un metodo che devono procedere per dimostrazioni. Abbiamo dunque dato il dovuto risalto a questo aspetto scientifico fondamentale, cercando di produrre argomenti semplici ma completi e svolgendoli con un linguaggio piano e consequenziale, depurato da ogni espressione tecnica superflua. In tal modo abbiamo cercato di delineare e di rendere evidente, per gli studenti che leggeranno questo libro, il metodo scientifico generale su cui si fondano le scienze matematiche. 11

12 D altra parte è del tutto ovvio che, fatta salva questa non modificabile esigenza scientifica, un libro di testo deve sempre tenere conto dei mutamenti che avvengono nel sistema scolastico e culturale e nell organizzazione didattica dei corsi universitari. Di tali profondi mutamenti si è in effetti tenuto qui un gran conto ed anzi essi hanno costituito una importante e fondamentale motivazione per scrivere questo libro. Abbiamo scelto, in particolare, di utilizzare il più possibile argomenti e riferimenti di carattere elementare, cercando così di rendere accessibile il testo anche a lettori e studenti che abbiano ricevuto una formazione matematica limitata. Il carattere elementare, che più in generale dà forma e sostanza a tutta la trattazione, ci è sembrato una scelta didattica di primaria e fondamentale importanza. L organizzazione dei vari capitoli è poi stata pensata per permettere una notevole e maggiore flessibilità, in funzione dei diversi percorsi didattici che possono essere presenti all interno dei corsi di laurea triennale. In geometria inoltre, forse più che in altre scienze matematiche, il rigore logicodeduttivo può e deve accompagnarsi con una grande ricchezza di esempi proposti e di esercizi significativi, che servono a rendere più salda e profonda la comprensione di tutta la teoria trattata. Si tratta di un esigenza didattica e conoscitiva ben nota e di assoluta importanza per questa materia. Tale esigenza trova ampia soddisfazione nel testo: oltre ai numerosi esercizi ed esempi svolti all interno dei capitoli, sono quasi un centinaio gli esercizi proposti al termine dei capitoli (Quesiti ed esercizi. Per ridurre l ampiezza del volume lo svolgimento di questi ultimi esercizi è stato posto su un apposito sito web (debitamente indicato alla fine di ciascun capitolo, al quale lo studente potrà accedere per verificare la correttezza dei risultati a cui è pervenuto ed anche per trovare ulteriore materiale didattico disponibile. In conclusione coltiviamo la speranza che questo libro possa essere uno strumento rinnovato ed utile per costruire, in un mutato contesto di esigenze didattiche e culturali, un corso di geometria che mantenga il proprio valore e la propria identità. Auspichiamo inoltre che il lettore possa trarne interesse e curiosità per la geometria, preparandosi così a nuovi passi nello studio di questa affascinante parte della natura e delle scienze. Veniamo ora ad una breve descrizione dei capitoli di questo volume. I temi trattati si susseguono, a partire dallo studio dei sistemi di equazioni lineari, secondo l ordine classico di questo tipo di corsi. Dopo una prima parte di algebra lineare vera e propria, che include la teoria delle matrici e dei determinanti, il discorso si sviluppa in un ampia trattazione degli spazi vettoriali e delle nozioni di prodotto scalare e di base ortonormale su uno spazio vettoriale reale. Una volta stabilite con sufficiente chiarezza e generalità tali nozioni, il testo sviluppa la geometria euclidea vera e propria, curando soprattutto lo studio concreto della geometria euclidea del 12

13 piano e dello spazio e delle isometrie. La parte finale del testo affronta alcuni aspetti fondamentali della teoria sviluppata nella prima parte: vengono qui studiate le nozioni di autovalore ed autovettore e viene esposto il teorema fondamentale che riguarda la diagonalizzazione di un operatore lineare. In seguito viene sviluppata la teoria delle forme quadratiche fino alla dimostrazione del cosiddetto teorema spettrale. Il testo si conclude infine con un ritorno alla geometria vera e propria: la classificazione delle coniche e delle quadriche rispettivamente in un piano ed in uno spazio euclideo. Come accennato in precedenza, a complemento della teoria svolta, sono presenti sul sito web approfondimenti di alcuni argomenti trattati nel testo. Vi potranno accedere sia lo studente interessato, per trovare punti di vista e spiegazioni alternative di argomenti considerati nel testo, sia il docente, per avere eventuali ulteriori spunti per l organizzazione didattica del corso. Nello stesso modo, si è operato per le soluzioni dettagliate degli esercizi proposti alla fine di ciascun capitolo (Quesiti ed esercizi. Il rimando a tali soluzioni e agli approfondimenti è indicato con il simbolo. Gli autori desiderano ringraziare il primo luogo il dott. Carlo Ciliberto, per aver contribuito con competenza alla realizzazione di alcune delle figure contenute nel testo e per fondamentali suggerimenti su tipi di softwares utili agli autori per la realizzazione di altre figure presenti. Ringraziamenti dovuti e sinceri vanno ai colleghi, prof.ssa Maria Lucia Fania e dott. Alberto Calabri, non solo per l aiuto fondamentale dato agli autori nella risoluzione di problemi legati alla realizzazione di alcune figure presenti nel testo, ma anche per aver fornito esempi di figure da loro realizzate. Ringraziamenti vanno anche alla dott.ssa Marly Grasso Nunes ed al dott. Andreas L. Knusten, per precise e preziose consulenze sull utilizzo dei softwares per l elaborazioni di immagini grafiche in vari possibili formati, e alla collega prof.ssa Laura Geatti, per aver fornito utili links da dove esportare le figure in formato jpeg delle quadriche. 13

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15 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici 1.1 Sistemi di equazioni lineari I numeri a cui si farà riferimento in questo testo sono i numeri reali, l insieme dei numeri reali verrà indicato con il simbolo usuale R. Numeri I simboli N, Z, Q indicheranno rispettivamente, l insieme dei numeri naturali, l insieme dei numeri interi e l insieme dei numeri razionali, si ricordi che si hanno le inclusioni di insiemi N Z Q R. I numeri reali che non appartengono a Q vengono chiamati numeri irrazionali. Sono per esempio elementi di R i numeri 0, 2, 2 3, 2, 2π, tra questi 0, 2, 2 3 appartengono rispettivamente a N, Z, Q e sono quindi tutti numeri razionali. I numeri 2 e 2π costituiscono invece due ben noti esempi di numeri irrazionali. In particolare 2 è la lunghezza della diagonale di un quadrato il cui lato abbia lunghezza 1 mentre 2π è la lunghezza di una circonferenza di raggio 1. Nel seguito useremo i simboli X 1, X 2, X 3, X 4, X 5,... per indicare quei termini di una formula matematica ai quali possono essere assegnati valori numerici arbitrari. Poiché il valore numerico di tali termini è indeterminato essi vengono chiamati indeterminate. In alternativa alcune indeterminate potranno talvolta essere indicate con delle lettere come X, Y, Z o altre. Le indeterminate X, Y, Z compaiono per esempio nella formula X 2 + Y 2 = Z 2 ; tale uguaglianza sarà poi vera o falsa a seconda dei valori assegnati a X, Y, Z. Sia q un numero naturale non nullo, indicheremo con R q l insieme delle q-uple ordinate di numeri reali. Per definizione una q-upla ordinata di numeri reali è una successione di numeri reali t 1, t 2,...,t q. Ciò vuol dire che t 1, t 2,...,t q sono numeri reali e che si tiene conto dell ordine in cui essi sono elencati. Una tale successione verrà indicata con (t 1, t 2,...,t q per brevità di scrittura la stessa q-upla (t 1,...,t q verrà anche indicata con t. Indeterminate q-uple Se q = 1 la successione si riduce ad un solo numero reale. Gli elementi (t 1, t 2 di R 2 vengono chiamati coppie ordinate di numeri reali, gli elementi (t 1, t 2, t 3 di R 3 terne ordinate di numeri reali ecc. Si osservi che le terne (1, 2, 3, (1, 3, 2, (3, 2, 1, (2, 1, 3, (2, 3, 1, (3, 1, 2 sono sei distinti elementi di R 3 perché si tiene conto 15

16 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici dell ordine in cui i numeri si succedono. Per lo stesso motivo (π, 0 e (0,π sono coppie ordinate distinte. definizione 1.1 Siano t = (t 1,...,t q e u = (u 1,...,u q due elementi di R q, la somma di t con u èlaq-upla ordinata di numeri reali t + u = (t 1 + u 1,...,t q + u q. Il lettore potrà verificare facilmente che valgono le uguaglianze t + u = u + t e (t +u+v = t +(u +v, qualunque siano t, u, v R q. In altre parole l operazione di somma di q-uple gode delle proprietà commutativa ed associativa. definizione 1.2 Sia λ un numero reale e sia t = (t 1,...,t q R q, il prodotto di λ per t èlaq-upla ordinata di numeri reali λt = (λt 1,...,λt q. Altre proprietà della somma di q-uple e del prodotto di un numero per una q-upla verranno considerate successivamente. Per avere qualche semplice esempio delle operazioni appena definite si osservi che (0,π+ (π, 0 = (π, π e che π(1, 2, 3 = (π, 2π, 3π e inoltre che (1, 2, 3 + (1, 3, 2 + (3, 2, 1 + (2, 1, 3 + (2, 3, 1 + (3, 1, 2 = (12, 12, 12. Equazioni lineari Stabilite le precedenti convenzioni e notazioni possiamo cominciare lo studio dei sistemi di equazioni lineari. Un equazione lineare in q indeterminate è un espressione a 1 X 1 + +a q X q = b dove a 1,...,a q, b sono numeri reali e X 1,...,X q indeterminate. Un sistema di p equazioni lineari in q indeterminate X 1,...,X q non è altro che una successione a 11 X 1 + +a 1q X q = b 1 a 21 X 1 + +a 2q X q = b 2... a p1 X 1 + +a pq X q = b q di p equazioni lineari in q indeterminate. I valori numerici b 1,...,b p si chiamano termini noti del sistema, mentre a 11,...a pq sono i coefficienti delle incognite. La matrice dei coefficienti del sistema è la tabella di numeri a a 1q a p1... a pq si chiama invece matrice completa del sistema la tabella a a 1q b 1... a p1... a pq b q 16

17 1.1 Sistemi di equazioni lineari L insieme delle soluzioni del sistema non è altro che l insieme S delle q-uple ordinate di numeri reali (t 1, t 2,...,t q tali che Insieme delle soluzioni a 11 t 1 + +a 1q t q = b 1 a 21 t 1 + +a 2q t q = b 2... a p1 t 1 + +a pq t q = b p in particolare ogni elemento di S verrà detto una soluzione del sistema. Se (t 1, t 2,...,t q è una soluzione diremo che le equazioni del sistema sono soddisfatte da (t 1,...,t q o anche che una soluzione del sistema si ottiene ponendo X 1 = t 1, X 2 = t 2,..., X q = t q Può accadere che S sia l insieme vuoto e quindi che non esistano soluzioni. definizione 1.3 Un sistema di equazioni lineari si dice compatibile se esistono soluzioni del sistema. In caso contrario si dirà che il sistema è incompatibile o che non ammette soluzioni. definizione 1.4 Un sistema si dice omogeneo se i suoi termini noti sono tutti uguali a zero. Sistemi compatibili Sistemi omogenei Una soluzione di un sistema omogeneo si ottiene ponendo X 1 = 0, X 2 = 0,..., X q = 0 in particolare ne segue che un sistema omogeneo è sempre compatibile. La precedente soluzione del sistema viene chiamata la soluzione nulla. Assegnato il sistema di equazioni lineari a 11 X 1 + +a 1q X q = b 1,..., a p1 X 1 + +a pq X q = b p diremo che il sistema Sistema omogeneo associato aunsistemaassegnato a 11 X 1 + +a 1q X q = 0,..., a p1 X 1 + +a pq X q = 0 è il suo sistema omogeneo associato. Conoscendo l insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato e almeno una soluzione del sistema di partenza è possibile descrivere tutte le soluzioni del sistema di partenza. Siano infatti S R q l insieme delle soluzioni del sistema di partenza e S o R q l insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Per ogni c R q possiamo considerare il seguente sottoinsieme di R q : c + S o ={c + z, z S o } 17

18 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici Vale allora la seguente proprietà: proposizione 1.1 Se c appartiene a S si ha S = c + S o. Dimostrazione Per ogni t R q abbiamo t = c +z,dovez = t c. Basta quindi provare che t appartiene a S se, e solo se, z appartiene a S o. Siano c = (c 1,...,c q, t = (t 1,...,t q e z = (z 1,...,z q allora z i = t i c i, per ogni i = 1,...,p; inoltre a i1 z 1 + +a iq z q = (a i1 t 1 + +a iq t q (a i1 c 1 + +a iq c q. Poiché a i1 c 1 + +a iq c q = b i ne segue che a i1 t 1 + +a iq t q = b i se, e solo se, a i1 z 1 + +a iq z q = 0, quindi t appartiene a S se e solo se z appartiene a S 0. Esempio 1.1 Insieme delle soluzioni di un sistema La proposizione ci dice che, se conosciamo una soluzione c di un sistema di equazioni lineari, allora tutte le altre soluzioni si ottengono sommando a c le soluzioni del sistema omogeneo associato. Per esempio (1,1,1 è una soluzione del sistema di due equazioni in tre indeterminate X Y + Z = 1, X 2Y + Z = 0 Inoltre l insieme S o delle soluzioni del sistema omogeneo associato X Y + Z = 0, X 2Y + Z = 0 è costituito dalle terne (t, 0, t al variare del numero reale t. Quindi le terne (1 + t, 1, 1 t = (1, 1, 1 + (t, 0, t costituiscono l insieme S delle soluzioni del sistema di partenza. Nel paragrafo 1.3 vedremo in dettaglio un metodo, noto come procedimento di Gauss- Jordan, per determinare l insieme delle soluzioni di un sistema. Concludiamo invece questo paragrafo con una serie di osservazioni pratiche, definizioni ed esempi che si riveleranno utili per lo stesso scopo. Osservazione 1.1 Equazioni di un sistema Sia a 1 X 1 + +a q X q = b una equazione lineare in q indeterminate, due casi molto particolari di una tale equazione sono i seguenti: una tale equazione è dunque incompatibile; 2. quando si ha a 1 = =a q = b = 0. In questo caso l equazione è sempre soddisfatta, qualunque sia il valore assegnato alle indeterminate X 1,...,X q. 1. quando si ha a 1 = = a q = 0eb 0. In questo caso l equazione non è mai soddisfatta, qualunque sia il valore assegnato alle indeterminate X 1,...,X q. Un sistema che ha tra le sue equazioni Matrice completa di un sistema Le seguenti tabelle sono le matrici complete di altrettanti sistemi, molto semplici, di tre equazioni lineari in tre indeterminate: 18

19 1.2 Matrici , Il lettore scriva per esercizio i sistemi corrispondenti e determini tra di essi quello incompatibile, quello con un unica soluzione e quello con infinite soluzioni. Sistemi incompatibili Tra i sistemi incompatibili non ci sono soltanto quelli che contengono un equazione lineare del tipo 0X X q = b con b 0. Per esempio il sistema X Y = 0, X Y = 1 è incompatibile. Le soluzioni della prima equazione sono infatti le coppie (t, t mentre le soluzioni della seconda sono le coppie (t + 1, t, al variare di t in R (figura 1.1. È facile concludere che nessuna coppia soddisfa entrambe le equazioni. (1, 2 (1, 1 I lettori familiari con la geometria analitica del piano noteranno che le equazioni considerate sono le equazioni di due rette parallele e che le soluzioni del sistema sarebbero le coordinate dei punti comuni alle due rette (par Non esistono quindi soluzioni. È altrettanto evidente che il sistema X + Y + Z = 1, X + Y + Z = 2 è incompatibile e che, per analoghi motivi, anche il sistema X 1 + +X q = 1, X 1 + +X q = 2,. X 1 + +X q = p è incompatibile per ogni p 2. Numero di equazioni e numero di indeterminate Gli ultimi esempi mostrano che sarebbe ingenuo, e soprattutto sbagliato, pensare che un sistema debba essere compatibile se il numero delle sue indeterminate è maggiore del numero delle equazioni. Altrettanto sbagliato sarebbe pensare che un sistema debba essere incompatibile se il numero delle sue equazioni è maggiore del numero delle indeterminate. Per esempio il sistema di 5 equazioni e 4 indeterminate X = 1, Y = 1, Z = 1, X + Y + Z = 3, X + 2Y + 3Z + 4T = 0 figura 1.1 Le soluzioni (t, t e (t + 1, t, al variare di t R è compatibile e la sua unica soluzione è (1, 1, 1, Matrici Nel precedente paragrafo abbiamo già preso in considerazione tabelle di numeri a a 1q... a p1... a pq Tabelle di numeri 19

20 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici costituite da un certo numero p di righe su ognuna delle quali sono disposti ordinatamente q numeri reali. Una tale tabella contiene dunque p righe e q colonne di numeri reali. La matrice dei coefficienti di un sistema di p equazioni lineari in q indeterminate è un esempio di tabella di questo tipo. La matrice completa dello stesso sistema è un ulteriore esempio; in quest ultimo caso la tabella ha p righe e q +1 colonne. L uso di tabelle di questo tipo è fondamentale non solo nello studio dei sistemi di equazioni lineari ma anche in moltissimi altri settori della matematica. A tali tabelle ed al loro uso corrispondono, se si vuole passare ad una forma più adeguata e rigorosa di linguaggio matematico, la definizione di matrice e tutta la conseguente teoria che descrive le proprietà delle matrici. In ogni caso, per gli scopi di questo testo e non solo, sarà sufficiente pensare ad una matrice come ad una tabella di numeri del tipo precedente. Il lettore può quindi eventualmente ignorare la successiva definizione. Per ogni numero naturale p 1 indicheremo con N p l insieme i cui elementi sono i numeri 1, 2,...,p. Il prodotto cartesiano N p N q è pertanto l insieme delle coppie ordinate di numeri interi (i, j tali che 1 i p e1 j q. definizione 1.5 Una matrice p q è una collezione di numeri a ij assegnati in funzione delle coppie ordinate (i, j N p N q. I numeri a ij vengono chiamati termini della matrice. In particolare a ij è detto termine di posto i, j o anche termine i, j.la coppia ordinata (i, j è la coppia di indici di a ij. Il modo più naturale ed efficace di rappresentare una matrice consiste nello scrivere i suoi termini su una tabella formata da p righe e q colonne: in modo tale che il termine di posto i, j si trovi sulla riga numero i e sulla colonna numero j. D ora in poi sarà quindi conveniente, come si è detto, pensare a una matrice p q come ad ( a11... a 1q una tabella A di numeri del seguente tipo: A =... a p1... a pq evidentemente una tabella (a 11 formata da un solo numero.. Una matrice 1 1è Come è naturale vengono chiamate righe della matrice A le seguenti matrici 1 q, (a 11...a 1q,...,(a p1...a pq. Analogamente vengono chiamate colonne della ( a11 ( a1q matrice A le seguenti matrici q 1, 2.,...,.. a p1 a pq Seguendo l uso comune utilizzeremo frequentemente la notazione abbreviata A = (a ij per indicare la precedente tabella. 20

21 1.2 Matrici Una matrice che abbia lo stesso numero di righe e di colonne si dice matrice quadrata. Inoltre il numero di tali righe o colonne è l ordine della matrice quadrata considerata. In altre parole una matrice quadrata di ordine n è una matrice n n. SeA è una matrice quadrata di ordine n la diagonale principale di A è la sequenza dei termini a ij tali che i = j:. ( a a a nn Matrici quadrate Pensando alla tabella A come ad un quadrato, la diagonale principale è la diagonale che congiunge il vertice a 11 con il vertice a nn. La maggiore importanza di questa diagonale di A rispetto all altra risulterà in molte circostanze. definizione 1.6 Una matrice diagonale è una matrice quadrata che ha nulli tutti i termini che non si trovano sulla sua diagonale principale. definizione 1.7 Una matrice triangolare superiore (rispettivamente, inferiore, è una matrice quadrata nella quale sono nulli tutti i termini di posto i, j con i > j (rispettivamente, i < j. In una matrice triangolare superiore (inferiore sono nulli tutti i termini che si trovano al di sotto (al di sopra dei termini sulla diagonale principale. Le matrici triangolari superiori e inferiori sono le matrici diagonali. Nel seguito l insieme di tutte le matrici p q verrà sempre indicato con M p q. Analogamente al modo in cui sono stati definiti una somma di elementi di R q eun prodotto di un numero reale per un elemento di R q, verranno ora definiti una somma di matrici p q eunprodotto di un numero per una matrice p q. Somma di matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero definizione 1.8 Siano A = (a ij e B = (b ij due elementi di M p q, la matrice (a ij + b ij è per definizione la matrice somma di A con B, essa verrà indicata con A + B. A + B è dunque quella matrice il cui termine di posto (i, j è il numero a ij + b ij. definizione 1.9 Sia λ un numero reale e sia A = (a ij M p q, la matrice (λa ij è per definizione il prodotto di λ con A, essa verrà indicata con λa. λa è dunque quella matrice il cui termine di posto (i, j è il numero λa ij. Avremo modo di esaminare successivamente, nel capitolo sugli spazi vettoriali, le proprietà delle operazioni ora definite. È comunque facile verificare che, come la somma di q-uple, anche la somma di matrici è commutativa ed associativa. Una matrice i cui 21

22 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici termini siano tutti uguali a zero si dice matrice nulla. Sono esempi di matrici nulle (0, ( 0 0 ( ( 0 00, 0, 00. Per ogni coppia (p, q di interi positivi esiste evidentemente un unica matrice p q che è nulla, tale matrice sarà indicata con O pq. Si noti che A + O pq = A = O pq + A, A M p q. Ciò vuol dire, se ci si vuole esprimere con il linguaggio dell algebra, che O pq èl elemento neutro per l operazione di somma tra matrici p q. La matrice opposta di una matrice A = (a ij è quella matrice B = (b ij in cui b ij = a ij per ogni coppia (i, j. Evidentemente si ha A + B = O pq. Trasposta di una matrice Sia A una matrice p q; si indica con t A la matrice q p il cui termine di posto i, j è il termine di posto j, i di A.SeA = (a ij e t A = (a ij avremo quindi a ij = a ji. La matrice t A viene chiamata matrice trasposta di A oppure trasposta di A. Essa giocherà un ruolo importante in molti punti della teoria che svilupperemo nel seguito. Vediamo alcuni esempi: A =, t A = 1 0 0, B = ( 1 2 3, ( a b C =, b d 1 t B = 2, t C = C, D = ( 0 b b 0, t D = D. Si osservi infine che, se R 1,...,R p sono le righe di A, allora le trasposte t R 1,..., t R p sono le colonne di t A. Nello stesso modo, se C 1,...,C q sono le colonne di A, allora t C 1,..., t C q sono le righe di t A. Per questo motivo si dice a volte che t A è ottenuta da A scambiando le righe con le colonne. Matrici simmetriche e antisimmetriche definizione 1.10 Sia A = (a ij una matrice quadrata: A si dice simmetrica se t A = A mentre si dice antisimmetrica se t A = A. In altre parole A è simmetrica se e solo se a ij = a ji per ogni coppia di indici i, j. A è invece antisimmetrica se e solo se a ij = a ji per ogni coppia di indici i, j. 1.3 Riduzione per righe di una matrice Modificazioni delle righe di una matrice In molte situazioni concrete, in particolare nello studio di un sistema di equazioni lineari, è molto utile poter sostituire una matrice A con un altra matrice B, che sia 22

23 1.3 Riduzione per righe di una matrice stata ottenuta da A con una procedura opportuna e che sia inoltre più semplice da usare. Per precisare adeguatamente questo discorso definiremo innanzitutto alcune operazioni di modifica delle righe di una matrice. definizione 1.11 Sia A una matrice e siano R 1,...,R p le sue righe; una matrice B si dirà modificazione elementare di una riga di A se è ottenuta in uno dei modi seguenti: 1. B è ottenuta da A scambiando tra di loro due righe R i e R j ; 2. B è ottenuta da A moltiplicando una riga R i per un numero reale λ non nullo; 3. B è ottenuta da A sostituendo una riga R i con R i + μr j,doveμ è un numero reale ed inoltre si richiede che sia i j. Per brevità diremo più semplicemente che B è una modificazione elementare di A. L operazione necessaria per passare da A a B verrà indicata nei modi seguenti: A r i r j B A λr i B A r i +μr j B a seconda che B sia ottenuta come in 1, 2 o 3. Essa verrà chiamata operazione su una riga di A, rispettivamente di tipo 1, 2, 3. Si noti che, per ognuna delle precedenti operazioni su una riga, esiste una operazione inversa che fa passare da B ad A: B r i r j A B 1 λ r i A B r i μr j A Se dunque B è modificazione elementare di una riga di A allora A è modificazione elementare di una riga di B e viceversa. Infine sarà talvolta conveniente indicare A nei modi seguenti: R 1 A =. = ( C 1... C q R p dove R 1,...,R p indicano le righe e C 1,...,C q le colonne della matrice A. Esempio 1.2 Sia A una matrice 3 q e siano R 1, R 2, R 3 le sue righe, allora A = e tra le modifica- zioni elementari di una riga di A abbiamo le seguenti matrici: B 1 = B 3 = R 1 R R 1 R 3 ( R1 R 2 R ( 3 R3 R 2 R 1, B 2 = ( R1 R 2 πr 3. B 1 si ottiene scambiando la prima e la terza riga di A. B 2 si ottiene, 23

24 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici moltiplicando la terza riga di A per il numero π. B 3 si ottiene sostituendo la seconda riga di A con la somma della seconda riga R 2 con la prima riga R 1 moltiplicata per 1 3. Il passaggio da una matrice A ad una modificazione elementare B di una riga di A può essere iterato: ripartendo da B si può costruire una modificazione elementare di una riga di B e così via. definizione 1.12 Diremo che B è una modificazione delle righe di A se esiste una successione finita A 1,...,A n di matrici tali che: 1. la successione inizia con A e finisce con B cioè A = A 1 e B = A n ; 2. per ogni i = 2,...,n la matrice A i è modificazione elementare di una riga di A i 1. Termini pivots di una matrice Il nostro scopo, in vista delle applicazioni che ci interessano, è costruire, per ogni matrice A, una matrice B che sia modificazione delle righe di A ed abbia, per quanto possibile, molti termini uguali a zero. Per dare un senso più preciso a questo discorso introdurremo ora alcune definizioni. definizione 1.13 Un termine m st di una matrice M è un termine pivot se m st 0 e se, sulla colonna in cui m st si trova, non ci sono termini diversi da zero al di sotto di m st. ( Un termine pivot verrà anche chiamato, più semplicemente, un pivot. Nella matrice sono pivots i termini 4, 1 e 8 e cioè i termini rispettivamente di posto 0008 (2, 2, (1, 3 e (3, 4. definizione 1.14 Una matrice si dice ridotta per righe se su ogni sua riga non nulla esiste un termine pivot. D ora in poi useremo l espressione matrice ridotta come sinonimo di matrice ridotta per righe. Esempio 1.3 Sono ridotte le seguenti matrici: ( (

25 1.3 Riduzione per righe di una matrice Non sono ridotte per righe le seguenti matrici: ( 0 1 ( Osservazione 1.2 Se la matrice completa di un sistema di equazioni lineari è ridotta per righe, risulta più facile determinare le soluzioni del sistema oppure concludere che non ne esistono. Per di più ogni sistema di equazioni lineari è equivalente, come avremo modo di vedere, ad un sistema la cui matrice completa è ridotta per righe. Ciò spiega l importanza di tali matrici. Supponiamo ora che, per una data matrice A = (a ij e per una data coppia di indici (s, t, il termine a st sia diverso da zero. Utilizzando le notazioni abituali potremo scrivere a a 1t... a 1,q R A = a s 1... a st... a sq = R s.... a p1... a pt... a p,q R p dove R 1,...,R p sono le righe di A. Per costruire una modificazione delle righe di A che sia anche ridotta per righe cominceremo con la costruzione di una nuova matrice B: poniamo R i = R i + μ i R i, i = 1,...,p dove μ 1 =...μ s = 0,μ s +1 = a s +1,t a st,...,μ p = a pt a st.. Poi poniamo per definizione B =. Si noti che R 1 = R 1,...,R s R 1 R s. R p visto che abbiamo posto μ 1 = =μ s = 0. = R s proposizione 1.2 Siano A e B come sopra, B ha le seguenti proprietà: 1. B è una modificazione delle righe di A; 2. il termine di posto (s, t di B è un pivot. 25

26 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici Dimostrazione 1. Sia i = 1,...,p e sia A i la matrice le cui prime i righe sono R 1,...,R i, mentre le rimanenti sono uguali alle righe di A. È chiaro che A 1 è modificazione elementare della prima riga di A. Inoltre, per ogni i = 2,...,p, A i si ottiene da A i 1 sostituendo R i 1 con R i 1. A i è quindi modificazione elementare di una riga di A i 1. Si noti infine che A p = B. Nella successione di matrici A, A 1,...,A p = B ogni matrice è dunque una modificazione elementare di una riga della matrice precedente. Ciò prova la Poiché R i = R i + μ i R s = (a i1 + μ i a s 1,...,a ip + μ i a sp, il termine di posto i, t di B è a it + μ i a st, per ogni i = 1,...,p. Sei > s si ha μ i = a it a st e dunque a it + μ i a st = 0. Se i s si ha μ i = 0 e perciò a st + μ s a st = a st 0. Ne segue che il termine di posto s, t di B è un pivot. Siano C 1,...,C q le colonne di B; dalla dimostrazione della proprietà segue anche che C t = a 1t. a st Algoritmo di riduzione per righe di una matrice (o di Gauss-Jordan Il procedimento con il quale siamo passati da A a B è alla base di un metodo effettivo di calcolo, in altri termini di un algoritmo, dotato della seguente proprietà: data una matrice A = (a ij M p q l algoritmo costruisce una successione A, M 1, M 2,...,M p di matrici p q tali che: 1. ogni matrice M n, n = 1,...,p, è una modificazione delle righe di A; 2. ogni riga non nulla delle prime n righe di M n contiene un pivot. Si noti che M p ha p righe, quindi 2 implica che M p è ridotta per righe. D altra parte M p è una modificazione delle righe di A per costruzione. Quindi: l algoritmo termina con la costruzione di una matrice che è sia modificazione delle righe di A sia ridotta per righe. In questa proprietà risiede l importanza dell algoritmo di riduzione, noto anche come metodo di Gauss-Jordan per ridurre una matrice. Vediamo come si deve operare in concreto per far funzionare l algoritmo: le matrici M 1,...,M p si costruiscono l una dalla precedente con il procedimento per induzione che ora esporremo: 26

27 1.3 Riduzione per righe di una matrice Siano R 1,...,R p le righe di A, selaprima riga R 1 è nulla oppure se contiene un Costruzione di M 1 termine pivot si pone M 1 = A. In entrambi i casi è infatti evidente che una tale M 1 soddisfa 1 e 2. Se invece R 1 non è nulla e non contiene termini pivot si sceglie un suo termine a 1,t 0 e si pone R 1 R 2 + μ 2 R 1 M 1 =. R p + μ p R 1 dove μ i = a i,t a 1t, i 2. Si noti che M 1 non è altro che la matrice B della Proposizione 1.2 nel caso in cui s = 1. M 1 è dunque modificazione delle righe di A ed il suo termine 1, t è un pivot, quindi M 1 soddisfa 1 e 2. Per induzione abbiamo già costruito una matrice M n 1 soddisfacente alle condizioni Costruzione di M n, n 2 1 e 2. Sia M n 1 = (m ij e siano S 1,...,S p le sue righe. Se la riga S n è nulla poniamo M n = M n 1 : è ovvio che in tal caso M n soddisfa 1 e 2. Se S n non è nulla scegliamo su S n un termine m n,v 0 e poniamo per definizione S 1. M n = S n 1 S n + μ n S n 1. S p + μ p S n 1 dove i valori μ n,μ n+1,...,μ p sono ora così definiti: μ i = m i,v m n,v, i = n,...,p. Rimane da provare che M n soddisfa le condizioni 1 e 2: 1. è chiaro che M n è modificazione delle righe di M n 1. D altra parte M n 1 è modificazione delle righe di A per ipotesi. Quindi M n è modificazione delle righe di A, cioè soddisfa 1; 2. le prime n righe di M n sono S 1,...,S n 1, S n + μ n S n 1 : dobbiamo provare che ogni riga non nulla tra queste ha un pivot. Per prima cosa osserviamo che M n è la matrice B della Proposizione 1.2 nel caso in cui sia s = 1ev = t.in particolare il termine di posto n,v di M n è un pivot, quindi la riga numero n di M n ha un pivot. Le righe precedenti di M n sono anche le prime n 1 righe di M n 1.SiaS k una riga non nulla di queste, poiché M n 1 soddisfa la condizione 2 esiste un termine m ku di S k che è pivot per M n 1. Proviamo che, come termine di posto k, u su M n, m k,u è un pivot per M n. Esaminiamo la colonna di M n su cui si trova m ku : vista la definizione di M n tale colonna è 27

28 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici m 1u. m ku m k+1,u. m n 1,u m nu + μ n m n 1,u. m pu + μ p m n 1,u Se i numeri m k+1,u,...,m n 1,u, m nu...m pu sono tutti nulli allora m ku è un pivot per M n. Ora tali numeri sono anche termini di M n 1 posti al di sotto di m ku nella colonna di m ku. Poiché m ku è pivot per M n 1 essi sono nulli. Il successivo teorema è una importante, ed a questo punto immediata, conseguenza dell esistenza dell algoritmo di riduzione per righe di una matrice. teorema 1.1 Per ogni matrice A esiste una matrice M che è sia modificazione delle righe di A sia ridotta per righe. Esercizio 1.1 Algoritmo di riduzione per righe L algoritmo di riduzione per righe andrà soprattutto applicato e in molti casi si rivelerà utile e rapido; a titolo di esempio applichiamo l algoritmo a due matrici. Per maggiore dettaglio indicheremo la successione di tutte le trasformazioni elementari effettuate, usando le notazioni precedentemente definite. ( ( r2 1 4 r Qui si è scelto il termine 4 sulla prima riga della prima matrice e, con la trasformazione elementare indicata, lo si è reso pivot. Non è vietato scegliere diversamente: se per esempio si sceglie sulla prima riga il termine 1 si ottiene ( r 2 3r 1 ( Applichiamo ora l algoritmo di riduzione a questa seconda matrice: r r r r Da tale matrice si ottiene una matrice ridotta anche nel modo seguente: r r r r

29 1.3 Riduzione per righe di una matrice A volte dunque l algoritmo può essere variato o abbreviato convenientemente: con scambi di righe od una scelta diversa delle modificazioni elementari. Riassumiamo una variante quasi ovvia dell algoritmo precedente che abbrevia il numero di passaggi necessari per ottenere una matrice ridotta per righe a partire da una matrice A. Il nuovo algoritmo costruisce una successione di matrici N 1,..., N h, con h < p, nel modo seguente: 1. per costruire N 1 si sceglie la prima riga non nulla di A che sia priva di termini pivot. Se tale riga non esiste allora A è già ridotta per righe, in tal caso si pone A = N 1 e non si procede ulteriormente. In caso contrario sia R k la prima riga non nulla di A priva di termini pivot e sia a k,t un suo termine non nullo, allora si pone R 1. N 1 = R k R k+1 + μ k+1 R k. R p + μ p R k L algoritmo di riduzione abbreviato dove R 1...R p sono le righe di A e μ i = a i,t a kt, i k + 1; 2. si procede poi con N 1 nello stesso modo: si considera su N 1 la prima riga non nulla che sia priva di termini pivot. Se tale riga non esiste N 1 è già ridotta e non si procede ulteriormente. In caso contrario sia S c tale riga e sia a c,r un suo termine non nullo, allora si procede esattamente come in 1 ponendo S 1. N 2 = S c S c +1 + ν c +1 S c. S p + ν p S c dove S 1...S p sono le righe di A e ν i = a ir a cr, i c + 1. Procedendo come sopra l algoritmo costruisce in successione le matrici N 1,...,N h e si arresta quando l ultima matrice costruita è ridotta per righe. A titolo di esempio si consideri la seguente applicazione dell algoritmo abbreviato: r 4 2r

30 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici Si noti che è bastata una sola operazione per ridurre la matrice e che le modalità di costruzione di una matrice dalla precedente sono identiche a quelle dell algoritmo di riduzione precedente. Osservazione 1.3 Quante somme, prodotti, sottrazioni, divisioni servono per ottenere M p 1? Quando si usa un algoritmo è importante avere informazioni di questo tipo. Esse infatti danno indicazioni sui tempi necessari ad una macchina calcolatrice per applicare l algoritmo al problema considerato. Nel caso dell algoritmo di riduzione di una matrice è possibile dimostrare, con argomenti elementari, che il numero di operazioni di calcolo effettivamente necessarie per passare da A alla matrice ridotta per righe M p 1 è non superiore a pq. 1.4 Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari Risolvere un sistema di equazioni lineari significa determinare l insieme delle sue soluzioni: si tratta di un problema importante, anche se completamente risolto sul piano teorico, di quella parte della matematica nota come Algebra Lineare. In questo paragrafo affronteremo tale problema in modo operativo, costruiremo cioè un procedimento effettivo per la risoluzione di un sistema. Il procedimento è spesso noto come metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Esso consiste nell applicare l algoritmo di riduzione per righe alla matrice completa del sistema. Sistemi equivalenti e modificazioni delle righe di una matrice definizione 1.15 Due sistemi di equazioni lineari si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Fissiamo un primo sistema di equazioni lineari e denotiamo con E 1,...,E p la sequenza delle sue equazioni. E i sarà dunque un equazione del tipo a i1 X 1 + +a iq X q = b i e la matrice completa del sistema sarà a a 1q b 1 a a 2q b 2 C =.... a p1... a pq b p Ogni modificazione elementare C di una riga di C è la matrice completa di un secondo sistema di equazioni E 1,...,E p. 30

31 1.4 Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari La forma che assumono le equazioni E 1,...,E p dipende dal tipo di modificazione ( ( R1 R 1 elementare adottata. Più precisamente siano C =. e C =. ; è facile R p R p osservare che: 1. se C si ottiene da C scambiando le righe R i e R j allora la sequenza di equazioni E 1,...,E q si ottiene dalla sequenza di equazioni E 1,...,E q scambiando le equazioni E i e E j ; 2. se C si ottiene da C moltiplicando la riga R i per una costante c (c 0, allora la sequenza di equazioni E 1,...,E q si ottiene dalla sequenza di equazioni E 1,...,E q moltiplicando l equazione E i per c ; 3. se C si ottiene da C sostituendo la riga R i di C con la riga R i = R i + μr j (i j, allora la sequenza di equazioni E 1,...,E q si ottiene dalla sequenza di equazioni E 1,...,E q sostituendo l equazione E i con l equazione E i = E i + μe j,dovecone i + μe j indichiamo l equazione (a i1 + μa j1 X 1 + +(a iq + μa jq X q = b i + μb j Esempio 1.4 Consideriamo per esempio il sistema di equazioni X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 1 2X 1 + 2X 2 + 4X 3 + 3X 4 = 0 la matrice completa del sistema è C = ( Se C è ottenuta da C scambiando le due righe di C allora il sistema 2X 1 + 2X 2 + 4X 3 + 3X 4 = 0 X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 1 ha come matrice completa C. 2. Se C è ottenuta moltiplicando la prima riga di C per 3 allora il sistema 3X1 + 3X 2 + 3X 3 + 3X 4 = 3 2X 1 + 2X 2 + 4X 3 + 3X 4 = 0 ha come matrice completa C. 3. Se C è ottenuta da C sostituendo la seconda riga R 2 con R R 1 allora il sistema X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 1 2X X 4 = 0 ha come matrice completa C. 31

32 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici Non è difficile verificare che tutti i sistemi di equazioni considerati nel precedente esempio sono equivalenti. In realtà vale più in generale il seguente teorema 1.2 Sia C la matrice completa di un sistema di equazioni lineari, ogni modificazione delle righe di C è la matrice completa di un sistema equivalente. Dimostrazione È sufficiente provare il teorema nel caso di una modificazione elementare delle righe di C. Per definizione ogni modificazione C delle righe di C è infatti determinata da una successione C 1,...,C n di matrici tali che C = C n e C i è una modificazione elementare delle righe della matrice precedente. Sia dunque C una modificazione elementare di una riga della matrice C M p q e siano E 1,...,E p e E 1,...,E p le sequenze delle equazioni dei sistemi che hanno rispettivamente C e C come matrice completa. Abbiamo già osservato in precedenza che la sequenza di equazioni E 1,...,E p appartiene ad uno dei tipi seguenti: 1. E 1,...,E p è ottenuta da E 1,...,E p scambiando E i con E j, per una data coppia di indici i, j {1,...,p}. 2. E 1,...,E p è ottenuta da E 1,...,E p moltiplicando E i per c, per un dato indice i {1,...,p} ed un dato numero reale c E 1,...,E p è ottenuta da E 1,...,E p sostituendo E i con l equazione E i così definita: (a i1 X 1 + +a iq X q + μ(a j1 X 1 + +a jq X q = b i + μb j per una data coppia di indici i, j {1,...,p} e tali che i j. Nei casi 1 e 2 è immediato osservare che i due sistemi considerati sono equivalenti. Proviamo che la stessa proprietà vale nel caso 3: sia s = (s 1,...,s q una soluzione del sistema di equazioni E 1,...,E p. In particolare ne segue che (a i1 s a iq s q + μ(a j1 s a jq s q = b i + μb j essendo (a i1 s 1 + +a iq s q = b i e (a j1 s a jq s q = b j. Quindi s soddisfa l equazione E i del sistema E 1,...,E p. Poiché vale E k = E k per ogni k i, ne segue che s soddisfa tutte le equazioni E 1,...,E p ed è quindi una soluzione di tale sistema. Viceversa sia s una soluzione del sistema di equazioni E 1,...,E p, allora s soddisfa l equazione (a i1 X 1 + +a iq X q + μ(a j1 X 1 + +a jq X q = b i + μb j e tutte le equazioni E k con i k. Essendo in particolare i j ne segue a j1 s a jq s q =b j. D altra parte (a i1 s 1 + +a iq s q + μ(a j1 s a jq s q = b i + μb j, poiché s soddisfa la precedente equazione E i. Le due ultime uguaglianze implicano a i1s 1 + +a iq s q = b i e cioè che s soddisfa E i. Poiché E k = E k, i k, ne segue che s è una soluzione del sistema di equazioni E 1,...,E p. Quindi i due sistemi sono equivalenti. Sistemi ridotti Sia C la matrice completa di un sistema di p equazioni lineari in q indeterminate e sia A la matrice dei coefficienti. A è allora formata dalle prime q colonne di C. 32

33 1.4 Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari È facile applicare a C l algoritmo di riduzione per righe in modo tale che esso funzioni simultaneamente anche per A. Vediamo come: sia C, M 1,...,M p 1 la successione di matrici costruite dall algoritmo; ricordiamo che M k, si ottiene dalla matrice precedente considerando su questa la riga k-esima S k.ses k è nulla si pone M k+1 = M k. Se S k è non nulla si sceglie un suo termine non nullo m k,t e poi si costruisce M k+1 come prescritto dall algoritmo. In questo caso il termine prescelto m k,t ricomparirà su M k+1 come pivot di posto k, t. Nulla vieta allora di adottare l ulteriore prescrizione seguente: (* per ogni k si sceglie l eventuale termine non nullo di S k su una colonna diversa dall ultima, salvo il caso in cui l unico termine non nullo di S k sia l ultimo. Questo accorgimento basta per produrre il risultato desiderato. Supponiamo infatti di avere seguito la prescrizione (* e consideriamo la successione di matrici A, N 1,..., N p 1,doveN k è la matrice formata dalle prime q colonne di M k. Non è difficile concludere che tale successione è quella che si ottiene applicando ad A l algoritmo di riduzione. Quindi la matrice N p 1, formata dalle prime q colonne di M p 1,è ridotta per righe ed è una modificazione delle righe di A. Dal Teorema 1.2, M p 1 è la matrice completa di un sistema equivalente a quello che ha come matrice completa C. Inoltre N p 1 è la matrice dei coefficienti di tale sistema equivalente: perché è la matrice formata dalle prime q colonne di M p 1. Poiché M p 1 e N p 1 sono ridotte per righe, vale dunque il seguente: teorema 1.3 Ogni sistema di equazioni lineari è equivalente ad un sistema per il quale la matrice completa e la matrice dei coefficienti sono ridotte per righe. definizione 1.16 Un sistema di equazioni lineari si dice ridotto se la sua matrice completa e la sua matrice dei coefficienti sono ridotte per righe. Esempio 1.5 La matrice completa C del sistema di due equazioni in q indeterminate X 1 + +X q = 1 X 1 + +X q = 0 è ridotta per righe, mentre quella dei coefficienti non lo è. Il sistema quindi non è ridotto. Applicando a C l algoritmo di riduzione con la prescrizione (* si ottiene una matrice C che è la matrice completa del sistema ridotto X 1 + +X q = 1 0 = 1 33