Sistemi di Riferimento e loro trasformazioni

Transcript

1 2 o Meeting degli utenti italiani GRASS Trento 1-2 febbraio 2001 Sistemi di Riferimento e loro trasformazioni Maria Antonia Brovelli*, Fernando Sansò*, Domenico Sguerso** *Politecnico di Milano, Facoltà di Ingegneria Campus Como **Dip. di Ingegneria Civile e Ambientale Università degli Studi di Trento 1

2 Obiettivo Vogliamo determinare la posizione di punti sulla superficie terrestre. Eseguiamo misure sulla superficie terrestre e da queste vogliamo ricavare la posizione dei punti sui quali abbiamo eseguito le misure. Il problema non è banale perché intanto la Terra è molto più grande rispetto a noi e poi perché dobbiamo definire un sistema di riferimento rispetto al quale determinare posizioni di punti calcolate a partire da misure eseguite da persone diverse, in tempi diversi e in punti diversi della superficie terrestre. Se consideriamo tutte le misure che possiamo eseguire e le corrispondenti equazioni di osservazione (angoli, distanze e dislivelli) possiamo ottenere solo posizioni relative di punti. Dobbiamo quindi valutare i gradi di libertà del sistema considerato e bloccare alcune direzioni in modo tale da ottenere le posizioni assolute. 2

3 Argomenti Sistemi di Coordinate: - definizioni e possibili realizzazioni Sistemi di Riferimento: - definizioni e possibili realizzazioni plano-altimetriche - differenti S.R. Trasformazioni tra S.R.: - modelli e approssimazioni nelle trasformazioni tra S.R. Cartografia: - principali proiezioni cartografiche - principali cartografie di interesse nazionale 3

4 Sistemi di coordinate Esempio 1 se fisso 3 assi X, Y, Z se ho una regola per la rappresentazione delle proiezioni ortogonali definisco un sistema di coordinate cartesiane regolari in tutto lo spazio, prive di singolarità 4

5 Esempio 2 se fisso una sfera di raggio dato, un piano passante per il centro (piano equatoriale) e un punto γ sull equatore se ho un modo di rappresentare la normale alla superficie sferica a partire dal punto P definisco un sistema di coordinate sferiche Esempio 3 se fisso un ellissoide di rotazione di forma data e un punto γ sull equatore se ho un modo di rappresentare la normale all ellissoide definisco un sistema di coordinate ellissoidiche 5

6 I sistemi di coordinate sferico ed ellissoidico presentano delle singolarità Esempi: P Questa singolarità può essere eliminata scegliendo la proiezione più vicina. I punti appartenenti all asse di rotazione hanno infiniti valori di λ; questa singolarità NON può essere eliminata. Nota: anche se un punto può essere individuato da più set di coordinate, la cosa importante per noi è che, come avviene, un set di coordinate individua un punto solo. 6

7 Esempio 4 - A: coordinate planimetriche Vogliamo determinare la direzione dello zenith in un punto P (direzione della forza di gravità individuata dal filo a piombo) Supponiamo per il momento che la Terra sia fissa nello spazio si osservano le posizioni di alcuni astri note le posizioni degli astri α= ascensione retta δ= declinazione determino la posizione della verticale sulla sfera celeste 7

8 La Terra ruota attorno ad un asse I, asse di rotazione istantaneo, con velocità angolare istantanea ω (1 ciclo per giorno sidereo circa) Supponiamo che: I sia fisso rispetto alla sfera celeste ω sia costante la Terra sia rigida I si materializzi nel corpo della Terra sempre lungo lo stesso asse z gira attorno ad I con velocità ω lungo un cerchio parallelo all equatore celeste 8

9 Attraverso osservazioni alle stelle e misure di tempo, possiamo definire le coordinate planimetriche del punto di osservazione attraverso gli angoli: sinφ P cosλ P = e r n( P) er n = cosφ GR GR er n( P) cosφ P (Φ P, Λ P ) latitudine e longitudine astronomica (astro-geodetica, naturale) 9

10 Osservazioni: L asse I è in realtà soggetto a moti di precessione, nutazione (dovuti all attrazione lunisolare) oltre ad altre piccole perturbazioni dovute ad altri pianeti 10

11 ω non è costante, ma varia con un piccolissimo trend e delle oscillazioni legate anche al momento angolare totale dell atmosfera e degli oceani La materializzazione di I nel corpo della terra non rimane costante ma è soggetta al cosiddetto Chandler Wobble (o.d.g. 6 m) che è composto di una prima componente giroscopica, spiegata dall interazione nucleo liquido mantello elastico, oltre a componenti irregolari legate ai moti convettivi interni, ecc 11

12 n (e quindi Φ e Λ) è a sua volta è variabile nel tempo, perché soggetto all azione diretta di attrazione luni-solare, che può essere facilmente corretta, ma anche all effetto indiretto dovuto alle maree terrestri con un periodo di circa 2 cicli al giorni mediando le misure per periodi più lunghi si può eliminare questa componente si noti che in osservazioni che dipendono dalla variazione di n da punto a punto (per punti vicini) tali effetti sono trascurabili 12

13 Esempio 4 - B: coordinata di altezza Una prima possibilità è utilizzare il valore di Oppure si può utilizzare la quota ortometrica W P potenziale gravitazionale (diminuisce all alzarsi dalla superficie terrestre) Oppure si sceglie una superficie equipotenziale G come riferimento W = W 0 su G e, a partire dal numero geopotenziale W - W g dn 0 P, si ottengono diverse definizioni di altezze (che aumentano verso l alto) tra cui: C = W W P = P 0 quota geopotenziale H= arco (P 0 P) lungo la verticale fino a G 13

14 Riassumendo Un sistema di coordinate è identificato tramite una terna di funzioni di punti x i (P) (i = 1, 2, 3), sufficientemente regolari, che garantiscano la definizione univoca del punto P. Negli esempi abbiamo introdotto un certo numero di sistemi di coordinate con differenti caratteristiche a seconda dell uso fatto della conoscenza a priori del campo gravitazionale. I casi estremi sono il sistema cartesiano che è definito in modo puramente geometrico e il sistema di coordinate intrinseche definito completamente attraverso il campo gravitazionale terrestre. 14

15 Ovviamente le coordinate legate in modo semplice a quelle cartesiane permettono una maggior facilità di calcolo geometrico mentre sono meno adatte per la descrizione delle grandezze dipendenti dal campo gravitazionale; una situazione opposta si ha per le coordinate intrinseche. Poiché è possibile definire le trasformazioni tra i differenti sistemi di coordinate, dal punto di vista concettuale la scelta di uno piuttosto che di un altro è del tutto irrilevante e legata piuttosto a privilegiare quel sistema che garantisce una maggiore semplicità di calcolo. 15

16 Tutti questi sistemi di coordinate possono essere realizzati solo se si eseguono osservazioni che legano fisicamente gli elementi caratteristici del sistema di coordinate con i punti oggetto di rilievo 16

17 Come si materializza fisicamente un Sistema di Riferimento? Esempio 1 - sistema cartesiano 2D: Se (X, Y) è fisicamente definito da 2 sbarre ortogonali (coordinate 2D) devo realizzare un apparato che esegua le proiezioni ortogonali, di modo che per un punto generico possa leggere direttamente le sue coordinate. Posso prendere l origine in un punto noto P e l asse X nella direzione PQ: X P =0 Y P =0 Y Q =0 oppure posso usare altre 3 condizioni, ad esempio: X P, Y P, Y Q dati oppure X P, Y P, α dati Esempio 2 - sistema cartesiano 3D: Analogo al precedente ma con 6 condizioni. 17

18 Esempio 3 - sistema ellissoidico: Devo fissare la forma dell ellissoide (a, e 2 ) Il sistema di coordinate sull ellissoide è dato da (φ, λ, h) Devo ora fissare 6 condizioni: ad esempio considero un punto di coordinate astro-geodetiche Φ, Λ, H e impongo che il sistema di coordinate ellissoidiche sia tale da avere in quel punto: φ = Φ λ = Λ ho così fissato 5 condizioni (1 posizione e due angoli) h = Η L ultima condizione la impongo vincolando la rotazione attorno alla normale nel punto, introducendo un secondo punto Q: (PQ) geodetico =(PQ) astronomico 18

19 Riassumendo con l uso di punti fisicamente identificati e grazie a un numero minino di osservazioni, si possono determinare gli elementi caratterizzanti che successivamente permettono di determinare le coordinate di tutti i punti in modo univoco. Definizione di S.R. un sistema di coordinate (oltre a tutti quelli da esso ottenibili tramite una pura trasformazione matematica) fissato mediante punti fisici, misure e scelte compatibili di una parte delle coordinate dei punti è un Sistema di Riferimento (S.R.) 19

20 S.R. e Deficienza di Rango un modo per fissare un S.R. in forma generale consiste nel lasciare incognite tutte le coordinate ed i parametri del modello di osservazione creando così un modello esteso y C x = vv = g ~ x (x) = σ ξ + Q v (linearizzazione) y C = A 2 = σ vv 0 lineare ξ + Q a + v non lineare Osservazione: nella linearizzazione spesso possono cambiare le condizioni di corrispondenza bi-univoca tra x e y=g(x) 20

21 La Deficienza di Rango (D.R.) può essere generata: a) dal particolare disegno della rete di osservazioni P 5 P 4 P 1 P 2 questa D.R. può essere eliminata aggiungendo opportune osservazioni dello stesso tipo. Es.: P 1 P 4 P 3 Punti fisici P i ; osservazioni di dislivelli ij b) dal fatto che non si è ancora creata una connessione fisica con il sistema di coordinate cioè un meccanismo per assegnare bi-univocamente numeri ai punti (vincolo). 21

22 Un S.R. deve pertanto: bloccare i gradi di libertà lasciati liberi dalle misure Gradi di libertà [g.l.] intesi dal punto di vista della Meccanica analitica: un corpo nello spazio ha 6 g.l. Esempi di vincoli: - Rete altimetrica 1 g.l. bloccare 1 solo parametro opportuno quota di un punto o baricentro = cost - Rete planimetrica 3 g.l. bloccare 3 parametri opportuni es. 2 coordinate di un punto ed 1 di un secondo - Rete spaziale 6 g.l. bloccare 6 parametri opportuni es. 3 coordinate di due punti e quota di un terzo 22

23 Perché diversi S.R.? Natura delle osservazioni differenti: Esempio: osservazioni puramente geometriche (angoli) S.R. con coordinate cartesiane osservazioni gravimetriche (zenith di un punto) S.R. con coordinate naturali o intrinseche differenti S.R. per differenti tipologie di osservazioni Scala plano-altimetrica differente: la variazione di gravità tra polo nord ed equatore è pari a quella che si ottiene con una variazione di quota di soli 17 km! 17 km 1 ~ km

24 planimetria: riferimento ellissoidico (sferico per piccole o grandi scale). Perché non lo uso per l'altimetria? Perché non ha significato dal punto di vista fisico. altimetria: riferimento geoidico (non ha descrizione analitica semplice). Perché non lo uso per la planimetria? Perché complicato per il trattamento di angoli e distanze. differenti S.R. per reti planimetriche o altimetriche Scopi differenti: Esempio: applicazioni di moto orbitale, cartografia a scala mondiale o continentale, regionale differenti S.R. per differenti ambiti operativi delle osservazioni 24

25 Realizzazioni differenti: osservazioni con differenti reti strumentazioni periodi d osservazione Esempio: la cartografia nazionale nasce con 8 sotto-reti geodetiche dimensionate ciascuna a partire da una base misurata; ogni sotto rete definisce quindi un diverso S.R. differenti S.R. per differenti campagne d osservazione 25

26 Realizzazioni di S.R. A seconda degli assi e dei piani fondamentali scelti come riferimento, si hanno diversi sistemi di riferimento, raggruppabili in due categorie: A S.R. fissi alle posizioni apparenti delle stelle (quasi "inerziale") (moti relativi tra gli astri; orbite satelliti) B S.R. solidali con la Terra (punti a terra, stazioni di controllo) B1 geocentrici B2 locali 26

27 A - Convenzionale Celeste (CCRS) E' individuato da equatore celeste e dal punto equinoziale. La terna cartesiana associata (X, Y, Z) ha: Asse Z con origine nel baricentro terrestre e ortogonale all equatore celeste di riferimento (medio alle ore 12 del epoca J2000) Asse X passante per il punto equinoziale di riferimento (medio J2000) Asse Y a completamento della terna destrorsa 27

28 B1 - Convenzionale Terrestre (CTRS) E' individuato da asse di rotazione terrestre medio, baricentro terrestre e meridiano di Greenwich. La terna cartesiana associata (X, Y, Z) ha: Asse Z con origine nel baricentro terrestre e passante per il CIO (posizione media del polo relativa al periodo ) Asse X con origine nel baricentro terrestre e passante per l intersezione tra piano meridiano di Greenwich ed equatore terrestre (medio ) 28 Asse Y a completamento della terna

29 B1 World Geodetic System 84 (WGS84) Sviluppato dal DMA (Defence Mapping Agency), è una realizzazione del CTRS (rete spaziale GPS - DoD) Ellissoide (WGS84) parametri geometrici: semiasse equatoriale a = m flattening = (a - b) / a f = 1 / (b semiasse polare) Orientamento geocentrico: Asse Z per il baricentro terrestre e parallelo alla direzione del CTP definito dal BIH per l'epoca 1984 Asse X intersezione del piano meridiano di riferimento, definito dal BIH-1984, e dal piano equatoriale ortogonale a Z Asse Y completa una terna ortogonale destrorsa 29

30 A causa della non rigidità della Terra, le coordinate delle stazioni di controllo cambiano nel tempo: ogni S.R. deve essere periodicamente aggiornato. B1 ITRFxx ITRFxx (IERS Terrestrial Reference Frame xx) è la realizzazione all anno xx del ITRS. È sviluppato dallo IERS (International Earth Roation Service), è una realizzazione del CTRS che tiene conto delle coordinate e delle velocità dei vertici delle reti mondiali VLBI, SLR, LLR, GPS all anno xx (fino a 7cm/anno movimento delle placche tettoniche!) Esempi: rete europea ETRF89; rete nazionale IGM95 30

31 B2 European Datum 1950 (ED50) [locale] Sistema di Riferimento: Ellissoide: internazionale (Hayford) Orientamento: punto di emanazione Postdam, locale medio europeo 1950 Realizzazione: selezione di reti europee del 1 ordine (La compensazione ED50 può essere usata solo per scopi cartografici, non geodetici). φ = 0 λ = 0 31

32 Sistemi di Riferimento geodetici continentali 32

33 B2 Roma 1940 (Roma40) [locale] Sistema di Riferimento Ellissoide: internazionale (Hayford) Orientamento: locale - Roma M.Mario, dati astronomici del 1940, azimut con M.Soratte Realizzazione: rete di triangolazione fondamentale I.G.M. (compensazione ) e reti di raffittimento φ = 0 λ = 9 λ = 15 33

34 Un punto P posizionato secondo diversi S.R. avrà differenti coordinate 34

35 35

36 Trasformazioni tra S.R. Differenze tra S.R.: - dimensioni ellissoidi di rotazione - orientamento (localizzazione spaziale) Trasformazione tra S.R.: la trasformazione dovrà accoppiare le proiezioni dei punti dei 2 differenti S.R. Esempio: ellissoidi di pari dimensioni realizzazioni perfette (prive di distorsioni) la trasformazione che mappa due corpi (rigidi e di pari forma) nello spazio, è descrivibile da una: roto-traslazione 3D 36

37 37 R = matrice delle rotazioni (ε x, ε y, ε z ) attorno agli assi SR1 t.c.sr1//sr2 X o,y o,z o = traslazioni lungo i tre assi SR2 λ = fattore di scala z y x z y x R z y x o o o λ = Osservazione: Il fattore di scala λ è spesso utilizzato per modellare: differente natura delle osservabili impiegate nei due SR (strumentazione classica e satellitare) differenti set di osservazioni dai quali dipende la scala della rete (8 differenti basi della rete nazionale) differenti parametri geometrici degli ellissoidi.

38 Differenze tra S.R. Per come si sono definiti gli orientamenti dei S.R. gli assi di rotazione risultano tra loro pressoché paralleli, per cui i parametri di trasformazione sono principalmente rappresentati da: traslazioni dell ordine di 10 2 m rotazioni di pochi secondi d arco Esempio di trasformazione tra S.R. Roma40 a ED50 WGS84 a Roma40 N.B.: diverse sono le problematiche relative alla determinazione dei parametri di trasformazione che qui non verranno affrontate. 38

39 Osservazione: in generale la trasformazione è 3D ma l informazione altimetrica finale proviene dalla conoscenza delle ondulazioni del geoide: (φ, λ, h) 1 (x, y, z) 1 rototraslazione 3D (x, y, z) 2 (φ, λ, h) 2 (φ, λ) 2, H Il GPS ha reso disponibili le osservazioni delle h ; N H = h - N "altezze (quantità ellissoidiche" prettamente geometriche) che, con le ondulazioni del geoide, forniscono H: N Italgeo99 IGM 39

40 Proiezioni cartografiche La proiezione cartografica fissa la corrispondenza: (φ, λ) (N, E) La rappresentazione cartografica può effettuarsi per via analitica. equazioni della carta: dirette e inverse che legano le coordinate ellissoidiche -angolari- (φ, λ) alle coordinate cartografiche -piane ortogonali- (Nord, Est) Le trasformazioni devono essere: invertibili, a un solo valore, continue e derivabili almeno al primo ordine in tutto l insieme di definizione. Deformazioni inevitabili 40

41 Si definiscono: modulo di deformazione lineare m = 1 solo su alcune linee modulo di deformazione angolare carte conformi δ=0 modulo di deformazione superficiale carte equivalenti µ=1 m = δ µ = = ds da ds da carta ellissoide α α carta ellissoide carta ellissoide Una proiezione cartografica NON può essere contemporaneamente conforme ed equivalente 41

42 Osservazione: Le deformazioni massime accettabili devono in ogni caso essere inferiori all'errore di graficismo: = 0.2 mm alla scala della carta Esempi: piccola scala = 1/ grande scala = 1/ mm = 20 m 0.2 mm = 20 cm Nella cartografia numerica il concetto di scala non è più legato alla rappresentazione della carta, ma alla precisione e definizione del rilievo effettuato: scala nominale scala che avrebbe una carta tradizionale di corrispondente precisione metrica e contenuto informativo. 42

43 Principali rappresentazioni Gauss (cilindrica trasversa) Rappresentazione cilindrica conforme assimilabile ad una proiezione dal centro dell'ellissoide su cilindro trasverso (o inverso) con: - asse ortogonale all'asse di rotazione dell'ellissoide - cilindro tangente ad un meridiano di riferimento. asse ordinate asse ascisse = asse Nord (meridiano di riferimento) = asse Est (equatore) Impieghi: cartografia nazionale (IGMI, Regioni/Provincie autonome, Catasto, CIGA) e internazionale (UTM). 43

44 m = 1 sul meridiano di tangenza (asse Nord) cilindro secante fattore di contrazione delle coordinate rende le deformazioni inferiori al graficismo per fusi di 6 Utilizzo poco pratico per latitudini φ superiori ai ±80 44

45 Lambert (conica) Rappresentazione conica conforme assimilabile ad una proiezione centrale dal centro dell'ellissoide su di un cono con: - asse coincidente con l'asse di rotazione dell'ellissoide e - tangente all'ellissoide lungo un parallelo prefissato. asse ordinate asse ascisse = asse X = meridiano di riferimento = asse Y = equatore Impieghi: Francia, Belgio, Estonia, Romania, Spagna e alcuni stati del Nord America, carta del mondo in scala 1: , carta aeronautica d Italia in scala 1:

46 Deformazioni lineari e superficiali moderate, proporzionali alla distanza dal parallelo di tangenza: più paralleli di tangenza più adatta ad estensioni prevalenti est-ovest 46

47 Cartografia ufficiale italiana Organi ufficiali cartografici italiani: Istituto Geografico Militare Italiano (IGMI) Direzione Generale del Dipartimento del Territorio Istituto Idrografico della Marina Centro Informazioni Geotopografiche Aeronautiche (CIGA) Servizio Geologico Cartografia IGMI vecchia serie Gauss-Boaga/Roma40 nuova serie UTM/ED50 Cartografia Tecnica Regionale, Comunale e Catastale generalmente Gauss-Boaga/Roma40 47

48 Rappresentazione Gauss-Boaga Fuso Ovest di ampiezza 6 30 centrato su meridiano 3 27' 8.4" da M.Mario Fuso Est di ampiezza 6 30 centrato su meridiano 2 32' 51.6" da M.Mario 30' di sovrapposizione tra i due fusi; 30' di fuori margine per l estremità della penisola Salentina. Origine coordinate cartografiche: equatore Nord = 0 meridiano centrale del fuso considerato di false origini Est fuso Ovest = km fuso Est = km (la cifra delle migliaia identifica il fuso) Origine coordinate geografiche: equatore φ = 0 meridiano per Roma M.Mario λ = 0 (+ verso Est; verso Ovest) 48

49 Rappresentazione U.T.M. (Universal Transverse Mercator) La cartografia UTM è una rappresentazione di Gauss, organizzata per: - 60 fusi di ampiezza 6, a partire dall'anti-meridiano di Greenwich con numerazione progressiva; - 20 fasce parallele di 8, a partire dal parallelo 80 S fino al 80 N identificate da lettere; - quadrati di lato 100 km, identificati all'interno del fuso e della fascia, con ulteriori 2 lettere (la prima per la colonna e la seconda per la riga) Origine coordinate cartografiche: equatore Nord = 0 km per emisfero Nord = km per emisfero Sud meridiano centrale del fuso considerato di false origini Est Est = 500 km Origine coordinate geografiche: equatore φ = 0 meridiano per Greenwich λ = 0 (+ verso Est; verso Ovest) 49

50 50

51 51

52 Trasformazioni tra G.B.-Roma40 e UTM-ED50 Aspetti comuni: Rappresentazione, tranne la falsa origine Parametri geometrici dell ellissoide di riferimento (Hayford) Aspetti differenti: False origini Reti geodetiche di riferimento orientamento dell ellissoide 52

53 La trasformazione tra rototraslazione. i due sistemi dovrebbe essere una L IGMI propone di partizionare il territorio nazionale in 8 zone per ciascuna delle quali fornisce un set di parametri di trasformazione (polinomiale). Il motivo nasce dalla rete geodetica di riferimento della cartografia nazionale, costituita da 8 sotto-reti dimensionate a partire da 8 basi indipendenti. Quindi la trasformazione Roma40-ED50 deve tenere conto di due fattori distinti: una rototraslazione generale deformazioni delle singole sotto-reti (problematica simile per la trasformazione WGS84 Roma40) 53

54 Bibliografia principale Betti B., Crespi M., Sansò F.: GPS, geoide e sistemi di riferimento. Ricerche di Geodesia, Topografia e Fotogrammetria, vol. 5, CLUP, Milano Coticchia A., Surace L.: La trasformazione delle coordinate dal sistema UTM (ED1950) al Sistema Cassini-Soldner (catastale). Laboratorio di Topografia e Fotogrammetria, Facoltà di Ingegneria, Università degli Studi di Firenze, settembre DMA WGS 84 Development Committee: "Department of Defense World Geodetic System 1984: its definition and relationships with local geodetic systems". DMA TR , Defense Mapping Agency, Washington DC - USA, Inghilleri G.: Topografia generale. UTET, Torino, Sansò F.: "Annotazioni su GPS e sistemi di riferimento". Collana di Geodesia e Cartografia CISM "Il sistema di posizionamento globale satellitare", CISM, Udine, SURACE L.: "La georeferenziazione delle informazioni territoriali". Bollettino di Geodesia e Scienze Affini, n.2,