8. Amplificatori operazionali

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1 8. Amplificatori operazionali 8. Introduzione: la retroazione negativa Gli amplificatori operazionali (in forma abbreviata PAMP) sono uno dei blocchi base più utilizzati in elettronica, sia per applicazioni lineari (per es., amplificatori e filtri attivi) che non lineari (per es. comparatori, generatori di forme d onda). Non ci occuperemo della struttura interna di un amplificatore operazionale, ma ci limiteremo a definirne le caratteristiche ideali, i principali elementi che rendono un amplificatore operazionale reale leggermente diverso rispetto alla sua versione ideale e le applicazioni lineari più diffuse. Per introdurre le motivazioni per cui è vantaggioso prendere in considerazione un dispositivo avente le caratteristiche di un amplificatore operazionale ideale, partiamo da un concetto molto potente e applicato in numerosissimi campi dell ingegneria: la retroazione negativa applicata a un sistema lineare. La retroazione negativa è una delle tecniche più utilizzate per stabilizzare il guadagno di un generico sistema lineare, avente una grandezza di ingresso x e una grandezza di uscita x. La seguente igura 8. mostra il classico schema a blocchi del generico sistema retroazionato, con un blocco di andata a, un blocco di retroazione, o di feedback, f e un nodo sommatore, chiusi in una configurazione ad anello. igura 8.: Generico sistema lineare con retroazione negativa I blocchi a e f sono unidirezionali, cioè hanno un ingresso, cui è applicata una grandezza di ingresso (per es. x nel caso del blocco a) e un uscita, su cui è presente, appunto la grandezza di uscita (per esempio x f nel caso del blocco f), che non sono interscambiabili. Per questo motivo è possibile definire un verso di percorrenza dell anello di retroazione che, nel tipico caso rappresentato in igura 8., è nel senso orario, dato che segue la direzione definita dalla successione ingresso-uscita di ciascun blocco inserito nell anello. I blocchi a e f, inoltre sono lineari, cioè la relazione tra ingresso e uscita di ciascun blocco può essere rappresentata come una retta passante per l origine degli assi coordinati. Nel sistema di igura 8. il guadagno complessivo A f = x /x, detto guadagno in anello chiuso dato che corrisponde appunto al sistema chiuso in retroazione, si può trovare facilmente, considerando le relazioni tra le grandezze definite dai blocchi ideali che lo compongono. Infatti abbiamo: x ax, xf fx e, inoltre, x x xf x fx x è il cosiddetto segnale errore., Infine, utilizzando le semplicissime relazioni precedenti, possiamo scrivere: x a(x fx ), da cui ricaviamo le seguenti relazioni:

2 x a af e x x af x (8.) In altri termini il guadagno in anello chiuso si può scrivere come: A f x x a af (8.) La rilevanza delle relazioni (8.) e (8.) è notevole. Innanzitutto diamo una definizione: il prodotto af=t si chiama guadagno d anello del sistema, in quanto è il prodotto di tutti i guadagni dei blocchi che si incontrano lungo l anello di retroazione, percorrendolo nel suo verso. Nel caso in cui il guadagno d anello è abbastanza grande (T>>) le (8.) e (8.) si riducono alla seguente forma: x a af f af T x x ; x x x ; A f x x f (8.3) per cui si ha che praticamente il guadagno in anello chiuso del sistema non dipende più dal guadagno del blocco di andata a, ma solo dal blocco di feedback f e inoltre il valore del segnale errore x tende a zero, o comunque a valori molto minori di x. Il vantaggio principale legato a questo risultato, soprattutto in elettronica, risiede nel fatto che spesso il guadagno a di un amplificatore per piccoli segnali, utilizzato come rete di andata, non è ben prevedibile. Esso dipende tipicamente dal punto di lavoro e dai parametri dei dispositivi impiegati nel circuito, che non sono parametri molto controllabili, per cui può assumere valori statisticamente molto dispersi. Invece molto spesso la rete di retroazione è costituita da elementi passivi, il cui valore può essere facilmente scelto all interno di determinate tolleranza. Grazie all applicazione del feedback negativo, il guadagno del nostro sistema dipenderà in pratica solo dalla rete di retroazione, e quindi esso sarà stabile e prevedibile e quindi la variabilità del valore del guadagno a dell amplificatore di andata non costituirà più un grosso problema. L unica cosa importante affinché ciò avvenga è che il guadagno a sia abbastanza grande, in maniera che, moltiplicandolo per il coefficiente f per ottenere il guadagno d anello T del sistema retroazionato, si abbia T>>. Quello appena descritto è l effetto che viene usualmente indicato come desensibilizzazione del guadagno di un sistema retroazionato. sserviamo che stiamo considerando, per l amplificatore di andata, il suo guadagno per piccoli segnali, dato che solo in questo caso, cioè se consideriamo i piccoli segnali, possiamo considerare l amplificatore un circuito lineare e quindi applicare i concetti che abbiamo enunciato, che valgono solo se i blocchi a ed f sono lineari. Il fatto che il segnale di errore tende a zero in un sistema retroazionato con T abbastanza elevato, ha delle implicazioni importanti nei controlli automatici e, per esempio, in elettronica, quando si parla di cortocircuito virtuale o massa virtuale nei circuiti in cui si utilizzano amplificatori operazionali, come vedremo in seguito. In pratica si ha che, nel caso in cui T>>, la grandezza riportata dall uscita all ingresso del sistema x f tende a seguire fedelmente l andamento della grandezza di ingresso x, il che ha delle implicazioni pratiche rilevanti. etroazione negativa e retroazione positiva E particolarmente importante riconoscere un sistema retroazionato con retroazione negativa da un sistema retroazionato con retroazione positiva. A tal fine consideriamo il solo anello di retroazione, annullando l ingresso x : otteniamo il sistema rappresentato in igura 8..

3 igura 8.: istema retroazionato privo dell ingresso x e ridotto al solo anello di retroazione cegliamo un punto dell anello di retroazione e pratichiamo un taglio, come in figura 8.3, individuando la grandezza a monte del taglio x i e la grandezza a valle del taglio xˆ i, nel verso orario di percorrenza dell anello di retroazione. igura 8.3: Taglio praticato nell anello di retroazione Consideriamo ora il rapporto x / xˆ : i i x xˆ i i af T (8.4) Esso rappresenta il prodotto di tutti i guadagni che si incontrano percorrendo l anello di retroazione nella sua interezza, compreso il nodo sommatore, che dà come contributo il segno meno nella (8.4). e questo rapporto è negativo, allora il sistema è retroazionato negativamente. In questo caso, l anello di retroazione si comporta in modo da opporsi alla variazione delle grandezze al suo interno: per esempio, se xˆ i tende ad aumentare, l anello di retroazione negativa produce una variazione della grandezza x i di segno opposto, quindi una diminuzione di x i, per cui, quando l anello è chiuso, il sistema tende a reagire alle variazioni delle grandezze al suo interno in modo da ridurle. Nel caso in cui, invece, il rapporto x i / xˆ i è positivo si parla di retroazione positiva e si dice che il sistema è retroazionato positivamente. In questo caso l anello di retroazione tende ad amplificare e quindi ad esaltare la variazione delle grandezze al suo interno: per esempio, se xˆ i tende ad aumentare, l anello di retroazione positiva produce una variazione della grandezza x i dello stesso segno e di entità maggiore, quindi un aumento notevole di x i, per cui, quando l anello è chiuso, il sistema tende a reagire alle variazioni delle grandezze al suo interno amplificandole sempre di più, per cui, alla fine, l amplificatore di andata tende a raggiungere i suoi limiti di dinamica. Quindi si ha che in un sistema retroazionato positivamente, il punto di lavoro dell amplificatore di andata si sposta sempre fino ad arrivare ai limiti della dinamica, laddove il suo guadagno a diventa molto piccolo, per cui anche il rapporto x / xˆ diventa piccolo. Il sistema si stabilizza quando il rapporto i i

4 x i / xˆ i diventa unitario, per cui l anello di retroazione non è più in grado di amplificare le variazioni delle grandezze al suo interno. e, quindi, vogliamo sfruttare i vantaggi della desensibilizzazione cui abbiamo accennato, dobbiamo assicurarci che la retroazione cha realizziamo sia una retroazione negativa, cioè che l anello di retroazione sia fatto in modo tale che la grandezza (8.4) sia negativa, cioè che un segnale, partendo da un punto interno dell anello di retroazione e percorrendo tutto l anello di retroazione nel suo verso (come in igura 8.3), subisca una variazione di segno. Nel sistema ideale che abbiamo considerato finora, rappresentato in igura 8., accade quindi che la retroazione è negativa se e solo se le grandezze a e f sono entrambe positive o entrambe negative. e i segni di a e f sono discordi la retroazione è positiva e il sistema deriva verso i limiti di dinamica dell amplificatore inserito nel ramo di andata. 8. L amplificatore differenziale iprendiamo il sistema retroazionato in igura 8.. Consideriamo il nodo sommatore e l amplificatore di andata a come un unico blocco, come in igura 8.4. igura 8.4: Nodo sommatore e amplificatore di andata a racchiusi in un unico blocco Tale blocco, innanzitutto, ha due ingressi, x e x f e una sola uscita x, ed è fatto in maniera tale che tale uscita dipende solo dalla differenza delle due grandezze di ingresso. Infatti abbiamo che: x = a(x - x f ) In queste condizioni, nelle quali abbiamo individuato un blocco con due ingressi e una sola uscita che dipende solo dalla differenza dei due ingressi, si dice che tale blocco è un amplificatore differenziale. Approfondiamo ora ulteriormente il concetto di amplificatore differenziale. iccome vogliamo riferirci in particolare a un sistema elettronico, da ora in poi parleremo di segnali di tensione v i, anziché di generiche grandezze x i. Consideriamo, in generale, un circuito elettronico avente due ingressi v e v e una sola uscita v, genericamente rappresentato in igura 8.5. igura 8.5: Generico amplificatore lineare con due ingressi e una sola uscita In generale, avremo che l uscita dipenderà da entrambi gli ingressi, secondo una relazione lineare del tipo:

5 v Av Av (8.5) Non abbiamo studiato un esempio di amplificatore per piccoli segnali con due ingressi, ma esistono configurazioni circuitali realizzate con transistori bipolari o MET che sono appunto di questo tipo. Possiamo scomporre i due ingressi nel seguente modo. Definiamo l ingresso di modo differenziale v id semplicemente come la differenza tra i due ingressi v e v : v id v v Definiamo invece ingresso di modo comune v ic come la media delle due tensioni di ingresso: v v vic E molto semplice dimostrare a questo punto che i due segnali di tensione di ingresso si possono rappresentare in termini di ingresso di modo differenziale e ingresso di modo comune nel modo seguente: v v v ic v ic vid vid Di conseguenza, la (8.5) si può scrivere come segue: v v v id id A vic A vic (A A)vic vid ACM vic ADMvid (8.6) A A Abbiamo espresso quindi l uscita dell amplificatore in funzione degli ingressi di modo comune e di modo differenziale, identificando i parametri A CM, che si chiama guadagno di modo comune e A DM, che è il guadagno di modo differenziale. Dalla espressione (8.6) possiamo ricavare la definizione dei guadagni di modo comune e di modo differenziale: A A CM DM v è il guadagno di modo comune dell amplificatore con due ingressi vic v id 0 v è il guadagno di modo differenziale dell amplificatore con due ingressi vid v ic 0 (8.7) Le relazioni (8.7) indicano anche la maniera in cui si possono misurare i guadagni A CM e A DM dell amplificatore, illustrati nella seguente igura 8.6.

6 igura 8.6: (a) alutazione del guadagno di modo comune; (b) alutazione del guadagno di modo differenziale In igura 8.6(a) è stata imposto lo stesso segnale in tensione v ic sui due ingressi, per cui v id =0, quindi siamo nelle condizioni della prima delle (8.7) e avremo A CM =v /v ic. Invece, nella igura 8.6(b) abbiamo la media dei due segnali di ingresso nulla, per cui v ic =0, mentre il segnale di ingresso di modo differenziale è proprio v id, quindi ci troviamo nelle condizioni della seconda delle (8.7) e otterremo A DM =v /v id. In altre parole, nella igura 8.6(a) abbiamo una situazione in cui il segnale di ingresso è puramente di modo comune, mentre nella igura 8.6(b) abbiamo una situazione in cui il segnale di ingresso è puramente di modo differenziale. Quanto detto finora riguarda un generico amplificatore a due ingressi. Un amplificatore di questo tipo si chiama amplificatore differenziale ideale nel caso in cui la sua uscita dipende solo dalla differenza dei due segnali di ingresso ed è insensibile, invece, alla media dei due segnali di ingresso. In altri termini un amplificatore differenziale ideale deve avere A CM =0, in modo tale che la (8.6) diventa: v ADMvid ADM(v v) e quindi il segnale di uscita dipende solo dalla differenza dei segnali di ingresso e non dalla loro media. Il caso ideale in cui il guadagno di modo comune A CM è esattamente pari a zero è ovviamente solo un astrazione. Nei casi reali di amplificatori differenziali avremo un valore di A CM non nullo, ma molto piccolo e comunque molto minore del guadagno di modo differenziale A DM. Per questo motivo l efficienza di un amplificatore differenziale reale nel rigettare il segnale di ingresso di modo comune e nell amplificare solo il segnale differenziale di ingresso si misura attraverso un parametro detto Common Mode ejection atio (CM), cioè il rapporto di reiezione del modo comune, definito dalla seguente relazione: CM 0log A DM 0 ACM Quindi il CM esprime, in decibel, o db, il rapporto tra il guadagno di modo differenziale e il guadagno di modo comune di un amplificatore differenziale. vviamente, per quanto detto, un amplificatore differenziale ideale deve avere CM praticamente infinito, mentre un buon amplificatore differenziale è caratterizzato da un CM abbastanza elevato. Per esempio, se CM=60dB abbiamo un valore di A DM 000 volte più grande di quello di A CM, quindi abbiamo a che fare con un buon amplificatore differenziale. Quindi, se vogliamo realizzare il sistema rappresentato in igura 8.4, nel caso in cui tutte le grandezze del sistema sono segnali in tensione, la prima cosa di cui abbiamo bisogno è un buon amplificatore differenziale, al limite ideale, che in pratica amplifichi di un fattore a=a DM la differenza tra il segnale di ingresso x =v e il segnale riportato in ingresso dal blocco f, cioè x f =v f.

7 8.3 L amplificatore operazionale e vogliamo sfruttare appieno i vantaggi offerti dalla retroazione negativa, dobbiamo realizzare un sistema il cui guadagno d anello T=af sia abbastanza grande, come abbiamo visto precedentemente. Inoltre il blocco f, come abbiamo anticipato, deve essere fatto da componenti i cui parametri devono essere assolutamente controllabili con una certa accuratezza, in modo che il guadagno in anello chiuso, circa uguale a /f, sia anch esso controllabile e prevedibile. Di conseguenza f deve essere una rete passiva, fatta, per esempio, da resistori di precisione adeguata, per cui non può introdurre alcun guadagno. In altri termini, nel caso in cui tutte le grandezze del sistema sono segnali in tensione, avremo necessariamente f < per quanto riguarda il blocco in retroazione. Di conseguenza, per avere T>>, dobbiamo necessariamente spostare tutto il guadagno sull amplificatore differenziale. Quindi non solo il blocco formato dalla rete a e dal nodo sommatore deve essere un buon amplificatore differenziale (al limite dovrebbe essere CM ) ma il suo guadagno a=a DM deve essere molto elevato, idealmente infinito. iamo giunti quindi alla definizione delle due caratteristiche fondamentali di un amplificatore operazionale ideale: esso deve avere CM infinito, ma anche guadagno di modo differenziale praticamente infinito. CM = ; A DM = (8.8) vviamente un amplificatore operazionale reale sarà caratterizzato da CM non infinito, ma molto elevato e da guadagno di modo differenziale anch esso non infinito, ma di valore molto grande. Tali valori sono riportati nel documento che descrive le caratteristiche di un certo tipo di amplificatore operazionale (per esempio il classico ua74), cioè nel suo data-sheet. Il simbolo dell amplificatore operazionale (PAMP) ideale è quello riportato in igura 8.7, in cui sono state riportate le correnti nei morsetti di ingresso I + e I -. igura 8.7: imbolo dell amplificatore operazionale ideale Il morsetto contrassegnato dal simbolo + si chiama morsetto non invertente dell PAMP, quello contrassegnato dal segno si chiama morsetto invertente. Un PAMP ideale deve avere anche altre caratteristiche, che riguardano innanzitutto i valori delle sue resistenze ai terminali. Esso deve essere un amplificatore ideale di tensione: come sappiamo, un amplificatore ideale di tensione deve avere innanzitutto resistenza di ingresso infinita, in modo da non rappresentare un carico per i circuiti precedenti ed eliminare, per esempio, l effetto del partitore di tensione associato con la resistenza caratteristica in serie al generatore di segnale di ingresso. Quindi un PAMP ideale deve avere resistenza d ingresso infinita, il che si traduce nella seguente condizione: le correnti I + e I - (e quindi anche le correnti di segnale corrispondenti) associate ai morsetti di ingresso di un PAMP ideale devono essere rigorosamente nulle. I + = I - = 0 (8.9)

8 vviamente questa condizione è verificata solo in prima approssimazione in un amplificatore operazionale reale. In un PAMP reale, infatti, le correnti nei morsetti di ingresso non sono esattamente nulle, ma comunque molto piccole, per esempio dell ordine di qualche decina di na nel caso di PAMP fatti con transistori bipolari. Tali correnti si definiscono correnti di polarizzazione di ingresso dell amplificatore operazionale e il loro valore tipico è riportato nel data-sheet dell PAMP. Un altra grandezza importante, anch essa riportata nel data-sheet, è il cosiddetto offset di corrente di ingresso I, che è semplicemente la differenza tra le due correnti di polarizzazione di ingresso dell PAMP: I = I + - I - (8.0) Un altra caratteristica che un amplificatore ideale di tensione deve possedere è che il suo guadagno non deve dipendere dal carico che viene imposto in uscita. Abbiamo visto che questo, in altre parole, significa che la sua resistenza di uscita deve essere nulla. Quindi un amplificatore operazionale ideale, dovendo essere un amplificatore differenziale di tensione ideale, deve avere resistenza di uscita nulla, ovvero si deve poter modellare come un generatore di tensione pilotato dalla tensione di ingresso di modo differenziale privo di resistenza in serie, come in igura 8.8, quindi deve avere guadagno di modo differenziale che non è affatto influenzato dal carico. igura 8.8: Modello dell PAMP ideale, con resistenza di uscita nulla, CM infinito e guadagno di modo differenziale infinito Un altra caratteristica dell PAMP ideale è quella che il guadagno si conserva sempre costante al variare della frequenza dei segnali di ingresso. In pratica, un amplificatore operazionale ideale ha una larghezza di banda infinita, che si estende dalla frequenza nulla fino a frequenza infinita. Anche qui va sottolineato il fatto che questa è solo una situazione ideale. Gli PAMP reali hanno un limite superiore della banda passante, in corrispondenza del quale il guadagno di modo differenziale comincia a diminuire con la frequenza del segnale di ingresso, che di solito è molto piccola. Lo studio della risposta in frequenza dei circuiti che contengono amplificatori operazionali con banda limitata non sarà per il momento preso in considerazione. inora, nella definizione delle caratteristiche di un amplificatore operazionale, abbiamo sempre preso in considerazione segnali in tensione, in quanto abbiamo osservato che, in generale, le caratteristiche ingresso-uscita degli amplificatori che abbiamo considerato nei nostri studi non sono rette passanti per l origine, ma, a causa delle caratteristiche non lineari dei transistori, sono curve non lineari non passanti per l origine, per cui siamo sempre stati costretti a considerare un punto di lavoro del circuito su queste caratteristiche, intorno al quale si fa l approssimazione lineare per piccoli segnali. Il caso di un amplificatore operazionale è invece molto più semplice: la sua caratteristica ingresso-uscita, che esprime la tensione di uscita in funzione della tensione differenziale di ingresso id = - = + - -, è lineare, cioè si può considerare una retta passante per l origine. Questo significa che si può assumere come punto di lavoro l origine degli assi, cioè il punto ( id, )= (0,0) e anche che i segnali di tensione, cioè gli spostamenti intorno al punto di lavoro, coincidono con le tensioni. Quindi, in definitiva, quando si lavora con gli amplificatori

9 operazionali, non è necessario adottare l approssimazione per piccoli segnali, dato che il circuito è lineare. Di conseguenza, il modello di un PAMP ideale si può disegnare anche come nella seguente igura 8.9. igura 8.9: Modello di un PAMP ideale che riporta le tensioni del dispositivo, non più i soli segnali di tensione Un amplificatore operazionale è sempre basato su circuiti realizzati con transistori, che, come sappiamo, hanno bisogno di essere polarizzati attraverso delle tensioni di alimentazione. Tipicamente l alimentazione di un PAMP è di tipo duale simmetrico e il modo di rappresentare graficamente le tensioni di alimentazione è quello utilizzato in igura 8.0. igura 8.0: Tensioni di alimentazione di un amplificatore operazionale Per esempio, le tensioni di alimentazione possono essere CC = e EE =-. La tensione di uscita non potrà mai superare le tensioni di alimentazione, quindi potrà solo aumentare fino quasi a raggiungere la CC oppure diminuire fino a un valore vicino alla EE, ma mai oltrepassare questi limiti. Quindi avremo un valore massimo della tensione di uscita, che chiamiamo H, vicino a CC, e un valore minimo L, prossimo alla EE. Le due tensioni L e H si chiamano rispettivamente tensioni di uscita di saturazione negativa e positiva dell amplificatore operazionale. Quando l PAMP lavora con l uscita pari a L oppure a H, si dice che esso sta funzionando appunto in saturazione. Essendo CC = - EE, si ha sempre che H - L. Di conseguenza la caratteristica statica ingresso-uscita di un amplificatore operazionale ideale, che riporta la tensione di uscita in funzione della tensione differenziale di ingresso id = + - -, è rappresentata nella seguente igura 8..

10 igura 8.: Caratteristica statica ingresso-uscita id- di un amplificatore operazionale ideale Quando i valori delle tensioni di uscita di saturazione L e H non vengono specificati, si può assumere che essi siano circa uguali alle tensioni di alimentazione dell PAMP. i nota che, dato che il guadagno A DM è infinito, se la tensione di uscita è compresa nell intervallo [ L, H ], cioè siamo appunto nella zona in cui l PAMP si comporta linearmente con guadagno elevatissimo, la tensione differenziale di ingresso è praticamente nulla. In questa regione della caratteristica abbiamo, in pratica, + = - e i due morsetti dell PAMP si trovano allo stesso potenziale. i dice che, in questa condizione, si ha un cortocircuito virtuale tra i morsetti dell amplificatore operazionale: è importante sottolineare che la condizione di cortocircuito virtuale tra i morsetti di ingresso dell PAMP è completamente diversa dalla condizione in cui essi sono messi in cortocircuito franco tramite un conduttore. In quest ultimo caso si avrebbe, in generale, una corrente che scorre attraverso il conduttore utilizzato per cortocircuitare i morsetti, mentre, nel caso del cortocircuito virtuale, sappiamo che i morsetti dell PAMP non assorbono alcuna corrente, ma semplicemente si trovano, in pratica, allo stesso potenziale. In altri termini, essendo il guadagno infinito, basta una tensione differenziale praticamente nulla in ingresso per avere in uscita qualunque livello di tensione compreso tra L e H. Una condizione molto simile si verifica per un PAMP non ideale, che ha guadagno non infinito ma comunque molto elevato, la cui caratteristica è riportata nella seguente figura. igura 8.: Caratteristica statica ingresso-uscita id- di un amplificatore operazionale non ideale Nella igura 8., la retta che rappresenta la zona di guadagno, o lineare, della caratteristica, ha una pendenza non infinita, quindi il guadagno non è infinito. e però supponiamo che il guadagno di modo differenziale A DM sia pari, per esempio, a 80dB, cioè a 0.000, supponendo che le tensioni

11 di alimentazione, e quindi le tensioni di saturazione, siano pari circa a ±0, possiamo calcolare la variazione di tensione differenziale di ingresso che serve per far passare l uscita da L a H. Essa vale: id = ( H - L )/A DM 0/0.000 = m e la scala dell asse delle ascisse di igura 8. fosse dello stesso ordine di grandezza di quella dell asse delle ordinate, l inclinazione della caratteristica rispetto alla verticale non si potrebbe nemmeno apprezzare (m è del tutto trascurabile rispetto a 0) per cui l aspetto della caratteristiche sarebbe identico a quello della igura 8.. In definitiva, anche se l amplificatore operazionale non è ideale, nella zona di guadagno, la differenza tra le tensioni dei due morsetti è molto piccola e quindi trascurabile nelle applicazioni, per cui sussiste ancora, in prima approssimazione, il cortocircuito virtuale. Questa considerazione è tanto più vera quanto più il guadagno aumenta: ad esempio il guadagno di modo differenziale di un PAMP classico, come il ua74, è tipicamente intorno a , quindi davvero molto elevato. Consideriamo infine un ultima grandezza che caratterizza gli amplificatori operazionali non ideali, cioè la tensione di offset di ingresso. Abbiamo detto che la caratteristica ingresso-uscita, nel tratto di guadagno, si può considerare praticamente verticale. uccede però che, nei casi pratici, questo tratto verticale della caratteristica non è perfettamente coincidente con l asse verticale, ma è spostato di una certa quantità rispetto ad esso, come in igura 8.3. Questo spostamento assume un valore differente se si considerano diversi amplificatori operazionali dello stesso tipo, in quanto è un effetto statistico dovuto a fluttuazioni casuali dei valori di alcuni parametri tecnologici dei dispositivi che costituiscono l PAMP. Tale spostamento va sotto il nome di offset di tensione di ingresso dell amplificatore operazionale e si indica con. igura 8.3: Caratteristica di un PAMP che presenta un offset di tensione di ingresso. L offset è quindi la tensione di modo differenziale che bisogna applicare in ingresso all PAMP per far sì che la parte verticale della sua caratteristica torni a coincidere con l asse delle ordinate. Il dato che viene riportato nel data sheet di ciascun tipo di PAMP è il valore quadratico medio dell offset che si misura su un numero elevato di campioni di quel tipo di amplificatore operazionale: per esempio per il ua74 il valore tipico riportato nel data sheet è di ±5m. Esistono anche altre caratteristiche importanti che vengono riportate nel data sheet di un PAMP: ad esempio vengono specificati i limiti massimi e minimi di tensione che si possono imporre ai terminali di alimentazione per ottenere un funzionamento accettabile dell PAMP, la corrente massima erogabile dall amplificatore su un carico imposto sull uscita, il suo CM, le sue

12 caratteristiche di risposta in frequenza e molti altri parametri che possono essere importanti in alcune applicazioni. A questo punto, avendo definito le caratteristiche salienti di un amplificatore operazionale, ne vediamo una prima applicazione, direttamente riconducibile allo schema a blocchi ideale di igura 8., ripreso in igura 8.4, dal quale siamo appunto partiti per capire quali caratteristiche l PAMP doveva avere per sfruttare appieno i vantaggi offerti dall applicazione della retroazione negativa. 8.4 Una prima applicazione dell amplificatore operazionale: la configurazione non invertente Tornando alla igura 8.4, consideriamo ancora il caso in cui tutte le grandezze fisiche del sistema ideale rappresentato nella figura sono delle tensioni. In pratica abbiamo l ingresso del sistema (o, nel nostro caso, circuito) x =, l uscita x =, la grandezza riportata in ingresso dal blocco f x f = f e infine il segnale errore x =. A questo punto ridisegniamo il sistema-circuito mettendo in evidenza questo fatto, come è riportato nella seguente igura 8.4. Useremo questa figura come schema a blocchi di riferimento per costruire un circuito che si comporti esattamente come il sistema rappresentato e quindi abbia tutti i suoi vantaggi, cioè che sia fatto in modo tale che T>> e quindi che Af= / sia pari circa a /f, cioè dipenda in pratica solo da parametri relativi al blocco di retroazione. igura 8.4: istema retroazionato in cui le grandezze fisiche coinvolte sono tensioni. Innanzitutto, sostituiamo il nodo sommatore e il blocco a con un amplificatore operazionale, che provvede a effettuare la differenza tra gli ingressi e ad amplificarla per un fattore a=a DM molto elevato, teoricamente infinito nel caso di PAMP ideale. Ciò garantisce che, se il fattore f è finito, otterremo un sistema in cui il guadagno d anello T= f A DM è molto grande, teoricamente infinito. tteniamo quindi il circuito rappresentato in igura igura 8.5: istema di igura 8.4 con PAMP al posto del blocco ideale a.

13 In igura 8.5 abbiamo anche evidenziato il generatore di tensione che fornisce la tensione di ingresso del circuito. Notiamo subito che, anche se colleghiamo un carico all uscita del circuito, le caratteristiche del circuito stesso non saranno affatto alterate in quanto l PAMP ideale ha resistenza di uscita praticamente nulla e quindi il suo guadagno resta sempre infinito, o comunque sempre elevatissimo, qualunque sia il carico o anche l eventuale resistenza di ingresso del blocco di retroazione f. A questo punto, per definire completamente il nostro circuito, dobbiamo realizzare una rete che, avendo in ingresso la tensione, fornisca in uscita la tensione f = f da riportare all ingresso del circuito retroazionato, applicandola al morsetto invertente dell PAMP in modo da garantire che, se f è positivo, la retroazione sia negativa. Il circuito più semplice che si può utilizzare per realizzare questa operazione è un partitore di tensione, in cui applichiamo ai capi della serie tra le due resistenze e preleviamo l uscita sul nodo comune tra le resistenze stesse, come nella successiva igura 8.6. igura 8.6: emplice partitore di tensione che realizza la relazione f = f, con f = /( + ). e si utilizza il partitore di tensione per realizzare il blocco di retroazione, il valore del parametro f che si ottiene è: f f (8.) E importante notare ancora una volta che il fatto che applichiamo la seria di resistenze + sull uscita dell amplificatore operazionale, ciò non altera in alcun modo il valore del guadagno di modo differenziale A DM dell PAMP, in quanto la sua resistenza di uscita è nulla. Inoltre, dato che la resistenza di ingresso dell PAMP è infinita e quindi la corrente che scorre nei suoi morsetti di ingresso è nulla, il partitore che abbiamo introdotto nel circuito funziona a vuoto, che è la condizione per cui il valore di f resta determinato dai soli resistori ed, come nella (8.). Avendo definito tutti i blocchi circuitali che possiamo utilizzare per realizzare un circuito che si comporti esattamente come il sistema rappresentato in igura 8.4, possiamo disegnarlo, inserendo il partitore di tensione di igura 8.6 al posto del blocco ideale f nella igura 8.5. Il circuito ottenuto, raffigurato nella igura 8.7, è una configurazione classica dell amplificatore operazionale, che si chiama configurazione non invertente. i dice che, nel circuito di igura 8.7, abbiamo montato l amplificatore operazionale in configurazione non invertente, dato che il guadagno in anello chiuso che si ottiene è positivo e quindi tutto il circuito realizza un amplificatore di tensione non invertente.

14 igura 8.7: Amplificatore operazionale in configurazione non invertente. Il calcolo del guadagno in anello chiuso discende direttamente dalle (8.3). Infatti abbiamo che: T a f A A DM, dato che A DM, per cui otteniamo: f (8.) f iusciamo quindi a realizzare, grazie alle caratteristiche dell PAMP e alla retroazione negativa, un guadagno in anello chiuso che dipende solo dalle resistenze inserite nella rete di retroazione e non dal guadagno dell PAMP e che quindi può essere reso molto preciso. Per concludere il discorso su questa prima applicazione dell PAMP, facciamo alcune ulteriori considerazioni. a) Lo schema di retroazione utilizzato in igura 8.7 è senz altro una retroazione negativa. Infatti, se passiviamo l ingresso ( =0) e tagliamo l anello di retroazione come in igura 8.8, ^ notiamo che una tensione i iniettata nel nodo a valle del taglio (considerando il verso di percorrenza del percorre tutto l anello di retroazione e ritorna nel nodo immediatamente a monte del taglio avendo subito un cambiamento di segno. In altre parole il guadagno complessivo che si ^ incontra percorrendo tutto l anello di retroazione i / i A DM T è negativo, per cui la retroazione è negativa. Questo implica che l PAMP può funzionare nella sua regione a guadagno infinito e non è costretto a lavorare solo in saturazione, cosa che avverrebbe se la retroazione fosse positiva.

15 igura 8.8: erifica che l PAMP in configurazione non invertente realizza una retroazione negativa. b) e consideriamo la tensione di modo differenziale all ingresso dell PAMP in configurazione non invertente (igura 8.7), otteniamo, sempre in virtù delle equazioni (8.3): T 0, essendo T id (8.3) Ciò implica che le tensioni al morsetto invertente e non invertente dell PAMP sono praticamente uguali, cioè che abbiamo un cortocircuito virtuale all ingresso dell operazionale. vviamente le relazioni che esprimono il guadagno in anello chiuso, cioè la (8.), e il segnale errore, cioè la (8.3), sono valide se e solo se l PAMP non va in saturazione, cioè se esso si trova a funzionare nella sua regione a elevatissimo guadagno. Ciò significa che la tensione di uscita deve essere compresa tra L e H. e l PAMP va in saturazione, la tensione di uscita resta fissa al valore di saturazione negativa o positiva e non si ha più il cortocircuito virtuale. Infatti si ha che, secondo la caratteristica ingresso-uscita dell PAMP, se + > -, allora = H ; se invece + < -, allora = L, come si vede in igura 8.. c) L amplificatore realizzato utilizzando l PAMP in configurazione non invertente ha resistenza di ingresso infinita, dato che la corrente nel morsetto non invertente dell amplificatore operazionale è nulla, e resistenza di uscita nulla, dato che l PAMP ha resistenza di uscita nulla. Il tutto è illustrato nella igura 8.9. igura 8.9: esistenza di ingresso e di uscita dell PAMP in configurazione non invertente.

16 Esso è quindi un amplificatore ideale di tensione di guadagno pari a +( / ). Di conseguenza, se consideriamo il circuito rappresentato in igura 8.0, in cui il generatore di tensione di ingresso non è ideale ma ha una resistenza in serie e in più è stato aggiunto un carico L sull uscita dell PAMP, esso ha ancora un guadagno / pari a /f, cioè +( / ), indipendente non solo dal guadagno dell PAMP, ma anche dal valore di e L. igura 8.0: Amplificatore operazionale in configurazione non invertente con tensione di ingresso non ideale e carico L. d) Abbiamo derivato il circuito di igura 8.7 direttamente dal diagramma a blocchi ideale di un sistema con retroazione negativa, per cui il calcolo del suo guadagno in anello chiuso è stato effettuato semplicemente applicando le relazioni (8.3), senza fare calcoli sul circuito. Ci chiediamo ora come possiamo ricalcolare il guadagno in anello chiuso senza tenere conto delle equazioni (8.3), facendo dei calcoli direttamente sul circuito in igura 8.7. I principi fondamentali che dobbiamo applicare se vogliamo fare questo sono solo due, direttamente legati alle caratteristiche dell amplificatore operazionale ideale. Essi sono: ) L PAMP ha guadagno infinito, per cui, se esso funziona nella regione di guadagno e non si trova in saturazione, il che può accadere solo se la retroazione è negativa, abbiamo un cortocircuito virtuale tra i morsetti di ingresso. Quindi possiamo imporre che + -. ) Le correnti che scorrono nei terminali di ingresso dell amplificatore operazionale sono nulle. Questa condizione vale anche se l PAMP funziona in saturazione. e consideriamo questi due principi e li applichiamo al circuito dell PAMP non invertente di igura 8.7, anche se ignoriamo il percorso seguito per costruirlo derivandolo dallo schema a blocchi ideale di igura 8., possiamo calcolare il suo guadagno. Innanzitutto ci accertiamo che la retroazione è negativa, facendo la verifica illustrata in igura 8.8. Quindi possiamo imporre il cortocircuito virtuale tra i morsetti dell PAMP: id 0 Questo implica che:, quindi f f A questo punto sappiamo che la corrente entrante nel morsetto invertente dell PAMP è nulla, per cui la rete costituita da e è un partitore ideale di tensione, in quanto le due resistenze sono in serie e dal loro morsetto in comune non esce corrente. Questo significa che tra f e c è la relazione che lega le tensioni di uscita e di ingresso del partitore di tensione, cioè che:

17 f Essendo f =, otteniamo: e, infine: iotteniamo così il valore del guadagno in anello chiuso A f che abbiamo riportato nella (8.). Ancora una volta osserviamo che questa espressione del guadagno è valida se e solo se l PAMP non è in saturazione, cioè se e solo se appartiene all intervallo [ L, H ], il che accade se e solo se la tensione di ingresso appartiene all intervallo [ L /A f, H /A f ]. e, per esempio, è pari a 0k e vale k, allora il guadagno del circuito vale + / =+0=. e inoltre le tensioni di saturazione dell PAMP, circa uguali alle tensioni di alimentazione EE e CC, sono pari a L =-0 e H =0, allora i limiti di dinamica per la tensione di ingresso del circuito, all interno dei quali il guadagno si mantiene pari al valore A f =, sono ±(0/) ±0.9. La caratteristica statica ingresso uscita - del circuito è rappresentata in igura 8.. igura 8.: Caratteristica ingresso-uscita dell amplificatore operazionale in configurazione non invertente ( H =- L =0, =0, A f =). Tutto quello che è stato detto finora per la configurazione non-invertente dell PAMP ideale si può estendere con ottima approssimazione anche al caso di amplificatore operazionale non ideale, il quale possiede, in pratica, tutte le caratteristiche dell PAMP ideale, almeno in prima approssimazione. Infine conviene sottolineare ancora una volta che, quando si ha a che fare con circuiti contenenti PAMP, si può tranquillamente fare riferimento alle tensioni e alle correnti in gioco, anziché ai soli segnali di tensione e di corrente, in quanto le caratteristiche dell amplificatore operazionale, almeno nella zona a elevato guadagno, sono praticamente lineari e passanti per l origine, per cui non c è bisogno di fare ricorso all approssimazione per piccoli segnali. L unica non linearità che abbiamo studiato che potrebbe richiedere il ricorso all analisi relativa ai soli segnali è la tensione di offset in ingresso, ma i valori tipici dell offset sono talmente piccoli che, nella maggior parte delle applicazioni comuni dell PAMP, questo non è necessario.

18 8.5 Un caso particolare della configurazione non invertente: il buffer di tensione Abbiamo studiato nel dettaglio l amplificatore operazionale in configurazione non invertente, individuandone le caratteristiche e il valore del guadagno. Notiamo che, se consideriamo tale configurazione, per esempio rappresentata nel circuito di igura 8.9, e facciamo tendere a infinito e a zero, otteniamo il circuito di igura 8.. In base ai calcoli precedentemente svolti, il guadagno del circuito vale: A Il circuito si comporta quindi come un inseguitore di tensione, avendo guadagno unitario. Esso viene di solito indicato con il nome di buffer di tensione. igura 8.: Amplificatore operazionale configurato come buffer di tensione. Possiamo anche calcolare il guadagno del circuito senza considerare il fatto che si tratta di un caso particolare della configurazione non invertente. Innanzitutto è banale verificare che la retroazione applicata è negativa. Di conseguenza sappiamo che, se la tensione di uscita è compresa nell intervallo [ L, H ] e quindi l PAMP lavora nella regione ad elevato guadagno, abbiamo il cortocircuito virtuale tra i morsetti di ingresso dell PAMP, per cui otteniamo che: + = = - = e quindi = il che conferma il fatto che il guadagno del circuito è unitario. L applicazione tipica del buffer di tensione è il disaccoppiamento delle resistenze di carico e di sorgente, illustrato nella igura 8.3, ottenuto grazie alla resistenza di ingresso infinita e alla resistenza di uscita nulla del circuito. igura 8.3: Buffer di tensione con sorgente di ingresso non ideale e carico resistivo. Il guadagno / del circuito in igura 8.3 è ancora unitario, nonostante la presenza delle resistenze in serie alla sorgente e L sull uscita del circuito come carico. e avessimo collegato direttamente la sorgente non ideale al carico L avremmo ottenuto invece un guadagno pari a L /( + L ) che, nel caso << L, può essere anche molto piccolo e che in ogni caso dipende

19 dal valore assunto da entrambe le resistenze. La presenza del buffer rende invece il guadagno del circuito sempre unitario, indipendentemente dal valore di e L. Come già evidenziato, il guadagno resta unitario finchè l PAMP resta nella sua regione lineare di funzionamento. Quando esso va in saturazione avremo che l uscita è pari a L, nel caso in cui abbiamo > H (saturazione positiva, + > - ) e invece è pari a L se si ha che < H (saturazione negativa, + < - ). Quindi in questo caso i limiti di dinamica di ingresso del circuito sono proprio le tensioni di saturazione dell PAMP. Un ultima osservazione riguarda il valore dei parametri a ed f corrispondenti alla configurazione in igura 8.3: essi sono a=a DM e f=, da cui ancora si ricava che T=A DM f= A DM, il che significa che abbiamo il massimo valore possibile di guadagno d anello, pari a tutto il guadagno di modo differenziale dell PAMP (che è infinito nel caso ideale) e, ancora, che il guadagno in anello chiuso nel caso ideale è A =/f=, come già sappiamo. Tutto ciò vale grazie al fatto che, essendo il buffer un caso particolare della configurazione non invertente, esso è anche un caso particolare del classico sistema retroazionato di igura L amplificatore operazionale in configurazione invertente e partiamo dall amplificatore operazionale in configurazione non invertente rappresentato in igura 8.7 e scambiamo di posto il terminale collegato a massa con il terminale al quale è applicato l ingresso, otteniamo il circuito in igura 8.4(a). Esso è stato ridisegnato, per comodità, in igura 8.4(b) e va sotto il nome di amplificatore operazionale in configurazione invertente. Poichè il fatto che la retroazione è positiva o negativa non dipende dall ingresso, come abbiamo visto nel paragrafo 8., siamo già sicuri del fatto che il circuito ha retroazione negativa, dato che l anello di retroazione, una volta passivato l ingresso, è identico a quello dell PAMP in configurazione non invertente, precedentemente analizzato. igura 8.4: Amplificatore operazionale in configurazione invertente. Anche nel caso dell PAMP in configurazione invertente il circuito potrebbe essere ricondotto allo schema di un sistema retroazionato classico, scegliendo opportunamente le variabili di ingresso e di uscita, ma vogliamo evitare di fare questa analisi e vogliamo calcolare il guadagno del circuito direttamente utilizzando i principi precedentemente enunciati per lo studio di circuiti contenenti PAMP ideali. e l PAMP non è in saturazione, allora possiamo imporre il cortocircuito virtuale tra i morsetti di ingresso. Ciò implica che possiamo ritenere che anche il morsetto invertente sia a potenziale praticamente nullo, cioè a massa virtuale. ibadiamo che questo non significa che il morsetto invertente sia direttamente connesso a massa (come avverrebbe collegandolo a massa tramite un conduttore, che sarebbe attraversato da una corrente) ma semplicemente che, siccome è

20 compresa nell intervallo [ L, H ] e l PAMP ha guadagno differenziale praticamente infinito, la differenza tra le tensioni sui due morsetti è piccolissima, praticamente nulla. Il fatto che - è a massa virtuale viene indicato in igura 8.5 con il filo tratteggiato, nel quale non scorre corrente. Possiamo calcolare la corrente I : igura 8.5: Analisi dell PAMP in configurazione invertente. I Tale corrente non può scorrere nel morsetto invertente dell PAMP, in quanto sappiamo che la corrente I - è nulla. Di conseguenza abbiamo che tutta la I scorre in, cioè che: I I A questo punto è semplice calcolare la tensione di uscita: I 0 Infine, il guadagno della configurazione invertente vale: A ancora una volta indipendente dal guadagno dell PAMP e funzione del solo valore delle resistenze, che può essere scelto con l accuratezza desiderata. Notiamo che il guadagno è negativo, il che significa che un aumento della tensione di ingresso corrisponde a una diminuzione della tensione di uscita. Tutta l analisi vale solo se l PAMP funziona nella regione di guadagno: se va in saturazione avremo l uscita fissata al valore di saturazione positiva H o negativa L, rispettivamente con - negativa oppure positiva, e quindi non più a massa virtuale. Per quanto riguarda i limiti di dinamica abbiamo: se supera il valore L / A, che è positivo dato che sia L che A sono negativi, allora l PAMP va in saturazione negativa; se invece scende sotto il valore H / A, che è negativo dato che sia H è positivo e A è negativo, allora l operazionale va in saturazione positiva. Infine consideriamo le resistenze ai terminali. vviamente la resistenza di uscita è nulla, dato che l PAMP ha resistenza di uscita nulla. Invece, se calcoliamo la resistenza di ingresso vista dal generatore di tensione, essa vale, per definizione /I, cioè. Quindi la configurazione

21 invertente non ha resistenza di ingresso infinita, come la configurazione non invertente, quindi non è un amplificatore ideale di tensione (igura 8.6). igura 8.6: esistenza di ingresso e di uscita della configurazione invertente. Infatti, se consideriamo un generatore di ingresso non ideale, con una resistenza caratteristica in serie pari a, come in igura 8.7 il guadagno di tensione che si ottiene non è più /, ma diventa /( + ) e quindi non è indipendente dalla resistenza di sorgente. igura 8.7: Configurazione invertente con generatore di ingresso non ideale. La configurazione invertente è la base per costruire numerose altre configurazioni notevoli che vedremo in seguito. 8.7 Amplificatore in transimpedenza con PAMP Consideriamo questa volta come ingresso del nostro circuito un generatore ideale di corrente I, il che corrisponde a molte situazioni di interesse pratico. Infatti numerosi sensori di svariate grandezze fisiche, come per esempio i fotodiodi, si possono modellare meglio come generatori di corrente, piuttosto che come generatori di tensione. Consideriamo il circuito rappresentato in igura 8.8. igura 8.8: Amplificatore in transimpedenza con PAMP.

22 Il calcolo della tensione di uscita è molto simile a quello effettuato per la configurazione invertente. La corrente di ingresso I, non potendo scorrere nel morsetto invertente, che è a massa virtuale se l PAMP non è in saturazione, scorre tutta in, per cui la tensione di uscita vale: = - - I = 0 - I = - I Il guadagno in transimpedenza (o transresistenza) del circuito, cioè il rapporto tra la tensione di uscita e la corrente di ingresso, è quindi pari a: A I Ancora una volta esso dipende solo da e non da parametri dell PAMP, quindi è facilmente controllabile al valore desiderato. Notiamo che la resistenza vista dal generatore di corrente di ingresso, IN, è nulla: infatti la tensione ai capi del generatore è nulla, grazie alla massa virtuale sul morsetto invertente, per cui il rapporto tra tensione ai capi del generatore e la corrente I, cioè la resistenza di ingresso vista dal generatore, è nulla. Ciò implica che, nel caso in cui il generatore non sia ideale, ma abbia in parallelo una resistenza caratteristica che chiamiamo, come in igura 8.9, otteniamo sempre un guadagno in transresistenza pari a, dato che in non scorre corrente, grazie al fatto che il morsetto invertente è a massa virtuale. Quindi il guadagno in transresistenza del circuito non dipende affatto dalla resistenza caratteristica del generatore di corrente di ingresso né dal valore del resistore di carico che abbiamo aggiunto all uscita in igura 8.9, come avverrebbe nel caso in cui applicassimo direttamente il generatore I con la sua resistenza caratteristica sul carico L (igura 8.9). igura 8.9: Amplificatore in transimpedenza con ingresso non ideale e carico L sull uscita. 8.8 ommatore invertente fruttando le proprietà dell PAMP in configurazione invertente, possiamo costruire altri circuiti interessanti, come quello della igura igura 8.30: PAMP configurato come sommatore invertente.

23 In questo circuito, essendo il morsetto invertente a massa virtuale, abbiamo che: I I Le correnti I e I non possono scorrere nel morsetto invertente dell PAMP, per cui la loro somma scorre tutta in e si ha: I I I Infine otteniamo: (I I) 0 k k (8.4) In pratica il circuito in igura 8.30 permette di ottenere una combinazione lineare delle tensioni di ingresso con coefficienti k = / e k = / che dipendono solo dai resistori utilizzati nel circuito. Un caso particolarmente interessante è quello corrispondente alla scelta = =, che corrisponde ad avere k = k = k = /. Di conseguenza la tensione di uscita è proporzionale alla somme delle tensioni di ingresso cambiata di segno, per cui il circuito prende il nome di sommatore invertente. i può generalizzare il circuito in igura 8.30 aggiungendo altri rami corrispondenti ad altre tensioni di ingresso, per cui, se i resistori di tutti gli N rami sono uguali tra loro e pari a, otteniamo: N i (8.5) i sserviamo che ciascun generatore di ingresso i vede una resistenza di ingresso verso il circuito non infinita, ma pari alla resistenza inserita in serie nel suo ramo, per cui se il generatore non è ideale, ma ha una resistenza caratteristica in serie i, tale resistenza altera il valore del relativo coefficiente k i. e vogliamo evitare questo problema, una possibile soluzione è inserire un buffer di tensione tra il generatore di ingresso con la sua resistenza caratteristica e il circuito sommatore, in modo da ottenere ancora la tensione di uscita espressa nella (8.5). Tale soluzione è rappresentata nella seguente igura 8.3, nel caso di due ingressi. igura 8.3: Circuito sommatore con ingressi non ideali disaccoppiati con PAMP configurati a buffer.

24 8.9 Amplificatore differenziale realizzato con PAMP Un amplificatore operazionale è, come abbiamo visto precedentemente, un amplificatore differenziale, nel senso che esso amplifica la differenza tra le tensioni sui morsetti di ingresso, mentre è insensibile al valore della tensione di ingresso di modo comune, cioè alla media delle tensioni sui morsetti di ingresso, almeno nel caso di PAMP ideale. Nel caso di un PAMP reale, la situazione è praticamente la stessa, in quanto si ha un CM molto elevato, per cui il guadagno di modo differenziale è di gran lunga più elevato rispetto al guadagno di modo comune, che è assolutamente trascurabile. Bisogna però ricordare che il guadagno di modo differenziale di un amplificatore operazionale è elevatissimo, per cui basta una piccolissima differenza tra le tensioni ai morsetti di ingresso per mandare in saturazione l uscita dell PAMP. Questa proprietà dell PAMP lo rende utilizzabile in anello aperto, cioè senza l applicazione della retroazione negativa, solo come comparatore di tensione, il quale riproduce in uscita la tensione di saturazione positiva H se + > - e la tensione di saturazione negativa nel caso in cui L se + > -. In molte applicazioni si ha bisogno di avere un amplificatore differenziale che presenti un guadagno di valore finito, e non elevatissimo e praticamente infinito come nel caso dell PAMP. Consideriamo quindi il seguente circuito con due ingressi (igura 8.3), realizzato con un amplificatore operazionale ideale. igura 8.3: Amplificatore con due ingressi realizzato con un PAMP. Cerchiamo di determinare quali sono le condizioni che devono essere verificate affinché il circuito di igura 8.3 si comporti come amplificatore differenziale. In pratica dobbiamo assicurare che il guadagno di modo comune A CM sia nullo, per cui l uscita dipenderà solo dal modo differenziale in ingresso. e applichiamo agli ingressi del circuito due tensioni uguali = = ic, come in igura 8.33, avremo tensione di modo differenziale id = - pari a zero e tensione di ingresso di modo comune pari proprio a ic. Con questa configurazione di ingressi, se vogliamo che la tensione di uscita non dipenda dal modo comune in ingresso e quindi che A CM sia pari a 0, dobbiamo imporre che =0. In altri termini avremo, in accordo con la (8.6): A CM ic A DM id A CM ic e quindi, per avere A CM =0, dovremo imporre =0.

25 igura 8.33: Amplificatore di igura 8.3 con ingresso di modo differenziale pari a zero. Per studiare il circuito di igura 8.33 si può, per esempio, utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti, dato che abbiamo a che fare con una rete lineare. Per prima cosa, annulliamo il generatore applicato al morsetto invertente e lasciamo agire solo quello applicato al morsetto non invertente, ottenendo il circuito di igura 8.34(a). (a) (b) igura 8.34: Applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti al circuito di igura In questo circuito riconosciamo, andando dall ingresso all uscita, il partitore di tensione formato da e e l PAMP in configurazione non invertente, per cui otteniamo facilmente: 4 3 ic e, viceversa, annulliamo il generatore di tensione applicato al morsetto non invertente e lasciamo agire nel circuito il generatore associato al morsetto invertente, ottenendo il circuito in igura 8.34(b), notiamo che i resistori e, in questo caso, sono in parallelo e in essi non scorre corrente, dato che nel morsetto non invertente dell PAMP la corrente è nulla. Quindi il morsetto non invertente è a massa e quindi riconosciamo l PAMP in configurazione invertente, per cui: 4 3 ic Per il principio di sovrapposizione degli effetti, la tensione di uscita dell amplificatore in igura 8.33 è quindi pari alla somma + e dobbiamo imporre che sia nulla:

26 0 ic ic 3 4 ic 3 4 La condizione che deve essere sodisfatta è quindi la seguente: ancora quindi, e cioè 0, In definitiva si ottiene la condizione: 4 3 (8.6) che è quella da soddisfare per ottenere un amplificatore differenziale. Un modo molto semplice e molto utilizzato nella pratica per soddisfare la (8.6) è imporre = 3 e = 4, come in igura igura 8.35: Amplificatore differenziale realizzato con PAMP. Non ci resta che calcolare il guadagno del circuito, che possiamo determinare in differenti modi. Un primo possibile approccio è sempre quello basato sull applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti. Considerando rispettivamente la igura 8.34(a) con al posto di ic e la igura 8.34(b) con al posto di ic e imponendo la condizione (8.6), otteniamo: Infine otteniamo: relazione che dimostra ancora una volta il fatto che il circuito, se viene rispettata la condizione (8.6), è un amplificatore differenziale e che il suo guadagno di modo differenziale vale:

27 A DM (8.7) Potremmo procedere con il calcolo anche considerando il circuito di igura igura 8.36: Metodo alternativo per il calcolo del guadagno di un amplificatore differenziale realizzato con un PAMP In questo circuito l ingresso è un solo generatore di tensione id non riferito a massa, per cui è noto solo il valore dell ingresso di modo differenziale, ma non il valore dell ingresso di modo comune, che, comunque, è ininfluente sul valore della tensione di uscita, dato che abbiamo applicato la condizione (8.6). E semplice calcolare il valore della corrente I che scorre nel generatore di tensione e nelle due resistenze e 3 : I id 3 in quanto tra i morsetti di ingresso dell PAMP abbiamo il cortocircuito virtuale. Di conseguenza otteniamo la tensione sul morsetto non invertente: I id 3 Dato che nel morsetto invertente non entra corrente, anche la corrente che scorre in 4 è sempre I, per cui otteniamo: 4 id id id 4I 4 4 id id grazie al fatto che 4 / = 3 / se vale la (8.6). tteniamo quindi ancora il valore di guadagno riportato nella (8.7). 8.0 Integratore e derivatore invertente La configurazione invertente dell amplificatore operazionale si può realizzare anche utilizzando nel ramo diretto, tra ingresso e morsetto invertente, e/o nel ramo di feedback (tra uscita e morsetto invertente) un impedenza generica al posto di un resistore lineare, come in igura 8.37.

28 igura 8.37: PAMP in configurazione invertente con generiche impedenze al posto delle resistenze nei rami del circuito La funzione di risposta armonica H(j) del circuito in igura 8.37 si trova semplicemente ripetendo i passaggi fatti per il calcolo del guadagno della configurazione invertente, giungendo quindi alla generica relazione: Z ( j ) ( j) (8.8) Z tterremo quindi un andamento del modulo della funzione di risposta armonica che dipenderà dalla natura delle impedenze che inseriremo nel circuito. Un primo esempio che consideriamo è quello in cui al posto della Z, nel ramo di feedback, inseriamo un condensatore C, la cui impedenza vale /jc, mentre nel ramo diretto inseriamo un resistore lineare. Il circuito corrispondente è rappresentato in igura 8.38 e dimostreremo che si comporta come un integratore invertente. igura 8.38: Integratore invertente realizzato con un PAMP Innanzitutto studiamo la funzione di risposta armonica del circuito in igura 8.38, utilizzando la (8.8). In questo caso otteniamo: (j ) (j) jc (8.9) il che significa che il circuito divide l ampiezza della sinusoide in ingresso per un valore proporzionale alla pulsazione e, inoltre, sfasa la sinusoide in ingresso di una quantità pari a 90. e, quindi, applichiamo in ingresso una sinusoide (t)= M sint, in uscita otteniamo una funzione del tempo (t)=( M /C)cost. E facile verificare la tensione di uscita corrisponde all integrale della tensione di ingresso cambiato di segno e diviso per la costante di tempo C, detta costante di tempo di integrazione, come è riportato nella successiva (8.0).

29 (t) C (t)dt M sint dt M cost C (8.0) C Il circuito quindi, come già anticipato, si comporta da integratore invertente. E semplice disegnare il diagramma di Bode delle ampiezze dell integratore invertente che, ricordiamo, riporta il modulo della funzione di risposta armonica espresso in decibel (db), cioè H(j db =0log 0 H(j, in funzione del logaritmo in base 0 della frequenza (o più precisamente della pulsazione ). Poichè il modulo della funzione di risposta armonica vale /C, e quindi è una funzione inversamente proporzionale alla pulsazione, esso è una retta con pendenza pari a - 0dB/decade, come abbiamo già visto nel capitolo dedicato alla risposta in frequenza. La pulsazione alla quale il modulo della funzione di risposta armonica vale, cioè 0dB, si chiama pulsazione di transizione o di guadagno unitario e vale, nel nostro caso T =/C, cioè è l inverso della costante di tempo di integrazione. Nella igura 8.39 è riportato, appunto il diagramma di Bode delle ampiezze per l integratore invertente, nel quale la pulsazione di transizione, corrispondente a guadagno pari a 0dB, si trova a 0 6 rad/s. igura 8.39: Diagramma di Bode delle ampiezze dell integratore Le stesse conclusioni circa il comportamento del circuito in igura 8.38 si possono ricavare ragionando nel dominio del tempo, cioè calcolando la tensione di uscita quando l ingresso è una generica funzione del tempo (t). Consideriamo la igura 8.40 per studiare l integratore realizzato con l PAMP nel dominio del tempo. igura 8.40: Integratore con PAMP studiato nel dominio del tempo Essendo il morsetto invertente a massa virtuale, abbiamo che la corrente nel resistore vale

30 (t) I (t) e, inoltre, la stessa corrente scorre nel condensatore C, dato che la corrente nel morsetto invertente dell PAMP è nulla: I (t)=i C (t). Di conseguenza la tensione ai capi del condensatore, con la convenzione di segno evidenziata in figura, vale: (t) C C (0) C t 0 I C ( )d C (0) C t 0 ( ) d C (0) C t 0 ( )dd Infine la tensione di uscita, sempre tenendo conto del fatto che il morsetto invertente è a massa virtuale, vale: t (t) C (t) C (0) ( )dd C 0 Quindi il circuito, a parte la condizione iniziale C (0), presenta in uscita una tensione proporzionale all integrale della tensione di ingresso. Bisogna notare che il circuito presenta un problema quando in ingresso viene applicata una tensione costante DC. Infatti, in questo caso, all uscita si ottiene una tensione pari a DC (t) C (0) C t che, in valore assoluto, aumenta linearmente nel tempo (rampa), fino a portare l PAMP in condizioni di saturazione. La stessa cosa accade se il segnale di ingresso ha una componente continua, cioè valor medio, non nulla. Anche in questo caso il valor medio del segnale di ingresso viene integrato e l PAMP va in saturazione, come ci si aspetta, dato che in continua il guadagno del circuito è pari al guadagno dell PAMP ideale, quindi infinito. e si scambiano di posto il resistore e il condensatore C si ottiene il circuito rappresentato in igura 8.4. igura 8.4: Derivatore invertente realizzato con PAMP E facile dimostrare che tale circuito si comporta come un derivatore invertente. Infatti, se consideriamo la sua funzione di risposta armonica, otteniamo: (j) jc (j) ( 8.) e quindi, se applichiamo in ingresso una tensione sinusoidale (t)= M sint, in uscita otteniamo a regime sempre una tensione sinusoidale, ma sfasata di 90 in ritardo rispetto all ingresso e di ampiezza pari a C volte l ampiezza della sinusoide in ingresso. In pratica l uscita sarà una

31 funzione del tempo pari a -C M cost, cioè la derivata della tensione di ingresso cambiata di segno e moltiplicata per la costante di tempo C: d (t) d(m sint) (t) C C CM dt dt cost il che dimostra il comportamento del circuito da derivatore invertente. Il diagramma di Bode delle ampiezze del derivatore è una retta con pendenza pari a +0dB/decade, in quanto il modulo della funzione di risposta armonica vale C, cioè è direttamente proporzionale alla pulsazione (vedere il capitolo dedicato alla risposta in frequenza nella parte in cui si discute dei diagrammi di Bode). Anche in questo caso la pulsazione di transizione T, alla quale il guadagno è unitario, è pari a /C, cioè all inverso della cosiddetta costante di tempo di derivazione C. Un esempio del diagramma di Bode delle ampiezze di un derivatore è riportato nella successiva igura 8.4, nella quale la pulsazione di transizione è stata scelta pari a 0 4 rad/s. igura 8.4: Diagramma di Bode delle ampiezze del derivatore Anche nel caso del derivatore possiamo condurre lo studio nel dominio del tempo, giungendo alla conclusione che il circuito effettua la derivata del generico segnale di ingresso variabile nel tempo. Infatti, se consideriamo la igura 8.43, considerando sempre che il morsetto invertente è a massa virtuale, otteniamo: (t) I (t) I igura 8.43: Derivatore con PAMP studiato nel dominio del tempo C d (t) (t) C dt

32 8. iltri attivi realizzati con amplificatori operazionali Un filtro è in pratica una rete elettrica a due porte, cioè un doppio bipolo, avente una funzione di risposta armonica H(j) fatta in maniera tale da soddisfare specifiche predefinite. igura 8.44: iltro: doppio bipolo avente funzione di risposta armonica H(j) In molte applicazioni è necessario eliminare o esaltare alcune componenti spettrali del segnale rispetto ad altre, e questo si può realizzare appunto mediante un circuito che abbia una risposta in frequenza, cioè una funzione di risposta armonica non costante, ma selettiva. Di solito quello che interessa è l andamento del modulo della funzione di risposta armonica in funzione della frequenza, che deve garantire appunto il passaggio delle componenti in frequenza desiderate ed eliminare quelle indesiderate. i sono alcune particolari applicazioni si è interessati anche all andamento della fase della funzione di risposta armonica, ma noi limiteremo il nostro interesse al primo caso. Una funzione di risposta armonica selettiva con la frequenza si riesce a ottenere anche con una rete passiva. Consideriamo per esempio il semplicissimo caso della rete C rappresentata in igura igura 8.45: emplice filtro passivo C Per questa rete abbiamo che : (j) jc H(j ) i (j) jc jc j 0 Essendo 0 =/C, cioè l inverso della costante di tempo del circuito. Questa funzione di risposta armonica è esattamente quella il cui diagramma di Bode è rappresentato in igura 7.3 nel capitolo dedicato alla risposta in frequenza, se si pone 0 = p, e 0 è proprio la frequenza a cui il guadagno

33 vale -3dB rispetto al valore che esso assume alle basse frequenze. Essa è la frequenza di taglio del filtro. Per frequenze inferiori alla frequenza di taglio il segnale di ingresso non viene attenuato e si dice che siamo nella banda passante del filtro, mentre per frequenze al di sopra di 0 il segnale di ingresso subisce un attenuazione, per cui siamo nella banda soppressa, o oscura, del filtro, il quale ha quindi un comportamento di tipo passa-basso. Grazie a questo comportamento possiamo lasciare passare senza attenuazioni i segnali che hanno componenti spettrali comprese nella banda passante del filtro e possiamo invece attenuare quelli che sono caratterizzati da componenti a frequenza superiore alla frequenza di taglio, per esempio i disturbi ad alta frequenza generati dall apertura e dalla chiusura degli interruttori. icordiamo che la pendenza della retta nella banda oscura vale -0dB/decade, come abbiamo visto sempre nel capitolo della risposta in frequenza. Il diagramma di Bode del circuito in igura 8.45, che quindi è un filtro passivo passa-basso del primo ordine (con un solo polo) è rappresentato in igura igura 8. 0log 0 H(j) 0-0dB/decade igura 8.46: Diagramma di Bode del filtro passivo passa-basso Gli svantaggi principali del filtro passa-basso passivo appena considerato sono due: il guadagno in banda passante è unitario (0dB) e, inoltre, la sua funzione di risposta armonica, e quindi il suo diagramma di Bode, è molto sensibile, sia in termini di guadagno che in termini di frequenza di taglio, alla presenza di un carico posto all uscita del filtro. Questi due problemi si possono risolvere utilizzando un filtro attivo, realizzato con un amplificatore operazionale, come in igura igura 8.47: iltro attivo passa-basso La funzione di risposta armonica del circuito in igura 8.47 è la seguente:

34 jc Z(j) jc H(j ) Z (j) j C j C j 0 In pratica abbiamo sempre una funzione di risposta armonica di tipo passa-basso del primo ordine, ma con un guadagno alle basse frequenze in modulo pari a /, che può quindi essere reso anche maggiore dell unità. La frequenza di taglio del filtro vale 0 =/ C. In corrispondenza di tale frequenza il guadagno vale 3dB in meno rispetto al guadagno alle basse frequenze, cioè /. Infine, anche se aggiungiamo un carico sull uscita del circuito, il diagramma di Bode del circuito non cambia affatto, grazie al fatto che l amplificatore operazionale ha resistenza di uscita nulla. Il digramma di Bode del circuito in igura 8.47, che è quindi un filtro attivo passabasso del primo ordine, è riportato nella successiva igura igura 8.48: Diagramma di Bode asintotico delle ampiezze del filtro attivo passa-basso Esso si può facilmente ottenere anche facendo le seguenti considerazioni. Il modulo della funzione di risposta armonica è: H(j ). j 0 0 Per frequenze molto più basse di 0 possiamo trascurare il termine (/ 0 ) rispetto a, per cui otteniamo: << 0 => H(j /, costante al variare della frequenza. e invece la frequenza è molto maggiore della frequenza di taglio 0, allora possiamo trascurare l unità rispetto al termine (/ 0 ) e otteniamo: >> 0 => 0 (j) H, (8.)

35 inversamente proporzionale alla frequenza. In un diagramma logaritmico, nel quale i valori del modulo della risposta armonica sono espressi in db, come è il diagramma di Bode, la (8.) viene rappresentata come: H (j) 0log0 H(j) 0log0 0log0 0 0log0 cost 0log0. db Questa è l espressione di una retta la cui pendenza vale -0dB/decade: in altre parole, per frequenze abbastanza elevate rispetto alla frequenza di taglio, il diagramma di Bode è una retta tale che, se si considerano due valori di frequenza e distanti una decade, cioè =0, la differenza tra i valori corrispondenti del modulo della funzione di risposta armonica vale -0dB: = 0 => H(j db H(j db = -0dB L andamento costante prima della pulsazione di taglio e quello rettilineo con pendenza pari a -0dB/decade dopo la pulsazione di taglio, sono gli andamenti asintotici del diagramma di Bode. In corrispondenza della pulsazione di taglio il modulo della funzione di risposta armonica vale: H(j 0) 0 0 e consideriamo il valore in db, otteniamo: H(j0) 0log0 0log0 0log0 0log0 0log0 0log0 3dB db Quindi, rispetto al valore del guadagno in db alle basse frequenze, circa costante e pari a 0log 0 /, in corrispondenza della frequenza di taglio abbiamo un attenuazione pari a -3dB. iltro attivo passa-alto Modificando opportunamente il tipo e la disposizione dei dispositivi che introduciamo nella rete generica mostrata in igura 8.37, possiamo realizzare circuiti che posseggono altre funzioni di risposta armonica interessanti nelle applicazioni. Il secondo esempio di rete filtrante che prendiamo in considerazione è il filtro attivo passa-alto, la cui configurazione classica è mostrata in igura La funzione di risposta armonica è la seguente: igura 8.49: iltro attivo passa-alto

36 Z(j) H(j ) Z(j) jc j C j C jc j C j 0 j Nell espressione finale della H(j) la frequenza (o meglio, pulsazione) 0 è pari a / C. iprendendo ancora una volta i concetti illustrati nel capitolo dedicato alla risposta in frequenza, notiamo la presenza di uno zero nell origine (=0) e di un polo alla frequenza 0. e vogliamo tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze del nostro circuito, possiamo fare le seguenti considerazioni. Il modulo della funzione di risposta armonica vale: 0 H(j ) 0 0 e la frequenza (o meglio la pulsazione) è molto minore della frequenza di taglio 0 otteniamo << 0 => H(j ), 0 di conseguenza, nel diagramma di Bode delle ampiezze, avremo una dipendenza lineare crescente del guadagno in funzione della frequenza: H (j) 0log0 0log0 0log0 0 cost 0log0, db che infatti si rappresenta, nel diagramma logaritmico, come una retta avente pendenza pari a +0dB/decade. e invece consideriamo frequenze abbastanza elevate rispetto alla frequenza di taglio, otteniamo: >> 0 => H(j ), cioè praticamente costante con la frequenza. e consideriamo la frequenza di taglio 0, il corrispondente valore del modulo della funzione di risposta armonica è: H(j 0), quindi ancora una volta possiamo dire che, alla frequenza di taglio, il valore del guadagno è 3dB inferiore rispetto al guadagno nella banda passante, che questa volta si trova alle alte frequenze. Il corrispondente diagramma di Bode asintotico delle ampiezze, che presenta solo gli andamenti asintotici perfettamente rettilinei che abbiamo appena studiato, è rappresentato in igura 8.50.

37 igura 8.50: Diagramma di Bode asintotico delle ampiezze del filtro attivo passa-alto Il filtro attivo passa-alto, quindi, attenua le componenti a bassa frequenza del segnale di ingresso e applica un guadagno praticamente costante alle componenti ad alta frequenza.