Semplici proprietà degli amplicatori operazionali

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Claudio Bellini
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1 Semplici proprietà degli amplicatori operazionali Matteo Poggi 26 agosto 2008 In questi berevi appunti vedremo delle semplici proprietà di amplicatori operazionali; i modi di procedere con i calcoli sono svariati, qui verrà seguita una strada già battuta principalmente da altre dispense; in particolare abbiamo fatto riferimento a materiale fornitoci dai Pro A Perego, R d'alessandro, nonché al testo Esperimenti di elettricità e magnetismo del prof G Poggi Faremo delle approssimazioni che ci semplicheranno notevolmente i calcoli, si tratta sempre però di approssimazioni, per cui si badi a non rimaere scandalizzati di fronte a scritture come A A, dato che, per i nostri amplicatori supporremo A 0 5 Questo vuol dire che in altri testi magari si troveranno delle espressioni leggermente diverse rappresentanti lo stesso risultato Un'ulteriore osservazione circa tali approssimazioni: cercheremo comunque di approssimare tutti i risultati al primo ordine e non all'ordine zero Per cominciare ricaveremo alcune grandezze importanti per il nostro operazionale Reazione negativa e massa virtuale Questo schema ha in se sia la congurazione invertente che quella non invertente che l'operazionale abbia un amplicazione puramente dierenziale: Supporremo V o = A (V V ( Ci pare più conveniente sutudiare questo caso generale, specicando poi delle restrizioni a casi particolari Iniziamo calcolando : per far ciò impostiamo le seguenti equazioni: i = i r i f (2a i r i f = VV = V V o R o (2b (2c i f i V i r V o V 2 Figura : Schema generale di un amplicatore

2 da queste possiamo scrivere sostituendo (2b e (2c in (2a: i = V V V V o ( = V V V ( A (V V A A = (V V R o = (V V A A = (V V A da questa evinciamo che ed inoltre che = (3 V V i A 0 (4 i r = V V i A 0 i = i f (5 a meno di non scegliere valore molto grandi per la resistenza di reazione Questo concetto è la famigerata massa virtuale: essa implica che il potenziale dei due terminali sia, al primo ordine, lo stesso, ed al contempo non circoli corrente tra essi Potremo pensare tale massa virtuale come un'esca per la tensione, come se non fosse virtuale, ma che, a dierenza di questa, non permette il passaggio di corrente Adesso occorre fare attenzione per l'uso corretto di queste approssimazioni, come abbiamo detto, eravamo intenzionati ad approssimare al primo ordine, e così abbiamo fatto al secondo membro dell'uguaglianza (4 Il terzo membro risulta invece ad ordine zero Risulta catastroco utilizzare ingenuamente risultati di ordine zero assieme a risultati esatti o di ordini successivi; ad esempio se volessimo calcolare V o = A (V V 0 A = 0 il che è palesemente assurdo Questo perchè dobbiamo tenere in mente che stiamo lavorando con o ( A Per procedere usiamo la (2c per trovare V o : V o = V i f ( (6 e dunque possiamo agevolmente calcolare, usando il partitore di tensione, : = V i f ( = V i f (7 Adesso utilizzando il concetto di massa virtuale riscriviamo l'espressione precedente in maniera a noi più conveniente: (4,(5 = V V V (4 = V V V (8 per concludere, trascurando la caduta di potenziale sulla resistenza (poiché i r i dalla (5, e ponendo quindi V V 2 si giunge all'espressione nale: dove si è posto = V 2 G NI V G I (9 G NI := = β G I := (0a (0b In tal modo è facile vericare che ponendo V = 0 o V 2 = 0 si hanno rispettivamente il caso dell'amplicatore in congurazione non invertente ed in congurazione invertente Si noti altresì che nelle nostre approssimazioni la resistenza gioca un ruolo (per ora inessenziale 2 Impedenze d'ingresso Adesso calcoleremo le impedenze d'ingresso viste dai due generatori, esse sono denite: R = V i (2 2

3 2 Impedenza d'ingresso sul ramo invertente Questo calcolo risulta molto semplice se si applica il concetto di massa virtuale, difatti troviamo subito: i = V V 2 (22 Dunque si avrà che nel caso di congurazione invertente V 2 = 0 dà: R = V V V 2 (23 R = (24 Sarebbe curioso osservare cosa succederebbe nell'espressione (23 se V 2 > V : una resistenza negativa Questo è spiegabile con denizione: in eetti le grandezze di cui si fa il rapporto sono a priori indipendenti e quindi ci potrebbero essere delle situazioni in cui la corrente viene erogata contro il potenziale che il generatore eroga 22 Impedenza d'ingresso sul ramo non invertente Seguendo la traccia generale, dovremo calcolare R = V 2 i r (25 come mostra le gura Adesso ricordando la (2b, per il calcolo di i r e ricordando anche la ( otteniamo: Adesso sfruttiamo la (6 prima considerando però abbiamo dunque i r (2b = V V ( = V o A (26 V V V 2 (27a i f i V V 2 ; (27b V o = V 2 V V 2 ( (28 (si noti come il procedimento assomigli a quello usato per calcolare Inserendo questo risultato nella (26 otteniamo: i r = V 2 V V 2 ( (29 A e per concludere: V 2 A R = V 2 V V 2 ( (20 Questa espressione può essere semplicata tenendo conto che sicamente 0 e calcolando l'espressione in una situazione completamente non invertente, ponendo V = 0: R A β (2 Nelle applicazioni, visto il già elevato valore di MΩ ed il notevole valore di A, si può considerare tale resistenza a tutti gli eetti innita Questo fatto avrà notevelo importanza nelle applicazioni che useranno questo tipo di congurazione 3

4 3 Resistenza d'uscita Per arontare questa questione utilizzeremo il teorema di Thévenin, ricordandone bene l'enunciato, secondo il quale i generatori da cortocircuitare non sono tutti bensì solo quelli indipendenti, difatti, come mostra la gura 3, il generatore V o non è stato cortocircuitato Sempre per la usuale denizione avremo: R out = V L i L (3 Sempre dallo schema capiamo che i L = i 0 i f (32a i 0 = V L V o i f = V L, (32b (32c dove per per comodità deniamo := // Calcoliamoci adesso l'eetto di V L sui terminali V e V Tutto ciò può essere fatto comodamente usanto la formula del partitore e consideranto le resistenze in serie e quelle in parallelo V = V L V = V L (33a (33b Applichiamo ora la (: V o = V LA (34 Sostituendo quindi in (32b si avrà: i 0 = V L ( A ( R2 (R3 (35 mentre per quanto riguarda i f abbiamo: i f = V L (36 i f i 0 i L V o V L Figura 3: Schema per il calcolo della resistenza d'uscita 4

5 V N V off V 2 P Figura 4: Tensione di oset applicata all'ingresso invertente Quindi sommando questi due contributi: [ ( A i L = V L ( R2 (R3 ] (37 onde avremo nalmente: R out = ( A ( ( (38 Adesso, visto l'elevato valore di l'espressione precedente si può molto semplicare poiché, come si verica subito dallo schema si potranno trascurare le cadute di tensione si su che su (, così facendo l'espressione (38 diventa facilmente: R out = Aβ (39 A tutti gli eetti questa resistenza si può considerare trascurabile, visto il già basso valore di 4 Tensione di oset Una caratteristica che contraddistingue gli amplicatori ideali da quelli reali è la presenza di un livello di tensione continua, sempre presente tra il terminale invertente e quello non invertente Questo eetto viene schematizzato con un generatore in continua su di un ingresso V off mv Nella gura 4 abbiamo messo tale generatore all'ingresso non invertente; si potrà altresì spostarlo all'ingresso invertente (si ricorda che questi due ingressi sono collegati internamente tramite una resistenza, non presente in questo disegno, purchè si rovesci la polarità e quindi le due situazioni siano topologicamente equivalenti Per calcolare del nostro amplicatore tenendo conto di V off basterà appellarci alla (9 tenendo conto della somma algebrica delle tensioni sull'ingresso non invertente: = (V 2 V off G NI V G I (4 In parole povere, qualsiasi sia la congurazione che stiamo usando la corrente di oset si manifesta sempre come se fosse un generatore in continua sul ramo non invertente 5

6 5 Correnti di bias Un'altra caratteristica che perturba il modello di amplicatore operazionale ideale sono le delle correnti presenti all'ingresso di entrambe i terminali, schematizzate in gura 5 con dei generatori di corrente Tipicamente (a temperatura ambiente abbiamo i bias 0pA anche se tale valore è molto dipendente dalla temperatura Vediamo le ripercussioni che tali correnti hanno sull'output del nostro circuito Per eseguire tale calcolo basterà sfruttare, mutatis mutandis, la (8, tenendo conto, che, per come abbiamo impostato (e risolto il problema della massa virtuale, e per i nomi che abbiamo attribuito ai varî terminali dovremo avere: = V N V N V P (5 Adesso, tenendo conto dell'eetto dei generatori di corrente, in parallelo alle rispettive resistenze nel circuito, potremo scrivere: Inserendo queste espressioni nella (5 troviamo: V N = V i bias (52a V P = V 2 i bias (52b = ( V 2 i bias GNI V G I i bias (53 Questo mette in evidenza come la resistenza che no ad ora non aveva inuito troppo sui nostri risultati, in questo caso comporti una modica della tensione d'uscita tenendo conto delle correnti di bias Questo ci insegna anche come fare qualora volessimo trascurarle, in particolare, mettendo a terra il terminale positivo sarà possibile trascurare quella sul ramo non invertente In tal caso possiamo riscrivere la (53: = V 2 G NI V G I i bias (54 V i bias N V 2 P i bias Figura 5: Correnti di bias 6

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