Esercizi di Matematica Lavoro estivo per gli alunni con debito formativo Classe III C

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1 Esercizi di Matematica Lavoro estivo per gli alunni con debito formativo Classe III C Dato il triangolo di vertici A( 3, 3), B(1, 3), C(1, 1), rappresentalo sul piano cartesiano, verica se è rettangolo 1 e calcolane il perimetro (approssimando il risultato alla seconda cifra decimale) e l'area. Individua tra le seguenti, le rette parallele e quelle perpendicolari tra loro (Suggerimento: scrivi tutte le equazioni delle rette in forma esplicita, ovvero nella forma y = mx+q e poi ragiona sul fatto che rette parallele vericano la condizione m 1 = m 2 mentre rette perpendicolari hanno i coecienti angolari antireciproci, ovvero m 1 = 1 m 2. Per osservare alcuni esempi, vedi la Nota 2 in basso). a) 4x y 1 = 0; b) y = 1 x + 2; c) 4x 2y 6 = 0; d) y = 4x 3 2 (Facoltativo): Rappresenta le quattro rette sullo stesso piano cartesiano e verica gracamente quello che hai scoperto per via algebrica. Risolvi il seguente sistema lineare per via algebrica e per via graca: { 2x + y = 4 x y = 2 Determina l'equazione delle rette che soddisfano le seguenti richieste: passa per A(1, 2) ed è parallela alla retta y = 2x 3 passa per B( 1, 4) ed è parallela alla retta x y + 3 = 0 passa per C( 2, 3) ed è perpendicolare alla retta x y + 1 = 0 1 Puoi vericarlo facilmente trovando le misure dei suoi lati e vericando che esse soddisno il Teorema di Pitagora. 2 Ad esempio 2 e 1 2 sono antireciproci; 3 e 1 3 sono antireciproci; 5 e 1 5 sono antireciproci; 1 4 e 4 sono antireciproci. 1

2 Determina l'equazione delle rette che soddisfano le seguenti richieste: passa per A(1, 2) e per B(2, 3) passa per C(1, 1) e per D( 1, 3) passa per E(0, 1) e per F (1, 3) Determina le equazioni degli assi dei segmenti che hanno gli estremi indicati: A(1, 2) e B(3, 4) A( 1, 0) e B(1, 2) A Determina (con metodi algebrici, ovvero basandoti sul dell'equazione risolvente) la posizione delle seguenti rette: y = 2x + 3 y = 2x 1 y = 2x 3 rispetto alla parabola di equazione y = x 2 2x + 3. Determina (con metodi algebrici, ovvero basandoti sul dell'equazione risolvente) la posizione delle seguenti rette: y = 2x + 6 y = 2x + 2 y = 2x + 2 rispetto alla parabola di equazione y = x 2 4x + 1. Esempio: Per determinare la posizione che assume la retta y = 2x + 2 rispetto alla parabola y = x 2 + 2x bisogna risolvere il sistema generato dalle due curve, ovvero: { y = x 2 + 2x y = 2x + 2 2

3 che, dopo il seguente passaggio, 2x + 2 = x 2 + 2x dà luogo alla equazione risolvente: x = 0 Calcolando il della suddetta equazione, comprenderemo la posizione della retta rispetto alla parabola. Poiché = = 8 ovvero una quantità negativa, capiamo che la retta è esterna alla parabola. Rappresenta sul piano cartesiano le parabole e le rette che hai incontrato nell' A vericando gracamente i risultati che hai trovato precedentemente. Determina i punti di intersezione tra le parabole e le rette che hai incontrato nell' A (quando queste ultime risultavano tangenti o secanti). B Determina (con metodi algebrici, ovvero basandoti sul dell'equazione risolvente) la posizione delle seguenti rette: y = 2x y = 2x 4 y = 2x 10 rispetto alla parabola di equazione y = x 2 4x + 5. Determina (con metodi algebrici, ovvero basandoti sul dell'equazione risolvente) la posizione delle seguenti rette: y = 2x + 3 y = 2x + 7 y = 2x

4 rispetto alla parabola di equazione y = x 2 + 4x 2. Esempio: Per determinare la posizione che assume la retta y = 2x + 2 rispetto alla parabola y = x 2 + 2x bisogna risolvere il sistema generato dalle due curve, ovvero: { y = x 2 + 2x y = 2x + 2 che, dopo il seguente passaggio, 2x + 2 = x 2 + 2x dà luogo alla equazione risolvente: x = 0 Calcolando il risolvente (della suddetta equazione), comprenderemo la posizione della retta rispetto alla parabola. Poiché = = 8 ovvero una quantità negativa, capiamo che la retta è esterna alla parabola. Rappresenta sul piano cartesiano le parabole e le rette che hai incontrato nell' B vericando gracamente i risultati che hai trovato precedentemente. Determina i punti di intersezione tra le parabole e le rette che hai incontrato nell' B (quando queste ultime risultavano tangenti o secanti). (a) Trasforma la misura dei seguenti angoli, da gradi a radianti: a) 75 ; b) 105 ; c) 195 ; d) 345 (b) Trasforma la misura dei seguenti angoli, da radianti a gradi: a) 4 π 12 ; b) 3 12 π; c) 9 13 π; d) π; 4

5 Rappresenta gracamente, utilizzando un goniometro oppure cercando di essere il più preciso possibile, gli angoli relativi all' 1, sui rispettivi piani cartesiani. Riporta i seguenti angoli ad angoli appartenenti all'intervallo fondamentale [ovvero da 0 a 360 ] : 1789, 607, 2020, Rappresenta su piani cartesiani dierenti le seguenti funzioni, evidenziando sempre la funzione di riferimento (da riportare tratteggiata), che in questo caso è y = cos t: a) y = cos t; b) y = cos (t 45 ) Evidenzia in ciascuna delle funzioni sopra elencate: l'ampiezza A, la pulsazione ω, la fase φ, il periodo T = 2π ω, la frequenza f = 1 T facendo riferimento alla forma canonica di una funzione oscillante (riferita al coseno), ovvero: y = A cos (ωt + φ) Prova a rappresentare, per punti, sostituendo alla variabile t i consueti valori, ovvero: 0, 30, 60, 90,, 360 le seguenti curve: γ = (3 cos t, 3 sin t); δ = (2 cos t, 4 sin t); λ = (2 cos t, 4 cos t) Esempio: Individuiamo i punti della gura γ = (2 cos t, 2 sin t). Il primo è A 1 (2 cos 0, 2 sin 0) = (2, 0). Il secondo è A 2 (2 cos 30, 2 sin 30 ) = (1.73, 1). Il terzo è A 3 (2 cos 60, 2 sin 60 )=(1, 1.73). E così via.. Rappresenta, su due piani cartesiani dierenti, le proiezioni della funzione γ, ovvero y = 3 cos t e y = 3 sin t (Operazioni con i numeri complessi in forma algebrica) Esegui le seguenti operazioni tra numeri complessi: (a) (14 j2) + ( 1 + j2); (b) ( 2 + j6) + ( 2 + j5); 5

6 (c) (3 j2)( 2 j2) ( 4 j6)(8 j2); (d) (3 + j2)(3 j2) + (2 + j4)(2 j4); Rappresenta sul piano di Gauss (piano cartesiano dove l'asse delle x è l'asse reale mentre l'asse y è l'asse dei numeri immaginari) i risultati delle varie espressioni dell' 1, sia come punto che come vettore. Determina il modulo e la fase dei seguenti numeri complessi, ricordando che, dato un numero complesso z = a + jb il suo modulo z è denito come z = a 2 + b 2 mentre la sua fase o argomento ψ è denita come ( b ) ψ = tan 1 a (a) z 1 = 2 + j2; (b) z 2 = 5 + j3; (c) z 3 = j2; (d) z 4 = 3 j5; Scrivi in forma goniometrica i numeri complessi sopra elencati. Suggerimento: Risolviamo il punto (a). Per il numero complesso z 1 è facile vedere che a = 2 e b = 2. Quindi applichiamo la formula che ci permette di calcolare il modulo di z 1 ed otteniamo z 1 = = 8 poi applichiamo la formula che ci permette di calcolare la fase ed otteniamo ( 2 ) ψ = tan 1 = tan 1 (1) = 45 2 A questo punto è facile scrivere il numero in forma goniometrica, ovvero usando la formula z = z (cos ψ + j sin ψ) otteniamo z 1 = 8(cos 45 + j sin 45 ) 6

7 Riscrivi in forma algebrica i seguenti numeri complessi (che sono scritti in forma goniometrica): (a) z 1 = 1 (cos j sin 270 ); (b) z 2 = 3 (cos j sin 180 ); (c) z 3 = 2 (cos j sin 270 ); (d) z 4 = 2 2 (cos 45 + j sin 45 ); Suggerimento: Risolviamo il punto (a). Sapendo che cos 270 = 0 e sin 270 = 1 il numero z 1 si può scrivere come z 1 = 1 (0 + j ( 1)) = 1 (0 j) = j (Operazioni con i numeri complessi in forma algebrica) Esegui le seguenti operazioni tra numeri complessi: (a) (18 j4) + ( 15 + j2); (b) ( 2 + j17) + ( 3 j15); (c) (2 j)(3 j5) ( 15 j6)( 8 j2); (d) (1 + j9)(1 j4) + (1 + j7)(2 j); Rappresenta sul piano di Gauss (piano cartesiano dove l'asse delle x è l'asse reale mentre l'asse y è l'asse dei numeri immaginari) i risultati delle varie espressioni dell' 1, sia come punto che come vettore. Determina il modulo e la fase dei seguenti numeri complessi, ricordando che, dato un numero complesso z = a + jb il suo modulo z è denito come z = a 2 + b 2 mentre la sua fase o argomento ψ è denita come ( b ) ψ = tan 1 a (a) z 1 = 2 + j2; 7

8 (b) z 2 = 3 j4; (c) z 3 = 5; (d) z 4 = 3 j5; Scrivi in forma goniometrica i numeri complessi sopra elencati. Suggerimento: Risolviamo il punto (a). Per il numero complesso z 1 è facile vedere che a = 2 e b = 2. Quindi applichiamo la formula che ci permette di calcolare il modulo di z 1 ed otteniamo z 1 = = 8 poi applichiamo la formula che ci permette di calcolare la fase ed otteniamo ( 2 ) ψ = tan 1 = tan 1 (1) = 45 2 A questo punto è facile scrivere il numero in forma goniometrica, ovvero usando la formula z = z (cos ψ + j sin ψ) otteniamo z 1 = 8(cos 45 + j sin 45 ) Riscrivi in forma algebrica 3 i seguenti numeri complessi (che sono scritti in forma goniometrica): (a) z 1 = 1 (cos j sin 270 ); (b) z 2 = 4.2 (cos 48 + j sin 48 ); (c) z 3 = 2.2 (cos 27 + j sin 27 ); (d) z 4 = 2.1 (cos 53 + j sin 53 ); Suggerimento: Risolviamo il punto (a). Sapendo che cos 270 = 0 e sin 270 = 1 il numero z 1 si può scrivere come z 1 = 1 (0 + j ( 1)) = 1 (0 j) = j 3 Approssimando i valori trovati alla prima cifra decimale. 8