11. Stato limite Ultimo per taglio

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1 11. Stato limite Ultimo per taglio 11.1 Premessa Attualmente, malgrado le tantissime prove sperimentali e l innumerevole quantità di dati disponibili, lo studio del taglio negli elementi di calcestruzzo armato non è ancora concluso. È importante sapere, infatti, che la rottura per taglio è in realtà una rottura determinata dall azione combinata di sollecitazioni di flessione, di taglio e spesso, anche, per sforzo normale e torsione. L esatta valutazione di questa rottura è, quindi, particolarmente complessa. La sperimentazione ha evidenziato che i fattori che risultano determinanti sulla resistenza a taglio di un elemento strutturale sono di diversa natura. I principali sono: la particolare disposizione delle armature longitudinali e trasversali; l aderenza fra acciaio e calcestruzzo; il tipo e la posizione dei carichi in relazione ai vincoli (appoggi); la particolare forma delle sezioni; la resistenza dei materiali: acciaio e calcestruzzo. La sperimentazione ha, inoltre, evidenziato quanto segue: le travi, anche se prive di apposite armature a taglio, mostrano una resistenza al taglio non trascurabile. Questa resistenza deriva, oltre che dalla resistenza a trazione del calcestruzzo, anche dal contributo di altri fenomeni interni al conglomerato e di difficile interpretazione; nelle travi non armate al taglio, l insorgere della lesione in prossimità dell asse neutro (sforzo di trazione massimo), per il raggiungimento della resistenza a trazione del conglomerato, provoca una situazione particolarmente pericolosa, che porta all inevitabile rottura della trave stessa; la presenza di fessure provocate da momento flettente non compromette la resistenza a taglio, in quanto si instaurano dei meccanismi ad arco ed a pettine che risultano ancora in grado, sia pure in maniera ridotta, di assorbire le sollecitazioni di scorrimento; nelle travi armate a taglio, l insorgere della fessurazione attiva un meccanismo a traliccio nel quale la resistenza a taglio risulta dovuta alla resistenza delle bielle di calcestruzzo compresse ed a quella a trazione delle armature trasversali e longitudinali; la resistenza a trazione del calcestruzzo, con il contributo di alcuni fenomeni aggiuntivi secondari, incrementa la capacità di resistenza del traliccio (contributi che sono esclusi nel metodo n ). La valutazione in sede di analisi teorica di tali contributi rimane, però, ancora imprecisa; prima perché trattasi di fenomeni complessi, poi perché questi fenomeni vengono influenzati da diversi fattori di difficile determinazione. Le normative introducono, infatti, fattori correttivi di derivazione sperimentale. Ad esempio, su una trave caricata si possono distinguere zone che evidenziano comportamenti differenti a seconda del tipo di lesione. In particolare, nelle travi a sezione rettangolare senza armature al taglio, la sperimentazione ha mostrato che in prossimità degli appoggi prevale un comportamento resistente ad arco. Per travi abbastanza alte, si è notato che nella zona compresa tra l appoggio e la mezzeria si formano delle lesioni che tendono a disporsi su un inclinazione di circa 45 ; in questa zona (esistono delle sollecitazioni combinate di flessione e taglio) è presente un meccanismo di resistenza a pettine. Infine, nell intorno della mezzeria le lesioni sono perpendicolari all asse della trave, tipiche della sollecitazione di flessione pura. Invece, nelle travi a T gioca un ruolo importante il rapporto tra la larghezza della suola e lo spessore dell anima. In presenza di armature trasversali per taglio, aumenta ovviamente la resistenza e gli effetti sopra menzionati rimangono come indice della resistenza di una quota parte del taglio portata dal solo calcestruzzo. I modelli di calcolo proposti per interpretare la resistenza al taglio delle strutture in calcestruzzo armato 539

2 sono diversi, e fanno riferimento alla situazione di incipiente collasso. I modelli in questione maggiormente noti sono i seguenti: traliccio di Ritter Mörsch; comportamento ad arco ; funzionamento a pettine. Il traliccio di Ritter Mörsch si basa sul calcolo da effettuare nel caso sia necessaria l armatura al taglio. Il modello fa riferimento al modello classico utilizzato nel vecchio metodo delle tensioni ammissibili. La Normativa Italiana ammette membrature prive di armature al taglio solo per solette, piastre o travi di luce modesta. Altre particolari normative non pongono limitazioni di luce, anche se prevedono un minimo di armature trasversali al fine di scongiurare il pericolo di rotture fragili dell anima. Nella determinazione delle armature trasversali viene considerata anche la resistenza a taglio che l elemento possiede a prescindere delle armature trasversali (diversamente quindi da quanto previsto con il metodo n ). Tale impostazione del problema consente riduzioni anche sensibili delle armature al taglio. Ciò implica, però, l introduzione nell analisi della resistenza a trazione del calcestruzzo (la cui stima non è affatto semplice); inoltre, questo comporta un aliquota di indeterminatezza che non bisogna trascurare. Le normative impongono che una considerevole quota di taglio venga sopportata dalle staffe; questo non solo perché esse rappresentano un importante collegamento tra i ferri longitudinali, ma anche per il fatto, sperimentalmente accertato, che nelle barre rialzate vengono a crearsi anomale concentrazioni di tensioni in corrispondenza delle piegature. Nota. Si anticipa che la schematizzazione matematica della resistenza al taglio in assenza di apposita armatura verrà trattata interamente nel paragrafo 11.10; dopo aver descritto nel dettaglio, nei paragrafi 11.6, 11.8 e 11.9, i relativi singoli meccanismi di resistenza Comportamento resistente ad arco Tale comportamento si estrinseca in prossimità degli appoggi. Più precisamente, una trave armata solo con ferri longitudinali, tende a scaricare i carichi sugli appoggi mediante una fascia di calcestruzzo che assume una forma simile a quella di un arco. Perché tale comportamento si possa sviluppare, sono necessarie sia cospicue altezze di travi che forti armature longitudinali in grado di assorbire la componente orizzontale della sollecitazione nell arco. In realtà, questo effetto ad arco non è un vero e proprio meccanismo di taglio, ovvero, esso non trasmette azioni taglianti dall una all altra sezione. La sua presenza riduce però il contributo degli altri meccanismi resistenti, aumentando la loro efficacia nel portare il taglio. Per tale motivo, lo si può classificare come meccanismo resistente al taglio. Se si osserva una trave inflessa (vedere figura 11.1) in prossimità di un appoggio, si può notare come la reazione ad arco tirante metta in collegamento il punto in cui si scaricano parte dei carichi esterni (l appoggio in A) con la fascia di calcestruzzo compressa che collega il dorso della trave a contatto con i carichi esterni ed il punto A medesimo. 540

3 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Effetto arco (fig 11_1).TIF Figura 11.1 Schema meccanismo resistente arco-tirante. Dalla figura si può osservare, inoltre, lo schema della reazione se si considera l equilibrio delle forze che convergono sul nodo A: la reazione vincolare verticale nel punto A: V ; la forza di compressione N c biella della biella di calcestruzzo, inclinata di rispetto all orizzontale; la trazione in prossimità dell appoggio delle barre longitudinali ancorate al corpo dell elemento strutturale: N f. La biella di calcestruzzo interessa tutta la larghezza b m dell elemento; inoltre la forza N c biella di compressione nella biella agisce perpendicolarmente su una sezione della biella pari a b m s sen ; dove s è la lunghezza, misurata lungo l asse dell elemento strutturale, di una delle dimensioni della sezione orizzontale della biella in questione; e dove per b m si intende (e si intenderà nel seguito) la larghezza minima dell elemento strutturale. Per l equazione di equilibrio al nodo (vedere figura 11.1), le tre forze si devono incontrare in un medesimo punto; per cui, dal triangolo di equilibrio, si ricava la seguente relazione: N c biella = V sin. La forza di compressione nella biella risulta N c biella = c biella ( b m s sen). Inoltre, si è notato dalle sperimentazioni che la dimensione s è all incirca 2 volte quella della distanza x dell asse neutro dal lembo superiore compresso; per cui è possibile considerare la seguente relazione: N c biella = c biella ( b m 2x sen); mentre, la componente N f di trazione orizzontale dell arco-tirante, per l equilibrio al nodo A, vale: V cotg. In un elemento strutturale (ad esempio, una trave), nelle zone con comportamento ad arco, si può determinare la resistenza ultima della biella compressa prescindendo da eventuali armature trasversali. Infatti, si è visto sperimentalmente che, in prossimità degli appoggi, l angolo è prossimo a 45 ; per cui le armature longitudinali devono essere dimensionate per sopportare una forza V cotg che, per = 45, è pari esattamente a V. Inoltre, se si considera la resistenza a rottura per la biella di calcestruzzo, si avrà c biella = f cd, per cui la resistenza ultima è, con = 45 (e osservando che nella flessione risulta: x = (0,2 0,3) h): ( ultima N ) c biella = f cd ( b m x 2 ). (0 In particolare, a rottura V V ) (0 Rcd, si ha: V ) Rcd = ( 2 / 2)N (ultima) c biella. 541

4 Per la resistenza ultima a schiacciamento della biella, quindi, ci si deve aspettare la gamma di valori: ( ultima N ) (0 c biella = V ) Rcd = ( 0,28 0, 42)b m f cd h Elementi strutturali dotati di apposite armature al taglio: schema del reticolo isostatico L elemento strutturale viene schematizzato mediante un reticolo isostatico costituito da elementi tesi inclinati di un angolo, generalmente compreso fra 45 e 90 e da elementi compressi inclinati di un angolo e connessi agli estremi mediante un corrente compresso ed uno teso (longitudinalmente). Le varie normative, tra cui quella italiana (D.M ), fanno riferimento al metodo standard: esso ipotizza un inclinazione costante di 45 delle bielle di calcestruzzo compresse, considerando anche il contributo di resistenza a taglio V Rcd che l elemento possiede, indipendentemente dalle armature trasversali. Occorre, in ogni caso, verificare che l anima della sezione non vada soggetta a rottura fragile per compressione del calcestruzzo. Il metodo del traliccio assimila l elemento strutturale ad una vera e propria struttura reticolare, composta da bielle di calcestruzzo compresse incernierate agli estremi ai ferri trasversali ed ai ferri longitudinali tesi. La figura 11.2 illustra il modello in questione e le relazioni fondamentali che intervengono tra le varie forze. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Modello Traliccio(fig 11_2).TIF Figura 11.2 Modello matematico del traliccio resistente al taglio. Equilibrio di un cuneo di conglomerato con singolo ferro trasversale al taglio. 542

5 Innanzitutto, si devono calcolare la quantità di ferri che attraversano ogni singola biella di calcestruzzo compressa. Ogni biella si forma tra due lesioni (fessure molto marcate) consecutive nell elemento strutturale, quando si è in incipiente collasso. Dall esame della figura risulta che all interno di ogni interasse t è presente un solo ferro trasversale. Il totale dei ferri trasversali n f che attraversano la singola biella di calcestruzzo è dato dal numero di interassi t che sono contenuti sulla proiezione (lungo l elemento strutturale) dell asse della biella. Dalla figura si evince che la proiezione della biella (di punti estremi indicati con p e q), lungo l asse dell elemento strutturale, contiene un numero di interassi di lunghezza t, la cui somma totale delle lunghezze tn f è misurata dalla lunghezza: t n f = z cotg + z cotg. In pratica, ciò equivale, se si fa riferimento al caso particolare rappresentato in figura, a considerare il numero di ferri che attraversano e che sono completamente contenuti all interno della biella, oltre alle altre barre che invece passano per gli estremi della biella stessa; per cui la loro sezione è per metà immersa nella biella e per metà all esterno della stessa. Quindi, le due barre agli estremi equivalgono ad un unico ferro che attraversa completamente la biella compressa. Infatti, si può constatare, prendendo come esempio il caso particolare riportato in figura 11.2, che il numero di interassi t che verificano l espressione del prodotto t n f = z cotg + z cotg è pari a 3: ossia, alla somma delle due barre completamente immerse nella biella e di quella singola, equivalente (in termini di sezione trasversale resistente) alle due poste agli estremi. Generalizzando, il numero di ferri che risultano immersi ( nella biella di calcestruzzo sono dati dall equazione: z cotg + z cotg ) n f =. t A questo punto, si può procedere ad individuare l entità delle varie forze che caratterizzano i materiali presenti nel traliccio resistente. Dal troncone di trave pqr, si consideri l equilibrio delle sole forze in direzione verticale. Risulta, quindi: V = ( Z )sen = ( n f Z )sen ; ovvero anche: Z n f sen = V ; dove si è indicato con Z la risultante delle forze parallele di trazione dei ferri trasversali, all equilibrio, passante per il punto di mezzo della biella. Per calcolare, invece, la forza nella biella compressa è utile considerare l equilibrio delle forze del cuneo di calcestruzzo armato, schematizzato in figura 11.2 nei pressi del punto p. Dal triangolo di equilibrio delle forze risulta: N c biella sen = HG ; ma risulta altresì: HG = Z sen ; per cui si arriva alla relazione: N c biella sen = Z sen ; ma, secondo l equazione sopra scritta, risulta: N c biella n f sen = V. È possibile, comunque, arrivare a quest ultima equazione anche per altra via; e, precisamente, osservando quanto segue: nella schematizzazione del traliccio ideale, il numero di ferri trasversali tesi è uguale al numero di bielle compresse (per cui, n f ferri tesi, e altrettante n f bielle compresse). Dall equilibrio alla traslazione verticale della parte di struttura individuata dal troncone di trave sezionato, in corrispondenza di un opportuno piano perpendicolare alla direzione delle bielle compresse e passante per il punto in cui viene piegato il primo dei ferri trasversali (come si può notare dalla figura 11.3), si ottiene nuovamente: N c biella n f sen = V. 543

6 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Comprescalcestruz(fig 11_3).TIF Figura 11.3 Schema per il calcolo dello sforzo di compressione nella biella di cls inclinata Riassumendo quanto detto, si hanno a disposizione 2 equazioni fondamentali: per la biella di calcestruzzo compressa: N c biella n f sen = V ; per i ferri longitudinali tesi: Z n f sen = V. Risulta, inoltre, all incipiente collasso, per i due materiali acciaio e calcestruzzo: f = f yd e c = f cd. Detta con f 1f l area resistente al taglio si un singolo ferro, le equazioni suddette assumono, dunque, le seguenti espressioni: biella compressa di calcestruzzo (a rottura, il massimo taglio sostenibile dalla biella compressa di calcestruzzo risulta V Rc1d ), quindi: f cd ( b m 2xsen )n f sen = V Rc1d acciaio (a rottura, il massimo taglio sostenibile dagli n f ferri è: V Rfd ), quindi: f yd f 1f n f sen = V Rfd ; dove si sono indicati con V Rc1d e V Rfd, rispettivamente, i valori ultimi di resistenza di progetto estrinsecabili dalla biella compressa e dalle barre trasversali, per sopportare il taglio di progetto V sd agente sulla trave. Tali resistenze ultime sono poste come differenti in quanto, la causa della rottura può avvenire sia per superamento del limite convenzionale di elasticità dell armatura trasversale, sia per schiacciamento del conglomerato d anima. Nota. Nel seguito, con f 1f si indicherà l area resistente al taglio di un solo ferro: per la singola staffa, f 1f diventa f 1s che è da intendersi pari a 2 volte l area del tondino utilizzato; mentre, per il singolo ferro piegato, f 1f diventa f 1p che, nel caso di un solo ferro alzato, è pari esattamente all area del singolo tondino utilizzato. In particolare, se si alza in una medesima sezione y una coppia di ferri, allora per f 1p si deve intendere il doppio dell area del tondino. Analogamente, se si alzano tre ferri alla volta nello stesso punto, f 1p è da intendersi pari a tre volte l area del singolo tondino, e così di seguito. Si è osservato dalle sperimentazioni che nella realtà intervengono altri meccanismi che contrastano l avvicinarsi alla rottura. Inoltre, si è anche notato che le compressioni effettive delle bielle risultano avere valori più elevati di quelli ricavati col traliccio isostatico ed è per tale motivo che le normative introducono un coefficiente correttivo (orientativamente: 0,9 = 0,60), basato su dati sperimentali. 544

7 ( z cotg + z cotg ) Considerando l espressione n f = e il termine correttivo prescritto dalle t norme, e ponendo z = 0,9 h, si arriva a definire un ulteriore forma per l equazione al limite di rottura della biella compressa di calcestruzzo: V Rc1d = 0, 9h f cd b m ( cotg + cotg )( sen ) 2 ; che, per bielle inclinate di = 45, nel caso di ferri piegati a 45 ( = 45 ) e per staffe ( = 90 ) assume, rispettivamente, le espressioni: ( piegati in presenza di soli piegati: V ) Rc1d = 0,9 f cd h b m ; (staffe) in presenza di sole staffe: V Rc1d = 0, 45 f cd h b m. ( piegati) < V Rc1d (staffe) Infine, si deve osservare che, risultando V Rc1d ed essendo sempre previste delle staffe in una struttura, nella verifica allo schiacciamento del calcestruzzo compresso, nelle bielle deve sempre essere verificata la relazione cautelativa: V Sd < V (staffe) Rc1d Trazione anticipata nelle armature longitudinali per effetto del taglio: traslazione del diagramma di calcolo del momento flettente Per affrontare agevolmente la trattazione della traslazione del diagramma dei momenti flettenti, è necessario, prima di tutto, ridurre in una sola forza equivalente l azione delle forze esterne (distribuite o concentrate, agenti su un troncone opportuno di trave) e della reazione sull appoggio. La figura 11.4 illustra un semplice esempio, senza entrare nel merito della dimostrazione. Risulta, infatti, facile dimostrare che è sempre possibile sostituire le forze esterne dei carichi e le relative reazioni vincolari tramite un unica forza equivalente (in questo caso, si sono considerate solo forze verticali); per cui il valore del taglio nominale sulla sezione generica ha valore coincidente con quello della forza equivalente stessa. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\T risultante rea(fig 11_4).TIF Figura 11.4 Equivalenza della risultante dei carichi distribuiti e della reazione concentrata sull appoggio. Ciò posto, si consideri una trave caricata in qualsivoglia maniera (ad esempio, lo schema in figura 11.4). Si applichi quanto appena detto per individuare la retta d applicazione e l intensità V della forza equivalente ai carichi ed alle reazioni vincolari che precedono la sezione S in cui si individua il troncone dell elemento strutturale scelto. A questo punto, è 545

8 possibile individuare le forze agenti sul troncone dell elemento. Analizzando la figura 11.5 si può osservare quanto segue: la forza di compressione N c è nota solo in direzione e verso; altrettanto dicasi per la forza di trazione dei ferri tesi longitudinali N f (y) (nella sezione distante y dall appoggio) e per la risultante Z delle trazioni delle barre trasversali che attraversano la biella compressa. La retta di applicazione si considera parallela alla direzione dei ferri (tra loro paralleli) e con punto di applicazione nel baricentro della biella, ovvero ad un altezza di z/2 dal lembo compresso di calcestruzzo. La forza equivalente V è nota in direzione, verso ed intensità. Si può, dunque, osservare quanto segue: la risultante della coppia di forze Z e N c si trova ovviamente nel punto di incontro delle rispettive rette di azione (retta 1 e retta 2). Tale punto è individuato in figura dal punto a. Analogamente, la risultante della coppia di forze V ed N f (y) si trova nel punto di intersezione delle rispettive rette d azione. Tale punto è rappresentato in figura con il punto b. Si è così ridotto il sistema di forze agenti in 2 sole forze passanti rispettivamente per i due punti noti a e b. Le due forze si equilibrano lungo la stessa retta d azione che congiunge ovviamente i 2 punti noti a e b (retta 5). Tutto ciò è sintetizzabile mediante il quadrilatero di equilibrio dei vettori delle forze, essendo note le direzioni di alcune forze ed essendo nota in tutto la forza V. Definito il quadrilatero, risultano determinabili tutte le intensità e le rette di azione delle forze, in particolare quella della forza risultante Z. Dal triangolo delle sue componenti si ricava anche: ( Z ) = V ; Z v ( ) = V cotg. o Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Traliccio Taglio(fig 11_5).TIF Figura 11.5 Equilibrio di un tronco di un elemento strutturale sottoposto a sollecitazioni taglianti nei pressi dell appoggio. Sistema dei carichi agenti: riferimento a figura A questo punto, si può sostituire nel punto di applicazione della forza le sue due forze componenti: V e V cotg, ormai note in intensità e in direzione. Il troncone dell elemento risulta quindi sottoposto alle seguenti forze note sia in intensità che in direzione, con noti anche i punti di applicazione. Si calcoli, ora, l equilibrio dei momenti rispetto al polo individuato dal punto, intersezione delle rette 1 e 4. Le forze che contribuiscono al verificarsi di un momento non nullo sono le seguenti: Z 546

9 la forza ( Z ) = V cotg ; o la forza N f (y) di trazione delle barre longitudinali nella sezione distante y dall appoggio; la forza ( Z ) = V. v L equazione di equilibrio dei momenti, facendo riferimento alle dimensioni riportate in figura, evidenzia: N f (y) z + ( V cotg) z V = 0 ; 2 essendo: = y + z 2 cotg la distanza della retta d azione della forza equivalente V dal punto in cui è presente la reazione d appoggio, e da cui si contano le y. L equazione assume allora la forma: N f (y) z + ( V cotg) z 2 V + y + z 2 cotg = 0 ; per cui il valore della forza N f, nella sezione a distanza y dalla sezione dell appoggio, assume la forma: N f (y) = V z ( + y)+ z ( cotg cotg ) 2 ; N f (y) = V z ( + y )+ y { } avendo posto: y x ( cotg cotg 2 ). A questo punto, è interessante osservare che, ragionando nel modo usuale della Scienza delle Costruzioni (ovvero considerando la trave schematizzata non come una vera e propria struttura, ma schematizzabile tramite il solo suo asse), fatta una sezione trasversalmente all asse della trave ad una distanza y dall appoggio, il valore del momento delle forze agenti sulla trave a monte della sezione si calcola semplicemente come: M(y) = V ( y+ ); essendo y +, come subito si può controllare osservando la figura A questo punto, se si ragionasse direttamente sulla sezione verticale della trave, si potrebbe credere di valutare la forza N f (y) semplicemente considerando la sezione verticale dell elemento alla distanza y dall appoggio; quindi calcolare M(y) = V ( y+ ) (tramite i noti metodi di Scienza delle Costruzioni) e poi, tramite l equazione dei momenti per la sezione resistente, scegliere come polo il baricentro delle compressioni, per cui si arriverebbe alla nota equazione nel caso di flessione retta: M(y) = N f (y) z. Pertanto, con i soli metodi della Scienza delle Costruzioni, si arriverebbe a valutare la forza N f (y) in questi termini: N f (y) = M(y) z = V z ( y + ). 547

10 Si può a questo punto osservare quanto segue: con i metodi tradizionali della Scienza delle Costruzioni si calcolano i diagrammi delle sollecitazioni; per i quali, in particolare, vale l equazione qui sopra riportata dei momenti flettenti. Tale equazione fornisce, infatti, il legame M(y) = V ( y+ ). Si osserva immediatamente che, in virtù del suddetto legame, l espressione V ( y + + y) non è altro che il valore del momento flettente nel punto di ascissa y* = y + y. Per cui, si scriverà: M(y*) = M( y+ y)= V ( y + + y). A questo punto risulta chiaro che, per valutare correttamente il valore della forza N f (y) nella sezione distante y dall appoggio, se si volesse fare riferimento all elemento strutturale come schematizzabile al solo suo asse, si deve prima di tutto calcolare il diagramma M(y) rispetto all asse y. Successivamente, per il progetto dell elemento inteso come struttura tridimensionale di calcestruzzo e acciaio, è opportuno riferire ogni punto y (sull asse della trave) al valore del diagramma dei momenti flettenti, calcolato nel punto: y* = y + y. In altri termini, si deve traslare orizzontalmente il diagramma dei momenti flettenti della quantità y nel verso che dà luogo, nel fissato punto y, ad un aumento del valore assoluto del momento stesso. La figura figura 11.6 illustra quanto detto. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_6.tif Figura 11.6 Traslazione del diagramma dei momenti flettenti per elemento strutturale sottoposto a sollecitazioni flettenti e taglianti. Poiché, nella collocazione della risultante delle forze esercitate dalle armature trasversali si può commettere un errore pari al massimo a t/2, per coprire il caso più sfavorevole si deve assumere per y, calcolato precedentemente, il seguente valore: Z 548

11 y*= z ( cotg cotg 2 )+ t 2. È opportuno notare che un analogo discorso avviene per gli elementi strutturali incastrati ad un estremo e/o ad entrambi: il ragionamento si può estendere anche a questa tipologia di vincoli. Si deduce, allo stesso modo, che il diagramma dei momenti flettenti da utilizzare per l elemento, considerato come struttura tridimensionale, è quello M(y) traslato della quantità y* nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento stesso. È importante notare che, secondo lo schema a traliccio, anche i ferri inferiori, disposti per reagire a flessione, sono impegnati dall azione tagliante, cosicché lo stato di sollecitazione di queste armature risulta essere maggiore di quello pronosticabile in base ad una verifica di sola pressoflessione Progetto dell armatura longitudinale in presenza di sollecitazioni taglianti Anziché utilizzare l ultima equazione vista nel paragrafo precedente, si può progettare l armatura longitudinale in maniera più semplice, assumendo per il momento flettente di progetto, nella sezione di ascissa y, il valore maggiorato: M * Sd (y) = M Sd (y) + V Sd (y) y * ; essendo V Sd (y) il taglio di progetto nella sezione y. Agli estremi, nel caso semplice di elemento strutturale appoggiato sarà, come noto, V Sd = max { V Sd (y)}. La dimostrazione dell equazione sopra riportata si ricava immediatamente ricordando l espressione delle funzioni M(y) e V(y), calcolate rispetto all asse y, che parte dall appoggio verso la mezzeria della trave. Risulta, infatti per il momento e per il taglio, rispettivamente: M Sd (y) = V Sd y py2 2 ; V Sd (y) = V Sd p y ; essendo, ad esempio, p il carico ultimo distribuito uniformemente sull elemento. Nel progetto delle armature, essendo necessaria la traslazione del diagramma dei momenti flettenti, si è visto che bisogna fare riferimento alla funzione M( y+ y), che corrisponderà al valore reale del momento flettente agente e sollecitante la sezione y. Basta a questo punto sostituire alla variabile y la nuova variabile y + y e svolgere la funzione del momento flettente. Risulta quindi: p y + y M Sd ( y + y)= V Sd ( y + y) ( )2. 2 Svolgendo i calcoli si arriva alla relazione: ( ) 2 M Sd ( y + y)= M Sd (y) + V Sd (y) y * p y*. 2 Tralasciando l ultimo termine, perché relativamente piccolo rispetto agli altri e perché tende a diminuire il valore del momento di progetto, si arriva alla seguente equazione: M * Sd (y) M Sd (y)+ V Sd (y)y *. È importante notare che i diagrammi dei momenti flettenti devono riferirsi ai valori dei momenti flettenti di progetto. Sempre in questa ottica devono, quindi, intendersi tutti i ragionamenti fatti nei paragrafi precedenti nei quali, per semplicità di scrittura, si è sempre posto direttamente M anziché M Sd Meccanismi di resistenza al taglio in assenza di apposite armature: funzionamento a pettine In presenza di fessurazione dovuta a momento flettente, l elemento strutturale reagisce secondo uno schema di resistenza detto a pettine, il quale prescinde dalla presenza delle armature trasversali. La sperimentazione mostra che i denti generati da lesioni consecutive risultano inclinati di circa 45, mentre nelle zone con taglio esiguo sono praticamente verticali (preponderanza della flessione sul taglio). 549

12 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Modello pettine (fig 11_7).TIF Figura 11.7 Schema di resistenza a pettine in un elemento strutturale non armato al taglio. Evidenziato il singolo dente creato da due lesioni consecutive nel conglomerato, inclinate di 45. Le indagini sperimentali hanno dimostrato, inoltre, che la dimensione assume il valore 1,25( h x) h, visto che x vale circa (0,2 0,3)h. Le forze che agiscono sul singolo dente sono schematizzate in figura Se si calcola l equazione di equilibrio dei momenti rispetto al polo si arriva alla semplice relazione: V S z = 0 ; avendo indicato con S lo sforzo di scorrimento per taglio che viene valutato: S = V. z A questo punto, si consideri la sezione di incastro del dente, schematizzata nella sezione AB in figura. Questa può essere considerata una sezione critica, in quanto è schematizzabile ad una mensola incastrata nella sezione AB; in cui, in vicinanza del punto A, devono nascere delle trazioni nel calcestruzzo per permettere l equilibrio del dente. L incastro in AB riceve dal dente le seguenti sollecitazioni: M 0 = S z 0 ; N 0 = S cos45 =S 2 ; V 0 = S sen45 =S 2. Il dente offre la possibilità di trasmissione dello sforzo di scorrimento dall armatura tesa al corrente compresso e nella sezione AB, di dimensione A AB = b m 2 (dove b m è la dimensione lungo la direzione perpendicolare al foglio), la trazione massima nel lembo a sinistra (estremo nel punto A, dove c è il massimo della trazione) si calcola mediante la nota equazione: (A) = N 0 + M 0 A AB J y A ; in cui (considerate positive le trazioni): M 0 contribuisce alla trazione in A; N 0 contribuisce alla compressione in A. Quindi, nel punto A risulta y A = AB 2 ; inoltre il momento d inerzia della sezione AB rettangolare si calcola, come noto: ( ) 3 b m J = AB 12 dove AB = (A) = b m ; N 0 2. Sostituendo i valori si ottiene subito: 2 + S z 12 0 ; b m 2 550

13 sostituendo i valori N 0 e M 0, trovati in funzione della forza di scorrimento S, si arriva all equazione: (A) = N 0 b m + S z 0 12 b m 2. A questo punto, ipotizzando nella struttura la presenza di un armatura ad aderenza migliorata con buona diffusione e con elevata percentuale (e quindi ipotizzando la presenza di una microfessurazione diffusa), è ragionevole arrotondare la resistenza a trazione per flessione a circa 1,5 volte il valore della resistenza di progetto a trazione semplice f ctd. Pertando, nel caso di incipiente collasso, si può sostituire a (A) il valore 1,5f ctd e al valore della forza di scorrimento S il suo valore ultimo S ultimo posto uguale a: (1) S ultimo = V Rcd. z Sostituendo i valori, risulta: 1,5 f ctd = V ( 1) Rcd b m z + V (1) z Rcd b m z Inoltre, dalle sperimentazioni si può porre, con buona approssimazione: z = 0, 9 h ; x = 0, 2 h ; = h ; z 0 = h x 0, 25. Di conseguenza, la resistenza al taglio offerta dal solo conglomerato per un meccanismo schematizzabile come essenzialmente a pettine (prescindendo calcestruzzo dalle armature trasversali), risulta: = 0,24b m h f ctd. (1) V Rcd Si è anche dimostrato, dalle prove sperimentali, che l efficienza del meccanismo a pettine risulta sensibilmente migliorata, oltre che da eventuali componenti di compressione assiale, anche dal contributo offerto dal cosiddetto effetto spinotto e dall ingranamento degli inerti L influenza del contributo della compressione assiale alla resistenza al taglio in assenza di apposite armature Nel caso sia presente anche una forza assiale N Sd, la distanza dell asse neutro dal bordo compresso aumenta e le fessure si insinuano per un altezza minore. Nel funzionamento a pettine questo fenomeno ha l effetto di produrre dei denti robusti; quindi, il contributo alla resistenza al taglio tende ad incrementarsi. Infatti, la Normativa Italiana (D.M ) aveva introdotto un moltiplicatore, funzione dello sforzo di compressione, da porre pari ad 1 in assenza di compressione (vedere definizione di al paragrafo ). Per tale motivo, la presenza di una forza assiale modifica l equazione della resistenza al taglio vista nel paragrafo precedente in: (1) V Rcd = 0,24b m h f ctd Effetto spinotto in elementi strutturali privi di apposite armature al taglio Le difficoltà nel valutare con precisione il contributo al taglio offerto dall armatura longitudinale tesa sono notevoli, soprattutto perché esso risulta intimamente legato a diversi parametri (tra cui, il diametro delle barre, la loro disposizione e la situazione locale del calcestruzzo). Si ricorre, quindi, ad una valutazione empirica, suffragata da concreti risultati sperimentali. Indagini sperimentali hanno, infatti, evidenziato che la flessione dell asse della trave e lo sviluppo di lesioni in seno alla stessa tendono a deformare le barre longitudinali tese in prossimità delle lesioni come indicato nella figura

14 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Meccanisspinotto(fig 11_8).TIF Figura 11.8 Deformazione delle armature longitudinali tese a causa dell effetto spinotto, in prossimità di una lesione per taglio, quando si è in incipiente rottura. Le barre subiscono un momento risultante (momento spinotto) a causa delle forze trasmesse dal calcestruzzo che avvolge e circonda i ferri longitudinali. Osservando in figura la deformazione assunta delle barre a rottura, si può dedurre che il calcestruzzo a contatto con i ferri longitudinali applica a questi ultimi una coppia con momento di verso orario. Come conseguenza, per reazione, i ferri longitudinali scaricano un momento, uguale e contrario nel verso, al calcestruzzo con cui sono in contatto. Sperimentalmente, si è visto che l intensità del momento flettente risulta proporzionale al diametro delle barre e che la rigidezza flessionale di queste tende a distribuire le sollecitazioni di contatto con il calcestruzzo per un tratto 5. Quindi, con buona approssimazione, il braccio della coppia suddetta assume il valore 5. Se n è il numero delle barre longitudinali e f ctd è la resistenza ultima a trazione per il calcestruzzo a contatto con le barre, si può concludere che il valore massimo del momento (momento spinotto, appunto) applicabile dalle barre al calcestruzzo a contatto con esse deve assumere il valore: M spinotto = 5 n f ctd ( )= 5 n 2 f ctd ; 552

15 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Effetto spinotto2(fig 11_9).TIF Figura 11.9 Meccanismo di resistenza del conglomerato al taglio per solo effetto spinotto. Meccanismo che può innescarsi nel funzionamento a pettine. in cui si è tenuto, appunto, in considerazione la proporzionalità di M spinotto con e del valore del braccio della coppia, valutato come 5. Considerando l area totale F f delle sezioni trasversali delle barre, tale valore del momento spinotto può porsi nella forma: M spinotto = 6, 4 F f f ctd. In questo caso, il procedimento del calcolo dell equazione di equilibrio del dente è simile al caso del comportamento a pettine, enunciato in precedenza. Qui, però, è presente un contributo in più dato dal momento spinotto. Infatti, se si calcola il momento equivalente, agente nella sezione di incastro del dente, si trova: M 0 = S z 0 M spinotto. Procedendo come nel caso del meccanismo di resistenza a pettine, si scrive l equazione per il calcolo della massima trazione nel punto A dell incastro del dente; nel caso di contributo ulteriore per effetto spinotto. Intanto, si può osservare che l effetto spinotto tende ad alleviare l intensità del momento all incastro: sulla sezione AB si esplica un contributo che tende a diminuire l effetto del momento imputato allo sforzo di taglio: S z 0. Ciò invece è assente nel meccanismo di resistenza a semplice pettine, analizzato nel dettaglio in precedenza. Il calcolo della massima trazione sopportabile nel punto A della sezione AB di incastro del dente porge, nel caso di presenza del meccanismo spinotto: (A) = S b m + S z M 0 spinotto. b m 2 12 Poiché risulta sempre S = ( V ) z, procedendo analogamente a quanto fatto in precedenza, si ha a rottura: 1,5 f ctd = V (2) z Rcd 0 6, 4 z F f f ctd V (2 ) Rcd ; z b m 12 z b m da cui, semplificando e sostituendo i valori, si arriva a porre questa equazione in una forma analoga a quella che era stata ricavata relativamente al funzionamento in assenza di effetto spinotto. Si arriva, dunque, all equazione: (2 V ) Rcd = 0,24 b m h f ctd ( μ f ); dove, come noto, la percentuale di armatura tesa è stata indicata come: μ f = F f b h. 553

16 Si deduce, quindi, che la quantità (1+ 51μ f ), normalmente inferiore a 2, è il contributo dell effetto spinotto dato dall armatura longitudinale tesa (assunta in forma lievemente diversa dalle normative) Effetto ingranamento degli inerti in elementi strutturali privi di armature al taglio Questo modello parte dalla considerazione che le superfici separate dalle fessure tendono a scorrere le une sulle altre per effetto delle sollecitazioni di taglio e flessione sulla trave. Di conseguenza, si può supporre che si inneschino forze di attrito tra le parti di trave a contatto nelle zone dove si aprono le fessure. Queste forze di contatto risultano delle forze di tipo attritivo più o meno esaltate dalla scabrezza delle superfici; queste ultime, a loro volta, risultano legate al tipo di inerte e di lavorazione del calcestruzzo. Si ipotizza, dunque, che nel funzionamento a pettine si possano estrinsecare delle forze agenti sui lati del dente (come illustrato nella figura 11.10), indicate con i simboli R t e R n. Dunque, per la presenza della forza normale R n viene così generata una forza di attrito tangenziale R t = μ attrito R n, avendo qui indicato con μ attrito il coefficiente di attrito tra gli inerti a contatto tra le due superfici create dalla lesione. Se si esprime la risultante delle forze R t e R n in termini delle due componenti N e V, rispettivamente orizzontale e verticale, agenti sul lato del dente, si ottiene: ( ) N = R n + R t 2 ( ) ( = μ attrito + 1) R n ; V = R t R n 2 2 ( = μ 1) R attrito n 2 ( = μ 1 attrito ) N. μ attrito + 1 ( ) Queste due forze tendono a stabilizzare il dente, incastrato nella sezione AB. Con lo stesso ragionamento utilizzato per gli altri meccanismi resistenti sul dente, si calcola di nuovo la tensione massima di trazione nel punto A, considerando il caso di incipiente rottura per raggiungimento della tensione massima di trazione per flessione. Senza ripetere i calcoli già visti precedentemente, si dimostra che, prescindendo dalle armature trasversali (a parte eventuali compressioni assiali che aiutano la resistenza), risulta valida la relazione: ( V 3) Rcd = 0, 24b m h k f ctd ; in cui il parametro k risulta definito da: k = 1,6 h ; con h espressa in metri. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap11)\Ingranaminerti(fig 11_10).TIF Figura Meccanismo di resistenza al taglio per effetto ingranamento degli inerti, in un elemento strutturale senza apposite armature al taglio. Meccanismo che può estrinsecarsi nel funzionamento a pettine. 554

17 11.10 Schematizzazione matematica della contemporaneità dei vari meccanismi di resistenza al taglio in assenza di apposita armatura Dall esame delle varie teorie è emerso che un elemento strutturale di calcestruzzo armato, sottoposto a flessione e taglio, è schematizzabile a rottura come una vera e propria struttura tridimensionale, in cui acciaio e calcestruzzo si cimentano assieme per sopportare e sostenere i carichi esterni. Le varie teorie e schematizzazioni finora elencate hanno condotto a formule pratiche per il dimensionamento e la verifica degli elementi resistenti nella struttura: ferri in trazione e parti di calcestruzzo in compressione. Si possono, dunque, riassumere i risultati ottenuti indicando le formule relative all acciaio ed al calcestruzzo: Calcestruzzo compresso: tutte le formule relative ai diversi meccanismi aggiuntivi di resistenza del solo calcestruzzo, a prescindere dalle armature, possono essere sintetizzate e racchiuse nella seguente formula generalizzata: (i) V Rcd = 0,24 i h f ctd b m ; dove i indica un dato coefficiente numerico. Comportamento ad arco (i = 0). (Paragrafo 11.2) Comportamento a pettine semplice (i = 1). (Paragrafo 11.6) Comportamento a pettine + sollecitazione assiale N Sd (i = 1). (Paragrafo 11.7) Comportamento a pettine + effetto spinotto (i = 2). (Paragrafo 11.8) 0 0, 24 = 0, 28 0, 42 1 = 1 1 = 2 = μ f Comportamento a pettine + effetto ingranamento inerti (i = 3). (Paragrafo 11.9) ( ) 3 = k è definito dalle Normative a seconda del tipo di sollecitazione assiale; k = 1,6 h; con h espresso in metri. Tabella 11.1 Valori da assumere per il coefficiente i, a seconda del meccanismo resistente considerato. Acciaio: le formule relative alla resistenza ultima delle armature fanno riferimento all equazione: f yd f 1f n f sen = V Rfd ; con n ( f espresso tramite la relazione: z cotg + z cotg ) n f =. t Le due equazioni, relative ai ferri trasversali reagenti al taglio, si possono sintetizzare nella relazione seguente: V Rfd = f 1f z ( cotg + cotg ) f yd sen t dove, f 1f è l area resistente del singolo ferro: o nel caso delle staffe, f 1f diventa f 1s che è da intendersi pari a 2 volte l area del tondino utilizzato; o nel caso dei semplici ferri piegati, f 1f diventa f 1p che, nel caso di 1 solo ferro alzato, è pari proprio all area del tondino utilizzato. Se, invece, si alza in una medesima sezione y una coppia di ferri, allora per f 1p si deve intendere il doppio dell area del tondino. Analogamente, se si alzano tre ferri alla volta nello stesso punto: f 1p è da intendersi pari a tre volte l area del singolo tondino e via di seguito. È ovvio riconoscere che il rapporto f 1f t è l area resistente del singolo ferro per unità di lunghezza misurata lungo l asse dell elemento strutturale. L equazione qui sopra riportata, se si fissa = 45, assume aspetti differenti, rispettivamente, nel caso di sole staffe e soli ferri piegati: staffe: =

18 V Rsd = f 1s 0, 9 h f yd ; t s dove t s è l interasse tra una staffa e la successiva; ferri piegati: 30 < 90 V Rpd = f 1p t p 0, 9h ( 1 + cotg) f yd sen ; dove per t p è da considerarsi l interasse tra le sezioni di due ferri piegati consecutivi. La sezione è da intendersi effettuata con un piano orizzontale che sezioni l elemento strutturale in senso longitudinale. (Vedere, a tal proposito, la figura 11.2 dove l interasse suddetto è stato indicato semplicemente con il simbolo t) Verifica al taglio di un elemento strutturale in calcestruzzo armato secondo la Normativa Italiana (1) Generalità Le formule di calcolo attualmente proposte dalle normative derivano dall ipotesi di comportamento a traliccio dell elemento strutturale; sono compatibili quindi tutti i modelli e le ipotesi riportate all interno del paragrafo Quindi, si possono sintetizzare tutti i concetti riportati affermando che la resistenza ultima al taglio della struttura sottoposta a flessione e taglio è data della resistenza ultima V Rfd estrinsecata dalle armature (piegati, staffe (i) e ferri longitudinali) e dalla somma delle singole resistenze V Rcd di tutti quei meccanismi estrinsecabili dal calcestruzzo, a prescindere dalla presenza di armature al taglio. Dunque, per esplicitare la resistenza ultima messa in campo dall elemento strutturale, si può scrivere: V Rd = V Rfd + V Rcd ; in cui i termini presenti hanno il seguente significato: V Rfd è il massimo taglio portato dalle armature trasversali (ferri piegati e/o staffe); V Rcd è il massimo valore del taglio portato dal calcestruzzo (a prescindere dalla presenza o meno delle armature trasversali), in virtù dei vari meccanismi descritti nei paragrafi precedenti. Quindi, tale valore si calcola come somma dei singoli contributi (vedere anche tab. 11.1): V Rcd = (i ) V i. Rcd In realtà, però, l effetto dei vari termini non è semplicemente sommabile, perché esso è fortemente influenzato da numerosi fattori (tipo di carico, forma della sezione, ecc.) che condizionano la resistenza a flessione e taglio. Inoltre, a seconda del tipo di fessurazione e del meccanismo di rottura che si instaura come predominante nella trave, alcuni termini tendono ad essere irrilevanti. A questo punto, è necessario fare attenzione al fatto che, analizzando la (i) forma con cui è stata concepita V Rcd = 0,24 i h f ctd b m, si nota che è possibile scrivere: V Rcd = (i) T i = h f Rcd ctd b m ; avendo in precedenza concepito l equazione in maniera tale che la somma dei singoli effetti resistenti può essere considerata moltiplicando i vari fattori i ; risulta: = i. i Pertanto, se è presente un meccanismo di resistenza a pettine ( 1 ) in cui si ipotizza anche la presenza di un azione assiale N Sd ( 1 ), di un effetto spinotto ( 2 ) e di un effetto per ingranamento di inerti ( 3 ), allora il taglio ultimo estrinsecabile dal solo conglomerato, a prescindere dalla presenza o meno dei ferri trasversali, risulta esprimibile dalla relazione: 1 Nel presentare le principali prescrizioni della Normativa Italiana sulla flessione e taglio, si è voluto tenere anche conto di tutte quelle utili indicazioni riportate dal D.M. 9 gennaio 1996; lasciando eventualmente libertà al Progettista di rifarsi integralmente alle indicazioni maggiormente dettagliate contenute nelleurocodice

19 V Rcd = 0,24 1 ( μ f )k h f ctd b m ; dove il termine tra parentesi quadre non è altro che l equazione sopra riportata, in cui i vari termini i sono quelli considerati nella tab In conclusione, il massimo valore del taglio di progetto sopportabile dal conglomerato (sempre a prescindere dai ferri trasversali al taglio), risulta esprimibile nella forma generale che tiene conto di tutti i contributi resistenti possibili: V Rcd = 0,24h f ctd b m = 0, 24 i h f ctd b m ; i con l accortezza di porre uguale all unità il parametro i, nell eventualità che il meccanismo i esimo non contribuisca alla resistenza al taglio Metodi di calcolo e formule fondamentali da impiegare per il progetto e la verifica Come già accennato, la Normativa Italiana (D.M ) ha cominciato con l adottare il traliccio di Ritter Mörsh classico, che prevede armature trasversali ed assume come angolo medio di inclinazione delle bielle convenzionali di calcestruzzo il valore = 45 ; ma considera i contributi aggiuntivi offerti dal calcestruzzo, non contemplati dall ipotesi di Ritter Mörsh. La Normativa (D.M ), con l ipotesi di bielle di calcestruzzo compresse inclinate di = 45, impone specifiche armature al taglio, e prescrive: la verifica allo schiacciamento del calcestruzzo della biella compressa per collasso con rottura fragile, mediante la verifica cautelativa: V Sd < V (staffe) Rcld ; (staffe) in cui è: V Rcld = 0, 45 f cd h b m, con 0, 9 = 0, 60. Pertanto la verifica risulta nella forma: V Sd < 0, 30 f cd h b m ; la verifica della resistenza totale al taglio dell intero elemento strutturale (insieme di calcestruzzo + acciaio): V Sd V Rd = V Rfd + V Rcd dove, il taglio ultimo portato dalle barre trasversali è pari a: o V Rfd = V Rsd supponendo la presenza di sole staffe: o V Rsd = f 1s t s 0, 9 h f yd ; V Rfd = V Rpd supponendo la presenza di soli ferri piegati: V Rpd = f 1p t p 0, 9h ( 1 + cotg) f yd sen. avendo indicato con l angolo di inclinazione delle armature al taglio rispetto all asse longitudinale dell elemento strutturale (0 < 90 ). Inoltre, la resistenza di calcolo dell armatura d anima deve risultare tale che: V rf 0,30 f cd h b m avendo limitato, come da normativa, a 0, 8 f yd la tensione ultima nelle barre rialzate resistenti al taglio. NOTA. Se in una medesima sezione y della trave si alza una coppia di ferri, allora per f 1p si deve intendere il doppio dell area del tondino. Analogamente, se si alzano tre ferri alla volta nello stesso punto: f 1p è da intendersi pari a tre volte l area del singolo tondino, e così di seguito. Questo, ovviamente, perché maggiore è il numero dei ferri in un punto y, maggiore è l area resistente dei ferri per assorbire il taglio. 557

20 Nel caso di contemporanea presenza di staffe verticali e barre inclinate di, si assume valida l ipotesi di sovrapposizione (somma) degli effetti delle singole resistenze: V Rfd = V Rsd + V Rpd. In particolare, il taglio ultimo portato dal conglomerato può essere assunto pari a: V Rcd = 0,60 h f ctd b m. Per quanto riguarda il coefficiente, si può dire che esso tiene conto della presenza di una sollecitazione normale N Sd, ed assume questi particolari valori: = 1 in assenza di sollecitazione normale o se, in presenza di sollecitazione normale di trazione, l asse neutro taglia la sezione; = 0 se, in presenza di una sollecitazione normale di trazione, l asse neutro risulta esterno alla sezione (sezione interamente tesa); = 1 + M dec M Sd in presenza di sollecitazione normale di compressione (o di precompressione) con M dec momento di decompressione a livello della fibra meno compressa (pari al valore della sollecitazione flettente che, assieme alla sollecitazione ultima assiale N Sd, porta l asse neutro sul lembo estremo inferiore della sezione di conglomerato) ed M Sd momento flettente massimo agente nella sezione in cui si effettua la verifica al taglio. Il valore di M Sd, se risulta minore di M dec, va considerato nella formula pari ad M dec stesso. la verifica dell armatura longitudinale tramite la traslazione del diagramma dei momenti flettenti della quantità: y z ( cotg cotg 2 ), nella direzione in cui dà luogo, nel fissato punto y, ad un aumento del valore assoluto del momento stesso (vedere paragrafo 11.4) Elementi strutturali privi di armature al taglio Rientrano in questa categoria le solette, le piastre, i solai e tutti quegli elementi che abbiano sufficiente capacità di ripartire i carichi trasversalmente all asse dell elemento, e che non siano soggetti a sensibili sforzi normali di compressione; ossia quegli elementi in cui la resistenza dell elemento fessurato allo sforzo di taglio deriva dall instaurarsi di un funzionamento ad arco-tirante e dalla resistenza dei denti di calcestruzzo compresi tra due lesioni successive. La verifica si esegue, quindi, per il solo calcestruzzo. Il taglio resistente può essere stimato mediante la relazione: V Rcd = 0,25 f ctd k b m h ( μ f ) ; dove: k = [ 1,6 h[m] ] 1 ; μ f = F f 0,02 ; b m h con F f area dell armatura tesa ancorata oltre l intersezione dell asse dell armatura con un eventuale fessura a 45 che si inneschi nella sezione considerata Armatura longitudinale prossima agli appoggi in presenza di sollecitazioni taglianti Nel paragrafo 11.4 si è ricavato il valore dello sforzo nell armatura longitudinale in corrispondenza di una sua sezione fessurata. Il considerare l elemento strutturale come una vera e propria struttura tridimensionale ha portato alla relazione: N f (y) = V z ( + y)+ z ( cotg cotg )

21 Si consideri ora (facendo, ovviamente, riferimento ai simboli utilizzati nella figura 11.6) un troncone di un elemento strutturale (ad esempio, una trave) molto corto, in prossimità dell appoggio A (y ~ 0). Nell ipotesi di sezione prossima all appoggio (y 0), dove sono presenti presumibilmente solo staffe (per cui = 90, con cotg = 0) e nel caso di lesioni sempre inclinate di = 45, con cotg = 1, si osserva subito, per prima cosa, che la risultante dei carichi distribuiti sul troncone di trave tende a zero perché y ~ 0. Pertanto, la forza T, risultante della reazione sull appoggio e dei carichi distribuiti (o concentrati) agenti sul piccolo troncone di trave y ~ 0, tende a coincidere proprio (sia in direzione che in intensità) con la forza vincolare sull appoggio A; ovvero risulta: = 0. Di conseguenza, l ultima equazione sopra riportata diventa: N f (y = 0) = V z z 2 = V 2. Se, invece, la lesione non incontra nessuna staffa, per l equilibrio al nodo in corrispondenza dell appoggio A, deve estrinsecarsi, per forza di cose, un meccanismo di resistenza ad arcotirante: è come se si tendesse allo schema resistente illustrato nella figura In tal caso, si era osservato che il meccanismo di resistenza suddetto portava alla sollecitazione delle barre longitudinali espressa dalla: N f (y = 0) arcotirante = V. Dove, ovviamente per V è da intendersi il valore del taglio di progetto: V Sd. Si ha così che, in vicinanza dell appoggio, lo sforzo dell armatura può raggiungere un valore pari alla reazione stessa (funzionamento ad arco-tirante). Di qui il suggerimento, proposto anche dalla Normativa italiana, di disporre in corrispondenza degli appoggi terminali un armatura capace di assorbire l intera reazione dell appoggio stesso Procedure per il progetto delle armature al taglio: principali prescrizioni della Normativa Italiana (2) Secondo le Norme Tecniche, la resistenza al taglio di elementi strutturali dotati di specifica armatura a taglio deve essere valutata sulla base di un adeguata schematizzazione a traliccio. Gli elementi resistenti dell ideale traliccio sono: le armature trasversali, le armature longitudinali, le bielle di conglomerato cementizio in corrispondenza sia del corrente compresso che dei puntoni d anima inclinati. L inclinazione delle bielle compresse (puntoni in conglomerato cementizio) rispetto all asse dell elemento strutturale stesso deve rispettare i seguenti limiti: 1 cotg 2, 5 [45 ;21 48 ]. Nota. Un tale provvedimento permette di trattare il taglio anche mediante il cosiddetto metodo dell inclinazione variabile delle bielle compresse, proposto dall E.C.2 e presentato più avanti al paragrafo , al quale si rimanda per una più precisa descrizione. Secondo, invece, il D.M , una volta noti i valori del taglio e del momento di calcolo (di progetto); rispettivamente V Sd e M Sd, si passa alla verifica dello schiacciamento della biella di calcestruzzo, controllando che sia verificata la relazione (corrispondente alla posizione = 45, in armonia con i limiti consigliati dalle Norme Tecniche) (3) : V Sd < 0, 30 f cd h b m. 2 Nel presentare le principali prescrizioni della Normativa Italiana sul taglio, si è voluto tenere anche conto di tutte quelle utili indicazioni riportate dal D.M. 9 gennaio 1996; lasciando eventualmente libertà al Progettista di rifarsi integralmente alle indicazioni maggiormente dettagliate contenute nelleurocodice 2. 3 Vedere quanto riportato nei paragrafi 11.3 e

22 Se la verifica è positiva, si può iniziare la procedura di dimensionamento delle armature trasversali per la sollecitazione di taglio agente sull elemento strutturale; viceversa, se la verifica è negativa, è necessario utilizzare un conglomerato di resistenza sufficientemente maggiore o, se non vi sono vincoli architettonici, aumentare le dimensioni della sezione. In ogni caso, deve sempre essere verificata l equazione che assicura la resistenza dell elemento strutturale: V Sd V Rd = V Rfd + V Rcd. Si comincia col porre la condizione fondamentale per il progetto: V Rd = V Sd. In questo modo il dimensionamento viene effettuato seguendo il principio di assicurare la sicurezza con la massima economia, facendo lavorare i materiali al massimo del loro cimento consentito. Il progetto, quindi, ha per base la posizione: V Sd = V Rfd + V Rcd. A questo punto, si valuta il contributo che può fornire al taglio il solo calcestruzzo (a prescindere dalla presenza delle armature per il taglio); ovvero il massimo valore del taglio portabile dal solo calcestruzzo (grazie alla sua resistenza al taglio e alla flessione trazione). Si calcola quindi il valore di V Rcd tramite: V Rcd = 0,60 h f ctd b m. Noto V Rcd, la rimanente parte del taglio sollecitante deve essere affidata alle armature trasversali, le quali dovranno essere dimensionate per assorbire il valore: V Rfd = V Sd V Rcd. Si sceglie, quindi, il tipo di ferri da impiegare (staffe e/o piegati), e si utilizzano le relative formule per il dimensionamento riportate nel par In ultimo, si effettua la verifica dei ferri longitudinali con la traslazione del diagramma dei momenti flettenti. Travi. In fase di progettazione, le Norme Tecniche consigliano di verificare per le staffe delle travi una sezione resistente complessiva per metro lineare (cm 2 /m) non inferiore a: A t min [cm 2 / m] = 0,15b m [cm] ; dove b m è la larghezza minima dell anima della sezione dell elemento strutturale, in centimetri. Il numero delle staffe non deve mai essere minore di tre staffe (due bracci per singola staffa) al metro lineare, e il passo longitudinale non deve eccedere 0,8 volte il valore dell altezza utile h della sezione. In prossimità delle zone di appoggio o di carichi concentrati, per una lunghezza pari all altezza utile h della sezione da ciascuna parte del carico, il passo delle staffe non deve superare il valore 12 min ; dove con min deve intendersi il diametro minimo delle barre longitudinali presenti nelle sezioni da staffare. Nelle zone critiche devono essere previste staffe di contenimento. La prima staffa di contenimento deve distare non più di 50 mm dalla sezione a filo pilastro. Per maggiori dettagli sulla disposizione delle successive staffe, si rimanda a quanto riportato nella Norma. L area dell armatura longitudinale in zona tesa non deve essere inferiore a: F f min = 0,26 f ctm b t h, f yk e comunque non minore di 0,0013b t h ; essendo b t la larghezza media della zona tesa ed h l altezza utile della sezione resistente. In zona sismica, almeno due barre di diametro non inferiore a 14 mm devono essere presenti superiormente e inferiormente per tutta la lunghezza della trave. In ogni sezione della trave, salvo casi particolari, il rapporto geometrico f dell armatura tesa deve verificare il seguente limite: 1,4 f yk [MPa] < 3,5 f < f + f yk [MPa] essendo f il rapporto geometrico relativo all armatura compressa. In particolare, nelle zone critiche della trave deve essere: f 0,5 f e comunque f 0,25 f. 560

23 L armatura superiore, disposta per il momento negativo alle estremità delle travi, deve essere contenuta, per almeno il 75%, entro la larghezza dell anima e comunque, per le sezioni a T o ad L, entro una fascia di soletta pari rispettivamente alla larghezza del pilastro, od alla larghezza del pilastro aumentata di 2 volte lo spessore della soletta da ciascun lato del pilastro, a seconda che nel nodo manchi o sia presente una trave ortogonale. Almeno della suddetta armatura deve essere mantenuta per tutta la lunghezza della trave. Per maggiori dettagli sulle prescrizioni delle armature longitudinali nell intorno dei nodi, si rimanda a quanto descritto nella Norma. Nota. Si ricorda che il D.M imponeva, invece, il seguente quantitativo minimo di armature trasversali: 0,15 h[cm ] A t min [ cm 2 / m]= 0,10 1+ b m [cm]. b m [cm] Pilastri. Le armature trasversali, secondo le Norme Tecniche, devono essere poste ad interasse non maggiore di 12 min con un massimo di 25 cm; dove con min deve intendersi il diametro minimo delle barre longitudinali disposte. Le staffe devono essere chiuse e conformate in modo da contrastare efficacemente, lavorando come noto a trazione, gli spostamenti delle barre longitudinali verso l esterno. Il diametro delle staffe non deve essere minore di 6 mm e di (1 / 4) longmax ; dove per longmax si è indicato il diametro delle massime barre longitudinali. Al di fuori delle zone di sovrapposizione, l area di armatura non deve superare 0,04 F c essendo F c l area della sezione trasversale del calcestruzzo. Inoltre, detti con N Sd la forza di compressione assiale di calcolo e con F c la sezione trasversale di calcestruzzo, l area delle barre longitudinali non deve essere inferiore al valore minimo: A f min = 0,10 N Sd, f yd e comunque mai minori di 0,003 F c. Per pilastri in zona sismica, per tutta la lunghezza del pilastro, l interasse delle barre longitudinali non deve essere superiore a 25 cm. Nella sezione corrente del pilastro, la percentuale geometrica di armatura longitudinale (area dell armatura longitudinale diviso l area della sezione trasversale del pilastro) deve essere compresa entro i seguenti limiti: 1% 4%. Se sotto l azione del sisma la forza assiale su un pilastro è di trazione, la lunghezza di ancoraggio delle barre longitudinali deve essere incrementata del 50%. Relativamente alle armature trasversali e ai nodi trave-pilastro, in funzione del tipo di progettazione scelta in merito alla classe di duttilità, si rimanda a quanto prescritto nella Norma. Indicazioni generali. La verifica delle armature longitudinali, in presenza di sollecitazioni taglianti, deve tenere conto della traslazione del diagramma dei momenti flettenti lungo l asse longitudinale dell elemento strutturale nel verso che dà luogo ad un aumento in valore assoluto della sollecitazione flettente. Il diagramma della sollecitazione flettente va traslata della quantità: a = 0,9 h (cotg cotg) ; dove è l inclinazione scelta per i ferri della staffatura ( = 90 per le staffe e = 45 circa per i ferri piegati) e è l inclinazione delle bielle convenzionali compresse. Alle estremità delle travi va prevista sempre un armatura inferiore longitudinale, opportunamente ancorata, in grado di assorbire una forza di trazione non inferiore al valore della sollecitazione tagliante stessa (meccanismo di resistenza ad arcotirante). È possibile non armare al taglio travi di luce contenuta, solette o piastre a patto che siano in grado di ripartire trasversalmente i carichi. Per ulteriori dettagli, si rimanda a quanto descritto nella norma. 561

24 11.12 Verifica al taglio di un elemento strutturale in calcestruzzo armato secondo l Eurocodice 2 (E.C.2) (4) Le verifiche allo Stato limite Ultimo per taglio, secondo l E.C.2 (NAD), si basano sui seguenti valori: V Rd1 = resistenza di calcolo dell elemento privo di armatura a taglio (5) ; V Rd2 = massima forza di taglio di calcolo che può essere sopportata senza rottura delle bielle convenzionali di calcestruzzo; V Rd3 = forza di taglio di calcolo che può essere sopportata da un elemento con armatura a taglio. Se la sollecitazione di taglio di calcolo V Sd è maggiore della resistenza V Rd1 sopportabile dal calcestruzzo prescindendo dalle armature trasversali, l E.C.2 (ENV ) prescrive specifiche armature a taglio che possono essere determinate con il metodo Standard o con il metodo detto dell inclinazione variabile delle bielle compresse (6). Le armature a taglio saranno costituite da sole staffe, o da staffe e ferri piegati inclinati generalmente da circa 45 a 90. L E.C.2 (ENV ) indica col simbolo V Rd1 il valore di calcolo della resistenza a taglio di un elemento strutturale privo di una specifica armatura a taglio: V Rd1 = [0,25 f ctd k ( 1, )+ 0, 15 cp ]b m h ; dove: k = ( 1,6 h[m] ) 1, se almeno il 50% dell armatura tesa continua sino all appoggio; diversamente k = 1; b m è, al solito, la larghezza minima dell anima della sezione dell elemento strutturale; h è l altezza utile della sezione dell elemento strutturale; 1 è dato da 1 = F f ( h b m ); cp = N Sd / F c è la tensione media di compressione nella sezione (rapporto della forza assiale di progetto e dell area della sezione trasversale di conglomerato dell elemento strutturale): positiva se di compressione, negativa se di trazione. A prescindere dal metodo utilizzato, è necessario verificare che l anima della sezione non vada incontro a rottura fragile per compressione del calcestruzzo; quindi, se V Rd2 indica la resistenza a rottura per compressione delle bielle, deve risultare: V Rd 2 V Sd, dove il valore di V Rd2 cambia a seconda del metodo utilizzato. Il diagramma dei momenti deve essere traslato verso zone con un valore assoluto di una data quantità a1 che assume un valore diverso a seconda del metodo impiegato. L E.C.2 (UNI EN : 2005), invece, per il valore di progetto della resistenza al taglio di un elemento strutturale privo di specifica armatura al taglio, propone la seguente formulazione: V Rdc = [C Rdc k (100 l f ck ) 1/3 + k 1 cp ]b m h (v min + k 1 cp )b m h ; dove: 4 In questo paragrafo, per completezza, vengono presentati tutti i modelli e le relative prescrizioni relativi alle seguenti norme: UNI ENV : 1991 e UNI EN : La versione EN delle.c.2 usa il simbolo VRdc anziché il simbolo V Rd1. 6 Notare che la versione EN permette solo luso del metodo dellinclinazione variabile delle bielle complesse, abbandonando il metodo Standard. 562

25 V Rdc (analogo al V Rd1 della ENV ) è il valore di progetto della resistenza al taglio (in Newton) che una sezione di conglomerato senza apposite armature al taglio può sopportare; f ck è espresso in termini di MPa; k = ,0 ; h[mm] l = A sl 0, 02 ; b m h A sl è l area dell armatura tesa che risulta correttamente ancorata rispetto alla sezione in esame (7) ; b m è la larghezza minima [mm] della sezione di conglomerato al di sotto dell asse neutro; cp = (N Sd / F c ) < 0,2 f cd [MPa] ; N Sd è la forza assiale nella sezione dovuta ai carichi o alla precompressione (espressa in Newton); F c è l area (in mm 2 ) della sezione trasversale di conglomerato dell elemento strutturale; Infine, per i rimanenti parametri, l E.C.2 (EN : 2005) propone i seguenti valori: k 1 = 0,15 ; v min = 0, 035 k 3/2 f ck 1/2. C Rdc = 0,18 c dove, si ricorda, c per il conglomerato assume i valori 1,5 e 1,2, rispettivamente per situazioni di progetto persistenti o transitorie ed eccezionali Prescrizioni di carattere generale dell E.C.2 Principali prescrizioni dell E.C.2-NAD (ENV ). Le seguenti prescrizioni sono di carattere generale e sono ritenute valide dall E.C.2 (ENV ) sia per il metodo Standard che per il metodo dell inclinazione variabile delle bielle compresse. Innanzitutto, almeno il 50% dell armatura necessaria al taglio deve essere realizzata mediante staffe. Non sono necessari controlli specifici della fessurazione dovuta ad azioni tangenziali se: 3V Rd 1 > V Sd. Nel caso questo non si verifichi, il passo t s delle staffe dovrà essere limitato entro i valori della seguente tabella: t s (mm) Q (N/mm 2 ) Tabella 11.2 Limiti dei valori del passo t s da adottare per le staffe, secondo l E.C.2 (ENV). essendo: Q = ( V Sd 3V Rd1 ) ( w h b m ), dove, se f 1f è l area dell armatura a taglio d interasse t f (e contenuta nell interasse t f ) e se è l angolo d inclinazione delle barre trasversali rispetto all asse longitudinale dell elemento strutturale ( 45 < 90 ), il rapporto di armatura a taglio è pari a: W = f 1f ( t f b m sen ) 7 Si noti che la Norma consente di attribuire alla percentuale geometrica di armatura il valore massimo di 0,02: se larmatura effettiva è maggiore, solo questa aliquota si deve considerare efficace. Il coefficiente moltiplicativo per leffetto bietta rimane quindi nellintervallo tra 1,2 e

26 che, espresso come somma dei contributi delle staffe (passo t s ) e dei ferri piegati (passo t p ), assume la forma: f 1s W = ( t s b m ) + f 1p ( t p b m sen). Le principali prescrizioni dell E.C.2-NAD (ENV ) stabiliscono, in particolare, che: le aree delle armature longitudinali tese o compresse non devono essere singolarmente maggiori di 0, 03F c (con esclusione delle zone di sovrapposizione); dove F c è la sezione trasversale di conglomerato; l area effettiva della sezione trasversale delle armature in trazione delle travi deve essere anche maggiore di: b 0,6 m h F traz f yk [N / mm 2 ] 0,0015 b m h; dove b t è la larghezza media della zona tesa; per travi a T con piattabanda compressa, per il calcolo del valore di b t deve considerarsi solo la larghezza dell anima; negli appoggi occorre in tutti i casi porre armature inferiori che abbiano sezione almeno di 1/4 di quella presente in campata; per i pilastri il diametro delle barre non deve essere inferiore a 12 mm e la quantità di armatura longitudinale deve rispettare entrambe le limitazioni: 0,15 N Sd f yd F f + F f 0, 08 A c ; 0, 003 A c nei pilastri le barre longitudinali devono essere distribuite lungo il perimetro in numero minimo pari agli spigoli della sezione trasversale; nel caso di sezione circolare il numero minimo delle barre è 6; nei pilastri il diametro delle staffe deve essere inferiore a 6 mm ovvero ad 1/4 del diametro maggiore delle barre longitudinali impiegate; nei pilastri la distanza fra le armature trasversali deve rispettare il vincolo: 12 long t s minlato minore della sezione 30 cm e sarà ridotta del 40% nelle zone seguenti: al di sopra e al di sotto di una trave o di una piastra per un tratto pari alla maggiore dimensione della sezione del pilastro; in prossimità delle giunzioni per sovrapposizione delle barre longitudinali se queste hanno diametro maggiore di 14 mm; in generale, si possono utilizzare barre piegate solo in presenza di staffe, le quali devono poter sopportare non meno del 50% della forza di taglio; bisogna verificare che la distanza longitudinale tra i ferri piegati non sia maggiore di un dato valore limite, e cioè: t p max = 0,6 h ( 1 + cotg), che per = 45 diventa: t p max = 1,2 h; almeno un quarto dell armatura massima di campata prosegua fino all appoggio e sia sufficientemente ancorata; inoltre, deve essere sempre verificata la condizione: V Rd2 V Sd ; bisogna assicurarsi che il rapporto di armatura a taglio w non sia inferiore ai valori minimi riportati nella tab. 11.3: 564

27 Classe del calcestruzzo Classi acciaio (vedere tabella 9.4_b paragrafo 9.4) (f ck in N/mm 2 ) S220 S380 S400 S440 S500 da C12/15 a 0,0016 0,0011 0,0009 0,0008 0,0007 C20/25 da C25/30 a 0,0024 0,0015 0,0013 0,0012 0,0011 C35/45 da C40/50 a C50/60 0,0030 0,0018 0,0016 0,0014 0,013 Tabella 11.3 Valori minimi del rapporto di armatura al taglio w secondo E.C.2 (ENV). il passo delle staffe non deve superare i seguenti valori: t s max = 0,8 h (comunque < 300 mm) se V Sd 0, 2 V Rd 2 ; t s max = 0,6 h (comunque < 300 mm) se 0, 2 V Rd2 V Sd < ( 2 / 3)V Rd 2 ; t s max = 0,3 h (comunque < 200 mm) se V Sd > ( 2 / 3)V Rd 2 ; la massima distanza trasversale tra i bracci delle staffe deve essere: s s max = h, ovvero 80 cm, ovvero il minore dei due, se V Sd 0, 2 V Rd 2 ; s s max = 0,6 h (comunque < 300 mm) se 0, 2 V Rd2 V Sd < ( 2 / 3)V Rd 2 ; s s max = 0,3 h (comunque < 200 mm) se V Sd > ( 2 / 3)V Rd 2. la quota parte di armatura longitudinale in prossimità degli appoggi (che risulta compressa rispetto al momento negativo agli incastri), per estrinsecare un meccanismo resistente ad arco-tirante, deve avere una forza di trazione almeno di: R f min = V Sd a l h + N Sd ; dove: o V Sd è il taglio di calcolo sull asse dell appoggio; (cotg cotg ) o a l = 0,9 h 0 è l ampiezza del tratto di traslazione del 2 diagramma della sollecitazione flettente (essendo l angolo delle bielle di conglomerato con l asse longitudinale dell elemento strutturale e l angolo d inclinazione delle armature al taglio); o N Sd è l eventuale forza di trazione assiale di calcolo (da considerare pari a zero se di compressione). Per elementi strutturali la cui lunghezza, misurata orizzontalmente, è pari ad almeno 4 volte lo spessore l area delle armature verticali (muri o pareti) deve rispettare il vincolo: 0, 004 F c (F f + F f ) vert 0, 04F c. In generale, la metà di questa armatura dovrà essere disposta su ciascuna faccia del muro. La distanza d vert tra due barre verticali adiacenti deve, di regola, rispettare il vincolo: 2 (spessore della parete) d vert min 30 cm. Sempre per i muri o pareti, le armature orizzontali devono, di regola, essere armature orizzontali poste parallelamente alle loro superfici e collocate, in corrispondenza di ciascuna faccia, tra le armature verticali e la superficie più vicina. Queste armature dovranno rispettare il seguente vincolo: (F f + F f ) orizz 0, 5 (F f + F f ) vert. La distanza tra barre orizzontali adiacenti deve, di regola, essere non maggiore di 30 cm. Infine, il diametro delle barre orizzontale non deve essere minore di 1/4 di quelle verticali. 565

28 Principali prescrizioni secondo EN La distanza tra le barre deve essere tale da consentire la messa in opera e la compattazione del calcestruzzo in modo che si sviluppi appieno l aderenza. La distanza libera (orizzontale e verticale) tra singole barre parallele o strati orizzontali di barre parallele deve rispettare le seguenti limitazioni: l max d g [mm] mm, dove d g è la dimensione massima dell aggregato. Quando le barre sono disposte in strati orizzontali separati, le barre di ogni singolo strato devono essere poste verticalmente una sopra l altra, in modo che ci sia spazio sufficiente tra gli allineamenti verticali risultanti per permettere il passaggio di vibratori e ottenere una buona compattezza del calcestruzzo. Le barre sovrapposte possono essere a contatto lungo la lunghezza di sovrapposizione: vedere punto 8.7 della Norma. Allo scopo di evitare danni all armatura, il diametro del mandrino di piegatura non deve essere minore dei valori di mmin riportati nel seguente prospetto: Diametro barra 16 mm > 16 mm Diametro minimo del mandrino per piegature, uncini, cappi 4 Prospetto 8.1N Diametro minimo del mandrino di piegatura per evitare danni all armatura (EN ) La tensione ultima di aderenza deve essere sufficiente per prevenire la perdita dell aderenza. Il valore di progetto della tensione di aderenza ultima f bd per barre nervate può essere assunta pari a: f bd = 2, f ctd ; dove: f ctd è il valore di progetto della resistenza a trazione del calcestruzzo. A causa della crescente fragilità dei calcestruzzi di resistenza più elevata (vedere, ad esempio, figura 9.1), il valore di f ctk f ctk 0,05 sia limitato, in questo caso, al valore relativo alla classe C60/75, a meno che non si possa verificare che la resistenza media di aderenza ecceda tale limite; 1 è un coefficiente legato alla qualità della condizione di aderenza e alla posizione della barra durante il getto: 1 = 1,0 in condizioni di buona aderenza, e 1 = 0,7 in tutti gli altri casi e per barre in elementi strutturali realizzati con casseforme scorrevoli, a meno che non si possa dimostrare che esistono buone condizioni di aderenza (8) ; 2 è riferito al diametro della barra: 2 = 1,0 per 32 mm ; 2 = (132 )/100 per > 32 mm. Nel progetto dell armatura longitudinale, nella zona fessurata per flessione, il diagramma delle sollecitazioni ultime flettenti deve essere traslato di una distanza a l = h nella direzione sfavorevole (con h altezza utile della sezione resistente). Travi con carichi applicati in prossimità di appoggi e mensole tozze possono essere progettati in alternativa con modelli tirante-puntone. 7 8 Per il significato di buona condizione di aderenza si faccia riferimento al punto della Norma. 566

29 Nelle travi, l area di armatura longitudinale tesa deve rispettare i due vincoli: F ftraz 0,26 f ctm b f m h. yk 0,0013b m h dove: h è l altezza utile della sezione resistente; b m rappresenta la larghezza media della zona tesa; per una trave a T con piattabanda compressa, nel calcolare il valore di b m si deve considerare solo la larghezza dell anima; f ctm è la resistenza media a trazione del conglomerato, in funzione della classe di resistenza. Per le travi, escludendo le zone di sovrapposizione delle barre, l area di armatura tesa o compressa non deve singolarmente eccedere il 4% della sezione trasversale di conglomerato dell elemento strutturale: F f A s,max = 0,04 F c e F f A s,max = 0,04 F c. Per le travi, le eventuali armature longitudinali compresse di diametro long comp (prese in conto nei calcoli di resistenza) devono essere trattenute da armature trasversali con interasse: t s 15 longcomp. Per i pilastri si raccomanda che ciascuna barra longitudinale o gruppi di barre longitudinali posto in uno spigolo sia tenuto in posizione da un armatura trasversale. Si raccomanda che nessuna barra in zona compressa sia distante da una barra vincolata più di 15 cm. Per i pilastri il diametro delle barre non deve essere inferiore a 8 mm e, detta con F c la sezione trasversale di conglomerato dell elemento strutturale, la quantità di armatura longitudinale deve rispettare entrambe le limitazioni: 0,10 N Sd f yd 0, 002 F c F f + F f 0,04F c ; Nota. Il valore di A f max = 0,04 F c da adottare in uno Stato può essere reperito nella sua applicazione nazionale. Il valore raccomandato dalla EN è appunto 0, 04F c al di fuori delle zone di sovrapposizione a meno che non si possa dimostrare che non è inficiata l integrità del calcestruzzo, e che si raggiunge la resistenza allo stato limite ultimo. La Norma raccomanda di aumentare questo limite a 0, 08 F c nelle zone di sovrapposizione. Nei pilastri di sezione poligonale bisogna disporre almeno una barra in ogni angolo. Pilastri di sezione circolare devono avere un numero di barre longitudinali non minori di 4 (vedere punto 9.5.2(4) della Norma). Il diametro del tondino st usato per lo staffaggio dei pilastri devono rispettare i seguenti vincoli: st max 6mm 0,25 long max, avendo indicato con longmax il diametro della barra longitudinale di diametro maggiore. In particolare, il diametro dei fili delle reti elettrosaldate formanti armature trasversali sia non minore di 5 mm. La distanza t s tra le armature trasversali di un pilastro devono rispettare i seguenti vincoli: 567

30 20 long min t s minla dimensione minore del pilastro 40 cm, avendo indicato con longmin il diametro della barra longitudinale di diametro minore. I limiti posti precedentemente alla distanza t s vanno ridotti ai seguenti: 12 longmin t s min0,6 (la dimensione minore del pilastro) 24 cm, quando: in sezioni poste al di sopra o al di sotto di una trave o di una pilastrata per un tratto pari alla maggiore dimensione della sezione del pilastro; in prossimità delle giunzioni per sovrapposizione se il massimo diametro delle barre è maggiore di 14 mm. Un minimo di 3 barre disposte con passo costante è richiesto nella lunghezza di sovrapposizione. Nei pilastri, ciascuna barra longitudinale posta in uno spigolo deve essere tenuta in posizione da un armatura trasversale. Inoltre, nessuna barra in zona compressa deve risultare distante da una barra vincolata più di 15 cm. In un elemento strutturale soggetto a taglio, la forza di taglio V Sd deve sempre rispettare il vincolo: V Sd 1 2 b m h v f cd ; dove: = 0,6 1 f [MPa] ck. 250 In elementi strutturali soggetti al taglio, le staffe devono essere ancorate in modo efficace. Sono ammesse giunzioni per sovrapposizione di bracci vicini alla superficie dell anima a condizione che la staffa non sia necessaria per assorbire la torsione. Si raccomanda che almeno il 50% dell armatura al taglio sia realizzata con le staffe. In particolare, la percentuale di armatura al taglio è data dall espressione: A w = sw s b m sin ; dove: w è la percentuale di armatura al taglio; A sw è l area dell armatura al taglio sulla lunghezza s; s è il passo dell armatura al taglio, misurato lungo l asse longitudinale dell elemento strutturale; b m è la larghezza dell anima dell elemento; è l angolo tra l armatura al taglio e l asse longitudinale dell elemento strutturale. Deve, quindi, essere sempre verificato il vincolo: 0, 08 w w min = f [MPa] ck. f yk [MPa] Detta con h l altezza utile della sezione resistente, il passo longitudinale s st delle staffe (o di insiemi di staffe) deve rispettare il vincolo: s st s l max = 0,75 h (1+ cotg) 568

31 essendo l inclinazione dell armatura al taglio rispetto all asse longitudinale della trave. Il massimo passo longitudinale s p di barre rialzate (piegati) deve rispettare il vincolo: s p s bmax = 0,60 h (1 + cotg) ; mentre, per le piastre, si deve rispettare il vincolo: s p s bmax = h. La distanza trasversale s trasv dei bracci di un insieme di staffe per il taglio deve rispettare il vincolo: s trasv min 0,75h 60 cm, mentre, per le piastre, si deve rispettare il vincolo: s trasv 1,5 h. La forza di trazione aggiuntiva F td, nell armatura longitudinale dovuta al taglio V Sd può essere calcolata con l espressione: F td = 1 2 V Sd (cotg cotg ). In particolare, si raccomanda che M Sd /(0, 9h) + F td M Sd max /(0,9 h) ; dove con M Sd max è da intendersi il momento di progetto massimo lungo tutto l asse dell elemento strutturale Metodo Standard secondo E.C.2-NAD (ENV ) (9) Questo metodo presuppone l utilizzo di bielle di calcestruzzo compresso con inclinazione costante pari a = 45 ed una resistenza V Rd1 da determinare. Inoltre, si deve verificare che l anima della sezione non sia soggetta a rottura fragile, quindi con una resistenza V Rd2 non inferiore alla sollecitazione di calcolo V Sd. Per V Rd2 l E.C.2 (ENV ) indica (10) : V Rd 2 = 0,45 f cd b m h 1+ cotg ( ) dove esprime un coefficiente correttivo che vale: = 0,7 f ck [N / mm 2 ] 200 > 0,5 ; e è l angolo di inclinazione dei ferri al taglio rispetto all orizzontale. Considerando, per sicurezza, il caso di sole staffe (quindi per = 90 ), si ha: V Rd 2 = 0,45 f cd b m h. Se l elemento strutturale da armare al taglio è soggetto ad una compressione assiale, il precedente valore V Rd2 deve essere ridotto secondo la seguente espressione: V Rd 2 rid = (0, 45 f cd b m h)1,67 1 cp,eff V Rd 2 = 0, 45 f cd b m h ; f cd in cui, la tensione media efficace nel conglomerato dovuta alla forza assiale assume la forma: cp,eff = ; F c N Sd f yk F compr 1,15 dove: F compr è l area di armatura che risulta compressa allo stato limite ultimo; f yk è la tensione di snervamento dell acciaio impiegato per le armature al taglio (con f yk / 1, N / mm 2 ); F c è l area totale della sezione trasversale di conglomerato. Si noti che la riduzione per V Rd2 interviene solo quando risulti: 9 Si ricorda che con langolo si indica linclinazione delle barre trasversali al taglio rispetto allasse longitudinale dellelemento strutturale (vedere figure 11.2 e 11.3). 10 Si ricorda che con langolo si indica linclinazione delle barre trasversali al taglio rispetto allasse longitudinale dellelemento strutturale (vedere figure 11.2 e 11.3). 569

32 1,67 1 cp,eff 1 ; f cd ossia, quando risulti: cp,eff 0,40 f cd 0, 27 f ck. Nel metodo Standard la resistenza a taglio di una trave dotata di armatura trasversale è costituita da due parti, una data dal calcestruzzo e l altra dalle armature, ossia: V Rd1 + V Wd ; dove V Wd indica il contributo alla resistenza a taglio dell armatura trasversale, dato da (11) : V = z ( cotg + cotg) f A fw sen t f. Se si suppone che: V = V wd ; = 45 ; s = f yd ; z = 0,9 d, (in cui f yd si riferisce alle armature trasversali di passo t f ) la resistenza delle armature a taglio è pari a: V wd = 0, 9 h A fw f yd ( 1 + cotg )sen t f, che in presenza di sole staffe diventa ( f 1s = A fw ; V Rsd = V wd ; = 90 e con t f = t s ): V Rsd = 0,9 h f 1s f yd t s ; mentre, nel caso di soli piegati ( f 1p = A fw ; V Rpd = V wd e con t f = t p ), si ha: V Rpd = 0,9 h f 1p f yd ( 1+ cotg )sen t p. A questo punto, va calcolata la forza di taglio che deve essere assorbita dalle armature e che, depurata dalla resistenza che la trave può sopportare a prescindere dalle armature trasversali, vale: V Sd V Rd1. In caso di sole staffe, si verificherà, quindi, che la loro quantità ed i loro passo sia sufficiente; quindi fissata la singola area f 1s determinarne il passo. Invece, in presenza di staffe e ferri piegati, se μ è la quota che si vuole far sopportare dalle staffe (non inferiore al 50%), il taglio sarà così ripartito: staffe: V Rsd = μ ( V Sd V Rd1 ); ferri piegati: V Rpd = ( 1 μ)( V Sd V Rd 1 ). A questo punto si potrà determinare facilmente la quantità necessaria di armatura, una volta fissato il diametro delle barre piegate. Infine, la grandezza a 1 di cui va traslato il diagramma dei momenti risulta: a 1 = z 1 cotg ( ) Metodo dell inclinazione variabile delle bielle compresse secondo E.C.2-NAD (ENV ) (12) In questo metodo, l E.C.2 (ENV ) presuppone che le bielle di calcestruzzo non abbiamo necessariamente un inclinazione di = 45, ma ne ha indicato una vasta gamma di valori. Ad esempio, nelle prime versioni, si era posto: 0,4 < cotg < 2,5 per travi con armature longitudinali non interrotte; 0,5 < cotg < 2,0 per travi con armature longitudinali interrotte. L E.C.2-NAD, invece, ha fissato indistintamente: 1,0 < cotg < 2,0 (13). 11 Si fa notare che per A fw deve intendersi larea della sezione complessiva delle barre di armatura che sono comprese allinterno del loro interasse t f. Ad esempio, unarmatura al taglio con staffe a due bracci in ragione di 16 / 20 contiene allinterno del suo interasse (t s = 20 cm ) due bracci del diametro di 6 mm: A fw = f 1s = 2 (0, 28 cm 2 ) = 0, 57 cm 2 : una singola staffa reagisce con due sezioni resistenti. 12 Per maggiori dettagli sul meccanismo del traliccio con angolo di inclinazione variabile del puntone, vedere anche quanto riportato al paragrafo Negli esempi proposti (secondo E.C.2 NAD), si utilizzerà questultima limitazione. 570

33 Una volta scelto un valore di, bisogna innanzitutto verificare che la biella di calcestruzzo non subisca rottura per compressione, cioè che V Rd2 > V Sd ; quindi si avrà: in presenza di staffe: V Rd 2 = f cd b m 0,9 h cotg sen 2 ; in presenza di ferri piegati con angolo V Rd 2 = f cd b m 0,9 h ( cotg + cotg )sen 2 dove esprime un coefficiente correttivo che vale: = 0,7 f ck [N / mm 2 ] 200 > 0,5. In pratica, essendo presenti sempre delle staffe, è necessario verificare in ogni caso che: V Sd < V Rd 2 = f cd b m 0,9 h cotg sen 2. A questo punto, si può facilmente notare che V Rd2 raggiunge il massimo valore per = 45. In particolare, partendo da un inclinazione del puntone di 45 (cioè cotg = 1,0 ), se si riduce il valore di (e quindi cresce il valore di cotg > 1,0 ) si ha una riduzione di V Rd 2 e, contemporaneamente, un aumento di V Rd 3. Questa semplice osservazione suggerisce di verificare che il puntone compresso non si schiacci (V Rd 2 > V Sd ), assumendo in ogni caso: cotg = 2,0. La differenza di questo metodo da quello standard consiste nel fatto che questo consente l adozione di un armatura trasversale inferiore, ma l utilizzo di valori di < 45 può causare un armatura longitudinale leggermente maggiore. Infatti, al variare dell angolo cambia il valore di a 1, con conseguente traslazione del diagramma dei momenti flettenti, per cui, ad esempio, con sole staffe si ha: cot g = 2,0 ( ) a 1 = z ; cot g = 1,0 ( 45 ) a 1 = z2; cot g = 0, 5 ( ) a 1 = z 4. È importante precisare che, se in base al valore di V Rd1 calcolato, risulta che sono necessarie delle armature trasversali, esse devono sopportare l intera forza V Sd (e non, come nel metodo Standard, solamente V Sd V Rd1 ). In particolare, il metodo dell inclinazione variabile delle bielle compresse comporta le seguenti specifiche prescrizioni: la forza sopportata dalle armature trasversali deve essere (14) : o per le staffe (con passo t s ): V wd = 0, 9 h f 1s f yd cotg t s ; o per i ferri piegati con angolo (con passo t p ): V wd = 0, 9 h f 1p f yd ( cotg + cotg )sen t p ; infine, va anche assicurato che: o per le staffe f 1s f yd ( t s b m ) f cd 2 ; o per staffe e ferri piegati f 1s f yd + f f 1p yd ( 1 cos ) f cd 2 ; t s b m t p b m sen dove nel primo membro la prima parte si riferisce alle staffe, la seconda ai ferri piegati. 14 Si fa notare che per f1s deve intendersi larea della sezione complessiva delle barre di armatura che sono comprese allinterno del loro interasse t s. Ad esempio, unarmatura al taglio con staffe a due bracci in ragione di 16 / 20 contiene allinterno del suo interasse (t s = 20 cm ) due bracci del diametro di 6 mm: f 1s = 2 (0,28 cm 2 ) = 0, 57 cm

34 Procedura di verifica (15). In condizioni di verifica, l elemento strutturale è supposto armato. Pertanto, sono da considerarsi costanti i seguenti valori (quantitativi di armatura): sole staffe: A sw s f 1s t s = cost ; soli piegati: A sw s f 1p t p = cost. Ciò posto, se il valore di V Rd 2 (calcolato con cotg = 2,0 ) e il valore di V wd (calcolato con cotg = 1,0 ) risultano tali che V Rd 2 V Sd e V wd V Sd, allora la sezione è sicuramente verificata (16), perché il valore del taglio di progetto V Sd risulta maggiore del valore minimo di V Rd 2 e del valore minimo di V wd, stante la costanza dei quantitativi di armatura al taglio. Invece, se il valore di V Rd 2 (calcolato con cotg = 2,0 ) risulta maggiore di V Sd ma risulta V wd < V Sd assumendo cotg = 1,0 ; allora, calcolato il valore effettivo di cotg dall espressione per il calcolo dell armatura al taglio (con la condizione V wd = V Sd ): V cotg = Sd s, A sw 0,9 h f yd la verifica è positiva solo se risulta 1,0 cotg 2,0. In funzione del valore calcolato per cotg, quanto più questo è distante dal valore 2,0 tanto meno la rottura della struttura per taglio avrà caratteri di fragilità. In particolare, stante la costanza di ( A sw / s ), quando il valore massimo di V wd, calcolato per cotg = 2,0, risulta minore di V Sd allora l armatura è sicuramente insufficiente a causa dell insufficienza dell altezza utile della sezione dell elemento strutturale. Se, invece, per cotg = 2,0 risulta V wd > V Sd ma V Rd 2 < V Sd, allora imponendo la condizione V Rd 2 = V wd si calcola il valore di cotg che massimizza la resistenza: f cotg = cd b m (A s / s) f yd sin 1. Se il valore così calcolato rientra nei limiti di Norma (1,0 cotg 2,0 ), si utilizza proprio il valore calcolato cotg per computare il valore della resistenza al taglio delle armature: la verifica riesce positiva solo se, con il nuovo valore di cotg, risulta V wd V Sd. 15 Per maggiori dettagli, si veda anche quanto esposto al paragrafo successivo. 16 In queste condizioni, la verifica risulta positiva già per un valore unitario del grado di assorbimento del taglio: vedere quanto riportato nellosservazione a fine paragrafo A tal proposito, se si vuole prescindere dal concetto di grado di assorbimento del taglio, la verifica può considerarsi sicuramente positiva già quando, fissato cotg = 2, 0 per il calcolo sia di V Rd 2 che di V wd, risultano verificate tutte e due le seguenti disuguaglianze: V Rd 2 > V Sd e V wd > V Sd. 572

35 Metodo dell inclinazione variabile delle bielle compresse secondo EN (17) Il metodo dell inclinazione variabile delle bielle compresse (o del puntone compresso) è sostanzialmente analogo a quello presentato dalla precedente versione dell E.C.2. Cambiano alcuni vincoli su particolari parametri che ora si vanno ad elencare. In particolare, la nuova versione dell E.C.2 chiama con il simbolo V Rd max quello che nella precedente versione viene indicato con V Rd 2 (massima forza di taglio di calcolo che può essere tollerata senza schiacciamento delle bielle convenzionali di calcestruzzo: puntoni compressi); e chiama con il simbolo V Rds quello che nella precedente versione della Norma veniva chiamato con V Rd 3 (forza di taglio di calcolo che può essere tollerata da un elemento con specifica armatura al taglio). Innanzitutto, in elementi con correnti inclinati, vengono definiti i seguenti valori: V ccd il valore di progetto della componente trasversale della forza nella zona compressa, nel caso di un corrente compresso inclinato (ad esempio, elemento trave di sezione trasversale variabile con estradosso inclinato); V td il valore di progetto della componente trasversale della forza nell armatura tesa, nel caso di un corrente teso inclinato (ad esempio, elemento trave di sezione trasversale variabile con intradosso inclinato). In condizioni generiche di sezione trasversale variabile (estradosso e intradosso variabili da sezione a sezione), la resistenza al taglio di un elemento con armature di cucitura è pari a: V Rd = V Rds + V ccd + V td. Ad esempio, se l estradosso è variabile (V ccd = 0 ) mentre l intradosso è costante (V td = 0 ), si avrà: V Rd = V Rds + V td. Procedura di verifica. In condizioni di verifica, l elemento strutturale è supposto armato. Pertanto, sono da considerarsi costanti i seguenti valori (quantitativi di armatura): sole staffe: A sw s f 1s t s = cost ; soli piegati: A sw s f 1p t p = cost. Ciò posto, se il valore di V Rd max (calcolato con cotg = 2,5 ) e il valore di V Rds (calcolato con cotg = 1,0 ) risultano tali che V Rd max V Sd e V Rds V Sd, allora la sezione è sicuramente verificata (18), perché il valore del taglio di progetto V Sd risulta maggiore del valore minimo di V Rd max e del valore minimo di V Rds, stante la costanza dei quantitativi di armatura al taglio. Invece, se il valore di V Rd max (calcolato con cotg = 2,5 ) risulta maggiore di V Sd ma risulta V Rds < V Sd assumendo cotg = 1,0 ; allora, calcolato il valore effettivo di cotg dall espressione per il calcolo dell armatura al taglio (con la condizione V Rds = V Sd ): V cotg = Sd s, A sw 0,9 h f yd 17 Notare che anche le Norme Tecniche permettono di utilizzare una schematizzazione a traliccio con inclinazione variabile del puntone compresso; imponendo uninclinazione delle bielle compresse (rispetto allasse dellelemento strutturale) che rispetti i seguenti limiti: 1 cotg 2, In queste condizioni, la verifica risulta positiva già per un valore unitario del grado di assorbimento del taglio: vedere quanto riportato nellosservazione a fine paragrafo A tal proposito, se si vuole prescindere dal concetto di grado di assorbimento del taglio, la verifica può considerarsi sicuramente positiva già quando, fissato cotg = 2, 5 per il calcolo sia di V Rd max che di V Rds, risultano verificate tutte e due le seguenti disuguaglianze: V Rd max > V Sd e V Rds > V Sd. 573

36 la verifica è positiva solo se risulta 1,0 cotg 2,5. In funzione del valore calcolato per cotg, quanto più questo è distante dal valore 2,5 tanto meno la rottura della struttura per taglio avrà caratteri di fragilità. In particolare, stante la costanza di ( A sw / s ), quando il valore massimo di V Rds, calcolato per cotg = 2,5, risulta minore di V Sd allora l armatura è sicuramente inadeguata a causa dell insufficiente altezza utile della sezione dell elemento strutturale. Se, invece, per cotg = 2,5 risulta V Rds > V Sd ma V Rd max < V Sd, allora si deve verificare se esiste quel particolare valore eff dell angolo d inclinazione del puntone compresso (che rispetti i limiti di Norma: 1,0 cotg eff 2,5 ) che possa trovare uno stato di equilibrio ultimo per il quale risulti sufficiente l armatura di taglio presente. Si può dimostrare che il suddetto equilibrio allo stato limite ultimo deve essere cercato per un valore di * (comune sia a V Rd max = V Rd max (*) che a V Rds = V Rds (*) ) che verifichi il seguente vincolo V Rd max (*) = V Rds (*). Di conseguenza, prendendo come condizione limite accettabile quella che porta la rottura dell elemento strutturale per contemporanea rottura del puntone e delle armature (sostanzialmente, un specie di rottura bilanciata per taglio), si può imporre: V Rd max (*) = V Rds (*). Si calcola, quindi, il valore di cotg * che porta l elemento strutturale ad una rottura di tipo bilanciato per taglio: cotg* = cw f cd b m (A s / s) f yd sin 1. Se il valore così calcolato rientra nei limiti di Norma (1,0 cotg* 2,5 ) utilizzando proprio il valore calcolato cotg * per computare il valore della resistenza al taglio delle armature la verifica riesce positiva solo se, con il nuovo valore di cotg *, risulta anche V Rds (*) V Sd. Procedure generali. Le procedure da seguire per il dimensionamento di un elemento strutturale da armare al taglio è la seguente: se in una generica sezione trasversale risulta: V Sd V Rdc, non è necessario armare al taglio, ma si deve comunque prevedere un armatura minima trasversale: 0,08 wmin = f [MPa] ck ; f yk [MPa] dove con A sw deve intendersi la sezione trasversale complessiva delle barre di armatura al taglio comprese all interno del loro interasse s. Operativamente si può porre (19) : A sw s min 0,08 [cm 2 / m]= 100 f [MPa] ck f yk [MPa] b m [cm]sin ; dove con si è indicata l inclinazione delle armature trasversali al taglio (ad esempio, = 90 per le staffe e = 45 per i piegati). Nota. Tale armatura minima può essere omessa in elementi quali piastre (piene, nervate, cave) dove la ripartizione trasversale dei carichi può avvenire. L armatura minima a taglio può anche essere omessa in elementi di minore importanza (per esempio architravi di luce 2m) che non contribuiscono in modo significativo alla resistenza e alla stabilità della struttura; nelle sezioni dove risulti (vedere quanto anticipato all inizio del paragrafo 11.12): 19 Si ricorda che con Asw si deve intendere larea dellarmatura al taglio sulla lunghezza dellinterasse s. 574

37 V Sd > V Rdc = [C Rdc k (100 l f ck ) 1/3 + k 1 cp ] b m h (v min + k 1 cp )b m h, si deve provvedere al dimensionamento di un opportuna armatura di cucitura al taglio, in modo che le sole armature trasversali assorbano l intera sollecitazione tagliante di progetto: V Rd V Sd. Per prima cosa si fissa il valore dell inclinazione del puntone di conglomerato compresso, ponendo cura che rientri nel limite 1 cotg 2, 5 (20) ; operativamente conviene iniziare a calcolare il valore di V Rd max considerando cotg = 2,5 (21). In particolare, per sicurezza, nel calcolo dell espressione di V Rd max conviene porre in ogni caso = 90 (armature trasversali costituite da sole staffe), in modo da minimizzare il valore della resistenza del puntone anche in presenza di piegati, visto che le staffe sono sempre presenti. In generale, come da Norma, la verifica nei confronti dello schiacciamento del puntone richiede che: (cotg + cotg ) V Sd < V Rd max = cw b m 0,9 h f cd ; ovvero: 1 + cotg 2 V Sd V Rd max = cw b m 0,9 h f cd (cotg + cotg) sin 2, avendo tenuto in conto la relazione trigonometrica: cotg 2 = sin2. In particolare, si ha: = 0,6 1 f [MPa] ck ; 250 1,0 per strutture non precompresse (1+ cp / f cd ) per 0 f cd cp 0, 25 f cd cw = 1,25 per 0, 25 f cd cp 0, 5 f cd 2,5 (1 cp / f cd ) per 0, 5 f cd cp f cd essendo il parametro cw un coefficiente che tiene conto dell interazione tra la tensione nel corrente compresso e qualsiasi tensione di compressione assiale. In particolare, si è indicato con cp la tensione media sulla sezione trasversale dell elemento strutturale (considerata positiva se di compressione, negativa se di trazione) dovuta alla forza assiale di progetto N Sd, e computata come valore medio tenendo conto anche delle armature. Adottando, quindi, per semplicità e sicurezza le ipotesi proposte (cotg = 2,5 e = 90 ), si ricava la seguente formulazione operativa (22) : V Sd < V Rd max = 0, 30 cw h f cd b m. Applicabile, in sicurezza, sia per E.C.2 (NAD) che per E.C.2 EN Secondo E.C.2 (NAD) il limite superiore è posto pari a 2. Notare che valori maggiori del suddetto limite riducono il valore della resistenza a schiacciamento del puntone compresso. 21 Notare che, assumendo per la cotangente dellangolo di inclinazione della biella compressa il valore 2,5, il valore numerico del parametro V Rdmax assume nellintervallo considerato dalla Norma ( 1, 0 cotg 2, 5 ) il suo valore minimio. Pertanto, il pedice max rimane solo come conservazione della notazione definita dalla Norma. 22 Nel presentare la formulazione operativa per la verifica a schiacciamento del puntone compresso, si è forzatamente portato il coefficiente numerico moltiplicatore da 0,31 a 0,30 nel caso di E.C : 2005 e quindi da 0,34 a 0,30 nel caso di E.C.2 (NAD). In questo modo, la formulazione del taglio massimo del puntone compresso risulta sempre in sicurezza e analoga a quella utilizzata dal D.M

38 Nel caso risultasse V Sd > 0, 30 cw h f cd b m, allora sarà necessario imporre la condizione V Rd max = V Sd (con V Rd max valore numerico calcolato in termini di cotg = 2,5 ) e ricavare il valore del nuovo angolo. Con quest ultimo valore calcolato dell angolo, si devono infine calcolare le armature con la formulazione descritta al punto seguente: il calcolo delle armature al taglio (detti con s e, rispettivamente, l interasse delle armature al taglio e il loro angolo (23) di inclinazione rispetto all asse longitudinale dell elemento strutturale) deve utilizzare la seguente formulazione (la tipologia di armatura è in funzione dell angolo ): V Rds = A sw s 0,9 h f yd (cotg + cotg )sin ; dove, al solito, con A sw deve intendersi la sezione complessiva trasversale delle barre di armatura al taglio che sono comprese all interno del loro interasse s (24). In fase di progetto e verifica delle armature al taglio si può cautelativamente assumere sempre la posizione cotg = 1,0 (quindi = 45 ) che rende minimo il valore di V Rds. In questo modo, in armonia anche con le osservazioni sperimentali, si considera avvenuto il limite ultimo di rottura nei pressi degli incastri, quando le fratture nell anima dell elemento strutturale si presentano con un andamento attorno ai 45 rispetto all asse longitudinale dell elemento stesso (25). In generale, nel caso di sole staffe ( = 90 con sin = 1,0 ), si ha: V Rds = A sw 0,9 h f yd cotg ; s st avendo indicato con s st il passo delle staffe lungo l asse longitudinale dell elemento strutturale. In particolare, se risulta positiva la verifica a non schiacciamento: V Sd V Rd max (avendo considerato cotg = 2,5 ), il valore minimo di A sw / s st può essere computato mantenendo cotg = 2,5 e ponendo V Rds = V Sd. Mantenendo, invece, V Rds = V Sd = cost e assumendo valori minori di cotg [1,0; 2,5), il quantitativo di armatura A sw / s st calcolato aumenta. In particolare, nel caso in cui V Sd = V Rd max, la massima area efficace di armatura al taglio può raggiungere il suo massimo per cotg = 1,0 (quindi, nella condizione V Rds = V Sd = V Rd max con = 45 ) (26) : A swmax s A sw max s efficace 0, 5 cw b m sin f cd f yd. 23 Notare che langolo di inclinazione delle barre al taglio in una trave ricalata assume il valore di 45 per i piegati e 90 per le staffe. 24 Ad esempio, una trave armata al taglio con staffe di diametro 8 mm a due bracci in ragione di 18 / 15 presenta allinterno del suo interasse (s = 15 cm): A sw = 2 (0, 50 cm 2 ) = 1, 0cm A valle di questo stadio, raggiunto lo snervamento delle armature, se si incrementano ulteriormente i carichi, aumentano le deformazioni e gli scorrimenti. Il taglio è ancora equilibrato dalle armature ormai snervate, ma lequilibrio è subordinato sia alla non entrata in schiacciamento del puntone compresso e sia alla presenza di unidonea armatura longitudinale (che deve essere ancora sufficiente allaumento del tratto di traslazione dei momenti flettenti per la trazione anticipata). Si può dire così di aver permesso allelemento strutturale di penetrare in una fascia dove la rottura per aumento dei carichi è causata dallo schianto improvviso del puntone compresso: rottura senza preavviso (vedere anche nota successiva). 26 Il massimo valore del taglio a rottura che il puntone compresso può equilibrare è quando la sua inclinazione è a 45. Pertanto, quando il taglio di calcolo eguaglia proprio tale valore, il quantitativo di armatura al taglio calcolato coincide, in questo caso, con il massimo che la geometria della sezione e le resistenze dei materiali possono permettere. Quantitativi di armatura maggiori non sono sfruttabili: ulteriori incrementi dei carichi porterebbero immediatamente il puntone allo schiacciamento e lequilibrio necessario allo sfruttamento del contributo delle armature verrebbe meno. 576

39 In questo caso, valori di armatura al taglio A swmax / s maggiori di quella definita come efficace sono inutili, perché la massima resistenza del puntone (per cotg = 1,0 ) non è in grado di sostenere ulteriori contributi dell armatura. In particolare, l armatura tesa longitudinale deve essere dimensionata in modo tale che sia in quantità sufficiente da assorbire la forza di trazione aggiuntiva F td dovuta al taglio: F td = 1 2 V Sd (cotg cotg ) ; Inoltre, si raccomanda che M Sd /(0, 9h) + F td M Sd max /(0,9 h) ; dove con M Sd max è da intendersi il momento di progetto massimo lungo tutto l asse dell elemento strutturale. 577

40 Osservazioni. In base alle considerazioni precedenti, è possibile sintetizzare le seguenti osservazioni sul taglio: in base al modello del traliccio con inclinazione variabile della biella compressa, ogni diagonale tesa deve contribuire ad assorbire l intera forza di taglio. Quanto maggiore è la pendenza scelta della diagonale compressa (quindi, quanto maggiore è il valore di cotg ), tanto più aumenta l ampiezza (a = 0,9 h (cotg cotg ) ) su cui si distribuisce la forza della diagonale tesa. In altre parole, ciò significa che all interno dei limiti posti da Normativa, l inclinazione della diagonale compressa si predispone da sé stessa in modo da trovare uno stato di equilibrio per il quale risulti sufficiente l armatura di taglio introdotta. Quanto più piccola si sceglie l armatura al taglio, tanto più piatte risultano le diagonali compresse. In alcuni testi, a tal proposito, si introduce il cosiddetto grado di assorbimento del taglio. Esso è correlabile alla misura del consumo di acciaio per l armatura al taglio; questo grado è definito come rapporto tra la sezione trasversale reale dell armatura di taglio e quella sezione trasversale delle barre di armatura che risulta necessaria calcolandola con la posizione = 45 cotg = 1,0. Il grado di assorbimento del taglio risulta quindi definito dalla seguente formula (vedere simbologia in figura 11.2): = Z, = Z, =45 = 0 b m (cotg + cotg)sin = 0 b m (cotg 45 +cotg ) sin 1 + cotg cotg + cotg ; avendo indicato con 0 la tensione di taglio alla quota dell asse neutro e con Z la forza di trazione che l armatura al taglio (inclinata di ) deve assorbire per unità di lunghezza longitudinale (a = 0,9 h (cotg cotg ) ) lungo l elemento strutturale. Ebbene, con un assorbimento diminuito di taglio, la relazione per la forza di trazione con inclinazione dell angolo è la seguente: Z, = = Z, =45 = b 0 m sin + cos. Da questa espressione, e dalle considerazioni fatte precedentemente, si possono dedurre le seguenti conclusioni: con una inclinazione decrescente della diagonale compressa, il consumo di acciaio per l armatura al taglio diminuisce fortemente. Contemporaneamente, però, le tensioni oblique di compressione dell anima aumentano e aumenta il pericolo di una rottura per compressione dell anima (fissati, b m e Z, =, quando diminuisce anche diminuisce: aumenta quindi 0 ). Soprattutto per gli elementi strutturali con anime molto sottili, quali le travi a T o rettangolari con larghezza contenuta; l esperienza acquisita nelle prove dimostra che con decrescente (aumento di cotg ) anche il valore massimo della tensione tangenziale ammissibile diminuisce. Infatti, già nelle DIN 1045, il grado ammissibile di assorbimento del taglio era posto in funzione del dato valore di calcolo della tensione tangenziale 0 : ammettendo solo valori 0, 4. le tensioni di compressione oblique nell anima sono quasi doppie con un armatura a staffe rispetto a barre inclinate; la sezione trasversale dell acciaio necessaria per le barre inclinate è minore che con le staffe. Ciononostante, il consumo di acciaio è pressappoco uguale, perché le barre inclinate sono più lunghe delle staffe. Per concludere, tenendo sempre a mente che l analogia del traliccio rappresenta solo un elegante soluzione approssimata e che la realtà si dimostra decisamente più complicata, l applicazione dell analogia del traliccio è limitata a quei valori di (e quindi a quei valori di cotg ) nei quali la sua funzionalità è stata convalidata da prove. 578

41 Infatti, considerando le sole staffe (cotg = 0 ), il valore del grado di assorbimento del taglio risulta: 1+ cotg == cotg + cotg = 1 cotg. E, assumendo, come da Norma, il valore cotg = 2,5, si ottiene = 0,4. Verifiche tramite il concetto di grado di assorbimento del taglio. In virtù di quanto osservato nelle pagine precedenti, l Autore propone due procedure per la verifica delle armature trasversali al taglio per sole staffe, in due condizioni particolari. Nota. La logica delle suddette procedure è stata studiata per l implementazione su foglio elettronico del tipo Excel, con verifiche per step. Le procedure suddette ipotizzano, per le armature di cucitura, la presenza di sole staffe. La teoria segue il modello del traliccio con inclinazione variabile del puntone e sfrutta i concetti di grado di assorbimento del taglio e rottura bilanciata per taglio. Ciò posto, in fase di verifica, fissate le armature trasversali e il loro interasse, si indichi con V Rds, =45 il taglio (minimo) di progetto che l armatura trasversale (di sole staffe) è in grado di assorbire per una inclinazione del puntone compresso pari a 45 : V Rds, =45 = A sw 0,9 h f yd ; s st Si indichi con V Rd max, il massimo taglio di calcolo portato dal puntone compresso per cotg = e in presenza di sole staffe (cotg = 0 ). In particolare, si utilizzi la seguente formulazione approssimata in sicurezza introdotta nei paragrafi precedenti (27) : V Rdmax, = 0, 30 cw b m h f cd. Si indichi, infine, con V Rds, il taglio (massimo) di progetto che l armatura trasversale (solo staffe) è in grado di assorbire per un valore di cotg = : V Rds, = A sw 0,9 h f yd = V s Rds, =45 ; st dove, al solito: A sw è la somma dell area di tutte le sezioni trasversali di tutti i bracci della staffatura compresa all interno del suo interasse s st ; h è l altezza utile della sezione resistente; A sw / s st, in fase di verifica, è noto e quindi viene assunto come un numero costante; è il parametro che sta ad indicare il particolare limite superiore imposto dalla Norma: E.C.2 (NAD): = 2,0 e V Rd max V Rd 2 ; V Rds V Rd 3 E.C.2 (EN ): = 2,5. Si indichi, poi, con * quel particolare angolo di inclinazione del puntone in cui risulti la rottura contemporanea sia del puntone compresso che delle armature trasversali al taglio. Si chiami questo stato con la dizione di rottura bilanciata per taglio dell elemento strutturale. Tramite il concetto di rottura bilanciata per taglio, in queste procedure, si assumerà necessario sempre soddisfare il seguente vincolo: 27 Notare che il parametro cw, essendo stato introdotto dalla nuova versione delle.c.2, non deve essere considerato se si applica le.c.2 (NAD). Nel caso di applicazione di E.C.2 (NAD) va considerato sempre pari allunità. 579

42 V Rds < V Rd max. Ovvero, si considera vincolante il concetto di duttilità al taglio, assumendo valido il seguente principio: lo stato limite ultimo per taglio si configura con buone caratteristiche di duttilità se avviene per snervamento delle armature di cucitura e non per schiacciamento dei puntoni compressi : V Sd = V Rds < V Rd max. Ora, sfruttando l espressione del grado di assorbimento del taglio: 1+ cotg = cotg + cotg = 1 cotg, stante la costanza in sede di verifica del rapporto A sw / s st, si definisca: V Rds = V Rds, =45 1 V = cotg = Rds [1,0; ], V Rds, =45 dove il parametro [ 1 ; 1,0]. In particolare, per = 2,5 risulta: [0, 4; 1,0] ; quindi con 0, 4 1,0. Di conseguenza, dovrà risultare: 0, 4 V Rds V Rds, =45 V Rds 0, 4 V Rds, =45 V 1,0 1,0 Rds 2,5. V Rds V Rds, =45 In particolare, si riconosce il vincolo sull inclinazione del puntone: 1,0 cotg 2, Procedura a). Si può dimostrare (28) che, quando: V Sd < V Rd max, calcolato con cotg = V Rds, =45 < V Sd < V Rds,, la sezione è verificata solo se risulta: V Rds V Sd V Sd V Rds,= 45 = cotg eff [1,0; ]. V cotg = Rds cotg [1,0; ] V Rds,= 45 Sintetizzando, sotto le ipotesi fissate, la sezione è verificata se: V Sd V Rds,= 45 = cotg eff [1,0; ] Nota. I rimanenti casi, ipotizzando V Sd < V Rd max, con V Rd max (calcolato per cotg = ), sono: V Sd < V Rds, =45 con la sezione ovviamente verificata; V Sd > V Rds, = V Rds, =45 con la sezione sicuramente non verificata: cotg >. 28 Vedere note a fine esempi 4 e 9 al paragrafo

43 Procedura b). Si può dimostrare che, quando: V Sd < V Rds, calcolato per cotg = V Sd > V Rd max, calcolato per cotg =, la sezione è verificata se, indicato con * quel particolare angolo di inclinazione del puntone che porta l elemento strutturale in condizioni di rottura bilanciata per taglio, risulta (29) : 0,40 E.C.2 (NAD) = 0,33 E.C.2 EN cotg* [1,0; ] V Rd max, cotg* = 1 [1,0; ] V Rds, =45 cotg* > V ( ) Rds eff V = cotg eff = Sd. V Rds, =45 V Rds,= 45 V Sd = V Rds ( eff ) < V Rd max ( eff ) Sintetizzando, stante le ipotesi fissate, la sezione è verificata se risulta: cotg * [1,0; ] V cotg * > Sd V Rds,= Nota. I rimanenti casi sono: V Sd > V Rd max, (con V Rd max calcolato per cotg = ) e con V Sd > V Rds, = V Rds, =45 con la sezione sicuramente non verificata: cotg > ; V Rd max, > V Sd con V Rd max (calcolato per cotg = ) e con V Sd < V Rds,. Quest ultimo caso ricade nella procedura a). Osservazioni. Indicato con * il grado di assorbimento del taglio in condizioni di rottura bilanciata: cotg* = 1 * = V (*) Rsd V Rds,= 45 e con eff il grado di assorbimento del taglio in condizioni di rottura non fragile e in condizioni di equilibrio (V Rsd ( eff ) = V Sd ): cotg eff = 1 = V ( ) Rsd eff V = Sd, eff V Rds,= 45 V Rds, =45 per una verifica positiva deve risultare: * < eff. 29 Il parametro è stato introdotto e definito allinterno di queste procedure per poter utilizzare ununica formulazione approssimata del massimo taglio ultimo portato dal puntone compresso (nella massima inclinazione consentita). Tramite, in queste procedure, si tiene conto del differente valore di e quindi del tipo di Normativa utilizzata. 581

44 Infatti, detto con * l angolo di inclinazione del puntone in condizioni limite ammissibili di rottura bilanciata, se risulta: cotg* > cotg eff (quindi, se risulta * < eff ), allora l angolo effettivo eff assunto dal puntone all equilibrio rispetta il vincolo: eff > *. In altre parole, lo stato limite ultimo per taglio si configura con buone caratteristiche di duttilità e avviene per snervamento delle armature trasversali e non per schiacciamento del puntone compresso, ovvero risulta verificata la relazione: V Sd = V Rds ( eff ) < V Rd max ( eff ), dove, all equilibrio: V Sd = V Rsd ( eff ) = V Rds,= 45 cotg eff. Infatti, dalla condizione di rottura bilanciata con V Rd max (*) = V Rds (*), se si aumenta l angolo di inclinazione del puntone compresso * eff, stante la costanza del rapporto A sw / s st, si ha un aumento di V Rds (*) V Rds ( eff ). Di conseguenza, all equilibrio rispettato il vincolo: V Sd = V Rds ( eff ) < V Rd max ( eff ). V Rd max (*) V Rdmax ( eff ) e una diminuzione di V Sd = V Rsd ( eff ) è sicuramente Esempio utilizzo procedura a). Dati di progetto: Normativa utilizzata: E.C.2 EN = 2,5 ; = 0,33 larghezza minima anima: b m = 30 cm ; altezza utile sezione resistente: h = 45,5cm; resistenza di progetto conglomerato: f cd = 113daN / cm 2 ; = 0,55 ; cw = 1,0 ; resistenza di progetto acciai: f yd = 3800daN / cm 2 ; taglio di progetto agente sulla sezione: V Sd = dan ; staffatura presente (a 2 bracci): 18 / 10 ; Calcolo dati (step 0): Calcolo area di armatura al taglio effettiva: A sw f 1s = 2 (0,50 cm 2 ) = 10 cm 2 / m. t s (0,10 m) s st Calcolo massimo taglio per schiacciamento del puntone (calcolato per cotg = 2,5 ): V Rd max, = 0, 30 cw b m h f cd = 0, 30 1(30 cm) (45,5cm) 0,55 (113daN / cm 2 ) dan. Calcolo V Rds, =45 e V Rds, : V Rds, =45 = A sw 0,9 h f yd = 2 (0,50 cm2 ) 0,9 (0,455 m) (3830daN / cm 2 ) 7800 dan ; s st (0,20 m) V Rds, = V Rds, =45 = 2,5 (7800 dan) = dan. Verifiche. Risulta (step 1): V Sd = dan < V Rd max, = dan calcolato con cotg = 2,5 V Rds, =45 = 7800 dan < V Sd = dan < V Rds, = dan 582

45 Essendo infine (step 2): V cotg eff = Sd (12100 dan) = 1,55 [1,0; 2, 5], V Rds, =45 (7800 dan ) la sezione è verificata con valore del grado di assorbimento del taglio pari a: 1 eff = = 1 0,65 > 0, 4. cotg eff 1,55 Osservazioni. È possibile rendersi anche conto del valore effettivo di cotg : valori prossimi al limite superiore = 2,5 (quindi prossimo a 0,4) segnalano che è necessario verificare che le armature longitudinali presenti siano in quantità sufficiente per coprire il diagramma dei momenti flettenti traslato in funzione del valore calcolato per cotg. Inoltre, valori di cotg molto prossimi a = 2,5 avvertono un aumento del pericolo di rottura per compressione dell anima rispetto al caso con cotg = 1,0 (e con = 1,0 ). Inoltre, mantenendo una staffatura abbondante ( con valori prossimi a 1), si conferisce al conglomerato compresso il mantenimento di una buona cerchiatura. Nota. Stante la costanza del rapporto A sw / s st, se allo step 1, oltre alla condizione V Sd < V Rd max,, fosse risultato anche V Rds, =45 > V Sd, la verifica si sarebbe conclusa immediatamente con esito positivo. Esempio utilizzo procedura b). Dati di progetto: Normativa utilizzata: E.C.2 EN = 2,5 ; e = 0,33 larghezza minima anima: b m = 60 cm ; altezza utile sezione resistente: h = 20 cm ; resistenza efficace conglomerato: f cd = 77,5daN / cm 2 ; cw = 1,0 ; resistenza di progetto acciai: f yd = 3740daN / cm 2 ; taglio di progetto agente sulla sezione: V Sd = dan ; staffatura presente (a 4 bracci): 28 / 10 ; Calcolo dati (step 0): Calcolo area di armatura al taglio effettiva: A sw f 1s = 4(0, 50 cm2 ) = 26,67 cm 2 / m. t s (0,075 m) s st Calcolo massimo taglio per schiacciamento del puntone (calcolato per cotg = = 2,5 ) V Rd max, = 0, 30 cw b m h f cd = 0, 30 1(60 cm) (20 cm)(77, 5 dan / cm 2 ) = dan Calcolo V Rds, : V Rds, = A sw s st 0,9 h f yd = A sw s st 0, 9h f yd 2, 5 = = (26,7cm 2 / m) 0, 9(0, 20 m) (3740 dan / cm 2 )2, dan ; 583

46 Calcolo V Rds, =45 : V Rds, =45 = A sw s st 0,9 h f yd = (26,7cm 2 / m) 0, 9(0, 20 m) (3740 dan / cm 2 ) dan. Verifiche. Risulta (step 1): V Sd = dan < V Rds, = dan calcolato per cotg = 2,5 V Sd = dan > V Rdmax, = dan calcolato per cotg = 2,5. Calcolo angolo inclinazione del puntone in condizioni di rottura bilanciata (step 2): V Rd max, (27900 dan) cotg * = 1 = 1 1,92 [1,0; 2, 5] V Rds, =45 0,33(17970 dan) non risulta però verificata la seconda condizione (step 3): V cotg* = 1,92 < Sd (35000 dan) = cotg eff = 1,948. V Rds, =45 (17970 dan) Sezione non verificata. Osservazioni. La verifica è appunto negativa perché risulta cotg * < cotg eff = 1,90 (ovvero, risulta eff > * e quindi si è superata la soglia ammissibile di rottura bilanciata). Infatti, non risulta rispettato il vincolo V Sd = V Rsd ( eff ) < V Rd max ( eff ), perché si ha: V Rds (*) = cotg * V Rds, =45 = dan < V Sd = dan. Nota. Stante la costanza del rapporto A sw / s st, se allo step 1, oltre alla condizione V Sd < V Rds, si fosse verificata anche la condizione V Sd < V Rd max, la verifica si sarebbe immediatamente conclusa con esito positivo; eventualmente calcolando, come nello step 2) della procedura 1, l effettivo valore di cotg eff [1,0; 2,5] dal rapporto: V cotg eff = Sd. V Rds, =45 Infatti, come osservato precedentemente, in questo caso si ricade nella procedura a). Infine, se allo step 2 fosse risultato cotg * [1,0; 2,5], la verifica si sarebbe chiusa immediatamente con esito negativo. 584