12.6 Esempi di progetti e verifiche di elementi strutturali sottoposti a torsione secondo la Normativa italiana

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1 12. Esempi di progetti e verifiche di elementi strutturali sottoposti a torsione secondo la Normativa italiana Per il conglomerato compresso, la curva sforzi-deformazioni impiegata per il progetto e la verifica delle sezioni a flessione o a pressoflessione è il diagramma rettangolare dello stress block. Per l acciaio si è utilizzato il modello elastico perfettamente plastico, con plasticità fissata al valore f yd, nell intervallo [ yd ;10 ]. Si ricorda che, nel calcolo della resistenza di progetto del conglomerato, in virtù delle osservazioni a fine paragrafo 9.4, si è fatto uso della seguente formula: f cd 0, 44 R ck. Nota. Le verifiche proposte in questo paragrafo tengono conto di quanto prescritto dal D.M e rispettano i minimi di armatura previsti dalle Norme Tecniche. Per esempi di progetto e verifica a torsione pura o torsione e taglio secondo l E.C.2 EN si rimanda al paragrafo successivo. ESEMPIO 1 (progetto condizionato). Sia data una trave di sezione rettangolare 40 cm x 0 cm, confezionata con un conglomerato R ck 25 e con acciai f yk = 430 MPa. Ipotizzando la sezione armata con staffe chiuse a due bracci di diametro 8 mm e con un ricoprimento esterno delle stesse pari a c = 2,5 cm, progettare le armature longitudinali aggiuntive e il passo delle staffe, relative ad un momento ultimo di torsione pari a: T Sd = 4,0tm= 4, dancm. Si assuma che la sezione sia stata armata con armatura (a flessione) longitudinale simmetrica pari a: F f = F f = 422. La sezione da armare a torsione è riportata nella figura Si trascuri, per semplicità, l effetto del taglio. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_5.tif Figura 12.5 Sezione elemento strutturale sottoposto a sollecitazione di torsione pura: interasse staffe e barre longitudinali aggiuntive da definire. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd = 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); f ctd = 10 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd = 3740daN / cm 2 (tab. 9.4). 709

2 Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: = h h = c + staffe + long / 2 = (2,5 cm) + (0,8 cm) + (2,2cm)/2 = 4,40 cm ; Calcolo spessore della sezione cava equivalente (sezione rettangolare): (b 2 ) [( 40 cm) 2(4, 40 cm)] t = = 5,20 cm. Calcolo perimetro della linea media della sezione cava resistente: p int = 2[(b 2 ) + (H 2 )] = 2 [(40 cm) 2 (4,40 cm)+ (0 cm) 2(4,40 cm)] = = 2 [( 31,2cm) + (51,2cm)] 14,8cm. Calcolo dell area ( A int ) di tutta la sezione all interno del perimetro p int : A int = H s b s = (H 2)(b 2 ) = [(0 cm) 2 (4,4cm)][(40cm) 2 (4,4cm)] 1597 cm 2 Verifica nei confronti dello schiacciamento delle bielle convenzionali di conglomerato compresso. Deve risultare: T trc = 0, 5 A int t f cd > T Sd. Sostituendo i valori numerici, si trova: T trc = 0, 5 A int t f cd = 0, 5(1597 cm 2 )(5,20 cm)(110 dan / cm 2 ) 4, dancm. Risultando T trc 4, dancm > T Sd = 4, dancm la verifica è positiva. Progetto armature trasversali (staffe per sola torsione pura). Per ipotesi si impongono delle staffe chiuse a due bracci di diametro 8 mm. Pertanto, la singola staffa reagisce alla torsione con una sezione resistente pari ad una sola volta la sua sezione (a differenza della sollecitazione tagliante a cui reagisce con due volte la sua sezione): F = 18 = 1 (0, 50 cm 2 ) = 0, 5cm 2. Si utilizza la seguente relazione: T Rts = 2 F A int f yd T Sd. Ponendo T Rts = T Sd = 4, dancm, si ricava il passo massimo delle staffe: max = 2 F (0,5cm 2 ) A int f yd = 2 T Sd (4, dancm) (148 cm 2 )(3740daN / cm 2 ) 13 cm. Adottando un interasse effettivo pari a = 10 cm < max = 13 cm, e utilizzato staffe chiuse a due bracci, risulta una sezione complessiva convenzionale della singola staffa chiusa pari a: f = 2 F = 28 = 2 (0, 50 cm 2 )== 1,0cm 2. Si computa, quindi, un rapporto: f = 2 F = 2 (0,5cm2 ) = 10,0cm 2 / m. t torsione s (0,10 m) La suddetta staffatura rispetta il minimo relativo alle barre ad aderenza migliorata, risultando: f = 10,0cm 2 / m > 0,15b m = 0,15(40 cm) =, 0cm 2 / m. torsione Il passo delle staffe scelto verifica la relazione: = 10 cm < p int 8 = (14,8cm) 20 cm

3 Progetto armature longitudinali (barre per sola torsione pura). Si utilizza la seguente formula: T trl = 2 F il A int f yd T Sd. p int Ponendo T trl = T Sd = 4, dancm, si ricava l area complessiva (minima) delle barre aggiuntive longitudinali: ( F il ) = T p Sd int = (4,0 105 dancm)(14,8cm) min 2 A int f yd 2(1597 cm 2 )(3740daN / cm 2 ) 5,52 cm2. Poiché, in presenza di torsione, la Normativa impone di posizionare nella sezione staffata almeno una barra longitudinale per spigolo e con interasse tra le suddette barre non maggiore di 35 cm, è necessario disporre almeno 4 barre agli spigoli della staffa. Inoltre, avendo già computato la massima distanza tra le barre longitudinali presenti (22 ) pari a: H s = H 2 = (0 cm) 2 (4,4cm) = 51,2cm> 35 cm, risulta necessario posizionare un ulteriore barra su ciascuna parete della trave, a contatto con i bracci verticali delle staffe, per un totale complessivo di barre nella sezione. Di conseguenza, l area minima della singola barra longitudinale aggiuntiva (delle necessarie), si calcola: F 2 ( il ) min 5, 52cm = 0,92 cm 2. Si utilizzano, quindi, delle barre di diametro pari a 12 mm. Infatti, risulta: 112 = 1,13 cm 2 > 0,92 cm 2. È necessario però notare dalla figura 12.5 che, negli spigoli delle staffe, sono presenti delle barre di diametro pari a 22 mm (necessarie per la flessione), ognuna di sezione pari a 122 = 3,80 cm 2. Di conseguenza, su ciascuno spigolo, l area di armatura longitudinale minima (complessiva per la flessione e la torsione) risulta pari a: ,92 cm 2 = 3,80 cm 2 + 0,92 cm 2 = 4,72 cm 2. Sostituendo, quindi, (nei soli spigoli) alle barre di diametro 22 delle barre di diametro 2, si ottiene: 4,72 cm 2 < 12 = 5, 30 cm 2. Pertanto, la sezione armata a torsione (e a flessione) presenterà le seguenti armature: armature superiori e inferiori: F f = F f = ; armature di parete: Una proposta di carpenteria della sezione è riportata di seguito nella figura

4 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_.tif Figura 12. Proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata a flessione e a torsione. Sollecitazione di taglio trascurata, per semplicità di trattazione. ESEMPIO 2 (procedura di verifica). Verificare a torsione, secondo la Normativa Italiana, la sezione di una trave portante di una scala a ginocchio avente una sezione di 30 cm x 50 cm. Si ipotizzi che la luce orizzontale della trave sia L = 5,40 m. Ammettendo un ricoprimento esterno delle staffe di c = 2,5 cm e un diametro delle stesse di 10 mm, si ipotizzi di utilizzare un conglomerato R ck 25 e f yk = 375 MPa per gli acciai delle armature. La larghezza complessiva della rampa sia di 120 cm. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd = 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd = 320daN / cm 2 (tab. 9.4). Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: h h = c + staffe + long / 2 = (2,5 cm) + (1,0 cm) + (1,8 cm)/24,40 cm ; avendo supposto di armare la sezione con barre longitudinali di diametro massimo di 18 mm. Calcolo altezza utile sezione resistente: h = H h = (50 cm) (4,40 cm) = 45,0 cm. Analisi dei carichi caratteristici. (Si suppone una rampa libera da murature di tompagno): peso proprio gradini (rustico: pedata 30 cm e alzata 1 cm): 1 0, 5 (0,3m) (0,1 m) (2500 dan / m 3 )(1,20 m) 0, 30 gradini / m 240 dan / m. Peso proprio soletta inferiore gradini rampa ( cm): (0,0 m) (1,20 m) (2500 dan / m 3 )180 dan / m. Peso proprio rivestimento in lastre di marmo: 1 [(0,32 m)(0,03 m) + (0,1 m) (0,02 m)](1,20 m) (2700 dan / m 3 ) 0, 30 gradini / m 139 dan / m. Corrimano: F = 120 dan/m. 712

5 Peso proprio trave portante: (0, 50 m) (0, 30 m)(2500 dan / m 3 ) 375 dan / m. Sovraccarico variabile di esercizio (folla compatta): (400 dan / m 2 )(1,20 m) 480 dan / m. Totale permanenti di progetto: G = 1,4 ( ) dan / m 147 dan / m. Totale variabili esercizio di progetto: Q = 1, 5 (480 dan / m) 720 dan / m. Armature a flessione. Tralasciando per ragioni di spazio i calcoli per il dimensionamento delle armature longitudinali, la trave in mezzeria sarà armata almeno (prescindendo da eventuali ferri longitudinali per la torsione) da: F f = 314 (correnti necessari all incastro); F f = (tesi). Analogamente, agli incastri la trave sarà armata almeno con i medesimi diametri e numero di barre presenti in mezzeria: F f = 314 (tesi); F f = (correnti necessari in mezzeria). In entrambi i casi, per ragioni di semplicità di carpenteria esecutiva, c è un quantitativo di armatura superiore maggiore del quantitativo calcolato per raggiungere la massima duttilità ( F f = 0 ). Pertanto, l asse neutro risulterà spostato dalla posizione di massima duttilità ( 0,2593 ) verso il baricentro delle rispettive armature superiori. Risulterà quindi sia per le sezioni all incastro che per quelle in mezzeria: f = 10 / 1000 e c < 3, 5 / In ogni caso, la sezione rimane all interno del campo di rottura 2 e risulterà verificata a rottura in virtù del maggiore quantitativo di armatura disposto rispetto al caso di massima duttilità. Si veda nella figura una proposta di carpenteria esecutiva della trave progettata, integrata con armature per il taglio e la torsione (quest ultime da intendersi orientative). Calcolo sollecitazione massima torsionale. Per computare gli effetti torcenti sulla sezione dell elemento strutturale, si considerano solo i carichi la cui retta d azione non passa per il centro di taglio della trave portante a ginocchio. In particolare, si considerano i carichi permanenti la cui retta d azione verticale passa per il baricentro della rampa: G* = 1,4 ( ) dan / m 783 dan / m ; avendo omesso sia il peso proprio della trave a ginocchio sia il carico concentrato del corrimano, computato a parte perché agente sull estremo del gradino. In particolare, la forza concentrata (per metro di sviluppo) del corrimano è: F = 120 dan/m. Per i carichi variabili (folla compatta), rimane: Q = 1, 5 (400 dan / m 2 )(1,20 m) 720 dan / m. Il momento torcente (per unità di sviluppo longitudinale della trave) si calcola: m Ts = (G * + Q) l GQ + Fl F ; avendo considerato i bracci delle relative risultanti rispetto al baricentro della generica sezione trasversale della trave (larghezza trave b = 30 cm): [( 30 cm)/2]+ (120 cm) l GQ = = 7,5cm; 2 l F = [(30 cm)/2] cm = 135 cm. Risulta, quindi: 713

6 m Ts = [( ) dan / m] (0,75 m) + (120 dan / m)(1,35 m) 1015 danm / m + 12 danm / m = 1177 danm / m. La massima sollecitazione torcente, si calcola: T Sd = m Ts L (5, 40 m) = (1177 danm / m) 3180 danm = 3, dancm. 2 2 Verifica nei confronti dello schiacciamento delle bielle convenzionali di conglomerato compresso. Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: h h = c + staffe + long / 2 = (2, 5cm) + (0,8cm) + (1,8cm)/2 = 4,40 cm ; Calcolo spessore della sezione cava equivalente (sezione rettangolare): (b 2 ) [( 30 cm) 2(4, 40 cm)] t = = 3,0 cm. Calcolo perimetro della linea media della sezione cava resistente: p int = 2[(b 2 ) + (H 2 )] = 2 [(30 cm) 2 (4,40 cm)+ (50 cm) 2 (4,40 cm)] = = 2 [( 21,cm) + (41,cm)] 12, 4cm. Calcolo dell area ( A int ) di tutta la sezione all interno del perimetro p int : A int = H s b s = (H 2)(b 2 ) = [( 50 cm) 2(4, 4cm)][(30 cm) 2 (4,4cm)] 898 cm 2 Deve risultare: T trc = 0, 5 A int t f cd > T Sd. Sostituendo i valori numerici, si trova: T trc = 0, 5 A int t f cd = 0, 5(898 cm 2 )(3,0 cm)(110 dan / cm 2 ) 1, dancm. Risultando però T trc 1, dancm < T Sd = 3, dancm, la sezione della trave è insufficiente: rottura delle bielle compresse di conglomerato. OSSERVAZIONI. In generale, sia per la Normativa Italiana che per l E.C.2, il valore dello spessore t della parete cava equivalente influenza fortemente il valore della massima resistenza a compressione delle bielle convenzionali di calcestruzzo. A sua volta, a parità di diametro fissato per le armature trasversali, il valore del parametro t è dipendente dal valore del ricoprimento c delle armature più esterne. In particolare, per l E.C.2 il minimo valore di detto parametro è pari a circa: t = 2 h 2 h = 2 (4,40 cm) 8cm; mentre, per la Normativa Italiana, si è calcolato: t = 3,0 cm, con T trc = 1, dancm. Come si vedrà più avanti, scegliendo ad esempio = 45, il minimo valore della resistenza a compressione delle bielle convenzionali di conglomerato risulta per l E.C.2: T Rd1 min = 0, 35 f cd t A int. Calcolando, infatti: A int = H s b s = [(50 cm) (8cm)] [(30 cm) (8 cm)] 704 cm 2, risulta: T Rd1 min = 0, 35(110 dan / cm 2 )(8cm) (704 cm 2 ) 2, dancm. Tale valore risulta maggiore di oltre il 20% rispetto al valore computato tramite la Normativa Italiana. Questa osservazione è importante in quanto l E.C.2, assumendo per il parametro t i valori più alti presenti in letteratura, riduce l area del nucleo cerchiato, e questo comporta un incremento delle armature a torsione da disporre. Viceversa, la Normativa Italiana preferisce penalizzare fortemente il conglomerato in compressione, forzando prima le dimensioni della sezione dell elemento strutturale sottoposto a torsione. 714

7 ESEMPIO 3. Si valuti la resistenza ultima a compressione delle bielle convenzionali del medesimo elemento strutturale, sottoposto a torsione, analizzato nell esempio precedente. Mantenendo inalterate tutte le ipotesi sui materiali, considerare un ricoprimento esterno delle armature più esterne pari a c = 1,5 cm. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd = 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); f ctd = 10 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd = 3740daN / cm 2 (tab. 9.4). Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: = h h = c + staffe + long / 2 = (1,5 cm) + (1,0 cm) + (1,8 cm)/2 = 3,40 cm ; Calcolo spessore della sezione cava equivalente (sezione rettangolare): (b 2 ) [( 30 cm) 2(3, 40 cm)] t = = 3,87 cm. Calcolo perimetro della linea media della sezione cava resistente: p int = 2[(b 2 ) + (H 2 )] = 2 [(30 cm) 2 (3,40 cm)+ (40 cm) 2 (3,40 cm)] = = 2 [( 23,2cm) + (43,2cm)] 132,8cm. Calcolo dell area ( A int ) di tutta la sezione all interno del perimetro p int : A int = H s b s = (H 2)(b 2 ) = [( 50 cm) 2(3, 4cm)][(30 cm) 2 (3,4cm)] 1002 cm 2 Calcolo resistenza ultima a compressione bielle convenzionali conglomerato: T trc = 0, 5 A int t f cd = 0, 5(1002 cm 2 )(3,87 cm) (110 dan / cm 2 ) 2,110 5 dancm. OSSERVAZIONI. Adottando la Normativa Italiana, incrementando il ricoprimento delle armature più esterne di circa il 5%, la resistenza a compressione delle bielle convenzionali di conglomerato diminuisce di circa il 20%. ESEMPIO 4 (progetto condizionato). Progettare le armature a flessione, al taglio e a torsione di una trave portante di una scala a ginocchio avente una sezione di 30 cm x 75 cm. Si ipotizzi che la luce orizzontale della trave sia L = 5,40 m. Si imponga un valore del ricoprimento esterno delle staffe di c = 2,0 cm e un diametro delle stesse di 10 mm. Si ipotizzi, infine, di utilizzare un conglomerato R ck 30 e f yk = 430 MPa per gli acciai delle armature. La larghezza utile complessiva della rampa sia di 120 cm. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd = 132daN / cm 2 (tab. 9.2); f ctd = 11daN / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd = 3740daN / cm 2 (tab. 9.4). Distanza del baricentro delle armature longitudinali dai casseri (per il solo calcolo delle armature a flessione): h h = c + staffe + long / 2 = (2,0 cm) + (1,0 cm) + (1,8 cm)/23,90 cm ; avendo supposto di armare la sezione con barre longitudinali di diametro massimo di 18 mm. Calcolo altezza utile sezione resistente: h = H h = (75 cm) (3,90 cm) = 71,10 cm. Analisi dei carichi caratteristici. (Si suppone una rampa libera da murature di tompagno): peso proprio gradini (rustico: pedata 30 cm e alzata 1 cm): 715

8 1 0, 5 (0,3m) (0,1 m) (2500 dan / m 3 )(1,20 m) 0, 30 gradini / m 240 dan / m. Peso proprio soletta inferiore gradini rampa ( cm): (0,0 m) (1,20 m) (2500 dan / m 3 )180 dan / m. Peso proprio rivestimento in lastre di marmo: 1 [(0,32 m)(0,03 m) + (0,1 m) (0,02 m)](1,20 m) (2700 dan / m 3 ) 0, 30 gradini / m 139 dan / m. Corrimano: F = 120 dan/m. Peso proprio trave portante: (0,75 m) (0, 30 m)(2500 dan / m 3 ) 53 dan / m. Sovraccarico variabile di esercizio (folla compatta): (400 dan / m 2 )(1,20 m) 480 dan / m. Totale permanenti di progetto: G = 1,4 ( ) dan / m 1740 dan / m. Totale variabili di progetto: Q = 1, 5 (480 dan / m) 720 dan / m. Calcolo armature a flessione (metodo parametrico). Calcolo sollecitazione flettente di progetto (in mezzeria con schema di trave appoggiata): M Sd = 1 8 (G + Q) L2 = 1 8 [(1740 dan / m)+ (720 dan / m)] (5, 40 m) danm. Calcolo sollecitazione flettente adimensionale: M m Sd = Sd ( dancm) = 0,045. b h 2 f cd (30 cm)(1,10 cm) 2 (132daN / cm 2 ) Calcolo distanza adimensionale baricentro armature longitudinali dai casseri: h = h = h (3,90 cm) = 0, 055. h (71,10 cm) In condizioni di flessione semplice con massima duttilità, si ha: A = 0,180 (massimo cimento del conglomerato compresso) B = 0, 87 (braccio forze resistenti). Risultando: 1 = A = 0,180 m Sd 0,045 4 > 1 è sufficiente un armatura semplice ( F f = 0 ). Si pone, quindi: C = 0 (assenza contributo armatura superiore) m = m Sd = 0,045 (momento sollecitante di calcolo). I rapporti meccanici di armatura risultano (in condizioni di massima duttilità): f = m B = m 0, 045 Sd = 0,052 B 0,87 f = 0. L area di armatura risulta: F f = f b h f cd = 0,052 (30 cm) (71,10 cm) (132daN / cm2 ) f yd (3740 dan / cm 2 3,9cm2 ) F f = 0. Tali armature sono realizzabili disponendo in mezzeria solo: 71

9 F f = 314 = 3 (1,54 cm 2 ) = 4,2 cm 2 > 3,9cm 2. Dovendo verificare la sezione anche agli incastri, risulta: M (incastro) Sd = 1 12 (G + Q) L2 = 1 1,5 1 8 (G + ( dancm) Q)L2 =. 1,5 Essendo sicuramente: A A 1 = > > 1 ( incasto ) ( mezzeria ) m Sd m Sd l armatura inferiore necessaria all incastro sarà: F f = (3,9cm2 ) 2,0 cm 2 ; 1,5 realizzabile disponendo dei correnti pari a 214 = 2 (1,54 cm 2 ) = 3,08 cm 2 > 2,0 cm 2. In particolare, la trave in mezzeria sarà armata almeno (prescindendo dai ferri longitudinali aggiuntivi per la torsione) da: F f = 214 (correnti necessari all incastro); F f = 314 (tesi). Analogamente, agli incastri (prescindendo dai ferri longitudinali aggiuntivi per la torsione) la trave sarà armata almeno con i medesimi diametri e numero di barre presenti in mezzeria: F f = 214 (tesi); F f = 314 (correnti necessari in mezzeria). In entrambi i casi, per ragioni di semplicità di carpenteria esecutiva, c è un quantitativo di armatura superiore maggiore del quantitativo calcolato per raggiungere la massima duttilità ( F f = 0 ). Pertanto, l asse neutro risulterà spostato dalla posizione di massima duttilità ( 0,2593 ) verso il baricentro delle rispettive armature superiori. Risulterà quindi sia per le sezioni all incastro che per quelle in mezzeria: f = 10 / 1000 e c < 3, 5 / In ogni caso, la sezione rimane all interno del campo di rottura 2 e risulterà verificata a rottura in virtù del maggiore quantitativo di armatura disposto rispetto al caso di massima duttilità. Calcolo massime sollecitazioni taglianti e torcenti. Calcolo massima sollecitazione tagliante agli incastri: V Sd = 1 2 (G + Q) L = 1 [( ) dan / m] (5,40 m) 50 dan. 2 Si ipotizza un andamento del taglio lineare con punto nullo a distanza da asse appoggio pari a z = (5, 40 m)/2 = 2,70 m. Calcolo massima sollecitazione torcente: per il computo del momento torcente, si considerano solo i carichi verticali le cui rette di azione non passano per il centro di taglio della sezione trasversale della trave portante a ginocchio. In particolare, tra questi carichi eccentrici si distingueranno quelli la cui retta d azione cade nella mezzeria del singolo gradino a sbalzo. In particolare, si isolerà il solo carico concentrato applicato sull estremità a sbalzo del gradino (corrimano), avente braccio di leva maggiore. I carichi suddetti sono (vedere analisi dei carichi precedente): totale permanenti di progetto distribuiti: G * = 1,4 ( ) dan / m 783 dan / m ; carico di progetto concentrato (corrimano): F = 1,4 (120 dan) = 18 dan totale variabili esercizio di progetto: Q = 1, 5 (480 dan / m) 720 dan / m. Pertanto, detti: 717

10 [(0, 30 m)/2]+ (1,20 m) l GQ = = 0, 75 m ; 2 l F = [(0, 30 m)/2]+ (1,20 m) = 1, 35 m ; rispettivamente, i bracci di leva dei due tipi di carichi eccentrici (distribuiti e concentrati agenti sulla rampa), si calcola il momento torcente (per unità di sviluppo longitudinale della trave): m ST = (G * + Q) l GQ + F l F = = [( ) dan / m] (0,75 m) + (18 dan / m) (1, 35 m) 1242 danm / m. Il massimo momento torcente risulta: T Sd = m ST L m) = (1242 danm / m)(5, danm = 3, dancm. 2 2 Calcolo parametri di progetto per la torsione. Calcolo distanza effettiva baricentro armature longitudinali dai casseri: h h = c + staffe + long / 2 = (2,0cm) + (1,0cm) + (1, 4cm)/2 = 3,70 cm ; Calcolo spessore della sezione cava equivalente (sezione rettangolare): (b 2 ) [( 30 cm) 2(3,70 cm)] t = = 3,7cm. Calcolo perimetro della linea media della sezione cava resistente: p int = 2[(b 2 ) + (H 2 )] = 2 [(30 cm) 2 (3,7cm)+ (75 cm) 2(3,7cm)]= = 2 [( 22,cm)+ (7, cm)] 180, 4cm. Calcolo dell area ( A int ) di tutta la sezione all interno del perimetro p int : A int = H s b s = (H 2)(b 2 ) = [(75 cm) 2(3,7cm)] [( 30 cm) 2(3,7cm)] 1528 cm 2 Verifica nei confronti dello schiacciamento delle bielle compresse di conglomerato (taglio + torsione). Essendo in presenza di torsione e taglio, la verifica a non schiacciamento della biella compressa di conglomerato consiste nel verificare che risulti: T Sd 0, 33 f cd V Sd 1, A int t. b m h Sostituendo i valori numerici, si ottiene: T Sd = 3, dancm (50 dan) 0, 33(132daN / cm 2 ) (30 cm)(71,1cm) 1, (1528 cm2 )(3,7cm) 3, dancm. La verifica a non schiacciamento delle bielle convenzionali per torsione e taglio è positiva. Calcolo armature al taglio (staffe). Poiché si è in presenza di torsione, le Raccomandazioni del Ministero LL.PP. prescrivono, a differenza di altre normative, che il calcolo delle staffe sia condotto ponendo in ogni caso V Rcd = 0. Deve quindi risultare: V Sd = V Rsd. Pertanto, in prossimità degli incastri (per tutti i tratti orizzontali della trave a ginocchio di lunghezza 120 cm da filo pilastro), adottando staffe chiuse di diametro 10 mm a due bracci ( f = 210 = 2(0,79 cm 2 ) = 1,57 cm 2 ), risulta una quantità minima di armatura di cucitura, per metro lineare: f taglio = V Rsd (50 dan) = 0,9 h f yd 0,9 (0,71 m) (3740 dan / cm 2 ) 2,78 cm 2 / m. 718

11 Viceversa, nel rimanente tratto inclinato di trave (per sezioni z z * = 120 cm ), il valore della sollecitazione tagliante presenta il valore massimo: V(z * ) = V Sd 1 z* (120 cm) = (50 dan)1 z (270 cm) 3700 dan. Risulta una quantità minima di armatura di cucitura, per metro lineare: f V = Rsd (3700 dan) = 0,9 h f yd 0,9 (0,71 m) (3740 dan / cm 2 ) 1,55 cm2 / m. taglio Calcolo armature a torsione (staffe). Per ipotesi si impongono delle staffe chiuse a due bracci di diametro 10 mm. Pertanto, la singola staffa reagisce alla torsione con una sezione resistente pari ad una sola volta la sua sezione (a differenza della sollecitazione tagliante a cui reagisce con due volte la sua sezione): F = 110 = 1 (0,79 cm 2 ) = 0,79 cm 2. Si utilizza la seguente relazione: T Rts = 2 F A int f yd T Sd. Ponendo T Rts = T Sd = 3, dancm, si ricava il passo massimo delle staffe: max = 2 F (0,79 cm 2 ) A int f yd = 2 T Sd (3, dancm) (1528 cm2 )(3740daN / cm 2 ) 2,9cm. Adottando un interasse (parziale) (1) pari a = 25 cm < max = 2,9cm, e utilizzato staffe chiuse a due bracci, risulta una sezione complessiva convenzionale della singola staffa chiusa pari a: f = 2 F = 210 = 2 (0,79 cm 2 ) == 1,57 cm 2. Si computa, quindi, un rapporto: f = 2 F = 2 (0,79 cm 2 ) =,32 cm 2 / m. t torsione s (0,25 m) Analogamente al taglio, il valore della sollecitazione massima torcente, nelle sezioni del tronco di trave inclinata ( z z * = 120 cm ), assume il valore: T(z * ) = T Sd 1 z* (120 cm) = (3, dancm) 1 z (270 cm) 1, dancm. Il relativo massimo passo (parziale) delle staffe risulta: max = 2 F (0,79 cm 2 ) A int f yd = 2 T Sd (1, dancm) (1528 cm2 )(3740daN / cm 2 ) 48 cm Assumendo un passo massimo (parziale) delle staffe al più di = 30 cm < 48 cm, risulta quindi: f = 2 F = 2 (0,79 cm 2 ) = 5, 27 cm 2 / m. (0, 30 m) torsione Calcolo armature a torsione (longitudinali). Si utilizza la seguente formula: 1 Nel caso di presenza di taglio e torsione, il singolo interasse fissato (considerando separatamente le due sollecitazioni) risulta sempre maggiore dellinterasse effettivo, ottenuto sommando le quantità di armature per metro linerare. Pertanto, le verifiche e il rispetto degli interassi minimi e massimi delle armature, prescritti dalla Normativa, vengono effettuati alla fine del progetto, quando è nota leffettiva disposizione fissata per le armature trasversali (torsione + taglio). 719

12 T trl = 2 F il A int f yd T Sd. p int Ponendo T trl = T Sd = 3, dancm, si ricava l area complessiva (minima) delle barre aggiuntive longitudinali: ( F il ) = T p Sd int = (3, dancm)(180, 4cm) min 2 A int f yd 2(1528 cm 2 )(3740daN / cm 2 ) 5,29 cm2. Poiché, in presenza di torsione, la Normativa impone di posizionare nella sezione staffata almeno una barra longitudinale per spigolo e con interasse tra le suddette barre non maggiore di 35 cm, è necessario disporre almeno 4 barre agli spigoli della staffa. Inoltre, avendo già computato la massima distanza tra le barre longitudinali presenti (14 ) pari a: H s = H 2 = (75 cm) 2(3,7cm) = 7,cm> 35 cm, risulta necessario posizionare almeno una barra su ciascuna parete della trave, a contatto con i bracci verticali delle staffe, per un totale complessivo di barre nella sezione. Di conseguenza, l area minima della singola barra longitudinale aggiuntiva (delle necessarie), si calcola: F 2 ( il ) min 5,29 cm = 0,88 cm 2. Si utilizzano, quindi, delle barre di diametro pari a 12 mm. Infatti, risulta: 112 = 1,13 cm 2 > 0,88 cm 2. È necessario però notare che, negli spigoli delle staffe, sono presenti delle barre di diametro pari a 14 mm (computate per la sola flessione), ciascuna di sezione pari a 114 = 1,54 cm 2. Di conseguenza, su ciascuno spigolo l area di armatura longitudinale minima (complessiva per la flessione e la torsione) risulta pari a: ,88 cm 2 = 1,54 cm 2 + 0, 88 cm 2 = 2,42 cm 2. Sostituendo, quindi, (nei soli spigoli) alle barre di diametro 14 delle barre di diametro 18, si ottiene: 2,42 cm 2 < 118 = 2,54 cm 2. Pertanto, la sezione armata a torsione (e a flessione) presenterà le seguenti armature: agli incastri: F f = 218 (spigoli) ; F f = 218 (spigoli)+ 114 ; in campata: F f = 218 (spigoli) ; F f = 218 (spigoli)+ 114 ; armature di parete: Considerando anche le armature longitudinali per torsione, la sezione presenta una rottura per flessione nel campo 2, con le seguenti deformazioni unitarie: c = 1,3 <3,5 e f = 10. Il coefficiente di sicurezza a rottura (sempre per flessione) risulta pari a circa CS 1, 1. Calcolo armature trasversali (taglio + torsione). La staffatura in prossimità degli incastri (tratti orizzontali della trave) risulta: f + f = 2,78 cm 2 / m +, 32 cm 2 / m = 9,10 cm 2 / m. taglio torsione 720

13 Adottando il medesimo tipo di staffa (chiusa a due bracci di diametro 10 mm), il passo massimo da assumere è: f max = (9,10 cm 2 / m) = (1,57 cm 2 ) 0,17 m = 17 cm. (9,10 cm 2 / m) Anche per semplicità di carpenteria esecutiva, quindi, si adotta un passo effettivo di = 15 cm < 17 cm per tutti i tratti orizzontali della trave rampante (relativi ai pianerottoli di arrivo e di riposo). La staffatura su tutto il tratto di trave inclinata risulta: f + f = 1,55 cm 2 / m + 5, 27 cm 2 / m =,82 cm 2 / m. t taglio s torsione Adottando il medesimo tipo di staffa (chiusa a due bracci di diametro 10 mm), il passo massimo da assumere è: f max = (9,10 cm 2 / m) = (1,57 cm2 ) 0, 23 m = 23 cm. (, 82 cm 2 / m) Si adotta, quindi, un passo delle staffe pari al massimo consentito dalla Normativa: = 20 cm < 23cm. Verifica minimi di armatura. È presente almeno una barra longitudinale per spigolo. L interasse massimo tra le barre longitudinali (relativo alle barre di parete che sono le più distanti) è minore di 35 mm. Infatti: H s / 2 = (7, cm)/2 = 33,8cm< 35 cm. La sezione complessiva delle staffe risulta in ogni sezione maggiore del minimo prescritto. Infatti, nelle sezioni in campata, dove il passo è quello massimo di 20 cm, risulta: f 7, 85 cm 2 / m > 0,15 b m = 0, 15(30cm) = 4,5cm 2 / m. eff Risulta, inoltre: max = 20 cm < p int 8 = (180,4cm) 22 cm. 8 Le armature longitudinali disposte risultano: b H 0,003 =,75 cm 2 F f + F f = 11,7cm 2 b H 0,0 = 135 cm 2 ; F f =,2 cm 2 > 0, b H 3,38 cm2. Una proposta di carpenteria esecutiva della trave a ginocchio è riportata di seguito nella figura

14 Nota per la composizione: disporre illustrazione su intera pagina per agevolare la lettura. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_7.tif Figura 12.7 Proposta di carpenteria esecutiva della trave a ginocchio progettata. 722

15 OSSERVAZIONI. Le dimensioni b H della sezione trasversale della trave a ginocchio sono governate essenzialmente dalla verifica delle bielle convenzionali di conglomerato compresso per effetti taglianti e torcenti. Pertanto, fissato orientativamente il valore della distanza del baricentro delle armature longitudinali dai casseri e calcolato il valore del parametro t, si verifica che le dimensioni fissate per la sezione soddisfino la relazione: T Sd 0, 33 f cd V Sd 1, A int t. b m h Se la verifica dà esito positivo, allora la sezione della trave è sufficiente e si può procedere al dimensionamento di tutte le armature (longitudinali e trasversali). Viceversa, se la verifica dà esito negativo, è necessario o cambiare le dimensioni della sezione, oppure la resistenza del conglomerato. ESEMPIO 5 (procedura di progetto). Sia dato un ritto alto L = 3,30 m di sezione trasversale 30 cm x 40 cm, armato a pressoflessione con F f = F f = 420 (vedere particolari in figura 12.8) e confezionato con un conglomerato R ck 25 e con acciai ad aderenza migliorata del tipo f yk = 430 MPa. Supponendo un ricoprimento delle armature più esterne pari a c = 2,5 cm e una staffatura chiusa a due bracci di diametro 10 mm, dimensionare l armatura al taglio e a torsione della sezione soggetta ad un momento torcente e un taglio ultimo rispettivamente pari a: T Sd = 1,110 5 dancm (uniforme lungo tutto il ritto); V Sd = 000 dan (andamento lineare con annullamento a metà altezza del ritto). Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_8.tif Figura 12.8 Sezione del ritto verificata a pressoflessione. Armature al taglio e torsione da definire. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f cd = 110 dan / cm 2 (tab. 9.2); f ctd = 10 dan / cm 2 (tab. 9.2); acciai: f yd = 3740daN / cm 2 (tab. 9.4). Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri: = h h = c + staffe + long / 2 = (2,5 cm) + (1,0 cm) + (2,0 cm)/2 = 4,50 cm. Calcolo altezza utile sezione resistente: h = H h = (40 cm) (4,50 cm) = 35,5 cm. Calcolo spessore della sezione cava equivalente (sezione rettangolare): 723

16 (b 2 ) [( 30 cm) 2(4, 50 cm)] t = = 3,50 cm. Calcolo perimetro della linea media della sezione cava resistente: p int = 2[(b 2 ) + (H 2 )] = 2 [(30 cm) 2 (4,50 cm)+ (40 cm) 2 (4,50 cm)] = = 2 [( 31,0cm) + (31,0cm)]= 104 cm. Calcolo dell area ( A int ) di tutta la sezione all interno del perimetro p int : A int = H s b s = (H 2)(b 2 ) = [( 40 cm) 2(4, 5cm)] [( 30 cm) 2(4, 5cm)] = 51cm 2 Verifica nei confronti dello schiacciamento delle bielle convenzionali di conglomerato compresso (taglio + torsione). Si utilizza la relazione: T Sd 0, 33 f cd V Sd 1, A int t. b m h Sostituendo i valori numerici, si ottiene: T Sd = 1,110 5 dancm (000 dan) 0, 33(110daN / cm 2 ) (30cm) (35, 5cm) 1, (51cm 2 )(3,5cm) 1, dancm. La verifica a non schiacciamento delle bielle convenzionali per torsione e taglio è positiva. Calcolo armature al taglio (staffe). Poiché si è in presenza di torsione, il calcolo delle staffe viene condotto ponendo in ogni caso V Rcd = 0. Deve quindi risultare: V Sd = V Rsd. Pertanto, in prossimità degli incastri, adottando staffe chiuse di diametro 10 mm a due bracci ( f = 210 = 2(0,79 cm 2 ) = 1,57 cm 2 ), risulta una quantità minima di armatura di cucitura, per metro lineare: f taglio = V Rsd (000 dan ) = 0,9 h f yd 0,9 (0,355 m) (3740 dan / cm 2 ) 5,02 cm2 / m. Solamente per abbozzare una prima stima della sezione resistente complessiva delle sole armature al taglio per metro lineare (vedere nota a piè pagina alla pagina seguente) si faccia riferimento al valore: 0,15 h[cm] A t min = 0,101 + b m [cm] = 0, ,15(35,5cm) b m [cm] (30 cm) (30 cm) = 3,54 cm2 / m. Arrotondando al valore di 3,0 cm 2 / m, risulta una sollecitazione tagliante portata pari a: V * = f 0,9 h f yd = (3,0 cm 2 / m) 0, 9(0, 355 m) (3740daN / cm 2 ) 4300 dan. taglio Ammettendo che il diagramma del taglio, variando linearmente, si annulli a metà altezza del ritto ( z = L / 2 = (3,30 m)/ 2 = 1,5 m ), si calcola la distanza z * dallo spiccato del ritto, in cui la sollecitazione tagliante assume il valore pari a T * = 4300 dan : z * = z 1 V * (4300 dan) = (15 cm) 1 (000 dan) 47 cm. V Sd 724

17 Pertanto, arrotondando al valore z * = 55 cm (per consentire un minimo di tolleranza nella sistemazione delle staffe in cantiere), per tutte le sezioni del ritto con z > z * si disporrà un armatura al taglio in ragione di 3,0 cm 2 / m. Mentre, in tutte le rimanenti sezioni prossime agli incastri del ritto si disporrà una staffatura al taglio in ragione di 5,02 cm 2 / m. Calcolo armature a torsione (staffe). Per ipotesi si impongono delle staffe chiuse a due bracci di diametro 10 mm. Pertanto, la singola staffa reagisce alla torsione con una sezione resistente pari ad una sola volta la sua sezione (a differenza della sollecitazione tagliante a cui reagisce con due volte la sua sezione): F = 110 = 1 (0,79 cm 2 ) = 0,79 cm 2. Si utilizza la seguente relazione: T Rts = 2 F A int f yd T Sd. Ponendo T Rts = T Sd = 1,110 5 dancm, si ricava il passo massimo delle staffe: max = 2 F (0,79 cm 2 ) A int f yd = 2 T Sd (1,110 5 dancm) (51 cm2 )(3740 dan / cm 2 ) 35 cm. Adottando un interasse (parziale) (2) su tutto lo sviluppo del ritto pari a = max = 35 cm, e utilizzato staffe chiuse a due bracci, risulta una sezione complessiva convenzionale della singola staffa chiusa pari a: f = 2 F = 210 = 2 (0,79 cm 2 ) == 1,57 cm 2. Si computa, quindi, un rapporto: f = 2 F = 2 (0,79 cm 2 ) = 4, 50 cm 2 / m. (0,35 m) torsione Calcolo armature trasversali (taglio + torsione). La staffatura in prossimità degli incastri (per un altezza di 55 cm dallo spiccato) risulta: f + f = 5,02 cm 2 / m + 5,27 cm 2 / m = 10,29 cm 2 / m. t taglio s torsione Adottando il medesimo tipo di staffa (chiusa a due bracci di diametro 10 mm), il passo massimo da assumere è: f max = (10, 32 cm 2 / m) = (1,57 cm 2 ) 0,152 m = 15 cm. (10, 29 cm 2 / m) Teoricamente, è sufficiente un passo delle staffe pari a = 15 cm. La staffatura su tutte le rimanenti sezioni del ritto ( z > z * = 55 cm ) risulta: f + f = 3,0 cm 2 / m + 4, 50 cm 2 / m = 8,10 cm 2 / m. t taglio s torsione Adottando il medesimo tipo di staffa (chiusa a due bracci di diametro 10 mm), il passo massimo da assumere è: f max = (8,10 cm 2 / m) = (1,57 cm 2 ) = 0,194 m 20 cm. (8,10 cm 2 / m) 2 Nel caso di presenza di taglio e torsione, il singolo interasse fissato (considerando separatamente le due sollecitazioni) risulta sempre maggiore dellinterasse effettivo, ottenuto sommando le quantità di armature per metro lineare. Pertanto, le verifiche e il rispetto degli interassi minimi e massimi delle armature, prescritti dalla Normativa, vengono effettuati alla fine del progetto, quando è nota leffettiva disposizione fissata per le armature trasversali (torsione + taglio). 725

18 Teoricamente, è sufficiente un passo delle staffe pari a = 20 cm. Verifica armature minime trasversali È presente almeno una barra longitudinale per spigolo. L interasse massimo tra le barre longitudinali è minore di 35 mm. Infatti: H s / 2 = (31 cm)/2 = 15, 5cm< 35 cm. Dovendo, però, risultare: p int (104 cm) = 13cm max < min cm, si è costretti ad adottare una staffatura uniforme in ragione di 110 / 13 lungo tutto il ritto, come conseguenza di una sezione trasversale del ritto non sufficientemente esuberante. Risulta in tal caso: 12,0cm 2 / m > 0,15b m = 0,15(30 cm) = 4, 5cm 2 / m. Calcolo armature a torsione (longitudinali). Si utilizza la seguente formula: T trl = 2 F il A int f yd T Sd. p int Ponendo T trl = T Sd = 1,110 5 dancm, si ricava l area complessiva (minima) delle barre aggiuntive longitudinali: ( F il ) = T p Sd int = (1,110 5 dancm)(104 cm) min 2 A int f yd 2(51 cm 2 )(3740 dan / cm 2 ) 2,35 cm2. Si fissano almeno 4 barre agli spigoli e 2 barre di parete, per un totale di barre. Si calcola, quindi: ( F il ) min 2,35 cm2 = 0, 40 cm 2. Poiché, però, nei ritti il diametro delle barre longitudinali non deve risultare minore di 12 mm (112 = 1,13 cm 2 ), si utilizzeranno 412, distribuiti uno per spigolo e 212 come armature di parete. Risultando: 12 = (1,13 cm 2 ) =,78 cm 2 > 2,35 cm 2. È necessario però notare che, negli spigoli delle staffe, sono presenti delle barre di diametro pari a 20 mm (computate per la sola pressoflessione), ciascuna di sezione pari a 120 = 3,14 cm 2. Di conseguenza, su ciascuno spigolo l area di armatura longitudinale minima (complessiva per la pressoflessione e la torsione) risulta pari a: = 3,14 cm 2 + 1,13 cm 2 = 4,27 cm 2. Sostituendo, quindi, (nei soli spigoli) alle barre di diametro 20 delle barre di diametro 24, si ottiene: 4,27 cm 2 < 124 = 4,52 cm 2. Pertanto, la sezione armata a torsione (e a pressoflessione) presenterà le seguenti armature: F f = 224 (spigoli)+ 220 ; F f = 224 (spigoli)+ 220, che vengono completate da 212 come ferri di parete. Le armature longitudinali così disposte verificano le prescrizioni di Normativa. Una proposta di carpenteria esecutiva della sezione del ritto è riportata di seguito nella figura

19 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_9.tif Figura 12.9 Proposta di carpenteria esecutiva della sezione del ritto sottoposto a torsione e taglio. OSSERVAZIONI. In questo particolare esempio, si è proposto il caso di un elemento strutturale la cui sezione trasversale risulta non perfettamente idonea alle sollecitazioni a cui è sottoposta. Infatti, l obbligo del rispetto della limitazione: p int (104 cm) = 13cm max < min cm, risulta predominante e vincolante rispetto agli interassi delle armature trasversali calcolati per via analitica. Si conclude che una sufficientemente maggiore sezione dell elemento strutturale avrebbe portato il massimo interasse delle staffe a valori prossimi a quelli calcolati con le formule per il dimensionamento delle armature di cucitura, ottimizzando così i materiali. 727