36. LASTRE E PIASTRE

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1 6. LASTRE E PIASTRE G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie Geometria e carici ageti Le lastre soo elemeti aveti la geometria descritta el caso del problema piao i elasticità, cioè, co rierimeto alla ig., possiedoo orma cilidrica co la seioe trasversale (di area A e cotoro C) disposta parallelamete al piao, ao spessore costate e piccolo rispetto alle altre dimesioi (cioè ieriore di u ordie di gradea come miimo). L origie del sistema di rierimeto cartesiao viee posto i u puto del piao medio della lastra i modo ce i bordi superiore ed ieriore abbiao ascissa ±/. Le lastre possoo essere soggette a sistemi di carico, i carici el piao e quelli uori dal piao (ig.) descritti da uioi variabili co ed : i carici el piao soo costituiti da ore distribuite ad uità di supericie ed ce agiscoo parallelamete al piao, costati lugo la direioe ; i carici uori dal piao soo costituiti da ore distribuite ad uità di supericie ce agiscoo ortogoalmete al piao e, el caso più geerale, da mometi distribuiti ad uità di supericie di tipo lettete m ed m. Le lastre soggette a carici uori dal piao risultao sollecitate a lessioe e taglio ella direioe e vegoo spesso deiite piastre, le lastre soggette a carici el piao soo sollecitate da sori ormali e taglio el piao. Da quato scritto si deduce ce quello delle lastre caricate el piao è u classico problema piao della teoria dell elasticità e come tale può essere arotato, metre il problema delle piastre se e diereia per la tipologia dei carici ageti e delle reaioi vicolari. el secodo caso la soluioe viee ricercata mediate ua ormulaioe agli spostameti per cui i vari passaggi ao l obiettivo di otteere u sistema di equaioi le cui icogite soo costituite da uioi ce descrivoo gli spostameti. I gusci possiedoo caratteristice geometrice simili a quelle di piastre e lastre, ma soo caratteriati dalla presea di curvature ei piai ed ace se scarici da ore. C C A A Fig.6. Le geometria delle lastre e il sistema di rierimeto utiliato. Determiaioe diretta delle equaioi di compatibilità Le equaioi di compatibilità per lastre e piastre possoo essere dedotte direttamete assumedo alcue ipotesi sempliicative sul loro comportameto a deormaioe. Ua teoria sempliicata, adatta al caso di piccoli spostameti, è quella di Kirco. I base alla teoria di Kirco, deiedo ormali i segmeti disposti ortogoalmete al piao medio della piastra ed estesi dal bordo superiore al bordo ieriore della piastra stessa, si ammette ce ) le ormali rimagoo rettiliee, cioè o si ilettoo, ) le ormali rimagoo ideormate, cioè lo spessore della lastra rimae costate, ) le ormali rimagoo ortogoali al piao medio. Ua ulteriore ipotesi sempliicativa è quella dei piccoli spostameti, ce cosete, tra l altro, di approssimare la tagete dell agolo di rotaioe di ua ormale co l agolo stesso. / / τ ss ss φ u P φ φ m m φ P φ u u Fig.6. Carici ageti su u elemetio di lastra: a siistra el piao, a destra uori dal piao. Fig.6. - Compoeti dello spostameto i direioe del puto P di coordiate,, apparteete ad ua lastra. 6.

2 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie aturalmete l ipotesi ) o può essere vera i geerale i presea di tesioi e per via dell eetto Poisso: si tratta di ua sempliicaioe ce permette di risolvere i modo più agevole il problema, e ua stima della deormaioe i direioe può essere eettuata dopo avere calcolato le tesioi utiliado l apposita equaioe costitutiva (.9d). I base a queste assuioi, gli spostameti i direioe verticale risultao uioe delle sole variabili ed e possoo essere cosiderati come coicideti co quelli del piao medio della lastra di coordiata, cioè ( ) (6.), metre gli spostameti elle direioi ed possoo essere otteuti dalla somma dello spostameto del baricetro della ormale (il puto avete coordiata ), dato dalle uioi u (,) e v (,), più ua compoete dovuta alle rotaioi φ e φ della ormale stessa, direttamete proporioale alla distaa da tale baricetro. Le rotaioi φ e φ delle ormali soo cosiderate positive se atiorarie e gli idici ed soo rieriti alla direioe dello spostameto ce e cosegue e o alla direioe del vettore ce le rappreseta. I deiitiva gli spostameti u e v del geerico puto della lastra soo dati da u u φ v v φ (6.) i queste relaioi la dipedea da ed delle compoeti di spostameto è presete elle uioi u, v, φ e φ e la dipedea da è lieare. ell ipotesi di piccoli spostameti e i base alle ipotesi di Kirco, le rotaioi delle ormali possoo essere poste i relaioe co gli abbassameti mediate le segueti equaioi φ φ (6.a,b) Il sego meo elle () è dovuto all orietameto dell asse e alla coveioe dei segi assuta per le rotaioi. Gli spostameti elle direioi ed possoo essere otteuti come: u u v v (6.4a,b) I ig. è rappresetata la deormaioe di u elemeto di lastra: i particolare è possibile osservare la relaioe tra gli abbassameti e la rotaioe φ e i compoeti dello spostameto i direioe di u puto P dati dalla (4a). Dalla secoda e dalla tera ipotesi di Kirco discede rispettivamete ce ε e γ γ, quidi, i base alle deiiioi (.6), le deormaioi possoo essere scritte come u ε ε k v ε ε k v u γ k γ (6.5a-c) φ φ Fig Coiguraioe assuta dalle ormali di ua lastra rettagolare appoggiata sui 4 lati soggetta ad u carico uiorme. A siistra visualiaioe i prospettiva, a destra proieioi ortogoali. 6.

3 essedo ε u ε v le deormaioi ei puti del piao medio della lastra e k φ k φ γ k G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie v u φ φ (6.6a-c) (6.7a-c) le curvature lessioali (k, k ) e torsioale (k ) del piao medio della lastra misurate rispettivamete el piao ed. I ig.4 è mostrata la coiguraioe assuta dalle ormali di ua lastra rettagolare appoggiata sui 4 lati soggetta ad u carico uiorme. ella proieioe sul piao è possibile osservare come le ormali disposte lugo la direioe abbiao rotaioi φ variabili sia rispetto all'ascissa, dado luogo a curvature lessioali (7a), sia rispetto all'ascissa, dado luogo a curvature torsioali (7c) (ad ecceioe di quelle apparteeti al piao di simmetria); aaloga osservaioe può essere atta el piao relativamete alla variaioe delle rotaioi φ lugo le direioi ed. Le deormaioi possoo essere quidi riassute ella seguete relaioe u ε ε k v ε ε k γ γ k v u (6.8) Osservado la (8) si ota ce le deormaioi della lastra risultao dipedere soltato dalle deormaioi el piao medio e dalla uioe. Le (), (4) e (6), a loro volta, mostrao ce le uioi u, v e relative alle lastre soo più semplici rispetto al caso geerico, poicé o è uioe di ed u e v vi dipedoo i modo lieare e legato alle derivate della uioe stessa. Equaioi costitutive I base alle ipotesi sempliicative, le tesioi ageti el piao possoo essere aaliate separatamete da quelle uori dal piao. Per la piccolea dello spessore, le equaioi costitutive (.-4) possoo essere scritte come el caso di stato di tesioe piao (.4) otteedo: ν ε E ν ε ν ε ν ε ν E γ ν τ τ ( ν ) γ ( ) (6.9,a,b) Come già detto, se utile, per eettuare ua stima approssimata delle deormaioi ε trascurate ell impostaioe del problema, alle (5) può essere aiacata l equaioe (.9d) relativa alle deormaioi di Poisso, qui riscritta: ν ε E ν ν ( ) ( ε ε ) (.9d) Utiliado le equaioi costitutive (9) e le equaioi di compatibilità (8) è possibile descrivere le tesioi i uioe degli spostameti u ν v E ν ν τ ν v u Le (), scritte per esteso, oriscoo (6.) 6.

4 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie E u v ν ν ν E v u ν ν ν τ E v u ( ν ) I assea di spostameti u, v le (b) si riducoo el modo seguete (6.b) ν ν E E ν ν τ E (6.c) ν Risultati elle direioi cartesiae el caso delle lastre, aalogamete al caso be oto delle travi, è coveiete operare co sollecitaioi risultati, ivece ce co le tesioi. I particolare tali risultati soo le ore e i mometi ad uità di lugea ageti sulle ormali (ig.5) e si ottegoo itegrado rispetto allo spessore della lastra, rispettivamete, le tesioi e i prodotti delle tesioi per le distae dal baricetro della ormale. Adottado ua coveioe dei segi aaloga a quella delle travi (ig.5), itegrado le tesioi ageti el piao si ottegoo le segueti ore ormali e di taglio ad uità di lugea ageti el piao stesso: d d τ τ (6.a-c) d d Itegrado le tesioi tageiale ageti i direioe si ottegoo le ore di taglio ad uità di lugea i direioe : T τ d T τ d (6.a,b) Itegrado le tesioi ageti el piao moltiplicate per la distaa dal baricetro della ormale si ottegoo i mometi letteti ad uità di lugea aveti assi paralleli al piao : d d (6.4a,b) Itegrado le tesioi tageiali ageti el piao moltiplicate per la distaa dal baricetro della ormale si ottegoo i mometi torceti aveti assi paralleli al piao (6.5) τ d τ d I base alle deiiioi (-5) e alla coveioe sui segi delle tesioi, i versi positivi dei risultati soo quelli mostrati elle ig.5 e 6, essedo opposti sulle acce opposte. I particolare, i mometi soo positivi soo etrati e i mometi se usceti. È opportuo otare ce l idice dei mometi si rierisce alla direioe della ormale della seioe ella quale agiscoo (o alla direioe della tesioe dalla quale soo otteuti) e o alla direioe del vettore ce li rappreseta. Come è ovvio, i risultati soo idipedeti dalla variabile. È opportuo, ioltre, sottolieare alcui aspetti ce diereiao il comportameto meccaico delle piastre da quello delle travi. Come detto, le sollecitaioi (-5) soo ore e mometi risultati ad uità di lugea, ageti su ciascua ormale e o i risultati ageti sull itera seioe della lastra, come accade per le travi. Se si divide la lastra i parti mediate ua seioe, ad esempio, di ormale, avete ascissa geerica, i risultati,, T,,, i geerale, soo variabili lugo la direioe. etre elle travi la determiaioe dei risultati ageti sull itera seioe permette poi di determiare le tesioi ageti i ciascu puto, el caso delle lastre ciò o è possibile, proprio percé i risultati (- 5) soo uioi della posiioe lugo la seioe. U altra dierea tra lastre e travi riguarda la presea del mometo torcete, ce si riscotra ace i assea di mometi torceti applicati. Ciò è Fig.6.5 Risultati ageti su u elemeto di lastra di dimesioi,, : a siistra sollecitaioi el piao, a destra uori dal piao. I versi positivi sulle acce opposte soo opposti i base alle (-5). T T 6.4

5 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie dovuto al atto ce, i geerale, come visto i ig.4, a seguito della deormaioe, seioi della lastra parallele tra loro si trovao ad avere curvature diereti ei piai coteeti l asse, trasmettedosi delle tesioi tageiali co distribuioi del tipo di quelle mostrate i ig.7 relativamete al cotoro. Equaioi di equilibrio Le equaioi di equilibrio ideiite della lastra possoo essere scritte i uioe dei risultati, cosiderado l equilibrio di u elemeto di dimesioi iiitesime d e d e altea iita (ig.6). I particolare possoo essere scritti sistemi di equaioi di equilibrio ce risultao idipedeti tra loro e ce descrivoo rispettivamete il comportameto della lastra per le sollecitaioi ageti el piao e uori dal piao: elle prime soo preseti le sole ore estere ed, ageti parallelamete al piao, elle secode tutte le ore i direioe verticale e i mometi m ed m. Per otteere le ore ageti sull elemeto di lastra, i risultati devoo essere moltiplicati per la largea della seioe sulla quale agiscoo (d o d), metre le aioi estere devoo essere moltiplicate per la supericie dd. Sommado tutte le ore ageti parallelamete al piao sull elemeto e dividedo per il prodotto dd (vedi Appedice A), le equaioi di equilibrio alle traslaioi oriotali elle direioi ed risultao rispettivamete: (6.6a,b) Poicé queste equaioi cotegoo esclusivamete le ore estere ed ageti parallelamete al piao, si deduce ce i risultati,, dipedoo solo dai carici el piao. Le equaioi di equilibro alla traslaioe verticale e alla rotaioe rispetto agli assi ed, soo rispettivamete: T T m T m T (6.7a-c) I queste equaioi appaioo esclusivamete le sollecitaioi ageti uori dal piao, cioè, m ed m da cui si deduce ce i risultati,,, T, T dipedoo soltato da tali carici. I mometi distribuiti m ed m preseti elle (7b,c) soo ovviamete sollecitaioi molto meo requeti delle ore distribuite. I assea di tali mometi, le (7b,c) possoo essere riscritte come segue T dado luogo alle segueti relaioi tra sori di taglio e mometi letteti: T T T (6.8a,b) (6.9a,b) Sostituedo le uioi T e T preseti ella (7a) co i mometi ed mediate le (9), si ottiee u ulteriore equaioe coteete solo i mometi: (6.) T T T T m T T T T T T T T Fig.6.6 Carici e risultati i equilibrio: a siistra equilibrio alla traslaioe i direioe, al cetro equilibrio alla traslaioe verticale, a destra equilibrio alla rotaioe attoro ad u asse parallelo all'asse (come mostrato i igura). 6.5

6 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie Relaioi tra risultati e spostameti Poicé, come detto precedetemete, ella soluioe del problema delle lastre è opportuo utiliare come icogite di soro i risultati (-5) piuttosto ce le tesioi, le equaioi costitutive () possoo essere utiliate per mettere i relaioe i risultati co gli spostameti. I particolare, itroducedo le tesioi i uioe degli spostameti tramite le () elle espressioi dei risultati (-5) e itegrado rispetto a (vedi appedice A), è possibile otteere le segueti relaioi relative ai risultati ageti el piao,, : E u v ν ν E v u ν ν e le segueti relaioi relative ai mometi,, : ( ν ) E v u (6.a-c) D ν D ν D ( ν ) (6.a-c) I base alle (9) e alle (a-c), ioltre, è possibile otteere le segueti relaioi relative ai risultati ageti uori dal piao T, T : T D T D Il attore /(ν) presete ella (c) è ricavato i base alle relaioe /(ν)( ν)/( ν ). A sua volta, D è la rigidea lessioale della lastra deiita come d ν E E D ν (6.d-e) (6.) Osservado ce ella () il termie / è il mometo di ieria ad uità di lugea della seioe, è acile otare l aalogia tra D e il prodotto EI della teoria delle travi, essedo I il mometo di ieria della seioe della trave rispetto all asse della lessioe. La presea del termie ( ν ) a deomiatore mostra ce, a parità di codiioi di carico e vicolo, le lastre ao ua rigidea lessioale leggermete maggiore rispetto alle travi, per eetto della deormaioe trasversale ce si geera. Le () mostrao ce i risultati,, soo legati esclusivamete alle uioi u, v, le quali, a loro volta, i base alle (6), risultao dipedere esclusivamete dai carici el piao ed. Le () mostrao ce i risultati,,, T, T soo legati esclusivamete alla uioe la quale, i base alle (7), risulta dipedere dalle sole aioi uori dal piao rappresetate dalla uioi, m ed m. Relaioi tra tesioi e risultati Le relaioi tra tesioi e risultati possoo essere otteute sostituedo elle relaioi tra le tesioi e gli spostameti (), le espressioi delle derivate di u, v e i uioe dei risultati stessi, ricavate dalle () e () (vedi Appedice A). Trascurado le sollecitaioi dovute ad, per i casi di sollecitaioi el piao e uori dal piao, si ottegoo rispettivamete le segueti relaioi: (6.4a,b) τ (6.5a-c) Le tesioi tageiale massime lugo dovute a T e T, ageti i corrispodea del baricetro della seioe, possoo essere otteute mediate la ormula di Jourask i modo aalogo al caso delle travi: τ T T τ (6.6d,e) Soluioe del problema uori dal piao Le equaioi dispoibili per la soluioe del problema uori dal piao soo adesso le equaioi di equilibrio (7-) e le relaioi tra risultati e spostameti (). Osservado ce le equaioi () mettoo i relaioe tutti risultati co la sola uioe, l obiettivo diviee quello di otteere u equaioe ella quale compaia come uica icogita tale uioe. Itroducedo, le espressioi dei mometi i uioe degli spostameti (a-c) ella () si ottiee la seguete equaioe diereiale ell uica icogita costituita dalla uioe degli spostameti verticali (,): 6.6

7 ce, ricordado la (.7), può essere riscritta come D L eq.(8), similmete alla (.55), è detta equaioe biarmoica. D G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie (6.7) 4 (6.8) Le codiioi al cotoro La soluioe completa del problema elastico rappresetato dalle (7,8) riciede ce la uioe rispetti le codiioi ciematice e meccaice al cotoro della lastra. Per studiare il comportameto al cotoro della lastra è ecessario, per prima cosa, itrodurre i ogi puto del cotoro stesso u sistema di coordiate i cui assi soo orietati elle direioi ormale e tagete al cotoro, e t, e ella direioe verticale, come mostrato i ig.7. I particolare, ua direioe di ormale geerica, ormate u agolo α co l asse, e la direioe t ad essa ortogoale possoo essere idetiicate mediate due versori e t deiiti come cosα siα siα cosα t (6.9a-b) Ovviamete ei casi particolari di cotori rettiliei disposti parallelamete agli assi ed, gli assi e t risultao ovuque coicideti co gli assi ed. Rotaioi e curvature i direioi geerica e al cotoro È opportuo ricordare le segueti relaioi tra le rotaioi delle ormali φ / ed φ / secodo assi cartesiai e le rotaioi φ e φ t, secodo assi e t icliati di u agolo α rispetto all asse (ig.7) φ φ t t (6.a-b) ce derivao dalle relaioi esisteti i geerale tra le derivate pariali di ua uioe i u puto e le derivate i direioi assegate e dalle relaioi tra le compoeti dei versori e t (9). Applicado la stessa regola di derivaioe alle () si ottegoo le relaioi tra le curvature della lastra elle direioi cartesiae e quelle elle direioi e t: φ k φ k t t ( ) t (6.a) (6.b) Per quato cocere l'aspetto ciematico, la presea di vicoli permette di imporre codiioi sugli spostameti e/o sulle rotaioi delle ormali, cioè sui valori assuti al cotoro dalla uioe e/o dalle sue derivate prime secodo le relaioi (), se i cotori ao ormali coicideti co le direioi ed, e () el caso geerale. t v t t α t Fig.6.7 Sistema di assi al cotoro e risultati ageti su seioe di ormale geerica. 6.7

8 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie Risultati i direioi geerica e al cotoro Le reaioi vicolari al cotoro soo costituite da sori di taglio, mometi letteti e mometi torceti ageti i direioe parallela ed ortogoale al cotoro stesso. el caso di cotori paralleli agli assi o, le reaioi vicolari ao moduli coicideti co quelli dei risultati otteibili mediate le (-5), metre i segi devoo essere attribuiti i modo opportuo; i particolare il sego coicide co quello dei risultati se i versi degli assi soo cocordi co quelli relativi alle reaioi vicolari e viceversa. Sempre el tal caso di cotori paralleli agli assi o, le codiioi al cotoro di tipo meccaico riguardao i valori assuti dalle derivate pariali di secodo e tero ordie della uioe i base alle relaioi (). Aioi itere simili a quelle descritte dalle (-5) relativamete a seioi di ormale parallela agli assi di rierimeto ed vegoo scambiate, come è ovvio, lugo seioi aveti qualsiasi direioe (ig.7). Cosiderado seioi di ormale geerica, ormate u agolo α co l asse, i risultati soo legati alle tesioi ageti i tali direioi mediate relaioi aaloge alle (-5). Per le sollecitaioi uori dal piao, si a d τ d T τ d (6.a-c) t t essedo t la direioe ortogoale ad come i ig.7. Cosiderado le relaioi esisteti tra le tesioi cartesiae e le tesioi ageti i direioe geerica, ad esempio le ( ), se i u puto soo oti i risultati ageti su seioi di ormale parallela agli assi coordiati, i risultati ageti elle direioi -t possoo essere otteuti come: T T T (6.) (6.4) ( ) ( ) (6.5) t Queste relaioi soo utili per la determiaioe delle reaioi ai cotori, el qual caso le direioi e t vao iterpretate come direioi ormale e tagete al cotoro stesso. Le relaioi tra le uioi, t e T e le derivate della uioe, aaloge delle (), i base alle (-5) e alle (), soo date ella seguete orma (vedi appedice A4): D ν t t D ( ν ) t (6.6a-b) D t T D t (6.7a-b) I base alla (b), le sollecitaioi torceti al cotoro t soo i mometi risultati di distribuioi di tesioi tageiali τ t, come si vede ell esempio di ig.8a. I geerale o è detto ce i vicoli al cotoro siao i grado di esplicitare distribuioi di tesioe di tal geere, come el caso dell esempio di ig.8b. I tal caso le reaioi vicolari soo costituite da coppie di ore di taglio ageti i direioe verticale come le T mostrate i ig.8a. Al ie di sempliicare l aalisi al cotoro, acedo appello al pricipio di equivalea di Sait-Veat, i geerale i mometi t possoo essere sostituiti da coppie di ore tageiali di tale tipo. Le ore di tali coppie si sommao dado luogo a ore T, dette ore di sostituioe o tagli di Kirco, poste i direioe i direioe verticale, ce possoo essere legate alla derivata della uioe t stessa i u modo simile alla relaioe tra taglio e mometo lettete elle travi (vedi ad esempio l'eq.8a, el caso e /): T t (a) t T T τ R τ (b) (6.8) Fig Problematice relative alle distribuioi di tesioi tageiali e alle ore di sostituioe e al cotoro. 6.8

9 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie I coseguea di ciò, la reaioe vicolare ad uità di lugea agete i direioe verticale risulta data dalla seguete somma di due compoeti R t t T (6.9) e le aioi sul cotoro possoo essere valutate mediate le sole compoeti (6a) ed R (9). I presea di variaioi brusce del mometo t lugo la direioe t, la distribuioe delle ore di taglio preseta u salto costituito da ua ora cocetrata data dalla dierea tra i mometi ageti prima e dopo la seioe. I particolare, salti del valore del mometo si veriicao i corrispodea di evetuali spigoli ai cotori. Se t ed t soo mometi ageti su due cotori ce ormao tra loro u certo agolo, i corrispodea dell agolo stesso, si a R (6.4) t t È importate otare ce il sego da attribuire ai mometi ella (4) deve essere determiato i base alla direioe dell aioe della ora di sostituioe ce viee geerata e o dalla coveioe dei segi dei risultati. I particolare, se gli spigoli ormao u agolo retto (ig.8) si deve cosiderare t t e la (6) si riduce a R (6.4) t I ig.8a è mostrato il caso di cotori paralleli agli assi ed, ormati u agolo retto. I questo caso per i cotori si a rispettivamete, t e, t. ell esempio riportato i igura i mometi ed i corrispodea dello spigolo ao verso positivo (vedi ig.5) e cotribuiscoo alla geeraioe di ua reaioe vicolare cocetrata R diretta verso l'alto di modulo pari alla somma dei mometi. el caso di carici diretti verso il basso queste reaioi tedoo ad impedire ce lo spigolo si sollevi, e viceversa; Ovviamete tali reaioi si possoo geerare se il vicolo è i grado di reagire co tale ora, come ell esempio mostrato. Sempre ell'esempio riportato, la uioe ce descrive i mometi lugo il lato di ormale varia liearmete i direioe e la uioe T risulta costate. Le relaioi tra le reaioi vicolari (9,4) e le derivate della uioe, aaloge delle (6-7), i base alle (6-8) e alle (a) e (7), soo date ella seguete orma (vedi appedice A4): R D ( ν ) t R D( ν ) t (6.4a-b) Si ricorda ce le gradee descritte dalle (6a), (4a,b) soo i risultati ageti sulla lastra i corrispodea dei vicoli per cui coicidoo co le reaioi vicolari i modulo, ma ao segi dipedeti dalla direioe della ormale della seioe su cui agiscoo, i base a quato mostrato i ig.5. Le codiioi ciematice e meccaice i corrispodea dei cotori dipedoo dalla atura dei vicoli esisteti, i particolare cotori icastrati: risultao ulle sia la uioe ce le sue derivate elle direioi e t, cotori appoggiati: risultao ulle la uioe, la sua derivata ella direioe t e il mometo, cotori liberi: risultao ulli la reaioe R e i mometi ed t. I particolare si a: Icastro φ Appoggio φ Libero φ φt t φt t φt t R R t t R R t t (6.4a-c) R Si deve otare acora ua volta ce le relaioi (6a) e (4a) permettoo di esprimere le codiioi relative alle relaioi vicolari (cioè e R ei casi appropriati), sotto orma di codiioi relative alle derivate della uioe. t 6.9

10 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie Piastra rettagolare appoggiata I questo paragrao si cosidera il caso della piastra rettagolare co i lati disposti parallelamete agli assi ed, rispettivamete di lugea a e b, vicolata sui 4 lati mediate appoggi. Assumedo assi ed coicideti co lati della piastra, le codiioi al cotoro, soo espresse dalle segueti relaioi, a, b (6.44) Poicé lo spostameto risulta ullo lugo ciascu cotoro, ace le derivate ella direioe parallela al cotoro stesso risultao ulle, per cui si a, a Dal atto ce i mometi (a,b) risultao ulli si ottiee ν, a ν, b, b I deiitiva, i base alle (44-46), le codiioi al cotoro della uioe soo, a (6.45a,b) (6.46a,b), a,, b (6.47), b Ai cotori agiscoo le reaioi (8b) e (4), ce, i questo caso, possoo essere riscritte come (6.48a,b) R ± D ( ν ) R D, a ± ( ν ), b (6.49a,b) ( ν ) R ± ± D [, ], [, b], [a, ], [a, b] (6.5) Carico siusoidale Ua soluioe dell eq.(,) importate el caso di piastre rettagolari appoggiate è quella relativa al carico trasversale descritto da ua uioe siusoidale elle variabili ed. Il carico trasversale siusoidale è descritto da u equaioe di questo tipo mπ π F a b si si (6.5) ella quale ed m soo due umeri iteri. I ig.9 è mostrato l adameto della uioe (5) per, ab, ei 4 casi di m, ed m, ed m, ed m. I questo caso la soluioe della (,) è data ella seguete orma: mπ π F si si a b C 4 4 π D ( m a) ( b) π D ( m a) ( b) (6.5) È acile veriicare ce la (5) rispetta le codiioi ai cotori (47-48). Come si vedrà ei paragrai successivi, sebbee u carico del tipo descritto dall eq.(5) o rappreseti i se casi di particolare utilità pratica, poicé è possibile approssimare bee distribuioi di carico di orma qualsiasi mediate ua serie di tali uioi (la serie doppia di Fourier), la soluioe di tutti questi casi è otteibile sruttado la soluioe (5) e il pricipio di sovrapposiioe degli eetti. 6.

11 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie a) b) Fig.6.9 Caso di lastra di dimesioi a, b: a) esempi di uioi siusoidali bidimesioali del tipo espresso mediate l eq.(5); b) carico uiormemete distribuito approssimato rispettivamete mediate 4,8,,6 termii della serie di Fourier. Itroducedo la costate K m, e la uioe s m, deiite come ( m a) ( b) K m, le (5) e (5) possoo essere riscritte più semplicemete come F s m, mπ π sm, si si a b Km, F s 4 π D m, (6.5,54) (6.55,56) Derivado opportuamete la (55) rispetto alle coordiate ed è possibile otteere le espressioi dei risultati, delle tesioi e delle deormaioi mediate le relaioi descritte ei paragrai precedeti. Carico geerico Come aticipato, ua qualsiasi uioe delle coordiate, deiita su u campo rettagolare di lati a e b e ce rispetta le codiioi al cotoro descritte dalle (47-48), può essere espressa mediate la serie doppia di Fourier così deiita F m, m, m (6.57) F s ella quale i coeicieti F m, possoo essere otteuti mediate la seguete relaioe 4 a b m, m, a b F s d d (6.58) aturalmete il carico può essere rappresetato i modo peretto mediate la (57) utiliado u umero iiito di termii, cioè per, ma buoe approssimaioi possoo essere otteute co u umero ragioevolmete limitato di termii, come mostrato elle ig.9- per vari casi di uioi. Sruttado il pricipio di sovrapposiioe degli eetti, la soluioe della (,), i base alle (5-57) diveta 4 π D m K F s (6.59) m, m, m, el seguito vegoo mostrati tre casi di particolare iteresse: il caso di carico uiormemete distribuito, il caso di carico uiormemete distribuito su u area limitata e il caso di carico cocetrato. Carico uiormemete distribuito el caso di carico distribuito uiormemete su tutta la supericie, di ampiea pari a F (ig.9b), i coeicieti della serie doppia di Fourier, otteuti mediate la (58), possoo essere espressi come F 6F π m m,,5... (6.6) m, 6.

12 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie Si oti ce i coeicieti co idice e/o m pari soo tutti ulli. Il carico, i base alle (57) e (58) assume questa orma: F 6F mπ π 6F s π si si m, m,,5... (6.6) m m a b π m m I ig.9b è mostrata l approssimaioe otteibile utiliado u umero limitato di termii della serie, i particolare ei casi di 4,8,,6. I base alle (59) e (6) la uioe diveta: 6F K 6 m, sm, π D m m m,,5... (6.6) Carico uiormemete distribuito su area rettagolare limitata U altro caso di iteresse è quello di carico distribuito uiormemete su u area rettagolare limitata, deiita el campo,, di ampiea (ig.a). I coeicieti della serie doppia di Fourier, otteuti mediate la (58), possoo essere espressi come 4F mπ mπ π π Fm, cos cos cos cos π a a b b m e la uioe diveta: 4F mπ mπ π π K s (6.6) cos cos 6 cos cos m, m, π D m a a b b m (6.64) Carico cocetrato el caso di carico cocetrato F, agete el puto P di coordiate P, P, i coeicieti della serie doppia di Fourier, otteuti mediate la (58), possoo essere espressi come e la uioe diveta: 4F mπ π Fm, si Psi P a b a b 4F mπ π K s a b D a b (6.65) 4 si P si P m, m, (6.66) π m a) b) Fig.6. Carici su lastra di dimesioi a, b approssimati mediate 8,6,, 65 termii della serie di Fourier: a) carico uiormemete distribuito sul rettagolo 7, 7 di ampiea uitaria; b) carico uitario cocetrato i meeria ( P5, P5). 6.

13 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie Espressioi geerali e determiaioe delle sollecitaioi I questo paragrao le relaioi geerali per la determiaioe della uioe e dei risultati per lastra appoggiata rettagolare soggetta a carico geerico approssimabile i serie doppia di Fourier soo riscritte i orma adatta ad u implemetaioe di calcolo umerico. È utile otare ce le costati (dipedeti dai umeri iteri m ed ) soo idicate co lettera maiuscola, metre le uioi (dipedeti dalle coordiate ed, oltre ce dai umeri iteri m ed ) soo idicate co lettera miuscola. Le prime equaioi utili per l'aalisi umerica soo le espressioe dei coeicieti K m,, delle uioi s m,, dei coeicieti F m, e del carico espresso i serie di Fourier F, qui riscritte: ( m a) ( b) K m, mπ π sm, si si a b (6.5,54) 4 a b m, m, a b F s d d F F, s, m m (6.58,57) m ell'aalisi della lastra, la (57) è utile solo per veriicare la correttea dell approssimaioe della uioe, i quato ella determiaioe della uioe e delle sue derivate soo ecessari i soli coeicieti F m, (58). aturalmete i coeicieti F m, possoo essere calcolati co la (58) el caso geerale e co le (6), (6) e (65) ei casi particolari di carico uiormemete distribuito, uiormemete distribuito su area limitata e cocetrato. Itroducedo i coeicieti G m, come G K F (6.67) la uioe (59) può essere riscritta come: m, m, m, 4 π D m G s (6.68) m, m, Le derivate della uioe Come detto, la determiaioe dei risultati () e (49-5) riciede il calcolo delle derivate di ordie e della uioe ce, i base alla (68), possoo essere espresse el modo seguete i j i j G s D (6.69) i j 4 m, i j m, π m A loro volta, le derivate di ordie da a di s m,, possoo essere otteute mediate le segueti espressioi: s A m, m s m, s B s m, m, s m, A B c c m m (6.7a-c) s A c s, m m m s A B c s m, m m (6.7d-e) B s c m, m m, A mb smc elle quali i coeicieti A m e B soo dati rispettivamete da e le uioi s e c soo deiite come s m A π m a m B π b (6.7-g) (6.7a-b) si ( A ) s si ( B ) c cos ( A ) c cos( B ) m La (54) può essere coveietemete riscritta come m s s s m, m m (6.7a-d) (6.7) 6.

14 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie I risultati Teedo coto delle espressioi delle derivate della uioe otteibili mediate le (7-7), utiliado le espressioi dei risultati i uioe di tali derivate () e (49-5), possoo essere otteute le segueti espressioi 4 m m m π m ( ν ),, 4 ( ν ) A B G s 4 m m m m π m ν 4 m m, m π m A B G c c m m, m, π m B A G s ( ), 4 ( ) T A A B G c s R ± A A B G c s m m, m π m T A B B G s c ( ν ), ± 4 ( ν ) 4 m m m m π m,a,a,b ( ν ) R ± G A B c c 4 π m R A B B G s c m π m m, m,b m, m m elle quali: i coeicieti A m, B soo deiiti elle (7a,b), le uioi s m, s, c m e c soo deiite elle (7a-d), le uioi s m, soo deiite ella (7), i coeicieti G m, soo deiiti ella (67), i coeicieti K m,, preseti ella (67), soo deiiti ella (5), i coeicieti F m,, preseti ella (67), soo deiiti ella (58) el caso geerale, e elle (6), (6), (65) per i casi descritti ei paragrai precedeti, aturalmete i valori di R ed R elle (74,g) ao sigiicato esclusivamete i corrispodea dei 4 lati, metre i valori di R, ella (74) i corrispodea dei 4 spigoli. È importate ricordare ce le reaioi otteute co le (74) ao i segi delle caratteristice di sollecitaioe, ce ao versi opposti sui bordi della lastra opposti. I particolare le R elle (74) risultao positive se rivolte verso l alto sul cotoro i e se rivolte verso il basso sul cotoro i a. Le R ao u comportameto aalogo. A loro volta, le R risultao positive verso l alto egli spigoli di coordiate, ed a, b, e verso il basso egli spigoli di coordiate a, e, b. Ricordado ce i segi delle reaioi vicolari devoo rispettare il verso dell'asse (ig.), per otteere il risultato corretto, è ecessario ivertire il sego di R i, quello di R i, quello delle R i [, ] ed [a, b]. Da otare ce, i base alle (4) e (5), la (74) può essere sostituita dalle segueti relaioi: R, R a, b R, b R (6.74i) a, Le tesioi più sigiicative possoo essere poi otteute mediate le (9). elle tabelle e soo riportate rispettivamete tutte le equaioi utili alla determiaioe di spostameti e risultati i ordie di impiego e le equaioi utili alla sola determiaioe delle costati della serie doppia di Fourier F m,. Il carico totale agete sulla lastra è dato ovviamete dall itegrale del carico ad uità di supericie esteso alla supericie della lastra. La valutaioe può essere eettuata sia sul carico eettivo ce su quello approssimato i serie di Fourier come F tot a b d d F tot a b d d (6.75,76) Il carico totale deve essere i equilibrio co la ora risultate delle reaioi vicolari ai cotori e sugli spigoli esprimibile come tot,, a a b, b b b a a R R d R d R d R d R (6.74a-) (6.77) 6.4

15 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie Am B π m a s si ( A ) m m cm cos ( Am ) π b s si ( B ) c cos( B ) s s s m, m ( ) ( ) Km, m a b 4 a b m, m, a b F s d d G F K,,, m m m 4 π D m G s m, m, 4 ( m ) A ν B Gm, sm, 4 ( B ν Am ) Gm, sm, π m π m ν 4 Am B Gm, cm c π m 4 ( m m ) m, m T 4 ( Am B B ) Gm, sm c π m π m T A A B G c s R A A B G c s ( ν ), 4 ( ν ) 4 m m m m π m ( ν ) R G A B c c 4 π m m, m m R A B B G s c m m, m π m R, R a, b R Tab.6. Tutte le costati e le uioi del problema delle lastre rettagolari appoggiate., b R a, F m, m, m F s Geerico Uiorme Distribuito su rettagolo Cocetrato F 4 a b m, m, a b F s d d F 6 π m m,,5... m, 4 mπ mπ π π cos cos cos cos π a a b b m 4F mπ π F, si P si P m a b a b m, Tab.6. Fuioi per la determiaioe del carico approssimato i serie di Fourier e delle costati della serie di Fourier. 6.5

16 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie APPEDICE A. Determiaioe delle equaioi di equilibrio Cosiderado la ig.6 (sotto riportata), i risultati di tutte le ore ad uità di lugea ageti su u elemetio di lastra di dimesioi d, d ed, elle direioi, e il mometo risultate agete rispetto ad u asse parallelo all'asse, passate per lo spigolo di coordiata, soo dati rispettivamete da: T T T T m T T T T T T T T Fig.6.6 Carici e risultati i equilibrio: a siistra equilibrio alla traslaioe i direioe, al cetro equilibrio alla traslaioe verticale, a destra equilibrio alla rotaioe attoro ad u asse parallelo all'asse (come mostrato i igura). F d d d dd d dd (A.) T T F T d d Td T dd Td dd (A.) T d d d dd d mdd T d dd T d d d T d d Td dd (A.) Eettuado la somma dei vari termii, dividedo per il prodotto dd per i tre casi e cosiderado ce per la tera equaioe possoo essere trascurati i segueti iiitesimi di ordie superiore T T d d ddd dd dd si ottegoo le (-). T T A. Relaioi tra risultati e spostameti La tesioe i uioe di è data dalla prima delle (): m T (A.4) (a,a,b) E u v ν ν ν le espressioi dei risultati legati alla, a loro volta, soo le (a) e (4a): (A.) d (A.-) d 6.6

17 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie Sostituedo la () elle () e () si ottiee rispettivamete E u v ν d ν d ν (A.4) E u v d d ν ν ν (A.5) Teuto coto del atto ce gli itegrali preseti elle (4-5) oriscoo d si ottegoo le (-). d (A.6) d A. Relaioi tra tesioi e risultati Le relaioi tra tesioi e risultati possoo essere ricavate esprimedo le derivate della uioe i uioe dei risultati mediate le () e () e sostituedole elle (). Ad esempio, utiliado le (a) e (a) E u v ν ν si ottiee u v ν ν E D ν sostituedo le espressioi otteute ella (a) si ottiee ν D (A.a,b) (A.a,b) E u v E ν ν ν ν ν E D iie, ricordado ce E D ν si ottegoo le (4a) e (5a) sitetiate ella seguete equaioe (A.) (A.4) (A.5) A4. Relaioi tra mometi e uioe spostameto al cotoro La relaioe tra mometi ageti secodo assi cartesiai e mometo agete su ua seioe di ormale al cotoro è espressa tramite l'eq.(4): (A4.) A loro volta, le relaioi tra i mometi, ed e la uioe soo espresse tramite le eq.(): D ν D ν D ( ν ) (A4.) Sostituedo le () ella () si ottiee D ν ν ( ν ) (A4.) 6.7

18 G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie da cui D ν Ricordado la deiiioe della curvatura i direioe geerica (a) (A4.4) k (A4.5) scrivedo l aaloga relaioe della curvatura ella direioe ortogoale t (b), teuto coto ce il versore della direioe t è espresso come t[ siα cosα ] T [ ] T (b), t k t e sostituedo i termii a destra della (5) e della (6) ella (4) si ottegoo le (6-7). (A4.6) A.5 Coroto tra le equaioi costitutive delle lastre e delle travi Le relaioi tra le curvature del piao medio della lastra misurate rispettivamete el piao ed e la uioe abbassameto soo date dalle (7a,b) k φ k φ (6.7a,b) el caso di piccoli spostameti, la relaioe tra la curvatura k i ua seioe di ua trave e il mometo lettete applicato è la be ota k /E I, ce, el caso di trave a seioe rettagolare di altea e largea b, diveta k E I b E el caso di trave co seioe di largea b si ottiee el caso della lastra, la relaioe aaloga è la (.a) k E (A5.) (A5.) D ν E k k ν ( ν ) dalla quale si ricava (A5.) ν k ν k e iie ν E k (A5.4) ν ν k (A5.5) E Questa relaioe mostra come, a parità di mometo lettete applicato, modulo di Youg e altea, la curvatura el piao risulta miore di quella di ua trave di largea b, per via dell'eetto Poisso. 6.8

19 k LASTRE Rotaioi φ, curvature k elle direioi, ed, t G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie φ φ φ φ t φ φ k k k φ φ t k t ( ) t Spostameti, u, v, u u φ u v v φ v ε ( ) Deormaioi u u v v v u v u ε γ ε ε k ε ε k γ γ k, CARICHI FUORI DAL PIAO Tesioi-spostameti Risultati-tesioi-spostameti Tesioi-risultati Coe. rigidea ν ν E ν ν τ T T E E ν d D ν d D ν d D ( ) m T τ ν T τ d D T τ d D Equaioi ideiite di equilibrio m T Equaioi risolutive D τ τ τ ometi e taglio su seioi di ormale - Reaioi vicolari su seioi di ormale e, ( ) ( t ) D ν t T T T E D ν T D 4 T T T R T D t t R ± D ( ν ) t ( ν ) t D ( ν ) t R ± D ( ν ) T D t R t D( ν ) t, a, b [, ], [, b], [a, ], [a, b] R, ± D ( ν ) 6.9

20 ε u G. Petrucci Leioi di Costruioe di accie CARICHI EL PIAO ε v γ v u tesioi-spostameti risultati-spostameti tesioi-risultati E u v ν ν E v u ν ν τ E v u E u v ν E v u d ν ν ( ν ) ( ν ) T Equaioi ideiite di equilibrio d ν E v u τ d T 6.