IL TEOREMA DEL TRASPORTO DI REYNOLDS

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1 IL TEOREMA DEL TRASPORTO DI REYNOLDS E consueto in Termodinamica e in Meccanica dei Solidi lavorare con un sistema, anche detto sistema chiuso, definito come una quantità di materia di identità fissata. In Meccanica dei Fluidi invece si fa spesso riferimento al il volume di controllo, anche detto sistema aperto, definito come una regione di spazio scelta per l analisi. Le dimensioni e la forma del sistema possono cambiare durante in processo, ma la massa non può attraversare i suoi confini. Il volume di controllo diversamente permette alla massa di fluire attraverso i suoi confini che sono delimitati dalla superficie di controllo. Può avvenire durante un processo che il volume di controllo si deformi e di conseguenza la superficie di controllo cambi forma, ma molte applicazioni prevedono volumi di controllo fissi e indeformabili. La Fig. 1 mostra sia un sistema che un volume di controllo nel caso di nebulizzazione di una vernice da una bomboletta spray. Figura 1: Due metodi per analizzare la nebulizzazione di una vernice da una bomboletta: (a) scegliamo il fluido cosi come si muove e si deforma. Questo è l approccio del sistema nessuna massa attraversa i confini del sistema e la massa totale del sistema rimane fissa. (b) Consideriamo un volume interno fisso alla bomboletta. Questo è l approccio del volume di controllo la massa può attraversare i confini del volume di controllo. Per analizzare il processo di nebulizzazione ci viene naturale considerare o una certa quantità di fluido (mobile e deformabile) cioè il sistema, o il volume contenuto all interno della bomboletta cioè il volume di controllo. Queste due descrizioni risultano identiche prima che sia avvenuta la nebulizzazione della vernice, ma quando una certa quantità di quest ultima viene scaricata nell ambiente esterno cambia qualcosa. L approccio del sistema considera la massa fuoriuscita come appartenete ancora al sistema e ne tiene traccia (arduo lavoro) in modo tale che la massa totale si conservi. Possiamo considerare concettualmente di connettere un palloncino all ugello della bomboletta spray e lasciare che questo si gonfi, la superficie interna del palloncino diviene parte dei confini del sistema. L approccio del volume di controllo diversamente non tiene conto della vernice uscita dal volume di controllo bensi solo delle sue proprietà nella zona di uscita stessa, facendo si che la massa al suo interno diminuisca durante il processo. L approccio del sistema tratta il processo di nebulizzazione come un espansione del volume del sistema, mentre l approccio del volume di controllo lo considera come uno scarico nell ambiente esterno, scarico che avviene attraverso la superficie di controllo fissa. La maggior parte dei principi della Meccanica dei Fluidi derivano dalla Meccanica dei Solidi, le cui leggi parlano di derivate nel tempo di grandezze estensive espresse per il sistema. E più conveniente in

2 Meccanica dei Fluidi lavorare con l approccio del volume di controllo e per tal motivo c è la necessità di relazionare i cambiamenti nel volume di controllo con i cambiamenti nel sistema. La relazione tra la derivata nel tempo di una grandezza estensiva per il sistema e per il volume di controllo è espressa dal Teorema del Trasporto di Reynolds (RTT), che fornisce il legame tra i due approcci (Fig 2.). Il Teorema RTT e stato determinato dall Ing. Osbourne Reynolds ( ) che fece molto per la sua applicazione in Meccanica dei Fluidi. Figura 2: Il teorema del trasporto di Reynolds (RTT) fornisce una connessione tra l approccio del Sistema e quello del Volume di controllo. La forma generale del Teorema del Trasporto di Reynolds può essere dedotta considerando un Sistema di forma arbitraria e che abbia interazioni con l ambiente esterno, ma tale approccio risulta più impegnativo. Per cogliere il significato alla base del Teorema lo dedurremo prima in maniera più elementare, usando una geometria più semplice e poi generalizzeremo il risultato ottenuto. Consideriamo un flusso da sinistra verso destra attraverso una porzione divergente del campo di moto come schematizzato in Fig. 3 Il confine superiore e quello inferiore sono costituiti da linee di corrente del flusso e assumiamo che tale flusso sia uniforme su ogni sezione trasversale tra le linee di corrente. Scegliamo il volume di controllo come fisso tra le sezioni (1) e (2) del campo di moto e in modo che tali sezioni siano ortogonali alla direzione del moto. In un certo istante iniziale il Sistema coincide col volume di controllo (area tratteggiata in Fig. 3), durante l intervallo di tempo il sistema si muove nella direzione del flusso a velocità uniforme nella sezione (1) e a velocita nella sezione (2), ed è indicato in Fig. 3 dalla zona con campitura. La regione che il Sistema per il suo movimento non occupa più è indicata con I (parte del Volume di Controllo), mentre quella nuova che ha occupato con II (parte che non appartiene al Volume di Controllo). Percui al tempo il Sistema consiste nello stesso fluido che occupa però la regione VC+I-II, il Volume di controllo è fisso nello spazio ed è rappresentato dalla zona a fondo rosa ed indicato con la dicitura VC.

3 Figura 3: Sistema mobile (regione con campitura) e Volume di Controllo fisso ( regione rosa) in una porzione divergente del campo di moto del flusso al tempo. I confini superiore ed inferiore sono linee di corrente. Sia una qualsiasi proprietà estensiva (massa, energia, quantità di moto, ecc.) e poniamo che corrisponde ad una proprietà intensiva. Poiché le proprietà estensive sono additive, la proprietà sistema al tempo t e può essere espressa come: del (il sistema e il volume di controllo coincidono al tempo t) Sottraendo la prima equazione dalla seconda e dividendo per t Operando il passaggio al limite per ed utilizzando la definizione di derivata: ovvero Poiché

4 e dove e sono le sezioni ortogonali nei punti 1 e 2. L equazione trovata afferma che le derivata temporale della proprietà del Sistema è uguale alla derivata temporale di del Volume di controllo più il flusso netto di dal volume di controllo per effetto dello scambio di massa attraverso la Superficie di Controllo. Questa è la relazione cercata poiché relaziona la derivata nel tempo di una proprietà del Sistema con la derivata nel tempo della stessa proprietà per il volume di controllo. Notare che l equazione trovata si applica in un qualsiasi istante di tempo in cui si assume che il sistema ed il volume di controllo coincidano. Il flusso entrante e il flusso uscente della proprietà in questo caso sono facilmente determinabili poiché c è un unica entrata e un unica uscita, e le velocità uniformi sulla sezione e ortogonali alla stessa. In generale si hanno diverse entrate ed uscite e la velocità potrebbero non essere ortogonali e uniformi sulle sezioni di scambio di massa. Per generalizzare il processo consideriamo una superficie di controllo ed indichiamo la normale uscente con, il flusso della proprietà attraverso è poichè il prodotto scalare fornisce la componente normale della velocità. Il flusso netto attraverso l intera superficie di controllo è determinato integrando (Fig. 4) Figura 4: L integrale di sull intera superficie di controllo fornisce l ammontare netto della proprietà che fluisce fuori dal volume di controllo (dentro il volume di controllo se negativo) nell unità di tempo.

5 Un importante aspetto di questa equazione e che automaticamente sottrae il flusso entrante da quello uscente come spiegato più avanti. Il prodotto vettoriale della velocità in un determinato punto sulla superficie si controllo con la normale nel punto considerato è dove è l angolo tra il vettore velocità e la normale uscente come mostrato in Fig. 5 Figura 5: Flusso di massa uscente ed entrante attraverso l area differenziale della superficie di controllo Per abbiamo e quindi per il flusso di massa uscente dal volume di controllo, e abbiamo e quindi per flussi di massa entranti nel volume di controllo. Percui la quantità differenziale è positiva per flussi uscenti e negativa per flussi entranti nel volume di controllo e il suo integrale sull intera superficie di controllo fornisce il flusso netto uscente della proprietà per effetto della massa uscente. Le proprietà all interno del volume di controllo potrebbero in generale variare da punto a punto, in tal caso l ammontare totale della proprietà all interno del volume di controllo deve essere determinato per integrazione: Il termine nell Eq. 1 è quindi uguale a che rappresenta la derivata temporale della proprietà contenuta nel volume di controllo. Un valore positivo di indica un incremento di contenuto,entre uno negativo una diminuzione. Sostituendo le Eq. 2 e 3 nell Eq. 1 si ottiene il Teorema del Trasporto di Reynolds anche conosciuto come: trasformazione dal sistema al volume di controllo per un volume di controllo fisso, Il volume di controllo non si muove e non si deforma nel tempo questo significa che il dominio di integrazione non varia nel tempo perciò la derivata temporale a secondo membro può essere portata sotto il segno di integrale, in altre parole non è rilevante se prima si deriva o prima si integra). La derivata temporale in questo caso deve essere espressa in termini di derivata parziale ( ) poiché la densità e la quantità potrebbero essere funzioni del punto all interno del volume di controllo. Una forma alternativa del teorema del trasporto di Reynolds nel caso di volume fisso è data da:

6 L Eq 5 è stata dedotta per un volume di controllo fisso, ma molte applicazioni pratiche come turbine ed eliche implicano volumi di controllo mobili. Fortunatamente l Eq. 5 è valida anche per volumi di controllo mobili e deformabili, ammesso che la velocità assoluta relativa, nell ultimo termine venga sostituita con la velocità dove è la velocità locale della superficie di controllo (Fig.6). Figura 6: La velocità relativa di attraversamento della superficie di controllo si determina dalla somma vettoriale della velocità assoluta del fluido e quella negativa della superficie di controllo. La forma generale del Teorema del Trasporto di Reynolds è quindi: Notare che per un volume di controllo che si muove e si deforma nel tempo, la derivata temporale deve essere eseguita dopo l integrazione come nell Eq. 6. Come semplice esempio di volume di controllo mobile consideriamo una macchinina che si muove a velocità costante d acqua ad alta velocità (velocità assoluta getto = 10 Km/h verso destra, un getto = 25 Km/h) la colpisce posteriormente facendola muovere (Fig. 7). Se disegniamo un volume di controllo intorno alla macchinina la velocità relativa è = 25-10=15 Km/h. Questa rappresenta la velocità con cui un osservatore che si muove con essa vedrebbe attraversare il volume di controllo dal getto o in altre parole rappresenta la velocita del fluido espressa relativamente al sistema ci coordinate mobile solidale al volume di controllo.

7 Figura 7: Teorema del Trasporto di Reynolds applicato ad un volume di controllo che si muove a velocità costante. Infine con l applicazione del teorema di Leibnitz, può essere mostrato che il teorema del Trasporto di Reynolds per il caso generale di volume di controllo mobile e deformabile (Eq. 6) è equivalente alla forma data dall Eq. 6 che viene qui ripetuta: dove però in contrasto con l Eq. 6 il vettore velocità nell Eq. 7 deve essere espresso rispeto al sistema di riferimento assoluto (sistema di riferimento fisso) nonostante si abbia un volume di controllo mobile. Nel caso di flusso stazionario, l ammontare della proprietà b all interno del volume di controllo rimane costante nel tempo e quindi la derivata temporale 4-44 diviene è pari a zero ed il Teorema del Trasporto di Reynolds si riduce a: Notare che diversamente dal volume di controllo, la proprietà contenuta nel sistema può cambiare col tempo durante un processo stazionario, ma in questo caso il cambiamento deve essere pari al trasporto netto della proprietà via massa attraverso la superficie di controllo (un effetto convettivo piuttosto che un effetto non stazionario). In molte applicazioni del RTT in ingegneria pratica, il fluido attraversa la superficie di controllo in un numero finito e ben definito di entrate ed uscite (Fig. 8), in questi casi è conveniente tagliare con la superficie di controllo direttamente sulle entrate e sulle uscite e sostituire l integrale di superficie con un espressione algebrica approssimata basata sui valori medi delle proprietà del fluido sulle sezioni formatesi col taglio operato per mezzo della superficie di controllo. Definiamo,,, i valori medi di, rispettivamente sulle sezioni di entrate ed uscita di area A ( cioè, ).

8 Figura 8: Un esempio di volume di controllo in cui c è una ben definita entrate (1) e due ben definite uscite (2 e 3). In questi casi l integrale sulla superficie di controllo nel RTT può più convenientemente essere scritta in termini dei valori medi delle proprietà del fluido che attraversa ogni entrata ed ogni uscita. Gli integrali nel RTT (Eq. 6) quando applicati si entrate ed uscite di area trasversale A, sono approssimati tirando fuori dal segno di integrale la proprietà e sostituendola col suo valor medio di sezione: dove è li flusso di massa attraverso l entrata o l uscita, relativo alla superficie di controllo mobile. Questa approssimazione in tal equazione è esatta quando la proprietà è uniforme sulla sezione trasversale di area A. L Eq 6 diviene dunque: In alcune applicazioni vorremmo riscrivere l Eq 9 in termini di flusso di volume piuttosto che di massa, in tali casi facciamo un ulteriore approssimazione, ovvero, questa approssimazione è corretta quando la densità del fluido è uniforme su, l Eq. si riduce a: Notare che queste approssimazioni semplificano enormemente l analisi ma potrebbero non essere sempre accurate, specialmente nei casi in cui la distribuzione della velocità sulla sezione di entrata o uscita no è perfettamente uniforme ( ad esempio nei tubi di Fig. 8). In particolare, l integrale sulla superficie di controllo dell Eq 7 diviene non lineare quando la proprietà contiene un termine di velocità (ad esempio quando applichiamo RTT all equazione del momento lineare, ) e l approssimazione nell Eq. 10 produce un errore. Fortunatamente possiamo eliminare l errore includendo un fattore di correzione nell Eq. 10. Le Eq. 9 e 10 si possono applicare sia ad un volume di controllo fisso sia ad uno mobile, ma (10)

9 come discusso precedentemente, nel caso di volume di controllo mobile deve essere utilizzata la velocità relativa nell integrale di superficie. Nell Eq. 9 ad esempio è relativo alla superficie di controllo mobile e per tal motivo viene posto a pedice la lettera. Forma alternativa del RTT dedotta con il Teorema di Leibnitz Grazie al teorema di Leibnitz è possibile dedurre una forma matematicamente più elegante del RTT. Probabilmente si è più famigliari con la versione monodimensionale di questo teorema, che ci permette di operare la derivata di un integrale i cui limiti di integrazione siano funzioni della variabile con cui si opera la derivata (Fig. 9): Il teorema li Leibnitz tiene conto del cambiamento dei limiti di integrazione a(t) e b(t) rispetto al tempo, allo stesso modo dei cambiamenti nel tempo per effetto della non stazionarietà dell integrando. Figura 9: Il teorema di Leibnitz monodimensionale è necessario per il calcolo della derivata temporale di integrali (integrando rispetto ad x) per i quali i limiti di integrazione sono funzione del tempo. Esempio 1: Teorema di Leibnitz Ridurre l espressione seguente il più possibile: Soluzione: Occorre determinare Analisi: Potremmo provare ad integrare prima per poi derivare, ma poiché l Eq. E1 nell esempio è della forma dell Eq. 11, usiamo il teorema di Leibnitz nel caso monodimensionale. Qui funzione del tempo in questo semplice esempio), i limiti di integrazione sono ( non è percui

10 Discussione: Trovare se possibile una soluzione senza l uso del teorema di Leibnitz. In tre dimensioni il Teorema di Leibnitz per un integrale di volume è dove è un volume mobile e/o deformabile (funzione del tempo) è la sua superficie limite e la velocità assoluta sulla superficie mobile (Fig.10). L Eq. 10 è valida per qualsiasi volume mobile e/o deformabile nello spazio in funzione del tempo. Per congruenza con l analisi precedente poniamo : Figura 10 : Il Teorema di Leibnitz tridimensionale è necessario quando si deve calcolare la derivata temporale di un integrale esteso ad un volume che si muove e/o si deforma nel tempo. Si evince che la forma tridimensionale del Teorema di Leibnitz può essere usata in una deduzione alternativa del Teorema del Trasporto di Reynolds. Se si applica il Teorema di Leibnitz al caso speciale di un volume materiale (un sistema di identità fissata che si muove col flusso) si ha ovunque sulla superficie materiale poiché questa si muove col fluido. Percui in questo caso è la velocità locale del fluido e l Eq. 13 diviene,

11 L Eq. 14 è valida in ogni istante di tempo. Definiamo il nostro volume di controllo tale che nell istante il volume di controllo e il sistema occupino lo stesso spazio, in altre parole siano coincidenti. Al tempo il sistema si è mosso e deformato, ma il volume di controllo potrebbe essersi mosso e deformato differentemente (Fig. 11). Figura 11: Il volume materia le (Sistema) ed il volume di controllo occupano lo stesso spazio al tempo t (area rosa), ma si muovono e si deformano differentemente, successivamente infatti non coincidono. La chiave sta nel fatto che al tempo il sistema (volume materiale) ed il volume di controllo sono la stessa cosa, quindi l integrale di volume a secondo membro può essere calcolato sul volume di controllo scelto e l integrale di superficie sulla superficie di controllo, si ha: Questa espressione è uguale a quella di Eq. 7 ed è valida per un volume di controllo di forma arbitraria mobile e/o deformabile al tempo. Occorre tenere a mente che velocità del fluido. nell Eq. 15 è il valore assoluto della

12 Esempio 2: Teorema del Trasporto di Reynolds in termini di velocità relativa Partendo dal Teorema di Leibnitz e con l utilizzo della forma generale del Teorema del Trasporto di Reynolds per un arbitrario volume di controllo mobile e deformabile (Eq. 15), provare che l Eq. 6 è valida. Soluzione: occorre provare l Eq. 6 Analisi: Applichiamo la versione tridimensionale del Teorema di Leibnitz, Eq. 15, ad un qualsiasi volume. Decidiamo di applicarlo ad un volume che sia mobile e/o deformabile differentemente rispetto al volume materiale (Fig. 11). Ponendo l Eq. 12 diviene: Esplicitiamo l Eq 15 rispetto all integrale del volume di controllo: Sostituendo l Eq. E2 nell Eq. E1 otteniamo: Combinando gli ultimi due termini e riarrangiando: Poiché la velocità relativa si ha: Discussione: L Eq. E5 è infatti identica all Eq. 6, e questo prova l eleganza e la potenza del Teorema di Leibnitz.