Isometrie Ad ogni simmetria delle Natura corrisponde una quantità conservata (Emmy Noether)

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1 Isoetrie Ad ogni sietria delle Natura corrisponde una quantità conservata (E Noether) Le isoetrie sono particolari affinità cioè trasforazioni lineari del piano in sé, che lasciano invariata la distanza fra punti. ono isoetrie le : 1) sietrie centrali; ) sietrie assiali; 3) traslazioni; 4) rotazioni; e tutte le loro cobinazioni. 1) ietria centrale DEF. ia P(, ) un punto del piano cartesiano e sia C(, ) il centro di sietria. Il punto P '( ', ') è per definizione il sietrico di P rispetto al centro C se e solo se C è il punto edio del segento PP. Deteriniao le equazioni di trasforazione di una sietria centrale. La condizione che lega le coordinate di P a quelle di P è dunque che il centro di sietria C sia il punto edio del segento PP. Le coordinate del punto edio di un segento sono le ben note: ' ' ;. Risolvendo queste ultie rispetto a e si ottengono le seguenti: C(, ) ' ' E. Trovare il sietrico del punto P(4, 5) rispetto al centro C(1, 3). ol. Utilizzando le (8.1) si ottiene rapidaente: P (, 1). Verifichiao che effettivaente C è il punto edio M del segento PP. M 4, 5 1 1,3 =C. IMPORTANTE E. Verificare che applicando volte la sietria centrale ad un punto P, si ottiene P = P. ol. Al prio passaggio si ottiene: P', ora a P devo applicare un altra volta la sietria centrale ossia cabiare di segno la sua e aggiungere e cabiare di segno la sua e aggiungere. Otteniao: P'' ( ), ( ) P, (8.1) 3/1/11 1 di 6

2 Le sietrie centrali sono trasforazioni particolari: applicate volte riportano ogni punto alla posizione iniziale. La trasforazione inversa di ogni sietria centrale si ottiene pertanto applicando di nuovo la sietria stessa. Le forule di una sietria e della sua inversa coincidono: -1 =. La sietria centrale è INVOLUTORIA E. Trovare l equazione della retta r sietrica di r: = + 1 rispetto al centro C(1,- 1). Verificare che applicando volte la sietria assiale a r si ottiene r r. ol. Per ricavarci l equazione della retta r dobbiao invertire le (8.1) rispetto alle vecchie coordinate e in odo poi da sostituirle nell equazione di r. i avrà dunque: ' 1 C(, ) (8.) ' La sostituzione associata ad una sietria centrale è dunque: (8.3) Applicandole all equazione di r si ottiene: ' ' 1 => ' ' 5. La retta trasforata è sepre parallela a quella data. Verifichiao che il punto C è anche equidistante dalle rette r ed r : dcr dcr' e trasforo di nuovo la r ottengo r : '' '' 5 => '' '' 1 r!! Riassuiao i risultati ottenuti in un grafico. 3/1/11 di 6

3 Ricerca dei punti uniti e delle rette unite i) Punti uniti DEF. Un punto del piano P si dice UNITO rispetto ad una trasforazione T se e solo se coincide con il suo trasforato P. Andiao allora alla ricerca dei PUNTI UNITI di una sietria centrale iponendo ciò che dice la definizione ossia = e =. Ciò ci conduce alla risoluzione del sistea: (8.4) La soluzione di questo sistea perette di trovare i punti uniti di una sietria centrale. La soluzione si trova facilente. L unico punto unito è il centro C(, ) coe c era da iaginarsi visto che se cerchiao il sietrico di C rispetto a se stesso otteniao ancora C. ii) Rette unite DEF. Una retta r del piano si dice UNITA rispetto ad una trasforazione T se e solo se coincide con la sua trasforata r. Pria di trovare le rette unite proviao ad utilizzare l intuito. Quali sono quelle rette che a seguito di una riflessione rispetto al centro C non cabiano? Non è difficile convincersi del fatto che sono tutte e sole quelle che passano per C stesso ossia tutte le rette del fascio proprio di centro C. Per diostrarlo facciao i calcoli. Applichiao una trasforazione di sietria centrale alla retta r e otteniao r, poi iponiao che r coincida con r. r : q r ': ' ' ' q' r r ' i. Centrale C(, ) 3/1/11 3 di 6

4 Procediao coe nell esepio precedente sostituendo al posto di e di r le loro espressioni derivate dalle (8.). i ottiene: r ': ' ( ' ) q Iponendo che r = r troviao la condizione su q: q e quindi sostituendolo nella retta r otteniao: ( ) Che è proprio il fascio di rette di centro C coe avevao previsto. Ogni retta del fascio proprio di centro C è RETTA UNITA rispetto ad una sietria centrale di centro C. In conclusione possiao dire che: Ogni sietria CENTRALE ha 1 solo punto unito, il centro C, ed infinite rette unite, tutte quelle del fascio proprio di centro C. ' E. Trovare i punti uniti e le rette unite della trasforazione T:. ' 4 Disegnare la retta r sietrica di r: = 1. ol. La trasforazione T è una sietria centrale di centro C( 1,) per cui esiste un unico punto unito C( 1,) entre le rette unite sono quelle del fascio proprio ossia di equazione = ( + 1). La trasforata di r è dopo facili calcoli r : = + 3. Riassuiao tutto in un grafico. 3/1/11 4 di 6

5 ietria centrale rispetto all origine O(,). e prendiao coe centro di sietria l origine degli assi O(,) si ottengono allora le seguenti seplici equazioni di trasforazione: ' C(,) (8.5) ' E. Il sietrico rispetto all origine del punto P(3, ) è P ( 3, ). La retta sietrica di r: =3 si ottiene sepliceente cabiando i segni di e ; r : = 3 => = 3 +. Diao ora un ultia definizione. DEF. Una curva del piano cartesiano si dice DIPARI se essa è sietrica rispetto all origine degli assi. In altre parole essa non deve cabiare se la sua equazione viene trasforata secondo le (8.5). Per quanto già detto, le rette del fascio di centro l origine di equazione = sono rette unite (ossia proprio quelle che non cabiano sotto la sietria (8.5)) e quindi sono tutte DIPARI. Infatti per le trasforate si ottiene: = ( ) => = che sono uguali alle originali. Tutte le curve rappresentabili con polinoi di grado 5 3 dispari, es. 4, sono DIPARI. Infatti per la trasforata si ottiene: 5 3 ' 4( ') ( ') ( ) che è uguale all originale. Un esepio di 3 curve dispari 3/1/11 5 di 6

6 INVARIANTI di una sietria CENTRALE Altro tea di grande iportanza è la ricerca degli invarianti di una trasforazione geoetrica ossia di quelle quantità nueriche o proprietà geoetriche degli oggetti (punti, rette, figure piane, ecc. ) che non utano a seguito della trasforazione. Quali sono gli invarianti di una sietria centrale? 1 Invariante. L angolo fra rette. Dagli esepi fatti in precedenza, abbiao visto che la trasforata di una retta r è una retta r parallela ad essa. Detto in altri terini se trasforiao una retta qualunque otteniao sepre un altra retta parallela a quella di partenza. Da questo si deduce che se due rette r ed s forano un certo angolo allora anche le loro trasforate r ed s forano lo stesso angolo. Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni sietria CENTRALE conserva gli angoli Diostriao tale afferazione. Prendiao una retta generica di equazione r: a + b + c = e applichiao una sietria centrale le cui equazioni sono le (8.1). Otteniao la trasforata: r : a( ' ) b( ' ) c Notiao che i coefficienti di e sono stavolta a e b che possono essere trasforati in positivo oltiplicando tutto per 1. Dunque anche la retta r è parallela alla retta r perché ha lo stesso coefficiente angolare dato da: = a/b. E. Trovare le trasforate di r: = 3 e s: = + 1 rispetto ad una sietria centrale di centro C(1, ) e disegnarle. Verificare anche graficaente che l angolo forato dalla coppia di rette r ed s è uguale all angolo ' forato dalle rette trasforate r ed s. ol. Coe al solito applichiao le (8.) (inverse delle (8.1)) e troviao: r : = + 3 s : = + 5 L angolo ' = perché r//r ed s//s. Disegniao le due coppie di rette r, s; r, s. Coe si può vedere i due angoli indicati entrabi con sono uguali. 3/1/11 6 di 6

7 Y Prof. Roberto Fantini Invariante. La distanza fra punti. L altro iportante invariante è la distanza fra punti. iano P1, 1,, punti del piano cartesiano e P' ', ', ' ', ' Q due 1 1 Q i due punti trasforati secondo la sietria centrale (8.1). Vediao se e coe cabia la loro distanza: ' ' ' ' 1 1 P' Q' PQ (8.6) Quindi la distanza fra due punti è un invariante sotto questa particolare trasforazione. Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni sietria CENTRALE conserva le distanze Coe conseguenza diretta di ciò abbiao che la sietria centrale trasfora le figure geoetriche (triangoli, quadrati, rettangoli, parallelograi, trapezi ecc.) in figure geoetriche congruenti! Una trasforazione che lasci invariata la distanza fra punti si chiaa IOMETRIA (dal greco iso=stessa etria=distanza). La sietria centrale è una IOMETRIA (diretta). X Y A 1 1 B 3 3 C 4 9 A' -1-1 B' -3-3 C' -4-9 Esepio di un triangolo di vertici A(1,1), B(3,3) e C(4,9) ed il suo sietrico rispetto all origine. i può notare che sono congruenti. Riflessione rispetto all'origine 1 5 X /1/11 7 di 6

8 ) ietria assiale DEF. Due punti P e P sono sietrici rispetto alla retta r, detta asse di sietria, se e solo se la retta r è l asse del segento PP. In un sistea di riferiento cartesiano ortogonale, si vogliono deterinare le equazioni di trasforazione di una sietria assiale. ia r: =+q la retta asse di ' ' sietria e sia P(, ) il punto di cui si vuole deterinare il sietrico P'(, ) rispetto a tale retta. econdo la definizione, P è il sietrico di P rispetto alla retta =+q se essa è l asse del segento PP. Il punto P deve stare quindi sulla retta s passante per P e perpendicolare ad r; inoltre il punto H d incontro fra la retta r ed s ' ' deve essere il punto edio del segento PP, ossia H,. Procediao dunque a deterinare la retta s che passa per P ed è perpendicolare a r. Essa avrà equazione: 1 s : ( ) (8.7) Intersechiao ora la retta r con la retta s per trovare le coordinate di H. Avreo: q q H 1 H 1 H (8.8) ( ) q H 1 Coe già detto, P deve appartenere alla retta s, ed H deve essere il punto edio del segento PP. i avranno così le equazioni iplicite di trasforazione rispetto ad una sietria assiale. ' q 1 (8.9) ' 1 ' ( ) Risolte rispetto a ' e ', dopo facili calcoli, si ottiene: ' (1 ) q 1 ' ( 1) q 1 (8.1) 3/1/11 8 di 6

9 Essendo P(, ) un punto qualunque del piano, possiao togliere l indice ed otteniao le forule generali per una sietria assiale rispetto alla retta =+q: q (1 ) q ' 1 (1 ) q ' 1 (8.11) Le equazioni (8.11) possono essere riscritte tenendo conto che il coefficiente angolare dell asse di sietria =+q può essere espresso in terini dell angolo che esso fora con l asse delle ascisse. La scelta di chiaare quest angolo, avrà presto una spiegazione. i ha cioè: tg. ostituendo tale espressione nella (8.11) ed utilizzando le forule paraetriche: 1 tg cos 1 tg (8.1) tg sin 1 tg si ha infine: ' (cos ) (sin ) (sin ) q (8.13) tan q ' (sin ) (cos ) (1 cos ) q cos sin La (8.13) è un affinità con deterinante Det( A) 1. Essa è quindi sin cos un isoetria contraria poiché Det(A) = -1 e A T = A -1, coe doveva essere in quanto sietria assiale. Operando con una sietria assiale ripetuta due volte si genera l identità, ossia si riporta il punto P in se stesso (involuzione). Questo succede perché la atrice della trasforazione è sietrica e quindi: A = A T = A -1. A P P (8.14) ' 1 T A A A 3/1/11 9 di 6

10 EEMPIO Vediao ora coe poter trovare le equazioni di trasforazione di una sietria assiale in un caso concreto senza doverci ricordare le forule (8.11). Prendiao coe asse di sietria la retta r: = +1 e siano P(, ) e P '( ', ' ) il punto originale ed il suo trasforato. I Metodo. Operiao nel odo seguente: a. Iponiao che il punto edio di PP appartenga alla retta r. b. Iponiao che la retta passante per PP sia perpendicolare a r. c. Risolviao il sistea deterinato dalle due condizioni a. e b. ' ' a. 1 ' b. 1 ' ' ' 1 ' 1 c. la cui soluzione è: ' 1 ' 1 ' II Metodo. Operiao nel odo seguente: d. criviao la retta s perpendicolare a r e passante per P. e. Intersechiao s con r e deteriniao H. f. Iponiao che H sia il punto edio di PP. a. = ( ) 1 H b. r s ==> H 1 H ' 1 ' ' c. H, ==> ' 1 la cui soluzione è: ' 1 ' 1 III Metodo. Operiao nel odo seguente: a. Iponiao che la retta PP sia perpendicolare a r. b. Iponiao che la distanza di P da r sia = alla distanza di P da r (asse). c. Risolviao il sistea con le condizioni precedenti. 3/1/11 1 di 6

11 ' a. 1 ' 1 ' ' 1 b ' 1 ' c. 1 ' ' ==> ' 1 ' 1 Il sistea c. si spezza in due, uno dei quali è banale perché fornisce coe trasforato di P, P stesso e quindi va scartato. i può diostrare che se prendiao coe asse di sietria la retta r: = +q allora la trasforata di s: = c + k è: c c c 1 q cq k(1 ) (8.15) Questo diostra che una coppia di rette parallele (stesso c) viene trasforata in un altra coppia di rette parallele. E. Deterinare il sietrico di P(3, 1) e della retta s: = 1 rispetto alla retta (asse di sietria) r: = +1. ol. Utilizzando le equazioni appena calcolate: ' 1. Troviao subito: P (, 4) entre per s : +1= ( 1) 1=> = /. ' 1 Disegniao i risultati ottenuti. 3/1/11 11 di 6

12 E. Deterinare le equazioni della sietria assiale di asse r: = 1. ol. Procediao coe nel caso precedente. a. retta s : = 1/( ) b. H => H ' ' c. H, Uguagliando le due espressioni di H ricavate in b. e c. si ottiene: ' ' IMPORTANTE E. Verificare che applicando volte la sietria assiale rispetto alla retta r:=+1 ad un punto P, si ottiene P = P. ol. Al prio passaggio si ottiene: P' 1, 1. Adesso a P devo applicare un altra volta la sietria assiale ossia: la nuova ascissa è la vecchia ordinata diinuita di 1; la nuova ordinata è la vecchia ascissa auentata di 1. Otteniao perciò: i,. assiale i ' 1, 1. assiale P P P'' ( 1) 1, ( -1) 1 P, asse: 1 asse: 1 Questa proprietà è caratteristica di tutte le sietrie assiali. Le sietrie assiali (coe quelle centrali) sono trasforazioni particolari: applicate volte riportano ogni punto o ogni retta nella situazione iniziale. La trasforazione inversa di ogni sietria assiale si ottiene pertanto applicando di nuovo la sietria stessa. Le forule di una sietria e della sua inversa coincidono: -1 =. La sietria assiale è INVOLUTORIA Essendo involutoria, le equazioni della sietria assiale diretta coincidono con quelle della inversa. La sostituzione associata ad una sietria assiale è dunque: (1 ) q 1 (8.16) (1 ) q 1 3/1/11 1 di 6

13 IMPORTANTE E. Verificare che applicando sietrie assiali rispetto a rette perpendicolari si ottiene una sietria centrale con centro il punto d incontro degli assi di sietria (Questa diostrazione è stata fatta in Appendice 1 con DERIVE). iano per esepio gli assi a 1 : = 3 4 e a : = 1/3 + 1 e sia P(3, ) il punto da trasforare rispetto agli assi. ol. Per pria cosa scriviao le equazioni di trasforazione rispetto ad a 1 ed a ' ' 5 5 a, 1 a ed applichiao le sietrie: ' ' P ', 5 5, P'', 1. Il punto d incontro fra gli assi è C( 3/, 1/). criviao la sietria centrale rispetto a C: ' 3 C e quindi il sietrico di P rispetto al centro di sietria C è: ' 1 P *, 1 P coe si voleva diostrare Ricerca dei punti uniti e delle rette unite Per ricercare i PUNTI UNITI di una sietria assiale generale risolviao il sistea: (1 ) q 1 (8.17) (1 ) q 1 q Facilente si trova che il sistea si riduce a equazioni identiche:. q Possiao concludere che esistono infiniti punti uniti tutti appartenenti all asse di sietria detta RETTA DEI PUNTI UNITI. In conclusione: Ogni sietria AIALE ha 1 sola retta dei punti uniti: l asse di sietria. 3/1/11 13 di 6

14 INVARIANTI di una sietria AIALE Quali sono gli invarianti di una sietria AIALE? 1 Invariante. Il paralleliso fra rette. Dagli esepi fatti in precedenza, abbiao visto che la trasforata di una retta r è una retta r NON parallela ad essa. Ma se prendo due rette r ed s che forano un certo angolo, e le trasforo con una sietria assiale in r ed s, allora anche l angolo fra r ed s è ancora. La diostrazione procede in odo seplice da considerazioni di geoetria euclidea sintetica. Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni sietria AIALE conserva gli angoli Invariante. La distanza fra punti. L altro iportante invariante è la distanza fra punti. iano P1, 1,, punti del piano cartesiano e P' ', ', ' ', ' la sietria assiale 1 1 Q due Q i due punti trasforati secondo ' 1. Vediao se e coe cabia la loro distanza. ' 1 P' 1, 1 Q' 1, 1. Dunque: I trasforati di P e Q sono i punti e P' Q' 1 ( 1) ( 1 ( 1)) ( ) PQ Quanto abbiao visto in questo esepio particolare può essere generalizzato ad ogni sietria assiale: la distanza fra due punti è un invariante. Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni sietria AIALE conserva le distanze Coe conseguenza diretta di ciò abbiao che la sietria assiale trasfora le figure geoetriche (triangoli, quadrati, rettangoli, parallelograi, trapezi ecc.) in figure geoetriche congruenti! Cabia solo il verso di percorrenza dei vertici: se i vertici ABC di un triangolo sono in ordine sinistrorso (orario) i vertici A B C del triangolo sietrico sono in ordine destrorso (antiorario) coe in uno specchio. Per questo otivo le sietrie assiali sono dette anche speculari, coe se al posto dell asse di sietria ci fosse uno specchio. La sietria assiale è una IOMETRIA (contraria) 3/1/11 14 di 6

15 Y Prof. Roberto Fantini X Y A 1 1 B 3 3 C 4 9 A' -1 1 B' -3 3 C' -4 9 Riflessione asse Y Esepio di un triangolo di vertici A(1,1), B(3,3) e C(4,9) ed il suo sietrico rispetto all asse Y. i può notare che sono congruenti X Consideriao infine qualche seplice caso a di particolare interesse 1) Asse. Poniao nella (8.13) (=) e q=. i ottengono le equazioni di trasforazione per la sietria rispetto all asse. ' ' (8.18) E. Il sietrico rispetto all asse del punto P(3, ) è P (3, ), entre la sietrica di r: = 3 è r : = 3 + La retta unita è l asse stesso. 1 bis) Retta parallela all asse. ia ora (= e q=q). i ottengono le seguenti equazioni di trasforazione per la sietria rispetto alla retta di equazione =q. q ' ' q E. Il sietrico rispetto alla retta = del punto P(6, 1) è P (6, 3). (8.19) 3/1/11 15 di 6

16 ) Asse. ia ora (-> e q=). i ottengono le equazioni di trasforazione per la sietria rispetto alla retta di equazione =. ' ' (8.) E. Il sietrico rispetto all asse del punto P(3, ) è P ( 3, ), entre la sietrica di r: = 3 è r : = 3 La retta unita è l asse stesso. bis) Retta parallela all asse. ia ora (-> ). i ottengono le seguenti equazioni di trasforazione per la sietria rispetto alla retta di eq. =k. k ' k ' E. Il sietrico rispetto alla retta =3 del punto P(5,1) è P (1,1). La retta unita è l asse stesso ossia =. (8.1) 3) Bisettrice I-III quadrante. (=1 e q=). i ottengono le 4 equazioni di trasforazione per la sietria rispetto alla retta di equazione =. ' ' (8.) E. Il sietrico rispetto alla bisettrice I-III quad. del punto P(3,) è P (,3) entre la sietrica di r: = 3 è r : = 3. La retta unita è l asse stesso ossia =. Notare che la sietria rispetto alla bisettrice si riduce a scabiare con e viceversa. Ciò sarà olto iportante quando cerchereo di deterinare il grafico delle funzioni inverse ) Bisettrice II-IV quadrante. (= 1 e q=). i ottengono le 4 equazioni di trasforazione per la sietria rispetto alla retta di equazione =-. ' ' (8.3) E. Il sietrico rispetto alla bisettrice II-IV quad. del punto P(3,) è P (-,-3). 3/1/11 16 di 6

17 5) Retta per l origine. q=. i ottengono le equazioni di trasforazione per la sietria rispetto ad una retta qualunque di equazione =. ' (cos ) (sin ) tan ' (sin ) (cos ) (8.4) Dalla (8.4) si può notare che l asse di sietria = è bisettrice dell angolo POP forato dal punto P(,), l origine O(,) e dal suo trasforato P (, ). Infatti se trasforiao per es. il punto P(1,) sull asse delle, otteniao P ( cos, sin ) che fora un angolo rispetto all asse delle e, dato che la retta = fora un angolo con lo stesso asse ( tg ), essa ne è la bisettrice. Dalle (8.4) e dalle (8.1) è facile verificare che la retta unita sia proprio l asse di sietria =. In odo ancora più seplice, ciò si può dedurre dalle (8.11). E. Il sietrico rispetto alla retta = del punto P(3,) si ottiene dalla (8.11) sostituendo al posto di e al posto di q; ossia: 3 4 ' ' 5 5 che fornisce le coordinate: P (-1/5, 18/5). La retta unita è l asse stesso ossia =. CURVE PARI DEF. Una curva del piano cartesiano si dice PARI se essa è sietrica rispetto all asse. In altre parole essa non deve cabiare se la sua equazione viene trasforata secondo le (8.5). 6 4 Tutte le curve rappresentabili con polinoi di grado pari (es ) sono PARI. Infatti per le trasforate si ottiene: che sono uguali alle originali. 6 4 ' 4( ') 3( ') ( ') 1 Due esepi di curve pari 3/1/11 17 di 6

18 ietrie assiali e centrali in Natura e nell Arte 3/1/11 18 di 6

19 3) Traslazioni Le traslazioni non sono sietrie a sono le più seplici trasforazioni che si possono operare in un piano cartesiano. Traslare un punto P(,) significa sepliceente spostarlo lungo di una quantità e lungo di un altra quantità. V, è data da: Le equazioni di trasforazione di una traslazione di vettore T V (, ) ' ' (8.6) E. Del punto P(, 3) deterinare le coordinate del punto P traslato di P del vettore V(1, ). In secondo luogo deterinare la retta r traslata di r: = + 3. ol. Per P si ha: P ( +1, 3+) => P ( 1, 5). Per ricavarci r invertiao le (8.6) sostituendo le coordinate accentate in r. 1 ' T V (, ) (8.7) ' Per r si avrà dunque: = ( 1) + 3 => = + 7. Coe si può ben capire la traslazione non è involutoria in quanto applicando volte la stessa trasforazione si ottiene un punto traslato di una quantità doppia rispetto all originale. E. Traslare il fascio di rette proprio F: = del vettore, ol. Per trovare F applichiao le (8.7). i ottiene: ' ' F : V. 3/1/11 19 di 6

20 che è la ben nota equazione del fascio proprio di centro C(, ), che non è altro che il traslato dell origine O(, ) ossia il vecchio centro del fascio =. Dalle (8.7) si ottiena la sostituzione associata ad una traslazione di vettore v(, ): (8.8) i) Punti uniti A parte la traslazione banale di vettore V(,), la traslazione non ha punti uniti perché appunto tutti i punti vengono spostati di una certa quantità lungo e/o lungo. Infatti risolvendo l orai noto sistea: Ricerca dei punti uniti in una traslazione L unica soluzione sarebbe quella banale V(,). ii) Rette unite Andiao ora alla ricerca delle rette unite. Coe al solito deteriniao la nuova retta r trasforata di r: = + q e iponiao che siano uguali. Utilizzereo ovviaente le (8.7). r ': ' ( ' ) q => (r r) => q q =>. Coe interpretare questa soluzione? E abbastanza seplice rendersi conto che tutte le rette unite di una traslazione di vettore V, sono solo quelle il cui coefficiente angolare è ossia proprio quelle che hanno la stessa direzione () del vettore V,. Infatti se trasliao una retta lungo la sua direzione, essa non viene alterata. In sintesi: Ogni TRALAZIONE non ha punti uniti a ha infinite rette unite, tutte quelle del fascio iproprio di rette parallele alla direzione individuata dalla traslazione Le rette unite sono tutte quelle parallele alla retta OV, dove O è l origine e V il vettore traslazione. 3/1/11 di 6

21 INVARIANTI di una TRALAZIONE 1 Invariante. L angolo fra rette. Dagli esepi fatti in precedenza, risulta chiaro che la trasforata di una retta r è una retta r parallela ad essa. Da questo si deduce che se due rette r ed s forano un certo angolo allora anche le loro trasforate r ed s forano lo stesso angolo. Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni TRALAZIONE conserva gli angoli Invariante. La distanza fra punti. iano P1, 1, Q, due punti del piano cartesiano e P' ' 1, ' 1, Q' ', ' i due punti trasforati secondo la traslazione (8.6). Vediao che la loro distanza non cabia: ' ' ' ' P' Q' = PQ 1 1 Anche le traslazioni lasciarono la distanza fra punti invariata. D altro canto nessuno si è ai eravigliato che la nostra auto sia lunga uguale se isurata nel nostro parcheggio di casa o in quello presente in piazza. Ogni TRALAZIONE conserva le distanze La traslazione è una IOMETRIA (diretta) (8.9) IMPORTANTE E. Verificare che applicando in sequenza sietrie CENTRALI di centri rispettivaente C (, ) e C 1 ( 1, 1 ) si ottiene una TRALAZIONE di vettore V([ 1 ], [ 1 ]). ol. ia P(, ) il punto da trasforare. Alla pria sietria si ottiene: P ( +, + ). Alla seconda sietria si ottiene: P ( ( + ) + 1, ( + )+ 1 ) = P ( +( 1 ), +( 1 ) ) Che è proprio il traslato rispetto di P di un vettore V([ 1 ], [ 1 ]). 3/1/11 1 di 6

22 4) Rotazioni Le equazioni di una rotazione di angolo e centro l origine sono: R O(,) ' cos sin ' sin cos (8.3) E. Del punto P(, 3) deterinare le coordinate del punto P ruotato dell angolo =45. In secondo luogo deterinare la retta r ruotata di r: = + 3. ol. Per P si ha: 5 ' 3 P' ' 3 Per ricavarci r invertiao le (8.6) sostituendo le coordinate accentate in r. 1 'cos 'sin R O(,) (8.31) 'sin 'cos Per r si avrà dunque: 1 'cos 'sin R O(,) 'sin 'cos ' ' ( ' ' ) 3 eplificata fornisce. r : = /3 +. 3/1/11 di 6

23 Coe si può ben capire la rotazione non è involutoria a eno che non si ruoti di 18 o un suo ultiplo. Le (8.31) sono anche le equazioni della: sostituzione associata ad una rotazione di vettore angolo α: cos sin sin cos (8.3) truttura di gruppo delle isoetrie (G, o) è un gruppo se sono verificate le seguenti condizioni: g 1 ) o è un operazione binaria interna per qualunque coppia di eleenti di G; g ) o è associativa; g 3 ) esiste l eleento neutro e: e o g = g o e = g; g 4 ) ogni eleento è dotato di sietrico, cioè: g o g = g o g = e. L insiee delle isoetrie dotate dell operazione di coposizione fra funzioni costituisce un gruppo (non abeliano). Consideriao ora l insiee delle isoetrie che lasciano unito l origine degli assi cartesiani. Esse possono essere rappresentate dalle seguenti atrici: R cos sin sin cos tan cos sin sin cos Le prie i rappresentano tutte le rotazioni di angolo alfa, le seconde tutte le sietrie assiali (o riflessioni) rispetto ad una retta passante per l origine. Le atrici di rotazione R e di riflessione, sono ortogonali e costituiscono quello che in algebra si chiaa gruppo O(), gruppo delle atrici ortogonali. Le atrici R hanno deterinante = 1 e sono dette ortogonali speciali. Esse forano il gruppo O() (gruppo delle atrici ortogonali speciali ) il quale non è quindi altro che il gruppo delle rotazioni del piano che descrivono le sietrie di una circonferenza. Esso è abeliano. I risultati ottenuti, si possono generalizzare anche in n diensioni. Per esepio O(3) rappresenta il gruppo delle atrici ortogonali speciali di ordine 33 e descrive le rotazioni intorno all origine nello spazio, ossia le sietrie di una sfera. Esso non è abeliano!. 3/1/11 3 di 6

24 Trasforazione Isoetrica Equazioni Punti uniti Rette unite ietria CENTRALE (Diretta) C, ' ' Il centro della sietria Ogni retta del fascio di centro C(, ) ietria AIALE (Contraria) q ietria Asse ietria Asse =q ietria Bisettrice 1-3 (1 ) q ' 1 (1 ) q ' 1 q ' ' ' ' q Traslazione T (Diretta) V, Rotazione Centro O(,) (Diretta) R O(,) ' ' ' ' ' cos sin ' sin cos Tabella riassuntiva sulle isoetrie. I punti dell asse ietria Asse ietria Asse =k ietria Bisettrice -4 NEUNO L origine L asse di sietria =+q (retta dei punti uniti) k ' ' ' k ' ' ' Ogni retta // al vettore V(, ) e la rotazione è ultipla di 18, tutte le rette passanti per l origine = 3/1/11 4 di 6

25 Isoetria Equazioni ostituzione associata ietria CENTRALE (Diretta) C, ' ' ietria AIALE (Contraria) q ietria Asse ietria Asse ietria Asse =q ietria Asse =k ietria Bisettrice 1-3 ietria Bisettrice -4 (1 ) q ' 1 (1 ) q ' 1 q k ' ' ' ' ' ' q ' k ' Traslazione T (Diretta) V Rotazione Centro O(,) (Diretta) R O(,) ' ' ' ' ', ' ' cos sin ' sin cos (1 ) q 1 q 1 (1 ) q cos sin sin cos 3/1/11 5 di 6

26 Appendice 1 Applicando sietrie assiali PERPENDICOLARI ad un punto P, si ottiene una sietria centrale con centro il punto d'incontro degli assi Le equazioni #1 e # sono quelle di una sietria rispetto all'asse = + q ietria rispetto all'asse = -1/ + k perpendicolare all'asse precedente. ostituendo _1 e _1 nelle #3 e #4 si ottengono le seguenti: Coe si vede le #5 e #6 sono le coordinate di una sietria centrale di centro dato dalla #8 che rappresenta il punto d'intersezione fra gli assi = + q e = -1/ + k 3/1/11 6 di 6