Ricostruzione tomografica di un immagine con protoni attraverso simulazioni Monte Carlo

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA Facoltá di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Facoltá di Medicina e Chirurgia Scuola di Specializzazione in Fisica Sanitaria Dott.ssa Giuliana Candiano Ricostruzione tomografica di un immagine con protoni attraverso simulazioni Monte Carlo Tesi di Specializzazione in Fisica Sanitaria Relatori: Chiar.mo Prof. S. Lo Nigro Dott. G.A.P. Cirrone Dott. G. Cuttone anno accademico

2 Niente si sa. Tutto si immagina. Fernando Pessoa I

3 Indice 1 Imaging con protoni in protonterapia La radioterapia convenzionale e l adroterapia La pianificazione del trattamento in protonterapia Calcolo della distribuzione di dose: uso delle immagini CT Proton Computed Tomography Impiego delle immagini prt e pct in protonterapia Principi fisici dell imaging con protoni Perdita di energia e formazione dell immagine Scattering Coulombiano Multiplo e risoluzione spaziale 20 2 Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct Introduzione Il metodo del single tracking Il progetto PRIMA Sistema per la determinazione della traiettoria (Tracking system) Il calorimetro Percorso più probabile dei protoni attraverso un mezzo II

4 3 Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Introduzione Codice di simulazione GEANT Simulazione di un sistema pct Determinazione del MLP Validazione dell applicazione: confronto tra MLP simulato, sperimentale e analitico Simulazioni Monte Carlo per la ricostruzione di un immagine tomografica con protoni Calcolo della dose Dose al centro in un fantoccio cilindrico Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) Introduzione Teoria di ricostruzione delle immagini Trasformata di Radon L algoritmo di retroproiezione filtrata (FBP) La trasformata di Radon nella pct Applicazione del metodo FBP: ricostruzione dell immagine Risultati Omogeneità e rumore Risoluzione in densità Risoluzione spaziale Bibliografia 79 III

5 Introduzione La possibilità di impiegare fasci di protoni a scopi di imaging medico è stata considerata sin dai primi anni 60, quando Koehler [1] mostrò per primo che, con protoni da 160 MeV, è possibile ottenere films radiografici con un contrasto molto maggiore rispetto a radiografie ottenute con raggi X nelle stesse condizioni di dose. Ciò nonostante, a causa dei numerosi progressi fatti dalla tradizionale diagnostica con raggi X, questa idea è stata per molti anni quasi abbandonata. Negli ultimi anni, però, la situazione è cambiata radicalmente grazie alla diffusione di numerosi centri di protonterapia e al numero sempre crescente di pazienti trattati con protoni. Il vantaggio offerto dall utilizzo di fasci di protoni in radioterapia è legato essenzialmente alla caratteristica curva di dose in profondità. Il corretto calcolo della distribuzione di dose è fondamentale nell assicurare un trattamento ad elevata precisione, in misura tanto maggiore quanto più selettivo è il deposito di energia in profondità della radiazione. Attualmente nei centri di protonterapia il calcolo della distribuzione di dose è basato sull utilizzo delle immagini tomografiche a raggi X. A questo scopo, i numeri CT vengono convertiti, attraverso una procedura di calibrazione, in valori di Stopping Power relativo, necessari al TPS per la determinazione del range residuo del fascio di particelle. Alcuni studi condotti al PSI in Svizzera [2], hanno mostrato che tale conversione non è sempre accurata e che può condurre ad 1

6 indeterminazioni nel calcolo del percorso anche di 15 mm, a seconda della regione anatomica considerata. D altra parte, idealmente la distribuzione degli Stopping Power, può essere misurata direttamente nel paziente trattato. Un simile approccio condurrebbe ad una pianificazione del trattamento basata direttamente sulla distribuzione tridimensionale degli Stopping Power, evitando procedure di calibrazione, fonte comunque di indeterminazione. Il calcolo della distribuzione tridimensionale degli Stopping Power è idealmente possibile utilizzando dati forniti da una tomografia computerizzata con protoni (proton Computed Tomography), che impieghi lo stesso fascio di radiazione utilizzato per il trattamento. L idea è quella di ottenere immagini del paziente da misure di perdita di energia dei protoni all interno del corpo. Poiché la perdita di energia dei protoni dipende dalla densità elettronica del mezzo attraversato, un immagine tomografica realizzata con protoni costituisce una mappa della densità elettronica (e quindi degli Stopping Power) del materiale e fornisce al TPS direttamente l informazione necessaria al calcolo del range del protone nel mezzo, riducendo l indeterminazione nel calcolo della distribuzione di dose. Attualmente diversi gruppi di ricerca nel mondo si stanno occupando dello studio di un sistema pct effettivamente utilizzabile per scopi clinici. Il progetto italiano PRIMA (PRoton IMAging) ha come scopo lo sviluppo di un sistema radiografico con protoni. Il principale problema dell imaging con protoni è legato allo scattering columbiano multiplo delle particelle con i nuclei del materiale attraversato. Tale processo provoca un indeterminazione statistica nella traiettoria dei protoni e limita quindi fortemente la risoluzione spaziale. Una possibile soluzione è rappresentata dal metodo del single tracking, che consiste nel seguire la traccia di ogni singolo protone, in modo da estrapolare, a partire dai dati sperimentali, il percorso più probabile (Most Likely Path, MLP) attraverso il mezzo. Il 2

7 prototipo che si sta sviluppando nell ambito del progetto PRIMA è ideato quindi, in modo da rendere possibile l applicazione del single tracking, attraverso l uso di un sistema di rivelatori in grado di fornire le informazioni sulle posizioni e le direzioni di ingresso e uscita dal fantoccio (o dal paziente) e l energia residua di ogni singolo protone. All interno del progetto, accanto allo sviluppo sperimentale del sistema di rivelazione, un ruolo significativo è stato assunto dal metodo Monte Carlo come strumento utile nello studio preliminare delle caratteristiche del sistema, nella valutazione e nella scelta dei rivelatori, nel trattare le principali limitazioni (principalmente la scarsa risoluzione spaziale), nello studio delle caratteristiche dell immagine e nella valutazione dei possibili algoritmi di ricostruzione. In questo lavoro di tesi, attraverso un applicazione Monte Carlo realizzata con il toolkit GEANT4, si è voluta provare l applicabilità dell algoritmo di ricostruzione dell immagine FBP (Filtered Backprojection) al caso dei protoni. Nel primo capitolo, dopo una breve descrizione della protonterapia e dei suoi vantaggi rispetto alla radioterapia convenzionale, viene introdotta la proton Computed Tomography (pct). In particolare vengono trattate le basi fisiche di questa tecnica, messi in risalto i potenziali vantaggi offerti dall utilizzo in fase di pianificazione del trattamento di protonterapia e le principali limitazioni. Il secondo capitolo è dedicato alla descrizione dell apparato sperimentale che si sviluppando all interno del progetto PRIMA. Esso è costituito da due telescopi di rivelatori a microstrip di silicio per la misura della posizione e della direzione dei singoli protoni e da un calorimetro per la misura dell energia residua. Vengono descritte le principali caratteristiche dei singoli rivelatori e illustrata la tecnica del single tracking. Nel terzo capitolo sono descritte le simulazioni Monte Carlo. Dopo un introduzione sul toolkit GEANT4, è illustrata l applicazione che riproduce il prototipo sperimentale. 3

8 Tale applicazione è stata utilizzata in una prima fase per il calcolo dell MLP; i risultati del confronto tra gli MLPs simulati e gli MLPs ottenuti sperimentalmente (durante un test sul prototipo effettuato nel 2005 al LLUMC in California) sono stati assunti come validazione dell applicazione stessa. Un ulteriore confronto è stato fatto con le curve ottenute attraverso un approccio semi-analitico proposto da Williams per il calcolo dell MLP [3]. In una seconda fase, l applicazione è stata utilizzata per produrre i dati di proiezione necessari alla ricostruzione tomografica della sezione centrale di un particolare fantoccio cilindrico. All interno del capitolo è descritta la geometria del fantoccio simulato, contenente speciali inserti per la valutazione della qualità dell immagine, e la modalità di registrazione dei dati durante la simulazione. Infine, poichè sono state ricostruite diverse immagini per diversi valori della dose assorbita, viene descritto il metodo utilizzato per il calcolo della dose al centro del fantoccio cilindrico. Nel quarto capitolo è descritto l algoritmo di ricostruzione FBP e la sua applicazione al caso dei protoni. Al fine di rispettare le condizioni geometriche imposte da tale algoritmo sono state utilizzate due diverse approssimazioni per la selezione delle particelle utili alla ricostruzione tomografica. Tali approssimazioni, indicate nel testo come Metodo A e Metodo B, sono descritte nel corso del capitolo. Infine, nel quinto ed ultimo capitolo sono presentate le immagini della fetta centrale del fantoccio simulato, per diversi valori di dose assorbita e con entrambi i metodi di approssimazione. Sono mostrati i risultati della valutazione di tali immagini in termini di rumore, uniformità, risoluzione in densità e risoluzione spaziale. 4

9 Capitolo 1 Imaging con protoni in protonterapia 1.1 La radioterapia convenzionale e l adroterapia L obiettivo principale della radioterapia è il controllo locale del tumore e, in alcune situazioni, dei possibili cammini di diffusione delle cellule tumorali (radioterapia loco-regionale). Per raggiungere questo obiettivo, è necessario fare assorbire al focolaio tumorale - che in termini fisici è detto bersaglio - una dose tanto alta da distruggerlo, mantenendo allo stesso tempo la dose ai tessuti sani circostanti, inevitabilmente irradiati, entro limiti tali da non comportare complicazioni e danni gravi o irreversibili [4]. E noto infatti che la probabilità di curare il tumore senza indurre effetti collaterali indesiderati aumenta con la selettività balistica o conformità dell irradiazione, cioè con la differenza tra la dose al bersaglio e la dose ai tessuti sani coinvolti nell irradiazione stessa. L ottimizzazione della dose assorbita è soltanto una parte 5

10 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia del piano di trattamento di un tumore, perchè intervengono altri parametri, quali la radiosensibilità delle cellule e lo schema adottato per il frazionamento della dose. I vantaggi terapeutici dell utilizzo di fasci di adroni rispetto a fasci convenzionali di elettroni e fotoni sono dovuti a: - la possibilità di rilasciare la dose al tumore in modo fisicamente selettivo a scala macroscopica (terapia conformazionale), risparmiando i tessuti sani attraversati dalla radiazione o prossimi al volume irradiato; - la possibilità di ottenere una maggiore efficacia radiobiologica. Queste possibilità terapeutiche sono legate alle diverse proprietà dosimetriche e radiobiologiche dei fasci di adroni rispetto a fasci di fotoni ed elettroni. Dal punto di vista radiobiologico, gli effetti dell irradiazione di un tumore non dipendono solamente dalla dose assorbita, ma almeno da altri due parametri: - il modo di trasferire energia dalla radiazione al tessuto, spesso espresso dal LET (Linear Energy Transfer), che è la densità di energia ceduta lungo il percorso delle particelle; - il contenuto di ossigeno dei tessuti irradiati; Il rapporto tra le dosi richieste per produrre un dato effetto in assenza e in presenza di ossigeno è chiamato OER (Oxygen Enhancement Ratio ) 1 1 In formula la definizione è OER = D/D 0 (1.1) dove D è la dose necessaria per produrre un effetto nel tessuto reale e D 0 è la dose che produrrebbe lo stesso effetto se il tessuto fosse completamente ossigenato in aria a pressione normale 6

11 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia Il paramentro che esprime gli effetti della radiazione sulla materia biologica è l Efficacia radiobiologica Relativa (RBE = Relative Biological Effectiveness), che è stata introdotta proprio per misurare l aumento degli effetti biologici prodotti da radiazioni densamente ionizzanti, a parità di dose. L RBE di una data radiazione è definito come il rapporto tra la dose assorbita di una radiazione di riferimento e quella della radiazione in esame, che è richiesta per produrre lo stesso effetto biologico 2. L efficacia radiobiologica relativa dipende dal valore del LET e dall effetto che viene studiato. Nella figura 1.1 sono mostrati gli andamenti degli RBE per un dato effetto biologico su un sistema cellulare fissato in funzione del LET della radiazione in acqua, raggruppati in una banda. Si osserva che le radiazioni ad alto LET sono più efficaci degli elettroni e dei fotoni nel danneggiamento delle cellule colpite anche di un fattore tre (quando si considera un livello di sopravvivenza del 10%) ma che diviene più piccolo di uno a grandi valori di LET. Inoltre, l effetto negativo sulla sterilizzazione del tumore dovuto alla mancanza di ossigenazione dei tessuti irradiati è ridotto ad alto LET in confronto ai convenzionali fasci di fotoni e di elettroni di basso LET. Con un fascio di adroni,particelle cariche ad alto LET, si può aumentare la probabilità di curare il tumore poichè la dose assorbita è più concentrata nei tessuti tumorali che con fasci di fotoni o elettroni. Dal punto di vista dosimetrico le proprietà di un fascio di adroni carichi, e quindi in particolare di un fascio di protoni, sono legate al deposito di 2 In formula la definizione è RBE = D γ /D (1.2) dove D è la dose assorbita necessaria per produrre l effetto studiato nel sistema irraggiato con un dato fascio e D γ è la dose fotonica che produce lo stesso effetto. 7

12 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia Figura 1.1: Andamento dei dati sperimentali sulla dipendenza dell RBE dal LET energia su scala macroscopica. Le curve dose-profondità di fasci di protoni sono completamente differenti da quelle dei fotoni (caratterizzate da un picco iniziale e quindi da un andamento di tipo esponenziale), poichè queste particelle cariche rilasciano le dosi più elevate vicino alla fine del loro percorso nei tessuti dando luogo al picco di Bragg(figura 1.2). Per i protoni la dose superficiale e la dose oltre il picco è bassa se confrontata con la dose assorbita nella regione del picco, diversamente da quanto succede per i fotoni. Questo consente di irradiare efficacemente il volume bersaglio risparmiando i tessuti sani circostanti. La profondità a cui si trova il picco di Bragg dipende dall energia iniziale dei protoni e la sua ampiezza dipende dalla dispersione energetica del fascio. Variando l energia durante l irradiazione in modo ben controllato è possibile sovrapporre molti picchi di Bragg stretti e ottenere un picco di Bragg allargato (SOBP = Spread Out Bragg Peak), come mostrato ancora in figura 1.2. Con lo SOBP è possibile 8

13 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia Figura 1.2: Distribuzione di dose in profondità per fasci di protoni da 200 MeV, elettroni da 20 MeV, raggi X da 8 MV ed altre radiazioni. irradiare il tumore uniformemente in tutta la sua estensione in profondità. In figura 1.3 viene riportato il confronto tra la radiazione convenzionale e i protoni, per trattamenti idealizzati. La curva (a) rappresenta la probabilità di controllo del tumore, Tumor Control Probability (TPC) e la curva (b) riproduce la probabilità di complicazioni nel tessuto normale, Normal Tissue Complication Probability (NTCP). Per una data dose, la differenza tra (a) e (b) rappresenta la probabilità di controllo del tumore senza complicazioni. Tipicamente, la distanza di (b) da (a) è il 5% della dose. La maggiore efficacia radiobilogica della radiazione adronica e le caratteristiche di interazione con i tessuti, traslano di fatto la curva NTCP verso dosi più alte. Ciò significa che a parità di dose al bersaglio si ha una minore probabilità di insorgenza di effetti radioindotti sui tessuti sani (curva (c) e (b)). Modelli di calcolo soddisfacenti di queste due grandezze (TCP e NTCP) possono essere costruiti 9

14 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia Figura 1.3: Confronto tra le curve TCP e NTCP per fasci di fotoni e di protoni soltando partendo da informazioni di fisica e radiobiologia fondamentale. La conclusione a cui si può pervenire è che un piano di trattamento che usi pochi campio protonici abbia un efficacia terapeutica migliore di una terapia conformazionale tridimensionale che impieghi un numero più grande di campi fotonici. 1.2 La pianificazione del trattamento in protonterapia Uno dei punti fondamentali per un uso corretto nella pratica clinica dei fasci di protoni è il TPS (Treatment Planning System) ovvero il sistema di pianificazione del trattamento. Pianificare un trattamento è una procedura che comprende varie fasi: 1. acquisizione delle informazioni diagnostiche con valutazione tridimensionale dell anatomia del volume bersaglio e delle strutture circostanti; 10

15 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia 2. simulazione della terapia con scelta del tipo di radiazione e determinazione delle direzioni dei fasci esterni, delle dimensioni dei campi, e degli eventuali dispositivi di modificazione del fascio; 3. calcolo della distribuzione di dose seguita dalla visualizzazione tridimensionale e confronto con altre tecniche alternative; 4. verifica del trattamento. Questo processo è comune a tutti i fasci di radiazione ad uso terapeutico; i protoni, essendo particolarmente precisi, richiedono un attenzione maggiore in ciascuna delle fasi appena descritte. La fase di maggiore interesse per l oggetto di questa tesi è il calcolo della distribuzione tridimensionale di dose effettuata dal sistema di treatment planning Calcolo della distribuzione di dose: uso delle immagini CT Il vantaggio offerto dall utilizzo di fasci di protoni in radioterapia, come già detto, è legato essenzialmente alla caratteristica curva di dose in profondità di questi fasci di particelle cariche. Il corretto calcolo della posizione del picco del Bragg (ovvero della regione ad elevata dose di tale curva) è fondamentale nell assicurare un trattamento ad elevata precisione. La penetrazione del fascio è fortemente dipendente dalla natura dei tessuti; ciò significa che il calcolo del range dei protoni e quindi della posizione del picco di Bragg impone una valutazione accurata delle disomogeneità e della loro compensazione. Per quantificare le disomogenità che perturbano il percorso del fascio attraverso i tessuti, vengono attualmente utilizzati i dati CT, ovvero i dati forniti dalle immagini tomografiche convenzionali a raggi X. A questo scopo 11

16 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia i numeri CT, espressi in unità di Hounsfield, devono essere convertiti, con una procedura di calibrazione, in valori di Stopping Power relativo, necessari al TPS per la determinazione del range residuo del fascio di particelle. La qualità di tale calibrazione numeri CT - stopping power relativo è direttamente legata all accuratezza nella determinazione del range dei protoni all interno del paziente ed è quindi di grande importanza. Sono stati proposti diversi approcci per stabilire una relazione tra unità di Hounsfield e valori dello stopping power relativo [5]. Inizialmente, sono stati utilizzati materiali artificiali con proprietà che approssimavano quelle radiobiologiche dei tessuti del corpo umano, e sono state eseguite misure di numeri CT e di stopping power relativo. Graficando i valori dello stopping power relativo in funzione dei numeri CT, si sono stabilite delle curve di calibrazione per questi materiali artificiali sostitutivi [6, 7]. Poichè i materiali artificiali utilizzati per le curve di calibrazione non sono perfettamente equivalenti ai tessuti reali dal punto di vista radiobiologico, sono stati sviluppati successivamente nuovi approcci teorici basati sulla conoscenza della composizione chimica dei materiali utilizzati per la calibrazione [8]. Un tale approccio stechiometrico, è stato utile per migliorare la precisione della calibrazione dei numeri CT in valori dello Stopping Power relativo [5]. D altra parte, idealmente la distribuzione degli Stopping Power, può essere misurata direttamente nel paziente trattato. Un simile approccio condurrebbe ad una pianificazione del trattamento basata direttamente sulla distribuzione tridimensionale degli stopping power, evitando procedure di calibrazione, fonte comunque di indeterminazione. Il calcolo della distribuzione tridimensionale degli stopping power è idealmente possibile utilizzando dati forniti da una tomografia computerizzata con protoni (proton Computed Tomography), che impieghi lo stesso fascio di radiazione utilizzato per il 12

17 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia trattamento. 1.3 Proton Computed Tomography La possibilità di impiegare fasci di protoni a scopi di imaging medico (Proton Transmission Radiography e Proton Computed Tomography) è nota sin dai primi anni 60, quando Koehler mostrò per primo che, con protoni da 160 MeV, è possibile ottenere films radiografici con un contrasto molto maggiore rispetto a radiografie ottenute con raggi X nelle stesse condizioni di dose [1]. A partire da quella data, la letteratura si è arricchita di pubblicazioni circa la possibilità di utilizzare particelle cariche pesanti a scopi di imaging medico. La diffusione di numerosi centri di protonterapia e il sempre crescente numero di pazienti trattati ha prodotto, in tempi più recenti, importanti e significativi sviluppi: ad esempio al PSI (Paul Scherrer Instistute) in Svizzera è stato sviluppato un primo sistema per radiografie con protoni come strumento per il controllo sulla qualità del trattamento di protonterapia [2, 9]. La necessità di sfruttare in pieno i vantaggi offerti dalla selettività balistica di un fascio di protoni richiede infatti una precisa predizione della distribuzione di dose e la verifica di un corretto posizionamento del paziente. Ciò impone lo sviluppo di tecniche di imaging sempre più accurate Impiego delle immagini prt e pct in protonterapia Attualmente la pianificazione di un trattamento di protonterapia, come accennato nel paragrafo 1.2.1, si basa sulle immagini ottenute dalle convenzionali tomografie a raggi X (xct). I dati CT, ovvero i valori dei coefficienti attenuazione, in unità di Hounsfield vengono utilizzati sia per definire la posizione 13

18 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia del volume bersaglio e delle strutture critiche prossime, sia per quantificare le disomogeneità lungo il percorso dei protoni che ne influenzano il percorso nei tessuti. I software utilizzati dai TPS in protonterapia calcolano la distribuzione di dose sulla base del calcolo del percorso dei protoni nei tessuti e quindi necessitano di dati che descrivano l interazione del fascio di protoni con i tessuti attraversati. I dati CT sui coefficienti di attenuazione devono quindi essere convertiti in valori dello stopping power relativo (lunghezza del percorso in acqua), al fine di ottenere i valori del range residuo del fascio di protoni [6, 7, 8]. Sfortunatamente però, la relazione tra lo stopping power e i valori di Hounsfield non è unica. A causa della differente composizione chimica dei tessuti, infatti, in linea di pricipio è possibile avere differenti valori dello stopping power per lo stesso valore di Hounsfield. Lo stopping power infatti dipende linearmente dai valori della densità elettronica, mentre i numeri Hounsfield sono legati ai coefficienti di attenuazione dei tessuti che hanno una dipendenza complessa dal numero atomico effettivo Z (per effetto Compton ed effetto fotoelettrico) per un dato spettro energetico dei fotoni. Schneider et al. [2], utilizzando un sistema per prt (proton Transmission Radiography) sviluppato al PSI, hanno eseguito misure sperimentali dei valori degli stopping power su materiali sostitutivi dei tessuti biologici. Dal confronto di tali misure sperimentali, con i valori del range ottenuti dalle usuali procedure di calibrazione (sia attraverso modelli di calcolo [10], che attraverso calibrazionei stechiometriche [8], si è evidenziato che l accuratezza della conversione dei numeri CT in valori dello stoppinng power non supera il 3%, e l indeterminazione sul range che ne deriva è generalmente stimata tra 3 e 10 mm, potendo superare anche i 15 mm a seconda della regione trattata e della profondità di penetrazione del fascio. In figura 1.4 è riportata una DRR del fantoccio Alderson utilizzato nel lavoro di Schenider et. al, ovvero 14

19 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia Figura 1.4: DRR della testa del fantoccio di Alderson. I colori indicano l incertezza nel range dei protoni (rosso: > 15 mm, 15 mm > blu > 10 mm, 10 mm > giallo > 5 mm) una radiografia digitale ricostruita dai dati CT usati per la pianificazione del trattamento. In tale DRR si evidenziano le indeterminazioni sul range per le varie regioni anatomiche. Simili indeterminazioni possono di fatto vanificare i vantaggi di selettività balistica offerti dai fasci di protoni. Un sistema di imaging con protoni, pct (proton Computed Tomography) o ptr (proton Transmission Radiography), potrebbe migliorare significativamente il calcolo del range e quindi della distribuzione di dose, in quanto immagini ottenute con protoni costituiscono mappe dello stopping power dei tessuti attraversati (e non dei coefficienti di attenuazione) e forniscono quindi al TPS direttamente le informazioni necessarie al calcolo del range, evitando procedure di calibrazione che costituiscono un fonte di indeterminazione. Un ulteriore elemento importante nella qualità del trattamento, oltre al calcolo del range è il corretto posizionamento del 15

20 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia paziente. Un posizionamento inadeguato può portare a mancare il bersaglio oltre che al danneggiamento di strutture critiche sane. Attualmente per la verifica della posizione del paziente prima dell irradiazione vengono prodotte delle ragiografie (che richiedono l istallazione di una sorgente di raggi X nella linea di trattamento) del paziente in posizione per il trattamento; queste immagini vengono poi confrontate con le DRRs. L alternativa è costituita dalla possibilità di produrre una radiografia con protoni direttamente nel gantry. Il vantaggio è che l immagine può essere acquisita esattamente nelle stesse condizioni geometriche del trattamento: quindi esse rappresentano proiezioni reali del beam s eye view, ovvero della visione del fascio, diversamente da quanto accade nella immagini con raggi X che sono proiezioni coniche da un dato punto sorgente. Schneider et. al [2] hanno osservato come il controllo sulla posizione del paziente effettuato con immagini con protoni può raggiungere una precisione superiore ai 2 mm, dimostrando ancora una volta l utilità di questo sistema di imaging nella qualità di un trattameto di proton terapia. 1.4 Principi fisici dell imaging con protoni L idea alla base dell imaging con protoni è quella di ottenere un immagine a partire dalla misura della perdita di energia dei protoni attraverso il corpo del paziente. Tre effetti fisici legati all interazione del fascio di protoni con la materia sono fondamentali per la pct: 1. la perdita di energia per ionizzazione ( de dx ); 2. La diffusione Coulombiana multipla; 3. le interazioni nucleari inelastiche. 16

21 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia Attraversando la materia, i protoni perdono la maggior parte della loro energia in processi di eccitazione e ionizzazione dovuti alle collisioni inelastiche con gli elettroni più esterni degli atomi costituenti i tessuti. Inoltre essi sono soggetti a numerose deflessioni a piccoli angoli da parte dei nuclei degli stessi atomi (MCS). Questi due processi a livello microscopico intervengono un gran numero di volte lungo il percorso del protone attraverso i tessuti e conducono ai due principali effetti macrospocici dell interazione dei protoni con la materia: la perdita di energia e la deflessione della traiettoria da quella originale. Poichè i singoli processi di interazione intervengono in maniera casuale, segue che la perdita di energia del protone attraverso un certo spessore e la deviazione laterale e angolare rispetto alla direzione di incidenza, sono due fenomeni di natura statistica. Questo determina aspetti importanti dell imaging con protoni. In particolare, lo straggling energetico (le fluttuazioni statistiche della perdita di energia) è il processo fisico che influenza la risoluzione in densità, mentre il MCS è il principale fattore limitante per la risoluzione spaziale. Inoltre, i protoni con energie nel range utile per la pct subiscono anche interazioni nucleari inelastiche che comportano una riduzione della flusso del fascio attraverso il corpo del paziente. I protoni che subiscono reazioni nucleari depositano la maggior parte della loro energia localmente e quindi contribuiscono alla dose al paziente senza dare alcun contributo alla formazione dell immagine Perdita di energia e formazione dell immagine Il principale obiettivo della pct per applicazioni in protonterapia, è la determinazione della densità elettronica da misure di perdita di energia dei protoni nei tessuti attraversati. Nel range di energie utili per la pct ( MeV), lo stopping power, ovvero la perdita media di energia per unità di lunghezza, 17

22 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia è ben descritto dalla teoria di Bethe-Bloch, la cui formula può essere scritta nel seguente modo [11]: de( r) dx = η e( r)s(i( r), E( r)) (1.3) dove η e è la densità elettronica relativa rispetto all acqua, I( r) è il potenziale medio di ionizzazione del materiale, che nel caso dell acqua è 75 ev [12], E( r) è l energia del protone, e S è lo stopping power del protone in acqua che può essere espresso nel seguente modo: S(I( r), E( r)) = K 1 β 2 (E) [ln(2m ec 2 β 2 (E) I( r) 1 β 2 (E) ) β2 (E)] (1.4) In questa formula, K è una costante, m e è la massa dell elettrone e β è la velocità del protone relativa alla velocità della luce. La perdita di energia dei protoni dipende quindi principalmente dalla densità elettronica del materiale attraversato, potendo considerare costante e pari a quello dell acqua, il potenziale di ionizzazione dei tessuti umani. La densità elettronica può essere espressa come ρ e = ρn a ( N A ) (1.5) dove ρ è la densità fisica del materiale, N a è il numero di Avogadro e Z e A sono rispettivamente il numero atomico e il peso atomico del materiale attraversato. Per la maggior parte dei tessuti umani, il rapporto Z/A è praticamente costante, il che implica che lo stopping power è proporzionale alla densità fisica, al contrario di quanto accade per il coefficiente di attenuazione per i raggi X che varia in modo complicato con Z e A [2]. Dalla formula 4.8, è possibile ottenere la relazione tra la perdita media di energia di un protone e l integrale della densità elettronica. Considerando 18

23 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia infatti, che per i tessuti umani il potenziale di ionizzazione può essere approssimato ad un valore costante e pari a quello dell acqua e considerando inoltre che lo stopping power ha una dipendenza relativamente debole (logaritmica) dal potenziale di ionizzazione, è ragionevole assumere che la funzione 1.4 dipenda esclusivamente dall energia. L equazione 4.8, può quindi essere integrata separando le variabili: Eout E in de S(I water, E) = η e (r)dl (1.6) L In questa formula l integrale a destra è calcolato lungo il percorso L del protone, E in è l energia del protone incidente e E out è l energia del protone dopo avere attraversato l oggetto. E quindi ovvio che l integrale della densità elettronica sul volume considerato può essere calcolato sulla base della conoscenza dell energia del protone in ingresso e uscita. Si può quindi concludere che è possibile ottenere una relazione tra perdita media di energia del protone e l integrale della densità elettronica, integrando il reciproco dello Stopping Power in acqua, dato dall equazione di Bethe-Bloch, tra i due valori di energia in ingresso e in uscita lungo il suo percorso all interno del mezzo. L equazione 1.6, nell approssimazione di traiettoria rettilinea e confinata in un piano 2D, può essere posta nella forma di trasformata di Radon, usata comunemente nella ricostruzione dell immagine xct. Come vedremo nel dettaglio nel capitolo 3, la ricostruzione dell immagine nella pct consiste proprio nell invertire l integrale di linea nella 1.6, per ottenere la distribuzione spaziale della densità elettronica relativa. Al contrario di quanto accade per l inversione nella xct, l esatto percorso del protone non è noto a causa del multiplo scattering e deve essere quindi stimato. Questo aspetto sarà l oggetto del prossimo capitolo. Osserviamo infine che l accuratezza nel calcolo della densità elettronica dipende anche dalla precisione nelle misure della perdita 19

24 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia di energia. Poichè la perdita di energia è un processo di natura statistica, un fascio di protoni monoenergetico mostra uno straggling energetico dopo aver attraversato un spessore di materiale omogeneo. Questo fattore determina un limite fisico intrinseco per la risoluzione in densità; essa infatti aumenta all aumentare del numero di protoni rivelati in accordo con le usuali leggi della statistica Scattering Coulombiano Multiplo e risoluzione spaziale Il MCS è il processo statistico che implica la somma di numerose diffusioni della traiettoria a piccoli angoli, dovute prevalentemente all interazione Coulombiana con i nuclei. A seguito del MCS, un fascio di protoni puntiforme incidente su un dato materiale, acquista in uscita un certo spread angolare, ovvero una certa distribuzione angolare. Per predire tale distribuzione, per angoli non troppo grandi, si fa riferimento di solito alla teoria sulla diffusine multipla sviluppata da Molière [13] e successivamente modificata da Bethe, Scott e Highland [14]. In base a tale teoria, la distribuzione angolare proiettata su un piano, dovuta al MCS, di un fascio di protoni uscenti da un dato oggetto è una Gaussiana di larghezza θ 0 = θ rms plane relazione: che è espressa dalla θ 0 = 13.6MeV βcp z x/x 0 [ ln(x/X 0 )] (1.7) dove c è la velocità della luce, βc è la velocità della particella, p è l impulso, e x/x 0 è lo spessore dell oggetto in termini di lunghezza di radiazione (essa dipende inversamente dall impulso del protone e cresce con la radice quadrata dello spessore del materiale attraversato). Dall equazione 1.6 è chiaro che 20

25 Capitolo 1. Imaging con protoni in protonterapia un accurata ricostruzione dell immagine richiede la conoscenza della traiettoria del protone attraverso i tessuti. Lo scattering multiplo provoca un indeterminazione in tale traiettoria, regola la risoluzione spaziale ed è quindi il principale fattore limitante alla qualità di un immagine con protoni per applicazioni in protonterapia. Non solo nella ricostruzione tomografica, ma anche nella formazione di una semplice immagine radiografica, se non è possibile ricostruire la traccia di ogni singolo protone, la risoluzione spaziale di un immagine radiografica con protoni è data dalla dimensione dello spreading trasversale del fascio in uscita dall oggetto. Tipicamente questa dimensione è dell ordine di qualche mm, che è inaccettabile confronto alle risoluzioni di poche frazioni di millimetro che è possibile raggiungere con le immagini a raggi X. Un valore di risoluzione spaziale clinicamente significativo per un trattamento di protonterapia è circa 1 mm. Questo valore di risoluzione spaziale è legato alla precisione che è possibile raggiungere in termini di localizzazione del bersaglio e posizionamento del paziente ed è inoltre da considerarsi in relazione alla rapidità della caduta laterale e distale della regione ad elevata dose (picco di Bragg). Come vedremo in dettaglio nel prossimo capitolo, il problema della risoluzione spaziale può essere affrontato con la tecnica del single tracking, ovvero misurando lo spostamento dalla posizione e dalla direzione di incidenza protone per protone e cercando di estrapolare la traiettoria più probabile all interno del mezzo. In [15] U.Schneider et. al concludono che una risoluzione spaziale di 1 mm in un immagine radiografica con protoni può essere raggiunta misurando le coordinate di ingresso e uscita di ogni singolo protone. 21

26 Capitolo 2 Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct 2.1 Introduzione Le caratteristiche di un sistema pct per applicazioni in protonterapia nascono dalla necessità di un compromesso tra la massima accuratezza dell immagine e, contemporaneamente il più alto livello possibile di sicurezza per il paziente. Il sistema deve essere integrato in un ambiente medico e, quindi deve rispettare i limiti di sicurezza e di praticità imposti in tale condizione. I protoni utilizzati a scopi di imaging devono avere energia sufficiente a penetrare la parte del corpo da esaminare. In accordo con il database NIST PSTAR [12], protoni da 200 MeV in materiale plastico tessuto equivalente hanno un range di 25,8 cm che è sufficiente a penetrare un teschio umano adulto (di larghezza nominale 20 cm in direzione antero - posteriore); mentre protoni da 250 MeV nello stesso materiale hanno un range di 37.7 cm, suffi- 22

27 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct ciente a penetrare un tronco umano adulto (di larghezza nominale di 34 cm). La risoluzione spaziale e la risoluzione di densità elettronica di una scansione pct, sono fisicamente limitate dallo scattering multiplo (MCS) e dalle fluttuazioni della perdita di energia (energy loss straggling). Le indeterminazioni spaziali e di energia di un sistema per pct devono essere considerevolmente più piccole di quelle imposte dalle limitazioni fisiche, al fine di non compromettere le prestazioni complessive del sistema CT. In tabella 2.1 sono riassunte le principali caratteristiche richieste ad un sistema pct. Tabella 2.1: Principali caratteristiche di un sistema per proton Computed Tomography CATEGORY PARAMETER DESIRED VALUE Proton source Energy 200 MeV (head), 250 MeV (trunk) Energy spread 0.1% Beam intensity protons sec 1 Accuracy Spatial resolution 1 mm Electron density resolution 1 mm Time efficiency Installation time < 10 min Data acquisition time < 5 min Reconstruction time 5 10 min Safety Maximum dose per scan < 5 cgy Inoltre un sistema per pct, come un qualunque altro sistema clinico, deve avere tempi brevi di installazione, calibrazione, scansione e successiva rimozione del sistema. L installazione e la rimozione sono necessarie nel caso in cui i rivelatori non siano sufficientemente resistenti alla radiazione da restare montati permanentemente nella linea di trattamento. In questo caso, il tempo necessario per una scansione di un paziente, per uno studio 23

28 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct di TP (treatment planning), incluso il tempo necessario per l installazione e per la rimozione del sistema non dovrebbe superare i 15 minuti (escluso il tempo di ricostruzione dell immagine). Nel caso in cui il sistema sia utilizzato per la verifica on-line della dose e del posizionamento durante la fase di trattamento, è richiesto un tempo di ricostruzione dell immagine inferiore a 5 minuti. Infine, valutando le diverse situazioni cliniche, deve essere trovato un compromesso ragionevole tra la dose rilasciata e la precisione con cui viene determinata la densità elettronica. Inoltre nello studio della reale fattibilità dell uso di un sistema pct non deve mai venire meno il confronto con gli attuali sistemi di scansione. In questo senso, la dose rilasciata dagli esistenti scanner CT utilizzati nella pianificazione di trattamento, che è dell ordine di 3-5 cgy, non dovrebbe essere mai superata da una scansione pct 2.2 Il metodo del single tracking L obiettivo della pct è quello di ottenere immagini con risoluzione spaziale e risoluzione in densità, di circa 1 mm e 1%, rispettivamente. Lavori precedenti [11], basati su calcoli analitici e simulazioni Monte Carlo, hanno effettivamente dimostrato la possibilità di ottenere immagini tomografiche con protoni con un ottima risoluzione in densità ( 1%). D altra parte la principale limitazione dell imaging con protoni rimane legata alla scarsa risoluzione spaziale dovuta al multiple scattering. Infatti, al fine di ottenere l esatta risoluzione dell integrale 1.6, è necessario conoscere l energia in ingresso e l energia in residua dei protoni che attraversano l oggetto da esaminare, e il loro percorso L attraverso il mezzo. L energia in ingresso è generalmente nota, l energia in uscita può essere misurata, ma la traiettoria del protone attraverso l oggetto non può essere nota esattamente a causa dell influenza 24

29 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct Figura 2.1: Schematizzazione del metodo del single tracking. Protoni con energia nota E in vengono registrati ad uno ad uno in uscita dall oggetto attravresato a diversi angoli di proiezione Φ. I dati registrati includono posizioni e direzioni di ingresso e uscita ed energia in uscita E out.) del MCS e questo è ciò che impedisce di avere una risoluzione spaziale significativa. Una possibile soluzione a questo problema è rappresenata dall uso della tecnica del single tracking, il cui principio è quello di seguire la traccia di ogni singolo protone, misurando per ognuno posizione e direzione d ingresso e uscita dall oggetto da rappresentare e l energia residua. Queste informazioni, sono quelle necessarie ad estrapolare nella migliore approssimazione possibile, il percorso più probabile dei protoni attraverso il mezzo, che naturalmente non può essere direttamente misurato. La figura 2.1 mostra l approccio al metodo del single tracking. L oggetto è attraversato da un fascio abbastanza largo di protoni (idealmente, ma non necessariamente parallelo) di energia iniziale nota. Da entrambi i lati dell oggetto è montato un sistema di rivelazione in grado di registrare i punti d ingresso e uscita e gli angoli dei protoni rispetto al sistema di rivelazione. Inoltre un rivelatore di energia misura l energia residua dei protoni in uscita dall oggetto. 25

30 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct 2.3 Il progetto PRIMA Il progetto PRIMA (Proton IMAging) [16], finanziato dall INFN, nasce da una collaborazione italiana, che ha come principale obiettivo la realizzazione di un prototipo di un sistema di imaging con protoni 2D, ovvero un dipositivo per la ricostruzione di un immagine a trasmissione con protoni sulla base dei principi fisici illustrati nel paragrafo 1.4. L immagine bidimensionale rappresenta il primo passo nella direzione della realizzazione di un sistema tomografico tridimensionale con fasci di protoni. Per l applicazione della tecnica del single tracking, il sistema di rivelazione che si sta sviluppando nell ambito del progetto PRIMA è costituito da un telescopio di rivelatori a microstrip per la determinazione della posizione e da un calorimetro per la misura dell energia. L obiettivo è quello di rivelare protoni con energia cinetica iniziale tra i 200 e i 270 MeV (adatti ad attraversare un torso umano), ad un rate non inferiore a 1MHz, al fine di raccogliere i dati necessari alla ricostruzione dell immagine in un tempo dell ordine di 1 sec, adatto all esigenze cliniche. I dati necessari sono le posizioni e le direzioni di ingresso e uscita di ogni singolo protone per l estrapolazione della traiettoria più probabile attraverso il corpo del paziente e l energia residua. Il sistema finale pct dovrebbe essere in grado di misurare la densità elettronica con un accuratezza di circa l 1% Sistema per la determinazione della traiettoria (Tracking system) Il sistema di rivelazione per la determinazione della traiettoria (Tracker) è costituito da due telescopi di rivelatori, uno posto all ingresso e uno all uscita del paziente o del fantoccio. Ciascun telescopio è costituito da 2 piani xy. Ciascun piano xy è composto da due moduli identici di rivelatori a microstrip 26

31 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct Figura 2.2: rivelatore Fotografia di un tracker module prima che venga montato il di silicio, ruotati di 90 uno rispetto all altro per misurare entrambe le coordinate x e y. Ogni rivelatore a silicio, prodotto da Hamamatsu Photonics, è un rivelatore a microstrip single-sided (a faccia singola) a 256 canali, ottenuto impiantando strips di tipo p + in un wafer di tipo n. L area attiva è di 51mm 51mm e il passo tra le strips è di 200µm. Lo spessore di ciascun piano di silicio è di 200µm, scelto in quanto miglior compromesso tra una buona sensibilità, una bassa perdita di energia e un basso scattering Coulombiano [16]. La distanza tra i due rivelatori a microstrip nel piano xy è di 2 mm. Le strips sono lette attraverso una scheda contenente otto chips di front end ASICs. Ciascun ASIC è costituito da 32 canali indipendenti e include un amplificatore di carica, uno shaper e un comparatore per la generazione di un segnale digitale di output ogni qualvolta viene superata una soglia fissata V th. I segnali vengono acquisiti attraverso una scheda di aquisizione digitale (tracker digital board) FPGA. Il principale compito dell FPGA è di campionare i segnali delle 256 strips dai sistemi ASICs e di immagazzinarli in memoria. La scheda di acquisizione digitale è collegata al 27

32 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct pc attraverso una commerciale unità Ethernet [17] Il calorimetro Il calorimetro è costituito da cristalli scintillatori YAG:Ce. Questi cristalli sono stati scelti, dopo diverse valutazioni [16, 18], grazie al piccolo valore della costante di decadimento (75ns) confronto al rate di acquisizione. Inoltre, grazie alla lunghezza d onda della luce emessa (λ = 550nm), lo YAG:Ce può essere accoppiato ad un fotodiodo senza l esigenza di un fotomoltiplicatore. Un singolo cristallo di YAG:Ce è stato provato con fasci di protoni sia ai Laboratori Nazionali del Sud dell INFN, sia al Loma Linda University Medical Center (LLUMC). In figura 2.3 è mostrato lo spettro energetico risultato da un tipico test. La risoluzione energetica (misurata come FWHM) è di 3, 6% con protoni da 60 MeV e di circa l 1% con protoni da 200 MeV. Attualmente il calorimetro che si sta sviluppando nell ambito del progetto PRIMA, è costituito da quattro cristalli di YAG:Ce di dimensioni cm 3, separati otticamente e racchiusi in un alloggiamento di alluminio (figura 2.4. La risoluzione energetica di tutti i cristalli e la loro separazione ottica sono state testate con il fascio di protoni da 60 MeV ai LNS. In particolare, è stata valutata l uniformità collimando il fascio in nove differenti punti di ciascun cristallo e misurando l energia più probabile E i. E stato trovato che la deviazione standard è σ(e i )= 1.3%. I quattro cristalli hanno la stessa risoluzione energetica, sebbene la sensibilità media cambi da un cristallo all altro di circa il 20%. Tale variazione sarà considerata al momento della calibrazione del singolo cristallo. 28

33 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct Figura 2.3: Misura della distribuzione energetica dei protoni ottenuta con protoni da 60 MeV. Figura 2.4: Il calorimetro costituito da quattro cristalli YAG:Ce 29

34 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct Figura 2.5: Illustrazione del concetto di percorso più probabile del protone all interno dell oggetto: (A) noto a priori solo il punto d ingresso e la direzione del protone incidente,il suo MLP è una linea retta lungo la direzione d incidenza con limiti d indeterminazione crescenti (linea tratteggiata).(b) noti sia il punto d ingresso che il punto d uscita, il MLP è una linea retta che congiunge i due punti. (C) noti i punti e le direzioni di ingresso e uscita il MLP è una curva che ha i più stretti limiti di indeterminazione 2.4 Percorso più probabile dei protoni attraverso un mezzo Il sistema di rivelazione descritto, permette di determinare la traiettoria di un protone prima e dopo che esso abbia attraversato il bersaglio. Naturalmente nessuna informazione diretta è possibile ottenere sul percorso dei protoni all interno dell oggetto, ed è quindi necessaria una qualche estrapolazione per una corretta ricostruzione dell immagine. In prima approssimazione, noto soltanto il punto d ingresso, è possibile considerare il percorso L del protone come una linea retta dal punto d ingresso lungo la direzione d incidenza. Un approssimazione migliore, note sia la posizione d ingresso che quella di uscita, è costituita dalla retta congiungente questi due punti noti (figura 2.5) ma, a causa dello scattering multiplo, i protoni attraversano l oggetto lungo una traiettoria che può deviare sensibilmente da un linea retta. Il multiplo scattering implica numerose interazioni elastiche tra le particelle cariche e i nuclei del materiale attraversato. 30

35 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct Sebbene ogni singola interazione dia luogo ad una complessa distribuzione di angoli di scattering, il risultato complessivo di molte interazioni è una distribuzione angolare che, in prima approssimazione, può essere considerata Gaussiana. In tale approssimazione quindi, il MCS è caratterizzato dalla larghezza σ θ della Gaussiana che descrive la distribuzione degli angoli di scattering. Il multiplo scattering produce inoltre uno spostamento della traiettoria della particella (figura 2.6). La distribuzione degli spostamenti, segue anch essa una distribuzione Gaussiana di larghezza σ t. Le larghezze di tali distribuzioni Gaussiane caratterizzanti il processo del MCS sono correlate tra di loro e sono proporzionali alla quantità di materiale attraversato. Sulla base dell approssimazione Gaussiana del multiplo scattering, se l oggetto attraversato ha densità elettronica omogenea e se sono note sia le posizioni che le direzioni di ingresso e uscita, è possibile ricavare analiticamente l MLP (most likely path), ovvero la più probabile tra tutte le traiettorie possibili dei protni attraverso il mezzo. Tale approccio è stato sviluppato da Williams ed il calcolo dettagliato è riportato in [3]. Qui ne diamo una breve descrizione. In riferimento alla figura 2.6, per semplicità si considerano solo le traiettorie proiettate in un piano (piano t-u). Date la posizione e la direzione di un protone incidente nel punto A (u 0,t 0,θ 0 = 0) e la posizione e la direzione di uscita nel punto B (u 1,t 1,θ 1 ), l MLP t(u) in un mezzo omogeneo è dato dall equazione (14) in [3] : t(u) = (AE BD)/(AC B 2 ) (2.1) dove A, B, C, D, ed E sono abbreviazioni di termini che dipendono dalle informazioni disponibili sulla traccia del protone e dall energia iniziale e sono descritti dalle equazioni (15)-(27) in [3]. Si osserva che tali termini contengono la quantità 1/β 2 p 2, ovvero il prodotto della velocità del protone 31

36 Capitolo 2. Sviluppo dell apparato sperimentale per un sistema pct Figura 2.6: Rappresentazione in un piano del MCS. Il percorso del protone attraverso l oggetto è determinato da numerose interazioni di scattering che producono una traiettoria a zigzag (in rosso). Entrambe le posizioni e le direzioni di ingresso e uscita (punti A e B) devono essere note per il calcolo del MLP relativa alla luce e dell impulso, che varia con la profondità u a causa ovviamente, della variazione dell energia cinetica man mano che il protone viaggia attraverso il mezzo. Come descritto dettagliatamente in [3], la relazione del termine 1/β 2 p 2 con la profondità può essere descritta da una polinomiale di quinto grado, i cui parametri possono essere ricavati da simulazioni Monte Carlo [3]. L MLP è risultato [19] la migliore approssimazione possibile del percorso dei protoni, in termini di qualità dell immagine ricostruita con simulazioni Monte Carlo. 32

37 Capitolo 3 Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct 3.1 Introduzione Nell ambito del progetto PRIMA, parallelamente al lavoro di sviluppo e di test dell apparato sperimentale, portato avanti dal gruppo di ricercatori dell INFN delle sezioni di Firenze e di Catania, un altro importante lavoro viene svolto ai Laboratori Nazionali del Sud, attraverso la realizzazione di simulazioni Monte Carlo. L espressione Metodo Monte Carlo (MC) è molto generale, con essa si suole indicare una tecnica stocastica, cioè basata sull uso di numeri random e probabilità statistiche, per la soluzione di problemi complessi di diversa natura. L idea che sta alla base del metodo Monte Carlo è che generando un numero molto grande di eventi, la loro media sia un evento molto vicino a quello reale (legge dei grandi numeri). Tale metodo è applicato a molteplici problemi, che vanno dal calcolo delle equazioni differenziali, alla fisica e alle applicazioni ingegneristiche. In particolare la tecnica Monte Carlo viene ampiamente usata in molteplici applicazioni di fisica sanitaria, 33

38 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct come dimostrano le numerose pubblicazioni presenti in letteratura [20, 21]. Si trovano sue applicazioni per esempio in radiodiagnostica e medicina nucleare per il calcolo della dose al paziente, in radioprotezione per il calcolo delle schermature e la valutazione delle penetrazioni, in dosimetria per stimare le caratteristiche delle camere a ionizzazione. Dato che un sistema per pct effettivamente utilizzabile per uso clinico, non è ancora stato realizzato, si comprende l importanza di uno strumento come il Monte Carlo nello studio preliminare delle caratteristiche del sistema, nella valutazione e nella scelta dei rivelatori, nel trattare le principali limitazioni (in particolare quella del MCS), nello studio delle caratteristiche dell immagine e nella valutazione dei possibili algoritmi di ricostruzione. Nell ambito di questo lavoro di tesi, attraverso la realizzazione di un applicazione Monte Carlo con il toolkit GEANT4 si è voluta verificare l applicabilità di uno specifico algoritmo di ricostruzione dell immagine chiamato Filtered backprojection o FBP. L FBP è oggi uno degli algoritmi più diffusi per la ricostruzione di immagini basate su fasci di fotoni, mentre noi ne abbiamo verificato l applicabilità ad un immagine con protoni, valutandone poi i risultati in termini di contrasto, rumore uniformità e soprattutto risoluzione spaziale. L applicazione realizzata riproduce esattamente un prototipo di sistema per pct, così come esso è stato descritto nel capitolo precedente. Essa consente quindi l applicazione del metodo del single tracking per la determinazione del MLP, come nella pratica sperimentale; questo calcolo è stato quindi confrontato sia con il dato sperimentale che il metodo analitico di Williams [3], ed è stato quindi assunto come validazione dell applicazione stessa. Una volta provata l affidabilità dell applicazione, essa è stata utilizzata per la ricostruzione di un immagine tomografica. 34

39 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct 3.2 Codice di simulazione GEANT4 GEANT4 [22, 23, 24] (GEometry ANd Tracking) è un toolkit, per simulazioni Monte Carlo basato sulla tecnologia Object-Oriented in linguaggio C++. Il software è stato sviluppato da una collaborazione di oltre 100 scienziati provenienti da tutta l Europa, il Giappone e il Nord America. La prima versione è stata pubblicata nel 1998 dopo essere stata presentata alla CERN Development Committee. Attualmente GEANT4 è usato in diversi campi scientifici che vanno dalla fisica delle alte energie, alla fisica medica e alle applicazioni spaziali. Il toolkit comprende un sistema di rivelazione facilmente utilizzabile, e una serie di diversi modelli fisici inseriti in una struttura flessibile. Il suo kernel incorpora diverse parti dedicate al tracking, alla ricostruzione della geometria, al trasporto delle particelle, alla definizione dei materiali, ai processi fisici, alla gestione degli eventi, alla configurazione del run, alla manipolazione dei dati di risposta del rivelatore e al sistema di visualizzazione. In particolare i processi fisici implementati coprono diversi tipi di interazioni che si estendono in un intervallo energetico che va dai neutroni termici alle reazioni ad alta energia, come quelle presenti nei raggi cosmici o negli esperimenti presso il Large Hadron Collider (LHC), tramite numerosi modelli differenti, complementari o alternativi tra loro. Le particelle implementate includono i leptoni, i fotoni, gli adroni e gli ioni. Inoltre il toolkit prevede un interfaccia che consente all utente di interagire in tempo reale con la propria applicazione, modificandone le caratteristiche sia geometriche, che fisiche, che di visualizzazione, senza doverne modificare il codice. GEANT4 adotta la tecnologia object-oriented che permette un facile processo di aggiornamento e gestione del software consentendo, così, una semplice divisione del processo di sviluppo in vari gruppi. Uno dei più significativi elementi di vantaggio è la sua capacità di definire regioni nel setup della simulazione dove è 35

40 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct possibile impostare differenti soglie di produzione per le particelle simulate. Questa possibilità, permette di ottimizzare l accuratezza e le performance in tempo di calcolo della simulazione in funzione delle particolari caratteristiche e necessità. 3.3 Simulazione di un sistema pct Utilizzando il toolkit GEANT4, è stata realizzata un applicazione Monte Carlo dedicata che riproduce esattamente il prototipo di un sistema pct come illustrato nel capitolo precedente. All interno dell applicazione è stato quindi simulato l apparato sperimentale costituito dai due telescopi di rivelatori, ognuno dei quali formato da due piani xy a microstrip di silicio, e dal calorimetro. Ciascun piano xy è stato simulato come un piano sensibile di silicio di spessore 1 mm e dimensioni 4, 5 4, 5cm 2. Su ciascuno di tali piani è possibile avere in output le informazioni relative alle posizioni x-y e all energia cinetica di tutti i protoni incidenti. Il calorimetro è stato simulato con un blocco di PMMA dello spessore di 10 cm, in grado di fornire il valore dell energia residua di ciascun protone. I modelli fisici implementati nella simulazione, sono stati ampiamente testati nell ambito dell esempio Hadrontherapy [25, 26], da cui la nostra applicazione trae origine, presente all interno di GEANT4. Per quanto riguarda la fisica elettromagnetica sono stati utilizzati il pacchetto Low Energy (sviluppato in particolare per applicazioni a basse energie) e il modello non gaussiano per il multiplo scattering. Per quanto riguarda le interazioni adroniche, sono stati attivati tutti i processi di scattering elastico e non elastico nucleone-nucleone, utilizzando il modello Precompound associato al modello GEM evaporation [27, 28]. 36

41 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Figura 3.1: Prototipo di sistema per pct testato al LLUMC Determinazione del MLP Set up sperimentale per il calcolo del MLP Nella prima fase di questo lavoro si è utilizzata l applicazione realizzata con GEANT4 per il calcolo del percorso più probabile dei protoni attraverso un fantoccio omogeneo, riproducendo esattamente le stesse condizioni sperimentali di un primo test del prototipo, condotto al Loma Linda University Medical Center (LLUMC) in California. L esperimento, condotto nel 2005, utilizzando il fascio di protoni da 200 MeV del sincrotrone in uso al LLUMC, ha permesso un primo test dell apparato sperimentale e l acquisizione dei dati per il calcolo sperimentale del MLP. In figura 3.1 è riportato l esatto set-up sperimentale utilizzato. Esso consiste dei due telescopi di rivelatori al silicio per la misura delle posizioni e le direzioni in ingresso e uscita dal fantoccio e del calorimentro per misura dell energia residua. La distanza tra i piani di silicio e il calorimetro è stata fissata durante ogni run. Il fantoccio, di spessore totale 180 mm, è in realtà costituito da spessori di PMMA (polimetilmetacrilato) di 1.25 cm, che possono essere aggiunti o rimossi in modo da poter variare lo spessore 37

42 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Figura 3.2: Il modulo mobile viene spostato in tre diverse posizioni (set-up A,B e C) per misurare la coordinata y e ricavare il percorco più probabile. Sperimentalmente sono stati eseguiti tre run, uno per ogni posizione del modulo mobile. totale attraversato dalle particelle. In questo modo, il set-up risulta particolarmente flessibile e adatto allo scopo dell esperimento, in quanto permette l inserimento di un ulteriore modulo di silicio mobile, la cui posizione può essere variata a diverse profondità all interno del fantoccio. In riferimento alla figura 3.1, per il calcolo dell MLP è necessaria la determinazione delle coordinate y e z di ciascun protone che attraversa il fantoccio. Le coordinate in ingresso e in uscita vengono acquisite con i due telescopi di rivelatori posti prima e dopo il fantoccio e una terza coordinata viene acquisita con il modulo mobile posto in mezzo al fantoccio. Il modulo mobile è stato spostato in tre diverse posizioni (60 mm, 90 mmm, 150 mm di profondità nel fantoccio di PMMA), corrispondenti alle tre configurazioni sperimentali A, B, C. La figura 3.2 mostra i tre set up sperimentali. 38

43 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Ciascuno dei tre set-up permette la determinazione sperimentale di un punto del MLP, fissate le configurazioni di ingresso e uscita. In altri termini, fissate le configurazioni (posizione e direzione) di ingresso e uscita, ciascun MLP è costruito da tre punti sperimentali: a 60, 90 e 150 mm di profondità in PMMA. Simulazione MC per il calcolo dell MLP Utilizzando l applicazione Monte Carlo da noi realizzata, è stato riprodotto l esperimento per il calcolo dell MLP. Il fascio di protoni del LLUMC è stato simulato con uno spot quadrato di lato 2.5 mm. La sua distribuzione energetica è descritta da una gaussiana centrata a 200 MeV di valore nominale e una FWHM di 35 kev. La direzione del fascio incidente (lungo l asse x nel sistema di riferimento di GEANT4) è perpendicolare alla superficie dei rivelatori. Ai telescopi di microstrips, già simulati come descritto in 3.3, è stato aggiunto il modulo mobile. Figura 3.3: Visualizzazione di GEANT4 del setup simulato: la traccia dei protoni e dei secondari attraversa i piani di silicio e il fantoccio di PMMA. Infine il fascio viene stoppato all interno del calorimetro 39

44 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Le tre diverse posizioni del modulo mobile (set-up A, B e C) sono state simulate esattamente, includendo anche gli spessori d aria tra i moduli e gli spessori di PMMA. Per la ricostruzione del MLP, sono state registrate le coordinate di posizione y e z e la direzione di ciascun protone incidente sui piani di silicio. In questo modo l MLP può essere ricostruito esattamente come avviene sperimentalmente. La figura 3.3 mostra la visualizzazione di GEANT4 di un tipico set-up simulato. Per semplicità di calcolo, l MLP ricostruito è proiettato in un piano, ovvero si è fatta una ricostruzione bidimensionale del percorso. Sono stati ricostruiti tre MLPs, corrispondenti a tre diverse di uscita. La configurazione di ingresso è unica per tutti e tre i percorsi, nella posizione y in = 0 mm e angolo 0 rad, corrispondente esattamente alla posizione e direzione di incidenza del fascio sul primo rivelatore. Quindi sono state scelte tre diverse configurazioni di uscita delle particelle dal fantoccio: 1. Configurazione I : y = 0.8 mm e 7 mrad; 2. Configurazione II : y = 2 mm e 15 mrad; 3. Configurazione III : y = 4 mm e 35 mrad. in cui y rappresenta lo spostamento rispetto alla posizione d incidenza y in = 0 mm. Le incertezze sulle posizioni e gli angoli, tenendo in considerazione il set-up sperimentale, sono rispettivamente ±0.2 mm e ±2.5 mrad. Gli angoli scelti, sono quelli misurati sperimentalmente nei corrispondenti punti di uscita. Per ogni fissata configurazione di uscita, sono state fatte tre diverse simulazioni, una per ognuna delle tre posizioni del modulo mobile. Durante ogni simulazione, è stata registrata la posizione y di ogni particella incidente sul modulo mobile. Quindi, se ne è calcolato il valore medio Y G4 e l errore standard. In questo modo con tre punti, si sono ottenuti i percorsi simulati, 40

45 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct in modo analogo al caso sperimentale. I percorsi ottenuti con GEANT4 sono stati confrontati inizialmente con i punti sperimentali e successivamente con i percorsi teorici previsto dalla teoria semi-analitica di Williams [3] Validazione dell applicazione: confronto tra MLP simulato, sperimentale e analitico Per ciascuna configurazione scelta è stato fatto il confronto tra l MLP simulato e quello sperimentale, nei tre punti corrispondenti alle tre posizioni del modulo mobile (A,B e C). I risultati sono mostrati in figura 3.4. Per fare un confronto consistente tra i due set di dati, è stato considerato esattamente lo stesso numero di protoni, sia nel caso sperimentale che nel Monte Carlo. Per dare una stima quantitativa dell accordo tra i punti mostrati in figura 3.4 è stato effettuato su ogni punto il test statistico di Student (t-test). La tabella 3.1 mostra i valori delle coordinate Y dedli MLPs ottenuti dalle simulazioni (Y G4 ) e dal dato sperimentale (Y exp ) in ciascun set-up. Nel nostro caso, fissando il livello di significatività del test al 5%, il valore della della variabile statistica t calcolata deve essere minore del valore soglia tabulato [29] 1.96, affinchè si possa affermare che il test sia stato superato. Tabella 3.1: Coordinate sperimentali e simulate con Geant4 per la Configurazione I Y G4 [mm] Y Exp [mm] t SET-UP A (x = 60 mm) 0.11 ± ± SET-UP B (x = 90 mm) 0.21 ± ± SET-UP C (x = 150 mm) 0.54 ± ±

46 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Tabella 3.2: Coordinate sperimentali e simulate con Geant4 per la Configurazione II Y G4 [mm] Y Exp [mm] t SET-UP A (x = 60 mm) 0.30 ± ± SET-UP B (x = 90 mm) 0.54 ± ± SET-UP C (x = 150 mm) 1.34 ± ± Tabella 3.3: Coordinate sperimentali e simulate con Geant4 per la Configurazione III Y G4 [mm] Y Exp [mm] t SET-UP A (x = 60 mm) 0.56 ± ± SET-UP B (x = 90 mm) 1.04 ± ± SET-UP C (x = 150 mm) 2.65 ± ± Nelle tabelle 3.2 e 3.3, sono mostrati gli stessi risultati nel caso delle configurazioni II e III. I risultati mostrano un buon accordo tra il dato simulato e il dato sperimentale. Per ciascun confronto è mostrata la variabile statistica del t-test. Un ulteriore confronto è stato effettuato tra gli MLPs ottenuti dalle simulazioni e gli MLPs ottenuti utilizzando le equazioni del calcolo semianalitico proposto da Williams [3]. In questo caso, attraverso il Monte Carlo, fissate configurazioni di ingresso e uscita dei protoni, sono stati ricostruiti gli interi percorsi, dal punto di ingresso al punto di uscita a step di 1 mm. In figura 3.5 è mostrato il confronto tra i percorsi Monte Carlo e i percorsi analitici, ottenuti per le configurazioni I e III. 42

47 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Figura 3.4: Confronto tra tre MLP misurati sperimentalmente e ricavati dalle simulazioni Monte Carlo nelle stesse condizioni. Per ciscun punto è stato calcolato anche l errore statistico che però risulta inferiore a 0.45 mm e quindi difficilmente rappresentabile nel grafico. Nel caso dei percorsi Monte Carlo, sono riportati anche le indeterminazioni 1σ attorno alle curve MLP, che evidenziano la caratteristica forma a banana del MLP. La massima differenza tra le curve mostrate è di mm per la configurazione I e di mm per la configurazione III. Nella stessa figura è riportato un inserto che mostra uno zoom del MLP, per la configurazione I, nella regione compresa tra gli 80 e i 120 mm di profondità. Questo inserto permette di rivelare un distanza di 29 µn tra le due curve. In questo caso, per una valutazione quantitativa dell accordo tra le curve è stato utilizzato il test statistico di Kolmogorov-Smirnov (K-S test). Il K-S test è applicabile quando si vogliano confrontare le distribuzioni di due serie di punti, o equivalentemente in gergo statistico, quando si voglia verificare che due campioni 43

48 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Figura 3.5: Confronto tra MLP ricavato dalla teoria di Williams e dalle simulazioni GEANT4 relativi alle configurazioni I e II. I puntini rappresentano l MLP analitico, mentre la linea continua rappresenta l MLP simulato. Per le curve simulate è risportata l incertezza stistica pari a 1σ attorno al MLP. L inserto rappresenta un zoom del MLP nel caso della configurazione I di dati appartengono alla stessa popolazione. Se questa ipotesi è verificata, allora ci si aspetta che le curve cumulate di entrambi i campioni siano molto vicine l una all altra. La grandezza da valutare nel K-S test è la D max, ovvero la massima differenza tra le curve cumulate di entrambi i campioni. A partire da D max è possibile determinare il valore della variabile statistica del K-S test, il KSstat. Se il valore osservato, ad un fissato livello di significatività, risulta minore del valore soglia tabulato, si può affermare che i due campioni sono stati estratti dalla stessa popolazione, o in termini più immediati, che hanno la stessa distribuzione. La tabella 3.4 sintetizza i risultati del K-S test. Sono riportati i valori della variabile statistica (KSstat) da confrontare 44

49 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Tabella 3.4: Risultati del test di Kolmogorov-Smirnov per il confronto tra il percorso simulato e il percorso ricavato analiticamemte. Config. I Config. II Config. III KSstat Distanza massima [ mm ] Geant4 MLP max std [ mm ] MLP analitico max std [ mm ] con il valore soglia critico tabulato [30], che nel nostro caso è Inoltre è riportato il valore della massima distanza tra le curve considerate e il massimo valore della deviazione standard di entrambe. L accordo tra il Monte Carlo e il calcolo analitico risulta migliore per il caso I e mostra un leggero peggioramento nel caso della configurazione III, ovvero nel caso della configurazione più estrema, con direzione e punto d uscita sensibilmente più distanti rispetto alla direzione e la punto d incidenza. In ogni caso, considerando che la massima distanza tra le curve MLP Monte Carlo e analitiche è intorno ai 100 µn e considerando che tale valore è dello stesso ordine di grandezza della risoluzione del nostro apparato di rivelazione, si può concludere che l accordo tra i due metodi è ottimo. L applicazione realizzata con GEANT4, risulta quindi ampiamente validata dal confronto con il dato sperimentale e con il calcolo analitico. I buoni risultati ottenuti dal confronto con il calcolo analitico, inoltre, confortano sull effettivo utilizzo della teoria di Williams nella predizione del MLP da utilizzare all interno dell algoritmo di risoluzione dell immagine. 45

50 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct 3.4 Simulazioni Monte Carlo per la ricostruzione di un immagine tomografica con protoni La tomografia computerizzata (CT) consente di ottenere immagini di sezioni (fette) dell oggetto in esame, attraverso l uso di radiazioni ionizzanti, tradizionalmente raggi X. Ruotando l oggetto, mentre viene investito da un fascio piano di radiazioni (fotoni nella diagnostica convenzionale), vengono acquisite, attraverso un insieme di rivelatori, una serie di proiezioni. Una proiezione in generale, rappresenta l integrale di linea di determinate proprietà dell oggetto (coefficienti di attenuazione, densità elettronica, etc.) lungo una direzione predefinita, proprietà differente a seconda naturalmente della radiazione impiegata. Nel caso convenzionale dell utilizzo di raggi X, ad esempio, le proiezioni sono semplici conteggi dei fotoni che hanno attraversato l oggetto senza essere assorbiti. A partire dai dati di proiezione viene ricostruita l immagine utilizzando sofisticati algoritmi di ricostruzione. L algoritmo di ricostruzione più utilizzato nell imaging convenzionale è quello della retroproiezione filtrata (FBP, filtered back projection). In questo lavoro di tesi si è voluta testare l applicabilità di tale algoritmo alla ricostruzione di un immagine con protoni, valutando poi la qualità delle immagini ottenute. L applicazione Monte Carlo realizzata con GEANT4, che riproduce il prototipo reale che si sta sviluppando all interno della collaborazione, è stata utilizzata per ottenere i dati di proiezione necessari alla ricostruzione tomografica di opportuni fantocci con un fascio di protoni. Nel prossimo capitolo sarà descritto l algoritmo di ricostruzione e la sua applicazione ai dati ottenuti dalle simulazioni; qui di seguito descriveremo i fantocci utlizzati e la modalità di registrazione dei dati durante la simulazione. 46

51 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Figura 3.6: Schema della sezione del fantoccio simulato. Per la valutazione della risoluzione in basso contrasto si utilizzano i 45 cilindri a densità linearmente variabile disposti lungo il perimetro. Per la risoluzione spaziale si utilizzano le triplette di fori al centro. E stato simulato un fantoccio cilindrico d acqua del dimanetro di 20 cm. Il fantoccio, schematizzato in figura 3.6, contiene due differenti serie di inserti specifici per la valutazione della risoluzione spaziale e della risoluzione in densità: 1. Per risoluzione in densità, in condizioni di basso contrasto, sono stati simulati 45 inserti cilindrici. I cilindri hanno la stessa composizione chimica dell acqua ma densità linearmente variabile da 0.9 gcm 3 a 1.1 gcm 3, a step di gcm 3, mentre la densità del background (ovvero del fantoccio d acqua) è esattamente 1 gcm Per la risoluzione spaziale, seguendo un metodo standard [31] sono stati simulati specifici pattern, costituiti da triplette di fori cilindrici, allineate e disposte simmetricamente all asse del cilindro. Tali cilindretti, essendo vuoti, hanno una differenza in densità del 100% rispetto al 47

52 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct mezzo uniforme (acqua) in cui sono inseriti (condizioni di alto contrasto). In tabella 3.5 sono riportati i dati relativi ai diametri delle triplette e al corrispondente valore di risoluzione spaziale in Lp/cm. Tripletta Diametro Risoluzione Spaziale fori corrispondente [mm] [Lp/cm] Tabella 3.5: Corrispondenza tra la tripletta, il diametro dei fori e la risoluzione spaziale. L ultima tripletta visibile rappresenta il miglior valore di risoluzione spaziale raggiungibile. Il fantoccio è attraversato da un fascio di protoni da 200 MeV, rettangolare di dimensioni 1 200mm 2. La posizione in cui è generato il fascio, corrisponde esattamente a metà altezza del cilindro. In queste condizioni, poichè la dimensione del fascio ricopre esattamente la sezione del fantoccio, è possibile ricostruire la fetta centrale (figure 3.7 e 3.8). Sono state ricostruite diverse immagini della fetta centrale, per differenti numeri di protoni incidenti (da fino 2,5 milioni) corrispondenti a diversi valori di dose al centro (paragrafo successivo). Durante la simulazione il 48

53 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Figura 3.7: Visualizzazione tridimensionale di GEANT4 del fantoccio simulato attraversato dal fascio di protoni. Figura 3.8: Schematizzazione del fantoccio attraversato da un fascio piano di protoni, che permette la ricostruzione della fetta centrale 49

54 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct sistema di riferimento cartesiano fascio (x,y,z) rimane stazionario rispetto a quello del laboratorio (il sistema world in GEANT4), mentre il fantoccio in esame viene ruotato attorno all asse di simmetria di un angolo costante ϕ tra un run 1 e il successivo, per accumulare i dati delle proiezioni ai vari angoli. Ogni immagine è stata realizzata con 360 proiezioni contigue, ottenute in ogni simulazione, ruotando il fantoccio da 0 a 359. Per ciascuna rotazione del fantoccio, sono state registrate : 1. posizione e direzione in ingresso e in uscita (sui piani di silicio simulati); 2. l energia residua (nel calorimetro). Questi dati sono esattamente quelli che è possibile determinare sperimentalmente con il nostro prototipo e che consentono di ottenere i dati di proiezione dal calcolo analitico dell integrale a sinistra nella formula 1.6. Questi dati, permettono la ricostruzione della fetta centrale con l applicazione di un algoritmo di ricostruzione, come si vedrà nel prossimo capitolo. 3.5 Calcolo della dose Dose al centro in un fantoccio cilindrico Per valutare la dose rilasciata dal fascio di protoni nelle immagini ricostruite, si è scelto il metodo comunemente utilizzato nella pratica per la definizione della dose in tomografia a raggi x, il CTDI (Computed Tomography Dose Index)[32]. In tomografia si eseguono valutazioni di CTDI attraverso una camera a ionizzazione cilindrica lunga 10 cm e del diametro di 2 cm, inserita 1 Il run è un comando mediante il quale si ordina all applicazione di seguire il percorso di un numero preciso e definibile di particelle 50

55 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct lungo l asse di un fantoccio cilindrico dalle pareti in plexiglass e riempito d acqua. L indice di dose può essere definito dalla: CT DI 100 = 1 nt 50mm 50mm D(z)dz (3.1) dove T è lo spessore nominale in millimetri della fetta scansionata, n è il numero di strati contigui campionati per ogni singola proiezione, z è la posizione lungo l asse di rotazione in cui è disposta la camera e D(z) è la dose rilasciata, per singola proiezione, nella fetta di coordinate tra z e z+dz della sola camera. Esso rappresenta quindi l integrale del profilo di dose calcolato lungo una linea ortogonale al piano lungo cui di esegue la tomografia, diviso per il prodotto dello spessore T per il numero degli strati n. Si dimostra che tale integrale è uguale alla somma dei contributi nel centro del fantoccio dovute alle esposizioni degli strati contigui. Si può quindi scrivere l energia totale rilasciata nella camera a ionizzazione (E C.I.) per ogni proiezione nel seguente modo (sfruttando la definizione di dose assorbita (D = de dm ), E C.I. = ρs 50mm 50mm de dz = ρs dm 50mm 50mm D(z)dz = nt ρsct DI 100 (3.2) essendo ρ ed S la densità e la sezione della camera a ionizzazione. Ne segue che: CT DI 100 = 1 E C.I. n ρst = 1 E C.I. n m (3.3) dove m è la massa della parte della camera di spessore T. Nell ipotesi di tomografo a singlo strato (n=1), per calcolare il CT DI 100 basta sommare l energia rilasciata nel volume della camera e dividere per la massa m. All interno della simulazione, per la valutazione della dose rilasciata per ogni 51

56 Capitolo 3. Simulazioni Monte Carlo per un sistema pct Figura 3.9: Visualizzazione di Geant4 della camera a ionizzazione inserita lungo l asse del fantoccio cilindrico per la misura del CTDI scansione tomografica a diversi valori della fluenza (numero di protoni incidenti per unità di superficie), è stata simulata una camera a ionizzazione cilindrica disposta lungo l asse del fantoccio. La camera è stata simulata con un cilindro d acqua del diametro di 2 cm e lunghezza 10 cm (figura 3.9). Il CT DI 100, come la fluenza è inversamente proporzionale allo spessore del fascio T. In ogni simulazione, per ogni step 2 di ciascuna particella, primaria o secondaria, è stata sommata l energia depositata localmente (attraverso il metodo di GEANT4 GetTotalEnergyDeposit), all energia totale rilasciata nel volume della camera. In questo modo, nota la massa della camera è stato possibile determinare il valore del CTDI per ogni valore della fluenza del fascio iniziale. 2 Lo step è l intervallo spaziale della traccia di una particella, modificabile dall utente, entro cui GEANT4 considera costanti i valori delle sezioni d urto dei vari processi d interazione 52

57 Capitolo 4 Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) 4.1 Introduzione Tutte le immagini attualmente disponibili del corpo umano vengono ricavate dall interazione di flussi di energia nella forma di onde meccaniche o elettromagnetiche con i tessuti umani. Le radiazioni maggiormente utilizzate sono le radiazioni X, che interagiscono, nel range di energie utili per la diagnostica, prevelentemente per effetto Compton. Le immagini tomografiche con raggi X, sono quindi ottenute a partire dalla misura dell attenuazione dei fotoni incidenti attraverso l uso di opportuni algoritmi di ricostruzione, che richiedono l uso di un formalismo matematico piuttosto complesso. Nel corso di questo capitolo, si effettuerà prima un breve trattazione dei principi che stanno alla base della teoria di ricostruzione dell immagine e dell applicazione dell algoritmo FBP nel caso convenzionale con fotoni e successivamente si es- 53

58 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) Figura 4.1: Intensità in ingresso e in uscita per un singolo canale tenderanno tali concetti al caso dei protoni. Ciò, come vedremo, richiederà opportune correzioni e approssimazioni. 4.2 Teoria di ricostruzione delle immagini Quando un fascio di fotoni (idealmente monocromatici), attraversa uno spessore di materiale non omogeneo, la fluenza del fascio varia secondo la legge di Lambert-Beer: I(L) = I 0 e L µ(x,y)dl (4.1) dove L indica la linea retta d integrazione lungo una sezione piana del materiale sul è fissato un sistema di riferimento cartesiano (O,x,y). Nell imaging a raggi X, l informazione che è possibile ricavare proviene unicamente dalle misure di fluenza in ingresso e in uscita. Poichè, nella realtà i rivelatori hanno dimensioni finite, nella pratica, l equazione 4.1 va discretizzata suddividendo la linea L come mostrato in figura 4.1. I = I 0 e i µ i x (4.2) La funzione P : 54

59 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) Figura 4.2: Intensità in ingresso e in uscita per un intera sezione (slice) P = ln I 0 I = n µ i x (4.3) denominata proiezione è ciò che viene effettivamente misurato nella pratica. Come abbiamo già detto nel capitolo precedente, la funzione di proiezione i=1 è l integrale di linea (somma) di una determinata grandezza fisica. Tale grandezza è il coefficiente di attenuazione per gli X e la densità elettronica nel caso del protoni. Si immagini ora di suddividere il blocco di materiale che si sta considerando, in molte fette (slices) e si focalizzi l attenzione su una di tali fette. immagini di suddividere tale fetta con una griglia ideale, come mostrato in figura 4.2, si avranno così m proiezioni degli n m coefficienti di attenuazione. Quindi la funzione 4.3 diventa: n P j = µ ij x conj = 1, 2,..., m (4.4) i=1 Ciascuna proiezione è uguale alla somma: I 1 = I 01 e (µ 11 x+µ 12 x+...) I 2 = I 02 e (µ 21 x+µ 22 x+...) 55

60 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection)... I m = I 0m e (µ m1 x+µ m2 x+...) Durante una tomografia, ruotando la sorgente di radiazione attorno all oggetto investito dal fascio piano di fotoni (o, il che è del tutto equivalente, ruotando l oggetto rispetto alla sorgente), vengono acquisite tramite un insieme di rivelatori disposti lungo una linea, una serie di proiezioni, cioè integrali di linea, costituite nel caso dei fotoni, da semplici conteggi. L obiettivo è la determinazione dei µ ij a partire da queste grandezze Trasformata di Radon Si consideri la geometria di figura 4.3, relativa ad un conveniente sistema di riferimento appoggiato su una sezione piana del materiale da rappresentare dove: Oxy è un riferimento cartesiano ortogonale solidale alla sezione piana; P un punto qualsiasi della sezione da ricostruire; s e t le coordinate del punto P nel riferimento cartesiano ruotato di φ rispetto al riferimento solidale. Introducendo i versori κ e κ si ha: L integrale di linea dei coefficienti µ lungo L è P (x, y) = sκ + tκ (4.5) La funzione P L = µ(x, y) = + L µ(sκ + tκ )dt (4.6) 56

61 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) Figura 4.3: Geometria dei sistemi di riferimento utilizzati nel calcolo degli integrali di proiezione e funzione di proiezione all angolo φ, P φ (s) P φ (s) = + µ(sκ + tκ )dt = + + µ(x, y)δ(xcosφ + ysenφ s)dxdy (4.7) dove la funzione δ di Dirac individua il percorso dell integrale di linea, è detta Trasformata di Radon della funzione µ(x, y), funzione, per un fissato angolo di proiezione, dei coefficienti di attenuazione sulla slice in esame. L insieme delle trasformate di Radon (integrali di linea), ottenute al variare dell angolo φ, formato dal versore κ con l asse x solidale all oggetto in esame, genera il cosidetto sinogramma. Il problema della ricostruzione dell immagine è esattamente quello di invertire l equazione 4.7, ovvero di ricavare µ(x, y), dall insieme delle proiezioni (sinogramma). A questo scopo sono stati sviluppati speciali algoritmi matematici, il più diffuso dei quali è quello della retroproiezione filtrata (FBP). 57

62 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) 4.3 L algoritmo di retroproiezione filtrata (FBP) La tecnica di ricostruzione TC in assoluto più utilizzata nei moderni tomografi è la retroproiezione filtrata (Filtered Backprojection - FBP). La tecnica FBP rientra nella categoria delle cosiddette tecniche di Fourier, in quanto è un applicazione di un settore della matematica noto come analisi di Fourier. Il formalismo matematico della FBP è molto complesso e non verrà esaminato nel dettaglio. Come il nome stesso suggerisce, l algoritmo di retroproiezione filtrata consiste in due fasi distinte: una fase di filtrazione, e una fase di retroproiezione. Figura 4.4: Schema a blocchi dell algoritmo di retroproiezione filtrata (FBP). Analizzeremo ora separatamente i due blocchi di questo algoritmo (figura 4.4), partendo dalla fase di retroproiezione (backprojection, BP). Si consideri un oggetto rettangolare, come mostrato in figura 4.5, e si supponga di averne eseguito due proiezioni, a 0 e 90. Ciascuna proiezione è un profilo unidimensionale, corrispondente ad una riga del sinogramma. Si supponga ora di rendere bidimensionale ognuno di questi profili, retroproiettandoli su un piano. Per ogni profilo si otterrà una immagine intermedia (strisce chiare in figura 4.5). Un altro esempio, più complesso, è quello riportato in figura 4.6, di un oggetto costituito da due cerchi non concentrici di diversa luminosità. Come è possibile vedere dalla figura, eseguendo la retroproiezione di un numero crescente di viste angolari, 58

63 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) Figura 4.5: Esempio di retroproiezione nel caso di un semplice oggetto rettangolare. (Sinistra) L acquisizione di due viste angolari dell oggetto, a 0 e 90, produce i due profili indicati dalle frecce. (Destra) I due profili sono retroproiettati sul piano dell immagine, ciascuno con il suo angolo di acquisizione, per formare una ricostruzione approssimata dell oggetto originale. si otterrà un immagine sempre più simile a quella dell oggetto di partenza. Se si utilizza un numero troppo basso di angoli, si ottiene un immagine di scarsa qualità. Nonostante ciò, la forma dell oggetto originale risulta già distinguibile con soli 4 angoli di vista. Utilizzando 10 angoli il risultato migliora, ma è ancora visibile il caratteristico artefatto stellato, tipico della retroproiezione. Con 45 angoli l artefatto stellato è scomparso, e si distingue chiaramente la forma dell oggetto originale. Tuttavia, l immagine risulta visibilmente - sfocata. La sfocatura (in gergo, blurring) della ricostruzione non è dovuta ad un insufficiente numero di viste angolari, bensì all assenza della fase di filtrazione del sinogramma. La figura 4.7 mostra un esempio di ricostruzione analogo a quello di figura 4.6, ma in cui il sinogramma è stato correttamente filtrato prima della retroproiezione. In questo caso, l immagine ricostruita appare di buona qualità (utilizzando un sufficiente numero di viste angolari). Il filtro più utilizzato è il filtro a rampa, che è anche noto come filtro Ram-Lak, in onore dei due scienziati che per primi lo applicarono alla ri- 59

64 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) Figura 4.6: Ricostruzione tomografica mediante retroproiezione (BP), eseguita a partire da dati simulati. Se si utilizza un numero troppo basso di viste angolari (ovvero di righe del sinogramma) si ottiene un immagine di scarsa qualità. Nonostante ciò, la forma dell oggetto originale risulta già vagamente distinguibile con soli 4 angoli di vista. Utilizzando 10 angoli il risultato migliora, ma è ancora visibile il caratteristico artefatto stellato, tipico della retroproiezione. Con 45 angoli l artefatto stellato è scomparso, e si distingue chiaramente la forma dell oggetto originale. Tuttavia, l immagine risulta visibilmente sfocata: ciò è dovuto all assenza della fase di filtrazione. costruzione tomografica. Riepilogando, l algoritmo FBP consiste in due fasi distinte. Nella fase di filtrazione, i dati del sinogramma vengono elaborati nel dominio delle frequenze con un filtro a rampa, che ha l effetto di enfatizzarne i dettagli. In gergo, si dice che il filtro a rampa ripristina le alte frequenze spaziali rimosse dalla retroproiezione. Nella fase di retroproiezione, ciascuna riga del sinogramma filtrato viene dapprima resa bidimensionale, formando così una immagine intermedia; tale immagine viene successivamente ruotata di un an- 60

65 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) Figura 4.7: Ricostruzione tomografica mediante retroproiezione filtrata, eseguita a partire da dati simulati. L applicazione del filtro a rampa prima della retroproiezione elimina la sfocatura nell immagine ricostruita. L artefatto stellato è sempre presente, ma diminuisce di intensità all aumentare del numero di viste angolari retroproiettate. golo pari all angolo di acquisizione della corrispondente riga del sinogramma. Sovrapponendo tutte le immagini intermedie così ottenute, ciascuna relativa ad una diversa riga del sinogramma filtrato, si ricava l immagine tomografica. Esistono numerose varianti dell algoritmo FBP, ognuna delle quali viene utilizzata in una diversa geometria di scansione (ad esempio, l algoritmo FBP per la scansione in geometria fan-beam è leggermente differente da quello utilizzato geometria parallel-beam). In pratica, la particolare forma del filtro e la direzione di retroproiezione vengono sempre adattate alla particolare geometria utilizzata. Il principio di base dell algoritmo rimane comunque sempre lo stesso. 61

66 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) 4.4 La trasformata di Radon nella pct Ricordiamo che la perdita di energia di un fascio di protoni (Bethe-Bloch), può essere espressa conveniente nel seguente modo (paragrafo 1.4.1): de( r) dx = η e( r)s(i( r), E( r)) (4.8) dove S è lo stopping power del protone in acqua, dato dall espressione 1.4. Come già accennato nel paragrafo 1.4.1, la relazione tra la perdita media di energia di un protone e l integrale della densità elettronica (equazione 1.6) è alla base del metodo utilizzato nella pct per la ricostruzione dell immagine. La perdita media di energia di un fascio di protoni monocromatico di energia iniziale E in, nell attraversare un materiale (anche non omogeneo) di spessore L lungo la direzione del fascio è data da: E in = E out L o in termini del potere frenante, S(l): 0 de (l)dl (4.9) dl E in = E out L 0 S(l)ρ(l)dl (4.10) La 4.9, viene approssimata nel caso reale (di campionamento finito) dalla: de de E = dl dl = dx dx ρ(l) de l (4.11) dx Integrando la 4.8, tra l energia in ingresso E in (che può essere considerata costante) e l energia media in uscita, E out, si ottiene l equazione 4.12, molto simile alla 4.3 nel caso dei fotoni: Eout E in de S(I( r), E) = η e ( r)dl = η e ( r) l (4.12) L 62

67 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) Si può notare l analogia formale tra la perdita di energia E in -E out per i protoni, e la variazione della fluenza per i fotoni: questo permette di utilizzare i valori determinati tramite l integrale a sinistra nella 4.12 esattamente come le proiezioni viste nel paragrafo 4.2 per il calcolo della trasformata di Radon (par 4.2.1, eq. 4.7): è necessario però considerare le traiettorie dei protoni come rettilinee e complanari. L integrale a sinistra nella 4.12, considerando il potenziale di ionizzazione costante e pari a quello medio dell acqua, può essere calcolato numericamente: in tal modo è possibile l inversione dello stesso, senza alcuna modifica all algoritmo FBP, per il calcolo della densità elettronica. 4.5 Applicazione del metodo FBP: ricostruzione dell immagine L applicazione dell algoritmo FBP richiede l utilizzo di fasci piani costituiti da particelle a traiettoria rettilinea. Questa condizione è sempre verificata nel caso dei fotoni, ma è soltanto un approssimazione nel caso dei protoni che sono soggetti, come è stato più volte detto, allo scattering multiplo da parte dei nuclei degli atomi costituenti il materiale attraversato. Al fine di rispettare i requisiti geometrici imposti dall algoritmo FBP, è quindi necessario stabilire dei vincoli, in modo da selezionare quei protoni la cui traiettoria possa essere considerata approssimativamente rettilinea attraverso il mezzo. A questo scopo, all interno della simulazione, il fantoccio è stato suddiviso idealmente in canali, orientati perpendicolarmente all asse del cilindro, quindi nella stessa direzione del fascio incidente. Tale suddivisione in canali, permette di fare due diverse approssimazioni, ovvero due diversi metodi di selezione delle perticelle utili alla formazione dell immagine (figura 4.8), per 63

68 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) la successiva applicazione dell FBP. Figura 4.8: Schematizzazione della sclice centrale suddivisa in canali. Sono mostrati i due diversi metodi di selezione dei protoni, corrispondenti a due possibili percorsi delle particelle. Nel primo metodo (metodo A), vengono selezionati i protoni che entrano ed escono nello stesso canale, senza eseguire alcun controllo sul loro percorso all interno del fantoccio. Nel secondo metodo (metodo B), viene imposto un ulteriore vincolo: vengono selezionate soltanto le particelle, il cui percorso L non fuoriesce mai da un dato canale (che è ovviamente il canale d ingresso) durante il tragitto attraverso il fantoccio. Il metodo A richiede soltanto la conoscenza delle posizioni in ingresso e in uscita, mentre con il metodo B è necessario il calcolo del percorso L dei protoni. Questo calcolo è stato eseguito utilizzando l approccio di Williams [3] del MLP, a partire dai dati relativi alle posizioni di ingresso e uscita. La larghezza dei canali è stata fissata ad 1 mm; questo valore rappresenta il miglior compromesso tra il valore di risoluzione spaziale raggiungibile nell immagine finale, la necessità di avere statistica sufficiente (connessa per altro al valore di dose totale) e la necessità di avere tempi di calcolo ragionevoli. 64

69 Capitolo 4. Ricostruzione dell immagine con il metodo FBP (Filtered Backprojection) Come, è stato già accennato, l immagine è stata ottenuta con 360 proiezioni contigue, ottenute ruotando il fantoccio da 0 a 359. Per ciascuna rotazione del fantoccio, viene generato un file contenente per ogni protone simulato, sia le energie iniziali e finali, sia le posizioni sui piani rivelatori in ingresso e uscita. In totale quindi si registrano, per ogni simulazione 360 files, tanti quante sono le rotazioni del fantoccio. Nel caso del metodo B, in fase di analisi, tali files vengono ulteriormente filtrati eliminando quei protoni il cui percorso (calcolato mediante l approccio dell MLP) non risulta interamente confinato all interno del canale. L integrale che serve a determinare i valori di proiezione 4.12, (per ogni canale da 1 mm nella suddivisione virtuale del piano da rappresentare), è stato calcolato numericamente e i valori ottenuti, per ogni fissato valore dell energia iniziale e finale, sono stati immagazzinati in un file. I dati di proiezione così ottenuti, vengono sistemati in una matrice (sinogramma) e l applicazione dell algoritmo FBP permette la ricostruzione tomografica della slice. L algoritmo è stato implementato in ambiente matlab, utilizzando anche le funzioni built-in dell ambiente matlab (radon(),iradon()), insieme allo sviluppo, nello stesso ambiente, della funzione 1.4. Il filtro utilizzato è il filtro Ram-Lak, cioè quello normalmente utilizzato con l FBP. 65

70 Capitolo 5 Risultati Attraverso l applicazione dell algoritmo FBP ai dati di proieizione simulati, sono state ricostruite diverse immagini della slice centrale del fantoccio per valori di dose assorbita crescenti da una valore minimo di 1.5 mgy, (corrispondente a protoni incidenti) ad un valore massimo di 155 mgy (corrispondente a protoni incidenti). La figura 5.1 mostra la ricostruzione tomografica della slice centrale del fantoccio cilindrico per tre valori della dose assorbita: 1.5 mgy, 31 mgy e 155 mgy. Le immagini della colonna di sinistra sono quelle ottenute con il metodoa, quelle della colonna di destra quelle ottenute con il metodo B. Ad una prima osservazione si nota il miglioramento della qualità dell immagine all aumentare della dose e, a parità di dose, con l applicazione del Metodo B. Tutte le immagini ottenute, con entrambi i metodi di approssimazione, sono state valutate in termini di omogeneità, rumore, risoluzione in densità e risoluzione spaziale. 66

71 Capitolo 5. Risultati Figura 5.1: Immagini della slice centrale del fantoccio, ricostruite applicando l algoritmo FBP nei due diversi metodi di approssimazione adottati (Metodo A e Metodo B), per tre diversi valori della dose assorbita. 67