ESERCIZI SULLA DISPERSIONE IN FIBRA

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1 Reti in fibra ottica Quarta Esercitazione ESERCIZI SULLA DISPERSIONE IN FIBRA. Si consideri una fibra sinolo modo standard (SMF) con zero di dispersione situato alla lunhezza d onda =33 nm e col parametro S pari a.86 /nm /km. (a) Disenare un rafico che mostri il comportamento di D come funzione della lunhezza d onda. (b) Determinare il valore di D a 55 nm.. Si consideri una fibra di tipo non-zero dispersion-shifted (NZ-DSF), con parametro di dispersione D=4.5 /nm/km a 55 nm, e dispersion-slope S=.45 /nm /km. (a) Si tracci il rafico del parametro D in funzione della lunhezza d onda, attorno a 55 nm. (b) Si stimi il valore della zero dispersion wavelenth (c) Supponendo di avere un tratto di fibra luno 5 km, si tracci un rafico del ritardo Δ τ introdotto dalla fibra, in funzione dello scostamento in lunhezza d onda Δ attorno alle tre lunhezze d onda centrali: 35 nm, 45 nm and 55 nm. 3. Si consideri un sistema che trasmette alla lunhezza d onda di 55 nm, su una fibra standard SMF (with D=6 55 nm) con un bit-rate pari a 6 Mbit/s. Il trasmettitore è basato su laser modulato direttamente, con una larhezza spettrale pari a 4 nm. Si richiede di determinare la massima distanza alla quale il sistema può funzionare. 4. Si consideri un sistema ottico a 3 nm, utilizzante un LED come sorente ottica. Si determini la massima larhezza spettrale FWHM della sorente che permette di trasmettere a 55 Mbit/s su 5 km di fibra con D=4 55 nm, S=.7 /nm /km. Si ripeta il calcolo utilizzando la larhezza spettrale FWHM trovata al punto precedente, supponendo che lo zero di dispersione cada a 3 nm. 5. Si consideri un sistema ottico a Gbit/s con modulazione esterna, e laser in CW operante a 55 nm. La fibra utilizzata è di tipo NZ-DSF (D=- 55 nm, S=.7 /nm /km). (a) Qual e la massima distanza L max alla quale il sistema può funzionare? (b) Si suppona ora che il laser abbia una incertezza Δ sulla lunhezza d onda centrale. In sostanza, l effettiva lunhezza d onda del laser è data da = ± Δ, dove è la lunhezza d onda nominale, pari a 55 nm. Si calcoli il massimo valore di Δ che permette di raiunere le distanze.8 L max e.98 L max. (si usi l approssimazione Δ/ <<). 6. Si consideri un sistema a Gbit/s utilizzante un laser modulato esternamente, ad una lunhezza d onda centrale pari a 55 nm. Il sistema è costituito da un tratto di fibra di tipo SMF (D=6 55 nm) di lunhezza L SMF km, seuito da km di fibra DCF (con D=-8 55 nm). Si determini la massima distanza L SMF alla quale il sistema può operare.

2 7. Si consideri un sistema a 4 Gbit/s utilizzante un laser modulato esternamente, ad una lunhezza d onda centrale pari a 55 nm. La fibra utilizzata per il colleamento è di tipo NZ- DSF (D=- 55 nm, S=.7 /nm /km). (a) Qual e la massima distanza L max alla quale il sistema può lavorare? (b) Supponendo di utilizzare una fibra DCF con dispersione D=6 /nm/km in cascata alla fibra precedente, qual è la minima lunhezza di fibra DCF necessaria a raiunere una distanza complessiva pari a 5 km?

3 Soluzione esercizio Dati esercizio Fibra sinolo modo standard (SMF) con zero di dispersione alla lunhezza d onda = 33nm Dispersion slope pari a: S =.86 Soluzione a) Il primo punto dell esercizio richiede di tracciare l andamento qualitativo della dispersione in funzione della lunhezza d onda. In questo corso, considereremo sempre un andamento linearizzato in funzione dei parametri e secondo la formula: S D( ) = S( ) che nel caso specifico numericamente vale: nm Km, D( ) = S( ) =.86 ( 33nm) nm Km nm Km D ( ) b) Il secondo punto dell esercizio richiede di calcolare la dispersione alla lunhezza d onda di 55 nm. Dalla formula precedente si ottiene: D ( 55nm) = S ( ) =.86 ( 55nm 33nm) =.38.4 Commento: il valore risultante e maiore di quello che si riscontra nella realta (6 /nm km) in quanto anche S non e costante su intervalli di dell ordine di centinaia di nm. Un espressione accurata di D su bande cosi ampie dovrebbe necessariamente includere un ulteriore termine dello sviluppo: S D D S ( ) = ( ) + ( ) + ( )

4 Soluzione esercizio Dati esercizio Fibra sinolo modo di tipo NZ-DSF, caratterizzata dai paraemtri: = 55 nm Dispersion slope pari a: =.45 S D = 4. 5 alla lunhezza d onda di Soluzione a) Il primo punto dell esercizio richiede di tracciare l andamento qualitativo della dispersione in funzione della lunhezza d onda. Conoscendo il valore di dispersione D( ) alla lunhezza d onda, si deve utilizzare la D( ) = D( ) + ( ) S, che numericamente nel nostro caso porta a: formula linearizzata D( ) = ( 55nm S ), da cui si ottiene il rafico qualitativo sottostante: D( ) nm Km nm b) Il secondo punto dell esercizio richiede di calcolare la lunhezza d onda dello zero di dispersione per questa fibra, che qui chiamiamo zd invece del tipico per distinuere dal punto in cui viene centrato lo sviluppo in serie di D( ). si ottiene imponendo D( ) =. Numericamente: S ( zd 55nm) = 4.5 nm zd = 55 = 45nm S zd zd c) Il terzo punto dell esercizio richiede di tracciare l andamento del ritardo di propaazione (differenziale) Δτ in funzione di Δ per un tratto di fibra luno L= 5Km attorno alle tre lunhezze d onda: = 35nm = 45nm 3 = 55nm

5 Si ricorda che il ritardo differenziale Δτ ( Δ) attorno ad una certa lunhezza d onda i è definito come la differenza tra il ritardo assoluto di propaazione alla lunhezza d onda + Δ rispetto al ritardo assoluto alla lunhezza d onda. Si può calcolare tramite la formula Δτ ( Δ ) = D( ) L Δ. i 35nm = 4. 5 Numericamente, per = D( ) si ottiene: i i Δτ ( Δ ) = Km Δ = 5 Δ, il cui andamento è tracciato nella fiura sottostante: nm Δτ ( Δ) Δ = = 45 = da cui, almeno in prima approssimazione: Δτ ( Δ ) = (il risultato è approssimato, e dunque vale solo nell intorno della lunhezza d onda centrale Numericamente, per nm D( ) Infine, numericamente per = = D( ) 55nm = ( ) 5 Δτ Δ = + Δ, rappresentato nella fiura sottostante nm Δτ ( Δ) [ ] 5 Δ [ nm]

6 Soluzione esercizio 3 Dati esercizio Si considera un sistema di trasmissione ottica operante a 55 = nm su una fibra standard (SMF) con dispersione pari a D = 6 alla lunhezza d onda di 55 nm Mbit Il sistema di trasmissione opera ad un bit rate pari a Br = 6 utilizzando un laser modulato direttamente s attorno alla lunhezza d onda = 55nm. La banda ottica FWHM occupata all uscita del laser è pari a Δ = 4nm L esercizio richiede di calcolare la lunhezza massima L del colleamento. Soluzione Si devono utilizzare le formule per il limite di dispersione, considerando che il sistema preso in considerazione è basato su laser modulato direttamente (sorente a banda lara) e lavora ad una lunhezza d onda alla quale la dispersione è sinificativamente diversa da zero. In particolare, dato che il laser lavora a, la =55 nm dispersione vale D = 6. Si deve dunque utilizzare la formula indicata nelle dispense come caso #, cioè: ( Br L) da cui: L. Numericamente si ottiene: D Δ D B Δ L = =.56Km 6 Tbit 6 6 4nm s r Nell ultima formula è essenziale prestare attenzione alle unità di misura utilizzate. In particolare, se si usa il valore di dispersione espresso in, le unità di misura conruenti devono essere: Lunhezze in Km Tempi in Tbit Bande di frequenza in = THz e conseuentemente bit rate in s Bande in lunhezze d onda in nm

7 Soluzione esercizio 4 Dati esercizio Si considera un sistema di trasmissione ottica operante a 3 = nm, basato su un LED (ovviamente Mbit modulato direttamente) con un senale a bit rate RB = 55 s Il sistema ha una lunhezza di L= 5Km, e utilizza una fibra con dispersione D = 4 ad una lunhezza d onda di 55nm, con dispersion slope S =.7 Si richiede di calcolare la massima banda ottica FWHM di emissione Δ che il LED può avere. Si richiede in seuito di calcolare la massima distanza percorribile utilizzando una sorente LED con precedentemente, assumendo che lo zero di dispersione coincida con 3 = nm. Δ trovata Soluzione Iniziamo con il calcolare la dispersione alla lunhezza d onda = 3 D( 3nm) = 4 + S ( 3nm 55nm) = 3. 5 La dispersione è sinificativamente diversa da zero, e stiamo utilizzando una sorente ottica a banda lara. Conseuentemente possiamo usare la formula per il limite di dispersione nel caso #, cioè ( B r L) D Δ, da cui, risolvendo per la banda, si ottiene Δ = che numericamente D B L vale: Δ 6.4nm Attenzione al solito alle unità di misura, si vedano i commenti al fondo dell esercizio precedente. Operiamo ora con la larhezza di sorente trovata al punto precedente, sorente allo zero di dispersione. In tal caso, ci troviamo nella situazione di sorente a spettro laro allo zero di dispersione e la formula del limite di dispersione da utilizzare diventa: D= L = = 48.9 [km] 6 S B.7 ( 55 ) ( 6.4) r Δ Il valore risultante e sinificativamente maiore che nel caso precedente. nm r Δ = 6.4nm, ipotizzando di centrare la

8 Soluzione esercizio 5 Dati esercizio Gbit Si considera un sistema di trasmissione ottica operante ad un bit rate pari a R B =, e basato su un laser s modulato esternamente ad una lunhezza d onda nominale che chiamiamo = 55nm La fibra utilizzata è di tipo NZ-DSF, con dispersione D = a 55nm, e dispersion slope S =.7 a) Il primo punto dell esercizio richiede di calcolare la distanza massima al limite di dispersione. Abbiamo in questo caso un sistema modulato esternamente, con una dispersione diversa da zero, e dunque ci troviamo nella situazione del caso #3. Voliamo inoltre usare la formula basata sul β : ( Br L) L 8 β 8 β Br Numericamente si ottiene per β il valore (attenzione alle unità di misura!!): ( 55nm) ( 55nm) β = D = ( ) = = π c 8 m 8 π.998 nm Km π s da cui (attenzione alle unità di misura!!): L = Gbit Tbit Km s Km s 3 L = 49.Km b) La seconda parte dell esercizio è più complicata. Richiede di calcolare il massimo errore di posizionamento spettrale del laser (che invece di lavorare alla lunhezza d onda nominale nm lavora a = ±Δ, essendo Δ = 55 l errore di posizionamento del laser) che permette di avere una lunhezza massima del colleamento pari a L =.8 L oppure L =.98 L essendo L punto precedente. il valore calcolato al In sostanza, questa parte dell esercizio richiede di determinare il massimo errore spettrale di posizionamento del laser che porti ad una riduzione della lunhezza massima tale per cui essa risulti pari all 8% (o 98%) rispetto al caso ottimale del punto precedente. L = 39. 6Km Iniziamo a fare i calcoli per. Utilizzando la formula per il limite di dispersione, otteniamo il rane di valori che il parametro β può assumere per una lunhezza pari a L = 39. 6Km. Si ottiene: β = = 3.9 (attenzione alle unità di misura) 8 Br L K 9 bit m Km Convertiamo ora da β a D ottenendo:

9 9 8 nm π.998 π c D β = 3.9 =.5 Km ( 55nm) Si ottiene a questo punto che si deve aver D <.5 per soddisfare alla richiesta su L. Tracciamo dunque l andamento di D( ) nm Km D( ) attorno a = 55 nm, come riportato nella fiura sottostante..5 = 55 nm = D c.5 Lunhezza d onda nominale A questo punto si devono calcolare i due valori esterni di che portano ad avere ancora risolvendo la seuente equazione D( ) = Dc + S Δ = +.7 Δ da cui si ottiene: D ( ) Δ.5 D <. 5, D + 7.4nm per D =.5 Δ = = nm per D = +.5 Il valore e chiaramente asimmetrico. Volendo indicare il piu piccolo dei due, posso scrivere: Δ < 7.4nm. La conclusione è dunque che un errore di 7.4 nm nel posizionamento del laser, mi porta ad una diminuzione dell 8% della massima lunhezza raiunibile prima che intervenano i limiti di dispersione. L = L = 48. 4Km Ripetiamo ora li stessi calcoli per π c β =.6 D β =. 4 8 B r L Km

10 Δ = Δ < +.57nm D +.7 =.57nm nm per D =.4 per D = +.4

11 Soluzione esercizio 6 Dati esercizio Questo esercizio introduce la tecnica di compensazione della dispersione Gbit Si considera un sistema di trasmissione ottica ad un bit rate pari a R B =, basato su un laser modulato s esternamente ad una lunhezza d onda pari a = 55nm I tipi di fibra utilizzati sono indicati nella fiura sottostante: LSMF SMF Km DCF RX dove i due tipi di fibra hanno i seuenti parametri: SMF: D 6 DCF: D 8 = ad una lunhezza d onda =55nm = ad una lunhezza d onda =55nm L esercizio richiede di calcolare la massima lunhezza del colleamento lunhezza LSMF accettabile per la fibra SMF, sapendo che L L = [km]. DCF, cioè in sostanza la massima Soluzione Nel caso in cui il sistema di trasmissione utilizzi spezzoni di fibra con lunhezze diverse, la formula per il limite di dispersione B r va in effetti interpretata come D L L D = D( z) dz D L = i i L L i B r dove DL dove la somma viene effettuata su tante fibre quante sono quelle che compaiono nel colleamento. Rimaneiando la formula, troviamo il limite per la quantita D L (che puo essere anche chiamata dispersione accumulata D acc ): D L DL i i [/nm] = B i r Avendo due soli spezzoni di fibra, l ultima formula può essere riscritta come: L D + L D < [/nm]. SMF SMF DCF DCF Sostituendo i dati noti troviamo: 6 8 < L SMF Visto che L non puo che essere una quantita positiva, e notando che per SMF comunque soddisfatta, possiamo toliere il valore assoluto e risolvere direttamente: L = la disuualianza e SMF

12 6 L SMF 8 < Il valore massimo che L SMF L SMF può assumere è dato da: LDCF DDCF + 8 = = =.5 Km D D SMF SMF

13 Soluzione esercizio 7 Dati esercizio Questo esercizio è relativo alle tecniche di compensazione della dispersione Si considera un sistema di trasmissione ottica ad un bit rate pari a esternamente ad una lunhezza d onda pari a = 55 nm Gbit R B = 4, basato su laser modulato s La fibra utilizzata è di tipo NZ-DSF, con parametri D = a 55nm e S =.7 a) Il primo punto dell esercizio richiede di calcolare la massima distanza raiunibile L senza utilizzare compensazione di dispersione. Si usano dunque le formule ià viste in precedenza: L = 3.5 [km] D B = r L DCFmin b) Il secondo punto dell esercizio richiede invece di calcolare la lunhezza (minima) di una fibra di compensazione di dispersione (DCF) posta al termine del colleamento necessaria per arrivare ad una distanza pari a: L TOT = 5Km. La fibra DCF ha parametro D = 6 a 55 nm. Si suppone che la lunhezza complessiva si intenda comprensiva anche della parte di fibra DCF. L TOT = 5Km LNZ DSF L DCF RX L TOT = 5Km Abbiamo dunque le seuenti relazioni LNZ DSF DNZ DSF + LDCF DDCF = 6.5 [/nm] Br In sostanza, si tratta di risolvere il sistema: L D + L D = 6.5 L Ricavando NZ DSF NZ DSF DCF DCF + L = 5 NZ DSF DCF L ( ) NZ DSF dalla seconda equazione e sostituendo nella prima: 5 L D + L D = 6.5 DCF NZ DSF DCF DCF Sostituendo i valori noti di dispersione si ottiene: 5 L + L 6 = + 8 L = 6.5 ( ) DCF DCF DCF A causa della presenza del valore assoluto, l equazione ha due possibili soluzioni: + 8 L = 6.5 DCF + 8 L = 6.5 DCF

14 cioe : 6.5 LDCF = = 9.3 [km] LDCF = =.8 [km] 8 dove quella di interesse e ovviamente la prima delle due, in quanto avviene per una lunhezza di fibra inferiore. Abbiamo di conseuenza: L = 5 L = 47.9 [km] NZ DSF DCF