Lezioni 4-6 (20, 22 febbraio 2017)

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1 Lezioni 4-6 (20, 22 febbraio 2017) Il sistema S3 interpretato come una logica deontica delinea un rapporto molto debole di accessibilità tra proposizioni e le loro modalizzazioni i valori di verità di p, Nec S3 p e Poss S3 p possono variare indipendentemente tra di loro non è nemmeno riflessivo, perché ciò che effettivamente accade nel mondo può non essere né permesso né obbligatorio soprattutto gli assiomi sull accessibilità e sugli impegni non permettono molte inferenze positive/costruttive e sono essi stessi alquanto controversi e di difficile interpretazione Procediamo a gettare le basi di un sistema che può modellare alcune caratteristiche del tempo 2 intuizioni di base già presenti in Aristotele (A) c è un senso di necessario in cui quel che è sempre vero è necessario, e di possibile in cui quel che è talvolta vero è possibile (B) il futuro è ciò che ancora può succedere (cfr. le considerazioni sulla battaglia navale di domani in Sull interpretazione, ix, [mod I, lezioni 27-8]), mentre il passato è ciò che non può più cambiare qualche perplessità sulle locuzioni il futuro è e il passato è : non si dice il futuro sarà e il passato è stato? Per catturare queste due intuizioni, applicarle a una teoria dei tempi (anche verbali), e disinnescare un rompicapo sulla nozione di fato procediamo in due fasi a specificare Vocabolario, Regole di Formazione e Assiomi del sistema che chiameremo S4 questo sistema è un frammento di (non in tutto equivalente a) un sistema noto in letteratura come, appunto, S4 (o talvolta K t per il suo inventore, Saul Kripke e tempo) le modalità temporali sono molto varie e le proposte in letteratura modellano diverse teorie del tempo tempo con o senza inizio o con o senza fine, tempo lineare o circolare, tempo fatalista o tempo riamificato, tempo continuo o atomico, tempo compatto o discreto, istanti di tempo e intervalli di tempo, il tempo di cambiamento come limite o come parte e ripetiamo che la disponibilità e anche l intuitiva interpretabilità di un sistema simbolico non implica niente sulla natura del tempo: fornisce solo uno strumento espressivo per disambiguare tesi filosofiche (e fisiche) Prima fase di costruzione di S4, per catturare intuizione (A) Ripartiamo dalla sintassi di S2: la teoria delle verofunzioni per proposizioni aggiungiamo al Vocabolario due altri operatori (oltre a ) a un posto Nec S4 e Poss S4 aggiungiamo alle Regole di formazione: se una formula è una fbf S4 preceduta da Nec S4 o Poss S4, è una fbf S4 Nuovi Assiomi aggiunti a quelli formali di S3 ((A S3 1)-(A S3 3)) (A S4 1) Nec S4 p implica p se una proposizione è sempre vera, è almeno vera le verità eterne sono comunque verità (A S4 2) p implica Poss S4 p se una proposizione è vera, c è almeno un tempo in cui lo è quel che accade accade prima o poi (A S4 3) Poss S4 pnec S4 p implica p se c è qualche tempo in cui una proposizione è sempre vera, è almeno vera niente può essere candidato per verità eterna se non c è almeno un tempo in cui è vero

2 A differenza di S3, la modalità di S4 contempla un rapporto di accessibilità riflessivo i valori di verità di una proposizione e una sua modalizzazione non sono del tutto indipendenti vale l intuizione espressa sulla tabella della verità: p Nec S4 p Poss S4p V? V F F? Seconda fase della costruzione di S4, per catturare l intuizione (B): aggiungiamo al Vocabolario quattro altri operatori a un posto NecP S4 NecF S4 e PossP S4 e PossF S4 aggiungiamo alle Regole di formazione: se una formula è una fbf S4 preceduta da NecP S4, NecF S4, PossP S4 o PossF S4, è una fbf S4 Lettura intuitiva dei nuovi operatori: NecP S4 p : si è sempre dato il caso che p NecF S4 p : si darà sempre il caso che p PossP S4 p : si è dato talvolta il caso che p PossF S4 p : si darà talvolta il caso che p La rappresentazione dei tempi verbali: p : il pullman arriva (tempo presente) o il pullman sta arrivando (presente progressivo/imperfetto/interrotto) PossP S4 p : il pullman è arrivato (passato prossimo) o il pullman arrivò (passato remoto questa distinzione dipende dalla quantità di tempo trascorso e richiede una metrica temporale non contemplato nel nostro frammento) o il pullman arrivava (passato imperfetto) PossP S4 PossP S4 p : il pullman era arrivato (trapassato) PossF S4 p : il pullman arriverà (futuro) PossF S4 PossP S4 p : il pullman sarà arrivato (futuro anteriore) Alcuni Assiomi aggiunti: (A S4 4) Nec S4 p implica (NecP S4 p & NecF S4 p) se p è una verità eterna, si è sempre dato il caso e si darà sempre il caso che p (A S4 5) Nec S4 p implica (NecF S4 p NecP S4 p) se p è una verità eterna, si darà sempre che si è dato sempre il caso che p (A S4 6) NecP S4 p implica PossP S4 p se p è sempre stato vero, è stato vero almeno in un momento del passato (A S4 7) NecF S4 p implica PossF S4 p se p sarà sempre vero, sarà vero in almeno un momento del futuro (A S4 8) PossP S4 NecP S4 p implica NecP S4 PossP S4 p se si è dato il caso che p si è sempre dato, allora si è sempre dato che si è dato che p ma il contrario non vale, perché NecP S4 PossP S4 p potrebbe essere vero mentre PossP S4 NecP S4 p non lo è, se p non è ininterrottamente vero

3 Un rompicapo filosofico riformulato: il Ragionamento Dominatore di Diodoro Crono (IV-III sec. a.c.): Sussiste un conflitto generale tra le seguenti <tesi> (I) ogni <proposizione> vera riguardo al passato è necessaria; (II) l impossibile non consegue dal possibile; (III) qualcosa è possibile che non è e non sarà vero. Rendendosi conto del conflitto, Diodoro si appellò alla plausibilità delle prime due <tesi> per mostrare che (IV) niente è possibile che non è né sarà vero Epitteto, Dissertazioni II, 19.1 (non nella dispensa) Il senso della tesi (I): PossP S4 p implica NecF S4 p (un candidato assioma del sistema S4?) se è vero che il pullman è arrivato, allora la proposizione in questione non può più cambiare valore di verità (non diventerà falsa) e sarà vera sempre nel futuro una volta accaduto un evento non può non-accadere il passato è fisso (nemmeno Dio può cambiarlo) (un dubbio di Lukasiewicz: accadimenti nel passato remoto possono non lasciare nessuna traccia sull andamento del mondo e quindi non farne più parte: la verità della proposizione in questione sbiadisce) Il senso della tesi (II): Poss S4 p non implica Poss S4 p una banalità/assioma, perché solo impossibilità implicano impossibilità un esempio di Reductio ad absurdum Il senso della conclusione (IV): ( p & PossF S4 p) implica Poss S4 p le cose che accadono e che accadranno non possono non accadere c è un unica storia dell universo: fatalismo mentre (III), negando l implicazione, ammette che anche ciò che non accade o non accadrà, è stato, è o sarà possibile esempio di (III): Napoleone poteva (ad es. il 17 giugno 1815) vincere a Waterloo anche Wellington lo ammetteva il giorno 19 giugno Napoleone non può vincere a Waterloo adesso e non può farlo in futuro, perché ha perso l occasione il giorno 18 Da sole, le tesi (I) e (II) non sono ovviamente in conflitto con (III) se Diodoro deduce la negazione di (III) (ossia (IV)), deve appoggiarsi a qualche principio aggiunto (V): p implica NecP S4 PossF S4 p se si dà il caso che p, allora si è sempre dato il caso che si darà il caso che p (VI): ( p & PossF S4 p) implica PossP S4 NecFS4p se non si dà il caso che p e non si darà il caso che p, allora si è dato il caso che non si darà mai il caso che p Ricostruzione del Ragionamento Dominatore (1) La proposizione che Davies è a New York non è e non sarà mai vera Si applica il principio (VI) per arrivare a (2) Si è dato il caso che Davies non sarà mai a New York Per il principio (I) sulla necessità del passato: (3) La proposizione che si è dato il caso che Davies non sarà mai a New York è necessaria Per la definizione degli operatori modali in generale (sul Quadrato) per cui una proposizione necessaria (Necp) è equivalente alla negazione della sua contraddizione ( Poss p), si passa a:

4 (4) La proposizione che si è sempre dato il caso che Davies sarà a New York (prima o poi) è impossibile Per il principio (V): (5) La proposizione che si è sempre dato il caso che Davies sarà a New York (prima o poi) consegue dalla proposizione che Davies è a New York Per il principio (II) (6) La proposizione che Davies è a New York è impossibile O, in parole povere (7) Davies non può andare a New York (7) sembra falso: anche se Davies non andrà mai a New York, può andarci ci sono i mezzi di trasporto, ha i soldi e (una volta terminata la presidenza Trump) potrà ottenere un visto quindi almeno un passaggio nel Ragionamento deve essere insicuro sembra essere quello da (4) a (5) non è ovvio che se Davies va a New York sarà stato sempre vero nel passato che ci sarà un tempo in cui ci andrà quindi il principio (V) (p implica NecP S4 PossF S4 p) è da rifiutare (V) già introduce la tesi fatalista, ma è solo implicita nella versione del Ragionamento trasmessa da Epitteto cfr. il principio del ragionamento della verità passata in Aristotele Sull interpretazione, ix, discusso Mod. I lezioni 27-8 Se ci sono possibilità mai avverate (come la vittoria francese a Waterloo), allora bisogna ammettere un senso di possibilità più ampia di quella nell intuizione aristotelica (A), che identifica il possibile con ciò che è stato, è o sarà Una proposta leibniziana : ciò è possibile che non implica né una contraddizione né un altro scacco concettuale (o paradosso) contraddizione formale: p & p esempio di scacco concettuale (o paradosso): il muro è tutto rosso e tutto verde questo esempio sembra della stessa forma di muro è tutto rosso e tutto di mattoni (che non è né paradossale né interessante) cfr. il terzo modo in cui una deduzione può essere in buone condizioni anche senza essere formalmente valida (tabella a Mod. I, lez. 4-6) tutte le contraddizioni sono paradossali, ma forse non tutti i paradossi possono essere ridotti a p & p Per catturare questa proposta, possiamo delineare i tratti basilari di un ulteriore sistema modale chiamato in letteratura S5 si suggerisce l etichetta leibniziana perché S5 si presenta come vicino alla concezione teocentrica della Creazione, in cui Dio sceglie quali possibilità sono da attualizzare in linea con certi princìpi etico-estetici alcuni filosofi più recenti, come D.K. Lewis e Timothy Williamson, sembrano credere che S5 descrive come è la realtà modale per loro, S5 rappresenta la modalità non solo delle scienze formali (matematica e logica), ma anche della metafisica un po come Kant credeva che la geometria eucildea e la meccanica newtoniana descrivessero ogni sistema fisica concepibile Ripartiamo dalla sintassi di S2 (la parte noiosa):

5 aggiungiamo al Vocabolario due altri operatori (oltre a ) a un posto Nec S5 e Poss S5 aggiungiamo alle Regole di formazione: se una formula è una fbf S5 preceduta da Nec S5 o Poss S5, è una fbf S5 Due Assiomi (aggiunti a quelli adottati nella prima fase della costruzione di S4: (A S3 1)-(A S3 3) e ((A S4 1)-(A S4 3)) (A S5 1) Nec S5 p implica Nec S5 Nec S5 p se è necessario che p, allora è necessariamente necessario che p con questo assioma, il rapporto di accessibilità è riflessivo e simmetrico i contenuti della nostra biblioteca sono a disposizione al suo interno e anche dalle altre biblioteche i cui contenuti sono a nostra disposizione e a cui la nostra dà in prestito in termini di mondi : se p è S5 necessario nel mondo attuale, allora p è S5 necessario in tutti i mondi potevamo aggiungere questo assioma anche a S4 (prassi consolidata in letteratura, ma non per i nostri scopi più limitati) (A S5 2) Poss S5 p implica Nec S5 Poss S5 p se è possibile che p, allora è necessariamente possibile che p con questo assioma, il rapporto di accessibilità è riflessivo, simmetrico e transitivo possiamo prendere in prestito nella nostra biblioteca un libro contenuto in una biblioteca che ha un rapporto di prestito con una biblioteca (che ha un rapporto di prestito con una biblioteca ) con cui la nostra ha un rapporto di prestito in termini di mondi : se p è S5 possibile nel mondo attuale, allora p è S5 possibile in tutti i mondi Per gli assiomi (A S5 1) e (A S5 2), tutte le iterazioni degli operatori si collassano su quello immediatamente a sinistra della variabile ad es. Nec S5 Poss S5 Poss S5 Nec S5 Poss S5 Nec S5 Poss S5 p equivale a Poss S5 p e anche Nec S5 Poss S5 Poss S5 Nec S5 Poss S5 Nec S5 Poss S5 Nec S55 Poss S5 Nec S5 p equivale a Nec S5 p