Meccanica dei fluidi

Transcript

1 Meccanica dei fluidi Ø Definizione di fluido: liquido o gas Ø La pressione in un fluido Ø Equilibrio nei fluidi: legge di Stevino Ø Il Principio di Pascal Ø Il barometro di Torricelli Ø Il principio di Archimede Ø Fluidodinamica: fluido ideale Ø Regime stazionario. Portata Ø Il teorema di Bernoulli

2 I fluidi La materia può presentarsi in tre stati: Solido, liquido e gassoso: Ø Un solido ha una forma ed un volume ed è incomprimibile Ø Un liquido ha un volume definito, non ha una forma propria ed è incomprimibile Ø Le proprietà dei liquidi e dei solidi dipendono dal loro struttura microscopica, ovvero dal legame tra le molecole. Ø Un gas non ha né volume ne forma definiti ed è comprimibile Ø Queste definizioni sono in realtà un artificio, più in generale lo stato in cui si presenta la materia viene determinato in funzione del tempo necessario a quella materia per cambiare la sua forma sotto l azione di una forza esterna Ø Una sostanza che non è dotata di forma propria è detta fluido. I fluidi assumono la forma del recipiente che li contiene. Ø I fluidi sono un insieme di molecole sistemate casualmente legate da deboli forze di coesione e forze esercitate da pareti del contenitore Ø Sono fluidi : le sostanze liquide - che hanno volume definito ed una superficie limite le sostanze gassose - che non hanno un volume definito e tendono ad occupare tutto il volume a disposizione. Dal punto di vista meccanico un fluido si può pensare composto da elementi infinitesimi di massa dm = ρ dv, che scorrono tra loro in una qualunque direzione. Ø I tre parametri più utili per descrivere un fluido sono densità, pressione e flusso

3 Densità Ø Con i fluidi non ha molto senso parlare di massa, ma piuttosto di densità ( o massa volumica). Se consideriamo un elemento di volume ΔV di un fluido intorno ad un certo punto e misuriamo la sua massa Δm la densità è data dal rapporto: La densità ( o massa volumica) di un corpo (o fluido) è una grandezza scalare ed è pari alla massa per l unità di volume. ρ = Ø L unità di misura della densità è il kg/m 3 ρ = Ø La densità di un fluido varia ( anche se debolmente) con la temperatura poichè al variare della temperatura varia il volume. Ø La densità dei liquidi ρ = M/V è molto maggiore di quella dei gas (di circa un fattore 0 3 ) m V Δm ΔV Dove m e V sono massa e volume di un campione di fluido Densità Ø Dal punto di vista meccanico un fluido si può pensare composto da elementi infinitesimi di massa dm = ρ dv, che scorrono tra loro in una qualunque direzione.

4 Tabella densità

5 Pressione Ø L unità di misura è il Pa (pascal) : Pa= N/m - Un suo multiplo importante è bar = 0 5 Pa - La pressione atmosferica si indica con atm =,035 bar=, Pa NB: la pressione e la forza sono due grandezze diverse, si può avere una pressione molto alta anche con una forza relativamente piccola se la superficie è ridotta ( es: la pressione esercitata da un ago), oppure una pressione ridotta se la superficie è ampia ( es: le zampe del cammello => pianta larga non affonda nella sabbia del deserto, oppure le ciaspole sulla neve) Ø Le differenze di pressione tra l interno e l esterno di una superficie vengono usate come collanti potenti (es: agganci da rimorchio o agganci tra carrozze di treni) Ø Se un fluido è in quiete su di esso possono agire solo forze normali alla superficie del fluido stesso, in quanto, in presenza di forze tangenziali, le molecole scivolerebbero ( a causa della loro mobilità) le une sulle Altre dando origine ai dei moti interni al fluido stesso. Ø Si definisce PRESSIONE il rapporto tra una forza agente su una superficie infinitesima da e la superficie stessa: p = df Ø Se la forza esercitata su una superficie estesa è uniforme si può scrivere: da pressione Ø La pressione è una grandezza scalare (non ha proprietà direzionali ed anche se la forza è un vettore, solo la sua intensità contribuisce alla pressione) p = F A

6 Fluidostatica (equilibrio dei fluidi)-stevino() Determiniamo ora come varia la pressione all interno di un fluido a riposo Definiamo: - forze di volume: le forze che, come la forza peso, vengono applicate a tutto il volume ΔV dell elemento di fluido F g = g Δm = g ρ Δ V - forze di superficie, le forze che agiscono sulla superficie infinitesima dell elemento di fluido, sono le forze che determinano la pressione: p=df/ds Si consideri un fluido in quiete, ovvero un fluido in cui tutti i sui elementi di volume non subiscono spostamenti (che hanno quindi velocità ed accelerazione nulle) ed un campione di tale fluido racchiuso in una cilindro ideale di base A ed altezza h posto ad una profondità d dalla superficie del liquido. In questo caso, la somma delle forze ( di volume e di superficie) agenti sul fluido deve essere nulla ( legge di Newton )!! ΔV F v + F = 0 cilindro = Ah s Ø Il liquido esterno esercita forze su tutta la superficie del campione ( perpendicolarmente ad essa) Le forze agenti sulla superficie laterale del cilindro si elidono a coppie Solo tre forze rimango ad agire! sul corpo: ) la forza gravitazionale! F g gρah ˆj ) La forza F P Aj ˆ = 0 che agisce sulla superficie superiore del cilindro ( rivolta verso! il basso) 3) La forza F = PAj ˆ che agisce sulla superficie inferiore del cilindro (rivolta verso l alto)! F v!!!! + F = F + F F s g + = 0

7 Fluidostatica (equilibrio dei fluidi)-stevino() Per la seconda legge di Newton si ha che sul campione di fluido a riposo la somma delle forze deve essere nulla:!!!!! F ˆ ˆ ˆ v + Fs = Fg + F + F = gρah j P0 Aj + PAj = 0 Poiché le forze agenti sono tutte parallele all asse z possiamo togliere la notazione vettoriale: gρah / P0 A/ + PA/ = 0 0 P = gρh + P Legge di Stevino Legge di Stevino: la pressione in un liquido a densità costante cresce linearmente con la profondità. Conseguenze: Ø La pressione di un punto del fluido all equilibrio dipende solo dalla profondità del punto Ø La pressione lungo superfici orizzontali è costante ( superficie isobare o isobariche): la superficie libera di un liquido in quiete deve essere orizzontale. Se consideriamo di prendere l elemento di volume con la superficie superiore corrispondente alla superficie libera del liquido ( d=0) P 0 è proprio la pressione atmosferica Un corpo immerso in acqua alla profondità di 0 m subisce una pressione : 3 4 P = gρh + P = 9.8 m s 000 kg m 0m + atm = Pa + atm atm + atm atm 0 =

8 Consideriamo la legge di Stevino: Principio di Pascal P = gρh + P 0 Osservando questa relazione che lega la pressione P in un punto del fluido posto ad una profondità h dalla superficie, se si varia la pressione P 0 in superficie, anche P dovrà variare. Si ha quindi che ogni variazione della pressione alla superficie si ripercuote su tutti i punti del fluido. Questo proprietà dei fluidi fu formulata come principio da Pascal: Principio di Pascal: Una variazione della pressione applicata ad un fluido chiuso è trasmessa integralmente ad ogni punto del fluido stesso Quindi se la pressione esterna varia dal valore p 0 al valore pʹ0 la pressione interna varierà dal valore p al valore pʹ secondo la relazione: Δp = p' p = p' ext + gρh p ext gρh = p' ext p ext p' = p' ext + gρh p = pext + gρh Δp = Δp Esempio: Prendiamo un palloncino e premiamolo con le dita su due lati opposti, notiamo che: allo schiacciamento causato dalla pressione delle dita, corrisponderà un rigonfiamento nelle altre zone che aumenterà in relazione all'aumento della pressione da noi esercitata. Questo fenomeno, facilmente riscontrabile da chiunque possieda un palloncino, è giustificato dal fatto che la pressione da noi esercitata si trasmette all'intera massa di fluido contenuto nell'involucro (che in questo caso sarà aria). ext

9 Botte di Pascal Nel dimostrare il suo principio, Pascal mostrò in modo spettacolare come la forza possa essere aumentata dalla pressione di un fluido. Egli pose un lungo tubo sottile di raggio 0,30 cm verticalmente dentro una botte di raggio 0 cm. Egli trovò che quando la botte era piena di acqua e il tubo era pieno a un altezza di m, la botte esplodeva. Calcolare la massa del fluido nel tubo, e la forza risultante che agisce sul coperchio della botte Area Tubo = π r = 0.83cm = m Massa dentro il tubo = ρv = ρ A h = 000kg / m m m = 0.339kg F p = mg = 3.33N P = P 0 + ρgh = Pa Pa = Pa F fondo = PA botte = Pπr = N / m m = 7506N

10 Esempio -Vasi comunicanti Si chiamano vasi comunicanti due o più recipienti uniti da un tubo di comunicazione. Consideriamo due vasi comunicanti riempiti con lo stesso liquido ed esaminiamo cosa accade su una superficie S di liquido posta nel tubo di collegamento. S Se l altezza h A del liquido nel recipiente di sinistra è maggiore di h B, anche la pressione ( per la legge di stevino) che agisce su S da sinistra è maggiore di quella da destra. S Quindi la superficie S è spinta verso destra: si ha così un flusso di liquido dal recipiente in cui il liquido ha un altezza maggiore verso l altro Soltanto quando la quota del liquido è la stessa nei due recipienti, le due pressioni che agiscono su S sono uguali e il liquido è in equilibrio Quindi: un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti raggiunge in tutti i recipienti lo stesso livello. Questa proprietà è valida qualunque sia la forma dei recipienti, purché siano abbastanza ampi. Infatti, il modello dei vasi comunicanti ha un campo di validità limitato: cessa di essere valido quando i recipienti sono dei tubi molto sottili (detti capillari). S

11 Martinetto idraulico (pressa idraulica) Un martinetto idraulico è costituito da due pistoni di sezione molto differente collegati mediante un vaso comunicante nei quali è contenuto un fluido, il pistone ha superficie A molto più piccola della superficie del pistone : A << A Sul pistone viene esercitata una forza verso il basso che servirà a sollevare un oggetto pesante sul pistone ( esempio un automobile) F! La forza F! produce sul pistone una pressione P pari a P = F A La pressione si trasmette per il principio di Pascal attraverso il liquido fino al pistone. Sul pistone viene quindi esercitata una forza verso l alto pari a: Si ha quindi che F PA A = = >> F PA A F! F = PA Cioè la forza F risulta essere maggiore di F per un fattore moltiplicativo A A F = F A A Poiché nei due pistoni deve essere spostato un ugual volume di liquido si avrà : V = Δx A = Δx A Δx = Δx << Δx A Il lavoro compiuto dal pistone sarà comunque uguale al lavoro svolto sul pistone : A A A L = = F Δx = F Δx = F Δx L A A Il pistone si solleverà di meno di quanto si abbassa il pistone

12 Il barometro di Torricelli Torricelli fu il primo a sostenere che l atmosfera esercita una pressione e fu il primo a misurarne il valore. Lo strumento utilizzato fu un barometro a mercurio: Un tubo con un estremità chiusa, pieno di mercurio viene rovesciato in un bicchiere anch esso pieno di mercurio. Nell estremità superiore si forma una regione di vuoto ( in cui la pressione può essere considerata nulla) La pressione nel punto A e nel punto B deve essere la stessa( legge di Stevino) e quindi pari alla pressione atmosferica. Si ha quindi che il peso della colonnina di mercurio di altezza h deve determinare una pressione sul fluido pari a quella atmosferica P 0 = P! + gρ h = gρ h vuoto Hg Hg 0 3 Nel suo esperimento Torricelli osservò che la colonnina di mercurio nelle condizioni di 3 equilibrio si innalza di 760 mm. Si ha quindi, considerando che ρ = Kg m : 3 5 P = 9.8 3, Pa =.03 0 Pa atm 0 = Hg

13 Il principio di Archimede Sappiamo per esperienza che ci sono alcuni corpi che in acqua galleggiano ed altri no. Andiamo ora a vedere le cause del galleggiamento che è dovuto ad una forza rivolta verso l alto che si esercita su un corpo immerso in un fluido. Ø Consideriamo un fluido sottoposto alla gravità, ed isoliamone idealmente un volume finito V di forma qualsiasi. Ø Poiché il volume di fluido è all equilibrio, la risultante delle forze esercitate sul volume V di fluido isolato deve essere nulla Ø La risultante delle forze di pressione che il fluido circostante il volume isolato esercita sul volume isolato ( B! ) deve essere uguale ed opposta alla forza peso esercitata del volume stesso. B! sarà quindi rivolta verso l alto e pari in modulo alla forza peso del volume di fluido B = F g = gρ fluido V B Ø Sostituiamo ora il volume di fluido con un ugual volume di una qualsiasi altra sostanza di densità ρ => la risultante delle forze ( B! ) di pressione è la stessa, ma la forza peso cambia con la densità ρ della sostanza. => Non vi e più una condizione di equilibrio. = gρ fluido V risultante delle forze di pressione!! B + F g 0 B gρ corpov = gρ fluidov gρcorpov = gv ( ρ fluido ρcorpo ) 0 ρ fluido > ρ corpo F > 0 Risulta una forza verso l alto ( il corpo sale) Risulta una forza verso il basso minore della forza peso ρ fluido < ρ corpo F < 0 (il corpo scende nel fluido) In entrambi i casi vale il Principio di Archimede : un corpo immerso in un fluido riceve un spinta verso l alto ( spinta di Archimede) pari a al peso del fluido spostato B F + g = 0!!

14 Esempio- corpo galleggiante Abbiamo visto esplicitato il caso di un corpo completamente immerso in un liquido. Vediamo cosa succede nel caso il corpo, in equilibrio statico galleggi sulla superficie del liquido. In questo caso solo una frazione del corpo è immerso nel liquido. Poiché il corpo è solo parzialmente immerso, il volume di fluido spostato è solo una frazione del volume totale V 0 del corpo. Tale frazione corrisponde proprio alla parte di corpo immerso. L oggetto è in equilibrio => la risultante delle forze agenti sul corpo è nulla La Spinta di Archimede deve equilibrare la forza peso => B = gρ fluido V! immerso # " gρ fluido V immerso = gρ corpo V 0 F g = gρ corpo V 0 $# V immerso V 0 = ρ corpo ρ fluido La frazione di corpo immerso è pari al rapporto fra la densità del corpo e la densità del liquido

15 Il peso apparente Se si misurasse il peso ( inteso come forza-peso) di un corpo in acqua con una bilancia esso risulterebbe sicuramente minore del peso misurato fuori dall acqua. Questo peso minore è detto peso apparente ed in realtà è dovuto alla somma vettoriale della forza peso del corpo con la spinta di Archimede! P app =! F g! + B P app = F g B y Es: Un corpo di massa m=0kg volume dm 3 viene immerso in acqua. Determinare il suo peso apparente 3 3 Papp = mg B = mg gρh OV = 9.8 0N 9.8 m s kg dm dm = 98N 9.8N 88N =

16 La corona di Gerone La storia completa è questa. Gerone II, tiranno di Siracusa, fece costruire da un valente orafo una corona d oro, corona simile a quella ordinata da Gerone II a forma di rami intrecciati, del tipo di quella riprodotta a lato, per porla a decoro di una statua rappresentante un dio o una dea. Tuttavia quando ricevette la bellissima corona ebbe il sospetto che l orafo potesse aver sostituito, all interno della corona, l oro con l argento. Per questo il Tiranno chiese ad Archimede di determinare se la corona fosse d oro massiccio oppure se contenesse all interno il meno pregiato argento. Ma poiché la corona, di pregevole fattura, doveva ornare il capo di una divinità, era essa stessa un oggetto sacro. Quindi il Tiranno pose ad Archimede la condizione che la corona doveva restare integra (oggi diremmo che Archimede doveva sottoporre la corona a un esame non distruttivo). Archimede trovò la soluzione mentre stava entrando nella vasca da bagno osservando che, nell immergersi, l acqua traboccava dalla vasca. Intuendo ciò che noi oggi chiamiamo densità (materiali differenti di egual massa occupano volumi differenti), egli capì come poter risolvere il quesito che il Re gli aveva posto. Bastava porre in una vasca una quantità d oro puro di peso pari a quello della corona e poi riempire la vasca fino all orlo. Quindi bisognava togliere l oro e immergervi la corona: se vi fosse stato argento, che a parità di massa occupa un volume maggiore di quello dell oro, l acqua sarebbe traboccata. Archimede fu così felice della sua scoperta che si alzò repentinamente dalla vasca e corse per Siracusa gridando, appunto, Eùreka, perfetto del verbo eurisko, significa «ho trovato» Come riferisce l architetto romano Vitruvio nel primo secolo avanti Cristo, Archimede riuscì in questo modo a scoprire la frode che l orafo commise nei confronti di Gerone II.

17 Fluidodinamica-Moto dei fluidi In generale lo studio della fluidodinamica è molto complesso, poiché i fluidi reali sono soggetti a moti turbolenti Noi studieremo perciò il moto dei fluidi ideali, più semplice da trattare matematicamente. Caratteristiche che identificano i fluidi ideali: Ø Moto laminare (o stazionario) => la velocità del fluido in ogni punto fissato non cambia nel tempo né in direzione né in intensità. In questo tipo di moto i cammini seguiti da ciascuna particella di fluido non si intersecano mai Ø Fluido Incomprimibile => come nel caso statico il fluido è incomprimibile, quindi la sua densità è costante ed uniforme Ø Flusso non viscoso => il fluido non si oppone allo spostamento l attrito interno è trascurabile (non ci sono forze tangenziali) Ø Fluido irrotazionale => cioè se il momento angolare del fluido è nullo, un oggetto immerso in un fluido irrotazionale non ruota intorno al suo centro di massa Linee di flusso ( o linee di corrente) => sono le traiettorie percorse dalle particelle nel fluido. Ciascuna particella di fluido ha velocità sempre tangente alla linea di flusso( che non si intersecano mai) Le linee di flusso che attraversano una certa sezione vengono dette tubo di flusso

18 Equazione di continuità Consideriamo un fluido ideale che scorre all interno di un tubo a sezione variabile Si trova che la velocità del fluido nel tubo dipende dall area della sezione normale attraverso cui passa il fluido. Consideriamo quindi il tubo di flusso in figura. Nel punto la sezione ha area A e la velocità del fluido è Nel punto la sezione ha area A e la velocità del fluido è Il flusso va dal punto al punto Supponiamo che nell intervallo di tempo Δt passi attraverso la sezione A un volume di fluido ΔV. Poiché il fluido è incomprimibile nello stesso intervallo di tempo un uguale volume ΔV deve attraversare la sezione A Se consideriamo le particelle di fluido che all istante iniziale attraversano la superficie A esse percorreranno nell intervallo di tempo Δt una distanza Δx data da:!! v v Δx = v Δt e quindi il volume di fluido che avrà attraversato la sezione A sarà: ΔV = Δx A = v ΔtA Analogamente si avrà che il volume che avrà attraversato nello stesso intervallo di tempo la sezione A sarà: Quindi: ΔV = Δx A = v ΔtA ΔV = v ΔtA = v ΔtA v A = v A Equazione di continuità Questa equazione che lega la velocità del fluido alla sezione attraversata è nota come equazione di continuità, e da essa si evince che: il prodotto della velocità con la sezione attraversata è costante in un fluido ideale, per cui se la sezione aumenta la velocità diminuisce e viceversa

19 Portata Se un fluido scorre da un condotto largo ad uno stretto: il modulo della velocità nel tubo stretto è maggiore che nel tubo largo L equazione di continuità può anche essere riscritta: R = va = costante PORTATA La quantità R prodotto della velocità per la sezione attraversata è detta PORTATA. Si ha quindi che in un fluido ideale la portata rimane costante ESEMPIO: Stringendo il tubo dell acqua riduciamo la sezione di uscita dell acqua ed aumentiamo la velocità del flusso

20 Teorema di Bernoulli Ø Consideriamo un fluido a densità costante che scorre in regime stazionario attraverso il tubo di flusso ( o reale) a sezione variabile mostrato in figura. Ø In un intervallo di tempo Δt una certa quantità di fluido Δm entra attraverso la superficie A con velocità v ed esce dalla superficie A con velocità v. x Ø Vogliamo ricavare la relazione tra velocità, pressione e quota del fluido alle varie sezioni del condotto. Cominciamo determinando il lavoro sul liquido: Ø Nello spostamento l energia potenziale cambia solo per le parti del fluido che corrispondono ad una variazione globale di quota. Ø Il lavoro della forza peso è pari a: Ø Le forze di pressione dovute alle pareti compiono un lavoro nullo Ø le forze di pressione esercitate sulle sezioni A ed A forniscono il lavoro: L s = F Δx F Δx = P A Δx!"# P A!"# Δx P Ø Il lavoro totale è quindi: L g = ΔU = ρ ΔV ΔV ( ) y y Per il teorema dell energia cinetica tale lavoro è pari alla variazione di energia cinetica: ΔT = L g ΔV g L s ( y y ) + ( P P ) ΔV L = Lg + Ls = ρ ΔV g ρ ΔV v v ΔV Δx ( P ) ΔV = ( ) = ρ ΔV g ( y y ) + ( P P ) ΔV Δm = ρδv = Δx A = v Δt, = Δx Δx A = v Δt

21 ΔT = L Teorema di Bernoulli ( v v ) = ρ ΔV g( y y ) + ( P P ) ΔV ρ ΔV Semplificando il volume e raggruppando i termini in modo da avere a sinistra i termini associati al passaggio attraverso la superficie A ed a destra quelli associati all attraversamento della superficie A si ha: P + ρ v + ρ gy = P + ρ v + ρ gy P + ρ v + ρ gy = costante Equazione di Bern0ulli Teorema di Bernoulli: In un fluido ideale in moto in regime stazionario la somma della pressione, della densità di energia potenziale (energia per unità di volume) e della densità di energia cinetica e costante lungo il condotto, ovvero lungo qualunque tubo di flusso. NB: il teorema di Bernoulli è una riformulazione della conservazione dell energia meccanica adattata alla meccanica dei fluidi

22 Equazione di Bernoulli-casi particolari Ø Fluidi a riposo: In questo caso l energia cinetica è nulla e l equazione di Bernoulli si riduce alla legge di Stevino P + ρ v + ρ gy = P + ρ v + ρ gy P + ρ gy = P + ρ gy P = P + ρ g y y!# " $# Ø Tubo di flusso ad altezza costante y (y=0 per esempio) P + ρ v + ρ gy = P + ρ v + ρ gy P + ρ v = P + ρ v ( ) Se P >P allora v <v Se P <P allora v >v Se lungo una linea di flusso orizzontale aumenta la velocità di un fluido, deve diminuire la pressione e viceversa h

23 Una corona d oro di kg, ha un un volume di 90 cm 3. La densità della corona risulta quindi di 0,50 3 kg/m^3 (non è oro puro). Supporre che la corona di cui si parla sia costituita da una miscela di ottone e oro: che percentuale della massa della corona è oro puro? Dalla densità così bassa si capisce che è quasi tutto ottone. L oro ha una densità molto più alta. densità ottone = 8,4 kg/dm 3 ; densità oro = 9,3 kg/dm 3 M = densità x Volume M(Au) + M(ottone) = kg V(Au) + V(ottone) = 0,90 dm 3 8,4kg/dm 3 x V(ottone) + 9,3kg/dm 3 x V(Au) = kg V(ottone) = 0,90 dm 3 V(Au) 8,4kg/dm 3 x (0,90dm 3 V(Au) ) + 9,3kg/dm 3 x V(Au) = kg,596kg 8,4kg/dm 3 x V(Au) + 9,3kg/dm 3 x V(Au) = kg 0,9kg/dm 3 x V(Au) = kg,596kg V(Au) = 0,404/0,9dm 3 = 0,037 dm 3 = 37 cm 3 V(ottone) = 0,90 dm 3 0,037dm 3 = 0,53 dm 3 = 53cm 3 Massa ottone = 8,4 x 0,53 kg =,9 kg => in % :,9 / x 00 = 0,64 x 00 = 64%