Università degli Studi di Trento

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1 Università degli Studi di Trento Dottorato di Ricerca in Statistica Metodologica XIII ciclo Anno accademico 1999/2000 TESI DI DOTTORATO Modelli con variabili latenti e indicatori di tipo misto Dottorando: Pietro Giorgio Lovaglio Relatore: Prof. Giuseppe Boari

2 INDICE DEGLI ARGOMENTI INTRODUZIONE CAPITOLO 1: I modelli strutturali 1.1 Specificazione del modello. 1.2 Identificazione. 1.3 Stima dei parametri. 1.4 Verifica di validità del modello. 1.5 Il caso di indicatori misti Correlazione tetracorica Correlazione policorica Correlazione poliseriale. 1.6 Metodi di stima dei parametri strutturali con dati misti. 1.7 Osservazioni. CAPITOLO 2: Problemi legati all utilizzo di LISREL 2.1. Specificazione delle variabili latenti e identificazione Confronto degli assunti teorici del modello fattoriale, rispetto a quelli della regressione multipla 2.2 Indeterminatezza dei punteggi latenti del modello LISREL dovuta a rotazioni 2.3 Indeterminatezza intrinseca delle variabili latenti. Teorema 2.1, Lemma 2.1, Teorema 2.2, Lemma Normalità. 2.5 Distorsione e robustezza delle stime. 2.6 Carattere confermativo del LISREL e stime simultanee dei parametri. 2.7 Soluzioni del modello di covarianza ricavate dalla matrice di correlazione. 2.8 Non sensibilità alla scala di misurazione delle variabili manifeste. 2.9 Conclusione. CAPITOLO 3: L uso di indicatori categoriali: un approccio di optimal scaling 3.1 Scaling e Optimal scaling. 3.2 Scaling: soggetti, variabili o entrambi.

3 3.2.1 Tipo di dati Multidimensionalità e Unidimensionalità del continuum latente. 3.3 Metodi di scaling e optimal scaling in presenza di un modello statistico Scaling con consistenza interna e metodi di scale construction Multidimensional scaling. 3.4 Optimal scaling derivato da una funzione obiettivo Analisi delle Corrispondenze Multiple (MCA) Medie reciproche (RAM) Correlazione Canonica Metodo Pca Metodo Anova Regressione multipla. 3.5 Optimal scaling ottenuto simultaneamente con il modello statistico. 3.6 Discussione Primo filone Secondo filone: metodi di O.S. in senso stretto Terzo filone. 3.7 Utilizzo della filosofia Alsos nei modelli strutturali. CAPITOLO 4: La stima delle Lv in un modello strutturale con indicatori categoriali 4.1 Univocità ed individuazione delle variabili latenti 4.2 Stima di LV come trasformata da un gruppo di variabili: un tentativo la Restricted Component Decomposition Metodologie che rinunciano alla stima della struttura causale del modello fattoriale Proprieta dei vettori latenti stimati con SVD (Teorema 4.1) L uso di indicatori categoriali Una funzione di perdita che generalizza gli approcci di Componenti principali non lineari (NPCA), Componenti principali (PCA), Analisi delle corrispondenze multiple (MCA) Stima di punteggi latenti e legami causali in un unico algoritmo: PLS 4.3. Proposta metodologica per la stima simultanea di LV e i legami causali del modello fattoriale

4 4.4 LV e modello strutturale: stima simultanea e problemi Analisi di Correlazione Canonica 4.5 Stima dei modelli di misura del modello strutturale La stima dei punteggi latenti 4.6 Una procedura equivalente 4.7 La stima dei modelli strutturali con LV. 4.8 Il modello di misura con LV supportate da indicatori categoriali LV in presenza di un solo indicatore e molteplici cause LV con molteplici indicatori e molteplici cause 4.9 Algoritmo per la stima dei parametri di un modello causale con due insiemi di LV 4.10 Estensione al caso di LV supportate da indicatori differenti Osservazioni sulla tecnica proposta 4.12 Vantaggi della metodologia adottata e proprietà delle LV stimate CAPITOLO 5: Un applicazione: la stima del capitale umano delle famiglie americane 5.1 Il Problema 5.2. Stima di h con PLS 5.3. Analisi critica 5.4 Reduced Rank Regression con dati misti 5.5 Output dell analisi Componente Educazionale Componente Professionale APPENDICE A: Un algoritmo per la regressione multipla con variabili miste A.1 Introduzione A.2 La stima A.3 Osservazioni APPENDICE B: Un algoritmo per la stima di LV da un insieme di indicatori misti. B.1 Algoritmo B.2 B.2 Osservazioni sull algoritmo

5 APPENDICE C: Proprietà delle LV stimate con SVD. C.1 Proprietà dei fattori ricavati da SVD APPENDICE D: La Regressione monotona o isotonica. D.1. La regressione monotona D.2 Distorsione ed efficienza D.3 Consistenza D.4 Esempi INTRODUZIONE

6 Il concetto di variabile latente (LV) è forse uno dei più affascinanti e dibattuti degli ultimi cinquantanni, nonostante ancora oggi ci è solo possibile una sua definizione negativa: ciò che non è osservabile, mancando sia di origine che di unità di misura. Una delle maggiori difficoltà per un ricercatore di scienze sociali nella specificazione di un modello statistico che descriva i nessi causali tra variabili deriva dal fatto che le variabili oggetto dell'analisi non sono direttamente osservabili; si pensi in sociologia allo status sociale, motivazione, attitudine; in psicologia ad intelligenza, abilità verbale, in economia ai concetti di aspettative, reddito permanente etc. Anche se tali costrutti ipotetici che chiameremo nel proseguo variabili latenti (LV), non possono essere direttamente osservabili, l uso di opportuni indicatori può aiutare la misurazione delle LV più o meno accuratamente. Per avere una descrizione più accurata di un concetto non misurabile direttamente come ad esempio la motivazione scolastica è preferibile considerare più di un solo indicatore per ogni LV, se non altro per la difficoltà di far coincidere la suddetta LV con una sola variabile manifesta. L'analisi fattoriale, forse il più noto metodo di analisi causale con LV, cercò di motivare la correlazione tra un certo numero di variabili manifeste supponendo l esistenza di un numero inferiore di costrutti teorici sottostanti (LV) alle variabili osservate e che queste ultime siano in realtà diversi modi (effetti) di rappresentare tali LV. Un altra ragione che giustifica l introduzione del concetto di LV è che molte variabili in contesto socioeconomico presentano errore di misura, dovuto sia ai non perfetti strumenti di misurazione (test, questionari), sia alla non replicabilità del fattore umano. La tecnica più nota per lo studio delle LV, in tale contesto chiamati fattori, è l analisi fattoriale inizialmente sviluppata in ambito psicometrico a partire dai tentativi di Spearman (1904) di misurare l intelligenza umana, articolandola come componente comune presente in tutte le variabili manifeste come abilità verbale, abilità matematica etc. L analisi fattoriale è oggi universalmente applicata nei più svariati campi di indagine socio-economica (in particolare in psicologia), tuttavia nonostante la semplicità e l applicabilità del metodo per l individuazione di LV col passare degli anni apparve un metodo rigido e povero dal punto di vista causale.

7 Gli sviluppi successivi dell analisi fattoriale hanno lasciato scettici gli statistici sia per gli ampi margini di arbitrarietà del metodo (su cui torneremo ampiamente) sia poichè non prevedeva la possibilità di specificare eventuali relazioni tra LV, dunque la distinzione tra LV esogene ed endogene. Contemporaneamente in contesto econometrico nascevano modelli che permettevano la specificazione in un unico modello di relazioni dirette, indirette, legami ricorsivi e di retroazione, tra variabili esogene ed endogene: i cosiddetti modelli causali e i modelli di equazioni strutturali (o ad equazioni simultanee) che ebbero successo nelle applicazioni di carattere sogiologico.. La specificazione di un metodo che inglobasse l analisi fattoriale all interno di un modello (causale) statistico fu proposta da Lawley (1940) tuttavia mai concretizzata dal punto di vista della stima per difficoltà di calcolo: tuttavia il tentativo di Lawley pose seriamente il problema di fondere in un unico approccio il concetto di LV e le sue relazioni con le variabili osservate e lo studio dei nessi di causalità tra LV. L econometria, affrontando il problema delle relazioni di causalità fra variabili in campo economico con i modelli ad equazioni simultanee, escludeva tuttavia il concetto di variabile latente trascurando l errore nelle variabili, pur ipotizzando l'errore nelle equazioni. Contemporaneamente all Analisi fattoriale la psicometria portava avanti la ricerca sul versante della misurazione, della validità e dell affidabilità, elaborando tecniche chiamate scale di misurazione (unidimensionali e multidimensionali), finalizzate alla misurazione di variabili psicologiche non osservabili. A questi sviluppi vanno aggiunti quelli proposti negli anni trenta dal genetista Sewall Wright (1934) che si pose il problema di misurare i nessi causali tra variabili e di quantificare l impatto diretto, indiretto, attraverso i path coefficients da cui la tecnica derivò il nome di Path Analysis. I lavori di Wright rimasero sconosciuti per molti anni fino a quando vennero diffusi ai sociologi da un famoso articolo di Duncan del 1966 sulla stratificazione sociale e la path analysis conobbe popolarità tra gli studiosi sociali. Con l inizio degli anni Settanta, un dibattito fiorente contribuì a far convergere le varie scuole di pensiero: Golberger in econometria, Duncan in sociologia e Joreskog in

8 psicometria furono gli esponenti più impegnati di una affannosa ricerca che culminò con la proposta di Karl Joreskog nel 1970 della formulazione di un modello con LV, non più limitato all analisi fattoriale, ma applicabile ai modelli ad equazioni strutturali. L esigenza di fondere due tradizioni di ricerca, l una relativa alle LV (analisi fattoriale), l altra relativa ai modelli di equazioni strutturali (Path Analysis ed equazioni simultanee), giustifica quel capitolo che in statistica multivariata è stato chiamato dei modelli di equazioni strutturali o più semplicemente modelli strutturali. La scuola svedese metteva a punto un software battezzato dallo psicometrico Karl Joreskog nei primi anni settanta LISREL (LInear Structural RELationship) per la stima dei parametri strutturali dell analisi fattoriale e della Path Analysis. Tuttavia l iniziale approccio valido per soli modelli di misura fu rapidamente superato dagli stessi autori e l applicazione di LISREL fu estesa ai modelli ad equazioni strutturali. LISREL (oggi alla settima versione) è diventato il termine più utilizzato per intendere gli approcci teorici dei modelli strutturali, della path Analysis, dei modelli causali e dell Analisi fattoriale. Il modello LISREL ad oggi costituisce il punto di arrivo per lo studio dei legami causali tra LV, oggi largamente applicato e diffuso in studi socio-psicologici e di marketing anche per la diffusione del software omonimo. Il presente lavoro affronta le problematiche che più affliggono il modello LISREL e propone un metodo più versatile che risolve la rigidità del LISREL. Nel primo capitolo mostreremo le procedure e la metodologia del Modello LISREL e delle sue varianti più importanti nel caso, ampiamente ricorrente nelle scienze sociali, di indicatori (che supportano le LV) misti, cioè qualitativi e quantitativi. Nel secondo capitolo emergerà immediatamente l eccessiva arbitrarietà dei metodi finora utilizzati che portano a restringere le possibilità di analisi, sia per problemi insiti alla metodologia statistica, sia perchè non prevedono opzioni oggi sempre più invocate dai ricercatori sociali; si pensi ad esempio all impossibilità, nel modello LISREL e nelle sue varianti, dell inserimento di indicatori politomici nominali. Verranno formulate alcune caratteristiche ideali, auspicabili in un modello che spieghi i legami strutturali con variabili latenti; in particolare, che non sia parametrico e preveda la

9 possibilità di analisi per ogni combinazione di variabili osservate (nominale, ordinale, continua), possibilità non previste con LISREL. Nel terzo capitolo per la stima dei punteggi delle variabili latenti viene proposta una metodologia nell ambito dei modelli strutturali che utilizza l Optimal Scaling, come metodo, ponendoci lontano dalla definizione classica di variabile latente come costrutto teorico inosservabile, tipico dell Analisi fattoriale, ma piuttosto identificando le LV come combinazioni lineari esatte degli indicatori optimally scaled. Tale metodologia: 1. risolve il problema delle variabili qualitative, sia nominali che ordinali, con l optimal scaling, specificando gli indicatori qualitativi con le matrici indicatore ed ottenendone i punteggi e le categorie, massimizzando una funzione obiettivo imposta dall analisi causale (Optimal Scaling). 2. concepisce le LV come costrutti intermedi di due insiemi di variabili: le variabili che generano tali LV e quelle di cui sono effetti (secondo l Analisi fattoriale). Tali indicatori possono essere variabili anche categoriali o miste (qualitative e quantitative) laddove le categoriali vanno trasformate in modo ottimale, massimizzando una funzione di perdita coerente con il modello. L'optimal Scaling specifica ogni variabile qualitativa come il prodotto di una matrice indicatore e di un vettore di parametri di scaling; esso quantifica in modo ottimale le categorie della variabili qualitativa ed ottiene i punteggi (scores) degli individui, inizialmente identificati solo dalla categoria di appartenenza. Gli scores così ottenuti possono essere trattati, a tutti gli effetti, come determinazioni di variabili casuali continue; in questo modo la stima dei parametri strutturali potrebbe avvenire in un secondo passo applicando le metodologie classiche per dati continui (equazioni simultanee, LISREL, Path Analysis). Tuttavia una stima in due passi successivi non è efficiente, tanto che sarà preferito un algoritmo che stima simultaneamente i parametri di scaling e i parametri strutturali, ispirandoci alle metodologie Als (Alternating Least Squares) concepite per la stima simultanea di parametri causali e parametri che trasformano in maniera ottimale i dati categoriali.

10 L uso della filosofia Als, non della metodologia tout court, è utile per la trattazione dei dati categoriali, tuttavia essa: 1. non è stata concepita né mai applicata per i modelli strutturali con LV 2. non è esente da critiche, come viene mostrato in Appendice D Nel terzo capitolo verrà mostrata l arbitrarietà e l inapplicabilità dei metodi classici di optimal scaling tipici dell Analisi delle corrispondenze nel risolvere il problema della stima di variabili latenti supportate da indicatori misti, perchè in primo luogo la Mca non è stata concepita per analisi causali, (non prevede la differenza tra variabile esogena e variabile endogena), in secondo luogo i metodi Mca proposti per stimare le dimensioni latenti e trasformare i dati categoriali utilizzano un criterio di ottimo arbitrario e in terzo luogo per l impossibilità di utilizzare simultaneamente dati misti. Nel quarto capitolo, che consiste nella parte innovativa dell intero lavoro, verrà formulato un modello in alternativa al LISREL, analizzando le proposte e i modelli con LV, come PLS, RCD, MIMIC; per tali metodologie saranno analizzati i seguenti spetti metodologici: 1. coerenza delle stime con la specificazione del modello e dei nessi causali tra LV (endogene ed esogene) e tra LV ed indicatori 2. unicità dei punteggi stimati delle LV 3. possibilità di indicatori categoriali (nominali e ordinali) o misti 4. caratterizzazione dei metodi come parametrici Rispetto ai quattro punti menzionati verrà proposto un modello che stima i legami causali tra LV supportati da indicatori misti che non è parametrico e che rispetta nella tecnica di stima dei parametri la struttura causale del modello. Il modello proposto (Cap.4) poggia su una definizione di LV che generalizza in senso più ampio le definizioni del modello fattoriale, di PLS ed RCD che fanno coincidere i punteggi di una LV come combinazione lineare di un insieme di indicatori continui. I metodi proposti sono di carattere esplorativo ed essenzialmente di natura descrittiva, non avendo nessuna velleità di tipo inferenziale, sia perchè le proprietà dell'inferenza non sono garantite in contesto di optimal scaling (ambito prescelto per la trattazione di dati categoriali), come la distribuzione degli errori normale ed il calcolo dei gradi di libertà che non è un parametro fisso, ma variabile perchè varia al variare del numero dei valori mancanti.

11 Per quanto si è detto tuttavia rifiutare a priori comode ipotesi distribuzionali appare realisticamente più un vantaggio che un limite.